téma 5 odm, deformační zatížení rovinných rámů

1Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Téma 5ODM, deformační zatížení rovinných rámů

• Nerovnoměrná změna teploty• Příklad řešení rovinného rámu zatíženého změnou

teploty • Dané nepružné přemístění podpor• Příklad řešení rovinného rámu zatíženého

popuštěním podpor

2

Zatížení prutu a konstrukce vyvolané nerovnoměrnou změnou teplotyPojem nerovnoměrné změny teploty:předpokládá se lineární změna teploty po výšce průřezu a neměnná po šířce průřezu a délce prutu.

2ttt je

2 pro ,tttt

ttt :Platí

dh011

hdh0

hd1

hhh

h

3

Zatížení prutu a konstrukce vyvolané nerovnoměrnou změnou teploty

Změna teploty vyvolá primární koncové síly prutu a-b.Rovnoměrné oteplení t0 způsobí změnu délky uvolněného prutu 0, lineární změna teploty pootočení konců uvolněného prutu ab a ba. Pro prut s neměnným průřezem lze s využitím Maxwell-Mohrových vzorců odvodit:

b. případně a,podpory uvolněnéu tj. pootočení, hledaného místě moment v virtuálníjednotkový je kde

21

0

1

00

010

Mhlt

hdxtM

ltdxt

ba

tl

t

ab

t

l

t

4

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, oboustranně monolitický připojený prut

htEJ

hlt

hlt

lEJ

lEJ

JEl

JEl

EJl

EJl

M

htEJ

hlt

hlt

lEJ

lEJ

JEl

JEl

EJl

EJl

M

MM

tEAXXtEA

EAl

ltX

XX

tttbaab

baab

abbaabba

tttbaab

baab

baab

babaabab

baab

tbaabtt

ba

baab

111

22

2

22

22

*

111

22

2

22

22

*

**

0

**

00

11

10*

**

- )2

2-2

(2 )2-(2

)369

(

)36

(

)2

-2

(22 )-(22 )

369(

)63

(

:prutu opřipojenéhy monolitick ěoboustrann ,momenty koncové pro b1)

: upnutého libovolněprutu prutu) ose v(působící ,síly koncové pro a)

platísystému vémsouřadnico lokálním vprůřezem něměnným s b-aprut Pro

5

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, oboustranně monolitický připojený prut (pokračování)

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

ZZh

tEJhlt

lEJM

lEJ

lEJM

lEJM

Mh

tEJh

tEJll

MMZZZ

htEJ

htEJ

llMMZZZ

ZZ

ttbaab

bababa

ttbaab

ababab

baab

ttab

ab

ab

abab

ab

babaabba

ab

ttbaab

bababa

ttbaab

ababab

baab

23)

23 0 ( 10

23 -) 0

23 ( 10

:prutu opřipojenéh kloubově něpravostran ,síly koncové pro c2)23

2232

232)

2-(22

2 0)2-(2

:prutu opřipojenéh kloubově něpravostran síly moment ohybový pro c1)

0) ( 10

0) ( 10

:prutu opřipojenéhy monolitick ěoboustrann ,síly koncové pro b2)

11

**

**0

*

11

****

0*

**

11*

**

*

11

****

0*

11

**

**0

*

**

6

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, pravostranně kloubově připojený prut

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

ZZh

tEJhlt

lEJM

lEJ

lEJM

lEJM

MM

ttbaabbababa

ttbaabababab

baab

ttab

abab

ababab

babaabba

baab

23) 0

23 ( 10

23 -) 0

23 ( 10

:prutu opřipojenéh kloubově něpravostran ,síly koncové pro c2)23

2232

232)

2-(22

2 0)2-(2

:prutu opřipojenéh kloubově něpravostran a momenty ohybové pro c1)

11

****

0*

11

****

0*

**

11*

**

**

7

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, levostranně kloubově připojený prut

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

hltEJ

htEJ

llMMZZZ

ZZh

tEJhlt

lEJM

lEJ

lEJM

lEJM

MM

ttbaab

bababa

ttbaab

ababab

baab

ttba

abbbabbaba

abbaabab

abba

23)

