UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Microeconomía Superior I:Tema 2 (cont.)

Rafael Salas octubre de 2004

2. Las preferencias del consumidor1. Enfoque ordinal. Axiomas de la elección racional: supuestos

sobre las preferencias (cont.).

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�Convexidad

�Diferenciabilidad

Axiomas que dan forma a la función de utilidad

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad (débil)

�Convexidad

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x ,x' ∈ Rn+ , si ∀ i, xi ≥ x’i

entonces x ≽ x’ ”

y si ∀ i, xi > x’ientonces x ≻ x’

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad (estricta)

�Convexidad

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x ≠≠≠≠ x' ∈ Rn+ , si ∀ i, xi ≥ x’i

entonces x ≻ x’ ”

x1

x2

Estas cestas son preferidasestrictamente a A

Da una claradirección

Increm

ento

delas

prefer

encias

Dada una cesta de consumo en X...

Dada una cesta de consumo en X...

Monotonicidad...Monotonicidad...Monotonicidad...Monotonicidad...

A �

x1

x2

Estas cestas son preferidasestrictamente a A

Preferidasdébilmente a A...

Preferidasdébilmente a A...

Monotonicidad Monotonicidad Monotonicidad Monotonicidad débildébildébildébil............

A �

x1

x2

Estas cestas son preferidasestrictamente a A

Preferidasestrictamente a A...

Preferidasestrictamente a A...

Monotonicidad Monotonicidad Monotonicidad Monotonicidad estrictaestrictaestrictaestricta............

A �

PrácticaPrácticaPrácticaPráctica

�EJERCICIOS:

�(1) Dadas la completitud, la transitividad y la monotonicidad, demostrad que dos curvas de indiferencia no se pueden cortar. Demostrad queson no crecientes.

�(2) La monotonía implica que los conjuntos de indiferencia son curvas en el espacio R2

+

�(3) El orden de preferencias representado porcurvas de indiferencias concéntricas ¿cumple loscuatro axiomas vistos hasta ahora?

�(4)¿Y las curvas de indiferencia de forma de L?

.

Función de utilidad

�De los axiomas (1) a (4) se puede crear un mapa de curvas de indiferencias con las siguientes propiedades:

Por todo punto pasa una curva de indiferenciaLa curva de indiferencia es contínuaLa curva de indiferencia no es crecienteNo se cortan entre siMientras más alejadas del origen, más satisfacción

� La función de utilidad es ahora monótona (no decreciente,bajo monotonía débil y creciente, bajo monotonía estricta)

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�Convexidad (débil)

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x ∈ Rn+ , el conjunto preferido

débilmente a x, PD(x) ={x' ∈∈∈∈ X, si x' ≽≽≽≽ x}

es convexo ”

Convexidad Convexidad Convexidad Convexidad débildébildébildébil... ... ... ...

Dada una cesta de consumo x.

El conjunto débilmentepreferido a x esconvexo:

Dados y, z ∈ PD(x) yt ∈ [0,1], entoncest y + (1-t) z ∈ PD(x)

Admite tramos lineales en las curvas de indiferencia

x1

x2

�

x

� z

� y t y + (1-t) zpreferidasdébilmente a x...

t y + (1-t) zpreferidasdébilmente a x...

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�Convexidad estricta

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ Para todo x ∈ Rn+ , el conjunto preferido

débilmente a x, PD(x) ={x' ∈∈∈∈ X, si x' ≽≽≽≽ x}

es estrictamente convexo ”

Convexidad Convexidad Convexidad Convexidad estrictaestrictaestrictaestricta... ... ... ...

Dada una cesta de consumo x.

El conjunto débilmentepreferido a x esconvexo:

Dados y ≠≠≠≠ z ∈∈∈∈ PD(x) yt ∈∈∈∈ (0,1), entonces

t y + (1-t) z ≻≻≻≻ x

No admite tramos linealesen las curvas de indiferenciax1

x2

�

x

� z

� y t y + (1-t) zpreferidasestrictamente a x...

t y + (1-t) zpreferidasestrictamente a x...

