teoria de cardinales

8/3/2019 Teoria de Cardinales

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Cardinalidad:

Introduccin

No podramos terminar este recorrido inicial por los primeros niveles del majestuoso edificiode la Teora de Conjuntos, sin asomarnos, as sea de una manera sencilla pero precisa, alapasionante tema de la numeralidad y la clebre Hiptesis del Continuo, formulacin que elpropio Cantor trabaj hasta su muerte tratando de demostrar sin lograrlo, y que convoc a suestudio a eminentes matemticos como K. Gdel y Paul Cohen entre otros, obteniendo esteltimo un sorprendente resultado cual fue su indecibilidad en la Teora de Conjuntos.

Coordinabilidad o Equipotencia

Sean los conjuntosA y B. Si es posible establecer una biyeccin entre sus elementos, se dirque A y B son conjuntos coordinables o equipotentes, y se denotar A~B. Simblicamentepodemos definirlo:

A~B si y slo si es una biyeccin.

Es de comprensin inmediata e intuitiva que si se trata de conjuntos finitos, son equipotentesaquellos que tengan el mismo nmero de elementos. Y en esta lnea de intuicin pocoanaltica, cabra pensar que, a su vez todos los conjuntos infinitos son biyeccionables y, portanto, equipotentes. De hecho tal error se mantuvo hasta que George Cantor definiera laequipotencia como anteriormente ha quedado establecida. No todos los conjuntos infinitosson equipotentes entre s.

La relacin de equipotencia es una relacin de equivalencia. En efecto:

A~A

A~B B~A

(A~B) (B~C) A~C

Conjuntos finitos e infinitos

Conviene matematizar estos dos conceptos, a los que nos hemos venido refiriendopreviamente y cuyo manejo indiscriminado en las acepciones generales, puede inducirnos aerrores.

Conjunto infinito:A es un conjunto infinito si es equipotente con una de sus partes.

Ilustracin 1.

Dados los conjuntos Ny ; , definimos:

Esta funcin es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva). Luego los conjuntos N y P son

equipotentes, y en consecuencia Nes infinito.


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Sea el intervalo real [0,1] representado por todos los puntos del segmento de la rectareal R.

Sea otro intervalo real [0.2, 0.8] representado por el segmento . Consideremos la

funcin , tal que haga corresponder a cada unobtenido trasladando primero a Xsegn t, y proyectando luego t(x)=X,

desde un punto fijo O, sobre R, enX, de modo quef(x)=X.

Esta aplicacinfes claramente inyectiva y sobreyectiva; se trata, pues, de una biyeccin.

Se establece en esta forma una biyeccin entre el intervalo [0,1] y un subconjunto suyo [0.2,0.8]. Lo que nos permite afirmar que

[0,1]~[0.2,0.8]

Esta equipotencia establecida, caracteriza al intervalo [0,1] como infinito.

Figura 1

Conjunto finito.A es un conjunto finito si no es equipotente con alguna de sus partes.

Todo conjunto finito presenta las siguientes caractersticas esenciales:

Es posible su ordenacin con primero y ltimo elementos;

Todo subconjunto ordenado tambin tiene primero y ltimo elementos.

Numerabilidad

Si un conjunto A es equipotente con el conjunto de nmeros naturales N, se dice que es

numerable y se le asigna el propio cardinal de N, representado por (Primera letra delalfabeto hebreo y se lee alef cero').

Por extensin todo conjunto finito se considera numerable por ser coordinable con unsubconjunto de N.


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Enunciaremos a continuacin algunos teoremas fundamentales, que se refieren a lanumerabilidad.

Teorema 1. Todo conjunto infinito, tiene, al menos un subconjunto numerable.

Teorema 2. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable.

Teorema 3. La unin de todos los conjuntos disjuntos numerables de una familia numerablees numerable.

Teorema 4. El conjunto de los nmeros racionales Qes numerable.

En efecto: Sea . Definimos la funcin:

Esta funcin es inyectiva, en consecuencia Q+ ~A siendo .

Admitido que es numerable y segn el teorema 2, Q + es numerable. En formaidntica se prueba que Q- es numerable y en consecuencia se concluye que Qes numerable.

Existen conjuntos infinitos en los que no es posible establecer una biyeccin con losnaturales; no son equipotentes a Ny se dice que son conjuntos no numerables.

El conjunto infinito de mayor representatividad es el intervalo cerrado [0,1], el intervalo

unidad.

