Řešení rovinných rámů s posuvnými styčníky při silovém zatížení zdm

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Řešení rovinných rámů s posuvnými styčníky při silovém zatížení ZDM

• Rovinné rámy s posuvnými styčníky• Patrové rovnice• Příklady postupu řešení rámu s posuvnými styčníky

2

ZDM, styčníkové rovniceStyčníkové rovnice ve ZDM vyjadřují momentové podmínky rovnováhy

0 )32(

)22(4

3)22(´

)32(

),,,(

ae

MkMM

kkMM

kMM

MMMMMedcbiMM

addaadadad

acbaacacbaacacac

abbaababab

aaeadacabaai

3

ZDM, patrové rovnice Patrové rovnice vyjadřují silovou podmínku rovnováhy

ve směru nezávislého posunu nauvolněné části rámu (nosníku), odděleného patrovým řezem, obsahující styčníky se stejným posunem

Patrové rovnice se sestavují pro rámy (nosníky) s posuvnými styčníky.

Rámy (nosníky) s posuvnými styčníky jsou konstrukce, u kterých při sestavování základní deformačně určité soustavy vkládáme fiktivní silové vazby.

4

ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky

Rám má posuvné styčníky

v horizontálním směru: 1) a, b, c

2) e,d

Ve vertikálním směru: b, e

Stupeň přetvárné neurčitosti je:

npz = 8

5

ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování

Základní deformačně určitá soustava se vytvořila vložením 5 fiktivních momentových vazeb a 3 silových fiktivních vazeb bránících možnému posunu styčníků

Počet neznámých parametrů deformace je 8, jsou jimi pootočení styčníků a, b, c, d, e a posuny v horizontální směru I=ua=ub=uc , II= ue=ud a ve svislém směru III=wb=we.

6

ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování

Posunutí prutů způsobují:

a) Nezávislá pootočení prutů

b) Závislá pootočení prutů (vyjádřitelná pomocí nezávislých)

IIIbc

ab

bc

III

ab

IIIabIII

cd

III

be

IIIcdbeII

Icg

af

cg

I

af

IafI

l

l

ll

ll

l

l

ll

bc

cg

,

,

7

ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, patrové řezy

Patrovým řezem I – I oddělíme styčníky a, b, c se stejným posunem I.

Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Vaf a Vcg.

Ve směru posunutí I musí platit podmínka rovnováhy:

43 0 FFVVF cgafix

8


Posouvající síly Vaf a Vcg lze vyjádřit:

afIcg

afcgafc

cg

afcgaaf

cgaf

cg

cgcg

cg

Icg

afccg

cg

gccg

cg

gccg

cgcg

af

afaf

af

Iaaf

af

faaf

af

faaf

afaf

lFFl

lkk

l

lkk

FFVVP

cl

Jk

l

l

lk

l

MM

l

MMVV

cl

Jk

l

k

l

MM

l

MMVV

)()26(23

:je úpravě a rovnováhy podmínky do dosazení o

4

3 kde ,

)22(ˆˆ

kde ,)63(ˆˆ

432

2

43

0

0

9


Patrovým řezem II – II oddělíme styčníky c, d se stejným posunem II.

Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Veb a Vdc.Ve směru posunutí II musí platit podmínka rovnováhy:

4 0 FVVF dcebix

10


Po dosazení do podmínky rovnováhy Veb+Vdc=F4 je:

beIIbeIIcdebedcdccdbbe

cdbecd

cdcd

cd

IIdccd

cd

cddc

cd

cddc

dcdc

be

bebe

be

IIebbe

be

beeb

be

beeb

ebeb

lFkkkkkk

lll

Jk

l

k

l

MM

l

MMVV

l

Jk

l

k

l

MM

l

MMVV

4

0

0

663333

kde

,)633(ˆˆ

kde

,)633(ˆˆ

11


Patrovým řezem III – III oddělíme styčníky e, b se stejným posunem III.

Uvolněnou část rámu nahradíme posouvajícími silami Vba, Vbc a Ved.Ve směru posunutí III musí platit podmínka rovnováhy:

21

21

0 0

FFVVV

FFVVVF

bcedba

bcedbaiz

12


Po dosazení do podmínky rovnováhy Vba-Vcc-Ved=F1+F2 je:

bc

bcbc

bc

cbbc

bcbc

cd

IIIbc

abcbbc

bc

bc

cbbc

bc

cbbc

bcbc

ab

abab

ab

baab

baba

ab

IIIbaabba

ab

baab

ab

baab

baba

l

Jk

l

MMVV

l

l

lk

Vl

MM

l

MMVV

l

Jk

l

MMVV

l

kV

l

MM

l

MMVV

kde

,

)633(ˆˆ

kde

,)633(ˆˆ

0

0

0

0

13


bcedbcbadebcab

eed

abedd

ed

abedc

bc

abbcb

bc

abbcabaab

bcdede

dede

de

edde

eded

de

IIIbc

abedde

ed

de

edde

de

edde

eded

lVVVFFl

lk

l

lkk

l

lk

l

lk

l

lk

l

lkkk

lll

Jk

l

MMVV

l

ll

k

Vl

MM

l

MMVV

bc

ab

bc

ab ))(()666(

333)33(3

:je úpravě a dosazení Po

kde

,

)633(ˆˆ

2132

2

2

2

0

0

14

ZDM, příklad řešení rámu s posuvnými styčníky, pokračování, sestavení matice tuhosti rámu

