Universiteit Hasselt Faculteit Bedrijfseconomische Wetenschappen Academiejaar 2011 - 2012

Opleidingsonderdeel 1737 - BEDRIJFSFINANCIERING 1 2e bach TEW & HI

TIJDSWAARDE VAN HET GELD 13 februari 2012 0. Vooraf De begrippen en voorbeelden die hierna ter sprake komen zijn een uitbreiding - en bevatten illustraties - van : Hoofdstuk 2 : De ondernemingsdoelstelling : het creëren van waarde (pp. 25 -33 en pp. 80-85), uit : Laveren E., Engelen P.-J., Limère A., Vandemaele S., Handboek Financieel Beheer, 3e druk Intersentia, Antwerpen, 2009

1. HET BEGRIP TIJDSWAARDE Geldbedragen die op verschillende tijdstippen ‘vervallen’ (d.w.z. dienen betaald te worden of zullen ontvangen worden) zijn niet zonder meer vergelijkbaar op basis van hun nominale waarde. Indien men de keuze heeft tussen vandaag 1.000 EUR te ontvangen of hetzelfde bedrag te ontvangen over een jaar (en de toekomstige uitbetaling zeker is), zal men de ontvangst vandaag prefereren met als belangrijk argument dat men dit bedrag vanaf nu al kan beleggen wat interest oplevert. Bij een interestvoet van b.v. 10% zal het bedrag ‘van vandaag’ een jaar later immers aangegroeid zijn tot 1.100 EUR. Een vordering of schuld die op een ander tijdstip dan vandaag ‘vervalt’ dient bijgevolg ‘gecorrigeerd’ of ‘geconverteerd’ te worden om de ‘waarde van vandaag’ (d.i. de ‘actuele waarde’) ervan te kennen. Deze correctiefactor noemt men de tijdswaarde of tijdswaardering van het geld (‘time value of money’).

2

In de literatuur over bedrijfsfinanciering en financieel management wordt, naargelang de specifieke context, het begrip tijdswaarde ook aangeduid met volgende termen : interest of interestfactor (interest rate), discontovoet (discount rate), actualisatievoet, afkapvoet (cut off rate), kapitaalkost (cost of capital) en rendementseis (required rate of return). Een aanverwant begrip uit de investeringsanalyse is ‘interne opbrengstvoet’ of ‘intern rendement’ (internal rate of return). De verwachte interest of beleggingsopbrengst is nochtans niet de enige reden waarom men een geldbedrag, dat men vandaag kan ontvangen, hoger waardeert dan een zelfde nominaal bedrag dat men in de toekomst zal ontvangen. Andere factoren die de tijdswaarde beïnvloeden zijn :

1. Risico en onzekerheid : naarmate de toekomst verder af ligt kan het risico en de onzekerheid m.b.t. het ontvangen van dit bedrag toenemen.

2. Inflatie : de koopkracht van geld is vandaag meestal groter dan in de toekomst.

3. Subjectieve tijdsvoorkeur : zelfs indien er geen beleggingsmogelijkheid, noch risico en inflatie aanwezig zouden zijn, kan de consument onmiddellijke besteding prefereren boven toekomstige besteding (men wenst consumptie niet uit te stellen).

In deze cursus zal het begrip tijdswaarde enkel gedefinieerd worden in functie van de interestvoet, d.w.z. de financiële opbrengst die men kan ontvangen als men geld belegt of de financiële kost die men dient te betalen indien men geld ontleent. 2. SAMENGESTELDE INTEREST EN EINDWAARDE VAN EEN

KAPITAAL Een bedrag van 1.000 dat vandaag wordt uitgezet op een spaarrekening aan een interestvoet van 10% zal op het einde van dit jaar aangegroeid zijn met een interestbedrag van 100 en een eindwaarde hebben van 1.100. Indien we hierbij volgende symbolen gebruiken : Kapitaal : K = 1.000, interestvoet : p = 10% en aantal perioden : n = 1, is de toekomstige waarde of eindwaarde van dit kapitaal na 1 jaar gelijk aan : K + K x (p/100) = 1.000 + 1000 x (10/100) = 1.100 = K x (1 + p/100)

Na 2 jaar zal de eindwaarde van hetzelfde beginkapitaal gelijk zijn aan : K x (1 +p/100) + [ K x (1 + p)/100) ] x (p/100) = K x [ 1 + 2 x (p/100) + (p/100)2 ] = K x [ 1 + p/100 ]2

Na 3 jaar zal de eindwaarde gelijk zijn aan : K x [ 1 + (p/100) ]3, enz.

