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Tema 4: Eleccion intertemporal de consumo y el mercado de credito

Macroeconoma 2014

Universidad Torcuato di Tella

Constantino Hevia

Hasta ahora consideramos un modelo estatico: Robinson Crusoe nace, trabaja, consume y

muere en el mismo perodo. En esta nota comenzaremos a analizar un modelo dinamico de dos

perodos. Supondremos que hay muchas familias/consumidores que reciben un ingreso exogeno

(que no depende de su oferta de trabajo) en cada perodo, y que deben decidir cuanto consumir

hoy, cuanto ahorrar y cuanto consumir en el futuro. Comenzamos con el caso mas simple de

ingresos exogenos ya que nos permite analizar el impacto de cambios en la tasa de interes y del

perfil temporal de ingresos del consumidor sin tener que analizar simultaneamente la oferta de

trabajo. Dejamos el analisis conjunto de la decision intertemporal de consumo y trabajo para la

proxima nota.

Preferencias

Consideremos el problema de un consumidor que vive por dos perodos. El consumidor tiene la

siguiente funcion de utilidad por consumo c1 y c2 en los perodos 1 y 2 respectivamente

U(c1, c2) = u (c1) + u (c2) (1)

donde u (c) es creciente y concava, y el parametro > 0 determina el peso que el consumidor le

asigna a la utilidad futura relativo a la utilidad de presente. Usualmente suponemos que < 1,

lo que significa que el consumidor es impaciente y valora una unidad de utilidad presente mas que

una futura. Al parametro lo llamamos el factor de descuento.

La Figura 1 muestra las curvas de indiferencia entre consumo en el perodo 2 y consumo en

el perodo 1. Las curvas de indiferencia tienen pendiente negativa, reflejando que c1 y c2 generan

utilidad, y son convexas. Los niveles de utilidad estan ordenado de tal manera que U1 < U2 < U3.

La interpretacion de una curva de indiferencia convexa es que el consumidor prefiere patrones de

consumo suaves a traves del tiempo. Por ejemplo, considere dos canastas de consumo (c1, c2)

representados por los puntos A y B que generan el mismo nivel de utilidad U1. El punto C es la

canasta de consumo promedio (1/2 de la canasta A y 1/2 de la canasta B) y representa un patron

de consumo mas estable a traves del tiempo que las canastas A y B. La preferencia por los patrones

estables de consumo se ve reflejada en que la canasta C genera un nivel de utilidad U2 mayor que

U1.

1

Figura 1: Preferencias sobre consumo presente y futuro

Para probar estos resultados analticamente, consideremos una curva de indiferencia asociada

con el nivel de utilidad U . Sobre la curva de indiferencia interpretamos a c2 como una funcion de

c1, por lo que

U = u(c1) + u(c2(c2)).

Si derivamos ambos lados de la igualdad con respecto a c1 obtenemos

0 = u(c1) + u(c2(c1))

dc2dc1

.

Por lo tanto, la pendiente de la curva de indiferencia satisface

dc2dc1

= u(c1)

u(c2(c1))< 0.

Si derivamos la expresion anterior una vez mas encontramos

d2c2d(c1)2

=

[u(c1)u

(c2(c1)) u(c1)u(c2(c1))dc2dc1[u(c2(c1))]

2

].

Dado que dc2dc1 < 0 y u(c) < 0, el termino entre corchetes es negativo, lo que implica que la derivada

segunda d2c2/dc21 es positiva. Esto es, la curva de indiferencia es convexa.

Restriccion presupuestaria y dotaciones

Las familias reciben un ingreso exogeno (esto es, que no depende de su esfuerzo laboral) de y1 e

y2 bienes de consumo en los perodo 1 y 2 respectivamente. Ademas, existe un mercado de credito

donde las familias pueden ahorrar o endeudarse en bonos o activos, a los que llamaremos bt (valores

negativos de bt se interpretan como deuda). Los activos pagan una tasa de interes real rt. Como

en este modelo no existe el dinero, la tasa de interes bruta 1 + rt nos dice cuantas unidades de

2

bienes recibiremos en el perodo t + 1 si compramos 1 bono en el perodo t. De este modo, si la

familia demanda bt bonos en el perodo t, recibira (1 + rt)bt bienes de consumo en el perodo t+ 1.

Con esta informacion construimos las restricciones presupuestarias flujo. A estas restricciones le

ponemos el nombre de flujo para diferenciarlas de la restriccion presupuestaria intertemporal que

construiremos mas abajo. La restriccion presupuestaria flujo en el primer perodo es

c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0.

Del mismo modo, la restriccion presupuestaria flujo en t = 2 es

c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1.

Como el mundo se acaba al final del perodo 2, vamos a imponer la restriccion de que los consum-

idores no pueden morir endeudados (quien les va a prestar algo de otro modo?). Esto equivale a

agregar la restriccion

b2 0.

