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TEORÍA DE LA DEMANDA

Notas docentes elaboradas por: Ianina Rossi y Máximo Rossi

CONTENIDO:

(1) Las preferencias del consumidor. Función de utilidad y curvas de indiferencia. Tasamarginal de sustitución entre bienes.(2) La restricción presupuestaria.(3) Derivación de la curva de demanda.(4) La demanda marshalliana.(5) La demanda ingreso compensada de Hicks. El teorema de Euler.(6) Elasticidad. Elasticidad precio (demanda perfectamente inelástica, inelástica, unitaria,elástica, infinitamente elástica). Elasticidad cruzada (bienes sustitutos, independientes,complementarios). Elasticidad ingreso (bienes normales, superiores o de lujo, necesarios,independientes, inferiores).(7) La demanda del consumidor individual y la demanda de mercado.(8) Estática comparativa: cambios sobre la curva de demanda y cambios de la curva dedemanda.(9) Gasto de los consumidores e ingreso de los productores.(10) Impuestos y subsidios.(11) El teorema de la envolvente.(12) Problema de maximización de la utilidad del consumidor. Las funciones marshallianasde demanda y la función de utilidad indirecta. La identidad de Roy.(13) Problema de minimización del gasto. Las funciones hicksianas de demanda y lafunción de gasto. El lema de Shephard.(14) Problemas de estática comparativa. Considerando funciones hicksianas de demanda.Considerando funciones marshallianas de demanda. La ecuación de Slutsky: relación entrela demanda de Marshall y la de Hicks.(15) Relación entre elasticidades. La ecuación de slutsky en forma de elasticidades.Propiedades de las funciones marshallianas y hicksianas de demanda utilizandoelasticidades.(16) Anexo 1: La tasa marginal de sustitución entre bienes y la función Cobb-Douglas(17) Anexo 2: La demanda ingreso compensada de Slutsky.

LAS PREFERENCIAS DEL CONSUMIDOR

Supuesto fundamental: el consumidor es racional.

Ante dos conjuntos de bienes y servicios M1 y M2:

(1) M1 > M2 El consumidor prefiere M1 a M2

Demanda - Notas docentes elaboradas por Ianina Rossi y Máximo Rossi 1

M2 > M1 El consumidor prefiere M2 a M1

M1 q M2 Al consumidor le son indiferentes M1 y M2

(2) El consumidor tiene que elegir una de esas tres posibilidades y sólo una.

(3) Las preferencias son transitivas: Si M1> M2 y M2 > M3 ® M1> M3

————–Así, el individuo puede ordenar sus preferencias ordinalmente. Dicho ordenamientose puede representar a través de una función de utilidad: U � U�M1,M2, . . . . ,Mn

FUNCIÓN DE UTILIDAD Y CURVAS DE INDIFERENCIA

Si se restringe la función de utilidad a una función de dos variables, U � U�M1,M2 , y dichafunción toma un valor determinado, queda determinada una curva que representa distintascombinaciones de M1 y M2 que reportan el mismo nivel de utilidad.

GRÁFICA 1

El lugar geométrico de las combinaciones de M1 y M2 que representan para el individuo elmismo nivel de utilidad, conforma una curva de indiferencia.

GRÁFICA 2


En el punto A se tiene una determinada combinación de M1 y M2 que representa undeterminado nivel de utilidad.En los puntos del primer cuadrante, se tiene una utilidad mayor porque se consume más deM1 y más de M2. Por en contrario, en el tercer cuadrante, se consume menos de M1 y menosde M2; por lo que se obtiene una utilidad menor. En el segundo y cuarto cuadrante haypuntos que implican una utilidad mayor a la de A y otros puntos una utilidad menor, perotambién hay puntos con los mismos niveles de utilidad que en A y son, por lo tanto, los queconforman la curva de indiferencia.

Propiedad: Las curvas de indiferencia no se cortan.

GRÁFICA 3

A > C Porque en A se consume la misma cantidad de M1 pero más cantidad de M2.B q C Por estar sobre la misma curva de indiferencia.


B q A Por estar sobre la misma curva de indiferencia.

Si �A>C y �B q C ® �A>B ® Contradicción: �B q A por estar sobre la misma curva de indiferencia.

MAPA DE INDIFERENCIA

Un sistema de preferencias se representa a través de la función de utilidad, que es unafamilia de curvas de indiferencia.

GRÁFICA 4

Una curva de indiferencia es siempre parte de un mapa de indiferencia, donde cada curvaotorga un nivel de utilidad diferente.

GRÁFICA 5

El nivel de satisfacción es mayor cuanto más alejada del origen esté la curva deindiferencia.


TASA MARGINAL DE SUSTITUCIÓN ENTRE BIENES (TMSB)

Se diferencia totalmente la función de utilidad: U � U�M1,M2

�U �

�U�M1,M2

�M1�M1 �

�U�M1,M2

�M2�M2

Sobre la misma curva de indiferencia la variación total de la utilidad es cero, ya que a lolargo de la curva de indiferencia el individuo tiene la misma utilidad:

�U �

�U�M1,M2

�M1�M1 �

�U�M1,M2

�M2�M2 � 0 ®

�U�M1,M2

�M1�M1 � "

�U�M1,M2

�M2�M2 ®

®

�U�M1,M2

�M1

�U�M1,M2

�M2

�

"�M2

�M1�

UMa1

UMa2� TMSB

�U�M1,M2

�Mi: UMai Utilidad marginal de Mi i � 1,2

—————

LA TMSB Y LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

La TMSB mide el intercambio entre M1 y M2 para mantenerse en el mismo nivel desatisfacción, o sea, sobre la misma curva de indiferencia.

GRÁFICA 6

Si para mantenerse en el mismo nivel de utilidad y poder consumir más de un bien, setiene que consumir necesariamente menos del otro bien, entonces, las curvas deindiferencia son convexas hacia el origen; pero hay infinitas formas de curvas deindiferencia.


OTRAS FORMAS DE LAS CURVAS DE INDIFERENCIA

GRÁFICA 7

En este caso existe un bien y un mal. Para que se consuma más del mal se debe poderconsumir más del bien, hay una recompensa.

GRÁFICA 8

Para cualquier nivel de M1 se consume el mismo nivel de M2. En este caso, M1 es un bienirrelevante para el consumidor.

