1 | T r a n g

TỔNGHỢPLÍTHUYẾT–CÔNGTHỨCLUYỆNTHITHPTQUỐCGIATOÁN2016.

MỐC0-7ĐIỂM.

2 | T r a n g

Bài1:SỰĐỒNGBIẾN–NGHỊCHBIẾNCỦAHÀMSỐ*Bàitoán:Tìmcáckhoảngđơnđiệucủahàmsố

a) Nếu ' 0f x vớimọi ;x a b thìhàmsố f x đồngbiếntrên

khoảng ;a b

b) Nếu ' 0f x với mọi ;x a b thì hàm số f x nghịch biến

trênkhoảng ;a b

Bài2:CỰCTRỊCỦAHÀMSỐquytắc2tìmcựctrịcủahàmsố

1. Tính 'f x .Giảiphươngtrình ' 0f x .

Gọi 1,2,...ix i làcácnghiệmcủaphươngtrìnhnày.

2. Tính "f x và " if x

3. Dựavàodấucủa " if x suyrakếtluậnvềcựctrịcủađiểm ix như

sau:a) Nếu " 0of x thì ox làđiểmcựctiểu.

b) Nếu " 0of x thì ox làđiểmcựcđại.

Tìmđiềukiệncủamđểhàmsốđạtcựctrịtạimộtđiểmchotrước.Nếu y f x đạtcựctrịtạiđiểm ox x thì ' 0of x .

Chúý:Nếu ' 0of x thìchưachắchàmsốđạtcực trị tạiđiểm

ox x .Dođókhitìmđượcmthìphảithửlại.

Điềukiệnđểhàmsốđạtcựcđạitại 0x :

0

0

' 0

" 0

y x

y x

Điềukiệnđểhàmsốđạtcựctiểutại 0x :

0

0

' 0

" 0

y x

y x

Bài3:GIÁTRỊNHỎNHẤT–GIÁTRỊLỚNNHẤTBàitoán1:TìmGTNN,GTLNcủahàmsốtrênđoạn ;a b

Qua3bước:1. Tìm các điểm 1 2, ,..., nx x x trên ;a b mà tại đó ' 0f x hoặc

'f x khôngxácđịnh.

2. Tính 1 2, , , ,..., nf a f b f x f x f x .

3. Tìm số lớn nhất M và nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:

;;max , min

a ba bM f x m f x

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

3 | T r a n g

Bàitoán2:TìmGTNN,GTLNcủahàmsốtrênmộtkhoảngĐểtìmGTNNvàGTLNcủahàmsố. y f x .trênkhoảng ;a b ta

lập bảng biến thiên của hàmsố trên khoảng ;a b rồi dựa vào đó mà

kếtluận.Bài4:TIỆMCẬN

*Cáchtìmtiệmcận: Nếu

0

limx x

y

hoặc0

limx x

y

hoặc0

limx x

y

hoặc0

limx x

y

thì

đườngthẳng 0x x làtiệmcậnđứng.

Nếu 0limx

y y

hoặc 0limx

y y

thì đường thẳng 0y y là tiệm cận

ngang.Bài5:KHẢOSÁTHÀMSỐ

1.Sơđồkhảosát:1. Tậpxácđịnh:D 2. Sựbiếnthiên:

-Tìmcácgiớihạnvàtìmtiệmcận(nếucó)-Tínhđạohàm-Tìmcácđiểmmàtạiđóđạohàmbằng0hoặckxđ.-Lậpbảngbiếnthiên.-Nêusựbiếnthiêncủahàmsố.-Nêucựctrịcủahàmsố.

3. Dựavàobảngbiếnthiênvàcácyếutốxácđịnhởtrênđểvẽđồthị.

Chúý:- Đểvẽđồthịchínhxácnêntínhthêmtọađộcủamộtsốđiểm.- Cầnlưuýcáctínhchấtđốixứngtrục,đốixứngtâm.

Đồthịnhậngiaođiểmhaitiệmcậnlàmtâmđốixứng.Bài6:MỘTSỐBÀITOÁN

LIÊNQUANĐẾNHÀMSỐVÀĐỒTHỊBàitoán1:Sựtươnggiaocủacácđồthị

Chohaiđườngcong 1 2: , :C y f x C y g x .

Đểxétsựtươnggiaogiữa 1 2,C C talậpphươngtrìnhhoànhđộ

giaođiểm f x g x (1)

1. 1C khôngcóđiểmchungvới 2C pt(1)vônghiệm.

2. 1C cắt 2C tạinđiểmphânbiệt pt(1)cónnghiệmphânbiệt.

Nghiệmcủapt(1)gọilàhoànhđộgiaođiểmcủa 1C và 2C .

Bài toán 2: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình , 0F x m (1)

1. Biếnđổi , 0F x m vềdạng. f x g m ..

4 | T r a n g

2. Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thịhàmsố..vàđườngthẳng y g m

3. Dựavàođồthịđểbiệnluậncáctrườnghợp. Chúý: y g m làđườngthẳngsongsonghoặctrùngvớitrụcOx

vàcắttrụcOytạiđiểmcótungđộbằng g m

x

y

Oy=g(m)

y=f(x)

g(m)

1

Bàitoán3:Phươngtrìnhtiếptuyến

Dạng1:Phươngtrìnhtiếptuyếntạiđiểmthuộcđồthị:Phươngtrìnhtiếptuyếncủa(C): y f x tạiđiểm ;o oM x y thuộc(C)

là: 0 0 0'y y f x x x

Trongđó: + 0 0;M x y gọilàtiếpđiểm.

+ 0'k f x làhệsốgóccủatiếptuyến.

Dạng2:Phươngtrìnhtiếptuyếnbiếthệsốgóck:1. Giảiphươngtrình 'f x k tìm 0x làhoànhđộtiếpđiểm.

2. Tính 0 0y f x .

3. Phươngtrìnhtiếptuyếnlà 0 0y y k x x

Chúý:-Nếutiếptuyếnsongsongvớiđườngthẳng y ax b thì k a

-Nếutiếptuyếnvuônggócđườngthẳng y ax b thì . 1k a

Bàitoán4:Điềukiệnđểđồthịhàmsốbậc3cắtOxtại3điểm: Phươngtrìnhhoànhđộgiaođiểmcủa(C)vàtrụchoànhlà:

3 2

2

0

0

ax bx cx d

x Ax Bx C

2 0 1

x

Ax Bx C

(đặt 2g x Ax Bx C )

Điềukiệnđểycbt được thỏa là (1)phảicó2nghiệmphânbiệt

khác .Khiđó

1

0

0g

5 | T r a n g

MŨ,LŨYTHỪAVÀLÔGARIT1.Lũythừa,cănbậcn:a)Địnhnghĩa:

* . ....... , *n

n

a a a a a n thöøa soá

* 0 11; n

na a

a

b)Tínhchất:Với , *; ,a b m n tacó:

* m n m na a a *m

m n

n

aa

a

* n n nab a b *

n n

n

a a

b b

* nm mna a

*Nếu:0 a b thì: , 0n na b n

, 0n na b n

*Nếu 1a vàm n thì: m na a *Nếu0 1a vàm n thì: m na a

c)Cáctínhchấtcủacănbậcn:Giảsửcácbiểuthứcdướiđâyđềucónghĩa.Khiđó:

* .n n na b ab *.n

nn

a a

bb .

