10. prut v pružnosti a pevnostibeta.fme.vutbr.cz/cpp/texty/p10.pdf · 2002. 11. 9. · p10 – 2...

p10 – 1

10. Prut v pružnosti a pevnosti

Základním úkolem PP je řešit problémy spojené s napjatostí, deformací a porušovánímsoučástí technických objektů, což jsou většinou tvarově složitá tělesa. Určení napjatostia deformace těles složitějších geometrických tvarů bylo umožněno až pomocí počítačů.Předtím bylo možné jen řešení určitých geometricky jednodušších těles, a to ještě připoužití řady omezujících předpokladů. předpoklady

My se teď budeme zabývat nejjednodušším modelovým tělesem, a to prutem. V běžnémjazyce chápeme prut jako

”těleso dlouhé a tenké“, ale v PP si musíme prut vymezit

přesněji. Toto vymezení na jedné straně zavádí další omezující podmínky, na druhé straněumožňuje zahrnout i tělesa, která nejsou

”dlouhá a tenká“.

Prut v PP je nejjednodušším teoretickým modelem reálného tělesa, které splňuje jistégeometrické, vazbové, zatěžovací, deformační a napjatostní předpoklady (označujeme jejako prutové předpoklady).

OBSAH další

p10 – 2

10.1. Prutové předpoklady

a) předpoklady geometrické

– Prut je určen střednicí γ, a v každém bodě střednice příč-ným průřezem ψ.

– Střednice γ je spojitá a hladká křivka konečné délky.

– Příčný průřez je jednoduše nebo vícenásobně souvislá oblast,ohraničená obrysovou křivkou, matematicky ji popisujeme cha-rakteristikami příčného průřezu.

charakteristikyPříkladem nesouvislého příčného průřezu je řez A-A v místědrážky v prutu obdélníkového průřezu (porušení prutových před-pokladů).

– Délka střednice je vždy podstatně větší než největší rozměr příč-ného průřezu.

předchozí OBSAH další

p10 – 3

Pro popis prutu se používá obvykle pravotočivý kartézský souřadnicový systém, jehožosa x má směr tečny ke střednici a osy y, z jsou vhodně zvoleny v příčném průřezu.

b) předpoklady vazbové a zatěžovací

– Vazby omezují jen posuvy a úhly natočení střednice.– Zatížení je soustředěno na střednici, tj. silovým působením naprut jsou osamělé nebo liniové síly a silové dvojice s působištěmna střednici (není–li splněno, nutná staticky ekvivalentní (SE)náhrada reálného zatížení zatížením na střednici; přitom jetřeba mít na paměti omezení plynoucí ze Saint Venantova prin-cipu).

silovépůsobení

SE


p10 – 4

c) předpoklady deformační

– Střednice zůstává v procesu deformacespojitá a hladká.

– Průřezy v procesu deformace zůstávají rovinné a kolmé k deformované střednici, pouzese vzájemně

– oddalují (tah),přibližují (tlak),

tah

– natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a deformují(ohyb),

ohyb

– natáčejí kolem osy kolmé k příčnému průřezu a nede-formují (krut),

krut

– posouvají kolmo ke střednici (smyk).


p10 – 5

d) předpoklady napjatostní

Napjatost v bodě prutu je určena normálovým a smykovým napětímv příčném řezu vedeném tímto bodem; ostatní složky tenzoru napětí jsounulové. Tuto napjatost nazýváme prutová napjatost.

prutovánapjatost

Tσ =

σx τxy 0τyx 0 00 0 0

= σ τ 0τ 0 00 0 0

nebo Tσ = σx 0 τxz0 0 0τzx 0 0

= σ 0 τ0 0 0τ 0 0

Pro řešení problémů deformace a napjatosti prutu budeme používat dva typy prvků:

– prvek konečný Ω0, uvolněný z prutu jednímpříčným řezem ω1,

– prvek jednonásobně elementární Ω1, uvol-něný z prutu dvěma limitně blízkými příčnýmiřezy ω1, ω2 (je základním prvkem prutů).

Tento základní prvek bude často vhodné chápat jako soustavu tvořenou trojnásobněelementárními prvky, určenými prvkem dψ příčného průřezu ψ a prvkem dγ středniceprutu γ.


p10 – 6

10.2. Geometrické charakteristiky příčného průřezu

Jsou to veličiny, které charakterizují příčný průřez, a jsou používány ve vztazích provýpočet napětí a deformace pro jednotlivé způsoby namáhání.

