EL METODO DIFERENCIAL PARA EL ANALISIS DE FLUJO

EL METODO DIFERENCIAL PARA EL ANALISIS DE FLUJOUNIVERSIDAD ALAS PERUANASINGENIERIA CIVIL V

LA CINEMATICA DE UNA PARTICULA DE FLUIDO

La cinemtica estudia y caracteriza el movimiento, en este caso, de los fluidos. Sin preocuparnos por buscar la causa de este movimiento.Las propiedades de una partcula de fluido dependen de su ubicacin en el espacio y el tiempo. De esta manera, la velocidad de cualquier partcula se puede expresar mediante lo que llamamos Campo de Velocidades.

Adems Recordamos que:

*Aceleracin Convectiva:

*Aceleracion Local:

Para analizar el movimiento de una partcula de fluido se tiene que definir el campo en el cual se desplaza el fluido para esto conocemos dos puntos de vista ya estudiados en mecnica de fluidos:

Punto de Vista Euleriano:

Considera que por un punto fijo de coordenadas dadas (x, y, z), pasa un conjunto continuo de partculas.

Punto de Vista Lagraniano:

Sigue a la partcula genrica, cuyas coordenadas variarn de manera continua dando en cada instante la posicin de esa partcula.

Adems tambin se debe considerar que un fluido sufre Rotacin y deformacin cuando se desplaza a travs de las lneas de flujo en el tiempo.

VELOCIDAD Y ACELERACIN EN COORDENADAS DE LNEAS DE CORRIENTE:

Definiciones Previas:

1) Lneas de Corriente (s):

Para el mismo instante t, todas las partculas ( a, b, c, etc ) tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la lnea de corriente. Definiendo La Velocidad en Coordenadas de Lneas de Corriente y Lneas Normales a ellas, ( s-n ):

Definiendo La Aceleracin en Coordenadas de Lneas de Corriente y Lneas Normales a ellas, ( s-n ):

Nota: El hecho que Vn=0, no quiere decir que an=0.

DEDUCCION DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE LA CONTINUIDAD

ECUACIONES DE CONTINUIDAD:

Enfsica, unaecuacin de continuidadexpresa unaley de conservacinde forma matemtica, ya sea de formaintegralcomo de formadiferencial.A continuacin un anlisis sobre la deduccin de la ecuacin de continuidad en un punto y en un tubo corriente.

Si consideramos un volumen arbitrario, fijo en el espacio e inmerso en un medio continuo en movimiento que lo ocupa en cada punto y en todo instante (tal como se esquematiza en la Figura 1) es evidente que; el balance entre la masa entrante y saliente a travs de la superficie del mismo y en un instante dado, ms la variacin de la masa en su interior y con la variable tiempo tendiendo a cero, da inexorablemente una masa resultante nula, puesto que sta no puede crearse ni desaparecer.

El principio enunciado se resume simblica y escuetamente como: (ms + me) + mi = 0

En esta expresin m simboliza la masa y los subndices indican, "saliente, "entrante" e interior. El smbolo implica la "variacin" de la masa en el tiempo, y es la diferencia entre masa final y masa inicial en el tiempo elemental considerado.

Al escribir la expresin, despejando el parntesis el cual implica el balance de masa a travs de la superficie lateral, la interpretacin del principio de la masa puede interpretarse en forma ms directa, puesto que el balance entre masa entrante y saliente por la superficie de control, es compensado por la variacin de la masa en el interior del volumen de control. En smbolos: (ms - me) = - m

Las ecuaciones a obtener dependen de la forma del Volumen de control adoptada. Si sta es el cubo elemental de lados diferenciales, se obtiene la Ecuacin Diferencial de Continuidad en un Punto, en cambio si el volumen de control elegido es el Tubo de corriente, la que se obtiene es la Ecuacin Diferencial de Continuidad en el mismo.

ECUACIN DE CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Es la que se obtiene, al considerar como volumen de control al elemento diferencial de lados dx, dy y dz.