23 0 ( 10

23 )

230 ( 10

:prutu opřipojenéh kloubově něpravostran ,síly koncové pro d2)23

2232

232)2-(2

2 0)-(22

:prutu opřipojenéh kloubově ělevostrann a momenty ohybové pro d1)

11

****

0*

11

****

0*

**

11*

**

**

8

Primární vektory koncových sil prutu neměnného průřezu od změny teploty [1]

9

Příklad 4 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, změna teploty)

GPaEmI

mA

mI

mA

200016,0

12,0

003125,0

15,0

423

223

412

212

x

z1

2

3

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2

Cth 10

Ct

Ct

d

d

25

20

2,

1,

10

Příklad 4 – kosoúhlý rám Výpočtový model

Ct

Ct

d

d

25

20

2,

1,1

2

3

1

2

4pn

000

321

400Cttt

Ctt

t

Cttt

Ctt

t

hd

hd

hd

hd

351025

5,72

10252

301020

52

10202

2,2,2,1

2,2,2,0

1,1,1,1

1,1,1,0

15

2

1

104,05,0

Cmhmh

t

Cth 10

11

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 – 2)

Lokální primární vektor koncových sil oboustranně monoliticky připojeného prutu.

5,37

0

150

5,37

0

150

0

0

C,30Δt C,5Δt C,10Δt C,20Δt ,C)(10α ,5,0 ,003125,0 ,15,0 ,20

1

1,1

1,0

1

1,1

1,0

*

21

*

21

*

21

*

12

*

12

*

12

*

12

0

1,1

0

0,1

0

h,1

0

d,1

1-05-

t

1

42

htEI

tEAh

tEI

tEA

M

Z

X

M

Z

X

R

hmJmAGPaE

t

t

t

t

12


10000009578,02874,000002874,09578,000000010000009578,02874,000002874,09578,0

1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos

T matice ační transformanáTransponov

10000009578,02874,000002874,09578,000000010000009578,02874,000002874,09578,0


T matice čníTransforma

1212

1212

1212

1212

T

12

1212

1212

1212

1212

12

12

T

abT

T

13

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1(1-2)

500,37

102,43

674,143

500,37

102,43

674,143

5,37

0150

0150

5,37

0150

0150

silkoncových vektor primární Globální

*21

*21

*21

*21

*21

*12

*12

*12

*12

*12

21

21

21

12

12

12

12

cs

sc

cs

sc

M

cZsX

sZcX

M

cZsX

sZcX

M

Z

X

M

Z

X

R

000123

14

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 - 2)

Lokální matice tuhosti

3

22

2323

22

2323

*

12 10

9,478,1309,238,1308,133,508,133,50

007,574007,5749,2381,1309,478,1308,133,508,133,50

007,574007,574

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

k

15

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 -2)

12

*

121212TkTk T

0 0 0 1 2 3000123

3

12 10

8,4718,1395,39,2318,1395,318,139,5227,15618,1329,527,15695,37,1567,52795,37,1567,527

9,2318,1395,39,4718,1395,318,1329,527,15618,139,5227,15695,37,1567,52795,37,1567,527

prutu tuhostimatice Globální

k

16


Lokální primární vektor oboustranně monoliticky připojeného prutu:

28

0

180

28

0

180

0

0

35t ,5,7t ,10t ,25t ,)(100,4mh ,0,0016mJ 0,12mA ,20

2

2,1

2,0

2

2,1

2,0

*

32

*

32

*

32

*

23

*

23

*

23

*

23

0

1,2

0

0,2

0

h,2

0

d,2

105

2

42,

htEJ

tEAh

tEJ

tEA

M

Z

X

M

Z

X

R

CCCCCGPa

t

t

t

t

t

17


10000006,08,000008,06,000000010000006,08,000008,06,0


T matice ační transformanáTransponov

10000006,08,000008,06,000000010000006,08,000008,06,0


T matice čníTransforma

2323

2323

2323

2323

23

T

23

2323

2323

2323

2323

23

23

TT

T

18

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 -3)