De todo conjunto infinito no numerable, equipotente con el intervalo unidad [0,1], se dice

que tiene la potencia del continuo y se le asigna el propio cardinal de [0,1], denotado(alef 1).

Ilustracin 2.

Sea el intervalo cerrado y la funcin:

fes biyeccin, luego [0,1]~ y el cardinal de es .

Se define una funcinfas:

, donde ctg representa la cotangente.


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Esta funcin es biyectiva, luego R~ .

En consecuencia el conjunto de los nmeros reales tiene la potencia del continuo y su

cardinal es .

Nmeros cardinales

Siendo la relacin de equipotencia o coordinabilidad una relacin de equivalencia, tiene lapropiedad de particionar los conjuntos en clases disjuntas, cada una de las cuales es unnmero cardinal.

Los cardinales pueden ser finitos o infinitos. Los primeros son el cardinal de la familia de

conjuntos equipotentes con y los de todas las familias de equipotencia de cada uno de lossubconjuntos propios de N:

de los segundos, de nmero ilimitado (a justificar luego, por el teorema de Cantor), se hanestablecido hasta ahora dos:

Teorema 5. Teorema de Cantor.

Establecido un cardinal cualquiera, siempre existe otro mayor que l. En efecto, entre un

conjunto cualquieraA y el conjunto de sus partes P(A) siempre se verifica que si a = Card(A) ,entonces a


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Se puede demostrar que la relacin entre estos dos cardinales es:

.

Tras este resultado es inmediata la pregunta: Existir algn cardinal superior al cardinal

numerable e inferior a la potencia del continuo? O lo que es equivalente: hay un cardinal ,tal que

?

La hiptesis del continuo contesta negativamente a saber:

Hiptesis del continuo.

No existe un cardinal , tal que .

Un enunciado equivalente al anterior, que describe los trminos propios de la investigacin alrespecto es:

Hiptesis del continuo.

Toda parte infinita de R es equipotente a No a R.

Durante toda su vida Cantor trat de probar la Hiptesis del continuo, pero no pudo lograrlo,Kurt Gdel en 1.938 encontr que la Hiptesis del continuo poda considerarse verdadera sinque contradijera los axiomas de la teora de conjuntos.

As estuvieron las cosas hasta que en 1.963 el matemtico Paul J. Cohen de la Universidad de

Stanford, corroborando las ideas de Gdel, alcanz la extraordinaria justificacin de que lahiptesis del continuo es una proposicin indecidible o lo que es igual: que la Hiptesis delcontinuo es un axioma independiente dentro del edificio matemtico establecido y que,aceptada o negada, sustenta dos teoras de conjuntos infinitos correctas. Cantoriana y noCantoriana.

Haciendo un paralelo sucede igual que en la geometra con el postulado de paralelismo(Quinto postulado) que segn se acepte o se niegue origina dos geometras diferentes peroconsistentes y vlidas.

Muchos matemticos esperan y creen que algn da se hallar un axioma que adicionado a lateora de conjuntos haga decidible la Hiptesis del continuo. Tanto Gdel como Cohen

esperan que as ocurra y estn convencidos de que la hiptesis del continuo es falsa; adiferencia de Cantor, quien crey y esper que fuese verdadera.


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Segundo concepto:

Cardinales:

En este captulo no nos interesa la naturaleza y el orden de los elementos de un

conjunto, sino nicamente su tamao. Esto es, nos olvidamos de la naturaleza intrnseca

de los elementos del conjunto, y de cmo los podamos ordenar, y nos limitamos a

contarlos.

Bajo qu condiciones podemos decir que dos conjuntos y tienen el mismo

tamao? Una manera satisfactoria de responder esta pregunta es la siguiente: si

podemos asociar cada elemento de con un nico elemento en , entonces es

razonable afirmar que y tienen el mismo nmero de elementos. Esto es,

necesitamos una funcin que a cada elemento de le asocie un elemento en de

modo que:

Para todo exista un nico tal que

La anterior condicin es lograda precisamente por las biyecciones:

Lema 1 es una biyeccin si y slo si para todo existe un nico

tal que .

Para fijar ideas piense en el conjunto de seres vivientes en el universo (puede ser

infinito) y el conjunto de planetas. Para responder a la cuestin de si hay tantos seres

vivos como planetas, antes que nada debemos darle un sentido preciso a la pregunta:

debemos preguntarnos si es posible inventar una ley universal (funcin)

que obligue a cada ser vivo a vivir en cierto planeta , de modo que se

cumplan las siguientes condiciones:

1. Que no se manden dos seres distintos a vivir al mismo planeta (de lo contrariohabra planetas que ``contaran'' por o ms seres), y

2. que todo planeta fuera habitado (de lo contrario se podra pensar que noalcanzaron los seres vivos para habitar todos los planetas).

