téma 4 odm, řešení rovinných rámů
DESCRIPTION
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia. Téma 4 ODM, řešení rovinných rámů. Transformace parametrů deformace a koncových sil z lokálního do globálního souřadnicového systému a zpět Globální matice tuhosti a globální vektor koncových sil prutu - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia
Téma 4ODM, řešení rovinných rámů
• Transformace parametrů deformace a koncových sil z lokálního do globálního souřadnicového systému a zpět
• Globální matice tuhosti a globální vektor koncových sil prutu
• Příklad řešení rovinného rámu• Výpočet koncových sil, reakcí a složek vnitřních sil rámu• Kontrola správnosti řešení rámu• Výpočet deformací rámu
2
Lokální a globální parametry prutu
T
bbbaaaab
T
bbbaaaab
wuwur
wuwur
ab
*******
Parametry deformace:
a) lokální, pro prut a-b souřadnice x*, z*, počátek v bodě a.
b) globální, pro celou konstrukci, souřadnice x, z, počátek v libovolném bodě.
Vektor globálních parametrů deformaceVektor lokálních parametrů deformace
22 )()(
cos
sin
ababab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
zzxxl
l
xxc
l
zzs
3
Transformace složek posunutí
*
***
***
cossinu wcossin
sincosuu sincos
wwuw
wwuu
4
Transformační matice
Maticově lze zapsat abababrTr *
b
bb
bb
a
aas
a
b
b
b
a
a
a
abab
abab
abab
abab
a
a
b
a
a
a
ab
cwsu
swcu
cwsu
swcu
w
u
w
u
w
u
w
u
r
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
*
*
*
*
*
*
*
Transformační matice Tab vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních.
5
Transformační matice, pokračování
abababrTr * *1
abababrTr
1
abT
*
**
**
*
**
**
*
*
*
*
*
*
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
a
bb
bb
a
aa
aa
b
b
b
a
a
a
abab
abab
abab
abab
b
b
b
a
a
a
ab
cwsu
swcu
cwsu
swcu
w
u
w
u
w
u
w
u
r
Z maticového zápisu lze odvodit:
Invertovaná transformační matice vyjadřuje geometrickou závislost lokálních parametrů deformace na globálních. Transformační matice je Tab ortogonální, platí: T
ababTT 1
6
Transformační matice, pokračování
abT
T
abT
ba
ba
ba
ab
ab
ab
abab
abab
abab
abab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
*
*
*
*
*
*
*
Transformační matice případně transponovaná transformační matice se využije pro výpočet lokálních koncových sil z globálních případně pro výpočet globálních koncových sil z lokálních.
** případně ab
T
abababababRTRRTR
7
Koncové síly prutu v globálním souřadném systému Z rovnice vyplývá:*
ab
T
ababRTR
ababababababT
ababT
abab
ababT
ababT
ababT
ababT
abababT
abab
rkRrTkTRTR
rkTRTRTRTRRTR
**
*******)(
*ab
Tabab RTR
ababT
abab TkTk *
V globálním souřadném systému platí pro:
a) primární vektor koncových sil:
b) matici tuhosti prutu:
8
Globální vektor primárních koncových sil
*
**
**
*
**
**
*
*
*
*
*
*
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
ba
baba
baba
ab
abab
abab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
abab
abab
abab
abab
ba
ba
ba
ab
ab
ab
ab
M
cZsX
sZcX
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
abab sc sin cos
9
Lokální matice tuhosti prutu konstantního průřezu [1]
10
Globální matice tuhosti prutu konstantního průřezu oboustranně monoliticky připojeného
l
EIc
l
EIs
l
EI
l
EIc
l
EIs
l
EI
cl
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EAc
l
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EA
sl
