Conocimiento científico Mediciones

son

Método

científico

caracterÍsticas formas de

expresión clasificación

aciones.

relaciones

Posee

ejemplos

Se aplica a

utiliza

son

gráficos

UNIDAD 1: EL ESTUDIO DE LAS CIENCIAS NATURALES

Mapa Conceptual. Unidad 1

Introducción Luego de profundizar en la naturaleza del conocimiento científico, sus ramificaciones y relaciones con otras disciplinas, la sociedad y las técnicas, se retoma, del tercer ciclo, el estudio y aplicación del método científico; pero ahora de manera más exhaustiva, más formal y más focalizada. En esta unidad se aborda el estudio de una gama de métodos usados en las ciencias naturales y se realiza el estudio del método científico experimental con sus respectivas aplicaciones a casos modelo tomados de la física, la química y la biología. A continuación, se abordarán aspectos relacionados con la medición de las magnitudes físicas, el análisis dimensional y los sistemas de unidades (haciendo énfasis en el uso del Sistema Internacional de Unidades). Se trata el tema de incertezas de las medidas y su propagación. La unidad termina con el estudio de las proporcionalidades, los gráficos y la escalación, con sus correspondientes aplicaciones a la mecánica y la biología.

Objetivos:

Que el alumno o la alumna pueda:

1. Profundizar en la naturaleza del conocimiento científico y su relación con otras disciplinas, la sociedad,

la técnica y el pensamiento.

2. Examinar los principales postulados en los cuales se basan los métodos científicos y analizar varios

tipos de métodos y sus respectivas aplicaciones. 3. Analizar los pasos del método científico experimental y aplicarlos al estudio de los fenómenos

naturales.

Postulados De casos, estadístico, inductivo,

deductivo, analogía, experimental

comparaciones

magnitudes físicas

Sistema internacional

de unidades

incertezas

propagables Instrumento de

análisis

4. Comprender la importancia de las magnitudes físicas, sus interrelaciones y su medición. 5. Comprender y aplicar correctamente los elementos del proceso de medición y sus limitaciones. 6. Interpretar los resultados del proceso de medición y establecer su vinculación con los fenómenos

naturales.

1. La naturaleza del conocimiento científico.

El conocimiento científico surge, esencialmente, de la curiosidad inherente al ser humano por conocer y

transformar su entorno. Busca con esta transformación mejorar sus condiciones de vida, de manera que

su permanencia en este mundo le resulte placentera o interesante.

Gracias al conocimiento científico, el ser humano cuenta hoy en día con instrumentos que mejoran su

condición de vida. En la actualidad contamos con mejores medicamentos para

mantenernos saludables; medios de transporte que nos trasladan a sitios muy lejanos

en pocas horas; electrodomésticos que agilizan las faenas del hogar; alimentos variados que nos causan

placer… En fin, diversos instrumentos que deleitan nuestros sentidos.

Sin embargo, también del conocimiento científico se derivan instrumentos que van en contra de la vida:

las armas de destrucción masiva. Las bombas atómicas, lanzadas sobre dos ciudades japonesas,

causaron destrucción y muerte terribles. Después de la explosión, la radiación terminó con la vida de

muchos que no murieron durante el impacto.

1.1 Qué características debe tener un conocimiento para que pueda clasificarse como científico

Evento y hecho. Un evento se ubica en el tiempo y el espacio, aunque no sea conocido; mientras que

un hecho ha sido empíricamente comprobado.

Para el caso, puede ocurrir que en una cocina de un restaurante, al medio día, una olla con agua ha sido

sometida a las llamas y hierve. Esto es un evento. El hecho es que se comprueba que el agua, al ser

sometida a las llamas, hierve.

La ciencia ha evolucionado a partir de la observación de un conjunto de hechos. Por ejemplo, las leyes de

la gravitación de Kepler evolucionaron a partir de la observación de los movimientos de los planetas con

respecto a las estrellas; la teoría acerca de la electricidad y sus aplicaciones cotidianas, parte de las

observaciones, hechas por los griegos, de la atracción de cuerpos pequeños por el ámbar frotado; la

Japoneses víctimas de la radiación

atómica

Objetivos conceptuales. Saber qué es conocimiento científico, su forma de expresión y

clasificación. Saber relacionar ciencia, tecnología y sociedad. Objetivos procedimentales. Distinguir el conocimiento científico de otras formas de

conocimiento.

Objetivos actitudinales. Reflexionar sobre los beneficios de la ciencia y lo perjudicial que

puede resultar su mal uso.

aerodinámica ha evolucionado a partir de la observación de la estructura de las alas de las aves.

Creencia y conocimiento científico. Una creencia puede definirse como un firme asentimiento y

conformidad con algo, aunque tal cosa no se pueda comprobar; por lo tanto, no se puede afirmar si una

creencia es falsa o verdadera. Es decir que no son juicios intelectuales. Las creencias son muy comunes

en la religión: Dios creó a Adán y Eva. El alemán Friedrich Nietzsche, en un libro, afirma que la creencia

es la primera de todas las formas de actividad intelectual y, por lo tanto, una especie de afirmación.

Las creencias desaparecen cuando conocemos de una manera objetiva el fenómeno. Por ejemplo, en

nuestro país existe la creencia en el ojo en los niños, el cual se produce cuando un hombre de mirada

fuerte mira a un niño tierno. Este ojo genera diarrea, vómito, hundimiento de la mollera y entornamiento

de los ojos. Esta creencia desaparece cuando la persona conoce que la diarrea produce pérdida del

líquido en el que flota el cerebro, de manera que la mollera se hunde, debido a que la fontanela no se ha

cerrado todavía. La solución no es llevar al niño con el curandero, sino que eliminar la diarrea y

rehidratarlo.

Existe en el campo la creencia en que los arco iris desaparecen al señalarlos. Desde luego que la

falsedad de tal creencia se comprueba simplemente con señalar un arco iris y observar que no

desaparece. Naturalmente que el arco iris desaparecerá de una manera natural y en un tiempo que puede

ser breve o largo.

Otra creencia, arraigada en el campo, es que los granizos pudren los mangos. Lo que ocurre es que el

granizo horada al mango y en tal hueco las moscas depositan sus huevos, de manera que las larvas o

gusanos crecen, facilitando el ingreso de bacterias u hongos, los cuales pudren el mango.

Pese a que las creencias carecen de fundamento científico, el ser humano se ofrece a ellas para

responder a determinadas situaciones.

Por su parte, el conocimiento científico es una forma de conocer la realidad de una manera racional,

sistemática y comprobable. De un conocimiento científico sí podemos afirmar si es falso o verdadero.

Son características del conocimiento científico:

Es crítico, porque trata de distinguir lo verdadero de lo falso.

Es verificable, por cuanto otros investigadores pueden contrastarlo por diversas técnicas.

Es sistemático, ya que es una unidad ordenada, de manera que los nuevos conocimientos se integran

al sistema, relacionándose con los ya existentes.

Es objetivo, por cuanto es válido para todas las personas sin limitaciones de cultura, raza o religión.

Es comunicable, por cuanto utiliza el lenguaje científico, que es comprensible para cualquier sujeto

capacitado.

Es legal, por cuanto explica la realidad mediante leyes.

Es falible, por cuanto es una aproximación a la realidad, de manera que es posible mejorarlo.

Conocimiento y conocimiento científico. Existe gran diferencia entre conocimiento y

conocimiento científico. El conocimiento surge cuando se toma conciencia de un hecho;

mientras que el conocimiento científico surge al indagar el hecho mediante un análisis

disciplinado y ordenado, sujeto a comprobación. Un ejemplo sencillo ilustrará esta diferencia.

Supongamos que tenemos 2 lanzas iguales en todo: peso, forma, agudeza de la punta…

Supongamos que ambas las dejamos caer verticalmente sobre una superficie de arena. Si la

lanza B se deja caer de una altura mayor, intuitivamente concluimos que la lanza B penetrará

B

A

más profundamente en la arena que la A; esto porque caerá con una mayor velocidad. Concluir que

penetrará más en la arena por caer con una velocidad mayor que la de A es conocimiento. Pero no es

conocimiento científico. Sin embargo, calcular el tiempo que le tomará a cada lanza llegar a la arena o la

velocidad con la que caerán, sí es conocimiento científico.

Supongamos que la lanza A cae desde 10 metros, y B cae desde 15 metros, entonces el tiempo de caída

es:

Para A: t = 2y/g = 2 (10)/10 = 1.41 segundos. y es la altura y g es la gravedad

Para B: t = 2y/g = 2 (15)/10 = 1.73 segundos.

1.2 Cómo se expresan los conocimientos científicos

Axiomas, postulados y dogmas

Una de las características del conocimiento científico es la comunicabilidad. Es decir que los

conocimientos científicos se pueden comunicar. Para conseguirlo es necesario expresarlos. Para

expresarlos, antes deben existir o estar construidos.

Los conocimientos científicos se construyen a partir de un conjunto de axiomas y postulados que se

toman como verdaderos.

Axioma. Un axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración.

Algunos ejemplos clásicos de axiomas son los siguientes:

Si a = b y b = c, entonces a = c.

Si a es mayor que b y b es mayor que c, entonces a es mayor que c.

Si a es mayor que b y b es mayor que c, entonces a + k es mayor que c + k

Actividad 1. Formemos nuestros propios axiomas. Intenta formar axiomas matemáticos. Toma como

base los ejemplos anteriores.

Postulado. Un postulado es una proposición que, aunque no puede ser probada, se acepta como

verdadera, pues es necesaria para fundamentar posteriores razonamientos.

Estudiemos el siguiente postulado: Si todos los individuos que son originados sobrevivieran y se

reprodujeran, en algunos años se agotarían el alimento y el espacio disponible sobre la Tierra.

La anterior proposición se toma como verdadera, pues parece claro que no habría alimento ni espacio

para tantos individuos. Sin embargo tal proposición no se puede probar, pues los individuos se

reproducen y mueren: no es posible mantenerlos vivos para probar que se agotarían el alimento y el

espacio.

Podemos afirmar, entonces, que la diferencia entre postulado y axioma es que éste se puede probar; no

así el postulado.

En resumen, se tiene que el axioma se acepta por ser claro y evidente; el postulado se acepta por ser

necesario para posteriores razonamientos. En todo caso, tal aceptación es razonada, no se impone. El

dogma, por el contrario, se acepta sin cuestionamiento alguno.

Dogma. Un dogma es una proposición que se tiene por firme y cierta y como principio innegable.

El dogma puede ser científico o religioso. El siguiente es un dogma científico: Las leyes de la física son

universales.

Con la teoría de la relatividad se concluye que las leyes de la Física Clásica no son universales.

Analicemos el movimiento relativo. Si un cuerpo se mueve a 40 m/s hacia la izquierda, y otro se mueve

hacia la derecha a 60 m/s, entonces la velocidad relativa de uno de ellos con respecto al otro es de 100

m/s.

El cuerpo A se mueve con una velocidad de 100 m/s en relación con el cuerpo B, y

viceversa.

De acuerdo con la teoría de la relatividad, existe un límite para la velocidad relativa: la velocidad de la luz.

Esto significa que si A y B se mueven a la velocidad de la luz y en sentidos contrarios, la velocidad

relativa es la velocidad de la luz.

Los dogmas más comunes son los dogmas religiosos. Algunos son los siguientes:

1. Dios creó a los primeros seres humanos: Adán y Eva.

Así nos han enseñado, y para muchas personas esto es así y punto; no se discute. Actualmente, gracias

a la ciencia, puede vislumbrarse que la vida surgió de otra manera, por medio de un proceso evolutivo.

2. Dios creó la vida y sólo él la puede quitar.

Es evidente que cualquier ser humano le puede quitar la vida a otro ser humano; de hecho esto lo

observamos a menudo. Desgraciadamente, en nuestro país los asesinatos son comunes.

3. Los pecadores se van para el Infierno y los buenos se van para el Cielo.

No hay duda que la Biblia está llena de simbolismos. La existencia del Paraíso y el Infierno es simbólico.

Sin embargo, para las personas de escaso criterio, esta es una verdad irrefutable.

Actividad 2. Discutan en grupo otros dogmas religiosos.

Conceptos científicos primordiales: hipótesis, ley, teoría y modelo

Hipótesis. Una hipótesis es una suposición no probada. Sin embargo, una vez que se ha confirmado

varias veces, se convierte en ley.

Supongamos que alguien plantea la hipótesis siguiente: Dos cuerpos se atraen entre sí dependiendo de

sus masas y de la separación entre ellos: a masas mayores corresponde mayor atracción, y a separación

mayor corresponde menor atracción.

Si dicha persona, u otra, confirma varias veces la anterior suposición, entonces tal hipótesis pasa a ser

ley. La hipótesis anterior ya fue confirmada, de manera que se convirtió en la ley de la gravitación. Esta

ley se expresa así: La atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto

de las masas de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

Algunas hipótesis han necesitado muchos siglos para ser probada su validez o falsedad. Dos casos

particulares son del filósofo griego Aristóteles. Veámoslos.

A. V = 40 m/s B. V = 60 m/s

F

Supongamos que en el caso anterior el bloque se mueve con una velocidad constante al aplicarle la

fuerza F. Supongamos que el plano sobre el que se mueve es muy áspero; es decir que la fricción es muy

grande.

Supongamos ahora que el plano lo lijamos un poco, de manera que lo áspero disminuye. En este caso,

para conseguir la misma velocidad, necesitamos una fuerza menor que la anterior.

Si continuamos lijando el plano, disminuirá la fricción, de manera que la fuerza necesaria para alcanzar la

misma velocidad será menor.

Supongamos ahora que el plano está completamente liso. Es decir que no hay fricción. En este caso la

fuerza que necesitamos para mantener el bloque a la misma velocidad es de CERO. Es decir que no se

necesita fuerza alguna.

Con el ejercicio anterior estamos contradiciendo una hipótesis formulada por el antiguo filósofo griego,

Aristóteles. El sostenía que era necesaria una fuerza para mantener un cuerpo moviéndose a una

velocidad determinada.

También sostenía Aristóteles que un cuerpo cuyo peso es el doble de otro, caerá en la mitad de

tiempo. Para el caso, si un cuerpo de 10 Kg. cae en 8 segundos, un cuerpo de 20 kg caerá en 4

segundos. Fue necesaria la intervención de Galileo, muchos siglos después, para demostrar la falsedad

de esta hipótesis (ver CD)

Ley. En ciencias, una ley es una norma constante que rige el comportamiento de las cosas y

fenómenos.

