Un modelo de computación no Un modelo de computación no convencional:convencional:

LaLa

Computación CuánticaComputación CuánticaJuan Antonio Nepomuceno ChamorroJuan Antonio Nepomuceno Chamorro

Un poco de historia:Un poco de historia:

Richard P. FeynmanRichard P. Feynman ¿simulación de ¿simulación de procesos cuánticos?procesos cuánticos?

D. Deutsch D. Deutsch Bernstein, VaziraniBernstein, Vazirani

YaoYao

ordenador siguiendo ordenador siguiendo leyes cuánticasleyes cuánticas

Mikhael Shor Mikhael Shor algoritmo de algoritmo de factorizaciónfactorización

(gran interés e inversión en la (gran interés e inversión en la Computación Cuántica debido a las Computación Cuántica debido a las importantes consecuencias a nivel importantes consecuencias a nivel

criptográfico)criptográfico)

La teoría cuántica: el concepto La teoría cuántica: el concepto de de superposiciónsuperposición

A nivel atómico observamos comportamientos que no coinciden con lo que la intuición nos dice que debería ocurrir

La teoría cuántica explica estos comportamientos

Proceso computacional cuántico:

computamos teniendo en cuenta “todas las posibles historias a la vez”

El carácter ondulatorio: El carácter ondulatorio: Experimento de Young

La interferencia entre ondas provoca el patrón de rayado de la pantalla

La luz es un tipo de onda

El concepto de superposición:El concepto de superposición:

Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad

constante) Con una abertura

Con dos aberturas

El concepto de superposición:El concepto de superposición:

Repetimos el experimento con un cañón de electrones (los lanza a velocidad

constante) Con una abertura

Con dos aberturas

No coincide con lo que la intuición nos dice. ¿Electrones

individuales comportándose como ondas?

¿?

El concepto de superposición:El concepto de superposición:

¿Cómo explicamos el fenómeno?

Parece como si el electrón supiese diferenciar cuando ambas aberturas están abiertas y cuando no.

Se comporta como una onda, ¿interaccionan los electrones unos con otros? NO: pues llegan por separado a la primera pantalla.

Además, si intentamos medir por qué abertura pasa el

electrón colocando un aparato de medida, el

resultado del experimento (con ambas abiertas) no es el mismo: se pierde el efecto

“ondulatorio”.

El concepto de superposición:El concepto de superposición:

Explicación de la Teoría Cuántica:

No podemos determinar qué hace el electrón, y si lo intentamos, modificamos su comportamiento:su posición es una indeterminación.

Aceptamos como mejor explicación:• El electrón “se divide” en dos• Interacciona consigo mismo

mundo realexplicación teoría cuántica

Superposición:

se considera que ocurren las dos posibilidades.

(Si tratamos de medir se destruye y sólo

contemplamos una en particular).

Bit cuántico o Bit cuántico o qubit qubit ::

SuperposiciónSuperposición: debido a la incertidumbre de los procesos : debido a la incertidumbre de los procesos cuánticos consideramos que ocurren todas las posibilidadescuánticos consideramos que ocurren todas las posibilidades

ObservaciónObservación: una vez que interactuamos la superposición se : una vez que interactuamos la superposición se pierde y sólo tenemos una de las posibilidades contempladas. pierde y sólo tenemos una de las posibilidades contempladas.

bit clásico: 0 o 1

Qubit: al estar en un proceso cuántico, consideramos ambas posibilidades

|0|0ii++|1|1i i (( 22 HH, espacio de Hilbert), espacio de Hilbert)

con con , , 22 CC amplitudes y tal que: | amplitudes y tal que: |||22+|+|||22=1=1

… … y al observarlo obtendremos 0 con y al observarlo obtendremos 0 con probabilidad |probabilidad |||22 o 1 con probabilidad | o 1 con probabilidad |||22

• indeterminación

• carácter ondulatorio

• distribución de probabilidad

Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:

00

00

Preparar una superposición adecuada:

||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|nii

con con ii 22 CC, , ||i i ||22=1=1

superposición

Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:

00

00

superposición

||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|nii

Someter dicha superposición a una serie de evoluciones unitarias:

|i se transforma en |i mediante una matriz (unitaria)

“evolución unitaria”

evoluciones unitarias

Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:Un proceso computacional de tipo cuántico consistirá básicamente en:

00

00

superposición

||ii==11|1|1ii++22|2|2ii+…++…+nn|n|niievoluciones unitarias

Observamos (medimos) la superposición resultante:

obtendremos un elemento en concreto con una determinada

probabilidad

Medición e interpretar resultados

t = 0

A nivel subatómico se cumplen a la vez, simultáneamente, todas las

historias, calculemos a nivel subatómico: “paralelismo cuántico”

Espejo reflectante

Lente que refracta al 50 %

Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:

4

1

2

1

2

1

¿En qué se diferencia el modelo cuántico del

probabilista?

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1

0

1

¿?

Modelo Probabilista:

La probabilidad de que se siga este camino de computación es de

la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es

de:21

41

41

100%

Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:

0002

10

2

1

02

1

2

12

¿En qué se diferencia el modelo cuántico del

probabilista?