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAs
l
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAl
EIc
l
EIs
l
EI
l
EIc
l
EIs
l
EI
cl
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EAc
l
EIc
l
EIs
l
EAcs
l
EI
l
EA
sl
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EAs
l
EIcs
l
EI
l
EAs
l
EIc
l
EA
kab
466266
612)
12(
6)
12()
12(
6)
12(
126)
12()
12(
266466
6)
12()
12(
612)
12(
6)
12()
12(
6)
12(
12
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
abab
T
ababTkTk *
11
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
12
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
13
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
14
Matice tuhosti prutu v GSS dle [1]
15
Příklad 3 – kosoúhlý rám - zadání
x
z
1
2
3
kNF 4mkNg /81
mkNg /42
5 3 45,0
4
6,0
5,1 1
2
GPaE
mI
mA
mI
mA
20
0016,0
12,0
003125,0
15,0
423
223
412
212
16
Příklad 3 – kosoúhlý rám výpočtový model
1
2
kNF 4
mkNg /81
mkNg /42 1
2
4pn
000
321
400
3
kNFg
3
675,0g
M
17
Příklad 3 – kosoúhlý rám analýza prutu 1 (1 - 2)
1
2
mkNg /81
5
5,1 10
0
1
1
z
x
mz
mx
5,1
5
2
2
ml 22,512
3,3437,16
958,022,5
5cos
287,022,5
5,1sin
12
12
12
12
12
12
12
l
xx
l
zz
1
1211
1
1211
663,7cos
299,2sin
kNmgq
kNmgn
18
Příklad 3, analýza prutu 1 (1 – 2), pokračování
Lokální primární vektor koncových sil
Prut oboustranně monolitický:
4,17
20
6
4,17
20
6
12/
2/
2/
12/
2/
2/
2
121
121
121
2
121
121
121
*
21
*
21
*
21
*
12
*
12
*
12
*
12
lq
lq
ln
lq
lq
ln
M
Z
X
M
Z
X
Rml
kNmq
kNmn
22,5
663,7
299,2
12
1
1
1
1
Vstupy:
19
Příklad 3, analýza prutu 1 (1 – 2), pokračování
100000
09578,02874,0000
02874,09578,0000
000100
00009578,02874,0
00002874,09578,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
100000
09578,02874,0000
02874,09578,0000
000100
00009578,02874,0
00002874,09578,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
1212
1212
1212
1212
1212
1212
1212
1212
12
T
Transformační matice
Transponovaná transformační matice TT
12
20
Příklad 3, analýza prutu 1 (1 – 2), pokračování
0
0
0
1
2
3400,17
881,20
0
400,17
881,20
0
4,17
206
206
4,17
206
206
R
silkoncových vektor primární Globální
*
21
*21
*21
*21
*21
*
12
*
12
*
12
*
12
*
12
21
21
21
12
12
12
12
*
121212
cs
sc
cs
sc
M
cZsX
sZcX
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
R
RT T
21
Příklad 3, analýza prutu 1 (1 – 2), pokračování
Lokální matice tuhosti
3
22
2323
22
2323
*
1210
9,478,1309,238,130
8,133,508,133,50
007,574007,574
9,2381,1309,478,130
8,133,508,133,50
007,574007,574
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EA
k
22
Příklad 3, analýza prutu 1 (1 – 2), pokračování
12
*
121212TkTk T
0 0 0 1 2 3
0
0
0
1
2
3
3
1210
8,4718,1395,39,2318,1395,3
18,139,5227,15618,1329,527,156
95,37,1567,52795,37,1567,527
9,2318,1395,39,4718,1395,3
18,1329,527,15618,139,5227,156
95,37,1567,52795,37,1567,527
prutu tuhostimatice Globální
k
23
Příklad 3 – kosoúhlý rámanalýza prutu 2 (2 - 3),
mz
mx
5,1
5
2
2
mz
mx
5,2
8
3
3
ml 523
13,53
6,0cos
8,05
5,15,2sin
23
23
23
23
23
23
23
l
xx
l
zz
1
2322
1
2322
4,2cos
2,3sin
kNmgq
kNmgn
2
3
mkNg /42
3
42
24
Příklad 3, analýza prutu 2 (2 - 3), pokračování
5
6
8
5
6
8
12/
2/
2/
12/
2/
2/
2
232
232
232
2
232
232
322
*
32
*
32
*
32
*
23
*
23
*
23
*
23
lq
lq
ln
lq
lq
ln
M
Z
X
M
Z
X
R
Lokální primární vektor (oboustranně monoliticky):
Vstupy:
5
4,2
2,3
23
1
2
1
2
l
kNmq
kNmn
25