GRÁFICA 9

En este caso, el bien que es irrelevante es M2, para una misma cantidad de M1 se consume


cualquier cantidad de M2.GRÁFICA 10

En el tramo (I) M1 es un bien; en el tramo (II) es indiferente; y en el tramo (III) es un mal.———————–La TMSB es la que da la inclinación de la curva de indiferencia representativa delsistema de preferencias del individuo. Por ejemplo: si la pendiente es positiva habráun bien y un mal; si es negativa habrá dos bienes parcialmente sustitutos; si es nulahabrá un bien que es irrelevante.

LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA

RESTRICCIONES LINEALES

Supuestos:

(1) Dos bienes o servicios: M1 y M2

(2) Los precios de estos bienes están dados: p1 y p2, respectivamente(3) El consumidor tiene un ingreso nominal de m

® m u p1M1 � p2M2

GRÁFICA 11


mp2

es la cantidad de M2 que el consumidor puede obtener con su ingreso.mp1

es la cantidad de M1 que el consumidor puede obtener con su ingreso.

La unión de estos dos puntos representa la recta de restricción, donde se consume todo elingreso en la adquisición de M1 y M2. Todos los puntos limitados por la restricción y los dosejes son consumibles dado el ingreso m. En un punto como A, el ingreso nominal serámayor al consumo de M1 y M2. En cambio, en un punto como B, el consumidor gasta el totalde su ingreso en el consumo de M1 y M2.

Pendiente de la restricción presupuestaria:"

mp2mp1

�

"p2p1

es la relación de precios.

Estática comparativa:

(1) Cambios en el ingreso nominal manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 12

El cambio en el ingreso no afecta la relación de precios, por lo que no cambia la pendiente


de la restricción. Pero al aumentar el ingreso la restricción se desplaza hacia arriba,produciéndose un aumento en el ingreso real por el monto representado por el árearayada.

(2) Cambios en p1 manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 13

Dada la pendiente de la restricción: "p2p1

:

a) Si p1 disminuye, la restricción se hace más plana, aumentando el ingreso real.b) Si p1 aumenta, la restricción se hace más empinada, disminuyendo el ingreso real.

Nótese que el punto A no cambia, dado que no cambia m ni p2.

(3) Cambios en p2 manteniendo todo lo demás constante:

GRÁFICA 14


Dada la pendiente de la restricción: "p2p1

:

a) Si p2 disminuye, la restricción se hace más empinada, aumentando el ingreso real.b) Si p2 aumenta, la restricción se hace más plana, disminuyendo el ingreso real.

Nótese que el punto B no cambia, dado que no cambia m ni p1.

RESTRICCIONES NO LINEALES

Este tipo de restricciones están asociadas a mercados donde no existe buena información,ya sea por regulaciones que hacen que la competencia no exista, o por falta detransparencia del mercado. Esto hace que no haya precios únicos para M1 y M2,coexistiendo distintos precios en el mercado.

EJEMPLOGRÁFICA 15

Si se trabaja más de 8 horas, aumenta el ingreso, ya que las horas extra se pagan más.

DERIVACIÓN DE LA CURVA DE DEMANDA

La curva de demanda es la relación entre la cantidad y el precio transados (ceteris paribus)

GRÁFICA 16


E es el punto de equilibrio del consumidor dados m0,p1,p2 y su función de utilidad,hallándose en el punto de tangencia de su restricción presupuestal y la curva deindiferencia más alejada del origen posible que se pueda alcanzar (es decir, donde lapendiente de estas dos curvas sea igual). Se verá cómo se llega al mismo cuando se veael problema de maximización de la utilidad del consumidor.

Observación: Si las curvas de indiferencia son cóncavas hacia el origen, el equilibrio delconsumidor se da en un punto donde se consume un único bien, siempre y cuando larestricción sea lineal. Si la restricción es no lineal, no tiene por qué cumplirse esto.

GRÁFICA 17

Si cambia p1, tal que p10� p1

1, la restricción cambia, y dependiendo del sistema depreferencias, el consumidor encontrará su nuevo punto de equilibrio.


GRÁFICA 18

El nuevo punto de equilibrio se dará sobre la nueva restricción, pero su emplazamientodepende del sistema de preferencias.

(1) Supongamos que el nuevo punto de equilibrio es E’

GRÁFICA 19


A y B son puntos de demanda y al unirlos se obtiene la curva de demanda de M1, dados m0

y p2. Así, la curva de demanda tendría pendiente negativa: a menor precio mayor cantidaddemandada.

(2) ¿Qué hubiese pasado si en vez de en E’, el consumidor se hubiese ubicado en


E”?GRÁFICA 20

En este caso, la curva de demanda tendría pendiente positiva: a mayor precio mayorcantidad demandada.


(3) ¿Y si se hubiese ubicado en E”’?GRÁFICA 21

En este caso, la curva de demanda tendría pendiente nula: no importa cuál sea el precio,siempre se demanda la misma cantidad.

LA DEMANDA MARSHALLIANA

�U�M1,M2

�x1� p15

�U�M1,M2

�x2� p25


m0 � M1p1 � M2p2

® M1M� f�p1,p2,m0 M2

M� f�p1,p2,m0

De esta forma, se obtienen los determinantes de la demanda de un bien.Las funciones de demanda del consumidor muestran las cantidades óptimas de cada unode los bienes en función de los precios y del ingreso del consumidor.

GRÁFICA 22

La demanda es una lista de cantidades que se comprarían a distintos precios del bien, parael precio de los otros bienes y el ingreso nominal dados. Otra cosa distinta es la cantidaddemandada: Al precio p1

1 la cantidad demandada es M11, pero la demanda la constituyen

todos los puntos de la curva.

La demanda que considera el ingreso nominal del individuo se le llama DEMANDAMARSHALLIANA U ORDINARIA.

La demanda Marshalliana toma el ingreso nominal, pero al variar el precio de un bien,cambia el ingreso real. Por lo tanto, hay un efecto precio y un efecto ingreso.

Existen varios emplazamientos posibles para la curva de demanda Marshalliana:

GRÁFICA 23


Cuando la curva de demanda Marshalliana tiene pendiente positiva, ante un aumento en elprecio del bien, aumenta la cantidad demandada. O sea que habría una relación directaentre el precio y la cantidad transados.

