1

El problema de optimización dinámica:

Consumo Intertemporal

Restricción presupuestaria intertemporal

Supuesto del modelo:

▪ Los hogares tienen un horizonte infinito, para efectos analíticos se asumen

2 periodos: actual (t1) y futuro (t2)

▪ Se asume que los agentes económicos (hogares) tienen consumo presente

(C1) y futuro (C2) , así como ingreso actual (𝑌1) y futuro (𝑌2)

▪ Se considera que los hogares puede a) consumir el ingreso actual en el

periodo actual y consumir el ingreso futuro en el futuro; b) ahorrar parte del

ingreso actual para el consumo futuro; c) ahorrar todo el ingreso actual para

consumo futuro.

▪ El precio de una unidad de consumo presente es la unidad 𝑃𝑎 : mientras

que el precio presente por unidad de consumo futuro es la cantidad de

bienes presentes sacrificados para una unidad adicional de consumo futuro:

𝑃𝑓 =1

1 + 𝑖…(1a)

3

Elección intertemporal

▪ La restricción presupuestaria que enfrentan los agentes económicos viene

definida por:

▪ Una unidad de consumo presente puede intercambiarse por 1 + 𝑖 unidades

de consumo futuro. En otras palabras, el consumidor puede prestar o pedir

prestado a una tasa de interés de mercado, la cual representa el precio

relativo del consumo presente y futuro 1 + 𝑖 .

Si inflación, lo anterior implica que:

𝑌1 = 𝐶1 + 𝑆 …(1b)

…(1c)𝐶2 = 𝑆 1 + 𝑖 + 𝑌2

Sustituyendo (1c) en (1b) tenemos:

𝑆 =𝐶21 + 𝑖

−𝑌2

1 + 𝑖

𝑌1 = 𝐶1 +𝐶21 + 𝑖

−𝑌2

1 + 𝑖…(1d)

4

Entonces, si los hogares gastan su ingreso presente en consumo actual y su

ingreso futuro en consumo futuro, tenemos:

Acotaciones: el consumidor contabiliza el valor futuro en valor actual, además de

ser un agente racional que maximiza su bienestar durante ambos períodos (tiene

expectativas de futuro).

Elección intertemporal

𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 𝐶1 +

𝐶21 + 𝑖

…(1e)

Surgen dos posibilidades:

Consumo presente máximo, el cual viene dado por:

𝐶1 = 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖Valor presente del

ingreso futuro

…(1f)

5

Elección intertemporal

Consumo futuro máximo, el cual viene dado por:

𝐶2 = 𝑌1 1 + 𝑖 + 𝑌2Valor futuro del

ingreso presente

…(1g)

En virtud de lo anterior, podemos generalizar:

𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 𝐶1 +

𝐶21 + 𝑖

Valor presente del

ingreso futuro

Valor presente del

consumo futuro

…(1h)

6

Elección intertemporal

En el punto 𝐴 representa aquel punto donde

la pendiente de la curva de indiferencia es

igual a la pendiente de la recta

presupuestaria intertemporal − 1 + 𝑖 ; es

decir, la canasta óptima ( 𝐶1∗, 𝐶2

∗ ), de los

hogares.

El punto 𝐴1 constituye el consumo futuro

máximo, mientras que el punto 𝐴2 constituye

el consumo presente máximo que un agente

puede acceder.

La pendiente de la restricción presupuestaria

representa el cociente entre el precio del

consumo presente y el precio del consumo

futuro − 1 + 𝑖 .

El consumo presente tiene un precio mayor

que el consumo futuro ¿por qué?.

Decisión óptima del consumo intertemporal

0C1

C2

𝑌2

𝑌1 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖

𝑌1 1 + 𝑖 + 𝑌2

A

𝐴2

𝐴1

𝑈 𝐶1, 𝐶2∗

𝐶2 = 𝑌1 1 + 𝑖 + 𝑌2 − 𝐶1 1 + 𝑖

Ecuación recta presupuestaria

7

Elección intertemporal

Pensemos en una preferencia por el

consumo futuro. En este escenario los

agentes deciden transferir el ingreso del

periodo 1 al periodo 2 en la forma de ahorro,

esto es:

0C1

C2

𝑌2

𝑌1 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖

𝑌1 1 + 𝑖 + 𝑌2

A

𝐵2

𝐵1

𝐶1 < 𝑌1

𝐶2 = 𝑌1 − 𝐶1 1 + 𝑖 + 𝑌2

El consumidor obtiene una remuneración

equivalente a la tasa de interés, convirtiendo

al agente en prestamista (punto 𝐵1).

