tema 4 - cinemática directa · 4) para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la...
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Titulación: Grado en Ingeniería Electrónica y Automática
Área: Ingeniería de Sistemas y AutomáticaDepartamento de Electrónica Automática e Informática IndustrialEscuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRIDE.U.I.T. Industrial
RobóticaTema 4. Modelo Cinemático Directo
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Resumen
Se pretende obtener la descripción matemática de la localización espacial del robot conociendo las posiciones articulares del mismomismo. Para ello se empleará una metodología cerrada conocida como Método de Denavit-Hartenberg.
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Objetivos
1. Conocer los métodos matemáticos para la obtención del modelo cinemático directo de un robot seria.
2 Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo2. Adquirir destreza en la obtención de dicho modelo.
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Contenido4.1. Justificación
4.2. El problema cinemático directo4 2 1 Método Geométrico4.2.1 Método Geométrico
4.2.2 Matrices de Transformación homogénea
4.3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)
Bibliografía recomendada:
4.3. 1 Ejemplos
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[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo
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En este tema se aplicarán las herramientas matemáticas anteriores al área de la robótica. Tenemos dos objetivos:
4.1. Justificación
Obtener un modelo geométrico de la estructura que permita relacionar los grados de libertad (las variables/coordenadas generalizadas) con las coordenadas cartesianas de todos y cada uno de los puntos que constituyen el robot.
Objetivo 1
Cinemática directa Solución única para la mayor parte de los robots seriales
Posicionar al robot. Esto es dadas las posiciones cartesianas como valores de entrada hallar los valores de las coordenadas generalizadas.
Objetivo 2
Cinemática inversa Puede haber 0, 1, 2…o infinitas soluciones.
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La cinemática del robot estudia el movimiento del mismo con respecto
Definición
4.1. Justificación
a un sistema de referencia.
La cinemática se interesa por la descripción analítica del movimiento espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las relaciones entre la posición y orientación del extremo final del robot y los valores que toman sus coordenadas articulares.
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Contenido4.1. Justificación
4.2. El problema cinemático directo4 2 1 Método Geométrico4.2.1 Método Geométrico
4.2.2 Matrices de Transformación homogénea
4.3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)
Bibliografía recomendada:
4.3. 1 Ejemplos
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[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo
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La cinemática directa consiste en obtener la posición en el espacio de la estructura a partir de los valores de las coordenadas generalizadas (q).
4.2. El Problema Cinemático Directo
Éstas están asociadas a las articulaciones y definen sus “propiedades” de movimiento, por lo que para las articulaciones de revolución la variable generalizada será un ángulo, y para las prismáticas un desplazamiento.
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4.2.1 Método Geométrico
4.2. El Problema Cinemático Directo
Obtenemos la posición y orientación del extremo del robot apoyándonos en las relaciones geométricas:
• No es un método sistemático.• Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad.
( ) ( )cos cosx l q l q q= + +( ) ( )( ) ( )
1 1 2 1 2
1 1 2 1 2
cos cos
sin sin
x l q l q q
y l q l q q
= + +
= + +
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4.2.2 Matrices de Transformación homogénea
• A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario.
4.2. El Problema Cinemático Directo
• Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas entre los distintos eslabones.
• La matriz i-1Ai representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot.
• Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot:0A3 = 0A1
1A2 2A3
T = 0A6 = 0A11A2
2A33A4
4A55A66 1 2 3 4 5 6
• Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadena cinemática del robot. Método de Denavit-Hartenberg (D-H)
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
Contenido
4.1. Justificación
4.2. El problema cinemático directo4 2 1 Método Geométrico4.2.1 Método Geométrico
4.2.2 Matrices de Transformación homogénea
4.3. Método de Denavit – Hartenberg (DH)
Bibliografía recomendada:
4.3. 1 Ejemplos
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[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo
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4.3. Método de Denavit - Hartenberg
• Permite el paso de un eslabón al siguiente mediante 4 transformacionesbásicas, que dependen exclusivamente de las características constructivasdel robotdel robot.
• Las transformaciones básicas que relacionan el sistema de referencia delelemento i con el sistema del elemento son:
1. Rotación θi alrededor del eje zi-1
2. Traslación di a lo largo del eje zi-1
3. Traslación ai a lo largo del eje xi
4. Rotación αi alrededor del eje xi
( ) ( ) ( ) ( )1 , 0,0, ,0,0 ,ii i i i iz d a xθ α− =A T T T T
1
00 0 0 1
i i i i i i i
i i i i i i iii
i i i
c c s s s a c
s c c s c a s
s c d
θ α θ α θ θθ α θ α θ θ
α α−
− − =
A
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.
4.3. Método de Denavit - Hartenberg
2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.
3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento.
4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.
5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.
6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.
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7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.
8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.
4.3. Método de Denavit - Hartenberg
9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.
10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.
11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
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14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.
4.3. Método de Denavit - Hartenberg
14) Obtener las matrices de transformación Ai.
