transparencias del tema 4

SISTEMA DE PARTÍCULAS FÍSICA I

B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 4 1/13

• Definición y cálculo del centro de masas

• Movimiento del centro de masas

• Fuerzas internas y fuerzas externas

• Energía cinética de un sistema de partículas

• Teoremas de conservación para un sistema de partículas

CONTENIDO



BIBLIOGRAFÍA

SUSAN M. LEA, J.R. BURKE. La naturaleza de las cosas

Cap. 9.3: Centro de masas

Cap. 9.4: Conservación del momento angular

Cap. 10.1, 10.2.1, 10.2.3: Colisiones

WOLFGANG BAUER Y GARY D. WESTFALL, FÍSICA PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS, Volumen I,

McGraw-Hill, 2011

Cap. 5: Energía cinética, trabajo y potencia

Cap. 6: Energía potencial y conservación de la energía

SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998

Cap. 8: Impulso y choques

TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005

Cap. 8.1, 8.3-8.6: Sistema de Partículas y conservación del momento lineal



DEFINICIÓN. CENTRO DE MASAS

Un sistema de partículas es un conjunto de partículas que interaccionan. El problema puede plantearse

tratando cada partícula por separado y solucionando la segunda ley de Newton para cada una de ellas, pero

suele ser complicado. Al hacer un tratamiento conjunto, veremos como el problema se simplifica.

SISTEMA

r1

v1

Cuerpo externo A

ri

r2

v2

Sea un sistema formado por N partículas

Se define el CENTRO DE MASAS (CM) como una

partícula que tiene toda la masa del sistema

1

N

i

i

M m

Su vector de posición viene dado por la media ponderada

de los vectores de posición de las N partículas

1 1 2 2 n nCM

m x m x m xx

M

1 1 2 2 n nCM

m y m y m yy

M

1 1 2 2 n nCM

m z m z m zz

M

1

1 N

CM i i

i

r m rM



Su velocidad y aceleración se obtienen derivando respecto del tiempo

CENTRO DE MASAS

NCM

CM i i

i 1

dr 1m v

dt M

1 1 2 2 N Nm v +m v +.....+m vv =

M

NCM

CM i i

i 1

dv 1m a

dt M

1 1 2 2 N Nm a +m a +....+m aa =

M

El momento lineal total:

N N

i i CM i CM

i=1 i=1

p(total)= mv = v m = v M

Es decir, el momento lineal total del sistema = al momento lineal del centro de masas

CMp)total(p



Ejemplo: En un instante dado, tres partículas de masas m1 = 1 kg, m2 = 2.2 kg, y m3 = 3.4 kg están

situadas formando un triángulo equilátero, y sus posiciones son: r1=(0,0), r2=(140,0)cm y r3=(70,121)

cm. ¿Dónde está el centro de masas del sistema? Si v1=2i m/s, v2=3j m/s y m3 está en reposo. Calcular

la velocidad del centro de masas y el momento lineal total

31 1 2 2 3 3

CM i i

i 1

m x m x m x1x m x

M M

(1.0) (0) (2.2 kg)(1.4m) (3.4 kg)(0.7m)0.83 m

6.6 kg

31 1 2 2 3 3

CM i i

i=1

m y +m y +m y1y = m y =

M M (1.0 kg)(0)+(2.2 kg)(0)+(3.4 kg)(1.21m)

= =0.623 m6.6 kg

CM

1 2i 2.2 3 j 3 00.303i j

6.6

1 1 2 2 3 3m v +m v +m vv =

M

6.6 (0.303i j) 2i 6.6 jCMp(total)=M v

CENTRO DE MASAS



1

N

i i

i i

F ma

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

SISTEMA

jiF

ijFAiF

AjF

rj

vj

Cuerpo externo A

jAFiAF

ri

Las fuerzas que se ejercen sobre las partículas del sistema son:

int ernas externasF F F

ejercidas entre las

partículas que

forman el sistema

ejercidas por

partículas externas

del sistema a

partículas del sistema

Next

ij i

i,j i

F F F

Si sumamos a todas las partículas

Las fuerzas internas se cancelan: son pares de

acción y reacción



N Next CMi ii i i i

i i i i

CMCM

dpdv dpF= F = ma = m =

dt dt dt

dvM M a

dt

ext

CMF M a

ECUACIÓN DE MOVIMIENTO

El centro de masas (CM) se mueve como una partícula que tiene toda la masa del sistema y sobre la

que se aplica la resultante de las fuerzas externas

Ejemplo: en una bala que

explota, la única fuerza

externa es el peso. Por tanto

El CM sigue la misma

trayectoria parabólica que

llevaba antes de la explosión,

porque el peso del CM no

cambia debido a la explosión.