Para el caso de la ley de la gravitación, se tiene que rige el comportamiento de dos cuerpos en función de sus masas y la distancia que los separa.

Los conocimientos científicos alcanzan su mejor expresión cuando se presentan en forma de leyes. Estas

pueden ser cualitativas o cuantitativas. Es cualitativa cuando se expresa mediante enunciados (como

en el caso anterior: La atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto

de las masas de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos). Es

cuantitativa cuando se expresa con ecuaciones. La ley de la gravitación se expresa cuantitativamente así:

F = G m1m2

d2

Teoría. Una teoría es un sistema de leyes.

La Teoría de la Relatividad está formada por un conjunto de leyes que

demuestran la unidad esencial de la materia y la energía, el espacio y el

tiempo, y la equivalencia entre las fuerzas de la gravitación y los efectos de la aceleración de un sistema.

En esta ecuación m1 y m2 son las masas

de los cuerpos, y d es la distancia que los

separa. G se conoce como constante gravitatoria.

En el lenguaje

coloquial se habla

de la ley del

embudo. Puede

aplicarse en una

repartición: se le da a alguien

justo lo que le corresponde,

mientras que a otro se le da

muchos más.

Galileo

F =

La teoría clásica del movimiento está formada por las 3 leyes de Newton:

1. Si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un objeto es cero, el objeto permanecerá en

reposo o seguirá moviéndose a velocidad constante (ley de inercia)

2. Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará.

3. Si un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este otro ejercerá también una fuerza sobre el primero.

Modelo. Un modelo es un esquema teórico, generalmente en forma matemática, que sirve para

comprender una realidad compleja.

Tanto las leyes como las teorías son modelos que pretenden explicar un fenómeno o un comportamiento

de la naturaleza. Sin embargo, debemos tener presente que los modelos son de naturaleza dinámica.

Esto significa que no son verdades absolutas o definitivas, ya que evolucionan a medida que se adquieren

nuevos conocimientos y surgen otros problemas por explicar.

Veamos un caso. La ley de la energía cinética (Ec) se expresa así: Ec = ½ m v 2. En esta ecuación m es

la masa y v es la velocidad. Para un cuerpo de 1 Kg y una velocidad tan grande como 290 000 m/s (2.9 X

105), la energía cinética (según la ecuación anterior) es: 4.2 X 10

10. Sin embargo, al aplicar la ecuación de

la teoría de la relatividad se tiene que la energía cinéticas es: 16.4 X 1010

. Observamos que la Ec casi se

ha cuadruplicado. Este es el verdadero valor, ya que con la velocidad la masa aumenta, de acuerdo con

la teoría de la relatividad. (Ver CD)

1.3 Clasificación del conocimiento científico. Las ciencias naturales: subdivisiones,

particularidades y nexos comunes.

En la antigüedad, debido a los escasos conocimientos existentes, los filósofos podían adquirir muchos

conocimientos en distintas áreas: Geometría, Lógica, Música, Teatro… Esto ya no es posible en la

actualidad, pues la información acumulada es inmensa. De aquí que un científico se especializa en una

rama de las ciencias, y más aún, en una subdivisión de esa rama.

En la actualidad el conocimiento científico se halla dividido de acuerdo a ciertos criterios. Augusto Comte

dividió las ciencias en auténticas e inauténticas. Las auténticas son las que presentan leyes, mientras

que las inauténticas no las presentan. Las ciencias auténticas se dividen en puras y aplicadas. Las puras

buscan conocer las leyes en sí mismas y por sí mismas, independientemente de las aplicaciones teóricas

y prácticas. Las aplicadas buscan la aplicación práctica del conocimiento científico.

También se dividen las ciencias en Formales y factuales. Son factuales: las ciencias sociales, las

ciencias de la conducta, las ciencias exactas y las ciencias naturales. Entre las ciencias naturales

tenemos la biología, la física y la química.

Biología. Cada ciencia, a su vez, se subdivide en otras. La biología se subdivide con base en la

molécula, la célula, el organismo y la población. La biología molecular comprende la biofísica y la

bioquímica. Estrechamente ligada a la biología molecular está la biología celular, que estudia las

funciones de la célula, que es la unidad estructural básica de la materia viva. La biología de los

organismos estudia las funciones vitales de los organismos multicelulares: crecimiento y desarrollo

(biología del desarrollo) y su funcionamiento (fisiología). Las investigaciones sobre el cerebro y el sistema

nervioso (neurofisiología) y sobre el comportamiento animal (etología) son especialmente importantes. La

biología de poblaciones estudia primordialmente la evolución. Comprende, entre otras, la genética, que

estudia las variaciones genéticas en las poblaciones; y la ecología, que estudia las poblaciones en sus

hábitats naturales.

Física. La física estudia los componentes fundamentales del Universo, las fuerzas entre estos

componentes y los efectos de dichas fuerzas. Por ejemplo, estudia las sustancias que componen la luna,

su fuerza de atracción y el efecto de esta fuerza en la Tierra. Una rama de la física es la mecánica. La

mecánica se ocupa del movimiento de los objetos y de cómo estos objetos responden a las fuerzas.

Magnitudes importantes en la mecánica son el tiempo, el desplazamiento y la masa. Encontramos aquí la

cinemática, la estática y la dinámica. La cinemática estudia un cuerpo en movimiento sin importar la

causa que lo mueve. La estática estudia las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, pero que no logran

moverlo (permanece en reposo). La dinámica, en cambio, estudia las fuerzas que mueven un cuerpo.

Supongamos que las esferas E y F se encuentran separadas por 100 m. Si E tiene una velocidad v y F

tiene una velocidad 2v, ¿en qué punto chocarán? La respuesta la da la cinemática. Para el segundo caso

supongamos que A tiene una masa de 10 Kg y B de 15 Kg. Sin embargo el sistema no se mueve. ¿Qué

fuerza lo impide? La respuesta la da la estática. En su momento veremos que se debe a la fuerza de

fricción. En el mismo caso puede ocurrir que el sistema esté en movimiento, ¿con qué fuerza se mueve el

sistema? La respuesta la da la dinámica

Otra rama de la física es la termodinámica. La termodinámica describe y relaciona las propiedades físicas

de la materia y sus intercambios energéticos.

Química. Esta ciencia natural está íntimamente ligada con la física y la biología. Se encarga de

estudiar la composición, estructura y propiedades de las sustancias, de sus interacciones y de los efectos

producidos sobre ellas por la energía. Muy propio de la química son las reacciones químicas. Estas se

producen cuando 2 o más sustancias reaccionan para formar nuevas sustancias. Por ejemplo, al

reaccionar el sodio con el cloro se produce el cloruro de sodio. El cloruro de sodio es la sal común o sal

de mesa (la que le echas al mango tierno). Dos ramas importantes de la química son la química

inorgánica y la química orgánica. La química inorgánica estudia las reacciones y propiedades de los

elementos químicos y sus compuestos, excepto el carbono y sus compuestos. Del carbono y sus

compuestos se encarga la química orgánica. Una rama muy importante de la química es la química

analítica, que se subdivide en 2 áreas: química cualitativa y química cuantitativa. La primera identifica los

componentes desconocidos en una sustancia, y la segunda identifica las cantidades relativas de dichos

componentes.

A

B

E F

Supongamos que en el cilindro hay 500 gramos de agua a 100°C. Si le agregamos 200 gramos de

agua a 5°C, la mezcla finalmente llegará a una temperatura inferior a 100°C. ¿A qué temperatura

llegará?... Y si en vez de agua le agregamos 200 gramos de alcohol siempre a 5°C, ¿a qué

temperatura llegará la mezcla? La temperatura es única en cada caso. Esto es así porque las

propiedades del agua son diferentes a las del alcohol. La respuesta a este problema lo da la

termodinámica.

Actividad 3. Investiga qué era la alquimia.

Principios que unifican las ciencias naturales. Existen ciertos principios que unifican las ciencias

naturales. Tales son los conceptos de materia, equilibrio, cambio, diversidad y sistemas. En toda

ciencia natural encontramos estos elementos.

Equilibrio. Puede definirse el equilibrio como un estado en el cual no se dan cambios a lo largo del

tiempo. Veamos algunos ejemplos.

Equilibrio térmico. Por ejemplo, si introducimos una barra de metal a 200 °C en un balde de agua a

10 °C, ocurrirá que, gradualmente, la barra se enfriará y el agua se calentará. Llegará un momento en el

que la barra ya no se enfriará y el agua ya no se calentará. En tal momento se ha alcanzado el equilibrio

térmico del sistema barra-agua.

Equilibrio mecánico.

Sobre el bloque del esquema actúa una fuerza que provoca que la velocidad cambie constantemente. En

esas circunstancias, el sistema no está en equilibrio, pues se observan cambios de velocidad. Si en

determinado momento aplicamos una segunda fuerza igual a la anterior, pero de sentido contrario, el

bloque ya no variará su velocidad. Mientras la velocidad del bloque sea constante (no varíe), el sistema

está en equilibrio mecánico.

Equilibrio químico. En una reacción química puede suceder que las sustancias A y B reaccionen para

producir C y D (reacción directa). A su vez, C y D reaccionarán para producir A y B (reacción inversa).

Con el paso del tiempo se van agotando A y B y aumentan C y D. Sin embargo llegará un momento en el

que C y D reaccionarán para producir A y B a la misma velocidad que la reacción directa. En tal momento

se tiene un equilibrio químico.

Actividad 4. Investigar qué es equilibrio biológico y poner ejemplos.

Materia. Materia es, en general, todo lo que ocupa un espacio: una célula, un átomo, un planeta, una

serpiente, una flor…

Diversidad. La diversidad puede tomarse como variedad: distintas cosas. En biología la diversidad

(biodiversidad) es muy evidente: de un mismo animal se conocen distintas especies y subespecies. De

algunos insectos se conocen cientos de especies, mientras que del elefante sólo existen 2: el asiático y el

africano.

1.4 Relaciones entre ciencia, tecnología y sociedad.

Es evidente que ciencia, tecnología y sociedad están muy relacionadas. La tecnología es el proceso por el

cual los seres humanos diseñan herramientas y máquinas. La ciencia es el conocimiento objetivo de un

fenómeno (ciencia pura). Cuando la ciencia sirve de base para crear la tecnología, decimos que se trata

de ciencia aplicada. La ciencia aplicada busca la aplicación práctica de los conocimientos científicos. Por

lo tanto, ciencia aplicada y tecnología están íntimamente relacionadas.

Una pregunta muy importante es la siguiente: ¿es necesario el conocimiento científico para que surja la

F B

F

tecnología?... La respuesta es NO. A partir del conocimiento científico puede surgir la tecnología o la

máquina; pero también puede surgir la máquina de forma intuitiva, de manera que la ciencia

posteriormente se encarga simplemente de interpretar el fenómeno (lo que puede mejorar la máquina).

Se intuye que al acercar la cuña a la piedra, será más fácil moverla. Con base en esta intuición se aplican

las palancas, y no es necesario conocer las ecuaciones del movimiento rotacional. En este caso, surgió

primero la tecnología y luego el conocimiento científico.

Después de siglos de utilizar las palancas, contamos con ecuaciones que nos ayudan a calcular el valor

de la fuerza que necesitamos para mover un determinado peso conociendo la distancia a la que se halla

la cuña.

Otro ejemplo es el de la máquina de vapor. Esta máquina fue creada antes de que la termodinámica

explicara sus principios físicos. Sin embargo la tecnología de la astronáutica y de la energía nuclear, son

el resultado neto de la ciencia.

Otra pregunta que se plantea es la siguiente: ¿qué tanto beneficia la tecnología a la sociedad? Los

beneficios son evidentes: transporte rápido, procesadores de alimentos, calefacción, medicinas, equipos

médicos, medios de comunicación… Sin embargo, no se puede negar que la máquina sustituye el trabajo

de muchas personas, con lo que se agudiza el desempleo. Pero sin duda lo más dañino para la sociedad

es el mal uso que se hace de la tecnología. La tecnología también permite desarrollar armas de

destrucción masiva. Debemos, pues, tomar conciencia que lo bueno o lo malo de la tecnología depende

del uso que se le dé. Por lo tanto, la sociedad debe influir en la ciencia y la tecnología, buscando que se

haga de ellos el mejor uso en beneficio de la humanidad.

La ingeniería genética, por ejemplo, consigue alterar la dotación genética, produciendo organismos

transgénicos. Mediante la ingeniería genética se consigue crear animales que crezcan con mayor rapidez,

que sean más resistentes a las enfermedades o alcancen tamaños mayores: una papa transgénica puede

alcanzar el doble de su volumen regular. Sostienen algunos que consumir productos transgénicos es

dañino para la salud. Sin embargo no se puede negar su beneficio para la alimentación de las

sociedades. Pero puede ocurrir que a algún científico se le ocurra hacer pruebas transgénicas para crear

virus mortales y utilizarlos en contra de la sociedad. En tal caso la tecnología se vuelve dañino para el ser

humano.

Actividad 5. Investiga qué peso se debe colocar en el punto P del diagrama para que el sistema se

mantenga en equilibrio.

F

cuña

palanca

piedra Observemos este

esquema

Resumen del capítulo. Un hecho ha sido empíricamente comprobado, no así un evento. A diferencia de la creencia, el conocimiento científico es una forma de conocer la realidad de una manera racional, sistemática y comprobable. Tiene como características ser crítico (trata de distinguir lo verdadero de lo falso), verificable (otros investigadores pueden contrastarlo por diversas técnicas), sistemático, objetivo (es válido para todas las personas), comunicable, legal (explica la realidad mediante leyes) y falible (es

posible mejorarlo). Además, el conocimiento científico surge al indagar el hecho mediante un análisis disciplinado y ordenado; no así el simple conocimiento. Además se constituye o expresa mediante axiomas (proposición clara que no necesita demostración) y postulados (proposición que se acepta como verdadera, aunque no puede probarse) que se toman como verdaderos. Por su parte, el dogma es una proposición que se tiene por firme y cierta y como principio innegable, y puede ser científico (Las leyes de la física son universales) o religioso (Dios creó a los primeros seres humanos: Adán y Eva).