Modelo Cuántico:

la amplitud es:

la probabilidad de obtener 0 en el proceso completo es

de:

(sumamos las amplitudes y consideramos su cuadrado)

2

1

|02

1

2

1

2

1

2

1

|1

|0

|1

2

1

la amplitud es:

12

1

02

1

0

2

1

2

1 (y la probabilidad es

(– ½)2 = 1/4)

1112

11

2

1

Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:Las diferencias:

1. “Filosofía de la superposición”

2. Interferencia

• Transformaciones unitarias

• Reversibilidad

Modelo Probabilista Modelo Cuántico

Interferencia: carácter ondulatorio i.e.,

cancelación de dos posibles computaciones

árbol de computaciones :

Modelo Cuántico vs. Probabilista:Modelo Cuántico vs. Probabilista:Las diferencias:

1. “Filosofía de la superposición”

2. Interferencia

• Transformaciones unitarias

• Reversibilidad

Modelo Probabilista Modelo Cuántico

un sólo camino de la computación

probabilidad probabilidad al

medir

| c i |2

Se puede seguir paso a paso la computación

Si tratamos de observar un paso

intermedio destruimos el

proceso

Ejemplo1 : codificaciónEjemplo1 : codificación

Codificamos los números de 0 a 15 :Codificamos los números de 0 a 15 :

Con bits: 0000= 0•2Con bits: 0000= 0•233+0•2+0•222+0•2+0•211+0•2+0•200= 0= 0 … … o por ejemplo …o por ejemplo … 1001= 1•21001= 1•233+0•2+0•222+0•2+0•211+1•2+1•200= 9= 9

Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidadesposibilidades

Con qubits: Con qubits:

== ••223 3

++••222 2

++••220 0 ••221 1

++Codificamos de una sola vez todas las 16 posibilidades y podemos hacer cálculos con todas a la vez

Pero, ¿si efectuamos una medición?

Ejemplo1 : codificaciónEjemplo1 : codificación

Codificamos los números de 0 a 15 :Codificamos los números de 0 a 15 :

Con bits: 0000= 0•2Con bits: 0000= 0•233+0•2+0•222+0•2+0•211+0•2+0•200= 0= 0 … … o por ejemplo …o por ejemplo … 1001= 1•21001= 1•233+0•2+0•222+0•2+0•211+1•2+1•200= 9= 9

Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 Necesitamos 16 combinaciones diferentes para codificar las 16 posibilidadesposibilidades

Con qubits: Con qubits:

== ••223 3

++••222 2

++••220 0 == ••221 1

++= 9

Al observar la superposición esta colapsa a un estado en concreto: sólo tenemos en ese

momento un valor concreto.

Mientras no realicemos ninguna medición estamos trabajando con los 16 valores

simultáneamente.

Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsquedaEjemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda

Sea una función ,f, que toma valores en {x0 , …, xn } y vale 0 en todos los puntos y 1 en tan sólo uno. Se trata hallar ese valor en concreto.

¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1?

Codificamos la información de una manera adecuada:

mediante un operador habitual en transformaciones cuánticas:

|0i → (1 / √2n) |xii (operador H-W)

Podemos representar así las amplitudes de la superposición inicial

Aplicamos un operador adecuado para obtener el resultado:

1) que discrimine en cierta forma la solución del resto

2) que haga que en el proceso de medición la solución sea la que tenga más probabilidades de salir

Gn = -Hn Rn Hn Vf

Observamos y sacamos conclusiones

Ejemplo2 : resolviendo un problema de búsquedaEjemplo2 : resolviendo un problema de búsqueda

¿encontrar y2 {x0 , …, xn } tq f(y)=1?

|0i codificamos la información

Observamos y obtenemos con más probabilidad la solución que el resto (probabilidad controlada)

Gn operador cuántico:

1) DISCRIMINA

2) RESALTA

(un solo paso de computación)

y = x i

(y lo obtenemos con una probabilidad de |ci|2)

Algoritmos Cuánticos: (son un tipo particular de algoritmos Algoritmos Cuánticos: (son un tipo particular de algoritmos probabilistas)probabilistas)

Básicamente hay de dos tipos:Básicamente hay de dos tipos:

De búsquedas en base de datos sin estructura o De búsquedas en base de datos sin estructura o “consulta a “consulta a oráculos”oráculos”

Algoritmo de Algoritmo de Grover, …Grover, …

Tipo Shor: que sacan partido de comportamientos Tipo Shor: que sacan partido de comportamientos de tipo periódico por medio de la Transformada de tipo periódico por medio de la Transformada Cuántica de FourierCuántica de Fourier

Algoritmo de factorización de Algoritmo de factorización de ShorShor, …, …

(Simulaciones Cuánticas) …(Simulaciones Cuánticas) …

¿y la implementación?¿y la implementación?

Se estima que podremos llegar a tener un ordenador cuántico en los próximos 20 o 30 años:

en 2001 IBM consigue factorizar n=15 utilizando el algoritmo de Shor con un ordenador de 7 qubits

Nace la Criptografía Cuántica

Nuevas preguntas, nuevos problemas, nuevos paradigmas …

… … etc…etc…

Circuitos Cuánticos…Circuitos Cuánticos…

para qué servirán los ordenadores cuánticos para qué servirán los ordenadores cuánticos o aspectos de o aspectos de teoría de la complejidadteoría de la complejidad

Hacia un Software CuánticoHacia un Software Cuántico

Nuevos paradigmasNuevos paradigmas

… … etc … etc …