relativiteitstheorie 2014, hoorcollege 4

Docentencursus

relativiteitstheorie

Vierde collegeMarcel Vonk

5 november 2014

2/87

Inhoud 4e hoorcollege

1. Hoofdpunten eerste drie colleges

2. E=mc2

3. Algemene relativiteit

4. Experimenteel bewijs

5. Lesmateriaal en

voorbeeldopgaven

1. Hoofdpunten eerste drie

colleges

4/87

Eerste hoorcollege

De ruimtetijd, bestaande uit alle

gebeurtenissen, vormt één geheel.

Elke inertiële waarnemer verdeelt

dit geheel op zijn eigen manier in

ruimte en tijd.

5/87

Eerste hoorcollege

Het eindresultaat: in Einsteins

wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:

Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

6/87

Tweede hoorcollege

Tijdsdilatatie: een klok die in rust

met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als

hij met een snelheid v beweegt,

met grotere tijdsintervallen

Δt’ = γ Δt.

7/87

Tweede hoorcollege

Lorentzcontractie: een meetlat

die in rust een lengte L heeft,

heeft als hij met een snelheid v

beweegt een kortere lengte

L’ = L/γ.

8/87

Derde hoorcollege

Lorentztransformaties:

willekeurige ruimtetijdcoördinaten

kunnen we omrekenen met

)('

)('

txx

xtt

9/87

Derde hoorcollege

We hebben gezien waarom lengtes

van bewegende voorwerpen korter

worden (dan meten we AB), maar

tijden op bewegende klokken langer

(dan meten we AC).

10/87

Derde hoorcollege

Ladderparadox: “Iemand rent met een

ladder, die precies in een schuur past,

met enorme snelheid de schuur in.

Past de ladder nog altijd in de

schuur?”

11/87

Derde hoorcollege

12/87

Derde hoorcollege

Beide waarnemers hebben gelijk: de

stilstaande waarnemer meet lengtes

langs t=0, de bewegende waarnemer

langs t’=0.

13/87

Derde hoorcollege

Tweelingparadox: “Ronald reist met

een enorme snelheid naar een ver

sterrenstelsel, keert daar om en reist

met dezelfde snelheid weer terug. Is

Ronald bij terugkomst jonger dan

Frank, of andersom?

14/87

Derde hoorcollege

• Frank ziet Ronald steeds met grote

snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds

klok langzamer lopen, dus Ronald

zou jonger moeten zijn.

• Ronald ziet Frank steeds met grote

snelheid bewegen. Hij ziet Franks

klok langzamer lopen, dus Frank

zou jonger moeten zijn.

15/87

Derde hoorcollege

Nu heeft maar één van de waarne-

mers (Frank) gelijk: de andere

(Ronald) verandert namelijk van

snelheid.

De situatie is dus niet symmetrisch!

16/87

Derde hoorcollege

Ronald slaat als het ware een stuk van

de geschiedenis van Frank over. (In

termen van “gelijktijdigheid”; hij ziet

deze geschiedenis wel.)

2. E=mc2

18/87

E=mc2

Hoe worden snelheden relativistisch

opgeteld? De klassieke optelling werkt

in elk geval niet, want we weten dat

“v+c=c” voor elke v.

19/87

E=mc2

• Een trein rijdt met v=c/3 door het

station.

• Een hardloper loopt met u’=c/3 door

de trein.

• Wat is de snelheid u van de hard-

loper ten opzichte van het station?

20/87

E=mc2

We kunnen dit vraagstuk grafisch

oplossen:

21/87

E=mc2


oplossen:

22/87

E=mc2


oplossen:

c/3 <+> c/3 = 3c/5

23/87

E=mc2

In het werkcollege hebben we dit ook

berekend.

Wie deze methode volgt, kan ook een

algemene formule afleiden:

24/87

E=mc2

Aan het plaatje zien we al dat het

optellen van twee snelheden kleiner

dan c, altijd een nieuwe snelheid

oplevert die kleiner is dan c.

25/87

E=mc2

We kunnen dit ook uit de optelformule

afleiden:

BORD

26/87

E=mc2

Versnellen is niets anders dan steeds

een beetje snelheid bij een bestaande

snelheid optellen.

Conclusie: we kunnen nooit tot boven

de lichtsnelheid versnellen!

