1. Trabajo, energa y potencia Trabajo En mecnica clsica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energa necesaria para desplazar este cuerpo.1 El trabajo es una magnitud fsica escalar que se representa con la letra (del ingls Work) y se expresa en unidades de energa, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades. Ya que por definicin el trabajo es un trnsito de energa,2 nunca se refiere a l como incremento de trabajo, ni se simboliza como W. Matemticamente se expresa como:

Donde F es el mdulo de la fuerza, d es el desplazamiento y es el ngulo que forman entre s el vector fuerza y el vector desplazamiento (vase dibujo). Cuando el vector fuerza es perpendicular al vector desplazamiento del cuerpo sobre el que se aplica, dicha fuerza no realiza trabajo alguno. Asimismo, si no hay desplazamiento, el trabajo tambin ser nulo.

Ejemplo: Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicacin se traslada 7 m, si el ngulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0, 60, 90, 135, 180.

Unidades de trabajo Sistema Internacional de Unidades

Julio o joule, unidad de trabajo en el SI 3 Kilojulio: 1 kJ = 10 J Sistema Tcnico de Unidades

kilogrmetro o kilopondmetro (kgm) = 1 kilogramo-fuerza x 1 metro = 9,80665 J Sistema Cegesimal de Unidades Ergio: 1 erg = 10-7 J Sistema anglosajn de unidades

Termia inglesa (th), 105 BTU BTU, unidad bsica de trabajo de este sistema Sistema tcnico ingls

pie-libra (foot-pound) (ft-lb) Otras unidades

kilovatio-hora Calora termoqumica (calTQ) Termia EEC.

Atmsfera-litro (atmL)

Energa de un Cuerpo El trmino energa (del griego /energeia, actividad, operacin; /energos = fuerza de accin o fuerza trabajando) tiene diversas acepciones y definiciones, relacionadas con la idea de una capacidad para obrar, transformar o poner en movimiento. En fsica, energa se define como la capacidad para realizar un trabajo. En tecnologa y economa, energa se refiere a un recurso natural (incluyendo a su tecnologa asociada) para extraerla, transformarla y darle un uso industrial o econmico. Energa Potencial Se dice que un objeto tiene energia cuando est en movimiento, pero tambin puede tener energia potencial, que es la energia asociada con la posicin del objeto. Energia Potencial, ejemplo: un pesado ladrillo sostenido en alto tiene energia potencial debido a su posicin en relacin al suelo. Tiene la capacidad de efectuar trabajo porque si se suelta caer al piso debido a la fuerza de gravedad, pudiendo efectuar trabajo sobre otro objeto que se interponga en su cada. Un resorte comprimido tiene energia potencial. Por ejemplo, el resorte de un reloj a cuerda transforma su energa efectuando trabajo para mover el horario y el minutero. Hay varios tipos de energa potencial: gravitacional, elstica, elctrica, etc. Energa cintica Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energa cintica de la partcula.

En la primera lnea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleracin tangencial. En la segunda lnea, la aceleracin tangencial at es igual a la derivada del mdulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del mvil.

Se define energa cintica como la expresin

El teorema del trabajo-energa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre una partcula modifica su energa cintica. Ejemplo: Hallar la velocidad con la que sale una bala despus de atravesar una tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de 15 g. El trabajo realizado por la fuerza F es -18000.07=-126 J

La velocidad final v es

Conservacin de Energa Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre un objeto en movimiento entre dos puntos es independiente de la trayectoria que el objeto tome entre los puntos

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre la partcula es igual a la diferencia entre el valor final e inicial de la energa cintica.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresin del principio de conservacin de la energa

EkA+EpA=EkB+EpB La energa mecnica de la partcula (suma de la energa potencial ms cintica) es constante en todos los puntos de su trayectoria. Comprobacin del principio de conservacin de la energa

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular 1. La velocidad del cuerpo cuando est a 1 m de altura y cuando llega al suelo, aplicando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado 2. La energa cintica potencial y total en dichas posiciones Tomar g=10 m/s2

Posicin inicial x=3 m, v=0.

Ep=2103=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J

Cuando x=1 m

Ep=2101=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

Cuando x=0 m

Ep=2100=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J La energa total del cuerpo es constante. La energa potencial disminuye y la energa cintica aumenta.

