68 5. Computación cuántica En su esencia, todo esfuerzo en el desarrollo de la micro- y nanotecnología se orienta a siempre mas potentes computadoras, que dentro de las dos primeras décadas de este siglo alcanzarán un nivel de inteligencia que es comparable con la de los seres humanos. Somos actualmente testigos del desenvolvimiento de una nueva rama interdisciplinaria, que se basa sobre ideas y conceptos de la física, las matemáticas y de la teoría de información, - la Informática Cuántica. Existen limitaciones físicas fundamentales a la miniaturización de dispositivos semiconductor a un lado, y el costo práctico para la fabricación de microchips tan potentes puede llegar a valores prohibitivamente altos al otro lado. Computadoras cuánticas no requieren la fabricación de circuitos diminutos a escala atómica, ni adelantos mayores en la nanotecnología. Los componentes básicos de una computadora cuántica existen en la naturaleza en forma de ciertas moléculas y otros sistemas cuánticos. Lamentablemente no existe todavía una tecnología para la construcción de una computadora cuántica competitiva, y casi toda la investigación en computación cuántica no ha dejado el nivel teórico, aunque hay demostraciones de su funcionamiento a un nivel básico, manipulando hasta con apenas 7 qubits. La ventaja de computadoras cuánticas surge de la manera, como la unidad de información de la lógica binaria, el bit, es codificado. Una palabra binaria de n bits en una computadora clásica es presentada por una cadena de n ceros y unos. Su realización práctica se logra a través de sistemas de dos estados, como por ejemplo condensadores (con su carga eléctrica arriba o abajo de un cierto valor), o flip-flops. El bit cuántico, llamado qubit, es almacenado en estados cuánticos de un sistema físico, que entre otros podría ser definido por un átomo en uno de dos estados de su espín nuclear, o por un fotón en uno de sus dos estados de polarización. En términos de vector-análisis se define un qubit como vector unitario en el espacio complejo HILBERT dos-dimensional, en que se fija una base particular de forma {|0⟩,|1⟩}. Tal base orto-normal |0⟩ y |1⟩ puede corresponder en términos mecánico-cuánticos a estados de polarización |↑⟩ y |→⟩ de un fotón, respectivamente, o a las direcciones de spin-up y spin-down de un electrón. Todas las mediciones se realiza con referencia a esta base estandár para computación cuántica {|0⟩,|1⟩}. Para fines de la computación cuántica los estados base |0⟩ y |1⟩ representan los valores bit clásicos 0 y 1, respectivamente. La sorprendente diferencia consiste en que el qubit puede existir simultáneamente como |0⟩ y |1⟩, con una probabilidad definida por coeficientes para cada uno de los dos estados. Una computadora cuántica de 2 qubits requiere entonces 4=22 tales coeficientes para las probabilidades, y en general, de n qubits se requiere 2n

69 coeficientes. Para 50 qubits ya se tiene que considerar aproximadamente 1015 coeficientes para describir el conjunto de las probabilidades para los estados del sistema cuántico, un número enorme, que computadoras convencionales no pueden manejar. La potencia tan impresionante de una computadora cuántica surge de la posibilidad de que el sistema cuántico puede encontrarse en estados múltiples al mismo tiempo, y actuar en todos estos estados simultáneamente. Este fenómeno se conoce como superposición de los estados existentes. Adicionalmente a las “posiciones de switch” |0⟩ y |1⟩ son permitidos arbitrarias combinaciones lineales α |0⟩ + β |1⟩; |α|2 + |β|2 =1 (5.1) con coeficientes complejos α y β, los amplitudes de probabilidad. 5.1 Superposición y enredado de estados cuánticos Si en un sistema cuántico la ecuación de SCHRÖDINGER tiene mas que una solución, - por ejemplo |ψ1⟩ y |ψ2⟩, entonces corresponde la solución general a la combinación lineal de las funciones de onda: |ψ⟩ = α |ψ1⟩ + β |ψ2⟩. Este hecho, conocido como principio de superposición, resulta de la linealidad de la ecuación de onda, - una de las reglas básicas de la mecánica cuántica. Consideramos por ejemplo, que las dos funciones |ψ1⟩ y |ψ2⟩ describen dos diferentes sitios, donde una partícula puede encontrarse (un fotón, por ejemplo), entonces corresponde la combinación lineal de las dos funciones a una partícula, que puede encontrarse en los dos lugares al mismo tiempo. Al aplicar el principio de superposición a sistemas con dos partículas, se llega a un estado ’enredado’ (entangled state),- una correlación no-local. En otras palabras, qubits que forman una superposición de estados, no son independientes uno del otro, sino interactuan y pueden modificar los amplitudes de probabilidad de sus estados. Tal estado enredado puede ser descrito por |ψ⟩-=