Propiedad de la demanda Marshalliana

La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero en precios y en ingreso.

M1M� f�p1,p2,m0 ®

M2M

f�kp1,kp2,km0 �

M1M

f�p1,p2,m0

Gráficamente:GRÁFICA 24

A �

km0

kp2�

m0p2

® Al no variar ninguno de estos puntos, el emplazamiento de la curva no cambia.

B �

km0

kp1�

m0p1

La restricción no cambia porque no cambian A ni B. De esta forma, el punto de equilibrio nocambia. Por lo tanto, la curva de demanda tampoco debería cambiar.


Analíticamente:

max U�M1,M2 s.a. km0 � kp1M1 � kp2M2 ® maxc � U�M1,M2 � 5�km0 " kp1M1 " kp2M2

®�c

�M1�

�U�M1,M2

�x1" 5kp1 � 0 ®

�U�M1,M2

�x1p1

� 5k (1)

®�c

�M2�

�U�M1,M2

�x2" 5kp2 � 0 ®

�U�M1,M2

�x2p2

� 5k (2)

®�c

�5� km0 " kp1M1 " kp2M2 � 0 ® k�m0 " p1M1 " p2M2 � 0

kp0® m0 " p1M1 " p2M2 � 0 (3)

®

�U�M1,M2

�x1p1

�

�U�M1,M2

�x2p2

®

�U�M1,M2

�x1

�U�M1,M2

�x2

�

p1p2

Se llega a la misma condición de equilibrio.® La demanda Marshalliana es homogénea de grado cero.

LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE HICKS

Hicks utiliza un método para mantener el ingreso real constante en vez del nominal.

GRÁFICA 25

Se debe descomponer el efecto sustitución o precio del efecto ingreso.En un primer momento, se consumen M2

E y M1E para la relación de precios implícita en esa

restricción presupuestal. Luego, p1 disminuye, manteniéndose constantes p2 y m. En lanueva restricción presupuestal, varió la pendiente, es decir que cambió la relación deprecios: p1 es relativamente más barato. En esta situación, según Marshall, el consumidorpuede ubicarse sobre la nueva restricción presupuestal consumiendo:


(1) menos de M1 y más de M2

(2) lo mismo de M1 y más de M2

(3) más de M1 y más de M2

(4) más de M1 y lo mismo de M2

(5) más de M1 y menos de M2

GRÁFICA 26

GRÁFICA 27

El cambio total en el consumo de M1 es: M1EU

" M1E , dado el cambio en p1 ceteris paribus.

Hicks coincide con Marshall, pero expresa que al utilizarse el ingreso nominal, secontradice la definición de demanda: cómo varía la cantidad demandada cuando varía elprecio manteniéndose constantes las demás variables. En el análisis de Marshallpermanecen constantes p2 y el ingreso nominal, pero varía el ingreso real al disminuir p1.


Hicks define el ingreso real constante: Cuando un precio disminuye, el individuo sienteque es más rico. Entonces, se debe manejar el ingreso nominal del individuo de modo talde mantenerlo en el mismo nivel de utilidad que antes, o sea, de forma que se mantengaen la misma curva de indiferencia; pero con una relación de precios distinta. Para esto sedebe encontrar una recta paralela a la nueva restricción presupuestal según Marshall ytangente a la curva de indiferencia U0.

GRÁFICA 28

Hicks descompone el cambio total de Marshall en dos componentes: puro efectosustitución y efecto ingreso.

Cambio total

�M1M" M1

E �

Efecto precio

�M1H" M1

E �

Efecto ingreso

�M1M" M1

H

El efecto precio o sustitución constituye la verdadera curva de demanda porque el otroefecto se da por un aumento del ingreso real.Para Marshall, en cambio, la demanda eraafectada por todo el cambio.

Propiedad de la demanda ingreso compensada:

x1H�p1,p2, U es homogénea de grado cero en precios.

El teorema de Euler: si y � f�x1,x2 es homogénea de grado cero®i�1

n

��y�xi

xi � 0


® Aplico Euler: p1�x1

H

�p1� p2

�x1H

�p2� 0

® Divido por x1H : p1

x1H

�x1H

�p1�

p2

x1H

�x1H

�p2� 0

® �x1,p1H

� �x1,p2H

� 0

ELASTICIDAD

La elasticidad mide la relación que existe entre dos variables, una dependiente y otraindependiente. En el caso concreto de la demanda Marshalliana, se tiene la relación entreM1 ó M2 (variables dependientes) y p1 ó p2 (variables independientes), ceteris paribus.

En general: M � f�y1,y2,y3

® � �

d logMd logyi

�

1M

dM1yi

dyi

�

dMM

dyiyi

Variación porcentual de M ante cambios porcentuales de yi.

Elasticidad: La elasticidad mide el cambio porcentual en la cantidad dado por la variaciónporcentual en el precio.

ELASTICIDAD PRECIO (PROPIO): �M1,p1

Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y su cantidaddemandada.M1 � f�p1,p2,m0

® �M1,p1 �d logM1

d logp1�

dM1M1

dp1p1

�

M1'

p1'�

dM1

dp1

p1M1® El valor de la elasticidad depende de la pendiente.

(1) �M1,p1 � 0 ® Perfectamente inelástica: al variar p1 la cantidad demandada no cambia.


GRÁFICA 29

(2) "1 � �M1,p1 � 0 ® Inelástica

GRÁFICA 30

(3) �M1,p1 � "1 ® Unitaria: los cambios porcentuales en las variables deben ser iguales en valor

absoluto y de signo opuesto.

GRÁFICA 31


(4) ". � �M1,p1 � "1 ® Elástica

GRÁFICA 32

(5) �M1,p1 � ". ® Infinitamente elástica: al precio p11 la demanda de M1se hace infinita, pero si el

precio sube la cantidad demandada se hará nula.

GRÁFICA 33

—————–M1

1: cambio porcentual en M1(es un operador semi-logarítmico)

——————


La elasticidad precio y la demanda lineal

GRÁFICA 34

La elasticidad precio de la demanda depende de la existencia de sustitutos y de laparticipación en el presupuesto de gasto del consumidor.