Potencia La potencia se define como la rapidez de transferencia de energa Si W es la cantidad de trabajo realizado durante un intervalo de tiempo de duracin t, la potencia media durante ese intervalo est dada por la relacin:

La potencia instantnea es el valor lmite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo t se aproxima a cero.

Donde P es la potencia, W es el trabajo, t es el tiempo. Ejemplo. Calcule la potencia que requiere requiere un automvil de 1.200 kg para las siguientes situaciones: a) El automvil sube una pendiente de 8 a una velocidad constante de 12 m/s. b) El automvil acelera de 14 m/s a 18 m/s en 10 s para adelantar otro vehculo, en una carretera horizontal. Suponga que la fuerza de roce o fuerza de retardo es constante e igual a Fr = 500 N.

F denota la fuerza que impulsa al auto. SOLUCION. a) A velocidad constante la aceleracin es cero, de modo que podemos escribir: F = Fr + mgsen

F = 500 N + 1200 kg9,8 m/s2 sen8 = 2.137 N Usando P = Fv, resulta P = 2.137N12m/s = 25644 watts, que expresada en hp resulta 34,3 hp. b) La aceleracin es (18m/s - 14m/s)10s = 0,4 m/s2. Por 2 ley de Newton, la resultante de las fuerzas externas debe ser igual a ma, masa por aceleracin. F Fr = ma F = 1200kg0,4m/s2 + 500N = 980 N La potencia requerida para alcanzar los 18 m/s y adelantar es P = Fv = 980N18m/s = 17.640 watts 23,6 hp.

Unidades de Potencia C

I (cont.) Caballo de potencia Caballo de vapor

P

Indicated Horse Power

Potencia de Planck

K

T Kilovatio-hora

G Tonelada de refrigeracin

Gigavatio GWh

M

V Megavatio MVA MWt

I

Vatio Voltiamperio

Impulso especfico

2. Maquinas Simples Una mquina simple es un artefacto mecnico que transforma una fuerza aplicada en otro resultante, modificando la magnitud de la fuerza, su direccin, la longitud de desplazamiento o una combinacin de ellas. Wmaq= (Qh ) (Qc ) e = 1 (Qc ) / (Qh ) Conservacin Dentro de los sistemas termodinmicos, una consecuencia de la ley de conservacin de la energa es la llamada primera ley de la termodinmica, la cual establece que, al suministrar una determinada cantidad de energa trmica (Q) a un sistema, esta cantidad de energa ser igual a la diferencia del incremento de la energa interna del sistema (U) menos el trabajo (W) efectuado por el sistema sobre sus alrededores:

Aunque la energa no se pierde, se degrada de acuerdo con la segunda ley de la termodinmica. En un proceso irreversible, la entropa de un sistema aislado aumenta y no es posible devolverlo alestado termodinmico fsico anterior. As un sistema fsico aislado puede cambiar su estado a otro con la misma energa pero con dicha energa en una forma menos aprovechable. Por ejemplo, un movimiento con friccin es un proceso irreversible por el cual se convierte energa mecnica en energa trmica. Esa energa trmica no puede convertirse en su totalidad en energa mecnica de nuevo ya que, como el proceso opuesto no es espontneo, es necesario aportar energa extra para que se produzca en el sentido contrario. Desde un punto de vista cotidiano, las mquinas y los procesos desarrollados por el hombre funcionan con un rendimiento menor al 100%, lo que se traduce en prdidas de energa y por lo tanto tambin de recursos econmicos o materiales. Como se deca anteriormente, esto no debe interpretarse como un incumplimiento del principio enunciado sino como una transformacin "irremediable" de la energa. Ventaja Mecnica Las maquinas simples como la palanca, el polipasto, la garrocha, los engranajes, el plano inclinado y el gato de tornillo juegan un papel muy importante en la industria moderna. Podemos ilustrar la operacin de cualquiera de estas maquinas por medio de diagramas que vimos anteriormente. La ventaja mecnica real Ma de una maquina se define como la relacin de la fuerza de salida F0 entre la fuerza de entrada F1 . Ma = = Una ventaja mecnica real mayor que indica que la fuerza de salida es mayor que la fuerza de entrada, la eficiencia de una maquina aumenta a medida que los efectos del rozamiento disminuyen. F1S1 = (Trabajo) + F0S0 Durante la operacin de una maquina simple una fuerza de entrada F1 acta a lo largo de una distancia S1, mientras que una fuerza de salida F0 acta a lo largo de una distancia S0. La maquina ms eficiente que pudiera existir, no tendra perdidas por rozamiento. Podemos representar este caso ideal haciendo que (Trabajo) F = 0 F0S0 = F1S1 Dado que esta ecuacin representa un caso ideal, definimos la ventaja mecnica ideal M1 como:

M1 = = La ventaja mecnica ideal de una maquina simple es igual a la relacin de la distancia con que la fuerza de entrada se mueve entre la distancia con que la fuerza de salida se mueve. La eficiencia de una maquina simple es la relacin del trabajo de salida entre el trabajo de entrada por lo tanto la maquina vista anteriormente tiene una eficiencia de : E== Finalmente se obtiene: E= Rendimiento El rendimiento es un concepto asociado al trabajo realizado por las mquinas. Todo el mundo sabe que obtener un buen rendimiento supone obtener buenos y esperados resultados con poco trabajo. En Fsica este concepto se define como el cociente entre el trabajo til que realiza una mquina en un intervalo de tiempo determinado y el trabajo total entregado a la mquina en ese intervalo: R= potencia til/ trabajo total mpetu Mientras ms rpido se desplaza el cuerpo, es ms fcil detenerlo; cuanta mayor masa tenga, ms difcil ser pararlo. Conservacin del mpetu: si la resultante de las fuerzas externas es nula, la cantidad de movimiento se conserva. Colisin: interaccin de dos cuerpos. Coeficiente de restitucin: relacin negativa de la velocidad relativa despus del choque entre la velocidad relativa antes del mismo. Conservacin de la energa mecnica: la energa mecnica de un cuerpo no cambia cuando actan sobre l nicamente fuerzas conservativas y no descriptivas. Impulso En mecnica, se llama impulso a la magnitud fsica, denotada usualmente como I, definida como la variacin en el momento lineal que experimenta un objeto en un sistema cerrado. El trmino difiere de lo que cotidianamente conocemos como impulso y fue acuado

por Isaac Newton en su segunda ley, donde lo llam vis motrix, refirindose a una especie de fuerza del movimiento El concepto de impulso se puede introducir mucho antes del conocimiento sobre el clculo diferencial e integral con algunas consideraciones. Si consideramos una masa que no vara en el tiempo sujeta a la accin de una fuerza tambin constante, la cantidad de movimiento se puede tomar como el simple producto entre la velocidad ( ) y la masa ( ). Segn la segunda ley de Newton, si a una masa se le aplica una fuerza aqulla adquiere una aceleracin , de acuerdo con la expresin:

Conservacin del mpetu Ley de conservacin del mpetu: La ley de conservacin del mpetu es particularmente til al estudiar las colisiones. Por ejemplo, en una colisin entre dos cuerpos de masas m1 y m2, la ley de conservacin del mpetu nos dice que el mpetu del sistema ANTES del choque p = m1.v1 + m2.v2 ser igual al mpetu del sistema DESPUS del choque p' = m1.v1' + m2.v2' es decir p = p' (conservacin del mpetu) v1-v2 son las velocidades iniciales v1'-v2' son las velocidades finales (despus del choque) 3. Velocidad y aceleracin angulares Desplazamiento Angular Ubiquemos la trayectoria circular de tal forma que su centro coincida con el origen del sistema de coordenadas XY (figura 1 a). (antes del choque)

Figura 1a

Figura 1b

Para ubicar la partcula sobre la trayectoria bastar con dar el valor del ngulo que forma el radio que intercepta la partcula con la parte positiva del eje X (ver figura 1b). Este ngulo, es un ngulo central plano y lo expresaremos en radianes. A la denominaremos la posicin angular de la partcula.