15

ZDM příklad řešení rámu s posuvným styčníkem

16

ZDM příklad řešení rámu s posuvným styčníkem

17

Zjednodušená deformační metoda

Řešení rámů s posuvnými styčníky

18

Rám s posuvnými styčníky

Zjednodušená deformační metoda

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

19

Rám s posuvnými styčníky

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

20

Postup výpočtu1. Stupeň přetvárné neurčitosti np

2. Poměrné tuhosti prutů3. Primární momenty a posouvající síly4. Sekundární momenty a posouvající síly5. Styčníkové rovnice6. Patrové rovnice (určení posunutí )7. Řešení soustavy rovnic8. Koncové momenty9. Posouvající síly10. Normálové síly11. Reakce 12. Vykreslení vnitřních sil

21

1. Stupeň přetvárné neurčitosti np

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

c d

uc = ud =

22

2. Poměrné tuhosti prutů kab

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

Iczvolenoc

Ic

LI

k

cI

cLI

kcI

cLI

k

126

2

462

49

443

43

3

33

2

22

1

11

23

3. Primární momenty a posouvající síly

kNmqlM

kNmqlM

kNml

bFaM

kNml

FabM

kNmM

bd

db

dc

cd

ca

33,321012

1

12

1

33,321012

1

12

1

44,46

4210

89,86

4210

0

223

223

2

2

22

2

2

2

22

2

posunumístěvjenVpotřebnéemenepotřebujV

V

kNV

dc

cd

ca

0

kNl

MMVV bddb

dbdb 102

33.333.32.10

21

30,

24

4. Sekundární momenty a posouvající síly

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

ltg

1

3

13

11

3

11

33

111

1

2

l

l

l

l

l

ll

25


abbab

ab

ab

baba

abbbaba

abaab

ab

ab

abab

abaabab

abbaab

ab

ab

baabab

abbaabab

lk

l

k

lk

l

k

lk

l

k

MV

M

MV

M

MMV

M

220

22

220

22

633

32

a b

a b

a b

26


133

133

22

22

1111

36632

361232

4832

4832

29

29

2249

22

ddbbd

dbddb

cdcddc

dcdccd

cccca

kM

kM

kM

kM

kM

133

3

1111

1

369633

89

89

24.4

92

4.49

22

dbddb

cccca

lk

V

lk

V

3=1

3=1

27

5. Styčníkové rovnice

89,85,445,12

89,80485,45,4

0:0

1

1

dc

dcc

cdcaci MMM

11,136204

33,344,4361248

0:0

1

1

dc

dcd

dbdcdi MMM

28

6. Patrové rovnice

abMbaM

abNabV baN

baV

ba

Akce konců prutu na styčníky

29

6. Patrové rovnice

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

30

6. Patrové rovnice

q =

10

kN

/m

a

b

c

4

1

2 d

3 2

4

I

2 I

I

2

10 kN

10 kN

Vca Vdb

010:0 kNVVF dbcaix

0125,379125,1

10369108

9

8

90

10

1

11

dc

dc

dbdbcaca VVVV

31

7. Řešení soustavy rovnic

89,85,445,12:0 1 dcciM

11,136204:0 1 dcdiM

0125,379125,1:0 1 dcixF

0494,0

3024,0

7902,0

1

d

c

32


21 22 kk 2k 12k cdca MM

2k32 22 kk

3

133

l

lk dbdc MM

1

12lk

3

33l

k

3

1

3

3

1

1 62ll

l

k

lk dbca VVF

c

c

d

d

1

1

..SP

33


21 22 kk 2k 12k cdca MM

2k32 22 kk

3

133

l

lk dbdc MM

12k3

133

ll

k23

21

31 62ll

kk 11 lVVFl dbca

c

c

d

d

1

1

..SP

34

8. Koncové momenty

kNmM

kNmM

kNmM

kNmM

kNmM

bd

db

dc

cd

ca

29,30494,0363024,0633,3

18,50494,0363024,01233,3

18,57902,043024,0844,4

78,33024,047902,0889,8

78,30494,05,47902,05,40

35

9. Posouvající síly

kNl

MMqlV

kNl

MMqlV

kNl

MM

l

aFV

kNl

MM

l

bFV

kNl

MMV

kNl

MMV

bddbbd

bddbdb

dccddc

dccdcd

caacca

caacac

055,92

29,318,5

2

210

2

945,102

29,318,5

2

210

2

567,36

18,578,3

6

210

433,66

18,578,3

6

410

945,04

78,3000

945,04

78,3000

3

3

22

22

1

1

36

10. Normálové sílyNcd

Nca

Vca

Vcd10 c

kNVN

NV

kNVN

VN

cdca

cacd

cacd

cacd

433,6

0

945,1010945,010

010

Ndc

Ndb

VdbVdc

d

kNVN

NV

kNVN

VN

dcdb

dbdc

dbdc

dbdc

567,3

0

945,10

0

kNNN

kNNN

dbbd

caac

567,3

433,6

37

11. Reakce

kNMM

kNVH

kNNR

kNVH

kNNR

bdb

bdb

bdb

aca

aca

29,3

055,9

567,3

945,0

433,6

021010055,9945,00

010567,3433,60

:

x

z

F

F

Zkoušky

38

12. Vykreslení vnitřních sil

Normálové síly Posouvající síly Ohybové momenty

39

Příklad

40

Zadání

q =

10

kN

m-1

a

b

c

3

1

2

d

31,5

6

I

2I

I

1

F1 = 10 kN

1,5

3

F3 = 5 kN

F2 = 10 kN

Řešení rovinných rámů s posuvnými styčníky při silovém zatížení zdm

Documents