La demanda de elasticidad constante

Son aquellas que cumplen: x1 � Ap/x1p1

ELASTICIDAD CRUZADA: �M1,p2

Se busca encontrar una relación entre el cambio en el precio de un bien y la cantidaddemandada de otro bien.

�M1,p2 �d logM1

d logp2�

dM1M1

dp2p2

�

M1'

p2'�

dM1

dp2

p2M1

(1) �M1,p2 � 0 ® Bienes sustitutos: si aumenta el precio de M2, aumenta la cantidad demandada de

M1.(2) �M1,p2 � 0 ® Bienes independientes: los cambios en el precio de uno, no afectan la cantidad

demandada del otro.

(3) �M1,p2 � 0 ® Bienes complementarios: si aumenta el precio de uno, disminuye la cantidad

demandada del otro (se consumen conjuntamente)


ELASTICIDAD INGRESO: �M1,m

�M1,m �

d logM1

d logm�

dM1M1

dmm

�

M1'

m'�

ut. marginal¥dM1

dm.

1/ ut.media¦

mM1

(1) �M1,m � 0 ® Bienes normales: la demanda aumenta cuando aumenta el ingreso (m)

1.1- �M1,m � 1 ® Bienes superiores: M1 crece más que proporcionalmente al aumento de m.

1.2- �M1,m � 1 ® Bienes necesarios: M1crece menos que proporcionalmente al aumento de m.

(2) �M1,m � 0 ® Bienes independientes: cambios en el ingreso no afectan la cantidad demandada.

(3) �M1,m � 0 ® Bienes inferiores: ante aumentos en el ingreso, cae la cantidad demandada.

(*) El hecho de que un bien sea inferior o no, depende del nivel de ingreso que se estéconsiderando.

Bienes de lujo y necesarios: una relación interesante

Se forman las restricciones presupuestarias para dos niveles de ingreso:

p1x11� p2x2

1� m1

p1x10� p2x2

0� m0

Se restan ambas y se obtiene: p1 x1 � p2 x2 � m

Se multiplica y se divide los precios por: xixi

y se divide ambos miembros por m.

®p1x1

m x1x1

�p2x2

m x2x2

� mm

Se divide ambos miembros por: mm


®

p1x1m

x1x1

mm

�

p2x2m

x2x2

mm

�

mm mm

Se define: ki �pixim como la proporción del bien i en el gasto del individuo.

® k1

x1x1 mm

� k2

x2x2 mm

� 1

La media ponderada de las elasticidades ingreso es uno, donde los ponderadores son laproporción sobre el gasto.Los bienes de lujo, que tienen una elasticidad ingreso mayor que uno, debencontrarrestarse con bienes que tengan una elasticidad ingreso menor que uno, por lo quelas elasticidades ingreso serán en promedio alrededor de uno.

LA DEMANDA DEL CONSUMIDOR INDIVIDUAL Y LA DEMANDA DEMERCADO

M1M� f�p1,p2, . . . . . ,pn, m Demanda Marshalliana

M1H� f�p1,p2, . . . . . ,pn,m'

Demanda de Hicks (m' ingreso real constante)

AGREGACIÓN: DEMANDA DE MERCADO

Sea x1i�p1,p2,m la demanda del bien 1 realizada por el individuo i.

La demanda de mercado será:

x1�p1p2,m1, . . . ,mn �

i�1

n

� x1i�p1,p2,mi

Se puede suponer la demanda agregada como la demanda de un consumidorrepresentativo que tiene un ingreso que es la suma del ingreso de todos los individuos.

® La función de demanda agregada tiene la forma:

x1�p1,p2,M , donde M es la suma del ingreso de todos los consumidores.

Según este supuesto, la demanda agregada de la economía es igual a la demanda de unindividuo que se enfrenta a los precios (p1,p2) y que tiene un ingreso M.


GRÁFICA 35

Interpretación geométrica y la suma de curvas de demanda lineales:

La demanda agregada es la suma horizontal de las curvas de demanda.Dado un precio, se suman las cantidades demandadas por cada individuo.

Supongamos dos curvas de demanda lineales:

D11�p1 � 20 " p1

D12�p1 � 10 " 2p

GRÁFICA 36

ESTÁTICA COMPARATIVA

(1) Movimientos sobre la misma curva: cambio en el gasto real en el bien 1

GRÁFICA 37


PUNTO A: Al precio p1A se demanda una cantidad de M1

A. El rectángulo rayado representa elgasto real de los consumidores en el bien 1.

PUNTO B: Como la curva de demanda es negativamente inclinada, si aumenta el precio dep1

A a p1B, entonces disminuirá la cantidad demandad de M1

A a M1B; y el gasto real de los

consumidores en el bien 1 pasará a estar representado por el rectángulo punteado.

Lo que ocurre con el gasto real de los consumidores en el bien 1 al variar su precio,depende de la elasticidad de la curva de demanda:

�M1,p1 � 0 ® Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0

"1 � �M1,p1 � 0 ® Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0

�M1,p1 � "1 ® d�p1M1 � 0

". � �M1,p1 � "1 ® Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0Si dp1 � 0 ® d�p1M1 � 0

d�p1M1 : Variación del gasto

En síntesis: Gasto: R � p1M1


®dRdx1

�dp1

dx1.x1 � p ® dR

dx1� p 1 " 1

|�M1,p1 |

(2) Cambios de la curva de demanda:GRÁFICA 38

Se producen movimientos sobre la misma curva de demanda de M1 cuando varía el preciode ese bien: p1. De esta forma cambiará la cantidad demandada, pero la demandacontinúa siendo la misma.

2.1- Cambio en el precio de otro bien (p2):

Para determinar qué ocurre con la demanda de un bien cuando varía el precio de otro bien,hay que ver si esos bienes son: sustitutos, independientes o complementarios. Por lo tanto,habrá que observar la elasticidad cruzada.

* Si son independientes (�M1,p2 � 0), los cambios en p2 no afectan la demanda por M1.

GRÁFICA 39


*Si son sustitutos (�M1,p2 � 0), los cambios en p2 sí afectarán la demanda por M1.

GRÁFICA 40

*Si son complementarios (�M1,p2 � 0) los cambios en p2 afectarán la demanda por M1.