3

Voor de aanduiding van de eindwaarde of toekomstige waarde (future value), ook ‘slotwaarde’ genoemd, van een kapitaal, over n perioden zal het symbool FV worden gebruikt : FVn (K , p%) = K x [ 1 + (p/100) ] n = K x [ 1 + i ] n waarbij : n = aantal perioden K = het (begin)kapitaal (= een eenmalig bedrag vandaag)

p = interestpercentage (%) dat ook kan aangeduid worden door het symbool i (i= p/100)

De eindwaarde van een kapitaal wordt ook aangeduid door KN (zie boek p. 26) Voorbeeld 1 Een kapitaal van 1.000 dat op een spaarboekje uitstaat aan een samengestelde interest van 6% per jaar zal op het einde van deze vijfjarige periode een eindwaarde hebben van: FV5 (1000, 6%) = 1.000 x FV5 (1, 6%) = 1.000 x [ 1 + 0,06 ]5 = 1.338.

Het begrip ‘samengestelde interest’ (p. 26) impliceert dat de verdiende interest op het einde van elke periode gevoegd wordt bij het beginkapitaal van diezelfde periode waaruit volgt dat, vanaf de tweede periode, ook interest berekend wordt op de interest van de voorbije periode(n). Bij ‘enkelvoudige interest’ (p. 26) zal men periodiek enkel (een vaste) interest ontvangen op het beginkapitaal. In dat geval wordt de interest niet bij het kapitaal gevoegd. Perioden kunnen dagen, weken, maanden, kwartalen, semesters en jaren zijn. Bij het interestpercentage dient daarom steeds vermeld te worden op welke periode dit van toepassing is. Bij een investeringscalculatie zullen analyses (op basis van de tijdswaarde) doorgaans gebeuren voor perioden gelijk aan een jaar en wordt daarom met een interest of kapitaalkost op jaarbasis gerekend.

4

Gelijkwaardige samengestelde interest per periode : Een samengestelde interest per periode kan worden omgezet in een gelijkwaardige interest voor een kortere of langere periode (zie boek p. 27).

Voorbeeld 2 Een kapitaal van 1.000.000 zal, tegen een samengestelde interestvoet van 10% per jaar, na 3 jaar aangegroeid zijn tot 1.000.000 (1,10)3 = 1.331.000. Indien men ditzelfde eindbedrag wenst te bekomen op basis van een samengestelde interestvoet van x% op semesterbasis (= halfjaarlijks), moet voldaan worden aan de voorwaarde dat : 1.000.000 (1 + x/100)6 = 1.331.000. Hieruit volgt dat (1 + x/100)6 = 1,331 en (1 + x/100) = (1,331)1/6 . Hieruit wordt afgeleid dat x = 4,88% (samengesteld per semester). Indien hetzelfde bedrag zou dienen gerealiseerd te worden op basis van een samengestelde interestvoet van y% op kwartaalbasis (= 3 maanden), zal : 1.000.000 (1 + y/100)12 = 1.331.000. Hieruit volgt dat y = 2,41% (samengesteld per kwartaal). Een gelijkaardige berekening levert een samengestelde interest van z% per maand op van 0,7974%. Bovenstaande interestpercentages x (per semester), y (per kwartaal) en z (per maand) zijn alle gelijkwaardig met een samengestelde interest van 10% op jaarbasis, d.w.z. het maakt voor de eindwaarde (einde jaar 3) in principe geen verschil indien men het kapitaal tegen een van deze 3 interestvoeten uitzet. Omgekeerd kan een samengestelde interest per periode ook omgezet worden in gelijkwaardige interest voor een langere periode : b.v. een kapitaal K dat gedurende 2 semesters wordt uitgezet aan 5% per semester kan ook op jaarbasis worden uitgezet aan x%. Voorwaarde : K (1,05)2 = K(1 + x/100) waaruit volgt dat x = 10,25%.