2814410828

144108

2801800180

2801800180

silkoncových vektor primární Globální

*32

*32

*32

*32

*32

*23

*

23

*23

*23

*23

23

23

23

23

23

23

23

cssc

cssc

McZsXsZcX

McZsXsZcX

MZXMZX

R

123004

19


Lokální matice tuhosti

3

22

2323

22

2323

*

2310

6,2568,708,1268,7068,7072,3068,7072,300048000480

8,1268,706,2568,7068,7072,3068,7072,30

0048000480

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEI

lEA

lEA

k

20


23

*

232323 TkTk T

1 2 3 0 0 4123004

3

2310

6,2561,414,68,1261,414,661,43,3089,22861,43,3089,22814,69,2288,17414,69,2288,1748,1261,414,66,2561,414,661,43,3089,22861,43,3089,228

14,69,2288,17414,69,2288174

prutu tuhostimatice Globální

,

k

21

Příklad 4, zatěžovací vektor

285,9102,187

674,35

F

2828

144108

050,37

102,43674,143

0

R

čísel)kódových (dle deformace partametrůhledaných smyslu uzlech ve vpůsobícíchsystému

souřadném globálním vsilkoncových primárníchtorů součet vek je R

:platí a nulový zatíženíuzlových vektor jeloty změnou tep zatížení Při

32

23

23

23

21

21

21

MMZX

MZX

RF

1234

22

Příklad 4, tvorba matice tuhosti konstrukceMatice tuhosti konstrukce se tvoří z částí matic tuhostí prutů konstrukce, v daném případě prutů 1 a 2:

3

33

21

10

6,258,1261,414,68,125,7357,81,1061,457,86,3600,722

14,61,100,7224,702

10

6,258,1261,414,68,126,2561,414,661,461,43,3089,228

14,614,69,2288,174

10

000009,472,1395,302,133,527,156095,37,1567,527

K

KKK

1234

1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

1234

23

Příklad 4, sestavení matice tuhosti konstrukce a řešení soustavy lineárních rovnic

TTwur

wu

4645

3222

3

2

2

2

3

1072,91011,8103,51062,9

285,9102,187

674,35

10

6,258,12608,4144,68,12491,73573,8098,10

608,4573,8595,360203,72144,6098,10203,72445,702

K.r =F

1 2 3 41234

24

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet koncových sil prutu 1 (1 -2) v GSS a LSS

663,43398,2184,10

143,31398,2184,10

10000009578,02873,000002873,09578,000000010000009578,02873,000002873,09578,0

663,43629,0

444,10143,31629,0444,10

163,6473,42230,133357,6473,42

230,133

50,37102,43

674,14350,37102,43674,143

1011,8103,51062,9

000

50,37102,43

674,14350,37102,43674,143

21

21

21

12

12

12

*

21

*

21

*

21

*

12

*

12

*

12

*

12

1212

*

12

6

4

512

2

2

2

1

1

1

12

21

21

21

12

12

12

21

21

21

12

12

12

12

12121212

Lokální

Globální

MZXMZX

MZXMZX

R

RTR

k

wu

wu

k

MZXMZX

MZXMZX

R

rkRR

25

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet koncových sil prutu 2 (2 - 3) v GSS a v LSS