2

1 (|h⟩ |v⟩-|v⟩ |h⟩), (5.2)

donde (por ejemplo) el fotón 1 se encuentra en el estado de polarización horizontal, y el fotón 2 en el estado de polarización vertical, superpuesta con la posibilidad, que el fotón 2 puede encontrarse en el estado horizontal. La propiedad de un solo fotón de tal pareja queda, según la mecánica cuántica, sin definición hasta que se mide su estado. Una medición podría resultar tanto en una polarización horizontal

70 como vertical, - o bien, la naturaleza decide este resultado puramente casual. Para el otro fotón, no obstante, resulta tal medición en una instantánea definición de su estado de polarización sin que importe la distancia entre los dos: según la función de onda será este siempre ortogonal al resultado de medición del primer fotón (Fig. 5.1).

Figura 5.1: Cono de dos fotones enredados El fenómeno del tal dicho “enredado” (’Verschränkung’, ’entanglement’) de sistemas cuánticos corresponde a nada menos que a la conexión (virtual) de qubits en una computadora cuántica, en cierta analogía a las pistas metálicas, que conectan las memorias en un RAM clásico. La diferencia esencial se hace obvio, cuando se considera la necesidad del desplazamiento de bits en un cálculo clásico comparado con el “enredado” masivo de qubits fijados en los sistemas cuánticos (moléculas, átomos). Superposiciones de la forma α |0⟩ |1⟩ |0⟩ + β |1⟩ |0⟩ |1⟩ son estados enredados. La lectura del resultado de un cálculo significa un proceso de medición, que transforma cualquier superposición de estados en un solo estado final, que a su vez es casual. De todos los estados posibles será aquél con la mayor amplitud de probabilidad. El algoritmo cuántico para la solución de un determinado problema es particularmente importante y tiene que aplicar operadores tal que un determinado estado (por ejemplo el resultado de un algoritmo de búsqueda) tenga una probabilidad grande, y los demás se acerquen a zero por interferencia. Existen hasta ahora dos algoritmos cuánticos: El Algoritmo de SHOR para la factorización de números grandes en sus números primos, y el Algoritmo de GROVER para la búsqueda en bancos de datos.