Es claro que las condiciones anteriores equivalen a decir que es una biyeccin. Esto

motiva la siguiente definicin:


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Definicin 1 (Relacin de equipotencia) Dados y dos conjuntos, definimos larelacin de equipotencia as: si y slo si existe una biyeccin

. se lee es equipotente a .

Teorema 1La relacin equipotencia es una relacin de equivalencia.

Demostracin. [Prueba]

1. Reflexividad: Sabemos que es una biyeccin, luego esequipotente a s mismo.

2. Simetra: suponga que y sea una biyeccin. Entonceses una biyeccin, y por lo tanto .

3. Transitividad: Suponga , , y sean ,biyecciones. Entonces es una biyeccin,

luego .

Por convencin acordaremos que las siguientes expresiones son equivalentes:

1. .2. y son equipotentes.3. y son conjuntos isomorfos.4. y poseen el mismo tamao.5. y poseen el mismo cardinal.6. .

De las dos expresiones anteriores, el lector concluir que significa el tamao o

cardinal del conjunto . Por ejemplo, , , etc. Paraconjuntos finitos esto no representa ninguna dificultad. Sin embargo debe quedar claro

que no hemos definido el objeto cardinal de ( ) para cualquier conjunto, sino que

hemos definido qu significa que dos conjuntos posean el mismo cardinal (

).

Ejemplo 1 si y slo si (por qu?).

Ejemplo 2 Sea y . La funcin

dada por es una biyeccin, luego .


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Ejemplo 3 Los conjuntos y no tienen el mismo cardinal:

es fcil ver que ninguna funcin es sobreyectiva, o similarmente, que

ninguna funcin es inyectiva.

Lema 2Sean y conjuntos tales que y .Entonces:

1. .2. .

El teorema de Cantor Bernstein

Ahora definimos una relacin ms dbil que la equipotencia:

Definicin 1 (Sumersin) Dados y dos conjuntos, definimos la relacin

sumersin as: se sumerge en (lo notamos ) si y slo si existe una

inyeccin .

Naturalmente diremos que si y no ocurre , o en

otras palabras, si existe una inyeccin y no existe una biyeccin

.

Para antes de seguir leyendo:

1. Si , entonces .2. si y slo si existe tal que .

Es fcil ver que (basta tomar como testigo la inyeccin ).

Adems, si , por transitividad . Esto es, la relacin es

reflexiva y transitiva. Es antisimtrica? Es decir, si y ,

podemos concluir que ? esta pregunta debe considerarse con cierto cuidado,


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recordando que el smbolo tiene un significado preciso dado en la definicin anterior.

Un lector desprevenido podra sentirse tentado a concluir que la respuesta a la pregunta

anterior es evidentemente afirmativa, dejndose guiar por su conocimiento de la

antisimetra del orden en los nmeros reales, por ejemplo.

Si reformulamos la pregunta haciendo uso de las definiciones, sta toma la siguiente

forma:

Sean y conjuntos, y supongamos que:

1. Existe una funcin inyectiva, y2. existe una funcin inyectiva.

Entonces, existe necesariamente una funcin biyectiva?

La respuesta a esta pregunta es afirmativa y se conoce como el teorema de Cantor-

Bernstein:

Teorema 1 (Teorema de Cantor Bernstein) Si y , entonces

.

Conjuntos finitos

Recuerde que la definicin conjuntista de los nmeros naturales es: ,

, de modo que intuitivamente ``tiene elementos''.

Definicin 151 (Conjunto finito) Un conjunto esfinito si existe un tal que

.

Por la reflexividad de la relacin equipotencia, todo nmero natural es finito. Otros

conjuntos finitos son y .

Si es un conjunto finito no vaco, entonces existe un natural positivo

y una biyeccin , de modo que si definimos


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, , podemos decir, ya que es sobreyectiva, que

. Esto justifica todo conjunto finito pueda escribirse

as: .

Si , diremos que tiene elementos. Las siguientes son propiedades

esenciales de los conjuntos finitos, que intuitivamente las consideramos evidentes,

aunque en rigor deben ser demostradas utilizando induccin.

Teorema 1Valen las siguientes propiedades sobre los conjuntos finitos.(a)

La unin de dos conjuntos finitos es un conjunto finito.