27/87

E=mc2

Dat versnellen lastiger wordt bij hoge

snelheden kunnen we begrijpen uit

Einsteins beroemdste formule, E=mc2.

28/87

E=mc2

De afleiding van E=mc2 is enigszins

complex. De formule hoort daarom niet

tot de exameneisen.

29/87

E=mc2

In het kort:

1. Plaats en tijd zijn nauw verbonden;

ze vormen eigenlijk een 4-vector.

2. Ook bij impuls hoort een 4e

component: de energie.

3. Impuls en energie gedragen

zich net als ruimte en tijd als we

aannemen dat energie gegeven

wordt door E = γm0c2.

30/87

E=mc2

Uitschrijven levert

We vinden de bekende formule voor

de kinetische energie terug als eerste

snelheidsafhankelijke correctie op een

constante term: de rustenergie,

E0=m0c2.

E = m0c2 + ½ m0v

2 + kleine correcties

31/87

E=mc2

Dat materie inderdaad een dergelijke

rustenergie bezit, is inmiddels

overtuigend experimenteel bewezen.

32/87

E=mc2

Opmerking 1: m0 in deze formule is de

massa die we in rust meten. In een

willekeurige toestand is de massa die

we meten gelijk aan meff = E/c2 = γm0.

E = m0c2 + ½ m0v


33/87

E=mc2

Opmerking 2: De vorm E = mc2 is dus

wat verwarrend; hiermee kan ofwel

E = meff c2 bedoeld worden, ofwel

E0 = m0 c2.

E = m0c2 + ½ m0v


34/87

E=mc2

Ik zal E = γmc2 niet in

detail afleiden; zie daar-

voor bijvoorbeeld het

boekje van Sander Bais.

Wel wil ik laten zien dat we met deze

formule kunnen begrijpen waarom

versnellen tot in de buurt van c steeds

meer moeite kost.

35/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de

volgende beweringen combineren:

1. Iets zwaars is moeilijker te versnel-

len dan iets lichts. (Denk aan F=ma.)

36/87

E=mc2

Dit is eenvoudig in te zien als we de

volgende beweringen combineren:

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer

energie, dus meer effectieve massa.

E = meff c2

37/87

E=mc2

1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen

dan iets lichts.

2. Iets wat sneller beweegt heeft meer

energie, dus meer effectieve massa.

38/87

E=mc2

Versnellen tot boven de lichtsnelheid

lukt inderdaad niet!

3. De algemene


40/87

Algemene relativiteit

Tot nu toe hebben we het alleen

gehad over waarnemers die eenparig

(met constante snelheid) bewegen.

Maar hoe ervaart een versnelde

waarnemer de ruimtetijd?

41/87


Het kostte Einstein 10 jaar om de

relativiteitstheorie uit te breiden tot

versnelde waarnemers.

Verrassenderwijs speelt de zwaarte-

kracht daarbij een centrale rol!

42/87


Centraal in Einsteins redenering staat

het equivalentieprincipe.

Net als bij het relativiteitsbeginsel viel

het Einstein op dat twee ogenschijnlijk

verschillende situaties dezelfde

waarnemingen opleveren.

43/87


Bekijk een waarnemer in een

stilstaande lift op aarde.

44/87


In het zwaartekrachtsveld van de

aarde ziet deze waarnemer objecten

met de valversnelling (9,8 m/s2)

omlaag vallen.

Deze valversnelling is voor objecten

van elke massa hetzelfde!

45/87


Overigens voelen we de “druk” van de

zwaartekracht pas als iets (bijvoor-

beeld de liftbodem) de valversnelling

tegenwerkt.

46/87


Een waarnemer in een versnelde lift in

de ruimte neemt hetzelfde waar!

47/87


Einsteins conclusie: zwaartekracht is

experimenteel niet van versnelling te

onderscheiden.

De aanname dat dit algemeen geldig

is, heet het equivalentieprincipe.

48/87


De kleine lettertjes: de aarde heeft een

radieel zwaartekrachtsveld.

Om de situaties echt identiek te maken

moeten we een parallel zwaartekracht-

veld gebruiken.

49/87


Wat heeft het equivalentieprincipe voor

gevolgen voor de ruimtetijd?