Conceptos científicos primordiales son Hipótesis, ley, teoría y modelo. Una hipótesis es una suposición no probada. Sin embargo, una vez que se ha confirmado varias veces, se convierte en ley, que es una

norma constante que rige el comportamiento de las cosas y fenómenos. Una ley puede ser cualitativa (se expresa mediante enunciados) o cuantitativa (se expresa con ecuaciones). Una teoría es un sistema de leyes; y el modelo es un esquema teórico, generalmente en forma matemática, que sirve para comprender una realidad compleja. Debemos tener presente que los modelos no son verdades absolutas o definitivas, pues evolucionan.

Las ciencias están divididas en puras (buscan conocer las leyes en sí mismas) y aplicadas, que buscan la aplicación práctica del conocimiento científico. También se dividen en Formales y factuales (ciencias

sociales, las ciencias de la conducta, las ciencias exactas, ciencias naturales) Entre las ciencias naturales tenemos la biología, la física y la química. La biología se subdivide con base en la molécula, la célula, el organismo y la población. La física estudia los componentes fundamentales del Universo, las fuerzas entre estos componentes y los efectos de dichas fuerzas. Una rama de la física es la mecánica. La

mecánica se ocupa del movimiento de los objetos y de cómo estos objetos responden a las fuerzas. Incluye la cinemática, la estática y la dinámica.

La química es una ciencia natural ligada con la física y la biología. Se encarga de estudiar la

composición, estructura y propiedades de las sustancias, de sus interacciones y de los efectos producidos sobre ellas por la energía. Dos ramas importantes de la química son la química inorgánica y la química orgánica. La química inorgánica estudia las reacciones y propiedades de los elementos químicos y sus

compuestos, excepto el carbono y sus compuestos. Del carbono y sus compuestos se encarga la química orgánica. Una rama muy importante de la química es la química analítica, que se subdivide en 2 áreas:

cualitativa y cuantitativa.

Los conceptos de materia, equilibrio, cambio, diversidad y sistemas los encontramos en las ciencias

naturales, por lo que las unifican. Cuando hay equilibrio no se dan cambios a lo largo del tiempo. La materia es, en general, todo lo que ocupa un espacio. La diversidad puede tomarse como variedad:

8 cm

4 cm

P

10 Kg

distintas cosas.

Ciencia, tecnología y sociedad están muy relacionadas. Cuando la ciencia sirve de base para crear la tecnología, decimos que se trata de ciencia aplicada. La ciencia aplicada busca la aplicación práctica de

los conocimientos científicos. A partir del conocimiento científico puede surgir la tecnología o la máquina; pero también puede surgir la máquina de forma intuitiva, de manera que la ciencia posteriormente se encarga simplemente de interpretar el fenómeno. La tecnología beneficia a la sociedad: transporte rápido, procesadores de alimentos, calefacción, medicinas, equipos médicos, medios de comunicación… Pero puede ser dañina para la sociedad si hay mal uso: armas de destrucción masiva.

2. Los caminos que la ciencia sigue: métodos científicos.

2.1 Cómo surge y qué es un método científico.

La necesidad de conocer su entorno ha estado siempre presente en el ser humano. En su afán de

conseguirlo ha probado, a lo largo de la historia, diferentes formas. Después de pruebas sucesivas,

finalmente el ser humano cuenta con una herramienta para conocer la naturaleza: el método científico.

Incluye este método las técnicas de observación, reglas para el razonamiento y la predicción, ideas sobre

la experimentación planificada y los modos de comunicar los resultados experimentales y teóricos. El

método científico no es una receta rígida ni segura, por lo que es bueno tomar en cuenta el papel de la

intuición en las ciencias. Esto no significa abandonar el método científico.

2.2 En qué postulados se basan los métodos científicos.

En su oportunidad afirmamos que un postulado es una proposición que, aunque no puede ser probada,

se acepta como verdadera, pues es necesaria para fundamentar posteriores razonamientos. La ciencia se

vale de algunos postulados para fundamentar ciertos razonamientos. Conozcamos los postulados básicos

de la ciencia.

La naturaleza existe. La naturaleza tiene existencia propia. Un árbol existe por sí

mismo, no porque esté en nuestra conciencia. Si los humanos se extinguieran, el árbol

continuaría en su lugar.

La naturaleza se puede conocer. Mediante el uso de la razón es posible conocer la

naturaleza. Quizás nunca lleguemos a conocerla plenamente, pero con los adelantos científicos la conocemos mejor cada día. Los alquimistas pensaron que era posible convertir el plomo en oro; pero ellos desconocían la estructura del átomo. Ahora conocemos la estructura del átomo y, además, contamos con equipos para bombardear su núcleo, de manera que ya es posible convertir el plomo en oro.

La naturaleza presenta regularidad. Gracias a esta regularidad es posible estudiar la materia que se

halla a años luz de la Tierra. Por ejemplo, un átomo de aluminio posee 13 electrones en la Tierra y en cualquier parte del Universo. Así mismo, será atraído por un imán de la misma forma en cualquier parte que se encuentra. El fuego fundirá al aluminio en cualquier parte. Y 2 cuerpos se atraerán mutuamente de acuerdo con la ley de la gravitación (todo considerando las mismas condiciones).

Los fenómenos se relacionan causalmente. Esto significa que una misma causa genera siempre el mismo efecto. Veamos un ejemplo.

Objetivos conceptuales. Comprender qué es un método científico y los tipos de métodos que existen.

Objetivos procedimentales. Saber aplicar un método científico determinado dependiendo del fenómeno a estudiar.

Objetivos actitudinales. Valorar el método científico como una herramienta necesaria para conocer la verdad.

Si en las mismas condiciones se suelta la esfera del esquema (causa), esta recorrerá siempre la misma distancia (efecto). Si en alguna ocasión la distancia recorrida varía, entonces es porque se ha modificado la causa (la causa no es la misma) ¿Cómo podemos modificar la causa?... Soltando la esfera de otra posición, modificando la aspereza en algún punto del recorrido o de la esfera, variando el ángulo de inclinación del plano inclinado…

Actividad 6. Se deja caer una esfera de hule desde 2 metros sobre una tabla pulida. Al rebotar

alcanza una altura de un metro. Sin embargo hubo una ocasión en la que no alcanzó tal altura. Expresen con claridad la causa y el efecto. Además, mencionen algunas modificaciones que hayan hecho variar el efecto.

El conocimiento científico es verificable. La forma de verificación más utilizada es la comprobación

experimental. Supongamos que alguien sostiene que al dejar caer un cuerpo (una esfera de acero) desde 44 metros tardará en caer 3 segundos. Si alguien le pide que lo demuestre, entonces buscará una altura tal y soltará el cuerpo varias veces, de manera que no quepa duda. De acuerdo con la ley gravitacional, efectivamente el cuerpo tardará 3 segundos en tocar el suelo.

En la antigüedad, el filósofo Aristóteles sostenía que al dejar caer 2 cuerpos, el más pesado llegaría antes. Esta curiosidad intelectual tardó casi 2000 mil años en resolverse. Fue necesaria la intervención de Galileo para demostrar la falsedad de esta hipótesis.

2.3 Algunos tipos de métodos científicos.

Método de casos. Este método consiste en interpretar un caso particular, partiendo de la experiencia

de otros casos de la misma naturaleza.

Alguien escribió lo siguiente: Los pueblos que olvidan su historia están condenados a cometer los mismos

errores. Esto significa que al olvidar nuestra historia, no podremos aplicar la experiencia de casos

anteriores a un caso particular presente. Sin embargo, si recordamos nuestra historia, entonces podremos

aplicar la experiencia de un caso pasado a uno presente similar. En Latinoamérica han sido comunes los

golpes de estado y las guerras civiles, sin embargo no han resuelto problemas tan graves como la

corrupción y la miseria. Al aplicar el método de casos, nuestra experiencia nos hará entender que los

golpes de estado y las guerras civiles no son la solución. En nuestras elecciones, algunos políticos

aplican este método satisfactoriamente. Saben que nuestra gente, en ocasiones anteriores, se ha dejado

influenciar fácilmente por la propaganda en los medios de comunicación; entonces, para nuevas

elecciones, hacen uso masivo de tales medios. Es decir, están aplicando el método de casos.

Una frase que engloba de alguna manera este método es: Así han reaccionado antes; por lo tanto,

seguramente así reaccionarán en esta ocasión.

Método estadístico. Este es un método interesante, y muy aplicable a fenómenos sociales. El método

estadístico nos permite predecir el comportamiento de una población estudiando una muestra

estadística de esa población. Por ejemplo, estudiando una muestra de 2000 personas mediante

encuestas, podemos predecir qué candidato ganará las elecciones, cuál es el mayor problema que

aqueja a nuestras sociedad, cuántas personas adolecen de una determinada enfermedad…

Es bueno aclarar el concepto muestra estadística. Si nosotros tomamos las 2000 personas del caso

anterior sólo en San Salvador, entonces no estamos ante una muestra estadística, pues la opinión de San

Salvador no es representativa de todo el país. Además, en ciertos sectores las tendencias políticas están

reconocidas. Supongamos que alguien desea conocer el porcentaje de personas que consume alcohol.

Para conseguirlo realiza una encuesta un sábado en restaurantes. Evidentemente concluirá que casi

todos (o todos) consumen alcohol. Su conclusión es errónea debido a que no supo elegir la muestra

estadística. Definitivamente, al realizar una encuesta, elegir la muestra estadística resulta bastante

complejo.

No olvidemos que ningún método es seguro. Por lo general los valores arrojados por una encuesta se

aproximan al valor real sólo en la medida en que ha sido realizada cuidadosamente.

Es oportuno aclarar el término encuesta censal. En una encuesta censal son encuestados todos los

miembros de la población. Es evidente que una encuesta censal se aplica a poblaciones pequeñas:

empleados de una fábrica, alumnos de un colegio, padres de familia de una colonia… Además, esta

encuesta arroja un valor real.

Actividad 7. Realiza una encuesta censal en tu centro de estudio para determinar cuántos perros,

gatos, loros y/o tortugas existen en los hogares de los estudiantes.

Método inductivo. Este método es fundamental en las ciencias naturales. Mediante este método

podemos generalizar a partir de un caso particular. Es decir que el estudio de un caso particular puede llevarnos a elaborar una ley general. El fundamento es que si algo se repite varias veces, se repetirá siempre bajo las mismas condiciones. El número de observaciones que se hagan es determinante para acertar.

Un ejemplo hipotético (imaginario) explicará este método. Supongamos que recibes un cuerpo extraño a 0°C y con la capacidad de alargarse con la temperatura. Resulta que a 5 °C aumenta 1 cm por cada metro de longitud de dicho cuerpo, a 10 °C aumenta otro cm, a 15 °C aumenta otro cm, y así sucesivamente. Tú repites el experimento varias veces, manteniendo las mismas condiciones. A partir de este caso particular, tú puedes enuncia la siguiente ley: Este material aumenta su longitud en razón de 1 cm por cada metro por cada 5°C.

Dicen que Cristóbal Colón concluyó que la Tierra era redonda al observar que los barcos, al acercarse a la playa, mostraban primero la parte más alta y luego las partes bajas. También se cree que Newton llegó a la ley de la gravitación observando la caída de una manzana. Arquímedes descubrió la ley de la hidrostática al comprobar que el agua se desplazaba mientras se bañaba. Benjamín Franklin elevaba cometas con su hijo bajo la lluvia, y pudo confirmar que estaban cargadas de electricidad, lo cual le sirvió para inventar el pararrayos. Aristóteles no fue muy afortunado al afirmar que un cuerpo más pesado cae antes que uno menos pesado. Su gran error fue no hacer las observaciones necesarias.

Método deductivo. Este método es la contraparte del anterior. Es la aplicación de lo general a lo

particular.

Consideremos la siguiente ley: Todo cuerpo menos pesado (denso) que el agua, flotará en el agua. Supongamos dos cuerpos: A y B. A es más pesado que el agua y B es menos pesado. ¿Qué ocurrirá al colocarlos sobre el agua? Al aplicar la ley a estos 2 casos particulares concluimos que: el cuerpo A se hundirá y el cuerpo B flotará.

¿Qué ocurrirá con las cargas siguientes?

Método de analogía. Mediante este método se llega a una conclusión observando la analogía entre 2

fenómenos. Si 2 fenómenos presentan varias características en común, se puede concluir que las otras características también son comunes. En medicina es muy aplicable, pues se puede concluir que 2 personas adolecen de la misma enfermedad si presentan los mismos síntomas. Desde luego que la analogía es más efectiva cuanto mayor son las características observables. Un médico no puede concluir que una persona tiene neuritis, por ejemplo, sólo porque le duele la cabeza.

2.4 El Método experimental.

Este método se basa en el estudio de un fenómeno mediante la experimentación (base de este método) bajo condiciones controladas. Es muy aplicado en algunas ciencias naturales.

La experimentación es quizás la etapa más importante del método científico. En la experimentación, el

fenómeno de estudio se somete a ciertas variables, las cuales pueden causar cambios en los resultados

del experimento. Son tres las variables: independiente, dependiente y controlada. La variable

+ Estas cargas se atraerán, ya que una ley

establece que cargas opuestas se atraen. Y,

efectivamente, aquí tenemos una carga positiva y una negativa.

independiente se modifica para averiguar si tal modificación provoca o no cambios en las otras variables.

La variable dependiente varía conforme a las modificaciones efectuadas en la variable independiente. La

variable controlada es la que no varía durante todo el experimento.

Todo experimento debe repetirse varias veces, lo que garantiza que el resultado obtenido no sea

producto de la casualidad.

Existe en todo experimento un testigo, el cual no se somete a modificaciones y que se utiliza para

comprobar los cambios que se producen.

Todo experimento debe ser reproducible. Esto significa que otro experimentador puede repetirlo, lo que

se facilita con un buen planteamiento y descripción del fenómeno. La descripción puede hacerse

mediante tablas, gráficos y ecuaciones.

Una hipótesis confirmada se puede transformar en una ley científica que establezca una relación entre

dos o más variables.

Ejemplo 1. Utilizando el método experimental se quiere averiguar cómo varía la posición con relación al

tiempo de un cuerpo que se deja caer libremente.

Solución.

Ya sabemos que todo cuerpo que cae está sometido a la gravedad de la Tierra (g), la cual es de 10 m/s2

(en realidad es de 9.8) Por lo tanto 10 es la variable controlada. La variable independiente será el tiempo, y la variable dependiente será la posición o desplazamiento. Partiremos de la hipótesis que la variación no es lineal.