Si la partcula en el instante t = t1 ocupa la posicin A, con posicin angular .y en el instante t = t2 ocupa la posicin B, con posicin angular , cuando se mueve dese A hasta B su desplazamiento angular ser (ver figura 2). Obviamente el desplazamiento angular tambin se medir en radianes. Entonces , definimos el desplazamiento angular como el cambio en la posicin angular:

Velocidad Angular El mdulo de la velocidad angular media o rapidez angular media se define como la variacin de la posicin angular sobre el intervalo de tiempo.

de modo que su valor instantneo queda definido por:

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolucin completa representa 2 radianes, tenemos:

donde T es el perodo (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (nmero de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). Si v es la velocidad de un punto y r es su distancia al eje de rotacin (radio), el periodo tambin se puede obtener a partir de la velocidad:

de modo que:

5. Cul es la velocidad angular de (a) la manecilla segundos, (b) la manecilla de minutos, y (c) la manecilla horaria de un reloj?.

a) Manecilla segundos

1 rev

2p rad = 0.150 rad/seg

60 seg

1 rev

b) Manecilla minutos

1 rev

2p rad =

2p rad

1 min = 1.75 x 10-3 rad/s

60 min

1 rev

60 min

60 seg

c) Manecillas horas

1 rev

2p rad =

2p rad

1 min = 1.45 x 10-4 rad/s

12 horas

1 rev

60 min

60 seg

Aceleracin Se define la aceleracin angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleracin angular tiene carcter vectorial. Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radin es adimensional. Definimos el vector aceleracin angular, y lo representamos por , de modo que

Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotacin. Si denominamos por el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea , podemos escribir

resultando que, en general, el vector

no est localizado sobre el eje de rotacin.

11. Una tornamesa de fongrafo que gira a 78 rev/min disminuye su velocidad y se detiene 32s despus de que el motor ha sido desconectado. (a) Halle su aceleracin angular (uniforme) en rev/min2. (b) Cuntas revoluciones llev a cabo en este tiempo? w = 78 rev /min t = 32s Vf = 0 V0 = ?

78 rev

1 min = 1.3 rev/s

min

60 s

Vf = Vo + at

Vf Vo = at

Vf Vo a=

t

Vo a= t

1.3 rev/s a= = 0.040625 rev/s2 32 s

El resultado anterior es negativo ya que es una desaceleracin O w= t

O=wt

O = 1.3 rev/s (32 s) = 41.6 rev

Fuerza Centrpeta Es una fuerza resultante de todas las fuerzas radiales que actan sobre un cuerpo con movimiento circular.

Su sentido es tal que se dirige al centro de la trayectoria No se grafica en el diagrama de cuerpo libre. Obedece a la segunda ley de Newton. Fcp = m acp

Dnde: m = masa, y se expresa en kilogramos (kg) acp = aceleracin centrpeta (m/s2) Parar calcular la aceleracin centrpeta podemos utilizar: acp = v2/R = w2 R Dnde: v = velocidad tangencial (m/s); w = velocidad angular (rad/s) Ejemplo: Una pequea esfera de 200 g de masa gira en una trayectoria circular de 0,8 m de radio con una velocidad angular de 5 rad/s. Calcular la magnitud de la fuerza centrpeta que acta sobre la esfera. Datos: m = 200 g = 0,2 kg R = 0,8 m w = 5 rad/s La ecuacin a utilizar es: Fcp = m acp = m w2 R Reemplazando los datos: Fcp = (0,2)(5)2 (0,8) ----> Fcp = 4 N Ejemplo: Una masa de 100 g atada a una cuerda de 50 cm de longitud gira en un plano vertical. Si cuando pasa por el punto ms bajo su velocidad es de 3 m/s, qu valor tiene la tensin de la cuerda en ese instante? Considere: g = 10 m/s2.

Datos: m = 100 g = 0,1 kg; R = 50 cm = 0,5 m; v = 3 m/s Dibujemos el diagrama de cuerpo libre de la masa:

La fuerza centrpeta es la resultante de las dos fuerzas radiales (fuerzas que se encuentran en la direccin del radio), entonces: Fcp = T - mg Aplicando la segunda ley Luego: T Reemplazando datos: T T T = 2,8 N Movimiento de rotacin Uniforme de mg 1 Newton: = (0,1)((10) = Fcp = m = m a v2/R (0,1)(32)/0.5 1,8cp

Rotacin uniforme, es el movimiento del objeto sobre su propio eje con velocidad angular independiente del tiempo Uniforme es aquello que no presenta irregularidades, que es todo el tiempo lo mismo. Tratndose de aceleracin es que su velocidad aumenta linealmente respecto al tiempo. Es decir, siempre aumenta lo mismo por cada unidad de tiempo.