15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot:
T = 0A11A2 ... n-1An
16) La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatrizde traslación) del extremo referidas a la base en función de las n coordenadas articulares.
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Contenido
4.1. Justificación
4.2. El problema cinemático directo4 2 1 Método Geométrico4.2.1 Método Geométrico
4.2.2 Matrices de Transformación homogénea
4.3. Método de Denvit – Hartenberg (DH)
Bibliografía recomendada:
4.3. 1 Ejemplos
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[1] Robótica: Control, Visión, Detección e Inteligencia. Fu, Gonzales y Lee.Mc-Grow Hill.[2] Fundamentos de Robótica. Barrientos, Peñín, Balaguer, Aracil.[3] Robótica: Manipuladores y Robots Móviles. A. Olleros. Ed. Macombo
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DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.
1
2 3
4
0
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3d
DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.
1
2 3
4
2d
4θ
0
1θ
El robot tiene 4 d.o.f. por lo tanto n=4
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DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento
4l
1
2 3
41θ
2d
4θ
0
2
1l
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2 3
3d
DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.
4l
1
2 3
41θ
2d
4θ
0
2z3z
01l
=
3210
i
0z
1z
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3d
DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0
e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.
4l
1
2 3
41θ
2d
4θ
4
2z 3z
01l
=
3210
i0z
1z
0x
0y
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3d
DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi
con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.
4l
1
2 3
4
2d
3d
4θ2z
3z
0
1θ1l
=
321
i
0z
1z
0x
0y
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3d
DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.
4l
x
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
2x3x
3z
3x
01l
=
321
i
0z
1z
0x
0y1x
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3d
DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.
4l
x2y
3y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
2x3x
3z
3x3y
01l
=
321
i
0z
1z
0x
0y1x
1y
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3d
DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.
4l2y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
4z
2x3x
3z
3x
4x
3y
4y
0
2
1l
=
321
i
0z
1z
4z
0x
0y1x
1y
4y
ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
3
3d
DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.
4l
2x2y
3y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
4z
2x3x
3z
3x
4x
3y
4y
01l
0z
1z
0x
0y1x
1y
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3d
DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
4l
2x2y
3y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
4z
2x3x
3z
3x
4x
3y
4y
01l
0z
1z
0x
0y1x
1y
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3d
DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
4l
x2y
3y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
4z
2x3x
3z
3x
4x
3y
4y
01l
0z
1z
0x
0y1x
1y
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DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría con xi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
4l2y
1
2 3
41θ
2d
4θ2z
3z
4z
2x3x
3z
3x
4x
3y
4y
01l
0z
1z
4
0x
0y1x
1y
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DH-14) Obtener las matrices de transformación i-1Ai.
−−
=−0
1 iiiiiii
iiiiiii
ii
dCS
SaCSCCS
CaSSSCC
Aθθαθαθθθαθαθ
=
1000010
00010100
22
1d
A
−
=
1000100
0000
1
11
11
10
l
CqSq
SqCq
A
10000 iii
i dCS αα
=
1000100
00100001
33
2d
A
−
=
1000100
0000
4
44
44
43
l
CqSq
SqCq
A
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DH-15) Obtener la matriz de transformación que relaciona el sistema de la base con el del extremo del robot: T = 0A1
1A2 ... n-1An
−−
=−0
1iii
iiiiiii
iiiiiii
ii
dCS
SaCSCCS
CaSSSCC
Aαα
θθαθαθθθαθαθ
=
1000010
00010100
22
1d
A
−
=
1000100
0000
1
11
11
10
l
CqSq
SqCq
A
1000
iii
=
1000100
00100001
33
2d
A
−
=
1000100
0000
4
44
44
43
l
CqSq
SqCq
A
43
32
21
10 AAAAT =
( )( )
+++−
=
10001 1244
43114141
43114141
ldCqSq
ldSqSqSqCqCqCq
ldCqCqSqSqCqSq
T
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DH-1) Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot.
DH-2) Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n.
DH-3) Localizar el eje de cada articulación Si ésta es rotativa el eje será su propio eje
3
2
2d
3θ
DH-3) Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento
1
0
1θ
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DH-4) Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1.
DH-5) Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0
e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0.
DH-6) Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1.
2d3θ0z
1z 2z
l0x
p p { i}
1θ 0i 1
2
=
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DH-7) Para i de 1 a n-1, situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi.
DH-8) Para i de 1 a n-1, situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi.
DH-9) Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn.
2d3θ0z
1z 2z
1l0x
1x2x
0y
1y 2y
3x3y
1θ 3z
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ASIGNATURA: RobóticaTEMA: Modelo CinemáticoFECHA:Profesor: M. Hernando & C. García
DH-10) Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xiqueden paralelos.
DH-11) Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-
1} para que xi y xi-1 quedasen alineados.
DH-12) Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi, que ahora coincidiría con xi-1, que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}.
2d3θ0z
1z 2z
1l0x1x
2x
q q p { i-1} p q g { i}
DH-13) Obtener αi como el ángulo que habría que girar en torno a xi, que ahora coincidiría conxi-1, para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}.
1θ