Utilizaremos una esfera de acero que soltaremos desde un edificio muy alto. Ciertos equipos nos darán la posición de la esfera para cada uno de los tiempos. Además, repetiremos el experimento cinco veces para evitar que un resultado sea producto de la casualidad. Como testigo utilizaremos la primera medición.

Se ha realizado el experimento para los tiempos siguientes: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 segundos (s) Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

Tiempo(t) Desplazamiento (y)

1 5

2 20

3 45

4 80

5 125

6 180

Planteemos la ecuación siguiente:

Desplazamiento: (y) = k t2

K resulta ser 5, que es la mitad de la gravedad: 10/2.

Se ha confirmado la hipótesis.

Por lo tanto la variación del desplazamiento con el tiempo de un cuerpo que cae libremente se expresa con la siguiente ley:

y = ½ g t2

Actividad 8. Una persona que estudió trigonometría hace muchos años, desea averiguar si la función

seno es la misma que la coseno. Para conseguirlo toma mi calculadora y le saca el seno y el coseno a

Al graficar los datos obtuvimos una curva de comportamiento cuadrático. Esto confirma nuestra hipótesis de que la variación no es lineal. A la vez modificaremos la hipótesis: La variación del desplazamiento con el tiempo de un cuerpo que cae es cuadrática. Trabajemos con esta hipótesis.

45°. El dato obtenido es el mismo en ambos casos: 0.7071. El concluye: la función seno es la misma

coseno. Sin embargo la verdad es que son distintas. Compruébalo tú con tu calculadora tomando los

valores de 30°, 40°, 50° y 70°. ¿A qué se debió el error de la persona del experimento?

Actividad 9. Una persona quiere comprobar que una cuadrática tiene dos raíces. El resuelve la

ecuación siguiente: X2 + 4X + 4. Sólo encuentra una raíz: 2. El concluye que una ecuación cuadrática sólo

tiene una raíz. Demuéstrale tú que son 2 las raíces y explícale cuál fue su error.

Actividad 10. Cinco estudiantes de física desean encontrar una ley para calcular la aceleración de un

cuerpo conociendo su desplazamiento y su velocidad en cada punto desde el arranque. Se plantean 3

hipótesis:

1. La aceleración la determina el cuadrado de la velocidad dividida por el desplazamiento.

2. La aceleración la determina el cuadrado de la velocidad dividida por el doble del

desplazamiento.

3. La aceleración la determina el doble del cuadrado de la velocidad dividida por el

desplazamiento.

Para comprobar cada hipótesis cuentan con un equipo que acelera una partícula y mide su velocidad (V)

para cada desplazamiento (d). Hacen una prueba con una aceleración de 2 m/s2. Calculan la velocidad

para los desplazamientos 2, 4, 6, 8 y 10 metros. Los resultados se muestran en la tabla siguiente:

d 2 4 6 8 10

V 2.828 4 4.898 5.656 6.324

Responde en cada caso:

1. ¿Cuál es la variable dependiente? R/. ________

2. ¿Cuál es la variable independiente? R/. ________

3. ¿Cuál es la variable controlada? R/. ________

4. ¿Cuál es la hipótesis verdadera? ________

5. ¿Es reproducible el experimento? Explica. R/. ________________________________________

6. Expresa la ley que determina la aceleración de un cuerpo en función de su velocidad y desplazamiento

en forma de ecuación. R/. ________

7. Debió repetirse el experimento pero cambiando un factor. ¿Qué factor? R/. ________

8. Aplicando la ley, calcula la aceleración de un cuerpo que arranca de cero para los casos siguientes:

a. La velocidad es 10 y el desplazamiento es 10 R/. _________

b. La velocidad es 20 y el desplazamiento es 50 R/. _________

c. La velocidad es 30 y el desplazamiento es 75 R/. _________

Resumen del capítulo.. El método científico es una herramienta para conocer la naturaleza. Incluye

técnicas de observación, reglas para el razonamiento y la predicción, ideas sobre la experimentación planificada y los modos de comunicar los resultados experimentales y teóricos.

Son postulados básicos de la ciencia: la naturaleza existe, la naturaleza se puede conocer, la naturaleza presenta regularidad, los fenómenos se relacionan causalmente (una misma causa genera siempre el mismo efecto), el conocimiento científico es verificable (mediante la comprobación

experimental).

Son tipos de métodos científicos: método de casos (interpretación de un caso particular partiendo de la experiencia de otros casos de la misma naturaleza); método estadístico (permite predecir el comportamiento de una población estudiando una muestra estadística de esa población); método inductivo (nos permite generalizar a partir de un caso particular); método deductivo (es la contraparte del anterior: es la aplicación de lo general a lo particular); método de analogía (nos permite llegar a una conclusión observando la analogía entre 2 fenómenos). El método experimental se basa en el estudio

de un fenómeno mediante la experimentación (base de este método) bajo condiciones controladas. Es muy aplicado en algunas ciencias naturales. En la experimentación, el fenómeno de estudio se somete aciertas variables, las cuales pueden causar cambios en los resultados del experimento. Son tres las variables: independiente, dependiente y controlada. La independiente se modifica para averiguar si tal

modificación provoca o no cambios en las otras variables. La dependiente varía conforme a las modificaciones efectuadas en la variable independiente. La controlada es la que no varía durante todo el experimento.

Todo experimento debe repetirse varias veces, lo que garantiza que el resultado obtenido no sea producto de la casualidad. Existe en todo experimento un testigo, el cual no se somete a modificaciones

y que se utiliza para comprobar los cambios que se producen.

Todo experimento debe ser reproducible: otro experimentador puede repetirlo, lo que se facilita con un

buen planteamiento y descripción del fenómeno. La descripción puede hacerse mediante tablas, gráficos y ecuaciones.

Una hipótesis confirmada se puede transformar en una ley científica que establezca una relación entre dos o más variables.

3. Objetos y procesos de medición.

Supongamos que tenemos una barra de aluminio, ¿qué le podríamos medir?... Le podemos medir su

temperatura, su altura, su volumen, su área, su masa, la temperatura a la que se funde… Para medir su

altura simplemente tomamos una regla o una cinta métrica. Pero… ¿qué proceso seguiríamos para medir

la temperatura a la que se funde? (Recuerda que fundir un metal es pasarlo al estado líquido).

En esta sección conoceremos algunos procesos para medir ciertas magnitudes.

3.1 ¿Qué podemos medir en la naturaleza?

¿Qué es una propiedad física de un cuerpo?... Es una característica que lo distingue de los demás

cuerpos. Por ejemplo: la masa, la longitud, el tiempo, el volumen, la altura, el área, la densidad, el punto

de fusión, el punto de ebullición, la temperatura, la presión, la dureza, la viscosidad, la volatilidad, el calor

específico…

Objetivos conceptuales. Comprender lo que es una propiedad física, la diferencia entre magnitud física y cantidad física, lo que

son las unidades fundamentales y derivadas, los componentes de un vector y el análisis dimensional.

Objetivos procedimentales. Que pueda hacer medidas utilizando una unidad patrón y conversiones entre unidades fundamentales

en los distintos sistemas. Así mismo, aplicar el análisis dimensional en los términos de una ecuación.

Objetivos actitudinales. Valorar la importancia de efectuar una medida, de hacer conversiones y análisis dimensionales.

¿Sabes tú cuál es el líquido que se congela a 0 °C, su densidad es 1 y su punto de ebullición es de 100

°C? Sabes muy bien que es el agua. Estas propiedades distinguen al agua de otras sustancias: no hay

otro líquido que se congele a 0 °C, de densidad 1 y de punto de ebullición 100 °C.

Expresamos el punto de congelamiento (fusión) del agua con un número: 0 °C. Cuando la

propiedad física puede expresarse con números (cuantificar) le llamamos magnitud física,

y el valor concreto asignado se llama cantidad física. Por lo tanto el punto de fusión del

agua es una magnitud física, y su cantidad física es 0 °C. Así mismo se tiene que la

longitud, la velocidad, la masa y el volumen son magnitudes físicas; mientras que 5 metros,

4 m/s, 3 gramos y 6 m3 son cantidades físicas. De otra manera: 5 metros es una cantidad

de longitud, y 3 gramos es una cantidad de masa.

¿Podrías tú cuantificar la belleza de una flor?... NO. No puedes porque no es una magnitud

física, aunque es una propiedad física. Puedes decir que una flor es más bella que otra,

pero no decir que su belleza es 8. Lo mismo ocurre con la textura de una tela.

En resumen tenemos que en la naturaleza sólo podemos medir las magnitudes físicas de las propiedades

físicas.

Actividad 11. Investiga la cantidad física de las siguientes magnitudes físicas: 1. Densidad y punto de

fusión del hierro. 2. Densidad y punto de fusión del mercurio. 3. Masas atómicas del azufre, el sodio, el

aluminio y el cloro. 4. Calores específicos del aluminio, agua y oro.

3.2 Clasificación de las magnitudes físicas.

Las magnitudes físicas, dijimos, son las que pueden expresarse con un número (junto con unidades).

También dijimos que tal número se llama cantidad física.

Las magnitudes físicas pueden ser fundamentales (básicas) o derivadas. También pueden ser vectores o

escalares. La cantidad física de una magnitud física se expresa con ciertas unidades que también pueden

ser básicas o derivadas.

Magnitudes físicas fundamentales y derivadas.

Algunas magnitudes físicas en mecánica son: desplazamiento, velocidad, aceleración, cantidad de

movimiento, trabajo, fuerza y potencia.

En la tabla siguiente se muestra cada una de estas magnitudes y sus unidades.

Magnitud física Unidades

Desplazamiento Longitud

Velocidad Longitud / tiempo

Isaac Newton es considerado uno de los más

grandes científicos de la historia. Junto al

matemático alemán Leibniz, es uno de los

inventores del cálculo. También resolvió

cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló

las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas

la ley de la gravitación universal.

Molécula de agua

H H

Aceleración Longitud / tiempo2

Cantidad de movimiento Masa-longitud / tiempo

Fuerza Masa-longitud / tiempo2

Trabajo Masa-longitud2 / tiempo

2

Potencia Masa-longitud2 / tiempo

3

¿Qué observas en la columna derecha?... Puedes darte cuenta que sólo encontramos las siguientes

magnitudes: masa, longitud y tiempo. Estas son las magnitudes fundamentales (unidades

fundamentales) en mecánica. De estas magnitudes se derivan todas las demás: velocidad, fuerza,

trabajo…

Una forma más fácil de diferencias las magnitudes fundamentales de las derivadas es la siguiente:

Magnitudes fundamentales: se expresan sólo con una unidad fundamental: metro, kilogramo o

segundo (libra, pie o segundo).

Magnitudes derivadas: se expresan con más de una unidad fundamental: kilogramo-metro/segundo.

Resumiendo: magnitudes fundamentales: masa, longitud y tiempo. Magnitudes derivadas: velocidad,

aceleración, potencia, trabajo…

Magnitudes físicas vectoriales y escalares

Es muy importante que entiendas qué es una magnitud escalar y qué es una magnitud vectorial. En el

transcurso de este libro trabajarás mucho con vectores. Trataremos de explicarte qué es una magnitud

vectorial. Para ello entablaremos la discusión siguiente.

discusión 1.

Observa el esquema de las 3 esferas. Las esferas A y B están estáticas; pero la esfera del centro (F) se

está moviendo a razón de un metro por minuto. ¿Cuál de las esferas (A y B) crees que golpeará F en su

movimiento? Señala la respuesta que consideres correcta.

1. Golpeará a A 2. Golpeará a B 3. Golpeará a una de las 2 4. No se sabe si habrá golpe.

En realidad no se sabe si habrá golpe, pues no sabemos hacia dónde se mueve F. Puede estarse

moviendo hacia A, hacia B, hacia arriba o hacia abajo. Te daremos una nueva información y trata de

encontrar la respuesta. La nueva información es la siguiente: Ahora se sabe que F se mueve en la

dirección (línea) que une a las esferas A y B. Señala la respuesta que consideres correcta.

1. Golpeará a A 2. Golpeará a B 3. Golpeará a una de las 2 4. No se sabe si habrá golpe.

Con esta nueva información podemos estar seguros de que F golpeará a una de las dos esferas: puede

ser A o puede ser B. Pero te daremos la siguiente nueva información: Ahora se sabe que F se mueve en

el sentido de A hacia B. Señala la respuesta que consideres correcta.

F A B

1. Golpeará a A 2. Golpeará a B 3. Golpeará a una de las 2 4. No se sabe si habrá golpe.

De acuerdo con esta nueva información no cabe duda que la esfera F golpeará a la esfera B, pues F se

mueve como si viniera desde A.

………………………………………………………………………………………………………………….....

De la discusión anterior aclararemos (desde hoy y para siempre) 2 conceptos; dirección y sentido. La

dirección nos remite simplemente a una línea que une 2 puntos; en cambio el sentido nos remite desde un

punto hacia el otro. Veamos un esquema.

En este esquema la dirección es AB; pero hay 2 sentidos: de A hacia B (hacia la derecha) y de B hacia A

(hacia la izquierda). Debe quedar claro que para toda dirección siempre habrá dos sentidos.

Después de todo lo anterior diremos lo siguiente: Una magnitud física es vectorial si posee magnitud,

dirección y sentido. Surge la pregunta: ¿Qué es un escalar?... Un escalar es una magnitud física que

sólo posee magnitud. Por ejemplo la masa y el tiempo. Sí decimos 5 kilogramos, hasta ahí llega todo.

No podemos preguntarnos hacia dónde se mueven esos 5 kilogramos.

Si un cuerpo se mueve con una velocidad de 5 m/s, tenemos nada más su magnitud: 5 m/s. Se debe

aclara el sentido: de A hacia B (según el caso). La dirección muchas veces se da en grados: 40° sobre la

horizontal, 60° a la izquierda de la vertical.

Actividad 12. En cada frase trata de encontrar si se habla de sentido o dirección.

a. Cayó la manzana ________________

b. Conduzco sobre la carretera Troncal del Norte ________________

c. El siempre toma el camino más corto ________________

d. Me enviaron un correo desde Guatemala ________________

e. Esa es la Ruta de las Flores ________________

f. Viajaré a Méjico el próximo año ________________

g. Ya tocamos fondo ________________

h. Yo me muevo entre la pobreza y la riqueza ________________

i. Esos hábitos te llevarán a la perdición ________________

3.3 La medición: un proceso de comparación.

A B

c Esa piedra me quebrará las tenazas. Tengo 2

opciones: correr como conejo o cambiarle el

sentido… Mejor corro, pues yo no soy Newton…

Pero tampoco soy conejo.