5

3. BEGINWAARDE VAN EEN KAPITAAL Vele financiële beslissingen, o.a. deze die gebeuren op basis van een investeringscalculatie, vereisen een afweging tussen geld dat ‘vandaag’ wordt uitgegeven (bij een investeringsproject is dit de investeringsuitgave, b.v. de aanschaf van vaste activa) en geld dat men verwacht ‘in de toekomst’ te ontvangen (toekomstige opbrengsten van het project). Bij deze ‘afweging’ speelt het gewenste rendement (= tijdswaarde van het geld) op het geïnvesteerde kapitaal een centrale rol. De toekomstige ontvangsten dienen niet enkel te volstaan voor de recuperatie van het geïnvesteerde kapitaal, maar dienen eveneens een aanvaardbare vergoeding (rendement of interest) voor dit kapitaal te bevatten. De berekening impliceert dat men zoekt hoeveel men vandaag (maximaal) mag uitgeven als dit resulteert in een bepaald bedrag dat in de toekomst zal ontvangen worden (b.v. hoeveel zal men vandaag willen uitgeven als men daardoor over 2 jaar een netto-opbrengst van 1.000 zal ontvangen?). Deze berekening is gebaseerd op een vooropgesteld rendement dat de ‘tijdswaarde’ is die men aan het geld toekent. De waarde ‘vandaag’ (of geactualiseerde waarde) is het bedrag dat men vandaag maximaal hiervoor wenst te investeren om deze toekomstige 1.000 te ontvangen. De waarde van toekomstige geldbedragen kan men berekenen voor vroegere tijdstippen door deze toekomstige bedragen te disconteren. Wanneer met geldbedragen die in de toekomst vervallen uitdrukt in hun waarde vandaag, wordt dit actualiseren genoemd.

Voorbeeld 3 Een investeringsproject (met levensduur 1 jaar) vereist eind 2012 een uitgave van 1.000 en zal eind 2013 een ontvangst genereren van 1250. De investeerder vraagt een minimum rendement van minimum 12%. Is dit project aanvaardbaar ? Bepaling van de aanvaardbaarheid kan via de berekening van de eindwaarde : de investeerder verwacht minimaal [1.000 + 12% ] = 1.120 te recupereren en zal dit project als aanvaardbaar beschouwen. Bepaling van de aanvaardbaarheid kan eveneens via berekening van de beginwaarde : de geactualiseerde waarde is 1250 / 1,12 = 1.116, dit betekent dat de investeerder zelfs bereid zou zijn om méér (tot 116 extra) uit te geven voor dit project. Het verschil (116) tussen de geactualiseerde waarde (1.116) en de waarde van de uitgave (- 1000) wordt de netto actuele waarde (NAW) ook netto contante waarde (NCW) of net present value (NPV) genoemd (zie p. 40). Een belegging of een investeringsproject is in principe aanvaardbaar als de netto actuele waarde positief (of minstens gelijk aan nul) is. Vraag : Zal deze investeerder dit project ook aanvaarden als dit een levensduur van 2 jaar heeft en eind 2011 en 2012 voor 500 en 800 aan ontvangsten genereert ? Hoeveel bedraagt de netto-actuele waarde ?

