Computación Cuántica. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos

Jesús Lacalle (jlacalle@etsisi.upm.es))

Grupo de Modelización Matemática y Biocomputación

ETS de Ingeniería de Sistemas Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid

Contenido de la charla

1. Fundamentos de la Computación Cuántica2. Características de los qubits3. Códigos correctores4. Limitaciones de los códigos correctores5. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos 6. Conclusiones7. Líneas de trabajo actuales

Fundamentos de la Computación Cuántica

Representación de la información (qubits):

|0, |1 y, en general, q = a0|0 + a1|1

• Bit clásico: 0 ó 1

• Bit cuántico (qubit):

(a0 y a1 números complejos tales que |a0|2 + |a1|2 = 1)

Fundamentos de la Computación Cuántica

Representación de la información (qubits):

|00, |01, |10, |11 y, en general,

• 2-qubit:

(a0, a1, a2, y a3 números complejos tales que

q = a0|00 + a1|01 + a2|10 + a3|11

|a0|2 + |a1|2 + |a0|2 + |a1|2 = 1)

Fundamentos de la Computación Cuántica

Representación de la información (qubits):

2-qubit: [|00, |01, |10, |11]

• Base de computación:

qubit: [|0, |1]

n-qubit: [|0…0, …, |1…1]

……….

Fundamentos de la Computación Cuántica

Representación de la información (qubits):

• Principio de superposición:

Un n-qubit puede incluir cualquier subconjunto de cadenas de bits de longitud n

• Puertas cuánticas de un qubit:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Negación (X): X|0=|1 y X|1=|0

X=0 11 0

0 1 a0 a1

1 0 a1 a0=

• Puertas cuánticas de un qubit:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Cambio de fase (Z): Z|0=|0 y Z|1=|1

Z=1 00 1

1 0 a0 ao

0 1 a1 a1=

• Puertas cuánticas de un qubit:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Puerta general: U tal que UU = I

a10 a11

a00 a01U=

a00 a00* + a01 a01

* = 1

a10 a10* + a11 a11

* = 1

a00 a10* + a01 a11

* = 0

• Puertas cuánticas de dos qubits:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Negación controlada (C):

C|0x=|0x, C|10=|11 y C|11=|10

C=

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

• Conjunto universal de puertas cuánticas:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Puertas de un qubit + C

• Paralelismo cuántico:

Fundamentos de la Computación Cuántica

Transformación de la información (puertas cuánticas):

Una puerta cuántica puede actuar sobre cualquier subconjunto de cadenas de bits de longitud n

Fundamentos de la Computación Cuántica

Lectura de la información (medida cuántica):

q = a0|0 + a1|1 tal que a0 0 y a1 0• qubit:

El resultado solo puede ser 0 ó 1

Ambos resultados deben ser posibles

Conclusión: la medida es aleatoria

Prob(0) = |a0|2 y Prob(1) = |a1|2

Características de los qubits

Los n-qubits son continuos

Puntos en una esfera de dimensión real 2n+1-1

La física cuántica no permite la autocorrección para ningún conjunto discreto de n-qubits

Características de los qubits

No es posible crear cuencas de atracción dentro de las que el n-qubit se transforme automáticamente (autocorrección) en el estado discreto que las representa

Códigos correctores

Corrigen errores continuos

Limitaciones de los códigos correctores

No corrigen todos los errores

Los errores no corregidos se hacen indetectables

El conjunto de errores corregidos tienen medida 0

Los códigos correctores no controlan los errores isótropos

Error isótropo || ||2 = 2 2 cos()

Varianza: V() = E[2 2 cos()]

Propiedades:

La función de distribución de solo depende de 0 V() 4 Si 1 y 2 son independientes:

V(1 + 2) = V(1) + V(2) 2

V(1) V(2)

Los códigos correctores no controlan los errores isótropos

Ejemplo:

N

V(N) = 2(1 ) 1

0

(0,1)d = 2n

Los códigos correctores no controlan los errores isótropos

Corrección:

No se reduce la varianza del error

El error se hace indetectable

Los códigos correctores no controlan los errores isótropos

V( ) = V() + 4 E[cos()sin2d+2k-2()](2)d-1

(2d-2d’-2)!! k=1

(2k)!! (2d+2k-3)!!(2k-3)!! (2d-2d’+2k-2)!!

d = 2n d’ = 2m

V() > V()

1. Los códigos correctores solo corrigen exactamente conjuntos de errores de medida 0

2. Los errores no corregidos exactamente se vuelven indetectables

3. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos4. Los códigos correctores no corrigen errores de

características similares a los errores isótropos5. Los circuitos correctores generan una componente de error

isótropa al ligar dos a dos lo qubits del código

Conclusiones

1. Demostrar la conjetura de que la distribución N es reproductiva: N(1) + N(2) N(12)

2. Obtener una cota inferior de la componente de error isótropa que genera un circuito corrector

Líneas de trabajo actuales

Bibliografía

1. García-López, J., Modelos continuos de error en computación cuántica, Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería y Arquitectura, Madrid, junio de 2007.

2. Lacalle, J.; Pozo Coronado, L.M., Variance of the sum of independent quantum computing errors, Quantum Information & Computation 19 (15-16), 1294-1312 (2019)

3. Lacalle, J.; Pozo Coronado, L.M., Fonseca de Oliveira, A.L., Quantum codes do not fix isotropic errors, preprint (2020)