GRÁFICA 41


2.2- Cambios en el ingreso (m):

En este caso, hay que observar la elasticidad ingreso y determinar si los bienes son:inferiores, independientes, necesarios, o de lujo.

(a) �M1,m � 0 « El bien 1 es un bien inferior

GRÁFICA 42


(b) �M1,m � 0 « El bien 1 es un bien independiente del ingreso® los cambios en el ingresono afectarán la demanda por dicho bien® no cambiará el emplazamiento de la curva dedemanda.

(c) �M1,m � 0 « El bien 1 es un bien normal

(c.1) 0 � �M1,m t 1 « Es un bien necesario.GRÁFICA 43

(c.2) �M1,m � 1 « Es un bien de lujo.GRÁFICA 44


GASTO DE LOS CONSUMIDORES E INGRESO DE LOS PRODUCTORES

IT � �p1M1 Ingreso total

Esto era el gasto de los consumidores. Ahora lo veremos como el ingreso total de los

productores.

ITM1

��p1M1 M1

� p1 � IMe Ingreso medio

�IT�M1

��p1M1

�M1� IMa Ingreso marginal

GRÁFICA 45

El rectángulo de vértices: (p1E,E,M1

E, 0� ) define tanto el gasto de los consumidores como elingreso de los productores. Y se puede observar que su monto depende de:�M1,p1

IMa ��IT�M1

��p1M1

�M1� p1 �

�p1

�M1M1 � p1 1 � �p1

�M1

M1p1

� p1 1 � 1�M1,p1

�M1,p1 t 0 ® 1�M1,p1

t 0 ® IMa t p1 ® IMa t IMe

(1) Si �M1,p1 � 0 ® IMa � ".

(2) Si "1 � �M1,p1 � 0 ® IMa � 0(3) Si �M1,p1 � "1 ® IMa � 0(4) Si ". � �M1,p1 � "1 ® IMa � 0(5) Si �M1,p1 � ". ® IMa � IMe � p1

IMPUESTOS Y SUBSIDIOS


La demanda es, desde otro punto de vista, la solicitud de bienes que enfrentan losproductores.La demanda es el precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar por unadeterminada cantidad de producto.En un mercado sin distorsiones, la demanda de los consumidores coincide con la demandaque enfrentan los oferentes.

IMPUESTOS

Hay dos tipos de impuestos:

(1) IMPUESTO ESPECÍFICO: se paga una cantidad fija de pesos por unidad de producto.

GRÁFICA 46

La curva de demanda de los consumidores no se traslada. Pero sí cambia la demanda queenfrentan los oferentes: antes coincidía con la demanda de los consumidores y ahora estárepresentada por la recta punteada.

(2) IMPUESTO AD.VALOREM: se paga por un porcentaje del valor (por ejemplo: IVA).

GRÁFICA 47


Al introducir un impuesto de *%, la demanda de los consumidores se mantieneincambiada, pero la demanda que enfrentan los oferentes se traslada, quedandorepresentada por la recta punteada.La recaudación está altamente relacionada, positiva o negativamente, con la elasticidad dela demanda. Si la demanda es relativamente inelástica se generará una recaudación mayora que si la demanda es relativamente elástica. Esto es así porque cuando la demanda eselástica hay muchos bienes sustitutos, y si se grava con impuestos un bien y sus sustitutosno, entonces se recaudará poco porque los consumidores comprarán menos del biengravado y más de sus sustitutos.

SUBSIDIOS

Los subsidios pueden verse como impuestos a tasas negativas.

GRÁFICA 48

En ambos casos, la demanda que enfrentan los oferentes se traslada (ya que antescoincidía con la demanda de los consumidores que se mantiene incambiada), quedandorepresentada por la curva punteada. El área rayada representa la trasferencia de latesorería hacia los oferentes, la cual será mayor a medida que la curva de demanda seamás inelástica.


TEOREMA DE LA ENVOLVENTE

max y � f�M1,M2, . . . . ,Mn,) s.a. g�M1,M2, . . . . ,Mn,) � 0

® maxc � f�M1,M2, . . . . ,Mn,) � 5g�M1,M2, . . . . ,Mn,)

®�c

�Mi�

�f�M1,M2, . . . . ,Mn,) �Mi

� 5�g�M1,M2, . . . . ,Mn,)

�Mi� 0

®�c

�5� g�M1,M2, . . . . ,Mn,) � 0

® Mi � Mi'

�)

® 5 � 5'

�)

Si se sustituye Mi' y 5

' en la función objetivo, se obtiene la solución óptima.

® C�) � f¡M1'

�) ,M2'

�) , . . . . ,Mn'

�) ,)¢

®�C

�)� �

�f�M1,M2, . . . . ,Mn,) �Mi

�Mi'

�)��f�M1,M2, . . . . ,Mn,)

�)

�C

�)Cambio en la función óptima cuando cambia el parámetro

Si se sustituye Mi' y 5

' en la restricción, da cero.

g¡M1'

�) ,M2'

�) , . . . . ,Mn'

�) ,)¢ � 0

��g�M1,M2, . . . . ,Mn,)

�Mi

�Mi'

�)��g�M1,M2, . . . . ,Mn,)

�)� 0

�5�g�M1,M2, . . . . ,Mn,)

�Mi

�Mi'

�)� 5

�g�M1,M2, . . . . ,Mn,) �)

� 0

Sumo: �C

�)�

0¥

�g�)® No cambia el resultado

®�C

�)� � �f

�Mi

�Mi'

�)�

�f�)

��5�g�Mi

�Mi'

�)� 5

�g�)

®�C

�)� �

�c

�Mi�0

�f�Mi

� 5�g�Mi

�Mi'

�)�

�f�)

� 5�g�)


®�C

�)�

�f�)

� 5�g�)

Derivada del lagrangiano con respecto a )

®�C

�)�

�c

�)

Por lo tanto, se puede hallar la variación del valor óptimo cuando cambia el parámetrodirectamente derivando el lagrangiano respecto a dicho parámetro.