Consecuentemente para obtener la ecuacin buscada, se considera el cubo de lados diferenciales dx, dy, dz, es decir el punto material (ver Figura 2) fijo en el espacio cartesiano Para las tres coordenadas z; y; x; desarrollaremos el parntesis que implica el "balance total de masa en un instante dado". La masa entrante segn el eje x resulta de multiplicar el "caudal de masa" segn x por dt, en efecto:

La masa saliente resulta:

Es decir:

El balance o diferencia entre masa saliente y masa entrante resulta:

Extrapolando el mismo procedimiento a los ejes y, z, se tiene:

Por lo que, el balance total en un instante dado, es decir la diferencia ()mmse ser:

Para evaluar la variacin de la masa en el tiempo, se tiene que:

Por lo que:

Sumando ahora e igualando a 0, con el propsito de obtener la ecuacin resultante del principio de la conservacin de la masa aplicada al volumen elemental de lados dx, dy, dz, y eliminando adems los diferenciales comunes, se tiene:

La que escrita en notacin vectorial resulta:

Si se considera =cte. en el espacio y el tiempo, la anterior se reduce a:

Que es la ecuacin de continuidad para la masa especfica considerada como constante, es decir que su cumplimiento, implica de por s, una "Condicin de Incompresibilidad".

ECUACIN DE CONTINUIDAD EN EL TUBO DE CORRIENTE Es la que se obtiene, cuando el volumen de control es el Tubo de Corriente (ver Figura 3) es decir cuando el escurrimiento es Unidimensional, caso que cubre el vasto campo de aplicacin de las Conducciones a Presin y a Superficie Libre (Canales).

PARA CAUDAL DE MASA CONSTANTE EN EL TIEMPO :

A continuacin se realizar la deduccin, en forma similar a la anterior, y destacando que por ser el tubo de corriente impermeable (por definicin no puede admitir velocidades normales) el balance de masas entrante y saliente solo tendr lugar entre las secciones de inicio y final, caracterizadas, por los subndices 1 y 2 respectivamente.

A ste tipo de escurrimiento, cuando la variacin de la masa es nula en el tiempo y variable en el recorrido, se lo denomina semipermanente

Con estas consideraciones se obtendr la Ecuacin de Continuidad, en la forma de mayor uso en las aplicaciones que constituyen los objetivos fundamentales de nuestra asignatura.

El desarrollo consiste en elaborar la expresin que sintetiza la interpretacin del Principio de Conservacin de la Masa, aplicado ahora al volumen de control Tubo de corriente y teniendo en cuenta la variacin del mismo en el tiempo, como consecuencia de la variacin de masa en el recorrido.

El proceso es anlogo al anterior, pero simplificado dado que ahora el espacio est expresado en una sola coordenada l, puesto que como es lo habitual y obligado en conducciones unidimensionales, el sistema de referencia adoptado es la terna intrnseca. La velocidad U es la definida como Velocidad media en la seccin, segn se analiz oportunamente en Cinemtica.

Considerado el elemento diferencial dl del tubo de corriente, se tiene que la masa entrante resulta de multiplicar el Caudal de masa entrante por el tiempo diferencial dt, en efecto:

La masa saliente, resulta de sumar a la anterior, su variacin en el espacio dl, es decir:

Por lo que el balance entre Masa Saliente y Masa Entrante, resulta:

Para completar la ecuacin, se debe considerar ahora la variacin en el tiempo, de la masa contenida dentro del volumen de control. La masa inicial es:

La masa final, luego de un instante dt, es:

La diferencia entre masa final y masa inicial resulta, en consecuencia

Para obtener la expresin final, slo resta concretar la suma entre el balance da masa entrante y saliente y la variacin de masa en el interior del volumen de control (tubo de corriente en ste caso) lo que resulta:

Dividiendo por los diferenciales comunes, finalmente se obtiene:

La anterior constituye la Ecuacin diferencial de continuidad, para Escurrimientos Unidimensionales (en tubo de corriente) en la que el Caudal de Masa Entrante no vara con el tiempo. Su aplicacin es trascendente en la problemtica de escurrimientos impermanentes (transitorios) tanto en conducciones a presin como a superficie libre.

