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Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Que es TQC?

Cómo hacer TQC?Conclusiones

Computación Cuántica TopológicaFases Topológicas

Mario Vélez

Ingeniería FísicaUniversidad EAFIT

Días de la Ciencia Aplicada, Septiembre de 2009

Mario Vélez Computación Cuántica Topológica



Contenido

1 Por que Computación Cuántica Topológica (TQC)?Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico

2 Que es TQC?Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos

3 Cómo hacer TQC?Implentando compuertas cuánticas con anyones

4 Conclusiones




Modelo de computación cuántica estándarDecoherencia y correción de erroresTopologíaComputador cuántico Topológico

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4 Conclusiones





Bits CuánticosQubits

Los qubits son codificados en una superposición deestados ortogonales de un sistema de dos niveles|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉.

Los computadores cuánticos son una colección de qubits.

Figura: 1. Diferentes representaciones del qubit.





Las compuertas cuánticasCálculos

Los cálculos son realizados a través de la acción de unconjunto universal de compuertas cuánticas{U1, U2 . . . , Um} que actúan sobre uno o más qubits.El resultado de los cálculos se obtiene con la proyecciónsobre los estados de la base {|0〉 , |1〉}.

Figura: 2. Representación esquemática de un computador cuántico





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4 Conclusiones





Errores no deseados

En el mundo real los computadores cuánticos fallan debidoa la decoherencia

|ψ〉 = α |0〉 + β |1〉 → |ψ〉 = |0〉 ó |1〉 . (1)

A menos que protejamos el qubit.

Figura: 3. Gato de Schrödinger. Se busca vivo y muerto.Mario Vélez Computación Cuántica Topológica




Errores no deseados

En principio usando corrección de errores es posiblerealizar computación cuántica tolerante a fallos.

Sin embargo, para dar resultados confiables, es necesariodesarrollar una gran jerarquía de mecanismos decorrección de errores.

Por lo cual se hace imprescindible desarrollar un nuevohardware.





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4 Conclusiones





Propiedades topológicas

Las propiedades topológicas de un objeto matemáticopermanecen invariantes bajo deformaciones suaves.La TQC es inmune a la decoherencia cuántica, estolerante a fallos, el qubit esta protegido.

Figura: 4. El grafeno, un laboratorio natural para el estudio depropiedades topológicas.





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4 Conclusiones





Tolerancia intrínseca a fallos

Así luciría una compuerta cuántica topológica de anyones.

Figura: 5. Compuerta de un TQC.




Partículas indistinguibles y anyonesGrupo braidCiencia ficción? No! modelos de anyones no abelianos

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4 Conclusiones





Partículas indistinguibles

Supongamos que tenemos dos partículas idénticas x1 y x2

descritas por|ψ〉 = | x1x2〉

El operador de permutaciones P cambia las partículas:

P | x1x2〉 = eiφ | x2x1〉

P2 | x1x2〉 = e2iφ | x1x2〉

Sin embargo, P2 ≡ 1I, se necesita que e2iφ = 1. Estoimplica que e2iφ = ±1.

Fermiones (φ = 2π ∗12) y los bosones (φ = 2π ∗ 1)





Partículas indistinguibles

Un resultado general

En todas las dimensiones espacialestales que D > 2 las partículas son bo-sones o son fermiones.

Teorema de Espín y Estadística

Los anyones existen en 2D





Anyones

Fermiones

Ψ(x1, x2) = −Ψ(x2, x1) = eiπΨ(x2, x1)

Bosones

Ψ(x1, x2) = Ψ(x2, x1) = e2iπΨ(x2, x1)

Anyones

Ψ(x1, x2) = Ψ(x2, x1) = eiπ(1+m)Ψ(x2, x1)

Los anyones tienen estadística fraccionaria0 ≤ m ≤ 1





Anyones

Intercambio se representa como una rotación. Dosintercambios producen un ciclo completo.En un modelo 3D, los ciclos de las partículas pueden sercontinuamente deformados hasta un ciclo trivial.En un modelo 2D, esto no se puede hacer: las rotacionespor un ángulo de 2π no tienen autovalores limitados a ±1.Los anyones sólo existen en 2D debido a las propiedadestopológicas de del grupo de rotación SO(2).