Laten we weer eens kijken naar het

gedrag van licht. In Newtons wereld-

beeld heeft licht geen massa, en on-

dervindt het dus geen zwaartekracht.

50/87


Een foton komt een versnellende lift in

de ruimte binnen.

51/87


Voor de waarnemer in de lift lijkt het

foton een paraboolbaan te beschrijven.

52/87


De stilstaande waarnemer op aarde

zou dus eenzelfde baan moeten zien.

53/87


• Onder de invloed van de zwaarte-

kracht beweegt alles in gekromde

banen.

• De kromming van de baan hangt

niet af van eigenschappen van het

voorwerp zoals zijn massa.

De kromming door de zwaarte-

kracht lijkt dus een eigenschap

te zijn van de ruimtetijd zelf!

54/87


Einstein ontdekte dat het inderdaad

mogelijk is om de zwaartekracht te

beschrijven als een kromming van de

ruimtetijd.

55/87


In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals

op de aarde) reproduceert zijn theorie

nauwkeurig de zwaartekrachtswet van

Newton.

56/87


Zwaartekracht is dus niets anders dan

een versnelling die ontstaat door de

kromming van de ruimtetijd.

Let op: zwaartekracht is versnelling,

maar niet alle versnelling komt door de

zwaartekracht!

57/87


Zwaartekracht is niet van

versnelling te onderscheiden.

Zwaartekrachtsversnelling is

niets anders dan gekromde

ruimtetijd.

4. Experimenteel bewijs van de


59/87

Experimenteel bewijs

Een aantal experimenten zijn we al

eerder tegengekomen:

1) Experimenten zoals dat van

Michelson en Morley tonen aan dat

de lichtsnelheid waarnemeronaf-

hankelijk is.

60/87




2) Hafele en Keating stuurden in 1971

atoomklokken mee met interconti-

nentale vliegtuigen, en controleer-

den zo de tijdsdilatatie.

61/87




3) Dat muonen hoog uit de dampkring

de aarde bereiken is een test voor

tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.

62/87




4) De equivalentie van massa en

energie, E=mc2, blijkt uit allerlei

kernfusie- en kernsplijtingsexperi-

menten.

63/87


Een eerste test voor het gekromd zijn

van de ruimtetijd werd in 1919

uitgevoerd door Arthur Eddington.

64/87


Hij reisde naar Afrika om een totale

zonsverduistering waar te nemen.

65/87


Door het afbuigen van licht in een

zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n

verduistering sterren op een andere

plaats aan de hemel staan.

66/87


Eddington vond de juiste afbuiging.

Tegenwoordig zien we hetzelde effect

op nog veel spectaculairder wijze:

gravitatielenzen.

67/87


Een ander bewijs voor de kromming

van de ruimtetijd zien we aan de baan

van de planeet Mercurius. Deze baan

vertoont periheliumprecessie.

68/87


Dit effect was al in 1859 opgemerkt

door Urbain Le Verrier. Het kon niet

verklaard worden door de invloed van

andere planeten of de vorm van de

zon.

69/87


De relativiteitstheorie gaf wel de juiste

“voorspelling” voor de grootte van de

precessie.

70/87


Tenslotte: om GPS te laten werken

moet rekening worden gehouden met

de kromming van de ruimtetijd.

71/87


Zie voor nog meer voorbeelden

bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.

5. Lesmateriaal en

voorbeeldopgaven

73/87

Lesmateriaal

1) In de NiNa-module gebaseerd op

het boek van Sander Bais staat een

groot aantal opgaven.

http://www.nieuwenatuurkunde.nl/disclaimer/46

74/87

Lesmateriaal

2) VirginiaTech heeft een website met

zo’n 20 leuke voorbeeldopgaven.

http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/

75/87

Lesmateriaal

3) Googelen op iets als “special

relativity exercises” geeft de nodige

losse opgaven.

http://www.google.com/

76/87

Lesmateriaal

4) Nieuw lesmateriaal ontwikkeld in

samenwerking met De Praktijk:

http://www.quantumuniverse.nl/lesmateriaal-


77/87

Lesmateriaal

5) Meld u ook vooral aan op het forum

om gedachten met collega’s uit te

wisselen:

http://www.quantumuniverse.nl/forum

relativiteitstheorie 2014, hoorcollege 4

Education