El ahorro en el perodo t, que llamaremos st, consiste en la parte del ingreso total que no se

consume en el perodo t:

st = yt + rt1bt1 ingreso total en t

ctconsumo en t

El ingreso total es la suma del ingreso exogeno yt mas el ingreso financiero rt1bt1 (el interes sobre

los activos que el consumidor compro en el perodo anterior). Es importante notar el ahorro st es

una variable flujo y que los activos bt son una variable stock.

Usando la restriccion presupuestaria flujo en un perodo t arbitrario,

ct + bt = yt + (1 + rt1)bt1,

llegamos a la conclusion de que el ahorro es tambien igual al cambio en el stock de activos del

consumidor,

bt = yt + rt1bt1 ct st

+ bt1,

por lo que

st = bt bt1.

Evidentemente, la parte del ingreso total que no me consumo la uso para aumentar mi stock de

activos.

3

El problema del consumidor y la restriccion presupuestaria in-

tertemporal

Volviendo a la eleccion de consumo intertemporal, el problema de la familia es

maxc1,c2,b1,b2

u(c1) + u(c2)

sujeto a

c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0

c2 + b2 = y2 + (1 + r1)b1

b2 0.

Como en este modelo no hay descendientes, nadie va a querer morir con activos por lo que es

optimo elegir b2 = 0. De este modo, el problema del consumidor se simplifica a

maxc1,c2,b1

u(c1) + u(c2)

sujeto a

c1 + b1 = y1 + (1 + r0)b0

c2 = y2 + (1 + r1)b1.

Para simplificar la exposicion aun mas, supongamos que los consumidores nacen sin activos,

por lo que b0 = 0 (esto no es para nada esencial y todo lo que sigue lo podemos hacer eliminando

este supuesto). Por lo tanto, el problema del consumidor se reduce a

maxc1,c2,b1

u(c1) + u(c2)

sujeto a

c1 + b1 = y1 (2)

c2 = y2 + (1 + r1) b1. (3)

Hay dos formas equivalentes de resolver este problema. La primera es construyendo una sola re-

striccion presupuestaria, a la que llamaremos intertemporal, que resume el conjunto de posibilidades

de consumo de la familia de todos los perodos en una sola restriccion. En particular, usando la

restriccion (2) resolvemos para b1 = y1 c1 y reemplazamos el resultado en (3) obteniendo

c2 = y1 + (1 + r1)(y1 c1).

4

Figura 2: Restriccion presupuestaria intertemporal

Dividimos por 1 + r1 y ordenamos los terminos para llegar a

c1 +c2

1 + r1= y1 +

y21 + r1

. (4)

La ecuacion (4) es la restriccion presupuestaria intertemporal y surge de la posibilidad de

endeudarse o ahorrar la cantidad que se desee a la tasa de interes r1. De hecho, al reemplazar b1

lo que estamos suponiendo es que b1 puede tomar cualquier valor, ya sea positivo o negativo.

La restriccion presupuestaria intertemporal nos dice varias cosas importantes. Primero, cuando

existen mercados de credito podemos pensar que el consumidor enfrenta una sola restriccion pre-

supuestaria. Segundo, bajo esta unica restriccion presupuestaria intertemporal el valor presente del

consumo (el lado izquierdo de (4)) es igual al valor presente del ingreso (el lado derecho de (4)).1

Tercero, la restriccion presupuestaria intertemporal nos dice que el precio relativo del consumo en

el perodo 2 en terminos de consumo en el primer perodo es 11+r1 . Y la razon es la siguiente: si

dejo de consumir 11+r1 unidades de consumo en t = 1 e invierto esa cantidad en el bono, manana

obtengo 11+r1 (1 + r1) = 1 bienes de consumo. En otras palabras, el mercado de credito mepermitio transformar 11+r1 unidades de consumo en t = 1 en una unidad de consumo en t = 2. Pero

eso no es otra cosa que la definicion de precio relativo. A partir de este razonamiento surge de

inmediato que una suba en la tasa de interes real significa que el consumo futuro se hace mas barato

relativo al consumo presente. La Figura 2 muestra la restriccion presupuestaria intertemporal en

los ejes (c1, c2). Note que la restriccion presupuestaria tiene pendiente (1 + r1) y pasa a travesdel punto de dotacion inicial (y1, y2).

El problema del consumidor entonces se reduce al de maximizar la utilidad (1) sujeto a la

1Si los activos iniciales b0 no son cero debemos agregar el termino (1 + r0)b0 del lado derecho de (4).

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restriccion presupuestaria intertemporal (4). El Lagrangiano de este problema es

L = u (c1) + u (c2) [c1 +

c21 + r1

y1 y2

1 + r1

],

donde es el multiplicador de Lagrange de la restriccion (4). Las condiciones de primer orden son

L

c1= 0 u (c1) = (5)

L

c2= 0 u (c2) =

1 + r1(6)

L

= 0 c1 +

c21 + r1

= y1 +y2

1 + r1(7)

Sustituyendo (5) en (6) y reorganizando obtenemos

u (c1) = (1 + r1)u (c2) . (8)

La condicion (8) es muy importante en macroeconoma. Se llama la ecuacion de Euler. Distin-

tas versiones de