¡Tengo suerte de cangrejo!

Trata de encontrar cuántas veces cabe

este cuadrito en el rectángulo de la

derecha.

Cabe exactamente 8 veces. Veámoslo.

Al efectuar una medición estamos comparando una magnitud con otra de su misma especie que se ha

tomado como unidad.

Para nuestro caso, nuestra unidad ha sido el cuadradito, el cual cupo 8 veces en el rectángulo, que es la

magnitud que deseábamos medir. Si la unidad tomada (cuadradito) fuera de 5 m2, el rectángulo tendría

40 m2. En otras palabras: la medida del rectángulo sería de 40 m

2. Por lo tanto se tiene que la medida es

el resultado de la medición. Como se vio, la medida se representa con un número. La medición puede ser

directa o indirecta. En el caso de tomar el cuadradito y calcular cuántas veces cabe en el rectángulo se

ha hecho una medición directa; pero podemos calcular el área del rectángulo multiplicando el largo por el

ancho. En tal caso estaríamos haciendo una medición indirecta. En resumen se tiene que una medición es

directa si se usa un instrumento para obtener la medida; la medición es indirecta si se usa un instrumento

sólo para obtener ciertos datos que luego se tratarán matemáticamente para obtener la medida.

En el ejemplo del rectángulo, se tomó como unidad de medida el cuadrito; pero en física ya existen objetos

llamados unidades patrón, que se han fijado mediante convenios internacionales. Las unidades patrón

tienen la condición fundamental de ser invariables; sin embargo pueden variar de acuerdo a los avances

técnicos y científicos.

El metro patrón. El metro patrón fue definido en 1790 de la siguiente manera: El metro es la

cuarentamillonésima parte del meridiano terrestre. Con el tiempo, utilizando mejores instrumentos de

medición, se comprobó que el meridiano terrestre no tiene 40 millones de metros, sino un poco más.

Entonces, en vez de cambiar el metro, se redefinió de la siguiente manera: El metro es la distancia, a 0 °C,

comprendida entre 2 trazos marcados en una barra indeformable de platino iridiado que se conserva en la

Oficina Internacional de Pesas y Medidas de Sèvres, cerca de París. En la actualidad, la definición vigente

es la siguiente: El metro es la longitud igual a 1 650 763.73 longitudes de onda en el vacío, de la radiación

correspondiente a la transición entre los niveles 2p10 y 5d5 del átomo de criptón 86.

El kilogramo patrón. Así como en longitud, en masa tenemos el kilogramo patrón. El kilogramo se

definió como la masa de 1 decímetro cúbico de agua pura a 4 °C. Se fabricó un cilindro de platino que

tuviera la misma masa que dicho volumen de agua en las condiciones especificadas. Luego se descubrió

que no podía conseguirse una cantidad de agua tan pura ni tan estable como se requería. Por eso el

patrón primario de masa pasó a ser el cilindro de platino, que en 1889 fue sustituido por un cilindro de

platino-iridio conservado en París, cuya masa equivale a 1 decímetro cúbico de agua pura a 4 °C.

El segundo patrón. La rotación de la Tierra ha servido de base para medir el tiempo. En un principio el

segundo se definió como 1/86 400 del día solar medio, que es el tiempo de una rotación completa de la

Tierra sobre su eje en relación al Sol. Sin embargo, los científicos descubrieron que la rotación de la Tierra

no era lo suficientemente constante para servir como base del patrón de tiempo. Por ello, en 1967 se

redefinió el segundo como el tiempo en que ocurren 9 192 631 770 vibraciones de radiación del átomo de

cesio 133.

Si el cuadrito tuviera un área de 5 m2, este

rectángulo (que es la magnitud que

deseamos medir) tendría un área de 40 m2.

Lo que hemos hecho es comparar.

Actividad 13. Construyan, con cartulina u otro material, 1 metro cuadrado. Luego calculen cuántas

veces cabe en la cancha de básquet, en el piso del salón de clases u otra superficie. Luego calculen el

área de la superficie elegida multiplicando el largo por el ancho. ¿En qué caso efectuaron una medida

directa y en qué caso fue indirecta? Midan directamente la altura de un árbol o del techo, luego hagan la

medición indirectamente (por triangulación)

discusión 2. Inventemos tres unidades patrón el trin (equivalente a 1000 kilómetros), el sen

(equivalente a 10 segundos) y el kras (equivalente a 100 kilogramos) Respondamos:

a. Si un cuerpo se mueve a 5000 kilómetros por segundo, cuál es su velocidad en trines por sen.

b. Si un cuerpo se mueve a 2 trines por sen, cuál es su velocidad en kilómetros por segundo.

c. Si un cuerpo se mueve a 5000 kilómetros por segundo y su masa es de 300 kilogramos, cuál es su

cantidad de movimiento en kras-trin / sen (recuerda que la cantidad de movimiento es el producto de la

masa de un cuerpo por su velocidad). ________

d. Cuántos trines mide el diámetro de la luna (su diámetro es de 3476 Km)

e. Cuántos senes tiene el minuto y la hora. _____ _____

f. Cuántos metros tiene un trin. ________

g. Se sabe que la cuerda del esquema sólo soporta un peso de 480 kilogramos. Si le colocamos un peso

de 4.9 krases, ¿se romperá la cuerda?. Explica.

discusión 3. Supongamos que el luzol es la unidad de tiempo equivalente al tiempo que tarda la luz

solar en llegar a la Tierra. Calcula cuántos segundos tiene un luzol.

discusión 4. Supongamos que el escrí es la unidad de longitud equivalente a la altura del escritorio

del profesor o profesora. Calcula cuántos escrís de ancho tiene el salón de clase y cuántos escrís

cuadrados tiene el piso del salón. _______ ________

………… …………… ……………… …………… …………… …………… .………….

El pedómetro. Podómetro significa medidor de pasos. Es un auxiliar en distintas

actividades físicas. Los podómetros contemporáneos son computarizados y de gran

precisión. Con un pedómetro puedes contar tus pasos, tus pulsaciones, el tiempo de

ejercicio, la distancia recorrida y las calorías quemadas en función de tu peso

corporal. Si montas en bicicleta, puede medir la velocidad a la que lo haces.

El cuerpo humano y las medidas. En la Biblia aparecen algunas medidas

relacionadas con el cuerpo humano: el codo, el ancho de mano y el dedo. El codo equivalía a 3 anchos de mano y a 12 dedos, y 2 codos eran una vara.

Dentro de las medidas romanas antiguas encontramos el pie (29.57 cm), el dedo (1.85 cm), el palmo (7.4

cm), el codo (44.36 cm), el paso (147.9 cm) y la mano (36.96 cm)

Para los griegos, el pie equivalía a 30.8 cm, mientras que para los egipcios equivalía a 35.18 cm y para

los franceses equivalía a 32.8 cm.

Otra medida relacionada con el cuerpo humano es la pulgada (derivada del dedo pulgar). La pulgada

piramidal era muy similar a la pulgada inglesa. Mientras que la francesa del periodo 1692-1708 equivalía a

2.75 cm.

En nuestros días, en circunstancias como en juegos callejeros, hablamos de el jeme. El jeme es la

medida que dan los extremos de los dedos índice y pulgar extendidos al máximo; mientras que la cuarta

lo dan los dedos pulgar y meñique extendidos al máximo.

3.4 Unificando el lenguaje de las ciencias: el sistema internacional de de unidades (SI)

Sistemas de unidades:

Sistema Internacional, también llamado MKS, pues sus unidades fundamentales son el metro, el

kilogramo y el segundo.

Sistema cegesimal o cgs, cuyas unidades fundamentales son el centímetro, el gramo y el segundo.

Sistema técnico o terrestre, cuyas unidades fundamentales son el metro, el kilopondio y el segundo.

Sistema inglés, cuyas unidades fundamentales son el pie (ft), la libra (lb) y el segundo.

El MKS y el cgs son los sistemas más utilizados. Cuando se efectúan cálculos físicos, todas las unidades

deben corresponder a un mismo sistema, de manera que, cuando se tienen unidades de un sistema y

otro, se hace necesario hacer las correspondientes conversiones.

Unidades básicas en el Sistema Internacional.

Cantidad Unidad Símbolo

Longitud Metro m

Tiempo Segundo S

Masa Kilogramo kg

Cantidad de sustancia Mol mol

Corriente Amperio A

Temperatura Grado kelvin °K

Intensidad luminosa Candela cd

Al involucrar más de una unidad básica, obtenemos las unidades derivadas. Por ejemplo, en mecánica la

unidad de fuerza es el newton (N), cuyas unidades fundamentales son kg-m / s2. La unidad de trabajo es

el julio (J), cuyas unidades fundamentales son kg-m2/ s

2.

Múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos y submúltiplos designan cantidades mayores o menores que

la unidad fundamental. El prefijo indica si se trata de un múltiplo o un submúltiplo, y siempre son potencias

de 10. Prefijos de múltiplos: deca- (da), implica 10 veces; hecto- (h), implica 100 veces; kilo- (k), implica

1000 veces. Prefijos de submúltiplos: deci- (d), implica la décima parte; centi- (c), implica la centésima

parte; mili (m), implica la milésima parte. Como puede concluirse, las conversiones en estos casos se

reducen a multiplicar o dividir por una potencia de 10.

Para el metro se tienen las siguientes equivalencias.

Milímetro Centímetro Decímetro Decámetro Hectómetro Kilómetro

0.001 m 0.01 m 0.1 m 10 m 100 m 1000 m

Tablas similares se obtienen para el litro y el gramo.

Conversiones. Ya se dijo que al presentar las unidades de una magnitud física, todas deben

pertenecer al mismo sistema de unidades, por lo que se hace necesario efectuar las conversiones

pertinentes. Para efectuar estas conversiones necesitamos hacer uso de tablas de equivalencia.

La tabla siguiente presenta equivalencias al sistema internacional.

Unidad Símbolo Equivalencia Unidad Símbolo Equivalencia

Pie ft 0.3048 m Libra lb 0.453 kg

Pulgada plg 0.0254 m Onza oz 0.0283 kg

Fue el primero en demostrar que dos conductores paralelos

por los que circula una corriente en el mismo sentido, se

atraen el uno al otro, mientras que si los sentidos de la

corriente son opuestos, se repelen.

El científico francés André

Marie Ampère, es conocido

por sus importantes

aportaciones al estudio de la

electrodinámica. El amperio

(A), la unidad de intensidad

de corriente eléctrica, toma

su nombre de él.

Yarda yd 0.914 m Arroba @ 11.34 kg

Vara v 0.836 m Quintal qq 45.36 kg

Milla mi 1609 m Botella bt 0.00075 m3

Manzana mz 6988 m2

Galón gl 0.003785 m3

La clave de oro para las conversiones es multiplicar adecuadamente por la UNIDAD. Además

recordar que la UNIDAD elevada a cualquier potencia es siempre la UNIDAD.º

Ejemplo 2. Calcular cuántos metros hay en: a. 16.4 ft b. 11.96 v.

Solución.

a. 16.4 ft los convertiremos en metros. Formemos una unidad que al multiplicarla por 16.4 ft, elimine los ft

y deje vivos los metros.

Se tiene que: 1 ft = 0.3048 m (según la tabla anterior)

Por lo tanto 0.3048 m / 1 ft = 1 (LA UNIDAD)

Entonces tenemos que: 16.4 ft 0.3048 m

1 ft

(16.4 ft) (0.3048 m) / 1 ft = 5 m. Se han eliminado los ft.

b. 11.96 v. Para este caso la equivalencia es 1 v = 0.836 m 0.836 m / 1 v = 1

Entonces tenemos que: 11.96 v 0.836 m

1 v

(11.96 v) (0.836 m) / 1 v = 10 m. Se han eliminado las v.

Ejemplo 3. Calcular cuántas pulgadas hay en: a. 1 ft. b. 1.519 v.

Solución.

a. Queremos saber cuántas pulgadas tiene un pie. La tabla no nos da la equivalencia de pies a pulgadas,

por lo que resolveremos el problema en 2 pasos: pasando los pies a metros y los metros a pulgadas.

ft m plg

ft m

Apliquemos la tabla.

Al multiplicar los numeradores y dividir el

producto entre el producto de los

denominadores. Se eliminarán los ft.

Se eliminarán los ft y los m.

Quedarán vivas las pulgadas

pulgadas.

Se eliminan los ft

Se eliminan los metros

(1.519) (0.836) / 0.0254 plg = 50 pulgadas.

(83.66) (0.914)2

/ (0.836)2 v 2 = 100 v

2.

1 ft 0.3048 m 1 plg (0.3048) / (0.0254) plg = 12 pulgadas.

1 ft 0.0254 m

b. Convertiremos 1.519 varas a pulgadas. Procederemos como en el ejemplo anterior.

1. 519 v 0.836 m 1 plg

1 v 0.0254 m

Ejemplo 4. Calcular a. Cuántas varas cuadradas hay en 698.9 m2 b. Cuántas varas cuadradas hay en

83.66 yd2.

Solución.

a. Cuántas varas cuadradas hay en 698.9 m2

En estos ejemplos debemos tener presente que: 12 = 1

3 = 1

4…

Por lo tanto, como 0.836 m / 1 v = 1, entonces: (0.836 m) / (1 v) = (0.836 m)2 / (1 v)

2 = 1

2 = 1

698.9 m2. 1 v

0.836 m

Efectuemos las operaciones.

698.9 m2. 1 v 698.9 m

2 1 v

2

0.836 m 0.6989 m2

b. El cálculo de las varas cuadradas que hay en 83.66 yd2 requiere 2 pasos: pasar yardas a metros y

metros a varas (todo al cuadrado).

83.66 yd2 0.914 m 1 v

1 yd 0.836 m

Ejemplo 5. Calcular a. Cuántas botellas hay en 1 m3 b. Cuántos mililitros hay en 3.5314 ft

3.

Solución.

a. Cuántas botellas hay en 1 m3

2 Este exponente indica que estamos elevando al cuadrado

tanto el numerador como el denominador.

2

= = 1000 v2

2 2

m2 arriba y abajo se eliminan

Un pie tiene 12 pulgadas.

= 1 500 000 / (100 x 1000) kg-m / s2 = 15 kg-m / s

2

= 1333.3 botellas.

