téma 7, odm , prostorové a příčně zatížené prutové konstrukce

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Téma 7, ODM, prostorové a příčně

zatížené prutové konstrukce

• Výpočtový model prostorové konstrukce• Tvorba výpočtového modelu• Analýza prutu• Prut roštového typu • Příklad řešení příčně zatíženého rámu

2

Prostorová prutová soustava

Prostorové prutové soustavy nesplňují alespoň některou u těchto podmínek: střednice všech prutů leží v rovině soustavy (RS) jedna z hlavních rovin každého prutu leží v RS funkční roviny kloubů splývají s RS každá jednoduchá vnější vazba buď leží v RS (nebo je kolmá – u příčně zatížených konstrukcí)veškerá zatížení působí v RS (nebo kolmo u PZK)

3

Poloha prutu v prostoru [1]Prutovou soustavu umísťujeme v globálním souřadném systému s osami x, y a z

Poloha prutu je jednoznačně určena osou prutu a bodem určujícím s osou prutu jednu jeho hlavní rovinu (bod c)

Lokální souřadný systém má počátek v bodě a prutu.

Osou prutu prochází lokální osa x*,

1. hlavní rovina lokálními osami

x*, y*,

2. hlavní rovina lokálními osami

x*, z*.

4

Tvorba výpočtového modeluVychází ze stejných zásad jako u rovinné prutové konstrukceMonolitický styčník má v prostoru 6 stupňů volnostiKladné směry globálních parametrů deformace vyplývají z obrázkuKloubový styčník (dokonalý kloub) umožňuje pootáčení v libovolné rovině, má jen tři nenulové globální složky posunutí, ui, vi, wi Kloubové připojení prutu k monolitickému styčníku má v prostoru více variant dle funkční roviny (funkčních rovin) kloubu(ů)

5

ODM, stupeň přetvárné neurčitosti prostorové prutové soustavy

Stejně jako u rovinné soustavy je np roven celkovému počtu neznámých parametrů deformace soustavy.

U nevázaného monolitického uzlu (bez vnějších vazeb) je to vždy šestice parametrů.

U čistě kloubového uzlu (bez vnějších vazeb) jsou to minimálně tři parametry.

6

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru

Vektor výsledných globálních složek koncových sil prutu ab: ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,

Tbazbaybaxbababaabzabyabxabababab MMMZYXMMMZYXR

7

ODM, analýza prutu, přímý oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru, pokračování

Vektor primárních globálních složek koncových sil prutu ab:

,,,,,,,,,,,, ,,,,,,T

bazbaybaxbababaabzabyabxabababab MMMZYXMMMZYXR

Vektor globálních složek deformace prutu ab:

,,,,,,,,,,,, ,,,,,,T

bzbybxbbbazayaxaaaab wvuwvur

Pro výsledný globální vektor koncových sil platí již známý vztah:

řádu. 12. abprutu tuhostimatice globální je kde

,

ab

abababab

k

rkRR

8


Lokální uzlové parametry deformace:

,,,,,,,,,,,, *

,

*

,

*

,

****

,

*

,

*

,

**** T

bzbybxbbbazayaxaaaab wvuwvur

9


Lokální vektory výsledných a primárních složek koncových sil:

Tbazbaybaxbababaabzabyabxabababab

T

bazbaybaxbababaabzabyabxabababab

MMMZYXMMMZYXR

MMMZYXMMMZYXR*

,

*

,

*

,

****

,

*

,

*

,

****

*

,

*

,

*

,

****

,

*

,

*

,

****

,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,

10


Příklady zatížení prutu:

n vyvolává X*ab , X*

ba ,

qz vyvolává Z*ab , Z*

ba , M*y,ab , M*

y,ba ,qy vyvolává Y*

ab , Y*ba , M*

z,ab , M*z,ba ,

mx vyvolává M*x,ab , M*

x,ba .