* m

mnn a a *,

| |,nn

a na

a n

khi leû

khi chaün

* n m mna a

*Lũythừavớisốmũhữutỷ:m

mnna a 2.Lôgarit:a)Địnhnghĩa: log c

a b c b a 0 1, 0a b

b)Tínhchất:Choa,b>0, 1a * log 1 0a * log 1a a

* loga ba b * log ka a k k

c)Sosánhlogarit:Choa,b,c>0, 1c .Tacó:

HÀM SỐ MŨ, LŨY THỪA, LÔGARIT

6 | T r a n g

*log log

* 1 log log

* 0 1 log log

c c

c c

c c

a b a b

c a b a b

c a b a b

Neáu thì:

Neáu thì:

d)Cácquytắctínhlogarit: Logaritcủamộttích:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Tacó: 1 2 1 2log log loga a ax x x x

Logaritcủamộtthương:

Cho 1 2, , 0, 1.a x x a Tacó: 11 2

2

log log loga a a

xx x

x

Logaritcủamộtlũythừa:Cho. , 0, 1a b a ..Tacó: log logk

a ab k b k

Đổicơsố:log

loglog

ca

c

bb

a

Đặcbiệt:

1*log 1

log

1*log log 0

*log log .log 0 1

k

a

b

aa

a a c

b ba

b b kk

b c b c

Logaritthậpphân:-Logaritcơsố10gọilàlogaritthậpphân- 10log a thườngđượcviếtlà lgahoặc loga

Logarittựnhiên:-Logaritcơsốegọilàlogarittựnhiên. 2,71828...e

- loge a thườngđượcviếtlàlna

Bảngđạohàmcủahàmsốlũythừa,hàmsốmũvàhàmsốlogarit:Hàmcơbản Hàmhợp

1/. / 1.x x .

2//

2

1 1

x x

3/ / 1

2x

x

/ 1. . 'u u u /

2

1 'u

u u

/ '

2

uu

u

4/ /x xe e

5/ /

.lnx xa a a

/

. 'u ue e u

/

ln . 'u ua a a u

6/ / 1

ln xx

7/ / 1

ln xx

/ '

lnu

uu

/ '

lnu

uu

7 | T r a n g

8/ / 1

logln

a xx a

9/ / 1

logln

a xx a

/ '

logln

a

uu

u a

/ '

logln

a

uu

u a

PHƯƠNGTRÌNHMŨ

1.Phươngphápđưavềcùngcơsố:

Với 0, 1a a .Tacó: f x g xa a f x g x

2.Phươngphápđặtẩnphụ:Dạng1:

2

3 2

. . 0

. . . 0

.............................................

x x

x x x

A a B a C

Aa B a C a D

Đặt 0xa t t

Dạng2:

2 2

2

. . 0

0

xx x

x x

A a B ab C b

a aA B Cb b

Đặt: 0x

at t

b

Dạng3: . . 0x xA a B b C với . 1x xa b

Đặt: 0xa t t .Khiđó:1xbt

3.Phươngpháplogarithóa:Với 0,0 1.M a Tacó:

logf x

aa M f x M

PHƯƠNGTRÌNHLOGARIT1.Phươngphápđưavềcùngcơsố:Với0 1a .Tacó:

log log

0 0a a

f x g xf x g x

f x g x

hoaëc

Chúý: log Ma f x M f x a (khôngcầnđặtđiềukiệncủa

f(x))2.Phươngphápđặtẩnphụ:

Lưuý:Khiđặt: loga x t thìkhôngcóđiềukiệnt>0

3.Phươngphápmũhóa: log M

a f x M f x a

8 | T r a n g

BẤTPHƯƠNGTRÌNHMŨ,LÔGARITKhigiảibấtphươngtrìnhmũvàbấtphươngtrìnhlôgaritthìcầnchú

ý:1. Điềukiệnxácđịnhcủabấtphươngtrình.2. Cơsốcủalũythừahoặccơsốcủalogarit,nếucơsốlớnhơn1thì

hàmsốđồngbiến,cơsốlớnhơn0vànhỏhơn1thìhàmsốnghịchbiến.

1:f x g x

a a a f x g x

0 1:f x g x

a a a f x g x

1: log log

0a a

f x g xa f x g x

f x

0 1: log log

0a a

f x g xa f x g x

g x

Trongquátrìnhgiảibấtphươngtrìnhcóthểdùngphươngphápđặtẩn phụ, logarit hóa hoặc mũ hóa. Nếu có ẩn ở mẫu số thì quy đồngnhưngkhôngđượcbỏmẫu.

9 | T r a n g

NGUYÊNHÀM3.Cáctínhchấtcủanguyênhàm: * 'f x dx F x C F x f x

* /

f x dx f x và /

f x dx f x C

* 0af x dx a f x dx a

* f x g x f x dx g x dx

4.Bảngcácnguyênhàm:Nguyênhàmcáchàmsốsơ

cấpthườnggặpNguyênhàmcủacáchàmsốhợp(dướiđây t t x )

* dx x C

* 1

11

xx dx C

* ln 0dx

x C xx

*2

1dxC

x x

* x xe dx e C

* 0 1ln

xx aa dx C a

a

* cos sinxdx x C

* sin cosxdx x C

*2

tancos

dxx C

x

*2

cotsin

dxx C

x

* dt t C

* 1

11

tt dt C

* ln 0dt

t C tt

*2

1dtC

t t

* t te dt e C

* 0 1ln

tt aa dt C a

a

* cos sintdt t C

* sin costdt t C

*2

tancos

dtt C

t

*2

cotsin

dtt C

t

*

1

1

ax bax b dx C

a

*1

lndx

ax b Cax b a

*

1

1

at bat b dt C

a

*1

lndt

at b Cat b a

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

10 | T r a n g

* 2

1dxC

a ax bax b

*1ax b ax be dx e Ca

*

1

cos sinax b dx ax b Ca

*

1

sin cosax b dx ax b Ca

* 2

1dtC

a at bat b

*1at b at be dt e Ca

*

1

cos sinat b dt at b Ca

*

1

sin cosat b dt at b Ca

5.Cácphươngpháptìmnguyênhàm Đổibiến:

. 'f x x dx F x C

Chúý: - 't x dt x dx

- ' 'g t x g t dt x dx

Nguyênhàmtừngphần:Nếuhaihàmsố u x và v x cóđạohàmliêntụctrênmộtkhoảnghay

mộtđoạnnàođó,thìtrênkhoảnghayđoạnđó:

' 'u x v x dx u x v x u x v x dx

Hay: udv uv vdu

Chúý:

*Đặt:

'du f x dxu f x

dv g x dx v g x dx G x C

Tathườngchọn 0C v G x

Cácdạngcơbản:Cho P x làmộtđathức.

-Dạng1: sinP x ax b dx .Đặt:

sin

u P x

dv ax b dx

-Dạng2: cosP x ax b dx .Đặt:

cos

u P x

dv ax b dx

-Dạng3: ax bP x e dx

.Dặt: ax b

u P x

dv e

11 | T r a n g

-Dạng4: lnP x ax b dx .Đặt:

lnu ax b

dv P x dx

-Dạng5: sin ' 'ax be a x b dx hoặc cos ' 'ax be a x b dx .

Dùngnguyênhàmtừngphầnhailầnvới ax bu e Nguyênhàmcủahàmsốhữutỷ:tacóthểdùngcácphépbiếnđổilượng

giác,thêm-bớt,…đểđưanguyênhàmcầntìmvềdạngđơngiản,dễtìm

Nguyênhàmhàmphânthứchữutỷdạng

P x

Q x.

-NếubậccủaP(x)lớnhơnhoặcbằngbậccủaQ(x)thìchiađathứcđểphântíchthànhtổng,hiệucácnguyênhàmđơngiảnhơnđểtính.-NếubậccủaP(x)nhỏhơnbậccủaQ(x)vàQ(x)=0cónghiệmthìdùngphươngpháphệsốbấtđịnhnhưsau:

+

P x P x A B

Q x ax b mx n ax b mx n

.Quyđồngmẫuởvếcuối

cùng,đồngnhấthệsốvớiP(x)tatìmđượcA,B.

+

2 2

P x P x A B C

Q x ax b mx nax b mx n mx n

.Quyđồngmẫu

ởvếcuốicùng,đồngnhấthệsốvớiP(x)tatìmđượcA,B,C.Từđóbiếnđổiđượcbàitoánđãchovềdạngđơngiảnhơnđểtính.* Chú ý: Trong quá trình giải toán cần chú ý đến công thức

f x g x f x g x

h x h x h x

đểđưabàitoánvềdạngđơngiảnhơn.