Nota: la explosión es una

fuerza interna Distancia (m)

Altu

ra (

m)

Movimiento del centro de masas

Movimiento del

fragmento 1

Movimiento del

fragmento 2

La línea roja representa la trayectoria del CM



CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

ext CMCM

dpF M a

dt

0

0

ext

CM

Si F

dp

dt

CMp cte

0

0

0

ext

x x

ext

y y

ext

z z

(CM)

(CM)

(CM)

Si F p cte

Si F p cte

Si F p cte

Si la resultante de Fuerzas es cero, el centro de masas o está quieto, o se mueve con movimiento

rectilíneo y uniforme



N

ji,

jii

N

1i

exter

ii

N

1i

ii

N

1i

i0 FrFrFrL

dt

d

dt

Ld

MOMENTO ANGULAR

El momento angular total del sistema respecto el punto O es:

Si tenemos en cuenta que

Las fuerzas internas no modifican el momento angular de un sistema de partículas

Si todas las fuerzas son internas, o la suma del momento de las fuerzas externas es cero, el momento

angular total se conserva

N

1i

iiii

N

1i

i

N

1i

i0 )v(mrprLL

0i0 MFr

dt

Ld

N

1i

0

N

1i

exter

ii0 Fr

dt

LdM



TRABAJO Y ENERGÍA

ENERGÍA CINÉTICA

La energía cinética de un sistema de partículas es la suma de la energía cinética de cada una de las

partículas

ENERGÍA POTENCIAL

Cada fuerza conservativa, sea interna o externa, tiene asociada una energía potencial

TRABAJO

El trabajo total es la suma de los trabajos de todas las fuerzas que se ejercen a las partículas, tanto

internas como externas. El trabajo realizado por las fuerzas internas no tiene porqué ser cero.

externas ernas CIN

TOTALW W Eint

Ejemplo: energía potencial gravitatoria de un sistema de partículas

N N

i i i i CM

i 1 i 1

(gravitatorio)U mgh g mh gMh

2N NCIN CIN CIN

TOTAL i i i CM

i 1 i 1

1E E m v E

2



TEOREMAS DE CONSERVACIÓN

• CONSERVACIÓN DE P TOTAL

• CONSERVACIÓN DE L TOTAL

• CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Al igual que para una partícula, para un sistema de partículas es siempre interesante evaluar si, bajo las

condiciones del problema se cumple:



COLISIONES

Una colisión es una interacción entre dos o más objetos en la que se intercambian momento lineal y energía, de manera que se modifica su estado de movimiento.

Las fuerzas que se ejercen las partículas (fuerzas internas), son relativamente intensas y de corta duración. Su valor no tiene que ser constante durante el tiempo que dura el choque. Es muy difícil cuantificarlas.

IMPULSO f

i

t

tI= Fdt=Δp

I F Δt media

Cambio del momento lineal de una partícula

Se puede definir una fuerza media tal que:

F internas >>>F externas

F externas ≈ 0



COLISIONES

Si durante la colisión Fext =0, de los teoremas de conservación se obtiene:

0TOTALTOTAL

dpp cte

dt

0TOTALTOTAL

dLL cte

dt

1 2 3TOTALp p p p .... 1 2 3 1 2 3

ANTES DESPUÉSp p p ... p p p ...

1 2 3TOTALL L L L .... 1 2 3 1 2 3

ANTES DESPUÉS

L L L ... L L L ...

ANTES DESPUESernas CIN CIN CIN

TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint

Choque elástico:

Choque inelástico: ANTES DESPUES

ernas CIN CIN CIN

TOTAL TOTAL TOTALSi W 0 E 0 E Eint

Choque completamente inelástico:

Las partículas quedan pegadas después del choque. No se conserva la CIN

TOTALE

CIN ernas

TOTALE Wint

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