MAXIMIZACIÓN DE LA UTILIDAD DEL CONSUMIDOR

El consumidor maximizará su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria.

max U�M1,M2

s. a. p1M1 � p2M2 � m

® maxcp1,p2,m � U�M1,M2 � 5�m " p1M1 " p2M2 tal que 5 u 0

®�c

�M1�

�U�M1,M2

�M1" 5p1 � 0 ® 5 �

�U�M1,M2

�M1p1

(1)

®�c

�M2�

�U�M1,M2

�M2" 5p2 � 0 ® 5 �

�U�M1,M2

�M2p2

(2)

®�c

�5� m " p1M1 " p2M2 � 0

(1)(2)® Condición de equilibrio

�U�M1,M2

�M1

�U�M1,M2

�M2

�p1p2

o

�U�M1,M2

�M2

�U�M1,M2

�M1

�p2p1

®p2p1

�

�U�M1,M2

�M2

�U�M1,M2

�M1

TMSB¥�

"�M2

�M1

De esta forma, el punto de máxima satisfacción se da donde las pendientes de larestricción y de la curva de indiferencia más alejada posible del origen, sean iguales. O seaque el punto de equilibrio del consumidor se da en el punto de tangencia de estas doscurvas.

GRÁFICA 49


—————Otra forma de ver la condición de equilibrio:

(1) (2)® 5 �

�U�M1,M2

�M1p1

�

�U�M1,M2

�M2p2

Condición de equilibrio

La utilidad marginal por peso gastado en el bien 1 tiene que ser igual a la utilidad marginalpor peso gastado en el bien 2. Si esto no fuera así, el individuo gastaría más en la compradel bien que le proporcionara una mayor satisfacción, o sea el que tuviera mayor utilidadmarginal por peso gastado, y adquiriría menos del bien que le produciera menorsatisfacción. Con esto, iría disminuyendo la utilidad marginal del primero y aumentaría la deeste último, hasta que se igualasen.

Interpretación económica de 5:De esta forma, 5 es la utilidad marginal por peso gastado en cada uno de los dos bienes.Por lo tanto, podría verse a 5 como la utilidad marginal del dinero.

De las condiciones de primer orden se originan las siguientes funciones:

1) Las funciones solución: MiM�p1,p2,m ; i � 1,2 , conocidas como funciones marshallianas

de demanda.

2) La función valor óptimo: '�p1,p2,m � U¡M1�p1,p2,m ,M2�p1,p2,m ¢ , vista como lafunción de utilidad indirecta.

Las funciones marshallianas de demanda señalan lo que el consumidor comprará dadoslos precios p1,p2 y el ingreso m. La función de utilidad indirecta indica cuál es el nivel deutilidad alcanzado.


IDENTIDAD DE ROY

Relación entre las funciones marshallianas de demanda y la función de utilidadindirecta

xiM�p1,p2,m � "

�'

�pi

�'

�m

i � 1,2

Aplicando el teorema de la envolvente con respecto a p1,p2 se tiene:

�)

�pi� "5xi � "5xi

M�p1,p2,m � �'

�pii � 1,2

�)

�m� 5 �

�'

�m

A partir de estas dos relaciones se llega a:

xiM�p1,p2,m � "

�'

�pi

�'

�m

i � 1,2

Las derivadas del segundo término están evaluadas en (p1,p2,m)

La identidad de Roy muestra que se pueden deducir las funciones marshallianas dedemanda una vez conocida la función de utilidad indirecta, derivando y aplicando laidentidad de Roy.

PROPIEDAD DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA

'�tp1, tp2, tm � '�p1,p2,m ® ' es homogénea de grado cero.

Demostración:

Como xiM es homogénea de grado cero, se cumple: p1x1 � p2x2 � m / tp1x1 � tp2x2 � tm

®

�U�M1,M2

�M1

�U�M1,M2

�M2

�p1p2

/�U�M1,M2

�M1

�U�M1,M2

�M2

�tp1

tp2® xi

M�p1,p2,m � xi

M�tp1, tp2, tm


® U¡M1�tp1, tp2, tm ,M2�tp1, tp2, tm ¢ � U¡M1�p1,p2,m ,M2�p1,p2,m ¢

PROBLEMA DE MINIMIZACIÓN DEL GASTO

En el problema de minimización del gasto los parámetros son los precios y el nivel deutilidad prefijado.

® min p1x1 � p2x2 s.a. U�x1,x2 � U ® cx1,x2,5 � p1x1 � p2x2 � 5¡U " U�x1,x2 ¢

® �c

�x1� p1 " 5

�U�x1,x2

�x1� 0 ® 5 �

p1

�U�x1,x2

�x1

(1)

® �c

�x2� p2 " 5

�U�x1,x2

�x2� 0 ® 5 �

p2

�U�x1,x2

�x2

(2)

® �c

�5� U " U�M1,M2 � 0 ®(1)(2) ®

�U�x1,x2

�x1

�U�x1,x2

�x2

�

p1p2

Las condiciones de primer orden permiten encontrar las siguientes funciones:

1) xiH�p1,p2, U funciones Hicksianas de demanda

2) La función de valor óptimo: e�p1,p2, U � p1x1H�p1,p2, U � p2x2

H�p1,p2, U es la función

de gasto.La función de gasto da el gasto mínimo que tiene que realizar el consumidor para alcanzarel nivel de utilidad U dados los precios p1 y p2.

LEMA DE SHEPHARD

�e�p1,p2, U �pi

� xiH�p1,p2, U i � 1,2

PROPIEDADES

(i) xiH�p1,p2, U es homogénea de grado cero en precios

(ii) e�p1,p2, U es homogénea de grado uno en precios


PROBLEMAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA

Utilizando las demandas hicksianas:

Primero veámos que la función de gasto del consumidor es cóncava en precios:

GRÁFICA 50

Se considera la siguiente matriz: S �

�x1H

�p1

�x1H

�p2

�x2H

�p1

�x2H

�p2

® Aplicando el lema de Shephard, se tiene: S �

�2e�p1

2�e

�p1�p2

�e�p1�p2

�2e�p2

2

® Como la función de gasto del consumidor es cóncava, la matriz S es semidefinidanegativa. Por consiguiente, los elementos de la diagonal principal son negativos.


�x1H

�p1t 0 y

�x2H

�p2t 0

® pi produce una reducción de la demanda hicksiana del bien i.