Aceleracin Centrpeta

Esta aceleracin es responsable de que la trayectoria del mvil sea una circunferencia La aceleracin centrpeta est siempre dirigida hacia el centro de la circunferencia. Esta aceleracin es responsable de que la trayectoria del mvil sea una circunferencia. La aceleracin centrpeta est siempre dirigida hacia el centro de la circunferencia. El valor de la aceleracin normal (aN) puede conocerse a partir de la siguiente expresin: aN=v2r=2r Donde v es la velocidad del mvil y r es el radio de la circunferencia. La unidad de aceleracin centrpeta, como las de cualquier aceleracin, es m/s2 (en el SI). Cuanto ms rpido gira el mvil, mayor es la aceleracin normal. Como es lgico, las expresiones anteriores son coherentes con la idea de que en una trayectoria rectilnea, al no existir cambio en la direccin de la velocidad, la aceleracin normal debe ser nula. En efecto, cualquier tramo recto de una posible trayectoria puede

considerarse matemticamente como un trozo de una circunferencia de radio infinito, con lo que sustituyendo en la primera expresin tenemos: aN=v2=0 Qu ocurrira si utilizsemos la segunda expresin? Tambin dara 0, ya que en un tramo recto la velocidad angular es nula. 4. Rotacin de slidos Rgidos Movimiento de Inercia La inercia es la dificultad o resistencia que opone un sistema fsico o un sistema social a posibles cambios. La Inercia es la propiedad de los cuerpos a seguir en su estado de movimiento. En fsica se dice que un sistema tiene ms inercia cuando resulta ms difcil lograr un cambio en el estado fsico del mismo. Los dos usos ms frecuentes en fsica son la inercia mecnica y la inercia trmica. La primera de ellas aparece en mecnica y es una medida de dificultad para cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecnica depende de la cantidad de masa y del tensor de inercia. La inercia trmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia trmica depende de la cantidad de masa y de la capacidad calorfica. Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes que un observador en un sistema de referencia no-inercial. Ejemplo: Calcular el momento de inercia de una partcula que tiene una masa de 0,5 kg y gira alrededor de un eje que se encuentra a 20 cm. de la misma La inercia de una partcula alrededor de un eje se calcula como:

Movimiento y aceleracin Angular Se define la aceleracin angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa . Al igual que la velocidad angular, la aceleracin angular tiene carcter vectorial. Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radin es adimensional.

Definimos el vector aceleracin angular, y lo representamos por

, de modo que

Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotacin. Si denominamos por el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea , podemos escribir

Resultando que, en general, el vector

no est localizado sobre el eje de rotacin.

En el caso particular de que el eje de rotacin mantenga una orientacin fija en el espacio (movimiento plano), entonces ser localizado sobre el eje de rotacin. Esto es, y el vector aceleracin angular estar

Ejercicio Energa Cintica de rotacin Para un slido rgido que est rotando puede descomponerse la energa cintica total como dos sumas: la energa cintica de traslacin (que es la asociada al desplazamiento del centro de masa del cuerpo a travs del espacio) y la energa cintica de rotacin (que es la asociada al movimiento de rotacin con cierta velocidad angular). La expresin matemtica para la energa cintica es:

Dnde: Energa de traslacin. Energa de rotacin. Masa del cuerpo. Tensor de (momentos de) inercia.

Velocidad angular del cuerpo. Traspuesta del vector de la velocidad angular del cuerpo. Velocidad lineal del cuerpo. El valor de la energa cintica es positivo, y depende del sistema de referencia que se considere al determinar el valor (mdulo) de la velocidad y . La expresin anterior puede deducirse de la expresin general:

Trabajo La expresin del teorema del trabajo en movimientos de rotacin se puede expresar as: la variacin de la energa cintica del slido rgido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ngulo girado ().