Figura: 6. Ciclos no triviales en un modelo 2D.





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4 Conclusiones





Grupo Braid

El grupo trenza Bn consiste de las diferentes maneras bajolas cuales n partículas pueden ser trenzadas.

Figura: 7. Grupo trenza (Braid).





Grupo Braid

Las trenzas pueden ser compuestas, los nudos no estánpermitidos.

Figura: 8. Más sobre el grupo trenza.





Grupo Braid

Cualquier trenza puede ser construida desde elintercambio de partículas vecinas a partir de un conjuntode generadores.Hay tres generadores para el grupo de trenzas B4. Losgrupos de trenzas son infinitos y tienen infinitasrepresentaciones. Tiene representaciones 1D. Así cómorepresentaciones de más alto orden.

Figura: 9. Generadores del grupo trenza.





Anyones abelianos y no abelianos

Las partículas idénticas que se transforman cómorepresentaciones 1D del grupo de trenzas son anyonesabelianos: sus generadores se representan cómo phaseshifts.

σj = eiφj

El grupo de trenzas tiene representaciones no abelianas-anyones no abelianos- sus generadores estánrepresentados por matrices no conmutantes.Las representaciones irreducibles de Bn de n anyonesactúan sobre un espacio vectorial topológico de ndimensiones y se incrementa exponencialmente con n.Dependiendo del tipo de anyon no abeliano, la imagen dela representación puede ser densa en SU(Dn).





Computación cuántica topológica universal

TQC universalEs posible hacer computación cuánti-ca universal con trenzado de anyonesno abelianos .

Imagen densa en SU(n)

Ficción o realidad?





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4 Conclusiones





Fases topológicas no triviales de materia TQFT=QFT efectiva

Gases de electrones, gases de Bose rotantes, grafeno. Todosson implementaciones de TQC en sistemas (2D).

Figura: 10. Efecto hall cuántico fraccionario.




Implentando compuertas cuánticas con anyones

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4 Conclusiones





Anyones Fibonacci para implementar compuertascuánticas topológicas

Se ha realizado computación cuántica topológica universal conanyones Fibonacci. Los qubits lógicos han sido implementadoscon tres anyones.

Figura: 11. Qubits del modelo Fibonacci de anyones.





Generadores del grupo trenza con los cuales seimplementan compuertas cuánticas topológicas

Las matrices σ1 y σ2 son generadores del grupo trenza actuandosobre qubits anyonicos generadores del espacio de Hilbert.Sólo el bloque superior (2 × 2) actúa sobre la basecomputacional (carga total=1 ).

Figura: 12. Acción de los generadores sobre los qubits.





Una compuerta general de 3 qubits

Construcción general de compuertas de 3 qubits medianteaplicaciones sucesivas de σ1, σ1 y sus inversas.Usando búsqueda a fuerza bruta, es posible aproximarse acualquier compuerta de 1 qubit.

Figura: 13. Acción de los generadores sobre los qubits.





Compuerta de rotación controlada

La construcción se realiza haciendo una rotación controladateniedo un qubit de control.Esta compuerta junto a la de 1 qubit produce computacióncuántica topológica universal.

Figura: 14. Rotación controlada.





Compuerta CNOT

Figura: 15. Not controlado.




Conclusiones

Computación cuántica topológica es muy deseable dadasu tolerancia intrínseca a fallos.

Para hacer modelos de TQC es necesario un sistema deanyones no abelianos.

Por fortuna ellos existen en la naturaleza.

La TQC se lleva a cabo por trenzado de anyones noabelianos.


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