10.2.1. Plocha příčného průřezu

S =∫ψ

dS =∫∫ψ

dydz[m2]

10.2.2. Lineární (statické) momenty

Uy =∫ψ

zdS, Uz =∫ψ

ydS[m3]

S lineárními momenty jste se setkali už ve statice při určování polohy těžiště: těžiště

~rT =

∫Ω~rdFG∫ΩdFG

pro ρ = konst., t = konst. ~rT =

∫Ψ~rdS

S⇒ yT =

∫ΨydS

S=UzS, zT =

∫ΨzdS

S=UyS

Poznámka: Příklad 101Lineární moment k ose procházející těžištěm průřezu (centrální osa) je roven nule.


p10 – 7

10.2.3. Kvadratické momenty

název definiční vztah rozměr příklad použití

osové Jy =∫ψz2dS, [m4] napětí a deformace v ohybu (určované

Jz =∫ψy2dS, v hlavním souřadnicovém systému)

deviační Jyz =∫ψyzdS, [m4] určení polohy hlavního souřadnicového

systémupolární JP =

∫ψr2dS, [m4] napětí a deformace v krutu středově symet-

rických průřezů

ohyb

krut


p10 – 8

10.2.4. Základní vlastnosti kvadratických momentů průřezu

1. Aditivnost: kvadratické momenty celého průřezu ψ k daným osám jsou rovny součtukvadratických momentů částí průřezu ψi k těmže osám.

2. Hodnoty osových a polárních kvadratických momentů jsou kladné. Hodnota deviač-ního momentu může být jakékoliv reálné číslo (obojí plyne z vlastností integrálů).

3. Osové momenty dvou symetrických průřezů k ose symetrie jsou stejné. Totéž platípro jakoukoli osu kolmou k ose symetrie obou průřezů. Deviační momenty k těmtoosám jsou rovněž stejné, ale opačných znamének. Příklad 102

Důkaz: Ψ1 = Ψ2, J(1)z =

∫Ψ1

y2dS =∫Ψ2

(−y)2dS = J (2)z

J (1)y =∫Ψ1

z2dS =∫Ψ2

z2dS = J (2)y ,

J (1)yz =∫Ψ1

yzdS = −∫Ψ2

yzdS = −J (2)yz ⇒ J (1)+(2)yz = J (1)yz + J (2)yz = 0.

Odtud plyne: deviační moment symetrického průřezu k pravoúhlému souřadnicovémusystému, kde alespoň jedna z os je osou symetrie, je roven nule.

4. Polární kvadratický moment je dán součtem osových kvadratických momentů k osámpravoúhlého souřadnicového systému s počátkem v pólu.

Důkaz: r2 = y2+ z2 ⇒ JP =∫ψr2dS =

∫ψ(y2+ z2)dS =

∫ψy2dS+

∫ψz2dS = Jz+Jy


p10 – 9

10.2.5. Kvadratické momenty základních tvarů průřezů

a) Obdélník Jy =∫ψz2dS =

h/2∫−h/2

z2bdz = bh3

12 , Jz =∫ψy2dS =

b/2∫−b/2

y2hdy = hb3

12 ,

Jyz =∫ψyzdS = 0

b) Trojúhelník y(z)b =h− zh → y(z) = b−

bhz, dS = (b−

bhz)dz

Jy =∫ψz2dS =

h∫0z2(b− bhz)dz =

bh312 , Jz =

hb312 , Jyz =

h2b224

Poznámka: pro praktické použití je třeba tyto momenty transformovatposunutím a natočením, protože nejsou vztaženy k hlavnímu centrálnímusouřadnicovému systému (viz dále).

c) Kruh Jy = Jz, Jy + Jz = JP ⇒ Jy = 12JP , dS = 2πρ · dρ, JP =∫ψρ2dS,

JP =R∫0ρ22πρ · dρ = πR

4

2 , Jy = Jz =JP2 =

πR44 =

πD464 , Jyz = 0


p10 – 10

10.2.6. Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic

Transformačních vztahů s výhodou využíváme při určování kvadratických momentů prů-řezu. Určíme kvadratické momenty k osám, ke kterým je výpočet nejsnadnější (nebo jeznáme), a pak je transformujeme k hlavním centrálním osám. Tyto tzv. hlavní centrálníosové kvadratické momenty se využívají např. pro výpočet napětí a deformace při namá-hání ohybem. ohyb

a) Transformace posunutím

Steinerovy větyPomocí známých kvadratických momentů k centrálním osám yTa zT (osy procházející těžištěm) určujeme tyto momenty k posunu-tým osám y a z (nebo naopak):

Jy = JyT + b2S, Jz = JzT + a

2S, Jyz = JyT zT + abS.