Potencia La potencia de rotacin es la velocidad con que se produce un trabajo de rotacin, sto es, el resultado de dividir el trabajo entre el tiempo:

mpetu Angular En fsica, mpetu angular de un objeto el rotar sobre un cierto punto de referencia es la medida del grado a el cual el objeto continuar rotando sobre ese punto a menos que sea actuado sobre por un externo esfuerzo. Particularmente, si a masa del punto rota sobre un eje, despus el mpetu angular con respecto a un punto en el eje se relaciona con masa del objeto, de la velocidad y de la distancia de la masa al eje.

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio estn montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo

largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema. Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

La velocidad angular de rotacin cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla. Hallar la energa cintica del sistema en los dos casos.Solucin

Conservacin del momento angular I 1 = 1 12 3 2 2 +2( 2 5 6 0.2 2 +6 0.5 2 ) 1 = 1202 60 =4rad/s I 2 = 1 12 3 2 2 +2( 2 5 6 0.2 2+6 1 2 ) I 1 1 = I 2 2 2 =1.27rad/s Variacin de la energa cintica E k1 = 1 2 I 1 1 2 =330.99J E k2 = 1 2 I 2 2 2 =105.20JImpulsin AngularSe L= define como momento angular o momento de impulso L el producto m.Vt.r

Vt es la velocidad tangencial ,m .a masa y r la distancia al centro a tractor ,se conserva si no hay fuerzas externas que ejerzan torque M=Ft.r Es una importante ley de conservacin que ayuda a calcular las trayectorias en los campos centrales simtricos .Ejemplos de estos campos son el campo gravitatorio del sol sobre los planetas(si despreciamos la fuerza entre los propios planetas),el campo de atraccin del ncleo atmico sobre los electrones ,etc

Para deducir que L se conserva habra que hacer un grfico ,aunque tambin puede deducirse la conservacin de L de acuerdo a la siguiente situacin fsica Supongamos un cuerpo de masa m girando bajo la accin de una fuerza central ,donde la fuerza centrfuga equilibra exactamente con la fuerza central de atracciones esta situacin la fuerza atractiva no realiza trabajo mecnico. Luego hacemos la fuerza atractiva un infinitesimal mas fuerte ,esto hara que el cuerpo m comience a girar acercndose lentamente al punto central a tractor ,la fuerza ahora si realiza trabajo ,ese trabajo se traduce en el aumento de la energa cintica de giro del cuerpo m,de acuerdo a lo que sigue: F.-(dr) = dEc.............(1) El signo (-) en dr es porque al disminuir la distancia radial al centro Ec aumenta Ec La F = magnitud de m.v/2 la = (2) y = dr/r y INT lnr ](r1;r2) = dr/r estableciendo = = = los INT v fuerza ------> es igual a dEc la m.v/r (3) de la = fuerza m.v.dv....(2) centrifuga ........(3) (1) m.v.dv dv/v limites dv/v ](v1;v2) (v2/v1) v2/v1 r2.v2

Introduciendo -(m.v/r).dr Integrando ln(r1/r2) r1/r2 r1.v1

en

ln ln

= =

Esta es la relacin de velocidad es al acercarse o alejarse el cuerpo al centro a tractor ,se ve que el producto de la distancia por la velocidad tangencial en el punto considerado : vr = cte ,como la masa tambin es una magnitud constante L =m.v.r =cte

5. Movimiento Armnico SimplePeriodo: Es el tiempo requerido para realizar una oscilacin o vibracin completa. Se designa con la letra "t". Es decir, de x = A a x = -A y de regreso a x = A

Frecuencia: f es el nmero de oscilacin o vibracin realizadas en la unidad de tiempo. Elongacin o desplazamiento Es el desplazamiento de la partcula que oscila desde la posicin de equilibrio hasta cualquier posicin en un instante dado. Movimiento Armnico Simple Es un movimiento vibratorio bajo la accin de una fuerza recuperadora elstica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa grficamente por la funcin seno. sta representa un movimiento vibratorio llamado movimiento armnico simple, que es aquel que se obtiene cuando los desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las fuerzas causantes de este desplazamiento. Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una circunferencia. Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su proyeccin (Q) sobre cualquiera de los dimetros de esta, realiza un tipo de movimiento armnico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazar una perpendicular desde el punto a un dimetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el dimetro, realizar un movimiento oscilatorio rectilneo. Para representar grficamente (en una funcin) el movimiento armnico simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como fracciones del perodo (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la variacin del tiempo t, se traduce como una variacin del sin x, donde x es el ngulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es proporcional al tiempo).

