Temat: WIELOŚCIANY

KLASA III P25.02.2008r.

Prowadzący: Przemysław Piórkowski

Określenie wielościanu Ze względu na skomplikowaną definicję wielomianu, pomijamy formalne jej wprowadzenie.

Zauważmy, że każda figura, przedstawiona na rysunku obok, jest ograniczona wielokątami w taki sposób, że każda krawędź boczna jest wspólnym bokiem dwóch ścian. Sumę wszystkich wielokątów nazywamy powierzchnią wielościenną, natomiast przestrzeń ograniczoną tą powierzchnią, wraz z tą przestrzenią to wielościan.

Figura wypukła

Figurę (płaską lub przestrzenną ) nazywamy wypukłą, jeśli każdy z odcinków łączących dwa dowolne punkty figury cały zawiera się w tej figurze.

A

B

Określenie wielościanu - ćwiczenie. 1

Wśród wielościanów, wskaż te które nie są wypukłe

GraniastosłupyGraniastosłup to wielościan, w którym można wskazać dwie ściany (podstawy), będące przystającymi wielokątami leżącymi na równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami.

Jeśli podstawy graniastosłupa są trójkątami, to nazywamy go graniastosłupem trójkątnym, jeśli podstawy są czworokątami, to nazywamy go graniastosłupem czworokątnym, itd. ...

GraniastosłupyWysokością graniastosłupa nazywamy każdy odcinek łączący płaszczyzny podstaw i prostopadły do obu tych podstaw.

GraniastosłupyPrzekątną graniastosłupa nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i nieleżący na żadnej ścianie.

A

G

B

C

E

H

D

F

Podział graniastosłupówGraniastosłupy

Graniastosłupy proste Graniastosłupy pochyłe

Graniastosłupy prawidłowe

Podział graniastosłupów- ćwiczenie 2.

Zdefiniuj pojęcie graniastosłupa:

- pochyłego

- prostego

- prawidłowego

Odpowiedz na pytanie:

Co to jest prostopadłościan?

OstrosłupyOstrosłup to wielościan, w którym można wskazać ścianę (podstawę), będącą dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Jeśli podstawa ostrosłupa jest trójkątem, to nazywamy go ostrosłupem trójkątnym, jeśli podstawa jest czworokątem, to nazywamy go ostrosłupem czworokątnym, itd. ...

OstrosłupyWysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły do tej płaszczyzny. Koniec wysokości leżący na płaszczyźnie nazywamy spodkiem wysokości.

Podział ostrosłupówOstrosłupy

Ostrosłupy proste

Ostrosłupy prawidłowe

Podział ostrosłupów - ćwiczenie 3

Zdefiniuj pojęcie ostrosłupa:

- prostego

- prawidłowego

Odpowiedz na pytanie:

Co to jest czworościan?

Ostrosłupy prawidłowe.

• W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

• Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają równe długości, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg i środek tego okręgu jest spodkiem wysokości tego ostrosłupa.

Graniastosłupy i ostrosłupy - ćwiczenie 4.

Znajdź wśród powyższych wielościanów, te które są graniastosłupami i ostrosłupami.

Graniastosłupy i ostrosłupy - ćwiczenie 5.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości 3 i krawędzi podstawy długości 2.

Graniastosłupy i ostrosłupy - ćwiczenie 6.

Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 3 i krawędzi podstawy długości 2.

Graniastosłupy i ostrosłupy - ćwiczenie 7.

Na rysunkach przedstawiono ostrosłupy prawidłowe. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami.

Graniastosłupy i ostrosłupy - ćwiczenie 8.

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy trójkątny. Jakie długości mają odcinki x i y ?

Graniastosłupy i ostrosłupy Zadanie 1.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 3, a jego krawędź boczna ma długość 4. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od krawędzi bocznej.

Graniastosłupy i ostrosłupy Zadanie 2.

Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości 3 jest romb o boku 2. Kąt ostry rombu ma miarę 60 stopni. Oblicz długości przekątnych tego graniastosłupa.

Wzór Eulera

Niech

S - liczba ścian wielościanu wypukłego

K - liczba krawędzi wielościanu wypukłego

W - liczba wierzchołków wielościanu wypukłego

Wówczas

S+W=K+2

Zadanie domowe. 1. Ile krawędzi ma wielościan wypukły o 10 ścianach i 12 wierzchołkach?

2. Na rysunku przedstawiono graniastosłup prawidłowy i ostrosłup prawidłowy. Oblicz długości odcinków x i y. (Przenieść rysunki do zeszytu)

Zadanie domowe.( dla chętnych)

1. Wykazać korzystając ze wzoru Eulera, że liczby ścian, wierzchołków i krawędzi wielościanu wypukłego nie mogą być kolejnymi liczbami naturalnymi.

2. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości a, b, c.

3. Jakie długości mają przekątne w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o krawędzi podstawy a i wysokości h.