TÍCHPHÂN

1.Địnhnghĩa: b

b

aa

f x dx F x F b F a

2.Cáctínhchấtcủatíchphân:

1. 0a

a

f x dx

2. b a

a b

f x dx f x dx

3. b b

a a

kf x dx k f x dx k

4. b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

5. b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

12 | T r a n g

6. 0f x trênđoạn ;a b 0b

a

f x dx

7. f x g x trênđoạn ;a b b b

a a

f x dx g x dx

8. m f x M trênđoạn ;a b b

a

m b a f x dx M b a

3.Cácphươngpháptínhtíchphân Phươngpháptíchphântừngphần:Nếu u u x và v v x làhaihàmsốcóđạohàmliêntụctrênđoạn

;a b thìb b

a a

budv uv vdu

a

Chúý:Phươngphápđặtu,dvcũnggiốngnhưnguyênhàmtừngphần. Phươngphápđổibiếnloại1:

Tínhtíchphâncódạng: b

a

I g x x dx

Đặt: x t .Khiđó:

'

bb

a a

I g x x dx g t dt

Chúý:- 't t dt x dx

- ' 'g t x g t dt x dx

Phươngphápđổibiếnloại2:

Tính b

a

I f x dx

Đặt: x t .Với làhàmsốcóđạohàmliêntụctr6nđoạn ; trong

đó: ,a b .

Khiđó: 'b

a

I f x dx f t t dt

Cácdạngnângcao(vớik>0)

a) Dạng1: 21b

a

x dx .Đặt: sin , ;2 2

x t t

Mởrộng: 2 2b

a

k x dx .Đặt: sin , ;2 2

x k t t

b) Dạng2:21

b

a

dx

x .Đặt: sin , ;

2 2x t t

13 | T r a n g

Mởrộng:2 2

b

a

dx

k x .Đặt: sin , ;

2 2x k t t

c) Dạng3:2 1

b

a

dx

x .Đặt: tan , ;2 2

x t t

Mởrộng:

2 2

b

a

dx

x k .Đặt: tan , ;2 2

x k t t

2 2

b

a

dx

ax b k .Đặt: tan , ;

2 2ax b k t t

2 2

'b

a

f xdx

f x k .Đặt: tan , ;2 2

f x k t t

ỨNGDỤNGHÌNHHỌCCỦATÍCHPHÂN1.Tínhdiệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi1đườngcongvàtrụchoành: Chohàmsố y f x (C)liêntụctrên

đoạn ;a b . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng,x a x b đượctínhbởicôngthức:

b

a

S f x dx

2.Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởihaiđườngcong: Chohaihàmsố y f x (C)và

y g x (C’)liêntụctrênđoạn ;a b .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi(C), (C’) và hai đường thẳng

,x a x b ,đượctínhbởicôngthức:

b

a

S f x g x dx

Chúý:- Trongtrườnghợpchưachocậna,bthìphảigiảiphươngtrình

hoànhđộgiaođiểmđểtìmcận.Nghiệmnhỏnhấtlàcậndướia,nghiệmlớnnhấtlàcậntrênb.

- Đểtíchtíchphâncóchứadấugiátrịtuyệtđối:

14 | T r a n g

Nếu f x khôngđổidấutrên ;a b (tứclà 0f x khôngcó

nghiệnthuộc ;a b )thìtacó b b

a a

f x dx f x dx .Cáchthứ2

nàygiúpgiảitoánnhanhhơn.3.TínhthểtíchvậtthểtrònxoaytrụcOx:

Chohàmsố y f x (C)liêntụctrênđoạn ;a b .Nếuhìnhphẳnggiới

hạnbởicácđường(C),x=a,x=b,trụcOxquayquanhtrụcOxthìthểtíchVcủavậtthểtrònxoaysinhrađượctínhtheocôngthức:

2b

a

V y dx

Hay: 2b

a

V f x dx

4.ThểtíchvậtthểtrònxoaytrụcOy:Chohàmsố x g x (C)liêntụctrênđoạn ;c d .Nếuhìnhphẳnggiới

hạnbởicácđường(C),y=c,y=d,trụcOyquayquanhtrụcOythìthểtíchVcủavậtthểtrònxoaysinhrađượctínhtheocôngthức:

2d

c

V x dy

Hay: 2d

c

V g y dy

15 | T r a n g

1.Sối: 2 1i 2.Địnhnghĩa:-Sốphứczlàbiểuthứccódạng: 2, , , 1z a bi a b i

agọilàphầnthực. bgọilàphầnảo.

igọilàđơnvịảo.

-Tậphợpsốphứckíhiệulà .Vậy 3.Sốphứcbằngnhau:

Chohaisốphức , ' ' 'z a bi z a b i ,'

''

a az z

b b

4.Biểudiễnhìnhhọccủasốphức: Chosốphức z a bi ,điểm ;M a b trongmặtphẳngtọađộOxygọi

làđiểmbiểudiễnchosốphứcz Giảsửsốphức z a bi đượcbiểudiễnbởiđiểm ;M a b .Độdàicủa

vectơOM

gọilàmôđuncủasốphứcz,kíhiệu: 2 2z OM a b

5.Sốphứcliênhợp:-Sốphức z a bi gọilàsốphứcliênhợpcủasốphức z a bi

-Tacó: ;z z z z

6.Cộng,trừ,nhânhaisốphức:Chohaisốphức ; ' ' 'z a bi z a b i .

' ' 'z z a a b b i

' ' 'z z a a b b i

. ' ' ' ' 'z z aa bb a b ba i

7.Sốphứcnghịchđảo,chiahaisốphức:-Sốphứcnghịchđảocủasốphức z a bi làmộtsốphức,kíhiệulà:

1

2 2 2

1 1zz z

z z a b

Chiahaisốphức:2

. '

' '

z z z

z z (nhântửvàmẫucho 'z )

8.Phươngtrìnhbậchaihệsốthựctrêntập :Chophươngtrình 2 0 0; , ,ax bx c a a b c .Gọi 2 4b ac :

+Nếu 0 phươngtrìnhcóhainghiệmthực:2

bx

a

+Nếu 0 phươngtrìnhcómộtnghiệmthực:2

bx

a

+Nếu 0 phươngtrìnhcóhainghiệmphức:2 2

bx i

a a

SỐ PHỨC

16 | T r a n g

I.Thểtíchkhốiđadiện:1.Thểtíchkhốilậpphươngcạnha: 3V a 2.Thểtíchkhốihộpchữnhậtcóbakíchthướca,b,clà . .V a b c 3.ThểtíchkhốilăngtrụcódiệntíchđáylàS,chiềucaolàhlà: .V S h

4.ThểtíchcủakhốichópcódiệntíchđáyS,ccaohlà:1

3V Sh

5.Mộtsốtínhchất:ChokhốichópS.ABC.TrênSA,SB,SClầnlượtlấy3điểmA’,B’,C’

khácvớiS.Khiđó: . ' ' '

.

' ' '. .S A B C

S ABC

V SA SB SC

V SA SB SC

II.Thểtíchkhốitrònxoay:1.Mặtnóntrònxoay:ChohìnhnónNcóchiềucaolàh,đườngsinh l ,bánkínhđáyR

*Diệntíchxungquanhcủahìnhnón: xqS Rl

*Diệntíchtoànphần: 2tp xqS S S Rl R ñaùy

*Thểtíchkhốinón: 21

3V R h

2.Mặttrụtrònxoay:ChohìnhtrụTcóchiềucaohvàbánkínhđáyR.