Como las funciones de demanda hicksianas son homogéneas de grado cero en precios, sepuede aplicar el teorema de Euler:

® p1

t 0

�x1H

�p1�p2

�x1H

�p2� 0

pi�0®

�x1H

�p2u 0

® p1�x2

H

�p1� p2

t 0

�x2H

�p2� 0

pi�0®

�x2H

�p1u 0

Si hay tres bienes ® para cada bien i alguno de los elementos que no están en la diagonalprincipal serán mayores o iguales a cero.

Utilizando las demandas marshallianas:

Para ver los efectos de estática comparativa utilizando funciones de demandamarshallianas, veremos la ecuación de Slutsky, que relaciona las funciones de demandamarshalliana con las hicksianas.

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY

En el óptimo se tiene: x1M¡p1,p2,e�p1,p2, U ¢ � x1

H�p1,p2, U

Derivamos respecto a p2:

®�x1

M¡p1,p2,e�p1,p2, U ¢�p2

�

�x1M¡p1,p2,e�p1,p2, U ¢

�m�e�p1,p2, U

�p2�

�x1H�p1,p2, U

�p2

Por el lema de Shephard se tiene:

x2H�p1,p2, U � �e�p1,p2, U

�p2

®�x1

M¡p1,p2,e�p1,p2, U ¢�p2

� x2H�p1,p2, U

�x1M¡p1,p2,e�p1,p2, U ¢

�m�

�x1H�p1,p2, U

�p2


Sea e�p1,p2, U � m ; donde U � '�p1,p2,m

En el óptimo: x2H� x2

M

®�x1

M�p1,p2,m �p2

� x2M�p1,p2,m

�x1M�p1,p2,m

�m�

�x1H¡p1,p2,'�p1,p2,m ¢

�p2

Esta es la conocida ecuación de Slutsky. Reordenando:

®�x1

M�p1,p2,m �p2

�

�x1H¡p1,p2,'�p1,p2,m ¢

�p2" x2

M�p1,p2,m �x1

M�p1,p2,m �m

En general: �xiM�. �pj

�

�xiH�. �pj

" xjM�.

�xiM�. �m

El efecto total que un cambio de pj ejerce sobre la demanda marshalliana del bien ipuede descomponerse en dos partes:

(1) �xiH�. �pj

: Efecto sustitución sobre la demanda marshalliana del bien i producido por un cambio en pj

(2) "xjM�.

�xiM�. �m

: Efecto ingreso sobre la demanda marshalliana del bien i debido a un cambio en pj

Del análisis anterior se tenía que:

1) Para: i � 1,2, . . . ,n ®�xi

H�. �pi

t 0

2) Para: i � 1,2, . . . ,n, donde i p j ®�xi

H�. �pj

puede ser tanto positivo como negativo si

n � 2.

Si i p j el efecto total es la suma de un efecto sustitución de signo indeterminado y de unefecto ingreso también de signo indeterminado.

Si i � j el efecto total precio propio es la suma de un efecto sustitución negativo y de unefecto ingreso de signo indeterminado. El signo del efecto ingreso depende de que el bien isea inferior o no. Hay tres posibles resultados:

(a) Si el bien i no es inferior, el efecto ingreso es negativo, lo cual refuerza el efectosustitución negativo, lo que produce un efecto total negativo.


(b) Se llega al mismo resultado si el bien i es inferior, lo que da un efecto ingreso positivo;pero este efecto es pequeño y queda superado por el efecto sustitución negativo, volviendoa producirse un efecto total negativo.(c) El bien i es fuertemente inferior, causando un efecto ingreso positivo grande que pesamás que el efecto sustitución, produciéndose un efecto total positivo.

RELACIÓN DE ELASTICIDADES

LA ECUACIÓN DE SLUTSKY EN FORMA DE ELASTICIDADES:

SLUTSKY:�xi

M

�pj�

�xiH

�pj" �xj

M �xiM

�m

® Multiplico todo por:pjxi

®

/ijM

pjxi

�xiM

�pj�

/ijH

pjxi

�xiH

�pj"

pjxi

xjM �xi

M

�mmm

Las dos primeras expresiones son elasticidades, y puedo convertir la última multiplicando

por mm

®

/ijM

pjxi

�xiM

�pj�

/ijH

pjxi

�xiH

�pj"

kj

pjm xj

M

/im

�xiM

�mmxi® �ij

M� �ij

H" kj�im

Donde kj es la participación del gasto en el bien j sobre el ingreso m.

OTRA FORMA DE VER EL PROBLEMA DE ESTÁTICA COMPARATIVA:

�� " �0

�M1,p1M

�

�"

�M1,p1H �

�� " �0

k1¦�M1,m

�M1

�p1�

�M1

�p1�

�M1

�m�m�p1 p1/M1

Multiplico por®

/M1,p1M

p2,m

�M1

�p1

p1M1�

U�U0

/M1,p1H

�M1

�p1

p1M1

�

�M1

�m�m�p1

p1M1

1¥m

m ®

® �M1,p1M

� �M1,p1H

�

/M1,m

�M1

�mmM1

k1

M1

¦

�m�p1

p1m

—————–

mn � m0 � p1M1 ® m � p1M1 ® m p1

� M1 ®�m�p1

� M1


M1p1m � k1 ®

�m�p1

p1m � k1

——————Se resta porque la compensación que se hace es de signo contrario a la variación del

precio.

® �M1,p1M

� �M1,p1H �k1�M1,m

De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada porla elasticidad ingreso:

® �M1,p1M

� 0 « �M1,m u 0 ® Bien normal o independiente.

® �M1,p1M u 0 « �M1,m � 0 ® Bien inferior.

Pero además �M1,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego �k1�M1,m a�M1,p1H . Si no se compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá �

M1,p1M

� 0

ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA MARSHALLIANA

(1) UTILIZANDO LA HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA MARSHALLIANA:

x1M�p1,p2,m es homogénea de grado cero en precios e ingreso.

Aplicando Euler:�x1

M

�p1p1 �

�x1M

�p2p2 �

�x1M

�mm � 0

Dividiendo todo por �x1M :

�x1M

�p1

p1x1

�

�x1M

�p2

p2x1

�

�x1M

�mmx1

� 0 ® �11M� �12

M� �1m

M� 0

De igual manera, se cumple: �21M� �22

M� �2m

M� 0

(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTARIA: m � p1x1M� p2x2

M

(a) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a m:

�x1M

�mp1 �

�x2M

�mp2 � 1

Multiplico y divido ambos términos por m, además, el primero por x1 y el segundo por x2 :


p1x1m

�x1M

�mmx1

�

p2x2m

�x2M

�mmx2

� 1 ® k1�1m � k2�2m � 1

La suma ponderada de la elasticidad ingreso de todos los bienes es igual a uno. Secumplirá que si �1m es relativamente alta® �2m será relativamente baja.