6

Voorbeeld 4 Persoon A bezit een schuldbekentenis van persoon B waarbij deze laatste hem - precies over 5 jaar - een bedrag van 1.000 dient te betalen. De zgn. ‘future value’ of toekomstige waarde van dit kapitaal is dus 1.000. Indien persoon A reeds vandaag dit geld zou willen terugbetaald krijgen zal B met deze transactie enkel instemmen op voorwaarde dat hij van een aanvaardbare korting (‘discount’) op deze schuld kan genieten. Indien A en B beiden geld beleggen op spaarrekeningen aan een interest van 6% lijkt het redelijk dat A zal instemmen met de uitbetaling van een lager bedrag, dat voorzien van de samengestelde interest, een eindwaarde heeft van 1.000 over vijf jaar. De toekomstige schuld van 1.000 dient te worden omgezet in een gelijkwaardig bedrag X vandaag waarbij : FV5(X, 6%) = 1.000 of X(1.06)5 = 1.000 waaruit volgt dat X = 1.000 [ 1 / (1.06)5 ] = 747. Dit bedrag noemt men de huidige waarde of beginwaarde of actuele waarde van dit toekomstig bedrag. Indien A dit geld vandaag op een spaarrekening zou beleggen, zal hij precies over 5 jaar hiervan een eindbedrag van 747 (1.06)5 = 1.000 kunnen afhalen en dit is ook het moment waarop hij, zonder vervroegde terugbetaling, dit bedrag zou ontvangen hebben. N.B. : beide partijen zijn ‘indifferent’ betreffende de betaling van 747 of 1.000 (op

voorwaarde dat men een eenvormige interestvoet hanteert). Indien A dit geld vandaag reeds nodig heeft voor consumptiedoeleinden, die anders dienen gefinancierd te worden met een lening aan een interestkost van 10%, doet hij met deze transactie een goede zaak. In dit laatste geval zijn beide bedragen voor A niet gelijkwaardig en zou A zelfs tevreden kunnen zijn met een lager bedrag (dat kan dalen tot 621).

Voor de aanduiding van de beginwaarde of huidige waarde (present value) van een kapitaal dat over n perioden vervalt zal het symbool PV worden gebruiktj : PVn (K , p%) = K x PVn (1, p%) = K / [ 1 + (p/100) ] n = K / [ 1 + i ] n waarbij : n = aantal perioden K = het kapitaal (een eenmalig bedrag in de toekomst) p = interestpercentage (%) dat ook kan aangeduid worden door i waarbij (= p/100) In plaats van bovenstaand symbool wordt (voor K = 1) ook het volgende gebruikt : Anp. Deze waarden zijn (voor K = 1) opgenomen in tabel A (Enkelvoudige actualisatiefactor) pp. 82-83.

7

4. ANNUÏTEIT

4.1 DEFINITIE Een annuïteit is een reeks constante geldbedragen die met gelijke tussenperioden vervallen (d.w.z. worden ontvangen of uitgegeven). Een voorbeeld hiervan is de terugbetaling van een lening via vaste bedragen op het einde van elke maand. Indien de betalingen telkens gebeuren op het begin van de perioden spreekt men van een prenumerando annuïteit (‘annuity due’) (p.31) en indien de betalingen vallen op het einde van elke periode noemt men dit een postnumerando annuïteit (‘ordinary or deferred annuity’) (p. 29). 4.2 BEGINWAARDE VAN EEN (POSTNUMERANDO) ANNUÏTEIT

Voorbeeld 5 Persoon A bezit een schuldbekentenis van persoon B waarbij deze laatste aan hem - gedurende 5 opeenvolgende jaren - een bedrag van 1.000 zal betalen, telkens op het jaareinde (d.i. een postnumerando annuïteit) en waarbij de eerste betaling precies over één jaar zal gebeuren. De zgn. ‘future values’ of toekomstige waarden van die bedragen zijn dus gekend (en alle gelijk aan 1.000). Indien persoon A reeds vandaag al deze bedragen in één keer wil terugbetaald krijgen zal B met deze transactie enkel instemmen op voorwaarde dat hij van een aanvaardbare korting (‘discount’) op deze schuldenreeks kan genieten. Indien beide personen een interestkost van 6% hanteren zal men, naar analogie met het voorbeeld 3, tot een beginwaarde komen die gelijk is aan : PV1(1.000, 6%) + PV2(1.000, 6%) + PV3(1.000, 6%) + PV4(1.000, 6%) + PV5(1.000, 6%) = 1.000 / (1,06) + 1.000 / (1,06)2 + 1.000 / (1,06)3 + 1.000 / (1,06)4 + 1.000 / (1,06)5 = 1.000 x [ 1 / (1,06) + 1 / (1,06)2 + 1 / (1,06)3 + 1 / (1,06)4 + 1 / (1,06)5 ]