- Diệntíchxungquanhhìnhtrụ: 2xqS Rh

- Thểtíchkhốitrụ: 2V R h 3.Mặtcầu:- Diệntíchmặtcầu(S)bánkínhRlà: 24S R

Thểtíchkhốicầu(S)bánkínhRlà: 34

3V R

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

KHỐI TRÒN XOAY

17 | T r a n g

-

HỆTỌAĐỘTRONGKHÔNGGIAN1.Hệtrụctọađộtrongkhônggian:

O

k

j i

x

y

z

z

x

y

M(x;y;z)

H

2.Tọađộcủađiểmvàcủavectơ:

; ;M x y z OM xi y j zk

; ;u x y z u xi y j zk

*Tínhchất:Cho 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ;a a a a b b b b

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b

1 2 3; ;ka ka ka ka

3.Liênhệgiữatọađộvectơvàtọađộhaiđiểmmút:Chobađiểm ; ; , ; ; , ; ;A A A B B C C C CA x y z B x y z C x y z .Khiđó:

; ;B A B A B AAB x x y y z z

Côngthứctínhtọađộtrungđiểmđoạnthẳng:

MlàtrungđiểmcủađoạnthẳngAB

2

2

2

A BM

A BM

A BM

x xx

y yy

z zz

Côngthứctínhtọađộtrọngtâmtamgiác:

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

18 | T r a n g

GlàtrọngtâmtamgiácABC

3

3

3

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

y y yy

z z zz

Khoảngcáchgiữahaiđiểm:

2 2 2

B A B A B AAB x x y y z z

4.Biểuthứctọađộcủatíchvôhướng:Cho 1 2 3 1 2 3; ; ; ; ;a a a a b b b b

.

1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b

2 2 2 2

1 2 3a a a a

2 2 21 2 3a a a a

1 1 2 2 3 3. 0a b a b a b a b a b

5.Gócgiữahaivectơ:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

.cos ,

.

a b a b a b a ba b

a b a a a b b b

6.Tíchcóhướngcủahaivectơvàứngdụng:a)Địnhnghĩa:

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, ; ;a a a a a a

a bb b b b b b

Chúý:a b

ad bcc d

b)Tínhchất:

Nếu ,c a b

thì:

c a

c b

,a b

cùngphương , 0a b

c)Diệntíchtamgiác:

ChotamgiácABCcódiệntíchlàS.Khiđó:1

,2

S AB AC

(đvdt)

d)Thểtíchkhốihộp:ChokhốihộpABCD.A’B’C’D’cóthểtíchV.Khiđó:

, . 'V AB AD AA

(đvtt)

e)Thểtíchkhốitứdiện:ChokhốitứdiệnABCDcóthểtíchV.Khiđó:

19 | T r a n g

1, .

6V AB AC AD

(đvtt)

PHƯƠNGTRÌNHMẶTCẦU1.Phươngtrìnhchínhtắc:

Phươngtrìnhmặtcầutâm ; ;I a b c bánkínhR:

2 2 2 2x a y b z c R

2.Phươngtrìnhtổngquát:TrongkhônggianOxyz,phươngtrình:

2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với 2 2 2 0a b c d làphương

trìnhmặtcầutâm ; ;I a b c ,bánkính 2 2 2R a b c d

Chúý:Nếuphươngtrìnhchodướidạng2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d với 2 2 2 0a b c d thìmặtcầu

cótâm ; ;I a b c ,bánkính 2 2 2R a b c d

3.Vịtrítươngđốigiữamặtcầu(S)vàmặtphẳng :

*Nếu ,I

d R

:mặtphẳngvàmặtcầukhôngcóđiểmchung

*Nếu ,I

d R

:mặtphẳng tiếpxúcmặtcầu(S),khiđó gọilà

tiếpdiệncủamặtcầu(S).Điềukiệnđểmặtphẳng tiếpxúcmặtcầulà

;Id R

*Nếu ,I

d R

:mặtphẳngcắtmặtcầutheo1đườngtròncóphương

trình

ptmc S

ptmp

(C).(C)gọilàđườngtròngiaotuyếntrongkhônggian.

4.Cáchxácđịnhtâmcủađườngtròngiaotuyếncóphươngtrình

ptmc S

ptmp

trongkhônggian:

*GọiHlàtâmđườngtròn(C).Lậpphươngtrình

IH(IHquaIvànhậnn

làmVTPT)

*TọađộHlànghiệmcủahệ

IH

pt

ptmp

4.Cáchtínhbánkínhđườngtròntrongkhônggiancóphươngtrình

ptmc S

ptmp

20 | T r a n g

Ápdụng

2 2 2

,Ir R IH R d

,vớiIlàtâmmặtcầu.

5.Mặtcầuqua4điểmA,B,C,Dkhôngđồngphẳng(ngoạitiếptứdiệnABCD):

- Gọiphươngmặtcầu(S)cầntìmcóphươngtrìnhlà:2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d (1)

- Do , , ,A B C D S nênthaytọađộcủaA,B,C,Dvàophươngtrình

(1)tađượchệ4phươngtrình4ẩna,b,c,d.- Giảihệtìmđượca,b,c,dtừđócóđượcphươngtrìnhmặtcầu(S)

cầntìm.6.Viếtphươngtrìnhmặtcầutiếpxúcmặtphẳng :Domặtcầu(S)tiếpxúcmặtphẳng nên

,IR d

vớiIlàtâmcủamặt

cầu.7.Viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)tiếpxúcđườngthẳngd:Domặtcầu(S)tiếpxúcđườngthẳngdnên

,I dR d

vớiIlàtâmcủa

mặtcầu.8.Viếtphươngtrìnhmặtphẳng chứađườngthẳngdvàtiếpxúcmặtcầu(S):*Gọi làmặtphẳngchứad.Lậpphươngtrìnhmặtphẳng dướidạngchùmmặtphẳng.*Do tiếpxúcmặtcầu(S)nên

,IR d

.Từđâychọn vàtìm .

9.Viếtphươngtrìnhmặtcầu(S)quaA,B,Cvàcótâmnằmtrênmặtphẳng *Gọi 2 2 2: 2 2 2 0S x y z ax by cz d

*ThaytọađộđiểmA,B,Cvàophươngtrìnhtrênvàtâm ; ;I a b c vào

phươngtrình rồigiảihệtìmđượca,b,c,d.PHƯƠNGTRÌNHMẶTPHẲNG

1.Vectơpháptuyếncủamặtphẳng:

n

làVTPTcủamặtphẳng giá

của n

vuông gócvớimặtphẳng

n

α

2.Phươngtrìnhtổngquátcủamặtphẳng:

- Mặtphẳng điqua 0 0 0; ;M x y z vànhận ; ;n A B C

thìphương

trìnhmp là: 0 0 0 0A x x B y y C z z

21 | T r a n g

- Mỗiphươngtrìnhdạng 2 2 20 0Ax By Cz D A B C đều

làphươngtrìnhcủamộtmặtphẳngxácđịnh,và ; ;n A B C

là

mộtVTPTcủamặtphẳngđó.- Mặtphẳng cắtcáctrụcOx,Oy,Oztheocácgiaođiểm

;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thìphươngtrìnhcủamặtphẳng

là: 1x y z

a b c (phươngtrìnhtheođoạnchắn.

Cácdạngtoánviếtphươngtrìnhmặtphẳng:Dạng1: mp làmặtphẳngtrungtrựcđoạnthẳngAB

α

M

A

B

Phươngpháp:-TìmtọađộtrungđiểmMcủaAB

-Tìmtọađộvectơ AB

- làmặtphẳngquaMvàcóVTPTlà

AB

Dạng2: mp làmặtphẳngđiqua3điểmA,B,C

α

n =[AB,AC]

A

C

B

Phươngpháp:-Tìm: ,AB AC

-Tìm: ,n AB AC

- mp làmặtphẳngquaAvàcóVTPTlà

n

Dạng3: mp làmặtphẳngquaAvàchứađườngthẳng(d)

ud

n

A

B

Phươngpháp:-ChọnBthuộc(d)- mp làmặtphẳngquaAvàcóVTPTlà

, dn AB u

Dạng4: mp quađiểm 0 0 0; ;M x y z vàsongsongmặtphẳng

: 0Ax By Cz D

n =(A;B;C)

β

α M

Phươngpháp:- ; ;n A B C

làVTPTcủa mp

-Do / / nênn

cũnglàVTPTcủa

mp

- mp làmặtphẳngquaMvàcóVTPTlà

n

22 | T r a n g

Dạng5: mp quahaiđiểmM,Nvàvuônggócmặtphẳng

: 0Ax By Cz D

nβ

α

β

M

N

Phươngpháp:-TìmMN

; ; ;n A B C

làVTPTcủa .