1 m3 1 bt

0.00075 m3

b. Cuántos mililitros hay en 3.5314 ft3. Un mililitro es 1 centímetro cúbico. Aquí será necesario elevar al

cubo. También debemos tener presente que el metro tiene 100 cm.

3.5314 ft3 0.3048 m 100 cm (3.5314) (0.3048)

3 (100)

3 cm

3 = 100 000 cm

3.

1 ft 1 m

Ejemplo 6. Un cuerpo de 5 000 gramos (g) se mueve con una aceleración de 300 cm / s2. Calcular su

fuerza en el sistema MKS, sabiendo que la fuerza (F)es el producto de la masa (m) por la aceleración (a).

Solución.

La fuerza es F = ma = 5 000 g (300 cm / s2) = 1 500 000 g-cm/s

2. Las unidades básicas están en el sistema

cgs, convirtámoslas al MKS.

1 500 000 g-cm 1 m 1 kg

s2 100 cm 1000 g

La unidad de fuerza en el sistema MKS se conoce como newton (N) Es decir que:

15 kg-m / s2 = 15 N.

Actividad 14. Efectuar las conversiones siguientes:

1. 2 m a dm _________ 2. 2m a cm _________ 3. 100 cm a dm _________

4. 5000 cm a m _________ 5. 6000 mm a m _________ 6. 8000 m a km _________

7. 0.0005 km a dm _________ 8. 0.000008 m a mm _________ ♣ 9. 32.8 ft a m _________

10. 10 m a ft _________ 11. 23.92 v a m _________ 12. 9.14 m a yd _________

13. 8045 m a mi _________ 14. 0.508 m a plg _________ 15. 20 plg a m _________

♣16. 2500 gr a kg _________ 17. 2.5 Kg a g _________ 18. 4.415 lb a kg _____________

19. 2.265 kg a lb _________ 20. 453 Kg a qq _________ 21. 453 kg a @ _________

22. 70.64 oz a kg _________ 23. 2 kg a oz _________ 24. 34940 m2 a mz _________

25. 5 mz a m2 _________ 26. 7.5 m

3 a bt _________ 27. 20 000 bt a m

3 _________

28. 7.57 m3 a gl _________ 29. 200000 gl a m

3 _________

Actividad 15. Efectuar las conversiones siguientes:

1. 180 plg a ft _________ 2. 30 ft a plg _________ 3. 500 plg a v ______________

4. 151.9 v a plg _________ 5. 548.55 ft a v _________ 6. 182.93 yd a v ____________

7. 1259.45 plg a yd _________ 8. 547.04 yd a cm _________ 9. 147.63 plg a cm __________

discusión 5. Completa la tabla siguiente:

1 Yarda 1 Vara 1 cm 1 plg 1 pie 1 metro

Yarda 1

3 3

Vara 1

Cm 1 100

Pulgada 1 12

Pie 1

Metro 1

Actividad 16. Efectuar las conversiones siguientes:

1. 1076 ft2 a m

2 _________ 2. 200 m

2 a ft

2 _________ 3. 4650 plg

2 a m

2 _________

4. 65.837 yd2 a m

2 _________ 5. 83.54 m

2 a yd

2 _________ 6. 200.3 v

2 a m

2 _________

♣7. 902.74 ft2 a v

2 _________ 8. 0.93 v

2 a ft

2 ____________ 9. 720 plg

2 a ft

2 _________

Actividad 17. Efectuar las conversiones siguientes:

1. 176.57 ft3 a m

3 _______ 2. 100 000 cm

3 a m

3 _______ 3. 24 409.5 plg

3 a m

3 __________

4. 59.9 v3 a m

3 _______ 5. 78.4 v

3 a yd

3

_______ 6. 5 184 plg

3 a ft

3 __________

Actividad 18. Resuelve cada uno de los casos siguientes:

1. Un móvil se desplaza 20 km en 14 minutos. Calcula la velocidad promedio del móvil en el sistema

MKS. R/. _____________

2. Un cuerpo de 100 quintales se desplaza a razón de 2 km por minuto. Calcula su cantidad de

movimiento en el sistema MKS (recuerda que la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la

velocidad: mv). R/. _____________

3. Un cuerpo se mueve con una fuerza de 150 000 g-cm/s2. Se desplaza 5 km. ¿Cuál es el trabajo

realizado por el cuerpo en el MKS? (el trabajo es el producto del desplazamiento por la fuerza: w = Fd)

R/. ________

discusión 6. Resuelvan cada uno de los casos siguientes:

1. En un tanque de almacenamiento se vierten las cantidades de agua siguientes: 30 m3 más 706.29 ft

3

más 25.67 v3. ¿Cuántos galones de agua se han vertido? R/. __________

2. Se tiene una pila de 1.2 m de largo, 90 cm de ancho y 80 cm de alto. Calcular cuántas botellas de

agua puede contener. R/. _________

3.5 Dimensiones y análisis dimensional.

Dimensiones. Las dimensiones de una cantidad son las unidades básicas (fundamentales) que la

forman. Por ejemplo, en las distancias, áreas y volúmenes encontramos dimensiones de longitud; en las

velocidades encontramos dimensiones de longitud y tiempo; y en las fuerzas encontramos dimensiones

de longitud, tiempo y masa. Convencionalmente las dimensiones se expresan con mayúscula y entre

corchetes:

Masa [M] Longitud [L] Tiempo [T] . Así tenemos:

Distancias: dimensiones de longitud: [L]. Ejemplos: cm, ft, km, yd…

Areas: dimensiones de longitud al cuadrado: [L2]. Ejemplos: m

2, cm

2, ft

2, km

2, yd

2…

Volúmenes: dimensiones de longitud al cubo: [L3]. Ejemplos: m

3, cm

3, ft

3, km

3, yd

3…

(algunos volúmenes reciben nombres especiales, como la botella, que equivale a 750 cm3 (cc), así mismo

tenemos el galón y el barril)

[T]

[L] Como puede verse, se eliminan los T2 y queda vivo sólo L, que

no es dimensión de velocidad. La ecuación es incorrecta.

Velocidades: dimensiones de longitud entre tiempo: [L]

Ejemplos: m/s, km/h…

Análisis dimensional. El análisis dimensional consiste en verificar si los términos de una ecuación

física son consistentes; es decir, si tienen las mismas dimensiones expresadas en igual forma.

Para el caso, en la ecuación 2m + 3k = 5p – 2b; m, k, p y b deben tener las mismas dimensiones,

expresadas en igual forma. Si m tiene [L]/[T], entonces p tendrá también [L]/[T]. Si p tuviera [L2]/[T] o

[T]/[L], la ecuación estaría incorrecta (sería inconsistente).

La tabla siguiente nos da las dimensiones de algunas cantidades físicas.

Magnitud física Dimensiones

Desplazamiento Longitud: [L]

Velocidad Longitud / tiempo: [L]/[T]

Aceleración Longitud / tiempo2: [L]/[T

2]

Cantidad de movimiento Masa-longitud / tiempo: [M][L]/[T]

Densidad Masa / longitud3: [M]/[L

3]

Fuerza Masa-longitud / tiempo2: [M][L]/[T

2]

Trabajo (energía) Masa-longitud2 / tiempo

2: [M][L

2

]/[T2]

Potencia Masa-longitud2 / tiempo

3: [M][L

2

]/[T3]

Ejemplo 7. Determinar cuál de las 2 ecuaciones está escrita dimensionalmente correcta:

I V = V0 + at

2 II V = V0

+ at

Solución.

I V = V0 + at

2 (V es velocidad, V0 es la velocidad inicial, a es aceleración y t es tiempo)

Se tienen las dimensiones siguientes:

V: [L]/[T] a: [L]/[T2] t: [T]

El producto at2 debe tener las dimensiones de V. Veamos:

[L][T2]

[T2]

II V = V0 + at

Se tienen las dimensiones siguientes:

V: [L]/[T] a: [L]/[T2] t:[T]

= at2:

[L] Como puede verse llegamos a dimensiones

de velocidad. La ecuación es correcta.

El producto at debe tener las dimensiones de V. Veamos:

[L][T]

[T2] [T]

Actividad19. En cada caso determina cuál es la ecuación dimensionalmente correcta (utiliza la tabla

anterior).

1. I. X = V0t + 0.5at II. X = V0t + 0.5at2 (X es desplazamiento)

2. I. V2 = V0

2 + 2at II. V

2 = V0

2 + 2aX

3. I. a = (V - V0)/ t II. a = (V - V0)/ t2

4. I. Ep = mah II. Ep = mah2 (Ep: energía potencial, h: altura)

5. I. Ec = 0.5 mVh II. Ec = 0.5 mV2 (Ec: energía cinética)

discusión 7. Resuelvan cada uno de los casos siguientes:

1. La ley de la gravitación afirma que la atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al

producto de las masas de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre

ellos. Matemáticamente:

G m1m2

d2

En esta ecuación G es la constante gravitatoria. Determina qué dimensiones tiene.

2. Sea la ecuación mvt = km + qv. Determina qué dimensiones tienen las constantes k y q (m es masa, v

es velocidad y t es tiempo).

3. La presión se calcula dividiendo la fuerza entre el área en la que actúa dicha fuerza. Por lo tanto

tiene las dimensiones siguientes: [M]/([T2][L]) Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta una

presión que viene dada por el producto de la densidad de la sustancia (D), la gravedad (g) y la

profundidad o altura (h) Es por esto que es muy frecuente expresar la presión en unidades de

longitud de la sustancia. Una unidad de presión muy común es el milímetro de mercurio. ¿Podríamos

sumar los milímetro de mercurio con los milímetro que mide la altura de tu pupitre?

Resumen del capítulo. Una propiedad física de un cuerpo es una característica que lo distingue

de los demás cuerpos: la masa, la longitud, el tiempo, el volumen, la altura, el área, la densidad, el punto de fusión, el punto de ebullición, la temperatura, la presión, la dureza, la viscosidad, la volatilidad, el calor específico… Cuando la propiedad física puede expresarse con números (es cuantificable) le llamamos magnitud física (velocidad, aceleración, fuerza), y el valor concreto asignado se llama cantidad física. Por lo tanto el punto de fusión del agua es una magnitud física, y su cantidad

física es 0°C. En la naturaleza sólo podemos medir las magnitudes físicas de las propiedades físicas. Las magnitudes físicas pueden ser fundamentales (básicas) o derivadas; vectores o escalares. La masa, la longitud y el tiempo son las magnitudes fundamentales en mecánica. De estas magnitudes se derivan

todas las demás: velocidad, aceleración, energía, fuerza… Las magnitudes fundamentales se expresan sólo con una unidad fundamental; mientras que las derivadas se expresan con más de una unidad

fundamental.

Una magnitud física es vectorial si posee magnitud, dirección y sentido (velocidad, aceleración, fuerza) Para cada dirección siempre hay 2 sentidos. Un escalar es una magnitud física que sólo posee magnitud (masa y tiempo).

La medida es el resultado de la medición. Una medición es directa si se usa un instrumento para obtener la medida; la medición es indirecta si se usa un instrumento sólo para obtener ciertos datos que

luego se tratarán matemáticamente para obtener la medida. Al efectuar una medición estamos comparando una magnitud con otra de su misma especie que se ha tomado como unidad; es decir que medir es comparar. Los objetos llamados unidades patrón, se han fijado mediante convenios internacionales. Las unidades patrón tienen la condición fundamental de ser invariables; sin embargo

pueden variar de acuerdo a los avances tecnológicos y científicos.

E l pedómetro (medidor de pasos), es un dispositivo que mide distintas actividades físicas: pulsaciones,

tiempo de ejercicio, distancia.

Muchas medidas antiguas se derivaban del cuerpo humano: el codo, el ancho de mano, el pie, la

pulgada y el dedo. El jeme y la cuarta son utilizados en algunos juegos en nuestro país.

= at:

Mercurio

F =

En la actualidad contamos con distintos sistemas de unidades: Sistema Internacional (MKS: metro, kilogramo y segundo); sistema cegesimal (cgs: centímetro, gramo y segundo); sistema técnico o terrestre;

sistema inglés (ft, lb, s).

El metro posee múltiplos y submúltiplos: km, hm, da, dm, cm, mm. El metro, y cualquier unidad de

longitud, tiene su equivalencia en otra unidad de longitud. Encontrar esta equivalencia es el proceso llamado conversión, para lo cual existen tablas. La clave para efectuar una conversión radica en

multiplicar adecuadamente por UNO. Las conversiones se efectúan en todo tipo de medida.

El análisis dimensional consiste en verificar si los términos de una ecuación física son consistentes; es

decir, si tienen las mismas dimensiones expresadas en igual forma. Por ejemplo, si en una ecuación un término tiene dimensiones de longitud al cuadrado, los demás términos también tendrán dimensiones de longitud al cuadrado.

4 Cuán confiables son las medidas

Si contáramos con un aparato para medir con exactitud la masa de una manzana, nos daríamos cuenta

que esa masa variaría con el tiempo. ¿Por qué? Sencillamente porque una manzana está perdiendo

humedad constantemente. En este caso la medida ha cambiado porque ha cambiado la masa. Sin

embargo, la medida puede variar por otras circunstancias. Una manzana tendrá una masa distinta según

la balanza en la que se le calcule. En este caso el error sería por el instrumento utilizado. Hay varios

factores que afectan las mediciones: ambientales, personales, metodológicas e instrumentales. Las

ambientales están relacionadas, muy frecuentemente, con la temperatura. Es probable que la

temperatura ambiental afecte el funcionamiento de un equipo. La humedad y la presión atmosféricas

también pueden afectar el funcionamiento de un instrumento. El error puede deberse también a fallas

humanas o personales: una persona que tenga problemas visuales, seguramente dará una medida

errónea. Las fallas metodológicas se deben al método utilizado en la medición. Las fallas instrumentales

se deben al instrumento utilizado; por ejemplo, si se utiliza un instrumento con defectos de fabricación.

4.1 La incerteza como estimación del error

Como no es posible conocer el error de una medida (pues sería necesario conocer su valor exacto),

debemos considerar la incerteza (i) como una estimación del error en las medidas. En otras palabras, la

incerteza expresa una aproximación al grado de error en toda medida.

