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  • Tema 4: Eleccion intertemporal de consumo y el mercado de credito

    Macroeconoma 2014

    Universidad Torcuato di Tella

    Constantino Hevia

    Hasta ahora consideramos un modelo estatico: Robinson Crusoe nace, trabaja, consume y

    muere en el mismo perodo. En esta nota comenzaremos a analizar un modelo dinamico de dos

    perodos. Supondremos que hay muchas familias/consumidores que reciben un ingreso exogeno

    (que no depende de su oferta de trabajo) en cada perodo, y que deben decidir cuanto consumir

    hoy, cuanto ahorrar y cuanto consumir en el futuro. Comenzamos con el caso mas simple de

    ingresos exogenos ya que nos permite analizar el impacto de cambios en la tasa de interes y del

    perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simultaneamente la oferta de

    trabajo. Dejamos el analisis conjunto de la decision intertemporal de consumo y trabajo para la

    proxima nota.

    Preferencias

    Consideremos el problema de un consumidor que vive por dos perodos. El consumidor tiene la

    siguiente funcion de utilidad por consumo c1 y c2 en los perodos 1 y 2 respectivamente

    U(c1, c2) = u (c1) + u (c2) (1)

    donde u (c) es creciente y concava, y el parametro > 0 determina el peso que el consumidor le

    asigna a la utilidad futura relativo a la utilidad de presente. Usualmente suponemos que < 1,

    lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente mas que

    una futura. Al parametro lo llamamos el factor de descuento.

    La Figura 1 muestra las curvas de indiferencia entre consumo en el perodo 2 y consumo en

    el perodo 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan

    utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad estan ordenado de tal manera que U1 < U2 < U3.

    La interpretacion de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de

    consumo suaves a traves del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas de consumo (c1, c2)

    representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad U1. El punto C es la

    canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patron

    de consumo mas estable a traves del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones

    estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad U2 mayor que

    U1.

    1

  • Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro

    Para probar estos resultados analticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada

    con el nivel de utilidad U . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una funcion de

    c1, por lo que

    U = u(c1) + u(c2(c2)).

    Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos

    0 = u(c1) + u(c2(c1))

    dc2dc1

    .

    Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface

    dc2dc1

    = u(c1)

    u(c2(c1))< 0.

    Si derivamos la expresion anterior una vez mas encontramos

    d2c2d(c1)2

    =

    [u(c1)u

    (c2(c1)) u(c1)u(c2(c1))dc2dc1[u(c2(c1))]

    2

    ].

    Dado que dc2dc1 < 0 y u(c) < 0, el termino entre corchetes es negativo, lo que implica que la derivada

    segunda d2c2/dc21 es positiva. Esto es, la curva de indiferencia es convexa.

    Restriccion presupuestaria y dotaciones

    Las familias reciben un ingreso exogeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e

    y2 bienes de consumo en los perodo 1 y 2 respectivamente. Ademas, existe un mercado de credito

    donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores

    negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de interes real rt. Como

    en este modelo no existe el dinero, la tasa de interes bruta 1 + rt nos dice cuantas unidades de

    2

  • bienes recibiremos en el perodo t + 1 si compramos 1 bono en el perodo t. De este modo, si la

    familia demanda bt bonos en el perodo t, recibira (1 + rt)bt bienes de consumo en el perodo t+ 1.

    Con esta informacion construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le

    ponemos el nombre de flujo para diferenciarlas de la restriccion presupuestaria intertemporal que

    construiremos mas abajo. La restriccion presupuestaria flujo en el primer perodo es

    c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0.

    Del mismo modo, la restriccion presupuestaria flujo en t = 2 es

    c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1.

    Como el mundo se acaba al final del perodo 2, vamos a imponer la restriccion de que los consum-

    idores no pueden morir endeudados (quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a

    agregar la restriccion

    b2 0.

    El ahorro en el perodo t, que llamaremos st, consiste en la parte del ingreso total que no se

    consume en el perodo t:

    st = yt + rt1bt1 ingreso total en t

    ctconsumo en t

    El ingreso total es la suma del ingreso exogeno yt mas el ingreso financiero rt1bt1 (el interes sobre

    los activos que el consumidor compro en el perodo anterior). Es importante notar el ahorro st es

    una variable flujo y que los activos bt son una variable stock.

    Usando la restriccion presupuestaria flujo en un perodo t arbitrario,

    ct + bt = yt + (1 + rt1)bt1,

    llegamos a la conclusion de que el ahorro es tambien igual al cambio en el stock de activos del

    consumidor,

    bt = yt + rt1bt1 ct st

    + bt1,

    por lo que

    st = bt bt1.

    Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de

    activos.

    3

  • El problema del consumidor y la restriccion presupuestaria in-

    tertemporal

    Volviendo a la eleccion de consumo intertemporal, el problema de la familia es

    maxc1,c2,b1,b2

    u(c1) + u(c2)

    sujeto a

    c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0

    c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1

    b2 0.

    Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es

    optimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a

    maxc1,c2,b1

    u(c1) + u(c2)

    sujeto a

    c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0

    c2 = y2 + (1 + r1)b1.

    Para simplificar la exposicion aun mas, supongamos que los consumidores nacen sin activos,

    por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando

    este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a

    maxc1,c2,b1

    u(c1) + u(c2)

    sujeto a

    c1 + b1 = y1 (2)

    c2 = y2 + (1 + r1) b1. (3)

    Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola re-

    striccion presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades

    de consumo de la familia de todos los perodos en una sola restriccion. En particular, usando la

    restriccion (2) resolvemos para b1 = y1 c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo

    c2 = y1 + (1 + r1)(y1 c1).

    4

  • Figura 2: Restriccion presupuestaria intertemporal

    Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los terminos para llegar a

    c1 +c2

    1 + r1= y1 +

    y21 + r1

    . (4)

    La ecuacion (4) es la restriccion presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de

    endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de interes r1. De hecho, al reemplazar b1

    lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo.

    La restriccion presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando

    existen mercados de credito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restriccion pre-

    supuestaria. Segundo, bajo esta unica restriccion presupuestaria intertemporal el valor presente del

    consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1

    Tercero, la restriccion presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en

    el perodo 2 en terminos de consumo en el primer perodo es 11+r1 . Y la razon es la siguiente: si

    dejo de consumir 11+r1 unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, manana

    obtengo 11+r1 (1 + r1) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de credito mepermitio transformar 11+r1 unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero

    eso no es otra cosa que la definicion de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de

    inmediato que una suba en la tasa de interes real significa que el consumo futuro se hace mas barato

    relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restriccion presupuestaria intertemporal en

    los ejes (c1, c2). Note que la restriccion presupuestaria tiene pendiente (1 + r1) y pasa a travesdel punto de dotacion inicial (y1, y2).

    El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la

    1Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el termino (1 + r0)b0 del lado derecho de (4).

    5

  • restriccion presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es

    L = u (c1) + u (c2) [c1 +

    c21 + r1

    y1 y2

    1 + r1

    ],

    donde es el multiplicador de Lagrange de la restriccion (4). Las condiciones de primer orden son

    L

    c1= 0 u (c1) = (5)

    L

    c2= 0 u (c2) =

    1 + r1(6)

    L

    = 0 c1 +

    c21 + r1

    = y1 +y2

    1 + r1(7)

    Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos

    u (c1) = (1 + r1)u (c2) . (8)

    La condicion (8) es muy importante en macroeconoma. Se llama la ecuacion de Euler. Distin-

    tas versiones de

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