-Tìm ,n MN n

.

- mp làmặtphẳngquaMvàcóVTPTlà

n

Dạng6: mp chứađườngthẳng(d)vàvuônggóc

: 0Ax By Cz D

d u

nR

α

R

M

Phươngpháp:-Chọn M d

-Tìmu

làVTCPcủa(d),u

làVTCPcủa(d),

n

làVTPTcủa

-Tìm ,n u n

.

- mp làmphẳngquaMvàcóVTPTlàn

Dạng7: mp điquaMvàvuônggóchaimặtphẳng(P),(Q)chotrước

nQnP

(α)

(Q)

(P)

M

Phươngpháp:-Tìm: Pn

làVTPTcủa(P); Qn

làVTPTcủa

(Q).

-Tìm ,P Qn n n

.

- mp làmặtphẳngquaMvànhận

n

làmVTPT.

Dạng8: mp tiếpxúcvớimặtcầu(S)tâmItạiđiểm M S

I

M

Phươngpháp:-TìmtâmIcủamặtcầu(S).

-Tìm IM

- mp làmặtphẳngđiquaMvàcó

VTPTlà IM

Dạng9: mp điquaMvàvuônggócđườngthẳng(d)chotrước

23 | T r a n g

a

(α)M

Phươngpháp:-Tìma

làVTCPcủađườngthẳng(d).

-Do mp songsongvới(d)nêna

cũng

làVTPTcủa mp .

Dạng10: mp quaMvàsongsongvớihaiđườngthẳng 1 2,d d cho

trước

a2

a1

d2

d1

(α)M

Phươngpháp:-Tìm: 1a

làVTCPcủa 1d ; 2a

làVTCPcủa

2d

-Tìm 1 2,n a a

- mp làmặtphẳngquaMvàcóVTPTlàn

Dạng11: mp làmphẳngchứađthẳng 1d vàsongsongđthẳng 2d

a2

a1

d2

d1 (α)

M

Phươngpháp:-ChọnđiểmMthuộc 1d

- làmặtphẳngquaMvàcóVTPTlà

1 2,n a a

Dạng12: mp chứahaiđườngthẳngcắtnhau 1 2,d d

a2

a1

d2

d1 (α)

M

Phươngpháp:-ChọnđiểmMthuộc 1d hoặc 2d .

-VTPTcủa là 1 2,n a a

Dạng13: mp chứahaiđườngthẳng 1 2/ /d d

u1 d2d1

AB

Phươngpháp:-Chọn 1A d , 2B d

- mp làmặtphẳngqua3điểmAvàcó

VTPTlà 1,n AB u

Dạng14: mp chứagiaotuyếncủahaimặtphẳng(P)và(Q),đồng

thờivuônggócmặtphẳng(R)

Phươngpháp:-ChọnM,Nthuộc P Q (bằngcách

chox=0,x=1,…vàthayvàohệ

ptmp P

ptmp Q

tìmy,z)

24 | T r a n g

nR

α

R

M

N

- mp làmặtphẳngquaM,Nvàvuông

góc(R)(dạng4)

Dạng15:Viếtphươngtrìnhmặtphẳng qua 0 0 0; ;M x y z ,songsong

dvàvuônggócmặtphẳng :

Khiđómặtphẳng : 0 0 0; ;

,d

quaM x y z

VTPT n u n

Dạng16:Viếtphươngtrìnhmặtphẳngtheođoạnchắn:cắtOxtại ;0;0A a ,cắtOytại 0; ;0B b ,cắtOztại 0;0;C c :

Khiđóphươngtrìnhmặtphẳng(ABC)là 1x y z

a b c

PHƯƠNGTRÌNHĐƯỜNGTHẲNG1.Vectơchỉphươngcủađườngthẳng:

Vectơa

gọilàvectơchỉphương(VTCP)củađườngthẳng(d) giá

củaa

songsonghoặctrùng(d).2.Cácdạngphươngtrìnhđườngthẳng:Chođiểm 0 0 0; ;M x y z vàvectơ ; ;u a b c

Đườngthẳng(d)quaMvànhậnu

làmVTCPcóphươngtrình

thamsốlà 0

0

0

x x at

y y bt t

z z ct

Đườngthẳng(d)quaMvànhậnu

làmVTCPcóphươngtrình

chínhtắclà 0 0 0 , , 0x x y y z z

a b ca b c

3.Cácdạngtoánviếtphươngtrìnhđườngthẳng:Dạng1:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)qua2điểmABPhươngpháp:

- Tìm AB

- (d)làđườngthẳngquaAvàcóVTCPlà AB

Dạng2:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaAvàsongsongđườngthẳng

Phươngpháp:

- Tìmvectơu

làVTCPcủa

- (d)làđườngthẳngquaAvàcóVTCPlàu

.

25 | T r a n g

Dạng3:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaAvàvuônggócmặtphẳng

Phươngpháp:

- Tìmn

làVTPTcủamặtphẳng .

- (d)làđườngthẳngquaAvàcóVTCPlàn

Dạng4:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làgiaotuyếncủa2mặtphẳng(P)và(Q)Phươngpháp:

- Tìm Pn

làVTPTcủamp(P), Qn

làVTPTcủamp(Q).

- Tìm ,P Qu n n

- ChọnđiểmMthuộcgiaotuyếnbằngcáchcho1ẩnbằng0thayvàopt(P)vàmp(Q)giảihệtìmđược2ẩncònlại.

- (d)làđườngthẳngquaMvànhậnu

làmVTCP

Dạng5:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaAvàsongsong2mặtphẳng(P)và(Q)(hoặcsongsongvớigiaotuyếncủahaimặtphẳng(P)và(Q))Phươngpháp:

- Tìm Pn

làVTPTcủamp(P), Qn

làVTPTcủamp(Q)

- Tìm ,P Qu n n

- (d)làđườngthẳngquaAvàcóVTCPlàu

Dạng6:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làhìnhchiếucủađườngthẳng lênmặtphẳng(P)

Phươngpháp- Viếtphươngtrìnhmặtphẳng(Q)chứa(d)vàvuônggócmặt

phẳng(P)(xemdạng5củaphươngtrìnhmặtphẳng)- Chọn N P Q bằngcáchcho1ẩnbằng0,thayvàopt(P)và

pt(Q),giảihệtìmđược2ẩncònlại.

- Tìm ,P Qu n n

- (d)làđườngthẳngquaNvàcóVTCPlàu

Dạng7:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làđườngcaokẻtừAcủatamgiácABCPhươngpháp:

- Tìm , , ,AC BC n AC BC

- Tìm ,u n BC

- (d)làđườngthẳngquaAvàcóVTCPlàu

Dạng8:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làđườngtrungtrựccủacạnhBCcủatamgiácABC

26 | T r a n g

Phươngpháp:

- Tìm , , ,AC BC n AC BC

- Tìm ,u n BC

- TìmMlàtrungđiểmcủaBC

- (d)làđườngthẳngquaMvàcóVTCPlàu

Dạng9:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)làđườngvuônggócchungcủa2đườngthẳngchéonhau 1 2,d d

Phươngpháp:- Chuyểnphươngtrình 1 2,d d dướidạngthamsố.

- Gọi 1M d dướidạngchứathamsố 1t và 2N d dướidạngchứa

thamsố 2t .TínhvectơMN

.

- Do 1

2

MN u

MN u

.Từđâytìmđược 1 2,t t vàcóM,N

- ĐườngvuônggócchungquaMvànhậnMN

làmVTCP.Dạng10:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaAvàcắthaiđườngthẳngd1,d2chotrước:

d2

d1

dM

N

A

C1:*Chuyểnd1,d2vềphươngtrìnhthamsố*Gọi 1 2,M d N d (tọađộM,Nchứa 1 2,t t ).Tính

,AM AN

.