0733,8763,5663,43733,8

723,5

10000006,08,000008,06,000000010000006,08,000008,06,0

0629,0

444,10663,43629,0444,10

28629,144556,97663,15

629,144556,97

2814410828

144108

1072,9001011,81026,51062,9

2814410828

144108

21

21

21

12

12

12

*

32

*

32

*

32

*

23

*

23

*

23

*

23

31223

*

23

4

6

4

5

23

3

3

3

2

2

2

23

32

32

32

21

21

21

32

32

32

23

23

23

23

23232323

Lokální

Globální

MZXMZX

MZXMZX

R

RTR

k

wu

wu

k

MZXMZX

MZXMZX

R

rkRR

26

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet reakcí ve styčníku 1

1 12Z

12Z 12X

12X

12M

12M

1R

1H1M

kNmMMMMkNZRZRkNXHXH

14,31063,0044,100

121121

121121

121121

TR 66,4363,044,1014,3163,044,1012

1

2

3

1

2

27

Příklad 4, zatížení změnou teploty,kontrola rovnováhy ve styčníku 2

2

23Z21Z

21X23X

21M21X

21Z

21M

23X

23M

23M

23Z

F

066,4366,4300)629,0(629,00

044,1044,100

2321

2321

2321

MMZZXX

0

63,0

44,10

66,43

63,0

44,10

66,43

63,0

44,10

14,31

63,0

44,10

2312 RR

1

2

3

1

2

28

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet reakcí ve styčníku 3

063,0044,100

32

323323

323323

MkNZRZRkNXHXH

3

32X

32M32Z 32X

32Z

32M

3R

3H

TR 063,044,1066,4363,044,1023

1

2

3

1

2

29

Příklad 4, zatížení změnou teploty, kontrola řešení

1

2

3

k

1

2kNR 629,01

kNH 444,101

kNmM 143,311

kNH 444,103

kNR 629,03

001,0444,106,0444,101,3629,045,0629,045,8143,3106,01,345,045,8

000,6290,629 0444,10444,10

0R 00 0

31311

3131

HHRRMM

RHHFF

k

zx

30

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – N

18,10*12 X

40,2*12 Z

14,31*12 M

66,43*21 M

40,2*21 Z

18,10*21 X

76,5*23 X

73,8*23 Z

66,43*23 M

0*32 M

73,8*32 Z 76,5*

32 XN-10,18

-5,76

--

T

T

R

R

073,876,566,4373,876,5

66,4340,218,1014,3140,218,10*23

*12

12 2

31

2

3

31

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – V

18,10*12 X

40,2*12 Z

14,31*12 M

66,43*21 M

40,2*21 Z

18,10*21 X

76,5*23 X

73,8*23 Z

66,43*23 M

0*32 M

76,5*32 XV -2,40

8,73

- 73,8*32 Z-

T

T

R

R

073,876,566,4373,876,5

66,4340,218,1014,3140,218,10*23

*12

12

2

13

2

3

32

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – M

18,10*12 X

40,2*12 Z

14,31*12 M

66,43*21 M

40,2*21 Z

18,10*21 X

76,5*23 X

73,8*23 Z

66,43*23 M

0*32 M

76,5*32 XM

-31,14-43,66

73,8*32 Z

-43,66

- -

0

T

T

R

R

073,876,566,4373,876,5

66,4340,218,1014,3140,218,10*23

*12

1

1

2 2

2

3

3

33

ODM, dané nepružné přemístění podpor

Dané nepružné přemístění podpor může být vyvoláno:

poddolováním, ražbou kolektorů a jiných podzemních děl v malé

hloubce pod povrchem, snížením hladiny podzemní vody pohyby podloží (sesuvy) objemovými změnami (termické procesy apod.)

Tyto pohyby jsou zpravidla nezávislé na zatížení vyvolané stavebním objektem, lze je vyšetřovat odděleně od silového zatížení konstrukce.

34

ODM, dané nepružné přemístění podpor

Pružné přemístění podpor je závislé na velikosti akcí, kterými konstrukce působí na podpory, vyšetřují se společně se silovým zatížením konstrukce.

Dané nepružné přemístění podpor modelujeme tzv. nehomogenními okrajovými (nenulovými) podmínkami.

35

Primární vektory koncových sil při daném popuštění podpor

sil.koncových vektor globální primární vyvolanýse nazývá

,~~ : mdán vztahe GSS vVPKS je zatížení mdeformační Při

.0,0,0,~,~,~~ : tvaru venapř.systému souřadném globálním vzpravidla se Zadávají

.přemístěnísložek daných y ány vektorjsou vyvolpodpor popuštění daném při silkoncových vektory Primární

ababab

T

aaaab

rkR

wur

36

Primární vektor koncových sil při daném popuštění podpor

stavu. hosekundární a primárního ísuperpozic dána jeprutů konců deformace Celková

vazbách). vedeformace něm při jí(nenastávarovnováhy podmínek splnění styčnících vedeformace zajistístavu msekundární V

podpor. popuštění - přemístění danápřiřazeny vazby pro má deformaceparametrů vektor Globální