Příklad 103

Příklad 04

Protože členy a2S i b2S jsou vždycky kladné, je kvadratický moment ke kterékoliv posu-nuté ose větší než moment k ose rovnoběžné centrální (procházející těžištěm).

b) Transformace natočením

Pro transformaci natočením lze odvodit následující vztahy:

Jy′ = Jy cos2 α− Jyz sin 2α+ Jz sin2 αJz′ = Jz cos2 α+ Jyz sin 2α+ Jy sin2 α

Jy′z′ =Jy − Jz2 sin 2α+ Jyz cos 2α

JP ′ = Jy′ + Jz′ = JP

Příklad 110


p10 – 11

10.2.7. Hlavní kvadratické momenty

Vmnožině pootočených souřadnicových systémů y’, z’ existuje souřadnicový systém yh, zh,ke kterému je deviační moment roven nule (Jyhzh = 0). Nazývá se hlavní souřadnicovýsystém a jeho osy jsou osy hlavní. Kvadratické momenty k tomuto souřadnicovému sys-tému se nazývají hlavní kvadratické momenty Jyh , Jzh . Jak plyne z Mohrova zobrazení(viz 10.2.8), jeden z těchto hlavních kvadratických momentů je maximální (značíme J1)a druhý minimální (J2) mezi kvadratickými momenty ke všem různě natočeným souřad-nicovým systémům. Poloha hlavního souřadnicového systému je dána úhlem mezi nato-čenými a původními osami, který se určuje z podmínky nulového deviačního momentu:

Jyhzh =Jy − Jz2

sin 2αh + Jyz cos 2αh = 0 ⇒ αh =12arctg

(−2JyzJy − Jz

).

Hlavní souřadnicový systém s počátkem v těžišti se nazývá hlavní centrální souřad- Příklad 105

Příklad 107

Příklad 108

Příklad 109

nicový systém. Protože osa symetrie průřezu vždy prochází jeho těžištěm a deviačnímoment k ní je nulový, je tato osa vždy hlavní centrální osou, stejně jako osa k ní kolmájdoucí těžištěm.


p10 – 12

10.2.8. Mohrova kružnice kvadratických momentů

Mohrovou kružnicí lze geometricky znázornit kvadra-tické momenty k souřadnicovým systémům různě nato-čeným kolem bodu průřezu (obvykle kolem jeho těžiště).Na vodorovnou osu vynášíme osové kvadratické mo-menty, na osu svislou momenty deviační. Souřadnici Jypřísluší deviační moment Jyz, souřadnici Jz pak příslušídeviační moment Jyz stejně velký, ale s opačným znamén-kem. (Tato konvence je dána odvozením Mohrovy kruž-nice.)

Příklad 106

Úhel 2αh mezi průvodičem bodu odpovídajícího osovémukvadratickému momentu Jy a vodorovnou osou je dvoj-násobkem úhlu mezi osou y a příslušnou hlavní centrálníosou příčného průřezu.


p10 – 13

10.3. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ)

Řešíme úlohu pružnosti pro prutové těleso, na něž působí silová soustava Π. Viditelným úlohapružnostiprojevem odezvy jsou posuvy jednotlivých bodů tělesa, matematicky popsané vektorovým

polem, tj. množinou vektorů posuvů ~uA = fu (Π). Vnitřním projevem odezvy jsou stavydeformace a napjatosti tělesa v každém jeho bodě, popsané dvojicí vzájemně závislýchtenzorů přetvoření Tε a napětí Tσ. Tσ

Tε

rovnováha

konstitutivnívztahy

Při řešení složek napětí vycházíme z podmínek statické rovnováhy prvku tělesa.

Prut rozdělíme příčným řezem ω na dva konečné prvky Ω01 a Ω02.Statickou rovnováhu prvku Ω01 zajišťují vnitřní síly, mající obecněcharakter sil spojitě rozložených v průřezu ω; pro vyjádření těchtosil jsme zavedli veličinu obecné napětí ~fω. (Analogicky platí statickárovnováha pro prvek Ω02; jsou-li splněny podmínky pro prvek Ω01,budou automaticky splněny i pro prvek Ω02.)

Protože však použitelných podmínek statické rovnováhy je nejvýše šest, nestačí k určenínapětí, které může být v každém bodě řezu různé co do velikosti i směru; úloha určenínapětí v řezu je mnohonásobně staticky neurčitá. Aby úloha byla řešitelná, nahradímeobecná napětí v řezu staticky ekvivalentně (SE) výslednicí silovou ~FV a momentovou ~MVv těžišti příčného průřezu (těžiště budeme nadále značit R kvůli vyloučení záměny s ozna-čením tenzorů a posouvajících sil).


p10 – 14

Výslednice ~FV i ~MV jsou vektory dané každýtřemi složkami. Těchto celkem šest složek nazý-váme výsledné vnitřní účinky (VVÚ) a určujemeje z rovnic statické rovnováhy (SR) uvolněnéhoprvku Ω01 nebo Ω02, vyjadřujících rovnováhu silvnějších Π1 (působících na prvek Ω01 resp. Ω02)a vnitřních ΠV =

{~FV , ~MV

}.

ekvivalence

Znalost určování VVÚ je nutným předpokladem zvládnutí problému pružnosti prutů.VVÚ jsou pomocné veličiny, popisující namáhání prutu a umožňující nalézt předemnebezpečná místa prutu (tj. místa s největším namáháním).