= 1.000 x [ PVA5(1, 6%) ] (verklaring symbool: zie volgende pagina) = 1.000 x [ 4,2124 ] = 4.212 (afgerond). Bij een interestvoet van 10% zou deze berekening van de beginwaarde resulteren in een bedrag van : 1.000 x 3,7908 = 3.791

De beginwaarde van een annuïteit van 5 kapitalen K aan een interestvoet van p% (= i) wordt voorgesteld door het symbool PVA5(K, p%) en is gelijk aan : K x [ 1 / (1+i) + 1 / (1+i)2 + 1 / (1+i)3 + 1 / (1+i)4 + 1 / (1+i)5 ]

(zie bovenstaand voorbeeld). De wiskundige vorm tussen haakjes is een meetkundige reeks waarvan de som (= beginwaarde van deze annuïteit) kan herleid worden tot volgende formule : [ 1 - (1 + i )-5 ] / i.

8

Voor de aanduiding van de beginwaarde of huidige waarde (present value) van een (postnumerando) annuïteit van n kapitalen zal het symbool PVA worden gebruikt : PVAn (K , p%) = K x PVAn (1, p%) = K x [ 1 - (1 + i )-n ] / i Waarbij : n = aantal perioden (= aantal kapitalen) K = het kapitaal (een reeks gelijke bedragen in de toekomst) p = interestpercentage (%) dat ook kan aangeduid worden door het symbool i (= p/100) De huidige waarde van een annuïteit met kapitaal = 1 wordt ook symbolisch weergegeven door g.a.f. (gecumuleerde actualisatiefactor), zie p. 30. Deze waarden zijn (voor K = 1) opgenomen in tabel B (gecumuleerde actualisatiefactor), pp. 84-85. In plaats van bovenstaand symbool wordt ook het volgende gebruikt : a np. De gesommeerde waarde van de toekomstige geldbedragen noemt men ook de contante waarde , d.i. de (gedisconteerde) waarde die men vandaag zou ontvangen als men een investeringsproject vandaag ‘contant’ zou afrekenen (d.w.z. indien men reeds vandaag alle toekomstige bedragen zou uitgekeerd krijgen). De netto-actuele waarde (of netto-contante waarde of ‘net present value’) is dan de som van alle gedisconteerde bedragen (incl. de investeringsuitgave in het basisjaar) van een investeringsproject. Bij berekeningen m.b.t. de waardering van toekomstige geldbedragen dient duidelijk onderscheid gemaakt te worden tussen de beginwaarde van een (eenmalig) kapitaal en de beginwaarde van een annuïteit :

n) i (1

Knp/100) (1

K p%) (1,nPVK x K een van eBeginwaard

+=

+== kapitaal

1( i

ni)

1 - 1

K x p/100

n -p/100) (1 - 1K x

p%) (1,nPVAK x K) kapitalen n (van numerando) (post een van eBeginwaard

+=

+=

=

annuïteit

9

4.3 PERPETUÏTEIT Een bijzonder geval van een postnumerando annuïteit is de perpetuïteit of ‘eeuwigdurende annuïteit’ waarbij onbeperkt in de toekomst periodiek een kapitaal K zal ontvangen worden. Hierbij zal n → ∞ waardoor de beginwaarde van de annuïteitenformule herleid wordt tot K / i

Voorbeeld 6 Iemand zal, met aanvang over precies een jaar, jaarlijks en zonder beperking in de toekomst, een bedrag van 1.000 uitgekeerd krijgen. Indien deze persoon rekent met een interestvoet van 8% zal de beginwaarde van deze postnumerando annuïteit gelijk zijn aan 1.000 / 0,08 = 12.500. Indien deze persoon dit bedrag nu zou ontvangen en vervolgens op een spaarrekening aan 8% interest zou uitzetten bekomt hij jaarlijks 12.500 x 0,08 = 1.000. Beide ‘betaalsystemen’ zijn bijgevolg gelijkwaardig, althans in functie van een constante interestvoet.