(b) Diferenciando la restricción presupuestaria con respecto a precios: p1x1M� p2x2

M� m

Diferenciando con respecto a p1 : x1M� p1

�x1M

�p1� p2

�x2M

�p1� 0

Divido todo por m:x1

M

m �1m p1

�x1M

�p1�

1m p2

�x2M

�p1� 0

®1m p1

�x1M

�p1�

1m p2

�x2M

�p1� "

x1M

m

Multiplico todo por p1 : p1m p1

�x1M

�p1�

p2m p1

�x2M

�p1� "

p1x1M

m

Multiplico y divido el primer término por x1 y el segundo por x2 :

p1x1m

p1x1

�x1M

�p1�

p2x2m

p1x2

�x2M

�p1� "

p1x1M

m ® k1�11M� k2�21

M� "k1

ELASTICIDADES: PROPIEDADES DE LA DEMANDA HICKSIANA

(1) UTILIZANDO LA PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD DE LA DEMANDA HICKSIANA:

x1H�p1,p2, U es homogénea de grado cero en precios.

Aplicando Euler:�x1

H

�p1p1 �

�x1H

�p2p2 � 0

Dividiendo todo por �x1H :

�x1H

�p1

p1x1

�

�x1H

�p2

p2x1

� 0 ® �11H� �12

H� 0

De igual manera, se cumple: �21H� �22

H� 0

(2) UTILIZANDO LA RESTRICCIÓN:


U�x1H,x2

H � U

Diferenciando con respecto a p1: �U�x1

�x1H

�p1�

�U�x2

�x2H

�p1� 0

Del lagrangiano se tiene: c � p1x1 � p2x2 � 6¡U " U�x1,x2 ¢

®�c

�x1� p1 " 6

�U�x1

� 0 ® p16

��U�x1

® Sustituyo: p16

�x1H

�p1�

p26

�x2H

�p1� 0

® Multiplico por 6: p1�x1

H

�p1� p2

�x2H

�p1� 0

Divido todo por m: 1m p1

�x1H

�p1�

1m p2

�x2H

�p1� 0

Multiplico todo por p1 : p1m p1

�x1H

�p1�

p2m p1

�x2H

�p1� 0

Multiplico y divido el primer término por x1 y el segundo por x2 :

p1x1m

p1x1

�x1H

�p1�

p2x2m

p1x2

�x2H

�p1� 0 ® k1�11

H� k2�21

H� 0


ANEXO 1

LA TMSB Y LA FUNCIÓN COBB-DOUGLAS

U � U�M1,M2 � AM1)M2

1")

A es un escalarM1,M2 son bienes0 � ) � 1

® �U �

�U�M1,M2

�M1�M1 �

�U�M1,M2

�M2�M2 � 0 Por estar sobre la misma curva de indiferencia

®�U�M1,M2

�M1�M1 � "

�U�M1,M2

�M2�M2 ®

�U�M1,M2

�M1

�U�M1,M2

�M2

�

"�M2

�M1�

UMa1

UMa2� TMSB

® UMa1 ��U�. �x1

� A)x1)"1.x2

1")

® UMa2 ��U�. �x2

� A�1 " ) x1).x2

")

®UMa1

UMa2�

A.)x1)"1.x2

1")

A. �1 " ) x1).x2

")�

AA

. )

1 " ).

x21")�)

x1)")�1 �

)

1 " ). x2

x1® TMSB �

)

1 " ). x2

x1


ANEXO 2

LA DEMANDA INGRESO COMPENSADA DE SLUTSKY(*)

(*) Nota: esta parte no fue dada en clase, por consiguiente es opcional.

Slutsky define el ingreso real constante de modo que con la nueva relación de precios elindividuo pueda consumir lo mismo que antes en términos de bienes.

GRÁFICA 51

Al caer el precio de M1, se le quitará ingreso nominal al consumidor, de modo tal que con lanueva relación de precios continúe consumiendo lo mismo que antes.Para encontrar el nuevo punto de equilibrio S, se debe trazar una recta paralela a la nuevarestricción según Marshall que pase por el punto inicial E, y de esta forma se encuentra lanueva curva de indiferencia.

Efecto total

�M1M " M1

E �

Efecto precio

�M1S " M1

E �

Efecto ingreso

�M1M " M1

S


Tanto para Hicks como para Slutsky, el efecto precio o sustitución es la curva de demanda.La diferencia entre estos autores es la definición de ingreso real constante. En Hicks elindividuo se mantiene en el mismo nivel de utilidad, mientras que en Slutsky el individuoconsume lo mismo que antes en términos de bienes.

Elasticidad: relación entre la de Marshall y la de Slutsky

�M1

�p1�

�M1

�p1�

�M1

�m�m�p1

Multiplico por

p1/M1

®

/M1,p1M

�M1

�p1

p1M1�

/M1,p1S

�M1

�p1

p1M1

�

�M1

�m

M1¥

�m�p1

p1M1

m � m � p1M1 ® m " m � p1M1 ® m p1

� M1 ®�m�p1

� M1

® �M1,p1M

� �M1,p1S "

�M1

�mmM1

M1m M1

p1M1® �

M1,p1M

� �M1,p1S "

/M1,m

�M1

�mmM1

k1

M1m p1

®

�� " �0

�M1,p1M

�

�"

�M1,p1S "

�� " �0

k1�M1,m Lo mismo que ocurría con Hicks

De esta forma, el signo de la elasticidad de la demanda Marshalliana está determinada porla elasticidad ingreso:

® �M1,p1M

� 0 « �M1,m u 0 ® Bien normal o independiente.

® �M1,p1M u 0 « �M1,m � 0 ® Bien inferior.

Pero además �M1,m debe ser suficientemente negativo para compensar luego �k1�M1,m a�M1,p1S . Si no se compensa, aún tratándose de un bien inferior, se cumplirá �

M1,p1M

� 0


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