Při definici složek VVÚ postupujeme následovně:

Výslednici silovou ~FV a momentovou ~MV rozložíme do směrůlokálních souřadnicových os:

~FV = ~FV x + ~FV y + ~FV z = N~i+ Ty~j + Tz~k

~MV = ~MV x + ~MV y + ~MV z =Mk~i+Moy~j +Moz~k

Jejich souřadnice jsou výsledné vnitřní účinky v bodě R střednice (VVÚ).

VVÚ = {N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz}

VVÚ v bodě střednice se určují z podmínek statické rovnováhy uvolněného prvku. podmínky SR


p10 – 15

Lokální souřadnicový systém má počátek v těžišti R průřezu, ve kterém určujeme osysložky VVÚ. Osa xL je u přímého prutu totožná se střednicí (v případě prutu zakřive-ného je tečnou k zakřivené střednici), osy yL a zL leží v příčném průřezu a dohromadytvoří kartézský souřadnicový systém.

Složky VVÚ mají zavedeny specifická označení a názvy:

/ namáhání tahem - směr vnější normályN - normálová síla \ namáhání tlakem - směr vnitřní normályTy, Tz - posouvající síly - namáhání prutu smykem (střihem)Mk - kroutící moment - namáhání prutu krutemMoy,Moz - ohybové momenty - namáhání prutu ohybem

tah

krut

ohybVýsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřníchsil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvořírovnovážnou silovou soustavu působící na prvek prutu.

těžiště


p10 – 16

Průběhy VVÚ (~FV , ~MV ) jsou funkce popisující rozložení jednotlivých složek VVÚ podélstřednice prutu; tyto funkce jsou určeny tvarem střednice a silovým působením. Střednice silové

působeníse při zatížení deformuje, proto se mohou v průběhu zatěžování měnit i ~FV a ~MV v každémbodě střednice. VVÚ bychom proto měli vyjadřovat obecně vzhledem k deformovanéstřednici → pružnost a pevnost II. řádu. Když jsou změny ~FV a ~MV v důsledku defor-mace střednice nepodstatné, můžeme tyto změny zanedbat a ~FV a ~MV určíme vzhledemk nedeformované střednici, tj. k výchozímu tvaru (PP I. řádu). V tomto případě mu-síme určit deformaci a zkontrolovat, jestli deformace střednice podstatně VVÚ nezmění.Jestliže je podstatně změní, je výpočet chybný a správně by měl být proveden znovu s uva-žováním deformace střednice (PP II. řádu). My se však, až na výjimky (vzpěrná stabilitaprutů), budeme zabývat pružností I. řádu (deformace prutu neovlivňuje podstatně jehonapjatost) a uvolňovat prvek v nedeformovaném stavu.

V pružnosti a pevnosti prutů dále rozlišujeme podle počtu nenulových složek VVÚ:

– jednoduché namáhání prutu – jestliže v každém bodě střednice působí pouze jednaze složek ~N, ~T , ~Mo, ~Mk. Označíme ho jako tah (N > 0), tlak (N < 0), ohyb (Mo 6= 0),krut (Mk 6= 0), smyk (T 6= 0);

– kombinované namáhání prutu – jestliže alespoň v jednom bodě střednice prutu jevíce než jedna ze složek ~N, ~T , ~Mo, ~Mk nenulová;

nebo podle způsobu vyjádření VVÚ

a) VVÚ v bodě střednice: určitá hodnota, je potřebná pro určení lokálních charak-teristik (napětí),

b) VVÚ prutu: funkční závislost po délce střednice, potřebná pro určení nebezpeč-ných průřezů a globálních charakteristik (deformační posuvy).


p10 – 17

Znaménková konvence: O znaménkách N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz zavedeme tuto úmluvu(existují i jiné úmluvy, v literatuře musí být použitá konvence uvedena):

Veličiny N, Ty, Tz,Mk,Moy,Moz považu-jeme za kladné, když mají smysl klad-ných (záporných) os lokálního souřadnico-vého systému pro uvolněný prvek obsahu-jící počáteční L (koncový P) bod střednice.

Poznámka:

Rozdílný smysl kladných složek VVÚ na levém (obsahujícím bod L) a pravém (obsahujícímbod P) prvku prutu je zaveden z důvodu respektování zákona akce a reakce mezi oběmaprvky prutu. Při dodržení této konvence dostaneme znaménkově shodné výsledky, ať sipro řešení VVÚ vybereme kterýkoliv z těchto prvků.


p10 – 18

10.4. Určování VVÚ

Úkolem je – vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice,– znázornit průběh složek VVÚ podél střednice a určit místa jejich extrémů,– určit extrémní hodnoty jednotlivých složek,– vymezit na střednici oblasti stejného typu namáhání množinou nenulo-vých složek VVÚ.