Příklad 3, analýza prutu 2 (2 - 3), pokračování
100000
06,08,0000
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T matice ační transformanáTransponov
100000
06,08,0000
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T matice čníTransforma
2323
2323
2323
2323
23
T
23
2323
2323
2323
2323
23
23
TT
T
26
Příklad 3, analýza prutu 2 (2 - 3), pokračování
1
2
3
0
0
45
10
0
5
10
0
5
68
68
5
68
68
R
silkoncových vektor primární Globální
*
32
*
32
*
32
*
32
*
32
*
23
*
23
*
23
*
23
*
23
23
23
23
23
23
23
23
*
232323
cs
sc
cs
sc
M
cZsX
sZcX
M
cZsX
sZcX
M
Z
X
M
Z
X
R
RT T
27
Příklad 3, analýza prutu 2 (2 - 3), pokračování
Lokální matice tuhosti
3
22
2323
22
2323
*
2310
6,2568,708,1268,70
68,7072,3068,7072,30
0048000480
8,1268,706,2568,70
68,7072,3068,7072,30
0048000480
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
l
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EAl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EI
l
EI
l
EI
l
EIl
EA
l
EA
k
28
Příklad 3, analýza prutu 2 (2 - 3), pokračování
23
*
232323TkTk T
1 2 3 0 0 4 1
2
3
0
0
4
3
2310
6,2561,414,68,1261,414,6
61,43,3089,22861,43,3089,228
14,69,2288,17414,69,2288,174
8,1261,414,66,2561,414,6
61,43,3089,22861,43,3089,228
14,69,2288,17414,69,2288174
prutu tuhostimatice Globální
,
k
29
Příklad 3, rovnice rovnováhy
1
2
kNF 4
mkNg /81
mkNg /42 1
2
4pn
000
321
400
3
kNFg
3
675,0g
M
1
2
kNF 4
mkNg /81
mkNg /42 1
2
4pn
000
321
400
3
kNFg
3
675,0g
M
Rovnice rovnováhy:
Obecně:
FRSrK
ˆ ˆ )4
ˆ ˆ 0ˆˆ )3
F ˆ ˆ ˆ ˆ )2
ˆ ˆ 0ˆ ˆ )1
0 )4
0 )3
0 )2
0 )1
32323232
2321232123232121
2321232123232121
2321232123232121
32
2321
2321
2321
MMMMMMad
MMMMMMMMad
ZZZZFZZZZad
XXXXXXXXad
MMad
MMad
FZZad
XXad
gg
g
30
Příklad 3, zatěžovací vektor
325,4
4,12
88,34
0
F
5
5
10
0
0
40,17
88,20
0
0
R
675,0
0
4
0
0
0
čísel)kódových (dle deformace partametrůhledaných smyslu uzlech ve vpůsobících
systému souřadném globálním vsilkoncových primárníchtorů součet vek je R
čísel)kódových (dle deformaceparametr neznámý hledáme kde tam,
vstupujerovnic lineárních řešení do zatížení,uzlových vektor je
:rovnic lineárníchřešených stranu pravou epředstavuj F vektor Zatěžovací
32
23
23
23
21
21
21
S
M
M
Z
X
M
Z
X
M
FS
g
RSF
1234
31
Příklad 3, tvorba matice tuhosti konstrukce
Matice tuhosti konstrukce se tvoří z částí matic tuhostí prutů konstrukce, v daném případě prutů 1 a 2:
3
33
21
10
6,258,1261,414,6
8,125,7357,81,10
61,457,86,3600,722
14,61,100,7224,702
10
6,258,1261,414,6
8,126,2561,414,6
61,461,43,3089,228
14,614,69,2288,174
10
0000
09,472,1395,3
02,133,527,156
095,37,1567,527
K
KKK
1234
1 2 3 4
1 2 3 41 2 3 4
1234
32
Příklad 3, sestavení matice tuhosti k-ce a řešení soustavy lineárních rovnic
TT
wur
w
u
3355
3222
3
2
2
2
3
1021,11038,11076,9103,1
325,4
400,12
880,34
0
10
6,258,12608,4144,6
8,12491,73573,8098,10
608,4573,8595,360203,72
144,6098,10203,72445,702
1 2 3 4
1
2
3
4
FrK
33
Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 1 (1 -2) v GSS a LSS
55,9
63,17
31,17
94,21
37,22
31,29
100000
09578,02873,0000
02873,09578,0000
000100
00009578,02873,0
00002873,09578,0
55,9
91,11
65,21
94,21
85,29
65,21
85,7
97,8
65,21
54,4
97,8
65,21
40,17
88,20
0
40,17
88,20
0
1035,1
1076,9
103,1
0
0
0
40,17
88,20
0
40,17
88,20
0
21
21
21
12
12
12
*
21
*
21
*
21
*
12
*
12
*
12
*
12
1212
*
12
3
5
512
2
2
2
1
1
1
12
21
21
21