71 5.2 Manipulación de información cuántica 5.2.1 Resonancia magnética (NMR y EPR) La resonancia magnética nuclear (NMR) y la resonancia de electrones paramagnética (EPR) son técnicas de espectroscopia clásicas y semejantes en sus principios físicos, que se utiliza en la físico-química para el estudio de propiedades espectroscópias de átomos y moléculas con espín impar. La NMR detecta campos magnéticos, en que ciertos núcleos están en resonancia con un campo electromagnético de una predeterminada frecuencia. Cualquier núcleo con espín tiene un momento magnético, y su energía corresponde en el campo externo B a Em1= − gIμNmIB (5.3) (I- número cuántico del espín; mI – proyección del momento magnético; gI - factor g nuclear, μN - magneton nuclear). La condición de resonancia para la transición de (por ejemplo) un protón de su estado espín inferior (α) a su estado espín superior (β), es decir, de su orientación paralela con el campo externo a antiparalela es hν = [gIμNmIB/2 – (–gIμNmIB)/2]= gIμNmIB (5.4) Las dos orientaciones corresponden a dos estados cuánticos con diferente energía, que naturalmente representa un qubit (Fig. 5.2). Se podría pensar, que el espín paralelo define el estado |1⟩, y el espín antiparalelo el estado |0⟩. La energía del espín paralelo es inferior a la energía del espín antiparalelo por un valor, que determina el campo magnético externo. La aplicación de un campo electromagnético de frecuencia ν, que es relacionado con el campo magnético externo, y las propiedades cuánticas de la partícula considerada, puede causar, que ciertos espines hagan transiciones entre diferentes estados. Utilizando un campo magnético externo de 7 T resulta en una frecuencia de resonancia de 300 MHz. Corresponde al rango de radiofrecuencia, en que se puede controlar, - y por lo tanto programar (re-dirigir) la orientación de espines nucleares.

72

Figura 5.2: Qubits, orientaciónes espín y superposiciones en estados cuánticos. Un alto número de moléculas incorporadas en la operación significa al mismo tiempo un alto número de computadoras cuánticas individuales, que protege el sistema de un fenómeno conocido como de-coherencia (colapso de la superposición de estados cuánticos enredados en un solo estado definido, imposibilitando un cálculo cuántico continuado).

Figura 5.3: Computadora cuántica de 7 qubits formada por la molécula C11H5F5O2Fe. La interacción entre los núcleos de la misma molécula es una característica indispensable para la computación cuántica. Resulta que con dos espines nucleares se deja construir una puerta lógica (CNOT-gate) controlada, - la unidad básica de cualquier computación. Encontrar moléculas grandes con suficientes átomos, es decir suficientes qubits, no representa un problema. El problema surge del hecho, que en la medida, como crece la molécula, las interacciones entre los espines más distantes finalmente llegan a ser demasiado débiles para formar un CNOT-gate confiable. Mientras el

73 NOT-gate intercambia los dos estados base |0⟩ y |1⟩ de un qubit (en fórmulas N|0⟩ = |1⟩, y N|1⟩ = |0⟩), el CNOT-gate actua sobre el estado de sistemas con dos qubits. Si el primer qubit se encuentra en el estado |0⟩, el estado del segundo registro (qubit) no será cambiado. Si el estado del primer qubit es |1⟩, se intercambia el estado |0⟩ con el |1⟩ en el segundo qubit. El estado del primer registro queda sin cambio siempre. Como el intercambio de 0 y 1 resulta con una ´sumación de 1 modulo 2´, la operación correspondiente (cN) tiene la simple representación formal cN |m⟩|n⟩ = |n+m⟩, donde m y n pueden tomar los valores 0 y 1, y el signo + significa ´sumación modulo 2´, partícularmente 1+1=0. En términos físicos se trata de un proceso de interacción entre los dos qubits, dado que el estado resultante en el segundo registro depende de los estados iniciales de los dos qubits. La computación cuántica comprende en su esencia tres pasos: a) cargar el conjunto de las moléculas especiales con las condiciones iniciales, por ejemplo |0⟩|0⟩|0⟩.....|0⟩; b) aplicar operaciones lógicas a las superposiciones enredadas para modificar los qubits; c) leer o bien detectar el resultado final. El primer paso comprende una serie de pulsos de radiación electromagnética en el rango de radiofrecuencias para transformar los números en núcleos en la muestra de moléculas en un conjunto, que tiene sus espines orientados correctamente. Sigue en el segundo paso una modificación secuencial de los qubits, es decir, se lleva los logic gates a los qubits a través de ciertas manipulaciones NMR. Finalmente se detectan las resonancias del sistema en su estado final. En esencia, el programa que se ejecuta es compilado en una serie de pulsos de radio-frecuencia (Figura 5.3). La velocidad o bien el tiempo efectivo de un ciclo es determinado por la velocidad menor, con que espines cambian su orientación. Estos procesos en el rango de milisegundos son sumamente lentos comparados con la velocidad medida en Gigahertz de computadoras comunes. La ventaja de la computadora cuántica surge de un paralelismo masivo de los cálculos, que a pesar de los largos tiempos para un clock cycle los hace por ordenes de magnitud superior a las supercomputadoras más avanzadas. Encontrar y multiplicar los números primos de un número con 400 dígitos ocuparía una supercomputadora existente por varios mil millones de años, - una computadora cuántica resolvería el problema en apenas un año. 5.2.2 Óptica cuántica y trampa de iones. Computadoras cuánticas en base a elementos de la óptica cuántica aplican como elementos de la información cuántica átomos sencillos y fotones. Con la técnica de