10.4.1. Přístupy k řešení průběhů VVÚ

Pro určování průběhů VVÚ se používají 2 základní přístupy:

a) Integrální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR konečného prvkuprutu.

b) Diferenciální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR elementárníhoprvku prutu.


p10 – 19

Uvažujme přímý volný prut, jehož střednice je určena v globálním souřadnicovém systémubodem počátečním L (levý) a koncovým P (pravý). Prut je zatížen zadanou obecnousilovou soustavou Π:

– osamělé síly ~Fi [N] v bodech Ai střednice, i = 1÷n,– osamělé silové dvojice ~Mj [Nm] v bodech Bj střed-nice, j = 1÷m,

– liniové síly dané měrným liniovým zatížením~q(l) [Nm−1] podél střednice nebo její části γq, jejížbody označíme C.

Příklad 201

Příklad 202Příčný průřez prutu nemusí být pro určování VVÚ zadán!


p10 – 20

a) Integrální přístupvychází z definice složek VVÚ, které určujeme z rovnic SR konečného prvku násle-dovně:

1. Bodem R vedeme řez ω, rozdělí prut na dva prvky:ΩL (obsahuje bod L) a ΩP (obsahuje bod P).

2. VVÚ určujeme z podmínek rovnováhy jednohoz těchto prvků. Je libovolné, který prvek pro ře-šení vybereme. Volíme prvek, pro který je řešeníjednodušší.

3. Na vybraný prvek (označíme ΩR) s délkou střed-nice lR působí vnější silová soustava ΠR. Do řezuzavedeme složky VVÚ (tj. složky ~FV , ~MV ) v klad-ném smyslu podle znaménkové konvence. Prut jeve statické rovnováze, proto i prvek ΩR musí spl-ňovat podmínky statické rovnováhy:

– silová podmínka:∑lR

~Fi +lR∫0~qi(l)dl + ~FV = ~0

– momentová podmínka:

rovnováha

konvence

∑lR

( ~RAi × ~Fi) +∑lR

( ~Mj) +lR∫0( ~RC × ~q)dl + ~MV = ~0


p10 – 21

Z uvedených vektorových rovnic je patrné (jsou zde sumy a integrály), že

VVÚ v bodě R prutu, zatíženého vnější silovou soustavou, jsou součtem VVÚ od jed-notlivých vnějších silových účinků.

4. Definujeme-li polohu bodu R střednice v globálním sou-řadnicovém systému (xR pro kartézský, ϕR pro polární),můžeme určit kteroukoliv souřadnici VVÚ v závislosti napoloze bodu R na střednici prutu, tj. určit průběh VVÚ.

lokální s.s.

Důsledky znaménkové konvence:– kladná normálová síla ~N směřuje venz řezu,

– kladná posouvající síla ~T má snahu otá-čet prutem kolem bodu L i P ve směrupohybu hodinových ručiček,

– kladný ohybový moment ~Mo deformujestřednici do konvexního tvaru (červenákřivka na obrázku - střed křivosti na-hoře)

Pravidla pro znaménka T a Mo lze jednoznačně použít jen u rovinné úlohy a vodo-rovného přímého prutu.


p10 – 22

5. Kde je třeba vést řezy, abychom získali průběh VVÚ?K určení VVÚ musí být prut popsán střednicí, která je spojitou a hladkou křivkou prutové

předpokladya soustavou zatěžujících prvků působících na střednici. Průběh VVÚ lze vyjádřitfunkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body představujíhranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ mají tedycharakter funkcí, které na hranicích intervalů mohou být nespojité nebo mít nespo-jitou derivaci.

6. Vyšetříme průběhy funkcí popisujících závislosti jednotlivých složek VVÚ na polozeřezu (znáte z matematiky) a určíme polohu extrémů (kromě hranic intervalů mohoubýt v místech nulové derivace - viz matematika) analyticky nebo graficky. V těchtotzv. nebezpečných bodech stanovíme funkční hodnoty jednotlivých složek VVÚ. nebezpečný

bod


p10 – 23

b) Diferenciální přístup

Vychází z diferenciálních závislostí mezi zatížením prutu a složkami VVÚ. Tyto závislosti(tzv. Schwedlerovy věty) je možné odvodit pro prut s obecnou střednicí, obecně zatí-žený. Zde odvodíme diferenciální vztahy pouze pro přímý prut zatížený v rovině obecnýmnekonstantním spojitým zatížením ~q(x).