Incertezas absoluta y relativa. Es apropiado en este punto que el estudiante tenga una idea clara de

lo que es un valor absoluto y lo que es un valor relativo. Supongamos que alguien se equivocó en 5

puntos, mientras que otro sólo en 2. Estos son los valores absolutos: 2 y 5. Podría creerse que quien se

equivocó en 5 puntos se equivocó más, pero esto se determinará conociendo los valores relativos.

Supongamos que quien se equivocó por 5 puntos, lo hizo en un total de 1000 puntos; mientras que quien

se equivocó por 2 puntos, lo hizo en un total de 100 puntos. Entonces se tienen los siguientes valores

relativos: (5/1000)x100 = 0.5 % y (2/100)x100 = 2 %. Se equivocó menos la persona que falló en 5

puntos.

En las incertezas también encontramos una absoluta y una relativa. La incerteza absoluta viene dada

por el valor numérico de la incerteza; mientras que la incerteza relativa es la relación entre la incerteza y

el valor de la medida.

Objetivos conceptuales. Identificar los factores que afectan una medición. Comprender qué es la incerteza y diferenciar los tipos.

Objetivos procedimentales. Poder calcular las incertezas relativas unitaria y porcentual; además, expresar un número en notación

científica. Explicar cómo se propagan las incertezas y la importancia de la incerteza relativa para el análisis.

Objetivos actitudinales. Considerar la importancia de trabajar con esmero para conseguir la mejor medida y la importancia de

expresar un número en notación científica. Valorar la importancia de la incerteza relativa en el análisis.

La incerteza relativa puede expresarse en forma unitaria (iru) o porcentual (irp) La incerteza relativa

unitaria se calcula dividiendo la incerteza absoluta entre la medida. La incerteza relativa porcentual se

calcula dividiendo la incerteza absoluta entre la medida y multiplicando por 100 (como en el caso anterior)

Podemos afirmar que una medida está correctamente expresada si se acompaña de su incerteza, como

en el caso que sigue: 25 m ± 0.2 m. Aquí se tiene que 25 m es la medida y 0.2 m es la incerteza absoluta.

Calculemos, para este caso, las incertezas relativas unitaria y porcentual.

iru = 0.2/25 = 0.008 irp = (0.2/25) X 100 = 0.8%

La expresión 25 m ± 0.2 m, nos indica que el valor real se encuentra entre 25 - 0.2 y 25 + 0.2. Es decir

entre 24.8 m y 25.2 m. En forma de intervalo: [24.8 m, 25.2 m]

Establecer la incerteza en las medidas resulta de mucha importancia para tomar ciertas decisiones en

campos como la salud, la seguridad, la economía o la política. Por ejemplo, nadie invertiría en un negocio

si el porcentaje de error en las ganancias es muy alto. Si, de acuerdo a las encuestas, un partido político

obtiene la medida 47% ± 5%, puede considerar que ganará y tomar decisiones en función de tal

resultado. Pero la medida 44% ± 3%, no le garantiza un triunfo. La medida lo que le dice es que, como

máximo, alcanzará en las elecciones un 47%. Si un termómetro da la medida 38°C ± 1.5°C, el médico no

puede establecer que hay fiebre, pues la temperatura real estaría en el intervalo [36.5°C, 39.5°C] Pero

con la medida 38°C ± 0.1°C, el médico sí puede establecer la condición de fiebre.

El simple valor de la incerteza (absoluta o relativa) no debe impulsarnos a considerarla buena o mala,

todo depende del fin que se persigue. Por ejemplo, si se trata de considerar la cantidad de gasolina que

gastaremos en llegar a Ahuachapán desde San Salvador, pocos nos interesa si son 100 km o 95 km. Sin

embargo, en medidas de carácter científico, un error del 0.001% puede ser demasiado grande, de manera

que puede resultar fatal en algunos casos. Es bueno recordar aquí el caso del metro patrón: el meridiano

terrestre, en un principio, se estimó en 40 millones de metros, luego, con equipos más exactos y precisos,

se calculó en 40 009 153. ¿Cuál es el error? Veámoslo.

40 009 153 – 40 000 000 = 9153 (9153/40 000 000)x100 = 0.022%. Este pequeño porcentaje es

demasiado elevado para establecer la medida exacta del metro patrón. En la actualidad el metro es la

longitud recorrida por una onda luminosa en 1/299 792 458 segundo.

Actividad 20. En cada caso calcula las incertezas relativas unitaria y porcentual. Expresa el intervalo

dentro del cual se encuentra el valor real. Determina en cuál de los 4 casos se ha trabajado de la mejor

manera.

1. 24 m ± 0.2 m ________________________ 2. 20 m ± 0.1 m ________________________

3. 140 m ± 1.2 m _________________________ 4. 75 m ± 0.3 m ________________________

Cifras significativas. Consideremos la medición de una barrita de oro efectuada con una regla

graduada en milímetros (mm).

Podemos estar seguros que la barrita mide más de 9 mm y menos de 10 mm. Si decimos que mide 9.5

mm, este nuevo dígito (5) es dudoso. Este número, 9.5, contiene las cifras significativas: el dígito seguro y

el dígito dudoso. Si agregamos un nuevo dígito, 9.58 por ejemplo, este nuevo dígito no tiene razón de ser,

no es correcto agregarlo.

Barrita de oro Regla

0 mm 2 4 6 8 10

. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Las cifras significativas son aquellas que tienen valor práctico, y sus dígitos expresan la exactitud con la

que se ha efectuado la medición. Las cifras significativas contienen todos los dígitos ciertos y el primer

dígito dudoso.

Notación científica. En las ciencias físicas suele trabajarse con medidas extremadamente grandes o

extremadamente pequeñas. Por ejemplo, la distancia recorrida por la luz en un una hora es

1 080 000 000 k m, en un año recorre 9 460 800 000 000 k m. La constante gravitacional, en la ecuación

newtoniana, es de 0.0000000000667 (en el MKS). Números muy grandes o muy pequeños requieren,

para ser expresados, de la herramienta matemática conocida como Notación Científica o Exponencial.

Un número expresado en notación científica presenta, a simple vista, su orden de magnitud. En resumen

se tiene que la notación científica nos sirve para expresar, en forma breve, números muy grandes o muy

pequeños; además nos presenta, a simple vista, el orden de magnitud (tamaño) del número.

Un número escrito en notación científica tiene la forma siguiente:

a. bcd… X10n

Es decir que tiene sólo un número en la parte entera, aparecen luego decimales y después una potencia

de 10 (10n

) El exponente n puede ser positivo o negativo. Si es positivo, el número es mayor que 10, y si

es negativo es menor que 10. Ejemplos.

2 X 108 5X10

20 1.45X10

14 4X10

– 8 4.543X10

- 15

En la expresión a. bcd… X10n

el exponente n nos indica el número de posiciones o dígitos que se ha

movido el punto: si es negativo, el punto se ha movido a la derecha, y si es positivo, se ha movido hacia la

izquierda.

No olvidemos que 103

= 1000, 104

= 10000, 105

= 100000… Por lo tanto 2X103

= 2000, 5X104

=

50 000…

Por último diremos que un número no siempre se expresa exactamente en notación científica. Por

ejemplo, 458 200 000 000 no es exactamente igual a 4.5X1011

, pero se toma como igual; en realidad es

exactamente igual a 4.582X1011

.

Ejemplo 8. Expresar en notación científica los números: a. 800 000 000 000 000 b. 85 430 000 000 000

c. 0.000 000 000 000 000 04 d. 0.000 000 000 000 000 000 457

Solución.

a. 800 000 000 000 000 Tenemos 12 ceros. Moveremos el punto (que no aparece) hasta el 8 (hacia la

izquierda). Tenemos: 800 000 000 000 000 = 8X1014

b. 85 430 000 000 000 Moveremos el punto (que no aparece) hasta el 8, por lo tanto lo moveremos 15

posiciones hacia la izquierda.

85 430 000 000 000 = 8.5X1013

= 8.54X1013

= 8.543X1013

c. 0.000 000 000 000 000 04 Moveremos el punto hasta el 4, por lo tanto lo moveremos 17 posiciones

hacia la derecha.

0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

Nueva posición del punto.

. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Por lo tanto: 0.000 000 000 000 000 04 = 4X10–17

d. 0.000 000 000 000 000 000 457 Moveremos el punto hasta el 4, por lo tanto lo moveremos 19

posiciones hacia la derecha.

0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 57

Por lo tanto: 0.000 000 000 000 000 000 457 = 4.5X10-19

= 4.57X10-19

Actividad 21. Expresar en notación científica cada número.

1. 7 000 000 000 000 ____________________ 2. 7 950 000 000 000 000 ___________________

3. 458 100 000 000 000 000 ________________ 4. 0.000 000 000 000 058 ___________________

5. 0.000 000 000 000 05874 _________________ 6. 0.000 000 000 000 000 452 _______________

7. 0.000 000 000 000 000 005 84 ______________ 8. 0.000 000 000 000 000 001 54 _____________

9. 0.000 000 000 000 000 001 8 _______________ 10. 0.000 000 000 000 000 015 _____________

discusión 8. Efectúa las operaciones indicadas, expresando la respuesta en notación científica, si lo

consideras necesario.

1. (5.84X1018

) (1.54X1012

) ________________ 2. (5.84X10–10

) (1.54X1019

) _______________

3. (5.84X10–7

) (1.54X1019

)/(5.84X108

) __________ 4. (5.84X1017

) (1.54X104

)/(5.84X10–5

) ________

4.2 Por qué y cómo se propagan las incertezas

Al efectuar cálculos con medidas que contienen incertezas, éstas se propagan. Esto significa que afectan

el resultado del cálculo.

Al sumar o restar mediciones con incertezas, las incertezas absolutas se suman. Por ejemplo, al sumar y

restar 12 ± 0.2 y 5 ± 0.4, obtenemos: 17 ± 0.6 (en la suma), y 7 ± 0.6 (para la resta) ¡Cuidado! Las

incertezas siempre se suman. Las medidas se suman o se restan, según el caso.

En la multiplicación, se multiplican las medidas y la incerteza resulta de multiplicar la suma de las

incertezas relativas unitarias por el producto de las medidas. Esta regla es aplicable en la división, sólo

que las medidas se dividen.

Ejemplo 9. Efectuar las operaciones siguientes 1. ( 4 ± 0. 2 ) ( 5 ± 0. 3 ) 2. ( 4 0 ± 0. 8 ) / ( 5 ± 0. 3 )

Solución.

1. ( 4 ± 0 . 2 ) ( 5 ± 0 . 3 )

Multipliquemos las medidas: ( 4 ) ( 5 ) = 2 0

Calculemos las incertezas relativas unitarias:

0. 2 / 4 = 0. 0 5 y 0 . 3 / 5 = 0. 0 6 La suma de las incertezas es: 0 . 0 5 + 0 . 0 6 = 0 . 1 1 .

Este resultado lo multiplicamos por 20: 2 0 x 0 . 1 1 = 2 . 2

Por lo tanto: ( 4 ± 0. 2 ) ( 5 ± 0. 3 ) = 20 ± 2. 2

2. ( 4 0 ± 0 . 8 ) / ( 5 ± 0 . 3 )

Dividamos las medidas: ( 4 0 ) / ( 5 ) = 8 .

Calculemos las incertezas relativas unitarias:

0. 8 / 4 0 = 0.0 2 y 0. 3 / 5 = 0.0 6 La suma de las incertezas es: 0 . 0 2 + 0 . 0 6 = 0 . 0 8 .

Este resultado lo multiplicamos por 8: 8 x 0. 0 8 = 0. 6 4

Por lo tanto: ( 4 0 ± 0 . 8 ) / ( 5 ± 0 . 3 ) = 8 ± 0. 6 4 .

Actividad 22. Efectuar las operaciones siguientes.

1. 4 ± 0. 2 + 5 ± 0. 3 __________ 2. 7± 0. 3 + 5 ± 0. 1 __________ 3. 12 ± 0 . 4 – 8 ± 0. 2 _________

4. 75 ± 0. 5 – 5 5 ± 0. 3 _________ 5. (5 ± 0. 2 ) ( 2 ± 0. 1 ) __________ 6. (10 ± 0. 4 ) ( 5 ± 0. 3 ) _______

7. (90 ± 0. 5 ) (40 ± 0. 2 ) ________ 8. (8 ± 0. 2) / ( 2 ± 0. 1 ) _________ 9. (10 ± 0. 4 ) / (5 ± 0. 3 ) _______

discusión 9. Resuelve cada caso.

1. Calcular el área de un triángulo rectángulo de base 3 cm ± 3 mm y de altura 5 cm ± 4 m m .

2. Calcular el área de un rectángulo de base 8 cm ± 4 m m y de altura 5 cm ± 4 mm.

3. Calcular el volumen de una cisterna cuyas dimensiones son: 12 m ± 20 cm , 8 m ± 15 c m y

6 m ± 10 cm.

4. Calcular la velocidad de un móvil que recorre 75 km ± 100 m en un tiempo de 1.2 h ± 0 . 0 1 h .

4.3 Las incertezas como un instrumento de análisis

En este punto debemos recordar lo que antes se dijo sobre los valores relativos y absolutos. Si alguien se

equivoca en 5 puntos, mientras que otro sólo en 2, no podemos asegurar que quien se equivocó en 2

puntos fue más cuidadoso, al efectuar la medición, que aquél que se equivocó en 5 puntos. Los valores

absolutos no reflejan el cuidado en la medición. Son los valores relativos los que reflejarán quién fue más

cuidadoso al efectuar la medición. Supongamos que quien se equivocó por 5 puntos, lo hizo en un total de

1000; mientras que quien se equivocó por 2 puntos, lo hizo en un total de 100. Entonces se tienen los

siguientes valores relativos: (5/1000)x100 = 0.5 % y (2/100)x100 = 2 %. Se equivocó menos la persona

que falló en 5 puntos. En otras palabras, quien se equivocó 2 puntos en 100, se habría equivocado 20 en

1000.

Supongamos 2 mediciones con incertezas: 100 ± 0.5 y 275 ± 1.1. Calculemos cuál medida es más

confiable. Será más confiable aquella en la que la incerteza relativa (unitaria o porcentual) es menor.

Para el primer caso tenemos: (0.5/100)x100=0.5 %

Para el segundo caso tenemos: (1.1/275)x100=0.4 %

Por lo tanto, la segunda medida es más confiable.

Actividad 23. Determina cuál medida es más confiable.