Velocidad y Aceleracin La velocidad es la variacin del espacio respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin del espacio respecto al tiempo:

La aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo:

Periodo Perodo: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilacin completa. Para determinar el perodo se utiliza la siguiente expresin T/ N de Osc. ( Tiempo empleado dividido por el nmero de oscilaciones). 1) El periodo de un pndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si se tienen 2) Pndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos pndulos es el mismo. 3) El periodo de un pndulo es directamente proporcional a la raz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un pndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raz cuadrada de la longitud de ese pndulo.

Pndulo Es llamado as porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:

el hilo es inextensible su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo el ngulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeo

Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada con la masa del cuerpo el ngulo de desplazamiento debe ser pequeo. Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como tales. El pndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos. Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente el hilo se produce una oscilacin peridica. Para estudiar esta oscilacin es necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento, y ver que componentes nos interesan y cuales no. Esto se puede observar en la figura 13.1.

ElasticidadElasticidad Propiedad de cambiar de forma cuando acta una fuerza de deformacin sobre un objeto, y el objeto regresa a su forma original cuando cesa la deformacin. Para un resorte que cumple la ley de Hooke y que presenta como constante clsica de elasticidad el valor de 19.62 N/cm. Se le cuelga un objeto que causa una deformacin de 58.86 cm. Cul es la masa del objeto? K=19.62 N/cm x=58.86 g=9.81 m/s2 F=kx W=mg Kx =mg m=Kx/g m=(19.62 N/cm)(58.86 cm)/9.81 m/s2= 1154.83N/9.81 m/s2= 117.72 Kg m=117.72 Kg

Esfuerzo o fatiga En el diagrama esfuerzo deformacin, la lnea recta indica que la deformacin es directamente proporcional. Al esfuerzo en el tramo elstico, este principio conocido como la ley de Hooke E = / Deformacin Unitaria

La resistencia del material no es el nico parmetro que debe utilizarse al disear o analizar una estructura; controlar las deformaciones para que la estructura cumpla con el propsito para el cual se dise tiene la misma o mayor importancia. El anlisis de las deformaciones se relaciona con los cambios en la forma de la estructura que generan las cargas aplicadas. Una barra sometida a una fuerza axial de traccin aumentara su longitud inicial; se puede observar que bajo la misma carga pero con una longitud mayor este aumento o alargamiento se incrementar tambin. Por ello definir la deformacin () como el cociente entre el alargamiento y la longitud inicial L, indica que sobre la barra la deformacin es la misma porque si aumenta L tambin aumentara . Matemticamente la deformacin sera: = / L

Lmite de Elasticidad En fsica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elstico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

Siendo el alargamiento, L la longitud original, E: mdulo de Young, A la seccin transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elsticos hasta un lmite denominado lmite elstico. Ejemplo: La elastina es una protena elstica con un mdulo de Young que vale 6x105N/m2. si estiramos una muestra de elastina de 1 cm de longitud y 0,2 mm de dimetro con una fuerza de 0.04 N, cunto vale la longitud final de la protena? En concreto para este problema puede ser siendo E el mdulo de Young, no se ve bien los datos y supongo que es y la deformacin relativa. Suponiendo la seccin S de la elastina circular la tensin

a mi me sale que y por tanto

Ley de HookeCuando una fuerza externa acta sobre un material causa un esfuerzo o tensin en el interior del material que provoca la deformacin del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformacin es directamente proporcional al esfuerzo. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es vlida. El mximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina lmite de elasticidad.