Z prutu vyřízneme dvěma blíz-kými řezy jednonásobně elemen-tární prvek Ω1 o délce dx. Spojitézatížení ~q(x) rozložíme do normá-lového a tečného směru příčnéhoprůřezu (~qT (x), ~qN(x)):

qN(x) = q(x) cosα, qT (x) = q(x) sinα.

Zavedeme složky VVÚ, které se mezi oběma řezy budou vzájemně lišit o elementární pří-růstky dN, dT, dMo. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy, přičemž vzhle-dem k elementárnosti prvku můžeme na něm spojité zatížení ~q považovat za konstantní(co do velikosti i směru):∑

Fx = 0 : N(x) + dN(x)−N(x) + qN(x)dx = 0∑Fz = 0 : T (x) + dT (x)− T (x) + qT (x)dx = 0∑

MR2 = 0 : Mo(x) + dMo(x)−Mo(x)− T (x)dx+ qT (x)dxdx2= 0


p10 – 24

Zanedbáme-li v poslední rovnici diferenciál 2. řádu oproti ostatním členům (diferenciály1. řádu), dostaneme vztahy, označované jako Schwedlerova věta:

dN(x)dx

= −qN(x),dT (x)dx

= −qT (x),dMo(x)dx

= T (x).

Podívejme se na tyto vztahy z hlediska významu derivace:

– Velikost spojitého zatížení qT nám určuje směrnici tečny k funkční závislosti T (x) vevyšetřovaném bodě střednice.

– Velikost posouvající síly T (x) v daném bodě střednice je směrnice tečny k průběhuohybových momentů.

Známe-li tedy průběh spojitého zatížení, je tím dán jednoznačně charakter průběhu VVÚ.Pro určení konkrétních hodnot lze použít následující pomocná pravidla.


p10 – 25

10.4.2. Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů

1. Skok v průběhu N(x) nebo T (x) (tj. směrnice tečny → ∞)může být jen tam, kde působí vnější osamělá síla odpovídají-cího směru (~q →∞).T > 0, jestliže vlevo od řezu působí příčná síla směrem vzhůru.

2. V místě, kde je skok v průběhu T (x) (různá zleva a zprava),musí být zlom v průběhu Mo(x) (různé směrnice).(

Schwedlerova věta:dMo(x)dx

= T (x)

).

3. Skok v průběhuMo(x) může být jen tehdy, když v tomto místěpůsobí vnější silová dvojice.Mo > 0, je-li střed křivosti ohybové čáry nahoře.

4. Je-li prut zatížen jen osamělými silami a dvojicemi (ne spoji-tým zatížením), jsou průběhy N(x) a T (x) konstantní aMo(x)je tvořen pouze lomenými přímkami, nikoliv křivkami (plyneopět ze Schwedlerovy věty).


p10 – 26

5. Kde průběh T (x) prochází nulou, má Mo(x) extrém.(dMo(x)dx

= T (x) = 0 → extrém)

6. V průřezu prutu, kde je posouvající síla kladná (záporná), jeprůběh Mo(x) rostoucí (klesající)

(opět vyplývá ze Schwedlerovy věty: dMo(x)dx = T (x)).

7. Podle zavedených konvencí je pro konvexní ohybovou čáruMo > 0. Přechod mezi konvexní a konkávní částí ohybovéčáry je jejím inflexním bodem, ve kterém proto platí Mo = 0.

8. Na konci prutu musí všechny složky VVÚ dosáhnout nulovéhodnoty, pokud zde nepůsobí odpovídající složka vnějšího za-tížení (ta by vyvolala skok VVÚ podle bodu 1 nebo 3).


p10 – 27

9. Pro kreslení průběhu VVÚ je výhodné využít symetrie a antisymetrie prutů.

Je-li prut z hlediska geometrie symetrický a z hlediska vnějších silových účinků(zatížení a sil ve vazbách)

symetrický, pak v rovině symetrie je– nulová posouvající síla,– extrémní ohybový moment,– nulový kroutící moment,

antisymetrický, v rovině antisymetrie je– nulová normálová síla,– extrémní posouvající síla,– nulový ohybový moment.


p10 – 28

10.4.3. Otevřené vázané pruty

Vazbové deformační podmínky prutu

Vazbu kinematickou dvojicí popisuje množina kinematických vazbových parame- vazbytrů (posuvy a natočení): v prostoru je to množina D3 = {u, v, w, ϕx, ϕy, ϕz}, v roviněD2 = {u,w, ϕ}. Je-li vazbou některý kinematický vazbový parametr z množiny Di ome-zen, je odpovídající silový vazbový parametr (složka stykové výslednice) z množinyS = {Fx, Fy, Fz,Mx,Moy,Moz} nenulový. Připomeňme zde základní typy rovinných va-zeb:

Tyto vazby označujeme jako tuhé – omezený kinematický vazbový parametr je nulový.


p10 – 29

Lineárně pružné vazby jsou charakterizovány lineární závislostí mezi odpovídajícími Příklad 407složkami silových a kinematických vazbových parametrů (např. u = konst. Fx). Více seblíží realitě, používají se tam, kde deformace základního tělesa (rámu) nejsou zanedba-telné oproti deformacím řešeného prutu. Problém je obvykle v praxi v určení tuhosti(poddajnosti) těchto vazeb, kterou je často snazší stanovit experimentálně.