1. a. 120 ± 0.5 b. 180 ± 0.7 __ 2. a. 240 ± 1.5 b. 350 ± 2.4 __ 3. a. 780 ± 3.4 b. 540 ± 2.2

Resumen del capítulo. Hay varios factores que afectan las mediciones: ambientales (temperatura,

humedad y presión), personales (mala visión, temblores), metodológicas (el método utilizado) e

instrumentales (equipos con defectos de fábrica).

La incerteza expresa una aproximación al grado de error en toda medida, y puede ser absoluta (es el

valor numérico de la incerteza) o relativa (es la relación entre la incerteza y el valor de la medida.) La

incerteza relativa puede expresarse en forma unitaria (se calcula dividiendo la incerteza absoluta entre la

medida) o porcentual (se calcula dividiendo la incerteza absoluta entre la medida y multiplicando por 100)

Una medida está correctamente expresada si se acompaña de su incerteza. Establecer la incerteza en las

medidas resulta de mucha importancia para tomar ciertas decisiones en campos como la salud, la

seguridad, la economía o la política.

Las cifras significativas se forman con el dígito seguro y el dígito dudoso, y expresan la exactitud con la

que se ha efectuado la medición.

La notación científica es la herramienta matemática que nos permite expresar, con brevedad, números

muy grandes o muy pequeños. En la expresión a. bcd… X100n

el exponente n nos indica el número de

posiciones que se ha movido el punto: si es negativo, el punto se ha movido a la derecha, y si es positivo,

se ha movido hacia la izquierda.

Las incertezas se propagan al efectuar cálculos (afectan el resultado del cálculo). En la suma y la resta

las incertezas siempre se suman. En la multiplicación, la incerteza resulta de multiplicar la suma de las

incertezas relativas unitarias por el producto de las medidas. Esto se aplicable en la división.

Los valores absolutos no reflejan el cuidado en la medición. Cuanto menor es la incerteza relativa, más

confiable es la medida.

5 Expresión y representación de los resultados de la ciencia

La correcta expresión y representación de los resultados de la ciencia, así como su correcta

interpretación, es una necesidad de la vida actual, en donde los desarrollos tecnológicos y la necesidad

de comunicación imponen la utilización de símbolos o íconos, cuya forma está de acuerdo con la función

o la información que representan.

5.1 Las proporcionalidades y gráficos

Seguramente has escuchado, en alguna ocasión, frases como las siguientes:

La contaminación del aire se debe a los automóviles.

Las inundaciones son provocadas por el exceso de lluvia.

Aumentemos la velocidad para llegar en menos tiempo.

En las frases anteriores se está relacionando una variable con otra. Es decir que una variable está en

función de la otra. Siempre una variable está en proporción a la otra. Esta proporcionalidad puede ser

directa o inversa. Es directa cuando al aumentar una variable, la otra también aumenta; y es inversa

cuando al aumentar una variable, la otra disminuye.

Analicemos la segunda frase: Las inundaciones son provocadas por el exceso de lluvia. Significa que la

variable inundación aumenta al aumentar la variable lluvia: a más lluvias, más inundaciones. La

proporcionalidad es directa: las variables son directamente proporcionales.

Dos variables son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda

multiplicada por el mismo número.

Analicemos la tercera frase: Aumentemos la velocidad para llegar en menos tiempo. Significa que la

variable tiempo disminuye al aumentar la variable velocidad: a mayor velocidad, menor tiempo en llegar.

Objetivos conceptuales. Comprender qué es una proporcionalidad y distinguirlas entre directa e indirecta.

Objetivos procedimentales. Trazar un gráfico y usar escalas adecuadas.

Objetivos actitudinales. Valorar la importancia de representar los datos científicos en tablas y gráficos.

La proporcionalidad es inversa: las variables son inversamente proporcionales.

Dos variables son inversamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra queda dividida

por el mismo número

Dentro de las variables, una se denomina dependiente y la otra se denomina independiente. Al

representar una proporcionalidad en el plano cartesiano, la variable independiente se ubica en el eje X,

mientras que la otra en el eje y. Las proporcionalidades se representan por una igualdad entre las

variables.

Para la proporcionalidad directa tenemos: y = kX.

Para la proporcionalidad inversa tenemos: y = k / X .

La k se conoce como constante de proporcionalidad. En la proporcionalidad inversa k = Xy. Esta

constante es la pendiente de la curva.

Ejemplo 10. Un cuerpo de 2 kg experimenta aceleraciones de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (m/s2) Calcula la fuerza

para cada caso y grafica los resultados. Determinar si la proporcionalidad es inversa o directa.

Solución.

Recordemos que la fuerza se calcula con la ecuación F = ma. Como la masa es de 2 kg, la igualdad nos

queda así: F = 2a. 2 es la pendiente de la recta, y la ecuación pertenece a una proporcionalidad directa.

Los datos se muestran en la siguiente tabla de valores. La gráfica es la que se muestra.

a F = ma

1 2 N

2 4 N

3 6 N

4 8 N

5 10 N

6 12 N

Ejemplo 11. Se necesita recorrer 120 km. Calcular los tiempos de recorrido con las velocidades

siguientes: 5, 10, 15, 20, 30, 40, 60, 80, 100 y 120 (km / h ) Grafica los resultados y determina si la

proporcionalidad es inversa o directa.

Solución.

Recordemos que la velocidad se calcula con la ecuación V = d / t . Necesitamos calcular el tiempo,

conociendo la velocidad. Despejemos el tiempo: t = d / v . Se aprecia, por la ecuación, que la

proporcionalidad es inversa y que d (120 km) es la constante de proporcionalidad. Los datos se muestran

en la siguiente tabla de valores. La gráfica es la que se muestra.

La variable independiente es la aceleración,

mientras que la dependiente es F, pues

depende del valor que tome la aceleración.

Observemos que al dividir cada valor de F

entre la respectiva aceleración, obtenemos 2.

Este valor es la masa, y es, por lo tanto, la

constante de proporcionalidad. Además, la

proporcionalidad es directa, pues una

variable aumenta cuando aumenta la otra. De

otra forma: al multiplicar una variable por

una constante, la otra queda multiplicada por

esa constante.

12

10

8

6

4

2

Aceleración (m/s2)

F, newton.

1 2 3 4 5 6

La variable independiente es la velocidad, mientras que la

dependiente es el tiempo, pues depende del valor que tome la

velocidad.

Observemos que al multiplicar cada valor de v por el respectivo

valor de t, obtenemos 120. Este valor es la distancia, y es, por lo

tanto, la constante de proporcionalidad. Además, la

v t = d / v

5 24

10 12

15 8

20 6

30 4

40 3

60 2

80 1.5

100 1.2

120 1

Actividad 24. En cada caso grafica los resultados y determina si la proporcionalidad es inversa o

directa. Señala la constante de proporcionalidad.

1. Grafica las distancias recorridas por un cuerpo que se mueve a 4 m/s en los tiempos siguientes: 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 segundos. ______________ ____________

2. Grafica las energías potenciales de un cuerpo de medio kilogramos (m) para las siguientes alturas (h):

1, 2, 3, 4 y 5 (m) ______________ ____________ (Ep = mgh, toma a g=10 m/s2)

tiempo

24

12

8

6

4 3

5 10 15 20 30 40 60 80 100 120

2 1.5

1.2

velocidad

3. Grafica las fuerzas de 10 cuerpos con una aceleración de 5 m/s2 si las masas son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9 y 10 kilogramos. ______________ ____________

4. Grafica las fuerzas de 10 cuerpos de 7 Kg cada uno si sus aceleraciones son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y

10 m/s2. ______________ ____________

5. Grafica la cantidad de movimiento de un cuerpo de 3 kg para las velocidades siguientes: 2, 4, 6, 8 y 10

(m/s) ______________ ____________ (Cantidad de movimiento = mv)

6. Grafica la densidad (D) de cada una de 10 sustancias, de las cuales se tienen 100 gramos de cada

una, para los volúmenes (V) siguientes: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 cm3. ______________

____________ (D = masa/volumen)

7. Grafica los valores de K, siendo P = 10, para los siguientes valores de Q: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,

45 y 50. Se tiene que K = P/Q ______________ ____________

Actividad 25. Determina si puede existir proporcionalidad directa o inversa entre las categorías

expresadas.

1. Ejercicio físico y salud ___________ 2. Consumir alcohol y salud ___________

3. Estudiar y buenas notas _____________ 4. Fumar y salud pulmonar ___________

5. Leer y escasa cultura _____________ 6. Hipocresía y buena amistad ___________

7. Respetar lo ajeno y cárcel _____________ 8. Cuidar nuestra ropa y ahorro ___________

discusión 10. Para cada tabla, encuentra la ecuación que relaciona las variables y el tipo de

proporcionalidad.

X y M B P R Q B

2 6 2 10 1 5 2 15

4 12 4 5 2 10 3 10

6 18 5 4 3 15 5 6

8 24 10 2 4 20 6 5

1. _______________ 2. _______________ 3. _______________ 4. _______________

_______________ _______________ _______________ _______________

discusión 11. Crea expresiones verbales en las que haya proporcionalidades directa e inversa.

5.2 Escalación y factores de escala.

En cartografía, la escala es la relación entre la distancia que separa dos puntos en un mapa y la distancia

real. En los mapas, la escala suele expresarse en forma de proporción, como por ejemplo 1: 50 000. Esta

escala nos dice que una unidad medida en el mapa equivale a 50 000 de esas unidades medidas sobre la

superficie de la Tierra (distancia real).

Ejemplo 12. En un mapa de El Salvador se tiene que la distancia desde San Salvador a Ahuachapán es

de 8.25 cm. Si la escala tiene la proporción 1: 1 200 000, calcular la distancia en km entre los puntos

referidos.

Solución.

En el mapa referido, 1 cm equivale a 1 200 000 cm. Convirtamos estos cm en kilómetros. Un km tiene

1000 metros, y cada metro tiene 100 cm. Por lo tanto debemos dividir por 100 000.

Para facilitar el trazo de una gráfica, muchas veces es

necesario adoptar una determinada escala. Si en el

ejemplo de F = ma, la masa fuera de 1000 kilogramos, al

trazar la gráfica tendríamos que aclarar este punto o

colocar el valor completo en el eje. En el caso referido,

debemos poner X103 (orden de magnitud) que indica el

valor que multiplica cada término de F en el eje. Esto se

observa en este gráfico.

1 200 000 / 100 000 = 12 Cada cm equivale a 12 km. ¿A cuántos km equivalen 8.25 cm?

8.25 x 12 = 99 Por lo tanto 8.25 cm equivalen a 99 km. Esto significa que desde San Salvador a

Ahuachapán hay 99 km.

Ejemplo 13. La distancia entre dos puntos en un mapa es de 3.25 cm. La distancia en la tierra entre

dichos puntos es 29.25 km. Cuál es la escala del mapa.

Solución.

3.25 cm equivalen a 29.25 km. 3.25 cm equivalen a 2 925 000 cm.

Una primera escala es: 3.25: 2 925 000 Dividamos por 3.25: 3.25 / 3.25: 2 925 000 / 3.25

Obtenemos que la escala es 1: 900 000

Actividad 26. En cada caso se da la distancia entre dos puntos, A y B, y la escala. Debes calcular, en

metros, la distancia real entre tales puntos.

1. 2.84 cm 1: 1 200 ________ 2. 5.2 cm 1: 5 000 _________ 3. 35 cm 1: 20 000 __________

4. 284 mm 1: 1 200 ________ 5. 520 mm 1: 5 000 ________ 6. 3500 mm 1: 20 000 ________

Actividad 27. En cada caso se da la distancia en un mapa entre dos puntos, A y B, y la distancia real

entre tales puntos. Determina la escala del mapa.

1. 4.7 cm 32.9 km __________ 2. 8.3 c m 33.2 km _________ 3. 7.2 cm 37.4 4 km _________

4. 2.5 cm 8.5 km __________ 5. 2 cm 50 k m _________ 6. 1.4c m 54.6 km _________

…………………………………………………………………………………………………………………….

Escalas en los gráficos. Para trazar un buen gráfico, muchas veces se hace necesario escoger una

escala adecuada. Por ejemplo, si en X tenemos unidades y en y tenemos centenas o millares (o

viceversa), debe aclararse la escala. Repitamos el gráfico de la fuerza para valores de F en millares (la

masa son millares).

a F = ma

1 2 000 N

2 4 000 N

3 6 000 N

4 8 000 N

5 10 000 N

6 12 000 N

Supongamos que tenemos la siguiente tabla:

12

10

8

6

4

2

Aceleración (m/s2)

F X 103

1 2 3 4 5 6

Posición aproximada de 3200

a F = ma

1 800 N

2 1600 N

3 2400 N

4 3200 N

5 40000 N

6 4800 N

Si para graficar los datos utilizamos una escala en la que cada unidad equivalga a 500 N, tendríamos:

Sin embargo, en este caso la mejor escala es aquella en la que cada unidad equivalga a 400 N. En tal

caso tendríamos:

Una escala en la que cada unidad equivalga a 100 N, nos daría una gráfica muy alta o con números muy

juntos, pues tendríamos 48 segmentos. En la escala anterior, el valor de 1600 newton está en 4. La

escala no siempre debe expresarse con una potencia de 10. Otras formas son: X120, X350, X650…

Además, ambos ejes pueden estar a escala.

Actividad 27. Grafica los datos de cada tabla.

Resumen del capítulo. En una ecuación una variable está en proporción a la otra. Esta

proporcionalidad puede ser directa o inversa. Es directa cuando al aumentar una variable, la otra

también aumenta; y es inversa cuando al aumentar una variable, la otra disminuye. Cuando es directa, al

multiplicar una por un número, la otra queda multiplicada por ese número. En la inversa, al multiplicar una

por un número, la otra queda dividida por ese número. Siempre una variables se denomina dependiente y

la otra independiente. En y = kX la proporcionalidad es directa; y es indirecta en y = k / X . La k se conoce

como constante de proporcionalidad.

Las proporcionalidades pueden representarse en gráficos y tabas. Para el gráfico muchas veces es

importante tomar una escala adecuada.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5X102

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4X10 2

t distancia

1 300

2 600

3 900

4 1200

5 1500

6 1800

7 2100

t distancia

2 360

4 720

6 1080

8 1440

10 1800

12 2160

14 2520

t d

300 1

600 2

900 3

1200 4

1500 5

1800 6

2100 7

t d

360 2

720 4

1080 6

1440 8

1800 10

2160 12

2520 14