La Ecuacin diferencial de Continuidad, para cte= en el espacio y el tiempo, se reduce a

Para el rgimen permanente y desde que el primer parntesis es el caudal que atraviesa la seccin, la anterior se reduce a:

En consecuencia:

La anterior es la expresin de la Ecuacin de Continuidad para Escurrimiento permanente, Unidimensional (en tubo de corriente) de un fluido Incompresible. Constituye una ecuacin de vital importancia en el Diseo y Clculo de Conducciones a presin, a Superficie libre (canales) y en general para la Hidrulica unidimensional del rgimen permanente.

PARA CAUDAL DE MASA VARIABLE EN EL TIEMPO Y EL RECORRIDO

En este caso, conocido tambin como de Impermanencia total, la ecuacin cuenta con un sumando ms, y tal como puede obtenerse del texto de la materia Fundamentos, la deduccin para ese caso lleva a la ecuacin ms general

Es de destacar que, de considerar que el caudal no vara con el tiempo y slo lo hace con el espacio, el segundo sumando resulta nulo, obtenindose la ecuacin anterior que, obviamente, es un caso particular de esta ltima.

ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE CANTIDADDE MOVIMIENTO:ECUACIN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY.

Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partcula fluida en el seno de un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservacin de cantidad de movimiento para una partcula fluida: en una partcula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula.Una partcula fluida es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias.Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos:FUERZA DE VOLUMEN:

En funcin de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partcula) est en una determinada posicin de un campo de fuerzas.FUERZAS DE SUPERFICIE:

Las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partcula, ejerce el fluido que la rodea.

FUERZAS DE INERCIA:

Las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleracin; y la fuerza de inercia de reaccin correspondiente (3 ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partcula fluida.

FLUIDO NO VISCOSO: ECUACIN DE EULER

Para poder utilizar la ecuacin de movimiento de CAUCHY, es necesario conocer los trminos de las tensiones viscosas. El caso ms simple es cuando el fluido es no viscoso, y son idnticamente nulas todas las tensiones viscosas.

FLUJO NO VISCOSO EN PUNTOS DE LNEA DE CORRIENTE: EC. DE BERNOULLI

En la ecuacin de Euler en puntos de una lnea de corriente, la nica condicin restrictiva es considerar flujo no viscoso.La Ec. de BERNOULLI, tambin se suele expresar en trminos de presin:

p + 1 v 2 + gz = cte.2

REPRESENTANDO CADA TRMINO:

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p = presin absoluta o termodinmica .pv 2

= presin dinmica

gz = presin hidrosttica p + 1 v 2 = presin de estancamiento2p + gz = presin piezomtrica

FLUIDO NEWTONIANO: ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Para un fluido newtoniano las tensiones viscosas son proporcionales a las velocidades de deformacin.

LA FUNCIN DE CORRIENTE Y LA FUNCIN POTENCIAL

LA FUNCIN DE CORRIENTE:

Se puede obtener que en una lnea de corriente no hay cambio en la funcin , por lo que a la citada funcin se le denomina funcin de corriente: Ecuacin lnea de corriente:

dx = dy v dx + u dy = 0 u v

Introduciendo la funcin de corriente: dx + dy = 0 = d = cte. x yLA FUNCIN POTENCIAL:Consideremos como nica restriccin que el flujo es ir rotacional, con ello se tiene que la verticidad es nula y se obtiene que el vector velocidad es el gradiente de una funcin escalar5, a la que se denomina funcin potencial de velocidad.

ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE ENERGA: ECUACIN DE ENERGA

El principio de conservacin de energa (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINMICA) aplicado a una partcula fluida, establece que la energa total de la partcula fluida es constante, siempre que no existan aportes energticos por transferencia de calor o de trabajo.Siguiendo el criterio termodinmico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partcula y el calor aportado a la partcula, y como negativos el trabajo consumido por la partcula y el calor cedido por la partcula.

ECUACION DE ENERGIA INTERNA

Introduciendo el trmino de funcin de disipacin viscosa en la ecuacin de energa, y utilizando la ecuacin de Navier-Stokes para un fluido newtoniano multiplicada escalarmente por la vector velocidad, para que desaparezca el trmino, se obtendr una expresin de la ecuacin de energa en donde no aparecen las energas cinticas ni potencia, solo la energa interna.