12
12
12
21
21
21
12
12
12
12
12121212
Lokální
Globální
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
RTR
k
w
u
w
u
k
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
rkRR
34
Příklad 3, výpočet koncových sil prutu 2 (2 - 3) v GSS a v LSS
675,0
23,4
72,41
55,9
77,7
72,25
100000
06,08,0000
08,06,0000
000100
00006,08,0
00008,06,0
675,0
91,35
65,21
55,9
91,15
65,21
33,4
91,25
65,21
55,4
91,25
65,21
5
10
0
5
10
0
1021,1
0
0
1035,1
1076,9
103,1
5
10
0
5
10
0
21
21
21
12
12
12
*
32
*
32
*
32
*
23
*
23
*
23
*
23
2323
*
23
3
3
5
5
23
3
3
3
2
2
2
23
32
32
32
21
21
21
32
32
32
23
23
23
23
23232323
Lokální
Globální
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
RTR
k
w
u
w
u
k
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
M
Z
X
R
rkRR
35
ODM, příklad 3, řešení kosoúhlého rámu v Excelu, část 1
36
ODM, příklad 3, řešení kosoúhlého rámu v Excelu, část 2
37
ODM, příklad 3, řešení kosoúhlého rámu v Excelu, část 3
38
ODM, příklad 3, řešení kosoúhlého rámu v Excelu, část 4
39
Příklad 3,podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 1
1 12Z
12Z 12X
12X
12M
12M
1R
1H1M
kNMMMMM
kNZRZR
kNXHXH
94,210
85,290
65,210
121121
121121
121121
40
Příklad 3, podmínky rovnováhy ve styčníku 2
2
23Z21Z
21X23X
21M21X
21Z
21M
23X
23M
23M
23Z
F
055,955,90
091,1591,1140
065,2165,210
2321
2123
2321
MM
ZZF
XX
41
Příklad 3, podmínky rovnováhy a reakce ve styčníku 3
0675,0675,00
91,380
65,210
32
323323
323323
g
gg
MM
kNFZRFZR
kNXHXH 3
32X
32M32Z 32X
32Z
32M
3R
3H
gM
gF
42
Příklad 3,kontrola řešení
1
2
3
kNF 4mkNg /81
mkNg /42
k
1
2kNR 85,291
kNH 65,211 kNmM 94,211
kNH 65,213
kNR 91,383 065,2165,21
0
0
31
HH
Fx
43
Příklad 3,kontrola řešenípokračování
1
2
3
kNF 4mkNg /81
mkNg /42
k
1
2kNR 85,291
kNH 65,211 kNmM 94,211
kNH 65,213
kNR 91,383 091,3885,2975,5422,584
0
0
3122121
RRlglgF
F
k
z
44
Příklad 3 – kosoúhlý rám,podklady pro kontrolu
x
z
1
2
3
kNF 4mkNg /81
mkNg /42
5 3 45,0
4
6,0
5,1 1
2
GPaE
mI
mA
mI
mA
20
0016,0
12,0
003125,0
15,0
423
223
412
212
l12=5,22 m
l23=5,00 m
l3k=0,75 m k
45
Příklad 3, kontrola řešenípokračování
1
2
3
kNF 4mkNg /81
mkNg /42
k
1
2kNR 85,291
kNH 65,211 kNmM 94,211
kNH 65,213
kNR 91,383 06,065,2145,091,38725,175,54
45,3495,522,581,365,2145,885,2994,21
06,045,0725,1
45,395,51,345,8
0
3322
121111
HRlg
FlgHRM
M
k
k
46
Příklad 3 – vnitřní síly - N
31,29*12 X
37,22*12 Z
94,21*12 M
55,9*21 M
63,17*21 Z
31,17*21 X
mkNn /30,21
mkNq /66,71 72,25*23 X
77,7*23 Z
55,9*23 M
68,0*32 M
23,4*32 Z
72,41*32 X
mkNn /2,32
mkNq /4,22
N-29,31
-17,31
-25,72
2,4-41,72
T
T
R
R
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29*
23
*
12
47
Příklad 3 – vnitřní síly - V
V22,37
-17,63
7,77
1,8-4,23
++
31,29*12 X
37,22*12 Z
94,21*12 M
55,9*21 M
63,17*21 Z
31,17*21 X
mkNn /30,21
mkNq /66,71 72,25*23 X
77,7*23 Z
55,9*23 M
68,0*32 M
23,4*32 Z
72,41*32 X
mkNn /2,32
mkNq /4,22
T
T
R
R
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29*
23
*
12
48
Příklad 3 – vnitřní síly - M
M +
--21,94
10,72
-9,55-9,55
3,03
-0,68
31,29*12 X
37,22*12 Z
94,21*12 M
55,9*21 M
63,17*21 Z
31,17*21 X
mkNn /30,21
mkNq /66,71 72,25*23 X
77,7*23 Z
55,9*23 M
68,0*32 M
23,4*32 Z
72,41*32 X
mkNn /2,32
mkNq /4,22
T
T
R
R
675,023,472,4155,977,772,25
55,963,1731,1794,2137,2231,29*
23
*
12
49
Použitá literatura
[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.