*Do AM

cùngphương AN

nêntừđkcùngphươngtìmđược 1 2,t t vàcóđượcM,N.

*ĐườngthẳngcầntìmquaAvàcóVTCP AM

Dạng11:Viếtphươngtrìnhđườnghẳng(d)quaA,vuônggócvàcắtđườngthẳng :

u

A

M

*TìmVTCPcủa làu

*GọiM (tọađộMchứathamsốt).Tính AM

* AM u

.TừđâytìmtvàcóM.Đườngthẳngcần

tìmquaMvànhận AM

làmVTCP

Dạng12:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)nằmtrongmặtphẳng vàcắt2đườngthẳngd1,d2:

*TìmgiaođiểmAcủa 1d vàmp :Giảihệ:

1pt d

ptmp

*TìmgiaođiểmBcủa 2d vàmp :Giảihệ:

27 | T r a n g

d2d1

αA B

2pt d

ptmp

*ĐườngthẳngdchínhlàđườngthẳngquaAvà

nhận AB

làmVVTCP.Dạng 13: Viết phương trình đường thẳng (d) song song và cắt 2đườngthẳng 1 2,d d :

u

d

d2

d1 M

N

*Chuyểnphươngtrình 1 2,d d dướidạngthamsố

chứa 1 2,t t .

*Gọi 1 2,M d N d (tọađộM,Nchứa 1 2,t t ).TínhMN

*MN

cùngphươngu

,từđâytìm 1 2,t t vàcóM,N.

*ĐườngthẳngcầntìmquaMvànhậnu

làmVTCP

Dạng14:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quagiaođiểmcủa và

,nằmtrong vàvuônggóc :

[nα,u ]

nα

dαA

*TìmgiaođiểmAcủa và :giảihệ

ptmp

ptdt

*DườngthẳngdquaAvàcóVTCPlà

,u n u

Dạng15:ViếtphươngtrìnhđườngthẳngdquaMvuônggócd1vàcắtd2:

d

ud1d1

d2

M N

*Chuyểnphươngtrìnhd2vềdạngthamsố.GọiNthuộcd2(tọađộNchứathamsốt).Tính

vectơMN

*Do1d

MN u

,từphươngtrìnhnàytatìm

đượcthamsốt,từđótìmđượcN.

ĐườngthẳngdquaMvàcóVTCPlàMN

Dạng16:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)vuônggócmặtphẳng

vàcắt2đườngthẳngd1,d2:

dd2

d1

α

M

N

*Chuyểnphươngtrìnhd1,d2vềdạngthamsố.*GọiMthuộcd1dướidạngchứathamsốt1,Nthuộcd2dướidạngchứathamsốt2.Tính

vectơMN

.

*DoMN

cùngphươngn

,từđótìmđược

thamsố 1 2,t t tatìmđượcM,N

*ĐườngthẳngcầntìmquaMvànhậnMN

28 | T r a n g

làmVTCPDạng17:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaMvàvuônggóchaiđườngthẳng 1 2,d d :

Khiđó(d)làđườngthẳngquaMvàcóVTCPlà1 2,d du u u

Dạng18:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaMsongsongmặtphẳng vàvuônggócđườngthẳng :

u

nα

d

α

M

*Đườngthẳng(d):,

QuaM

VTCPu n u

Dạng19:Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaMsongsongmặtphẳng vàcắtđườngthẳng :

nα

d

α

NM

*Chuyểnphươngtrình thànhphươngtrìnhthamsố.*GọiNthuộc (tọađộNchứathamsốt).Tính

MN

*DoMN u

nêntừđâytìmđượct,từđócóN.

*ĐườngthẳngdcầntìmquaMvànhậnvectơMN

làmVTCP

VỊTRÍTƯƠNGĐỐI

1.CM cắt :Tachứngminh : : ' : ' : 'A B C A B C

2.CM :Tachứngminh' ' ' '

A B C D

A B C D

3.CM // :Tachứngminh' ' ' '

A B C D

A B C D

4.CM , 'd d đồngphẳng:Tachứngminh , ' . ' 0u u MM

với

, ' 'M d M d

5.CM , 'd d cắtnhau: , ' . ' 0u u MM

và : : ' : ' : 'a b c a b c

6.CMd//d’:Tachứngminh 0 0 0 0 0 0: : ' : ' : ' ' : ' : 'a b c a b c x x y y z z

7.CMdd’:Tachứngminh 0 0 0 0 0 0: : ' : ' : ' ' : ' : 'a b c a b c x x y y z z

8.CMdvàd’chéonhau:tachứngminh , ' . ' 0u u MM

với

, ' 'M d M d

9.CMdcắt :Tachứngminh: 0aA bB cC

29 | T r a n g

10.CMd// :Tachứngminh 0 0

0aA bB cC

M d M

11.CMd :Tachứngminh 0 0

0aA bB cC

M d M

Chúý:*CM ' tachứngminh ' ' ' 0AA BB CC

*CM 'd d tachứngminh . ' 0u u

*CM d tachứngminh : : : :a b c A B C .

*Chứngminh ; ; , ; ;A A A B B CA x y z B x y z nằmvề2phíađốivới

: 0Ax By Cz D ,tachứngminh:

0A A A B B BAx By Cz D Ax By Cz D

KHOẢNGCÁCHVÀGÓC1.KhoảngcáchtừđiểmMđếnmp : 0P Ax By Cz D

, 2 2 2

. . .M M M

M P

A x B y C z Dd

A b C

2.Khoảngcáchgiữahaimặtphẳngsongsong(P)//(Q):

, ,,

P Q A Qd d A P

3.Khoảngcáchgiữađườngthẳng(d)vàmp(P),với(d)//(P):

, ,,

d P A Pd d A d

4.KhoảngcáchtừđiểmAđếnđườngthẳng(d):

;

; d

A d

d

AM ud

u

vớiM d

Cáchnhớ:Diệntíchhìnhbìnhhànhchiađộdàicạnhđáy.5.Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngsongsong 1d // 2d :

1 2 2

1; ,,

d d A dd d A d

6.Tínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau 1 2,d d :

1 2 1 2

1 2

1 2

; .;

;

u u M Md d d

u u

Cáchnhớ:Thểtíchlăngtrụchiadiệntíchhbhđáy.7.Gócgiữahaimp(P):A1x+B1y+C1z+D1=0

vàmp(Q):A2x+B2y+C2z+D2=0

30 | T r a n g

thì. 2

.1 2

nc

n n

n1

os = = 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2.1 1 1 2 2 2

A B B C C

A B C A B C

1

8.Gócgiữađườngthẳng(d):0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

vàmặtphẳng(P):

Ax+By+Cz+D=0là

.

. d

u

n uP

d

n

Psin = =

2 2 2 2 2 2

a

.

bB cC

A B C b ca

với (( ), ( ))D mp P

9.Gócgiữahaiđườngthẳng(D1):1

1

1

0

0

0

x x a t

y y b t

z z c t

và(D2):

/ /0 2/ /0 2/ /0 2

x x a t

y y b t

z z c t

thì. 2

.1 2

c

u u

u u

1

os = = 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

a a bb c c

a b c a b c

với (( ), ( ))

1 2D D

TÌMMỘTSỐĐIỂMĐẶCBIỆT

1.TìmgiaođiểmMcủađườngthẳng(d):0

0

0

x x at

y y bt

z z ct

vàmặtphẳng(P):

0Ax By Cz D

Phươngpháp:- M d nên 0 0 0; ;M x at y bt z ct (1)

- M P nêntọađộMphảithỏamãnphươngtrìnhcủa(P).Thaytọa

độcủaMvàophươngtrình(P)giảitìmđượct.-Thaytvừatìmvào(1)tatìmđượctọađộcủaM.2.TìmhìnhchiếuvuônggócHcủaMlênmặtphẳng(P):

(P)

M

H

Phươngpháp:-Viếtphươngtrìnhđườngthẳng(d)quaMvàvuônggócvớimặtphẳng(P).-TìmgiaođiểmHcủađườngthẳng(d)vàmặtphẳng(P).-Hchínhlàhìnhchiếucầntìm.