.~ přemístěnísložek daných globálních vektoru a prutu tuhostimatice globální součinem maticovým vypočteme

podpor popuštění při silkoncových vektor Primární

ababrk

37

Příklad 5 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, popuštění podpor)

xz

1

2

3

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2

GPaEmI

mA

mI

mA

200016,0

12,0

003125,0

15,0

423

223

412

212

radmwmu

002,0015,0002,0

1

1

1

mwmu

035,0001,0

3

3

38

Příklad 5 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, popuštění podpor)

xz

1

2

3

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2

GPaEmI

mA

mI

mA

200016,0

12,0

003125,0

15,0

423

223

412

212

radmwmu

002,0015,0002,0

1

1

1

mwmu

035,0001,0

3

3

39

Příklad 5 – kosoúhlý rám Výpočtový model

1

2

3

1

24pn

000

321

400

40

Příklad 5 – kosoúhlý rám Primární stav

1

2

3

1

2

Vektory daných složek přemístění: T~

3

~

3

~

23

T~

1

~

1

~

1

~

12 0000 000

wurwur

Vyvolané globální primární vektory: ~

2323

~

23

~

1212

~

12 rkRrkR

41

Příklad 5 – kosoúhlý rám, popuštění podpor Sekundární stav

1

2

3

1

2

Vektory vypočtených složek přemístění: TT

wurwur

3222322212 00 000

Globální sekundární vektory:

232323121212 rkRrkR

42

Příklad 5 – kosoúhlý rám, popuštění podpor Výsledný stav

~~

00 0~~000~

)~(~~

~~~

000 000~~~~

)~(~~:deformaceparametrůa vektory celkové a silkoncových vektory Výsledné

33322223

322233232323

232323232323232323232323

22211112

222111121212

121212121212121212121212

T

c

TT

c

c

T

c

TT

c

c

wuwur

wuwurrr

rkrrkrkrkRRR

wuwur

wuwurrr

rkrrkrkrkRRR

43

Příklad 5, výpočet primárních vyvolaných koncových vektorů v GSS, prut 1 (1 – 2)

~~~~~~ 0,0,0,~,~,u~ T

212121121212T

11112

~

1212

~

12 M,Z,X,M,Z,XwkrkR

92,1414,1071

1,3414025,94

4,10711,3414

000002,0015,0002,0

10

8,4718,1395,39,2318,1395,318,139,5227,15618,1329,527,15695,37,1567,52795,37,1567,527

9,2318,1395,39,4718,1395,318,1329,527,15618,139,5227,15695,37,1567,52795,37,1567,527

~

312R

000123

44

Příklad 5, výpočet primárních vyvolaných koncových vektorů v GSS, prut 2 (2 – 3)

~~~~~~ 0,~,u~,0,0,0 T

323232232323T

3312

~

2323

~

23 M,Z,X,M,Z,XwkrkR

14,1556,110192,8187

14,1556,110192,8187

0035,0001,0000

10

6,2561,414,68,1261,414,661,43,3089,22861,43,3089,22814,69,2288,17414,69,2288,1748,1261,414,66,2561,414,661,43,3089,22861,43,3089,228

14,69,2288,17414,69,2288174

~ 323

,

R

123004

45

Příklad 5, zatěžovací vektor

14,15522,13

1,120911,4773

F

14,15514,155

6,110192,8187

092,141

4,10711,3414