11

ODM, analýza prutu v prostoru, prvky primárního vektoru koncových sil v LSS

Prvky primárního vektoru R*ab od zatížení v

rovině x*z* (Z*ab , Z*

ba M*y,ab M*

y,ba) a od zatížení v ose prutu x* (X*

ab , X*ba) se shodují

s prvky primárního vektoru pro rovinné rámy.Prvky od zatížení v rovině x*y* (Y*

ab , Y*ba

M*z,ab M*

z,ba) se určí analogicky. Vzhledem ke znaménkové konvenci mají však složky (M*

z,ab M*z,ba) opačná znaménka.

12


Složky koncových sil M*x,ab a M*

x,ba se určí silovou metodou.

Pro konstantní průřez platí:

.

2

2

11

2

1

1

1

0*,

*,

1

0*,

0

*

**0

*

*

2

11

*

2

0

*

*0

*

*

0

0

*

*

100

lmlmMMM

lmM

GJ

ldx

JGdx

GJ

T

GJ

lmdx

J

xm

Gdx

J

T

Gdx

GJ

TT

xxRbaxabx

xbax

l

xx

l

x

x

xl

x

xl

x

l

x

13


Pro oboustranně monoliticky připojený prizmatický prut ab zatížený dle obr. je primární vektor koncových sil v LSS:

T

zzxzy

yzxzy

ab

T

bazbaybaxbababaabzabyabxabababab

lqlqlmlqlqnl

lqlqlmlqlqnlR

MMMZYXMMMZYXR

22

22

*

*

,

*

,

*

,

****

,

*

,

*

,

****

12

1,

12

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

,12

1,

12

1,

2

1,

2

1,

2

1,

2

1

,,,,,,,,,,,

14

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu

Zatížení prutu ab v LSS v prostoru lze rozdělit na zatížení působící:1. v ose prutu X*

ab , X*ba (uplatní se A)

2. v rovině x*z* Z*ab , Z*

ba , M*yab , M*

yba (uplatní se Jy)

3. v rovině x*y* Y*ab , Y*

ba , M*zab , M*

yzba (uplatní se Jz)

4. kolem osy x * M*x,ab , M*

xba (uplatní se Jt)

Při sestavování matice tuhosti k*ab lze využít

pro ad1) a ad2) matici tuhosti pro rovinné konstrukce, pro ad3) při zvážení znaménkové konvence také, pro ad4) nutno řešit vliv kroucení.

15


Sekundární kroutící momenty jsou indukovány pootočením a a b.

V matici tuhosti k*ab představuje

příslušný koeficient kij moment, který vyvolává jednotkové potočení. Platí tedy

baxabx MM ,, ,

)(40

: vzorecVénantův-Saint aplikuje často se J výpočet Pro

,1

1

4

t

1

1

zy

t

tijij

JJ

AJ

l

GJkk

16


l

4EJ000

l

6EJ-0

l

2EJ000

l

6EJ0

0l

4EJ0

l

6EJ000

l

2EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ000

l

6EJ0

l

12EJ00

0l

6EJ00

l

12EJ0

l

6EJ000

l

12EJ-0

00000l

EA00000

l

EAl

2EJ000

l

6EJ-0

l

4EJ000

l

6EJ0

0l

2EJ0

l

6EJ000

l

4EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ-000

l

6EJ0

l

12EJ00

l

6EJ000

l

12EJ-0

l

6EJ000

l

12EJ0

00000l

EA-00000

l

EA

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

*

l

GJ

l

GJ

l

GJ

l

GJ

k

tt

tt

ab

17

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně monoliticky připojeného prutu [1]

18

ODM, analýza prutu v prostoru, lokální matice tuhosti oboustranně kloubově připojeného prutu

11

11

l

EA :psát konstrukce příhradové pro úsporněji takéLze

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000001000001

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000001-000001

l

EA

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

00000l

EA00000

l

EA000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

000000000000

00000l

EA-00000

l

EA

*

*

ab

ab

k

k

19

Prut v prostorové příhradové konstrukci

x

z

y

a

b

,a

,b

1

1 1

au

awavbu

bw

bv*au

*bu

1coscoscos 1

2

1

2

1

2

*

*

b

aTab

b

b

b

a

a

a

abu

uT

w

v

u

w

v

u

r

*

*

111

111

coscoscos000

000coscoscos

b

a

T

ab u

ur

20

Výpočet směrových úhlů

abababababab

abababab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

ab

lll

zzyyxxl

l

yy

l

yy

l

xx

)coscos(cos

)()()(

cos

cos

cos

2222

222

bx

by

x

z

y

a

b

bz

21

Oboustranně monoliticky připojený prut v prostoru [1]