Jako vazbovou deformační podmínku označujeme rovnici, určující velikost deformač-ního parametru omezeného vazbou tělesa. Tyto rovnice budou dále využívány při řešenístaticky neurčitých prutů.

Příklady vazbových deformačních podmínek tuhé a pružné vazby


p10 – 30

Prut vázaný v n bodech střednice

Uvažujme prut v podmínkách prostého namáhání, který je vázán k základnímu tělesu(rámu) v n bodech střednice. Pro řešení silových účinků ve vazbách prut uvolníme tak, žeodstraníme vazby a nahradíme je stykovými silami a silovými dvojicemi. Ve statice jste sezabývali statickými rozbory, zavedli jste si µ jako počet neznámých nezávislých silových statický

rozborparametrů (složky neznámých silových účinků) a ν jako počet použitelných podmínekstatické rovnováhy (závislý na typu silové soustavy). Na základě porovnání těchto hodnotse rozhodovalo o statické určitosti (řešitelnosti) úlohy. V pružnosti a pevnosti jsou narozdíl od dynamiky neznámými parametry pouze vazbové silové účinky, proto lze hovořito statické určitosti (resp. neurčitosti) uložení.

Posouzení statické určitosti může vést k následujícím závěrům:

a) ν = µ

– uložení je staticky určité,– neznámé nezávislé parametry stykových výslednic určíme z použi-telných podmínek statické rovnováhy.

Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, ale s možnostívolné deformace (žádný deformační parametr není omezen).

deformačnícharakteristiky


p10 – 31

b) µ < ν

Prut není uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku. Tyto pří-pady řeší dynamika, pak teprve případně pružnost a pevnost.

Dynamika není pro řešení nutná v případě, že pohyb tělesa je sicemožný, ale při daném zatížení nenastane. Úloha je staticky určitá(µ = ν), i když nepohyblivost tělesa není uložením zajištěna.

c) µ > ν

1. uložení je staticky neurčité,stupeň statické neurčitosti s = µ− ν,

2. neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je víc nežpoužitelných podmínek statické rovnováhy,

3. pro určení neznámých nezávislých parametrů stykových výsled-nic je třeba kromě ν použitelných podmínek statické rovnováhyformulovat s vazbových deformačních podmínek.

Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, navíc s omezenou deformací. Přiřešení využijeme částečného uvolnění.


p10 – 32

Otevřené pruty vázané staticky určitě – postup řešení

Prut úplně uvolníme – tzn. nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi,které určíme z podmínek statické rovnováhy a řešíme jako prut volný.

V některých případech (pruty s volným koncem) není pro stanovení VVÚ úplné uvolněnínezbytné.


p10 – 33

Otevřené pruty vázané staticky neurčitě – postup řešení

1. prut uvolníme úplně – nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi(reakcemi) a sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy.

Např.:∑Fx = 0 :

∑Fz = 0 :

∑MA = 0 :

2. prut uvolníme částečně – tj. na úroveň staticky určitého uložení(uložení, při němž je v prostoru právě definovánapoloha prutu, ale není omezena jeho deformace)a sestavíme vazbové deformační podmínky, což jsoupodmínky, které musí splňovat uvolněné vazby.

Tvar deformační podmínky jednoznačně souvisí se způsobem částečného uvolnění.

Částečné uvolnění je uvolnění na úroveň staticky určitého uložení a zavedení de-formačních podmínek tak, aby byla zachována deformace shodná s původním statickyneurčitým uložením. Jeho cílem je formulace deformační podmínky.

Deformační podmínka je vazbová podmínka v místě uvolněné vazby při částečnémuvolnění. Je to právě ta

”chybějící“ rovnice, kterou potřebujeme k řešení neznámých

silových vazbových parametrů.


p10 – 34

Deformační podmínky mohou být

1. homogenní (s nulou na pravé straně rovnice) – u tuhých vazeb, Příklad 414

2. nehomogenní – u poddajných vazeb, pruty s výrobní nepřesností, změnou teploty, Příklad 418

Příklad 417

Příklad 419

3. podmíněné – u podmíněně funkčních vazeb. Příklad 437


p10 – 35

Záporné znaménko plyne z použití Castiglianovy věty, u níž znamená posuv proti směru Castiglianovavětapůsobení síly ~FB.