~~~~

0

~~~

R~

deformaceparametrů neznámých smyslu uzlech ve vpůsobících vektorů primárnícholaných součet vyv je R~

:platí a nulový zatíženíuzlových vektor jepodpor popuštěním konstrukce zatížení Při

32

23

231

23

21

21

21

~

MMZX

MZX

RF

1234

46

Příklad 5, popuštění podpor, tvorba matice tuhosti konstrukce

3

33

21

10

6,258,1261,414,68,125,7357,81,1061,457,86,3600,722

14,61,100,7224,702

10

6,258,1261,414,68,126,2561,414,661,461,43,3089,228

14,614,69,2288,174

10

000009,472,1395,302,133,527,156095,37,1567,527

K

KKK

1 2 3 4 1 2 3 4

1 2 3 4

1 23 4

1 234

47

Příklad 5, sestavení matice tuhosti konstrukce a řešení soustavy lineárních rovnic

TTwur

wu

33233222

3

2

2

2

3

10418,11075,410297,310462,3

14,15522,13

1,1209106,4773

10

6,258,12608,4144,68,12491,73573,8098,10

608,4573,8595,360203,72144,6098,10203,72445,702

1 2 3 41234

FKrFrK 1

48

Příklad 5 – kosoúhlý rám (deformační zatížení a vypočtená přetvoření)

radmwmu

00475,0033,00035,0

2

2

2

xz

1

2

3

5 3 45,0

4

6,0

5,1 1

2

GPaEmI

mA

mI

mA

200016,0

12,0

003125,0

15,0

423

223

412

212

radmwmu

002,0015,0002,0

1

1

1

mwmu

035,0001,0

3

3

0014,03

49

Příklad 5, zatížení popuštěním podpor, výpočet koncových sil prutu 1 (1 -2) v GSS a LSS

92,7820,6130,3952,24020,6130,39

10000009578,02873,000002873,09578,000000010000009578,02873,000002873,09578,0

9,783,472,555,2403,472,55

84,2207,11189,3358

548,3347,1118

9,3358

92,1414,1071

1,3414025,94

4,10711,3414

10745,410297,310462,3

000

92,1414,1071

1,3414025,94

4,10711,3414

~~~~~~

~

21

21

21

12

12

12

*21

*21

*21

*12

*12

*12

*12

1212*12

3

4

312

2

2

2

1

1

1

12

21

21

21

12

12

12

21

21

21

12

12

12

12

12121212

Lokální

Globální

MZXMZX

MZXMZX

R

RTR

k

wu

wu

k

MZXMZX

MZXMZX

R

rkRR

50

Příklad 5, zatížení popuštěním podpor, výpočet koncových sil prutu 2 (2 - 3) v GSS a v LSS