74 enfriamiento por laser se puede preparar el estado base de átomos sencillos encerrados en trampas. Pulsos de laser permiten entonces la manipulación de los estados internos de estos átomos fríos. Con métodos de la electrodinámica de cavidades se logra una interacción coherente de ciertos fotones con átomos. Mientras el primer paso corresponde al 1-bit gate, el segundo implica ya un 2-bit gate debido a la controlada generación de modos oscilatorios colectivos en el conjunto de los átomos enredados. Los modos fonónicos juegan el papel de un ’bus de datos cuánticos’. Particular interés ha encontrado una computadora cuántica, que se basa en la interacción de luz de laser con cadenas de iones enfriados (Fig. 5.4). El qubit es almacenado en una superposición de dos estados energéticos más estables seleccionados de un cierto ión, donde los estados |0⟩ y |1⟩ del qubit podrían ser representados por los estados básicos ZEEMAN de un ión. Para la realización de un CNOT-gate tienen que interactuar los iones en modo controlado, (por ejemplo, interacción coulombiana). Las relaciones de los iones corresponde a modos discretos. El estado de oscilación de la cadena de iones puede ser preparado por el enfriamiento laser, que a su vez permite el ’enredado’ entre los iones dentro de la trampa. La realización de un CNOT-gate cuántico sigue el mismo esquema mencionado anteriormente (NMR).

Figura 5.4: a) Esquema de una computadora cuántica con iones encerrados en una trampa. Cada ión representa un qubit con dos estados internos |0⟩ y |1⟩, que pueden ser manipulados con un haz de Laser. Modos de vibración fonónicos en la cadena acoplan los iones y así los qubits. b y c) Trampa de iones realizada litograficamente con 5 iones como computadoras cuánticas (Kane 1998).

75 La detección de los estados bit de los iones al final de una operación de cálculo se realiza con el método de brincos cuánticos: La cadena de iones es irradiada con luz de energía correspondiente, provocando luz fluorescente de un ión en estado |1⟩, mientras el estado |0⟩ no emite. 5.2.3 Fullerenes como trampas neutrales nanoscópicas para átomos Fullerenes representan una opción reciente para elementos de construcción de una computadora cuántica. Las moléculas fullerenes son fabricados tal, que contienen en su espacio hueco átomos de nitrógeno o fósforo (Figura 5.4). Estos complejos ´endohedrales´ poseen electrones paramagnéticos (s2p5), que interactuan tanto entre sí (acoplamiento espín-espín) como con los espines de los nucleos atómicos (acoplamiento hiperfino). Los qubits están almacenados en los espines nucleares de los átomos encerrados en los fullerenes, mientras los espines de los electrones paramagnéticos intermedian la interacción entre los fullerenes vecinos. Los espines de electrones son controlados por pulsos en el rango de radiofrecuencia (EPR), y de los núcloes por microondas (NMR).