3.TìmM’đốixứngđiểmMquamặtphẳng(P):

31 | T r a n g

(P)

M'

M

H

Phươngpháp:-TìmhìnhchiếuvuônggócHcủaMlênmặtphẳng(P)-M’đốixứngvớiMquamp(P)HlàtrungđiểmcủaMM’.-ÁpdụngcôngthứctrungđiểmtatìmđượctọađộM’

4.TìmhìnhchiếuvuônggócHcủaMlênđườngthẳng(d):

d

(P)

M H

-Chuyểnphươngtrìnhcủa(d)vềdạngtham

số,suyraVTCPu

.

-Hthuộc(d)nêntọađộHchứat.TínhMH

.

-DoMH u

nêntừđâytìmđượctvàcóH.

5.TìmđiểmM’đốixứngvớiMquađườngthẳng(d)

d

(P)

M'M H

Phươngpháp:-TìmhìnhchiếuvuônggócHcủaMlênđườngthẳng(d).-M’đốixứngmqua(d)HlàtrungđiểmMM’.-ÁpdụngcôngthứctrungđiểmtatìmđượctọađộđiểmM.

6.TìmchânđườngcaoHkẻtừAcủatứdiệnABCDA

B

C

D

Phươngpháp:-Gọi ; ;H x y z

-TọađộcủaHlànghiệmcủahệphương

trình:

. 0

. 0

, . 0

AH BC

AH BD

BC BD BH

32 | T r a n g

I.Côngthứclượcgiác:1.Tỉsốlượnggiáccủamộtsốgóccầnnhớ:

Góc00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

06

4

3

2

2

3

3

4

5

6

sin 01

2 2

2

3

2 1

3

2

2

2

1

2 0

cos 13

2

2

2

1

2 0 –

1

2 –

2

2 –

3

2 1

tan 01

3 1 3 || 3 1 –

1

3 0

cot || 3 11

3 0

1

3 1 – 3 ||

*Côngthứclượnggiáccơbản:2 2sin cos 1x x tan .cot 1x x

2

2

11 tan

cosx

x 2

2

11 cot

sinx

x

sintan

cos

xx

x

coscot

sin

xx

x

2.Côngthứcbiếnđổitíchthànhtổng:

1cos cos [cos( ) cos( )]

2

1sin sin [cos( ) cos( )]

2

1sin cos [sin( ) sin( )]

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

.

.

.

3.Côngthứcbiếnđổitổngthànhtích:

cos cos 2cos .cos2 2

cos cos 2sin .sin2 2

sin sin 2sin .cos2 2

sin sin 2cos .sin2 2

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

4.Côngthứcnhânđôi:

CÔNGTHỨCLƯỢNGGIÁCVÀPHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC

33 | T r a n g

2 2 2 2

2

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

sin 2 2sin cos

2tantan 2 ( , , )

1 tan 2 2 2

a a a a a

a a a

aa a k a k k

a

5.Côngthứcnhânba:

3

3

sin3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

6.Côngthứchạbậc:

2

2

2

3

3

cos2 1cos

2

1 cos2sin

2

1 cos2tan

1 cos2

3sin sin3sin

4

3cos cos3cos

4

aa

aa

aa

a

a aa

a aa

7.Côngthứccộng:

sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

Ngoàiratacũngcócôngthứcsauvớimộtsốđiềukiện:

tan tantan( ) (*)

1 tan .tan

tan tantan( ) (**)

1 tan .tan

a ba b

a b

a ba b

a b

(*)cóđiềukiện: , ,2 2 2

a k b k a b k

(**)cóđiềukiện: , ,2 2 2

a k b k a b k

8.Côngthứctínhtana,cosa,sinatheo tan2

at :

2

2

2

2

2sin

1

1cos

1

2tan ,

1 2

ta

t

ta

t

ta a k

t

34 | T r a n g

9.Côngthứcliênhệgiữa2gócbùnhau,phụnhau,đốinhauvàhơnkém

nhau1góc hoặc2

:

9.1.Haigócbùnhau:

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

9.2.Haigócphụnhau:

sin( ) cos2

cos( ) sin2

tan( ) cot2

cot( ) tan2

a a

a a

a a

a a

9.3.Haigócđốinhau:

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

9.4Haigóchơnkémnhau2

:

sin( ) cos2

cos( ) sin2

tan( ) tan2

cot( ) cot2

a a

a a

a a

a a

9.5Haigóchơnkémnhau :

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

a a

a a

a a

a a

9.6.Mộtsốcôngthứcđặcbiệt:

sin cos 2 sin( ) 2 cos4 4

sin cos 2 sin( ) 2 cos4 4

cos sin 2 cos4

x x x x

x x x x

x x x

III.Phươngtrìnhlượnggiác:1.Phươngtrìnhcơbản:

2*

2

* 2

*2

*

u v ku v

u v k

u v u v k

u v u v k u k

u v u v k u k

sin sin

cos cos

tan tan

cot cot

2.Phươngtrìnhđẳngcấpđốivớisinxvàcosx:

35 | T r a n g

Cácphươngtrìnhlượnggiác*asin2x+bsinx.cosx+c.cos2x+d=0(1)* 3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x m x n x (2)*asin4x+bsin3x.cosx+csin2x.cos2x+dsinx.cos3x+ecos4x=0(3)gọilàphươngtrìnhđẳngcấpbậc2,3,4đốivớisinxvàcosx.-Kiểmtracosx=0cólànghiệmkhông?-Vớicosx≠0,chiahaivếcủaphươngtrình(1),(2),(3)theothứtựchocos2x,cos3x,cos4xđưaphươngtrìnhđãchovềphươngtrìnhmớivớiẩnt=tanxvàtadễdànggiảicácphươngtrìnhnày.3.Phươngtrìnhbậcnhấtđốivớisinxvàcosx:*sinx+bcosx+c=0(1),a2+b2≠0phươngtrình(1)cónghiệma2+b2-c2≥0

Do 2 2 0a b ,chiahaivếcủaphươngtrìnhcho 2 2a b :

2 2 2 2 2 2

(1) sin cosa b c

x xa b a b a b

Đặt:2 2

2 2

sin

cos

a

a b

b

a b

2 2

(1) sin( )c

xa b

(đâylàphươngtrìnhcơbản).

Chúý:Taluôncó:

2 2| sin sin |a x b x a b

Dấu"="xảyrakhivàchỉkhisin(x+a)=1.4.Phươngtrìnhđốixứngđốivớisinxvàcosx:a(sinx+cosx)+bsinxcosx=c(1)(a,b,clàhằngsố)Giảiphươngtrình(1)bằngcáchđặt:

sinx+cosx=t, | | 2t

Đưa(1)vềphươngtrình2 2 ( 2 ) 0bt at b c .Giảiphươngtrình(2)với | | 2t .

36 | T r a n g

I.Hoánvị-Chỉnhhợp–Tổhợp1.Hoánvị:ChomộttậphợpAgồmnphầntử(n1)MỗikếtquảcủasựsắpxếptheothứtựnphầntửcủatậphợpAgọilàmộthoánvịcủa nphần tửđó. Sốcáchoánvịcủamột tập hợp cónphầntử(n1)kíhiệulà nP .

Tacó nP =n!=1.2.3…(n-1).n(0!=1)

2.Chỉnhhợp*ChotậpAgồmnphầntử(n 1)vàmộtsốnguyênkvới1 k n .KhilấyrakphầntửcủaAvàsắpxếpchúngtheomộtthứtự,tađượcmộtchỉnhhợpchậpkcủanphầntửcủatậpA..Sốcácchỉnhhợpchậpkcủanđượckíhiệulà: k

nA

*Côngthứctính knA : k

nA =

!

!

n

n kvới

*,n k N

k n

3.Tổhợp(Quyước0!=1)*ChotậpAgồmnphầntửvàsốnguyênkvới 0 k n .MỗitậpconcủaAcókphầntửđượcgọilàmộttổhợpchậpkcủanphầntửcủaASốtổhợpchậpkcủanphầntửđượckíhiệulà k

nC

*Côngthứctính,!