Por el contrario la preferencia del agente es

el consumo presente. Entonces los

consumidores deciden transferir el ingreso

del periodo 2 al periodo 1 en la forma de

deuda, esto es:

𝐶1 > 𝑌1

𝐶2 = 𝐶1 − 𝑌1 1 + 𝑖 + 𝑌2

En esta condición el consumidor obtendrá un ingreso adicional pagando una

tasa de interés, convirtiendo al agente en deudor (punto 𝐵2).

𝑆>0

𝑆<0

𝑆=0

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Decisión óptima del consumo intertemporal (deducción algebraica)

El agente representativo tiene preferencias entre consumo presente y consumo

futuro, descrita por una función de utilidad de la forma:

Elección intertemporal

𝑈 = 𝐶1, 𝐶2

Restricción presupuestaria intertemporal:

𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 𝐶1 +

𝐶21 + 𝑖

Problema de optimización:

max𝐶1,𝐶2

𝑈 = 𝐶1, 𝐶2

𝑠. 𝑎. 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 𝐶1 +

𝐶21 + 𝑖

…(2a)

…(2b)

…(2c)

…(2d)

9

Elección intertemporal

Por lo tanto, el lagrangeano queda definido como:

𝐿 𝐶1, 𝐶2, 𝑌1, 𝑌2, 𝑖 = 𝑈 𝐶1, 𝐶2 − 𝜆 𝐶1 +𝐶21 + 𝑖

− 𝑌1 −𝑌2

1 + 𝑖

Condiciones de primer orden (CPO):

𝜕𝐿

𝜕𝐶1= 𝑈𝑀𝑔𝐶1 − 𝜆 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝐶2= 𝑈𝑀𝑔𝐶2 −

1

1 + 𝑖𝜆 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝜆= −𝐶1 −

𝐶21 + 𝑖

+ 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 0

…(2e)

…(2f)

…(2g)

…(2h)

10

Elección intertemporal

Tasa marginal de sustitución intertemporal (TMSI), la cual se obtiene a partir de

(2f) y (2g):𝑈𝑀𝑔𝐶1𝑈𝑀𝑔𝐶2

= 1 + 𝑖 =𝑃𝑎𝑃𝑓

…(2i)

Consumo intertemporal y las expectativas

El agente representativo tiene preferencias entre consumo presente y consumo

futuro, para maximizar, condensadas en una función de utilidad intertemporal

de la siguiente forma:

𝑈 = 𝑢 𝐶1 + 𝜓𝑢 𝐶2

Donde 𝜓 representa un factor de descuento que determina el peso que el

consumidor le asigna a la utilidad futura con relación a la utilidad de presente.

…(3a)

De la igualdad extraemos 𝐶1 𝐶2, 𝑖 o 𝐶2 𝐶1, 𝑖 , las cuales sustituimos en la

restricción presupuestaria para obtener las demandas marshalianas para el

consumo presente y futuro, esto es:

𝐶1∗ 𝑌1, 𝑌2, 𝑖 𝐶2

∗ 𝐶1, 𝑌1, 𝑌2, 𝑖

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Consideremos dos conductas:

Cuando 𝜓 tiende a cero, entonces el consumidor es impaciente, lo que implica

que los agentes valoran una unidad de utilidad presente más que una futura.

En contraste, un valor cercano a uno de 𝜓 el agente es paciente, lo que implica

que el consumidor le reporta mayor utilidad del consumo futuro.