Het voorgaande betreft een perpetuïteit zonder groei. Een bijzonder geval is een perpetuïteit waarbij de geldbedragen elke periode toenemen met een constant percentage (in dit geval is er geen sprake meer van een annuïteit). Indien deze perpetuïteit aanvangt met een bedrag K dat periodiek toeneemt met een constant percentage g en gerekend wordt met een interest i, dan is de beginwaarde hiervan : K(1 + g) / (i – g) (afleiding formule, zie p. 81) 4.4 EINDWAARDE VAN EEN (POSTNUMERANDO) ANNUÏTEIT De eindwaarde van een annuïteit kan berekend worden door vooraf de beginwaarde ervan te berekenen en voor dit bedrag vervolgens de eindwaarde te berekenen. De eindwaarde van een postnumerando annuïteit valt steeds op het tijdstip van het laatste bedrag. Deze eindwaarde kan ook rechtstreeks berekend worden via een formule :

(met de eindwaarden van annuïteiten wordt weinig gerekend en de waarden voor diverse percentages zijn niet in tabelvorm in het handboek opgenomen)

1 1

i

ni) (1 K x p/100

np/100) (1 K x

i) (p/100 p% interest en K) kapitalen n (van numerando) (post een van Eindwaarde

−+=

−+=

=

annuïteit

10

4.5 REKENEN MET ANNUÏTEITEN Bij een postnumerando annuïteit wordt de beginwaarde berekend (door toepassing van de formule) op het tijdstip dat exact één periode vroeger ligt dan het tijdstip waarop het eerste kapitaal vervalt. Bij een prenumerando annuïteit wordt de beginwaarde berekend op het tijdstip waarop het eerste kapitaal vervalt. Deze berekening kan gebeuren uitgaande van de beginwaarde van de overeenkomstige postnumerando annuïteit. (zie p. 31) Een annuïteit kan – althans rekenmatig – zowel beschouwd worden als een postnumerando of als een prenumerando annuïteit. Nochtans zullen de tijdstippen waarop de begin- en eindwaarden vallen daarbij niet dezelfde zijn en zullen ook de begin- en eindwaarden bij post- en prenumerando verschillen. Door toepassing van het begrip ‘tijdswaarde’ kan de waarde van een annuïteit berekend worden voor eender welk tijdstip. Opgave : Een schuld dient terugbetaald te worden via een reeks van 10 betalingen van 1.000 waarvan de eerste eind 2013 valt en de laatste eind 2022. Men rekent met een interestvoet van 5%. Vragen:

a. Indien de schuld volledig zou voldaan worden via een eenmalige betaling eind 2012, hoeveel dient dan betaald te worden?

b. Indien de schuld volledig zou voldaan worden via een eenmalige betaling eind 2013, hoeveel dient dan betaald te worden?

c. Welk is de relatie tussen de bedragen berekend bij a. en b. d. Indien eind 2011 reeds een voorschot van 2.500 werd gestort, hoeveel dient dan eind

2013 nog betaald te worden indien op dat moment de resterende schuld volledig zou voldaan worden?

e. Indien de schuld volledig zou voldaan worden via een eenmalige betaling eind 2022, hoeveel dient dan betaald te worden?

f. Indien de schuld volledig zou voldaan worden via een eenmalige betaling eind 2017, hoeveel dient dan betaald te worden?

11

5. TOEPASSING : AFLOSSING VAN EEN ANNUÏTEITENLENING Zie voorbeeld pp. 32-33 Lening van 3.000.000, af te lossen in 10 jaarlijkse betalingen aan 9% interest.