10.4.4. Uzavřené pruty - rámy

Určení VVÚ je u uzavřených prutů úloha vždy vnitřně staticky neurčitá. Uzavřený pruttotiž řezem nerozdělíme na prvky (části), ale pouze z něj vytvoříme prut otevřený. Ne-máme tedy žádné použitelné podmínky statické rovnováhy pro určení VVÚ. Podle cha-rakteru uložení k základnímu tělesu může být úloha také vně staticky neurčitá. Při řešeníje třeba převést uzavřený prut vhodně volenými řezy na prut otevřený a formulovat de-formační podmínky. Detailně se řešením uzavřených prutů zabývat nebudeme.


p10 – 36

10.4.5. Algoritmus určování VVÚ

1. Klasifikace prutu– otevřený přímý prut vázaný staticky určitě - uvolnění a určení stykových sil(pokud jsou zapotřebí);

– otevřený přímý prut vázaný staticky neurčitě - řešení lze provést pouze kvalita-tivně (pro kvantitativní řešení je zapotřebí částečně uvolnit a podmínky statickérovnováhy doplnit o potřebné vazbové deformační podmínky);

– otevřený prut zakřivený - řešení podobné jako u prutu přímého, ale v tomtopřípadě i při nulovém spojitém zatížení nebudou silové složky VVÚ konstantní;

– prut uzavřený - vždy z hlediska určování průběhu VVÚ staticky neurčitý (vnitř-ně), navíc může být vně staticky určitý anebo neurčitý. Vyjádření průběhu VVÚje vždy relativně složitá úloha, která vyžaduje doplnit použitelné podmínky sta-tické rovnováhy o potřebné deformační podmínky.

2. Uvolnění prutu, sestavení podmínek statické rovnováhy a určení stykových sil (je-liúloha staticky určitá a nejedná se o prut vetknutý).

3. Rozdělení prutu na úseky, a to ve všech bodech, kde– působí osamělé vnější zatěžovací účinky (včetně stykových sil, resp. momentů);– se mění charakter spojitého zatížení;– se mění směr (zlom) nebo křivost střednice. Příklad 203

4. Rozhodnutí o dalším postupu (nemusí být pro všechny úseky stejný)– integrální přístup (sestavování rovnic statické rovnováhy prvku) volím tehdy, je-li integrální

přístupúloha relativně obtížná, ale staticky určitá;– diferenciální přístup (využití Schwedlerových vět) volím u relativně snadné úlohy diferenciální

přístupnebo vždy u úlohy staticky neurčité (kvalitativní řešení);


p10 – 37

A) diferenciální přístup B) integrální přístup - v každémúseku prutu provedeme kroky:

5. Z 1. Schwedlerovy věty a zada-ného průběhu spojitého zatížení ur-číme s využitím dalších pravidel(10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšet-řování průběhu VVÚ) průběh silo-vých složek VVÚ, resp. kroutícíhomomentu.

5. Uvolníme prvek prutu řezem ve-deným v obecném bodě střednice ře-šeného úseku.

6. Z průběhu posouvajících sil určímes využitím 2. Schwedlerovy větyprůběh ohybových momentů.

6. Z podmínek statické rovnováhyprvku určíme všechny složky VVÚ(jako funkce souřadnice místa řezu).

7. Z průběhu VVÚ odhadneme nebez-pečné průřezy (místa lokálních ex-trémů) a v nich určíme číselné hod-noty složek VVÚ (není-li úloha sta-ticky neurčitá).

7. Vyšetříme funkční závislosti prů-běhu VVÚ z hlediska lokálníchextrémů a určíme polohu těchtoextrémů.

8. Nakreslíme průběh funkčních zá-vislostí VVÚ, určíme nebezpečnépříčné průřezy a vypočítáme číselnéhodnoty VVÚ v těchto průřezech.

pravidla

Příklad 238

Poznámka: U prutů neprizmatických (s proměnným příčným průřezem) mohou existovatdalší nebezpečná místa daná lokálním zeslabením prutu. Tím se budeme zabývat až přiřešení napjatosti a deformace pro konkrétní typy namáhání.


p10 – 38

10.5. Příklady k procvičování látky

Řešené příklady

Příklad 101 Příklad 102 Příklad 103 Příklad 105 Příklad 106

Neřešené příklady


10.6. Příklady k procvičování látky


p10 – 39

Řešené příklady


Neřešené příklady







Příklad 235 Příklad 236 Příklad 237

předchozí OBSAH následující kapitola

10. prut v pružnosti a pevnostibeta.fme.vutbr.cz/cpp/texty/p10.pdf · 2002. 11. 9. · p10 – 2...

Documents