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Hber attlne Geome{rie xx• Uber die Schfittlung you Eikiirperu

yon Theodor Biehl in Bremen.

Zum Nachweis gewisser Extremeigenschaften des 13reiecks oder Tetra~.ders braucht mail eine yon W. B l a s c h k e angegebene Konstruktion, die - - i m zweidiiriensionalen Fall, auf den wir uns de Kiirze haiber beschr~i,tken wollen - - einen Eibereich in einen neuen fl~ichengleichen Eibereich verwandelt und die man als ,,S c h fit t I u n g " bezeichnet, t) Es soil bier gezeigt wcrden: Man kan~t durch Wiederhol~nq geeigneter 8ch~lungen ein unendliches Verfahren herleiten, da]3 einen beliebig ,'org~ebenen Eibereich in ein Dreieck verwandelt. Dadurch gelingt es dann, die erw~ihnten Extremeigenschaften des Dreiecks ohne Auswahlverfahren zu beweisen. ~)

Die Schfittlung eines Eibereichs ~ parallel zur y-Achse eines (x-ielleich~ auch schiefwinkligen) Achsenkreuzes besteht in Folgendem (Figur 1). Man verschiebt jede zur y-Achse parallele Sehne yon ~ auf ihrer Oeraden solang, ois die verschobene Sehne in der l-lrlbebene y ~> 0 auf die x-Achse st6flt. Die so verschObenen Sehnen erffillen dann, wie man ieieht zeigt, x) wieder einen flichengleichen Eibereich ~ . y

I

I --

Figur 1 Figur 2

Um nun zu unserm unendlichen ProzeB zu komrr~en, ,,schfitteln" wir zuerst in der .u-Richtung nacn ~*, dann in der ~Riehtung nach c~t, sodaB ~ t im Winkel ~r ~ 0~ y ~ 0 liegt und an die Achsen mit den Streeken

1) W. B I a s c h k e , AG XI: L6sung des Vierpunktproblems yon S y I - v e s t e r aus der Theorie tier geometrischen Wahrschein|ichkeiten, Leipziger Berichte 69 (191.7), S. 436--453, bes. S. 446.

2) Im zweidimensionalen Fall lifit sich, wie in tier unter x) genannter Sehrift in w 4 auseinandergesetzt ist, tier Existenzbeweis mittels eines elemen- taren Verfahrens erbringen. Doeh hat diese Methode im Vergleich zu der in der vorliegenden Arbeit auseinandergesetzten den Nachteil, daft sie sich nlcht auf mehr als zwei Dimensionen fibertragen lifit.

70 T. Biehl.

0al ~nd ob anst6flt (Figur 2). Jetzt r dritte Sehfittlung! Uad zwar in der Richtung b a~, sodafl der geschrttelte Bereich ~ t etwa wieder auf der .r-Achse ruht, und zwar l~ngs einer Strecke oa, ~ oa~. Wir sch0tteln ~ neuerdings in der Richtung boa auf die ~Achse und fahren so fort. Die auf der .r-Achse liegende monotone Punktfolge al, a.,, % , . ~ . (oai ~ oat+ i) ist bescl,r~iakt, da zwischen den FI/icheninhalten die Beziehung besteht

(1) Dreieek oaf 6~_~ Fl~che ~ i = Fi~cbe ~1.

Somit konvergiert die Folge der al gegen einen Orenzpunkt 8 der .r-Achse. Die Parallelen zu bat durch a i + t und a m6gen die y-Achse in ci m,d bi treffen. Dann gilt die Lagenbeziehung

(2) Aoatb = < ~ _< Aoa l+~c i -<-Aoab~ Wegen der Konvergenz at --~ a konvergieren die bezrglieh o fihnlich liegenden Dreieeke A oaib and A oabi beide gegen dasselbe Dreieck aob. Aus (2) folgt somit, 'dab aueh ~ i gegen dieses Dreieck konvergiert, und dal] frr die Fl~cheninhalte die Beziehung besteht

(3) Fl~iehe aob = FI/iche ~j .

Damit ist die behauptete Konvergenz unseres unendlichen Verfahre :s nach- gewiesen.

Man kann auch leicht die ( ] r i t e d e r K o n v e r g e n z absch~itz.~n. '~'ir bezeichnen die Fl.:icheninhalte der Dreiecke oa~b und ai o~ + I b rail /No uncl ~ i und die Fl/iche ~ i mit /," Da die Bereiche t')~i nach ihier Herleitung ,,unterhalb" der Parallelen durch b zur .r-Achse liegen (Figur 2)

P = > ~ A o + A , + . . . . . . + A , - ~ + A , , (4) (~)

Setzen wir

(6) so ist

(7)

~'--Ao- ~t-. ..... -- A,-l= ~,,

I A . - ,~ ~ . ~ 0 ,

(8) G. - - / ~ = ~ . + I

und durch Addition yon (7) and (8)

I (~n.>= ( ~ . + l .

Daraus lolgt t/ir den Rest (~n die Ungleichheit

(10) ~ . < ~ . o~

Unser Vcrfahren konvergiert also besser als die Reometriscbe Reihe I/t, V~, Vs . . . . AIIe vorgetragenen Ueberlegungen lassen sich auf die r~iurnliche Oeometrie

~bertragen. AnstelIe der einzelnen Sch~ttlung ~ i --. ~i-4-1 hat dabei ein Paar yon Schfittlungen zu treten.