* * *

Aflossingstabel : 1. Berekening jaarlijkse betaling K De formule van de beginwaarde van een annuïteit kan gebruikt worden voor de bepaling van de vaste periodieke aflossing van een geleend bedrag dat via deze formule wordt omgezet in een annuïteit (zie p. 32)

of 3.000.000 = K x 6,41766 (zie ook tabel B p. 84) waaruit : K = 467.460 2. Evolutie samenstelling van K K bestaat uit een veranderlijk aflossingsbestanddeel (stijgt jaarlijks) en een veranderlijk interestbestanddeel (daalt jaarlijks). Eind jaar 1 bevat K een interest van 270.000 (= 9% van 3.000.000) en bedraagt het kapitaalsgedeelte (aflossing van het geleende bedrag) per saldo 197.460. Eind jaar 2 dient interest betaald te worden op het resterend uitstaand kapitaal of : 9% x [3.000.000 -197.460] = 252.229 en per saldo bedraagt dan het kapitaalsgedeelte in de aflossing 215.231 ( = 467.460 – 252.229). 3. Vraag Hoeveel bedraagt het percentage van de aangerekende interest indien een lening van 3.000.000 over 20 jaar wordt afbetaald in annuïteiten van 283.179 ?

09,0 1( 0,09

10)

1 - 1

K x 9/100

10 -9/100) (1 - 1K x

9%) (1,10PVAK x 3.000.000

K) kapitalen 10 (van numerando) (post een van eBeginwaard

+=

+=

=

=

annuïteit

12

6. LENING, AFLOSSINGEN EN OVEREENKOMSTEN MET EEN INVESTERINGSPROJECT Ter illustratie van de toepassing van voorgaande formules uit de financiële wiskunde, worden in onderstaand voorbeeld diverse aflossingschema’s gegeven van een lening.

Voorbeeld 7 Iemand verstrekt eind 2011 een lening van 3.000 tegen een samengestelde interest van 10% op jaarbasis. Zijn schuldenaar heeft als enige verplichting dat hij dit bedrag, inclusief interest, volledig moet terugbetaald hebben uiterlijk over 3 jaar (dus uiterlijk eind 2014) waarbij de terugbetalingen enkel gebeuren op het jaareinde (de eerste terugbetaling kan dan precies over één jaar gebeuren). Deze voorwaarden impliceren vele aflossingschema's zijn waarvan hierna enkele zijn weergegeven (deze bedragen worden bekeken door de bril van de ‘uitlener’).

Aflossingschema

2011 2012 2013 2014

A -3.000 3.300 - - B -3.000 - 3.630 - C -3.000 - - 3.993 D -3.000 1.300 1.200 1.100 E -3.000 800 1.250 1.650 F -3.000 1.206 1.206 1.206 G -3.000 1.729 1.729 -

De aflossingschema's A, B en C betekenen een éénmalige en integrale terugbetaling van deze lening (kapitaal inclusief 10% interest). Dit zijn de eindwaarden die berekend werden na resp. 1, 2 en 3 jaar en dit zijn dus aanvaardbare aflossingschema's. Omgekeerd kan men ook door de berekening van de beginwaarde van de terugbetalingen (dus door te disconteren aan 10%) bepalen of een schema aanvaardbaar is : b.v. bij C : PV3 (3.993, 10%) = 3.993 / (1,10)3 = 3.000. Schema D impliceert een jaarlijkse vaste kapitaalsaflossing van 1.000 (inclusief interest op het resterende uitstaande kapitaal). Schema E omvat variabele kapitaalsaflossingen van resp. 500, 1.000 en 1.500 (waarbij telkens de verschuldigde interest van het voorbije jaar werd gevoegd). De schema's F en G zijn annuïteiten waarvan de huidige waarde (afgerond) eveneens gelijk is aan 3.000.

13

Berekening van de actuele waarde voor meerdere jaren : Ter vereenvoudiging van het rekenwerk (bij schema's D t.e.m. G) kan men de zgn. ‘rollback’-methode gebruiken waarbij men op een eenvoudige wijze, snel en nauwkeurig, de som der actuele waarden berekent. De berekening start men het bedrag van het laatste jaar dat gedisconteerd wordt met één periode. Hierbij wordt vervolgens het bedrag van het voorlaatste jaar opgeteld en deze som wordt opnieuw met één periode gedisconteerd, enz. Indien na de laatste discontering de beginwaarde (minstens) gelijk is aan 3.000, is het betreffende aflossingsschema aanvaardbaar.

