Uber die Theorie der effektiven Reich weite Von T. T i e t z

Inhaltsiibersieht In dieser Arbeit leiten wir eine Formel fur die Phasenverschiebung fur das

Yukawa-Potential ab. Die abgeleitete Formel fur die Phasenverschiebung er- laubt uns in einfacher Weise die Berechnung des Wirkungsquerschnitts der Neutron-Proton-Streuung bei niedrigen Energien.

Die genaue Berechnung der Phasenverschiebung fur das Yukawa-Po- tential ist muhselig und mu13 numerisch durchgefuhrt werden. Eine genaue Obersicht uber alle Arbeiten zum Thema der Berechnung der Phasenver- schiebung fur dasYukawa-Potential findet man in demArtike1 von HulthBnl) und Sugawara . Wie bekannt, erlaubt uns die Phasenverschiebung die Be- rechnung des Wirkungsquerschnitts. In dieser Arbeit leiten wir eine Formel fur die Phasenverschiebung fur das Yukawa-Potential ab. Die Schrodinger- Gleichung fur das Yukawa-Potential fur den Fall der Quantenzahl 1 = 0 konnen wir in folgender Form schreiben2).

y” + [P +--I a e-’ y = 0

mit 1 x = x r, k2 M(E/h2 x2) , M =3 (MV + M J , a = M B/E2 x , (2)

wo E die Energie im Schwerpunktsystem, M , die Masse des Neutrons, M , die Masse des Protons, x die Masse des Mesons und B eine Konstante bezeichnet. Die einfache ana,lytische Naherung fur y ist durch folgenden Ansatz gegeben.

In der letzten Formel 11 ist die Phasenverschiebung und b ist eine Konstante, welche wir spater zu bestimmen haben. Die analytische Naherung y erfullt folgende Randbedingungen.

Hulth6n3) hat gezeigt, da13 die nachstehende Schrodinger-Gleichung fur das diskrete Spektrum genau gelost werden kann.

y = sin (k x + q) - sin q * e + x . (3)

y(0) = 0 und y(m) -+ sin (k x + q). (4)

1) L. Hulthen u. M. Sugawara, Handbuch der Physik. Band XXXIX, Berlin- Gottingen-Heidelberg. 1957.

2, L.Hulthen u. B. C. H. Nagel, Phys. Rev. 90, 62 (1953). 3, Siehe FuBnote l).

T . Tielx: Theorie der effektiven Reichweite 151

Fur den Grundzustand bekommen wir folgenden Eigenwert OL.

a = 1 + 2a. Die entsprechende Eigenfunktion fur den Grundzustand mu13 folgende Rand- bedingungen erfullen.

Diese Eigenfunktion laat sich wie folgt darstellen.

(6)

u ( O ) = O und u(o0) = O . (7)

( 8) u = e-az(l - e-.). Den Eigenwert a und die Eigenfunktion u konnen wir leicht mit Hilfe der Methode fur die Bestimmung der Eigenwerte der Schrodinger- Gleichung des Autors4) finden. Multiplizieren wir die D.-Gl. (1) mit u und die D.-G1. (5) mit y und subtrahiert die entstehenden Gleichungen, so ergibt sich nach ge- ringer Umformung und Integration die folgende Beziehung

00 00

( k 2 + a 2 ) J y u d x = a J 1 - e- ( & - c ) y a d x . X 0 0

(9)

Mit Hilfe der Formeln fur y und u lassen sich die Integrale elementar auswerten und so folgt nach einigen Rechnungen folgender Ausdruck fur die Phasen- verschiebung q

a + b + l k 2 + ( a + e ) k

(1 + a) (a - a ) + k2 k2 + a2 - a(& +b, + aln ( a + b + 21/F+ (a + kz + (a + + ( a + b ) ( a + b + 1 )

k ( 1 + 2 a - a) ctg 7 = ~-

k2 + (1 +T + a ' arctg k2 + (a +F(m (10) Die Formel (6) fur den Eigenwert a = 1 + 2 a vereinfacht unsere Beziehung und fiihrt diese auf die endgultige Formel fur die Phasenverschiebung.

b2 + kz

(11) (a + b ) (a + b + 1) k

(-- + ((x + 1) (a + 2) Die bis jetzt noch beliebige Konstante b konnen wir wie folgt festsetzen. Wie bekannt, ist die Phasenverschiebung q in der Theorie der effektiven Reichweite durch folgende Formel gegeben

ctg q = - a . arctg

(12) 1 1 d 2 kctgq = - - + - r o k 2 .

In dieser Formel ist d die Streuliinge und ro ist die effektive Reichweite. Die Streuliinge a laDt sich in der Gestalt schreiben

1 lim ( k ctg 11) = - -. k - 4 d

Unsere Formel (11) fur q gibt uns fur die Streulange d folgende Beziehung

(13)

4, T.Tietz u. W.Nowak, Ann. d. Physik 1, 296 (1958).

152 Annalen der Physik. '7. Folge. Band 6. 1960

Die Streulange d, welche aus den experimentellen Messungen bekannt ist, bestimmt eindeutig unsere bis jetzt noch beliebige Konstante b. Die effektive Reichweite ro lLBt sich ebenfalls leicht aus den Formeln (11) und (12) be- stimmen. Die GroBen 7, d und ro sind nach dieser Erkliirung bekannt, und damit erlauben sie uns die Berechnung des Wirkungsquerschnitts der Neutron- Proton-Streuung fur niedrige Energien, welcher sich durch die Formel dar- stellen liiBt

Unsere Formel (11) fur die Phasenverschiebung 7 hat den Vorteil, daB sie durch die richtige Bestimmung der Konstante b gute Werte fur die Quer- schnitte fur niedrige Energien der Neutron-Proton-Streuung liefert.

L 6 d i , Polen, Institut fur theoretische Physik der Universitat.

Bei der Redaktion eingegangen am 28. September 1959.