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tlber affine Geomelrie XXXIX. t iber Affinminimnlfliiehen. die gleichzeitig MinimalllSchen stud.

Von Oerhard Thomsen in Hamburg.

Auf Grund der ausgezeichneten und zentralen Steilung, die die Familien der Minimalfl~ichen und der Affinminimalfl~ichen in der elementaren, beziehungs- weise affinen Flfichentheorie einnehmen, ist die Frage nach den ffemeinsamen Angeh6rigen beider Klassen vielleicht nicht ohne interesset).

Eine kennzeichnende Eigenschaft der Minimalflichen ist es, dab die sphiri- schen Bilder ihrer Asymptotenlinien auf der Einheitskugel ein Isothermensystem bilden-*). Hat das Linienelement der Kugel die isotherme Form:

,tSo ~ = ~ (dlt ~ + dv'~

so muB die Funktion i. (u v) der Differentialgleiehung genfigen

O" 19 z s) O~- lg )' + A z ( 1 ) �9 �9 - -

Ferner bestehen die Oleiehungen:

(2) ~,.. = + ~ - 3 f , + X v,

i u _ i v

t e l ~ - - - ~ - - l U + ' ~ - t , v - - 2tlX.

wo t den Einheiisvekior der Plichennormalen bezeichnet, Das System (l) ist unbeschriinkt integrabei, Fiir jede L6sung yon (1) erhilt man durcll Inte- gration yon (2) eine Darstellung der Kule! in isothermen Parametern, Zulleieh ist immer die Determinanie:

(3) Of t~, I v ) ~ -- ;.'*.

Ffir die auf die Asymptotenlinien bezogene Minimaitifiehe ~ (u. ~.) selbst erhfilt man nach bekannten Formeln'):

(4) ?J~il

Setzt man t;u • ~V

1) Die Frage nach diesen FDchen hat bereits P. F r a n k aufgeworfen. (Jahresber. der Deutschen Math. Vgg. 23. 1014. S. 51 ft.)

t) VergL etwa L. B i a n c h i Vorlesungen fiber Di|ferentialgeometrie. 1910. w 66,

s) Vergl. etwa W. B 1 a s c h k e, Vorlesungen fiber Difgerentialgeomctrie I lo21. s. 2o0. (w 135.)

Berli4) Vergl. L. B i a n e h i . Vorl. w 65, 06.

72 Gerhard Thomsen.

(wo ~ ~< ~.~ das Vektorprodukt aus r u und ~v bedeutet), so ist for Affinmini- malfl~chen notwendig: Our : o ~),

Aus (4) errechnet sich unter Benutzung yon (2) und (3)

~ u • s -- .~4 , terner:

~" ~'ur - - 2 i u ,L v

A m ~(r = 0 f o l g t :

(5) ,L ~'uv - - ~ '~u 'ic = - 0

Ffir die Minimaifl~ichen, die gleichzeitig Affinminimaifl.~chen sind, muff also ,t gleichzeitig den Bedingungen 1) und 5) genfigen. Aus 2). und 3) ergeben sich die Formeln:

I (~ua~uu 3Euu u ) : i~ (~.~.,~, -- 2 i , '~r ),

(6) {'~v I~ ~v'w) = ~'~ (~'iuv - 2 i u )'v).

Aus (5) folgt das Verschwinden der beiden auf dcr linken Seite yon (6) stehenden Determinanten. Die u- und v-Kurven des sph~rischen Bildes miissen also eben sein. Da lamgekehrt aus dem Verschwinden der beiden Determinanten aus ohw ----0 folgt. ~ilt der Satz:

Eine kennzeichnende Eigenschaft dcr Affinminimalfliichen, die gleicl~zei~i.q Mini~ml- j~ichen sind, ist die,. da~ die sphdrischen Bilder der Asymptotenlinien ei~ doppeites isothermes Kreissystem bilden.

Zu jeder Minimalfl~che geh~rt eine konjugierte, die irL entsprechenden Pmik- ten parallele Normalen hat und deren Kr~mmungslinien den Asymptotenlinien der ersteren entsprechen. Da eine Krfimmungslinie, deren sph~irisehes Bild ein Kreis ist, eben sein muff, so ergibt sich, dab die zu unsern Fliichen kouiu- gierten Flichen die Minimalfl~ichen mit ebenen Kriimmungslinien sein mfissen. Diese Flichen sind bekannt. Man vergleiche etwa Bianehi2), w 202, 204. Dort finder man auch die Kugel t (u, v) bezogen auf alle wesentlich verschiedenen isothermen Kreissysteme dargestellt. Aus:

= V ( t , , )L

wo ( t u)e das skalare Quadrat des Vektors J[u bedeutet und (4) erh~ilt man dann for die Affinminimalfl,~chen, die gleichzeitig Minimalfl~ichen sind als explizite DarsteUung in asymptotischen Parametern:

!. den Kreissystemen Bianchi, w 204 entsprechend:

l ' .rl = + V I - - ~ - (ev'+ cos u ~in v'~,

I , e) x2 ~ i / l - - - - r ~ (u + c sin u ~0~ c~,

x s = - - s in u ~ i n v,

Wo c eine Konstante =[= + l i s t . c = 0 ergibt die gemeine Schraubenfi~iche.

6) Vergl. W. BI as c h ke. (Mathem. Zeitschrift 1921: Affimninimai- flichen. w 4).

6) Bin, gos bedeuten die hyperbolischen Funktioueo

Ueber affine Oeometrie XXXIX. 73

Die Asymptotenlinien dieser Flichenschar sind Raumkurven, die durch zffinr Transformation aus der gemeinen Schraubenlinie hervorgehen, die also zu den W-Kurven yon Lie und Klein geh6ren. Die Differentiagform der Krfintmun~ linien ist

du2 - - d v 2 = Q,

die der Minimallinien d u I + d v I = O.

Die affinen Krfimmungslinien lassen sich durch elliptische lntegrale au~ drficken. Die Erzeugenden dieser Minimalflie~hen sind zwei zu einer Achse spiegelbildlich kongruente isotrope Schraubenfinien.

I!. Ffi~" den Sonderfall (Bianchi w 202), in dem die Kugel dutch zwei Ebenenb~chel 8esclmitten wird, die zwet aufefnander senkrechte Tangenten der Kugel zu Achsen haben (c-+-+-1), erhilt man die Ennepersche Minimal- fliche (diese ist sich selbst konjugiert):

I x l = 3v" & , % + O , z2 = 3,, + t , ~ - &,v s,