( )!k!kn

n k NnC

k nn k

*Mộtsốcôngthứcvàtínhchấthoánvị,tổhợp,chìnhhợp: 0! ; C 1k k n

n n n nA k C C

k n kn nC C vớinnguyêndươngknguyênvà0 k n

11

k k kn n nC C C vớimọi1 k n (k,nnguyên)

Pn= nnA =n!(nnguyêndương)

II.NhịthứcNiuTơn1. Công thức nhị thức NiuTơn:

0 1 1 ... ... *n n n k n k k n n

n n n na b C a C a b C a b C b

Sốhạngtổngquát 1k n k k

k nT C a b

2.Mộtsốđẳngthứcđặcbiệt:

0 1 2

0 1 2 3

2 (1 1) ...

0 (1 1) ... ( 1) ... ( 1)

n n nn n n n

n n k k n nn n n n n n

C C C C

C C C C C C

III.Xácsuấtcủabiếncố:1.Địnhnghĩa:

GiảsửA làbiếncố liênquanđếnmộtphépthửchỉcómộtsốhữuhạnkếtquảđồngkhảnăngxuấthiện.

Ta gọi tỉ số( )

( )

n A

n là xác suất của biến cố A. Ký hiệu

P(A)=( )

( )

n A

n

TỔHỢP-XÁCSUẤT

37 | T r a n g

P(A).Tacó:

(n(A)làsốphầntửcủatậpAhaycũnglàsốcáckếtquảthuậnlợichobiếncốA,cònn()làsốcáckếtquảcóthểxảyracủaphépthử).2.Tínhchấtcủaxácsuất:

GiảsửAvàBlàcácbiếncốliênquanđếnphépthửmộtsốhữuhạnkếtquảđồngkhảnăngxuấthiện

Địnhlí:*P( )=0;P()=1*0 ( ) 1P A ,vớimọibiếncốA

*NếuAvàBxungkhắcthì:P( A B )=P(A)+P(B)

Hệquả: ( ) 1 ( )P A P A ,vớimọibiếncốA

38 | T r a n g

1.THỂTÍCHKHỐILĂNGTRỤ:V=B.h

:

:

B dieän tích ñaùy

h

chie u cao

*Thểtíchkhốihộpchữnhật:V=a.b.c

a,b,clàbakíchthước*Thểtíchkhốilậpphương:

V=a3alàđộdàicạnh

2.THỂTÍCHKHỐICHÓP:

V=1

3Bh

:

:

B dieän tích ñaùy

h

chie u cao

3.MẶTCẦU–KHỐICẦU:

2

:2

: sinh

:

:

xq

truï

R baùn kính ñaùyS Rl

l ñöôøng

R baùn kính ñaùyV R h

h ñöôøng cao

vôùi

vôùi

Chúý:1/Hìnhvuôngcạnha:Đườngchéolàa 2 .Đườngchéocủahình

lậpphươngcạnhalàa 3 .Đườngchéocủahìnhhộpchữnhậtcó3

kíchthướca,b,clà 2 2 2a b c ,

2/Tamgiácđềucạnha:đườngcaolà3

2

a,diệntíchlà

2 3

4

a

3/Hìnhchópđều:làhìnhchópcóđáylàđagiácđều,cáccạnhbênđềubằngnhau(hoặccóđáylàđagiácđều,hìnhchiếucủađỉnhtrùngvớitâmcủađáy).4/Lăngtrụđều:làlăngtrụđứngcóđáylàđagiácđều.5/Hệthứclượngtrongtamgiácvuông:cho ABC vuôngởAtacó:

a) ĐịnhlýPitago: 2 2 2BC AB AC

b) 2 2. ; .BA BH BC CA CH CB

c) AB.AC=BC.AH

d) 2 2 2

1 1 1

AH AB AC

e) sin , , tan ,cotb c b c

B c B B Ba a c b

os

f) b=a. sinB=a.cosC, c=a. sinC=a.cosB, a=sin cos

b b

B C ,

b=c.tanB=c.cotC6/Hệthứclượngtrongtamgiácthường:

*ĐịnhlýhàmsốCôsin:a2=b2+c2-2bc.cosA

*ĐịnhlýhàmsốSin: 2sin sin sin

a b cR

A B C

7/Cáccôngthứctínhdiệntích.a/Côngthứctínhdiệntíchtamgiác:

HÌNHHỌCKHÔNGGIANTỔNGHỢP

a

cb

B C

A

H

39 | T r a n g

d(M,)

M

H

1

2S a x ha =

1 . .. sin . .( )( )( )

2 4

a b ca b C p r p p a p b p c

R trong

đó2

a b cp

Đặc biệt: ABC vuông ở A:1

.2

S AB AC , ABC đều cạnh a:

2 3

4

aS

b/Diệntíchhìnhvuông:S=cạnhxcạnhc/Diệntíchhìnhchữnhật:S=dàixrộng

d/Diệntíchhìnhthang:1

2S (đáylớn+đáynhỏ)xchiềucao

e/Diệntíchhìnhbìnhhành:S=đáyxchiềucaof/Diệntíchhìnhtròn: 2.RS

8)Xácđịnhgócgiữađườngthẳngavàmp():Cácbướcxácđịnhgócgiữađườngthẳngavàmp():

+Xácđịnhhìnhchiếua’củaatrênmp().

+ ( , ( )) , ’ a a a .

9)Xácđịnhgócgócgiữahaimặtphẳng()và( ):

Cácbướcxácđịnhgóc:+Xácđịnhgiaotuyếnccủa()và( )

+Xácđịnhhaiđườngthẳngavàblầnlượtnằmtrênhaimặtphẳng()và( )đồngthờicùngvuônggócvớigiaotuyếnc

+Xácđịnhgócgiữaavàb,gócgiữaavàblàgócgiữa()và( )

10)Khoảngcáchtừmộtđiểmđếnmộtmặtphẳng.

KhoảngcáchtừđiểmMtớimp()làđộdàiđoạnvuônggócMHhạtừMxuốngmp().Kíhiệu: ,( )d M PhươngpháptínhkhoảngcáchtừđiểmMtớimp():Dựng ( )MH ,H ( ) vàtínhMH ,( )d M MH .

CóthểdựngMHtheophươngpháp:Chọnmộtmặtphẳng(P)quaMvà ( ) ( )P ,

mặtphẳng(P)cắt( )theogiaotuyếnd.Trongmặtphẳng(P)dựng ,MH d H d thì ( )MH .

a

b

c

a

a'

d

(P)

M

H

40 | T r a n g

Chúý:KhibiếtkhoảngcáchtừmộtđiểmA(khácM)đến( ).+NếuMA//( )thì ,( ) ,( )d M d A .

+Nếu ( ) ( )MA I I A thì

,( )

,( )

d M IM

d A IA

.

11)Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhau:a) Địnhnghĩa1:ABđượcgọilàđoạnvuônggócchungcủahai

đườngthẳngchéonhauavàb,

,

A a B b

AB a AB b

.

b) Địnhnghĩa2:Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaulàđộdàiđoạnvuônggócchungcủahaiđườngthẳngđó.

c) Chúý:Cóthểtínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaunhưsau:

Nếuhaiđườngthẳnga,bchéonhauvàvuônggócvớinhau:- Dựnghoặctìmmộtmặtphẳng( )chứabvàvuônggócvớiatạiA- Trong( )dựngđoạn AB b tạiBđoạnthẳngABlàkhoảngcách

giữaavàb. Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhauavàbbằngkhoảng

cáchgiữaavàmặtphẳng(P)chứabvà songsongvớia,hoặc bằngkhoảngcáchgiữabvàmặtphẳng(Q)chứaavàsongsongvớib. Khoảngcáchgiữahaiđườngthẳngchéonhaubằngkhoảngcách

giữahaimặtphẳngsongsonglầnlượtchứahaiđườngthẳngđó.

I

M

H

A

K

M

H

A

K