079,15

99,7093,78

79,1599,70

10000006,08,000008,06,000000010000006,08,000008,06,0

032,4722,5593,7832,4722,55

14,1553,10972

9,813106,2343,10972

9,8131

14,1556,110192,8187

14,1556,110192,8187

10418,100

10745,410297,31046,3

14,1556,110192,8187

14,1556,110192,8187

~~~~~~

21

21

21

12

12

12

*32

*32

*32

*23

*23

*23

*23

31223*23

3

3

2

3

23

3

3

3

2

2

2

23

32

32

32

21

21

21

32

32

32

23

23

23

23

23232323

Lokální

Globální

MZXMZX

MZXMZX

R

RTR

k

wu

wu

k

MZXMZX

MZXMZX

R

rkRR

51

Příklad 5, popuštění podpor, výpočet reakcí ve styčníku 1

1 12Z

12Z 12X

12X

12M

12M

1R

1H1M

kNmMMMMkNZRZRkNXHXH

52,240032,47022,550

121121

121121

121121

TR 9,783,4722,5552,2403,4722,5512

1

2

3

1

2

52

Příklad 5, popuštění podpor,kontrola rovnováhy ve styčníku 2

2

23Z21Z

21X23X

21M21X

21Z

21M

23X

23M

23M

23Z

F

0)23,78(93,7800)32,47(32,4700)22,55(22,550

2321

2321

2321

MMZZXX

0

32,47

22,55

93,78

32,47

22,55

93.78

32,47

22,55

5,240

32,47

22,55

2312 RR

1

2

3

1

2

53

Příklad 5, popuštění podpor, výpočet reakcí ve styčníku 3

032,470

22,550

32

323323

323323

MkNZRZR

kNXHXH 3

32X

32M32Z 32X

32Z

32M

3R

3H

TR 032,4722,5593,7832,4722,5523

1

2

3

1

2

54

Příklad 5, popuštění podpor, kontrola řešení

1

2

3

k

1

2kNR 32,47

1

kNH 22,551

kNmM 52,2401

kNH 22,553

kNR 32,473

01,022,555.232,47852,2405,280

032,7447,32 022,5522,550R 0

0 0

111

3

3131

HRMM

RHHFF zx

55

Určení vnitřních sil na prutu

Každý prut lze řešit samostatněVychází se z koncových sil prutu v LSS

aab NX *

aab VZ *

bba NX *

bba VZ *

aab MM *bba MM *

ba

l

56

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil - N

30,39*12 X

20,61*12 Z

52,240*12 M

93,78*21 M

20,61*21 Z

30,39*21 X

99,70*23 X

79,15*23 Z

93,78*23 M

0*32 M

99,70*32 XN

79,15*32 Z39,30

70,99

++

T

T

R

R

079,1599,7093,7879,1599,70

92,7820,6130,3952,24020,6130,39*23

*12

12 2

3

12

3

57

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil – V

30,39*12 X

20,61*12 Z

52,240*12 M

93,78*21 M

20,61*21 Z

30,39*21 X

99,70*23 X

79,15*23 Z

93,78*23 M

0*32 M

99,70*32 XV

79,15*32 Z61,20

-15,79+

-

T

T

R

R

079,1599,7093,7879,1599,70

92,7820,6130,3952,24020,6130,39*23

*12

12 2

3

12

3

58

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil – M

30,39*12 X

20,61*12 Z

52,240*12 M

93,78*21 M

20,61*21 Z

30,39*21 X

99,70*23 X

79,15*23 Z

93,78*23 M

0*32 M

99,70*32 XM

-240,52

78,9379,15*

32 Z78,93

0

- +

T

T

R

R

079,1599,7093,7879,1599,70

92,7820,6130,3952,24020,6130,39*23

*12

12

1

2

3

2

3

59

mkNs /5,1

2FkNF 502 2

kNF 252

A = 0,24 m2

I = 0,0072 m4

E = 20 GPa1

w=0,75

kNm

32

45

6

12 3

4 5

10 10

2

10

mw 01,01 mw 01,03 mw 015,02

kNF 101 1F

7

Cte 0

Cti 18Postaveno při 20°C

60

1 32

45

12 3

4 5

10 10

2

10

000

321

000 000

654 987

00 20

1220

220 010

1210 120

x

z

61

mkNs /5,1

2FkNF 502 2

kNF 252

1

w=0,75

kNm

32

45

6

12 3

4 5

10 10

2

10

kNF 101 1F

7

Silové zatížení

62

Zatížení sněhem s = 1,5 kN/m

l4 = l5 = l=10,198m 10 • s = l • s´ … s´ = 10 • s/l = 15/l=1,471kN/m q = s´ • cos 4(5) = 1,471 • 10/l =1,442kN/m n = s´ • sin 4(5) = 1,471l • 2/l=0,288kN/m

mkNs /5,1

2FkNF 502 2

kNF 252

1

w=0,7

5kN

m

32

45

6

12 3

4 5

10 10

2

10

kNF 101 1F

7

63

1 32

45

6

12 3

4 5

mw 01,01 mw 01,03 mw 015,02

Cte 0

Cti 18

Postaveno při 20°C

Deformační zatížení

64

Změna teploty prutu zadaná změna teploty horních, dolních

vláken th, td td = ti – 20°C= -2°C th = te (ti pro prut 2) - 20°C= -20°C (-2°C) t0 = ½(td + th) = -11°C (-2°C) (změna

teploty střednice…těžiště uprostřed) t1 = td – th = 18°C (0°C) (rozdíl teplot) t = 0,00001°C-1

h = 0,6 m (výška průřezu)

65

Postup výpočtu Analýza prutů

globální primární vektor prutů globální matice tuhosti prutů

Analýza prutové soustavy matice tuhosti soustavy K zatěžovací vektor soustavy F = S – R

Řešení soustavy Kr = F Určení koncových sil a reakcí Výpočet složek vnitřních sil Kontrola výsledků řešení

66

Použitá literatura

[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.

téma 5 odm, deformační zatížení rovinných rámů

Documents