(b)

La unin finita de conjuntos finitos es un conjunto finito.

(c)

Todo subconjunto de un conjunto finito es finito.

(d)

Si .es finito y est propiamente contenido en , entonces .

(e)

no es finito.

En especial cabe destacar la propiedad (d), que no ser vlida para conjunto infinitos.

Conjuntos enumerables

Definicin 1 Diremos que un conjunto es enumerable si y slo si .Diremos que un conjunto es a lo sumo enumerable si y slo si es finito o

enumerable.

As, un conjunto es enumerable si existe una biyeccin , de modo que

(donde ). As, todo conjunto enumerable es de la

forma . Similarmente todo conjunto a lo sumo enumerable ser de la

forma , con la salvedad de que los elementos listados pueden ser

repetidos, esto es, pueden existir y naturales distintos tales que .


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Para anter de seguir leyendo:

1. Si es a lo sumo enumerable, entonces .2. Si , entonces es a lo sumo enumerable [Ayuda: si

es inyectiva, entonces o bien para algn

o bien ocurre lo contrario. En el primer caso se concluye ,

y como todo subconjunto de un conjunto finito es finito (teorema sobre los

conjuntos finitos.), es finito. En el segundo caso, construya a partir de una

biyeccin ].

Ejemplo 1 Sea , en donde es cualquier natural. Entonces es un

conjunto enumerable. Para ver esto, sea la siguiente funcin:

Concluimos que es inyectiva, y adems

. As, .

Podemos generalizar de manera natural el ejemplo anterior:

Lema 1Si es enumerable y , entonces es enumerable.

Demostracin. [Prueba] Sea (donde implica ).

Como , sea tal que . La funcin dada por

es una biyeccin, por lo que . Por transitividad

concluimos que , esto es, es enumerable.

El ejemplo anterior es tan slo un caso especial del siguiente hecho: si a un conjunto

enumerable le quitamos un nmero finito de elementos, el conjunto resultante sigue

siendo enumerable.


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Teorema 2Sea un conjunto enumerable, y un

subconjunto de con elementos ( ). Entonces es enumerable.

Demostracin. [Prueba]

Probamos el resultado por induccin en .

1. Si , entonces y el resultado es evidente.2. Asumamos el resultado para , y sea . Por hiptesis

inductiva, es enumerable, as que por el lema 1

es enumerable.

Lema 2 es enumerable.Demostracin. [Prueba]

Debemos encontrar una manera de `enumerar'' a todas las parejas . Antes

de ello, para facilitar las cosas, notemos que el conjunto puede verse como la

unin de sus diagonales finitas , como lo indica la figura (falta ponerla). As,

es un conjunto con

elementos, y es claro que . La anterior descripcin nos da una

idea para enumerar a todas las parejas de naturales: primero enumerar la pareja

de , despus las dos parejas de (que son y ), a continuacin las tres

parejas de (que son y ), etctera.

Ms precisamente, si y , entonces , as que en la

enumeracin que proponemos ya habremos enumerado a todos los elementos de las

diagonales anteriores , y adems a los elementos

que `preceden'' a en la diagonal . En otraspalabras, suponemos que ya hemos enumerado


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elementos, luego ser el -simo elemento en el orden

que proponemos. As que sea la funcin

; por lo anterior es una biyeccin.

Por ejemplo, ,

, y

. En un ejercicio se pide al lector

demostrar rigurosamente que la funcin es una biyeccin.

Corolario 1Si y son enumerables, entonces tambin lo es.

Demostracin. Como , entonces .

Conjuntos no enumerables

Definicin 1 Diremos que un conjunto es no enumerable si y slo si no es a losumo enumerable.

Teorema 1 es un conjunto no enumerable.

EJERCICIOS: CARDINALES

1. Sea . Muestre que es enumerable.2. Muestre que todo conjunto enumerable es de la forma , con

un conjunto enumerable, y para . En otras

palabras, todo conjunto enumerable puede partirse en un nmero enumerable de

conjuntos enumerables. [Ayuda: Tome primero ].

3. Sea una relacin de equivalencia sobre .1. Muestre que .


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2. Muestre que para todo conjunto de representantes para ,.

4. Sean y conjuntos. Muestre que existe una biyeccin entre los conjuntosy [este ltimo es el conjunto de las funciones

].

5. Sea un conjunto enumerable. Muestre que si es una relacin deequivalencia sobre tal que para todo , es finito, entonces

es enumerable.

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