ECUACIN DE ENTALPA

La entalpa es la suma de la energa interna y el trabajo de flujo, con lo que la variacin temporal de la entalpa; el trmino de variacin temporal de la densidad, se puede expresar en funcin de la divergencia de la velocidad.

ECUACIN DE ENTROPA

El termino de disipacin de energa es siempre positivo, con lo que genera siempre aumento de entropa: es lo inherente al Segundo Principio de Termodinmica: las irreversibilidades hacen aumentar la entropa; el trmino de transmisin de calor por conduccin, aumenta la entropa si el flujo de calor es positivo (es decir se calienta el flujo) y disminuye la entropa si en flujo de calor es negativo ( es decir se enfra el flujo).

CONDICIONES DE CONTORNO

Las ecuaciones de continuidad y de energa son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuacin de movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incgnitas se tienen: la densidad (), las componentes del vector velocidad (u,v,w), la presin (p), la temperatura (T) y la energa interna (), es decir se tienen 7 incgnitas, por lo que para poder tener un sistema homogneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitucin del propio fluido considerado:

Ecuacin trmica de estado: = (p,T)Ecuacin calrica de estado: = (p,T

ECUACIONES DE EULER (FLUIDOS) Endinmica de fluidos, lasecuaciones de Eulerson las que describen el movimiento de unfluidocompresible no viscoso. Su expresin corresponde a lasecuaciones de Navier-Stokescuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a travs del anlisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artculo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservacin de masa, momento y energa. Estas ecuaciones se llaman as en honor de Leonhard Eulerquien las dedujo directamente de lasleyes de Newton(para el caso no-relativista).

EL MTODO DE EULER DE INTEGRACIN NUMRICA

A grandes rasgos, se puede decir que las primeras contribuciones, en el siglo XVII, a la integracin de las ecuaciones diferenciales buscaron la hoy llamada (de modo contundente) integracin elemental, es decir la reduccin mediante cambios de variables, manipulaciones algebraicas y otros artificios, a menudo ingeniosos y altamente especficos, a problemas de cuadraturas. La incapacidad de los mtodos elementales para integrar algunos problemas importantes pronto fue aparente y se introdujeron tcnicas de mayor potencia y generalidad, como la solucin por series, empleada ya por el propio Newton. Aunque hoy da disponemos de una panoplia amplsima de armas con que acometer la integracin de las ecuaciones diferenciales, no es exagerado afirmar que en la prctica, son los mtodos numricos, introducidos por Euler, los que permiten en toda clase de situaciones dar soluciones efectivas con xito.

TEORA DEL FLUJO POTENCIAL

Dinmica de flujo sin viscosidad e irrotacionalEl principio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una lnea de corriente. Y este expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. CINTICO: Es la energa debida a la velocidad que posea el fluido.

2. POTENCIAL GRAVITACIONAL: Es la energa debido a la altitud que un fluido posea.

3. ENERGA DE FLUJO: Es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.

La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" consta de estos mismos trminos.

EL POTENCIAL DE VELOCIDADES:

Se puede observar que, si el flujo es irrotacional, existe una funcin escalar () del espacio y del tiempo tal que su derivada en una direccin cualesquiera es la componente de la velocidad del fluido en esa direccin. Matemticamente, la funcin escalar, en flujo bidimensional, se define por las ecuaciones:

A la funcin se le llama velocidad potencial, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuacin de Laplace o Laplaciano de la funcin

LA FUNCIN CORRIENTE:

En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a travs de las lneas de corriente ya que por definicin las velocidades de las partculas son tangentes a ellas, o sea que se cumple con:

Para toda trayectoria diferencial ds sobre la lnea de corriente, de la cual se deducen las ecuaciones de las lneas de corriente en este caso bi-dimensional segn vimos en el Mdulo 1, que para el caso 2D es:

FLUJOS POTENCIALES PLANOS:El caso ms sencillo de flujo potencial es el bidimensional, esto es, cuando elmovimiento de un fluido se produce paralelamente a un plano, de manera quela terceradimensin no entra en ninguna ecuacin. Por una parte, al ser plano elmovimientose puede definir una funcin de corriente quedescribelas lneas de corriente, y por otra parte, al ser flujo potencial, la velocidad est determinada por el potencial (x,y,z,t).