Elasticidad Longitudinal Los materiales elsticos lineales anistropos se caracterizan por presentar diferentes valores de las constantes elsticas segn la direccin en la que se aplican las fuerzas. En general, en un material anistropo al aplicar esfuerzos tangentes a una superficie aparecen deformaciones normales a sta. Eso significa que los modos transversales y longitudinales no estn desacoplados y por esa razn los conceptos de mdulo de elasticidad longitudinal y mdulo de elasticidad transversal no se pueden generalizar adecuadamente, en todos los casos. El mdulo de Young o mdulo de elasticidad longitudinal es un parmetro que caracteriza el comportamiento de un material elstico, segn la direccin en la que se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el cientfico ingls Thomas Young. Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de Young tiene el mismo valor para una traccin que para una compresin, siendo una constante independiente del esfuerzo siempre que no exceda de un valor mximo denominado lmite elstico, y es siempre mayor que cero: si se tracciona una barra, aumenta de longitud. Tanto el mdulo de Young como el lmite elstico son distintos para los diversos materiales. El mdulo de elasticidad es una constante elstica que, al igual que el lmite elstico, puede encontrarse empricamente mediante ensayo de traccin del material. Adems de este mdulo de elasticidad longitudinal, puede definirse el mdulo de elasticidad transversal de un material

Materiales lineales Para un material elstico lineal el mdulo de elasticidad longitudinal es una constante (para valores de tensin dentro del rango de reversibilidad completa de deformaciones). En este caso, su valor se define mediante el coeficiente de la tensin y de la deformacin que aparecen en una barra recta estirada que est fabricada en el material para el cual pretendemos estimar el mdulo de elasticidad:

Donde: es el mdulo de elasticidad longitudinal. es la presin ejercida sobre el rea de seccin transversal del objeto. es la deformacin unitaria en cualquier punto de la barra. La ecuacin anterior se puede expresar tambin como:

Por lo que dadas dos barras o prismas mecnicos geomtricamente idnticos pero de materiales elsticos diferentes, al someter a ambas barras a deformaciones idnticas, se inducirn mayores tensiones cuanto mayor sea el mdulo de elasticidad. De modo anlogo, tenemos que sometidas a la misma fuerza, la ecuacin anterior reescrita como:

Nos indica que las deformaciones resultan menores para la barra con mayor mdulo de elasticidad. En este caso, se dice que el material es ms rgido. Elasticidad de Volumen Caracteriza la respuesta de un cuerpo a cambios en una fuerza de magnitud uniforme aplicada perpendicularmente sobre toda la superficie de un cuerpo. El esfuerzo de volumen se define como la razn entre la magnitud de la fuerza total F ejercida sobre una superficie y el rea A de la superficie. La cantidad P=F/A se denomina presin, si cambia la presin sobre un cuerpo en una cantidad P entonces el cuerpo va a experimentar un cambio de volumen = F

ELASTICIDAD El mdulo de volumen se define como: F e s fu e r _ o e_ v o lu m e n zd P B= = A = V d e fo r m anc_io e_ v o lu m e n V d Vi Vi Se inserta el signo negativo en esta ecuacin para que B sea un nmero positivo. El reciproco del mdulo de volumen se denomina comprensibilidad del material B p V /V Modulo volumtrico (B): Describe la resistencia del material a deformaciones volumtricas. Compresin: p > 0 V < 0 B > 0. Dilatacin o expansin: p < 0 V > 0 B > 0. EJERCICIOS Ejercicio y RESUELTOS Ideal

1:

1

v2(0) 0 MRUV Polea ideal Cuerda ideal, m m1,m2 , puntuales L = 2 m1 = 3, m2 = 5 = 4 x 10-3 m2 ? t 2 Polea real a afectada I=I (m,r) , f polea h2 1m m1 CR MRUV 3 Cuerda real Deformacin CR MRUV 41) a t ? g = 2,5 t(y2 0) ? 4 1 2 at 2 y(t) t 2 2,5 2,5 2 t 2 53) Considerando slo deformacin de la cuerda, T=?, t=? w 2 T = m2 a Acero T = w 2 m2 a 50 5 x 2,5 8 ELASTICIDAD T 37,5 Y F/A FL L = F =T L / L YA y (0)+ v(0) t 0 1+ 0

Yacero 37 ,5 x 2 20 x 10 10 2 x 10 3 L = 27 ,6 m t 22,5

20

x

1010