Gebruik van rollbackmethode (voor schema E) : Men start met de laatste aflossing (1.650) en deelt deze door 1,10; vervolgens telt men hierbij de voorlaatste aflossing (1.250) op en deelt deze som door 1,10 . Ten slotte telt men hierbij de eerste aflossing op (800) waarna men nogmaals deelt door 1,10. Dit laatste resultaat dient gelijk te zijn aan 3.000 indien het aflossingschema gebaseerd is op een interest van 10%.

Berekening van het aflossingsbedrag bij een annuïteitenlening : Voor de berekening van het bedrag van de vaste aflossingen bij F en G kan gebruik worden gemaakt van de formule PVAn. De huidige waarde is immers gegeven (3.000) en de som van de geactualiseerde waarden van de aflossingen dient hieraan gelijk te zijn. De vaste aflossingen X moet dan voldoen aan : PVAn = 3.000 = X x ( [ 1 - (1 + i )-3 ] / i ) = X x PVAn(1, i). Bijgevolg is X = 3.000 / ( [ 1 - (1 + i )-n ] / i )

Voorbeeld (voor schema F) : X = 3.000 / ( [ 1 - (1 + i )-n ] / i ) = 3.000 / ( 2,4869 ) = 1.206 Indien deze lening over een periode van 10 jaar zou dienen te worden terugbetaald zou de jaarlijkse aflossing 488 bedragen.

Vraag : Zijn volgende aflossingschema’s aanvaardbaar ? Zijn dit annuïteiten ?

-3.000 - 1.902 1.902 -3.000 1.807 - 1.807

14

Relatie lening, aflossingen en investering : Alle vorige aflossingschema’s zijn, ondanks verschillende terugbetalingspatronen, gelijkwaardig aangezien de som van de geactualiseerde bedragen gelijk is aan 3.000. Veronderstel dat deze ‘uitlener’ nu de keuze heeft tussen : - 3.000 uitlenen (aan 10% interest) - ofwel : 3.000 investeren in een risicoloos project H dat volgende netto bedragen

zal genereren : H : -3.000 1.320 1.720 770 De geactualiseerde of contante waarde (met discontovoet 10%) van deze opbrengsten is gelijk aan (1.320 / 1,10) + (1.720 / 1,102) + (770 / 1,103) = 3.200. Bijgevolg stemmen deze opbrengsten overeen met de terugbetaling van een lening van 3.200 aan 10% terwijl deze persoon slechts 3.000 zal ‘uitlenen’ d.w.z. aan dit project dient te besteden. De contante waarde van de opbrengsten (d.i. de waarde na aftrek van de interesten) overtreft de investeringsuitgave en men zegt dan dat dit project een positieve netto contante waarde heeft van 200 (= 3.200 - 3.000) omdat het, na interestverrekening, meer ‘kapitaal’ oplevert (terugbetaalt) dan er oorspronkelijk werd voor uitgegeven. Dit project zal bijgevolg de voorkeur krijgen boven een lening van 3.000 die terugbetaald wordt aan 10%. Bij de financiële analyse van dit project kan men ook stellen dat het geïnvesteerde kapitaal exact wordt terugbetaald, maar dat het project een interest (rendement) oplevert die hoger ligt dan 10%. Door ‘trial and error’ (b.v. via de rollback methode) kan berekend worden dat het opbrengstenschema van project H een interestvergoeding impliceert van 14%. Dit noemt men de interne opbrengstvoet (internal rate of return) van dit project. Een investeringsproject kan, indien uitgedrukt in negatieve en positieve geldstromen, rekenmatig geanalyseerd worden als een lening die ‘aan een project wordt toegekend’ en vervolgens door dit project met interest (rendement) zal worden terugbetaald. De (minimum) rendementsnorm die door de investeerder wordt vooropgesteld (d.i. de tijdswaarde of kapitaalkost) bepaalt dan de aanvaardbaarheid van het project.