Se Se Se Se excluyenexcluyenexcluyenexcluyen casoscasoscasoscasos comocomocomocomo::::

x1

x2

B

A

� Dados dos puntosindiferentes entre sí.

� Cualquiercombinación lineal entre ellos (excluidosellos)

x1

x2

A

B

� C � Alcanza un mayor nivel de utilidad

ConvexiConvexiConvexiConvexidad dad dad dad estrictaestrictaestrictaestricta…………

La Relación Marginal de Sustitución

• Una medida del grado de sustituibilidad entre bienes nos la da la Relación Marginal de Sustitución

• La Relación Marginal de Sustitución RMS entre x2 y x1 se define como el número de unidades que el consumidor está dispuestoa renunciar de x2 si aumenta el consumo de x1 en una unidad(infinitesimalmente) y permanece indiferente.

2

1

1

2

2,1 UmgxUmgx

dxdxRMS

U

=−=

x1

x2

(-) la pendiente de la C.I. es la RelaciónMarginal de Sustituciónentre x2 y x1

.

(-) la pendiente de la C.I. es la RelaciónMarginal de Sustituciónentre x2 y x1

.

La La La La RelaciónRelaciónRelaciónRelación Marginal de Marginal de Marginal de Marginal de SustituciónSustituciónSustituciónSustitución…………

x1

x2 La Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 es estrictamentedecreciente al aumentarx1 (idea de saciedadrelativa)

.

La Relación Marginal de Sustitución entre x2 y x1 es estrictamentedecreciente al aumentarx1 (idea de saciedadrelativa)

.

Convexidad Convexidad Convexidad Convexidad estrictaestrictaestrictaestricta…………

C. indiferencias y f. de utilidad

�De los axiomas (1) a (5) se puede crear un mapa de curvas de indiferencias con las siguientes propiedades:

Por todo punto pasa una curva de indiferenciaLa curva de indiferencia es contínuaLa curva de indiferencia no es crecienteNo se cortan entre siMientras más alejadas del origen, más satisfacciónSon convexas (estrictas, si covexidad estricta)

� La función de utilidad es ahora monótona y cuasi-cóncava(estrictamente cuasi-cóncava, si convexidad estricta)

La convexidad estricta no evita...

preferencias

crecientes

x1

x2

RMS no definidaaquí

RMS no definidaaquí

�Completitud

�Transitividad

�Continuidad

�Monotonicidad

�Convexidad

�Diferenciabilidad

Axiomas

“ La función de utilidad es diferenciable

en todo punto ”

FuncionesFuncionesFuncionesFunciones de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad concretasconcretasconcretasconcretas

�EJERCICIOS:

�(4) Considera los cinco tipos de preferencias:

�U=αααα

log(x1) + (1- α)α)α)α)

log(x2)�U=ββββ

x1 + x2�U=δδδδ

x12 + x2

2

�U=min(εεεεx1, x2)�U=(1-e-x1)+ x2

donde α,α,α,α, β,β,β,β, δδδδ

y εεεε

son parámetros positivos. Representa sus curvas de indiferencias. ¿Cumplen los axiomas (1) a (6)?

.

FuncionesFuncionesFuncionesFunciones de de de de utilidadutilidadutilidadutilidad concretasconcretasconcretasconcretas

�EJERCICIOS:

�(5) Considera las preferencias:

donde σσσσ ≥≥≥≥ 1, dibuja las curvas de indiferencia de los casos σσσσ=1, σσσσ →→→→0 y σσσσ →∞→∞→∞→∞

.

121

1

2

1

1),(

−

+=

−− σσ

σσ

σσ

xxxxU

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Microeconomía Superior I:Tema 2 (cont.)

Rafael Salas octubre de 2004