Poloha hlavní roviny x* z* je určena přímkou ab a bodem c [xc, yc, zc]. Globální osa x svírá s osami x*, y* a z* úhly i (i=1, 2, 3), osa y i a osa z i.

22

ODM, transformační matice v prostoru

Transformační matice Tab je 12. řádu.

1coscoscos :platí cos

cos

3 2 1 cos

tvar má tsubmatice

000

000

000

000

222

333

222

111

ab

iiiii

ii

ii

ab

ab

ab

ab

ab

ab

c

b

,,ia

cba

cba

cba

t

t

t

t

t

T

23

ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů

1.Směrové kosiny a1, b1, c1, se určí stejně jako u prutu příhradové konstrukce v prostoru:

)(

222111

bababa

babaabbaabbaab

zyx

z

l

z

l

zzc

l

y

l

yyb

l

x

l

xxa

2. Z obecné rovnice roviny A(x-xa)+B(y-ya)+C(z-za)=0 procházející bodem a se po postupném dosazení souřadnic bodů b, a c vypočtou konstanty A, B, a C: cababacabacacabacababaca yxyxCzxzxBzyzyA

Osa y* je je normálou k rovině, její směrové kosiny proto vyplývají ze vztahů:

)( kde , , , 222222 CBAd

d

Cc

d

Bb

d

Aa

24

ODM, určení směrových kosinů prutu v prostoru z globálních souřadnic tří bodů

3. Pro směrové kosiny osy z* platí podmínka ortogonality:

122132112312213 babaccacabcbcba

4. Určením směrových kosinů z globálních souřadnic bodů a, b, a c lze určit transformační matici Tab a inverzní matici: T

abab TT 1

25

ODM, převodní transformační vztahy s maticemi pro prut v prostoru

Tyto vztahy jsou obecně stejné jako pro rovinné rámové konstrukce:

ababTabab

abTababab

Tababab

Tabab

abababababab

TkTk

RTRRTRrTr

RTRrTr

*

***

**

26

ODM, řešení roštů• Rošt je pravoúhlá nebo kosoúhlá rovinná

soustava prutů, která je zatížena kolmo na rovinu roštu.

• Leží-li rošt v rovině určené globálními osami xy, pak v něm nevznikají složky sil ve směru těchto os a momenty Mz. Totéž platí o posunutích u, v, a o potočení z.

• V prutu ab roštového typu vznikají koncové síly

a parametry deformace

, , , , , ,,,, abxabxbayabybaab MMMMZZ

.,,,,, ,,,, byaybxaxba ww

27

Příklad roštové konstrukce [1]

28

Řešení roštůx

zy

Lokální vektor koncových sil prutu:

Tbaybaxbaabyabxabab MMZMMZR *,

*,

**,

*,

**

Globální vektor parametrů deformací prutu: Tbaybaxbaabyabxabab wwr ,,,,

x

w

y

29

Řešení roštů

a

l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GI

l

GIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GI

l

GIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

k

tt

tt

ab

40

620

6

0000

60

1260

12

20

640

6

0000

60

1260

12

22

2323

22

2323

*

Lokální matice tuhosti prutu:

Globální matice tuhosti prutu:

ab

abababab

Tabab t

tTTkTk

0

0 kde ,*

cossin0

sincos0

001

abt

b

x

30

Rošt – lokální matice tuhosti prutu

l

4EJ000

l

6EJ-0

l

2EJ000

l

6EJ0

0l

4EJ0

l

6EJ000

l

2EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ000

l

6EJ0

l

12EJ00

0l

6EJ00

l

12EJ0

l

6EJ000

l

12EJ-0

00000l

EA00000

lEA

l2EJ

000l

6EJ-0

l4EJ

000l

6EJ0

0l

2EJ0

l

6EJ000

l

4EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ-000

l

6EJ0

l

12EJ00

l

6EJ000

l

12EJ-0

l

6EJ000

l

12EJ0

00000l

EA-00000

lEA

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

*

l

GJ

l

GJ

lGJ

lGJ

k

tt

tt

ab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

31


l

4EJ000

l

6EJ-0

l

2EJ000

l

6EJ0

0l

4EJ0

l

6EJ000

l

2EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ000

l

6EJ0

l

12EJ00

0l

6EJ00

l

12EJ0

l

6EJ000

l

12EJ-0

00000l

EA00000

lEA

l2EJ

000l

6EJ-0

l4EJ

000l

6EJ0

0l

2EJ0

l

6EJ000

l

4EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ-000

l

6EJ0

l

12EJ00

l

6EJ000

l

12EJ-0

l

6EJ000

l

12EJ0

00000l

EA-00000

lEA

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

*

l

GJ

l

GJ

lGJ

lGJ

k

tt

tt

ab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

32


l

4EJ000

l

6EJ-0

l

2EJ000

l

6EJ0

0l

4EJ0

l

6EJ000

l

2EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ000

l

6EJ0

l

12EJ00

0l

6EJ00

l

12EJ0

l

6EJ000

l

12EJ-0

00000l

EA00000

lEA

l2EJ

000l

6EJ-0

l4EJ

000l

6EJ0

0l

2EJ0

l

6EJ000

l

4EJ0

l

6EJ00

0000000000

0l

6EJ0

l

12EJ-000

l

6EJ0

l

12EJ00

l

6EJ000

l

12EJ-0

l

6EJ000

l

12EJ0

00000l

EA-00000

lEA

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

z2

zz2

z

y2

yy2

y

2y

3y

2y

3y

2z

3z

2z

3z

*

l

GJ

l

GJ

lGJ

lGJ

k

tt

tt

ab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

33


l

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GI

l

GIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

EI

l

EI

l

EI

l

EIl

GI

l

GIl

EI

l

EI

l

EI

l

EI

k

tt

tt

ab

40

620

6

0000

60

1260

12

20

640

6

0000

60

1260

12

22

2323

22

2323

*

Z*

Mx*

My*

Z*

Mx*

My*

34

Rošt – transformační matice

000

000

000

000

333

222

111

333

222

111

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cba

Tab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

35


000

000

000

000

333

222

111

333

222

111

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cba

Tab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

36


000

000

000

000

333

222

111

333

222

111

333

222

111

333

222

111

cba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cbacba

cba

cba

Tab

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

X*

Y*

Z*

Mx*

My*

Mz*

13 c

13 c

37


cossin0

sincos0

001

0

0

cossin0

sincos0

001

abT

Z*

Mx*

My*

Z*

Mx*

My*

38

Příklad – rošt, zadání

kNmM 5

1

3

2 4

mkNq /4

1

2

311

2kNP 31

12

kNP 102

4433

443

107,41958,0

105,412

1

3,0/2,0/

mhbhbI

mbhI

mhb

t

GPaE

G

GPaE

25,1112

2,0

27

mkNq /3

39

Příklad – rošt,zadání

kNmM 51

3

2 4

mkNq /4

1

2

311

2(0 4 0)

(1 2 3)(0 0 0)

(0 0 0)

Txyxwr 3222

12

kNP 102 mkNq /3

kNP 31

40

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil posouvající síly - V

+

_

13,0110,017,01

1,01

-12,51 -12,51

3,53 -4

,47

+

_

41

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil kroutící momenty- T

0,38

-0,57

0,38+

_

0,72

+

_

42

Příklad – rošt,průběhy vnitřních sil ohybové momenty- M

-11,91

-0,4

7,63

1,01

8,35

-11,68

2,5+

_-4,16

0,84

_

+0,

95

43

Použitá literatura

[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.

téma 7, odm , prostorové a příčně zatížené prutové konstrukce

Documents