Fig. 5.5: Complejos de fullerenes endohedrales en arreglo lineal. Tales estructuras tienen propiedades útiles para la computación cuántica. Los qubits están almacenados en los espines nucleares de los átomos encerrados en los fullerenes, mientras los espines de los electrones intermedian la interacción entre los vecinos. Los espines son controlados por pulsos de radiofrecuencia (EPR) y de microondas (NMR) (Twamley 2002)

Los π-electrones delocalizados de la molécula C60 generan una jaula tipo FARADAY alrededor del átomo encapsulado y proveen un efecto de apantallamiento para campos eléctricos externos, mientras el acoplamiento magnético entre los fullerenes vecinos queda fuerte.

76 La lectura del estado cuántico despues del cálculo puede realizarse a través de un micro-SQUID y tambien un microscopio de fuerza resonante magnética. En fin, la mecánica cuántica abre nuevos caminos para el procesamiento de información. Se espera de las computadoras cuánticas la solución de problemas clásicos duros dentro de un lapso de tiempo razonable, como en el caso de la determinación de factores primos de números grandes, la simulación de sistemas cuánticos, etcetera. Queda de esperar, si estas computadoras serán restringidas a la solución de problemas especiales, o si computadoras cuánticas universales y programables llegan finalmente a ser posibles. 5.2.4 Puntos cuánticos en semiconductores A un lado permiten puntos cuánticos encerrar en forma controlada un cierto número de electrones, formando estados cuánticos de ´moléculas o átomos artificiales´, y al otro se logra la fabricación de arreglos geométricos de puntos cuánticos por la técnica de auto-ensamble a distancias mutuas de pocos nanómetros (ver cap. 3.5). Las condiciones para la operación de una computadora cuántica,- el control y la lectura de estados espín de los electrones, y la interacción (enredado) de los estados cuánticos de los puntos cuánticos vecinos-, son cumplidos.

Fig. 5.6: Arreglo de puntos cuánticos de InSb en GaAs.

Fig. 5.6: Switch cuántico en base a puntos cuánticos.

77 5.2.5 Átomos entrapados en resonadores ópticos Una red cuántica con átomos dentro de resonadores ópticos y un canal de fibra óptica para la interacción entre los resonadores es un esquema mas para el estudio de operaciones cuánticas (Figura 5.7).

Fig. 5.7: Resonadores ópticos con átomos, comunicados por una fibra óptica El qubit es almacenado en el nivel base de un átomo de tres niveles. Un proceso RAMAN transfiere el qubit al modo de oscilación del resonador. Suponiendo que el átomo A se encuentra en el estado |0⟩, no puede detectar el pulso de laser en la transición |1⟩→|r⟩, y se mantiene en el estado |0⟩. Si el átomo se encuentra en el estado |1⟩, entonces el pulso laser lo transfiere al estado |0⟩ con la emisión de un fotón coherente. Este fotón se propaga a través de la fibra óptica al segundo resonador, donde en su estado superpuesto puede transformarse en un estado qubit del átomo B. 5.2.6 Otros sistemas cuánticos Existen proposiciones para un CNOT-gate cuántico con parejas COOPER en contactos JOSEPHSON. En este contexto recibe la estructura del tunneltrón (Zehe: EP&US-Patent (2002)) como dispositivo superconductor atención.

78

Fig. 5.8: Estructura del Tunneltron (Zehe: Patente Europea EP 0,823,734 A1; US-Patent US 6,348,699 (2002))

Las moléculas AUGER, que se forman en semiconductores con alto dopamiento y casi compensación tienen características de un sistema cuántico con los méritos de una computadora cuántica. Su estudio se encuentra en proceso.

d

R

R

d

R aa

σ = AR

σ = AR

1

1

1

1

2

2

22

2

23a) b)

conduction band (CB)

valence band (VB)

dd

a a

PP

d

P ε

1 2

gDAPFb

PAM

Fb

21

Fig. 5.9: Molécula AUGER [d1a1a2] en un cristal semiconductor (Zehe et al., Theor. Chemistry Accounts, Vol. 104, pp 331-334 (2000))