Elección intertemporal

…(3b)

Teniendo en cuneta nuestra restricción presupuestaria intertemporal -la cual

surge de la posibilidad de los agentes se endeuden o ahorren la cantidad que

se desee a la tasa de interés 𝑖-, entonces el problema del consumidor se

reduce a maximizar la utilidad sujeto a la restricción presupuestaria

intertemporal, de la siguiente forma:

max𝐶1,𝐶2

𝑈 = 𝑢 𝐶1 + 𝜓𝑢 𝐶2

𝑠. 𝑎. 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 𝐶1 +

𝐶21 + 𝑖

12

Elección intertemporal

Por lo tanto, el lagrangeano queda definido como:

𝐿 𝐶1, 𝐶2, 𝑌1, 𝑌2, 𝑖 = 𝑢 𝐶1 + 𝜓𝑢 𝐶2 − 𝜆 𝐶1 +𝐶21 + 𝑖

− 𝑌1 −𝑌2

1 + 𝑖…(3c)

Condiciones de primer orden (CPO):

𝜕𝐿

𝜕𝐶1= 𝑢′ 𝐶1 − 𝜆 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝐶2= 𝜓𝑢′ 𝐶2 −

1

1 + 𝑖𝜆 = 0

𝜕𝐿

𝜕𝜆= −𝐶1 −

𝐶21 + 𝑖

+ 𝑌1 +𝑌2

1 + 𝑖= 0

…(3d)

…(3e)

…(3f)

13

Elección intertemporal

Resolviendo para (3e) y (3d) tenemos:

𝑢′ 𝐶1 = 𝜓𝑢′ 𝐶2 1 + 𝑖 …(3g)

Alguna anotaciones sobre (3g):

Esta condición es conocida como la ecuación de Euler, la cual indica que cuando un

agente decide sacrificar consumo presente por consumo futuro, lo que pierde es la

utilidad marginal del consumo presente (lado izquierdo de la ecuación 3g). Su

ganancia es la utilidad marginal del consumo futuro, la cual esta ponderada 1 + 𝑖, ya

que lo que dejó de consumir en el presente generó un ahorro que dio como

ganancia 𝑖 unidades adicionales de consumo futuro.

En contraste, se el agente planea consumo presente, entonces debe descontar la

ganancia futura 1 + 𝑖, donde 𝑖 es el descuento que el individuo hace del consumo

futuro.

Por lo tanto, un agente actuará de manera óptima cuando el costo marginal de bajar

el consumo presente sea igual al beneficio marginal de incrementar el consumo

futuro (elección óptima del consumo).

14

Elección intertemporal

Retomando la idea de que el precio relativo entre 𝐶1 y 𝐶1 es1

1+𝑖, entonces la

ecuación de Euler puede reescribirse como:

𝜓𝑢′ 𝐶2𝑢′ 𝐶1

=1

1 + 𝑖

Esta expresión representa la tasa marginal de sustitución intertemporal la cual

indica que en el óptimo, las tasas marginales de sustitución de 𝐶1 y 𝐶1 deben

igualarse a los precios relativos.

…(3h)

La elección óptima debe satisfacer la restricción presupuestaria intertemporal y

la ecuación de Euler. De esta forma las demandas óptimas (marshalianas) de

consumo presente y futuro son:

𝐶1∗ 𝑌1, 𝑌2, 𝑖 𝐶2

∗ 𝑌1, 𝑌2, 𝑖

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Elección intertemporal

Considere la siguiente información. Un individuo tiene unas preferencias

representadas por la función:

Se sabe que el ingreso durante el primer periodo es de 28,000 dólares y de

34,300 dólares en el segundo. La tasa de interés esta situada en 12%, el

precio del consumo es uno y no hay inflación.

a) Explique gráficamente y conceptualmente la restricción presupuestaria del

consumidor.

b) Obtenga las demandas presente y futura del agente (marshalianas), así

como el ahorro resultante.

𝑈 𝐶1, 𝐶2 = 𝐶1𝐶2

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Considere la siguiente información. Un individuo tiene unas preferencias

representadas por la función:

Se sabe que el ingreso durante el primer periodo es de 28,000 dólares y de

34,300 dólares en el segundo. La tasa de interés esta situada en 12%,

mientras que el precio de los bienes de consumo presente es 3 y una inflación

equivalente a 20%.

a) Explique gráficamente y conceptualmente la restricción presupuestaria del

consumidor.

b) Obtenga las demandas presente y futura del agente (marshalianas), así

como el ahorro resultante.

Elección intertemporal

𝑈 𝐶1, 𝐶2 = 𝐶12/3

𝐶21/3

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