79 5.2.7. Computadoras de ADN Las computadoras electrónicas, como hoy las conocemos, se basan en la arquitectura, que en los años 30 fue desarrollada por K. ZUSE y A. TURING, y durante los 40 perfeccionada por J. von NEUMANN: Las instrucciones y operaciones son manejadas en forma secuencial. Computadoras de ADN siguen un concepto diferente. No son máquinas tipo Zuse y von Neumann sino altamente estocásticas. Su potencial surge de la capacidad de memoria y el procesamiento paralelo. ADN contiene el códico biológico último con todas las informaciones, que se requiere para generar formas de vida, -y esto desde los mas simples viruses hasta los seres humanos. Mas aún, ADN puede replicarse y portar así sus propias instrucciones. Estas moléculas consisten de largas cuerdas con 4 tipos de bases conectadas a espinazos. El orden de estas bases determina el tipo del códico (Figura 6.1). La densidad de datos contenidos supera la de los discos duros actuales en computadoras convencionales por un factor de 100,000. La computadora ADN contiene moléculas ADN mas enzimas, que son capaces de procesar ADN, -las dos disueltas en agua para iniciar las operaciones del cálculo. Es decir, input, output y software program son moléculas ADN. Durante el proceso de computación ADN una serie de enzimas hace pasar las moléculas ADN por pasos lógicos a través de interrupciones y combinaciones lógicas de pedazos, formando así secuencias nuevas. Al final de la computación queda un subjuego de moléculas ADN modificadas (entre muchos otros), que presenta la solución correcta al problema matemático. Existen enzimas, que son capaces de cortar las moléculas ADN, y otras enzimas, que juntan pedazos de ADN. Otras hacen copias de ellas y nuevamente otras presentan unidades de reparación (Figura 6.2). Son resultados logrados recientemente de la biología molecular, la bioquímica, y la biotecnología, que permiten hacer in praxi estas funciones en un tubo de prueba. La computadora ADN hace exactamente uso de estas técnicas (maquinaria celular). En la misma forma, como una computadora electrónica cuenta con un juego básico de operaciones (operadores lógicos AND, OR, NOT, NOR, etc.), la computadora ADN cuenta con cortar, copiar, pegar, reparar, y otras, -todo eso a través de las enzimas. Es aquí, donde surge el enorme poder de una computadora ADN: Las enzimas no operan en forma secuencial sobre una sola molécula cada vez. Al contrario, muchas copias de una encima pueden trabajar sobre muchas moléculas ADN simultaneamente. Computadoras ADN realizan los cálculos en una forma sólidamente paralelos, contando ademas con una memoria enorme.

80

Fig. 6.1: Estructura de la molécula ADN y núcleo de una célula (arriba)

Fig. 6.2: Reduplicación de la molécula ADN

81 El funcionamiento confiable de una computadora ADN se mostró ya en 1994 (ADLEMAN) con la solución del problema Camino Hamiltoniano (HP), mejor conocido como el ´problema del vendedor viajero´.

Fig. 6.3: Computadora de ADN para la solución del problema Camino Hamiltoniano (problema de vendedor viajero)

Mientras el tiempo requerido para resolver problemas de este tipo (problemas NP-complete) crece en forma exponencial para computadoras seriales, solamente crece en forma lineal para computadoras paralelas. Es decir, para problemas combinatorias extremadamente complejos (encryption problems) surge una ventaja con computadoras ADN. La perspectiva de controlar sistemas biológicos y químicos en una forma, como computadoras electrónicos controlan hoy sistemas eléctricos y mecánicos, es una visión fascinante en la aplicación de computadoras ADN como micro-máquinas por ejemplo en celdas vivas dentro del cuerpo humano.