6.1 Tcnicas de Integracin.Para resolver algunas integrales, que no figuran en las tablas de integrales

inmediatas, primero es necesario prepararlas para poderlas reducir a una de lasintegrales inmediatas, para ello es necesario aplicar alguna tcnica adecuada,que llamaremos, en trminos generales, tcnica de integracin.

En este captulo veremos algunas tnicas utiles para familias amplias defunciones

Entre las tcnicas de integracin ms importantes se encuentran:a) Tcnica de completar cuadrados.b) La integracin por partes.c) La integracin por fracciones parciales.d) Integracin por sustiticiones trigonmetricas.e) Integracin por sustituciones racionalizadoras.f) Integracin de diferenciales binomias.

a) Mtodo de completar el cuadrado.Las integrales del tipo

a I1 dxax2 bx cb I2 Ax Bdxax2 bx cc I3 dx

ax2 bx c

d I4 Ax Bdxax2 bx c

se pueden reducir a integrales inmediatas, aplicando el mtodo de completar elcuadrado en la siguiente forma

a dxax2 bx c 1a dxx2 ba x ca

1a dxx2 ba x b2a 2 ca b2a

2

1a dxx b2a

2 4acb2

4a2

1a dxx b2a

2 4acb2

2a

2

1a duu2 k2 , que son integrales que figuran en la tablaLas integrales del tipo b) se reducen a integrales del tipo I1 , de la manera

siguiente

Por Leonardo Saenz Baez

TCNICAS DE INTEGRACIN

Ax Bdxax2 bx c A2a 2ax b B

Ab2a

ax2 bx cdx

A2a 2ax bdxax2 bx c

B Ab2a dx

ax2 bx c A2a ln|ax

2 bx c| B Ab2a I1

Para las integrales del tipo c), al completar el cuadrado dentro del radical setiene, ( si a 0)

dxax2 bx c

dxax2 ba x ca

1a

dx

x b2a 2 4acb

2

2a

2

1a

duu2 k2

, integrales que figuran en las tablas

Si a 0, entonces b2 4ac 0, para que existan x para las cualesax2 bx c 0. En este caso escribiriamos

dxax2 bx c

dxax2 ba x ca

1a

dxb24a2 ca x2 ba x b

2

4a2

1a

dxb24ac

2a

2 x b2a

2 1

a du

k2 u2, integral que figura en

Las integrales del tipo d), se reducen a integrales del tipo I3 , haciendo:

Ax Bdxax2 bx c

A2a 2ax b B

Ab2a

ax2 bx cdx A2a

2ax bdxax2 bx c

B Ab2a I3

A2 ax2 bx c B Ab2a I3

Ejemplo. Encuentre la integral 3x 25x2 2x 1

dx

Solucin:

3x 25x2 2x 1

dx 310 10x 2 2

35

5x2 2x 1dx 310

10x 25x2 2x 1

dx 135 dx5x2 2x 1

3x 25x2 2x 1

dx 35 5x2 2x 1 135

dx5x2 25 x

15

35 5x2 2x 1 13

5 5 dx

x2 25 x 15

35 5x2 2x 1 13

5 5 dx

x2 25 x 125

15

125

35 5x2 2x 1 13

5 5 dx

x 15 2 25

2

35 5x2 2x 1 13

5 5ln x 15 x

2 25 x 15 c

Observemos que la integral del tipo d) tiene una solucin de la forma

Ax Bdxax2 bx c

Q ax2 bx c dxax2 bx c

F. I

donde Q es un polinomio de grado una unidad menor que el polinomio P quefigura en el numerador del integrando. Para esta integral en particular, como elpolinomio P Ax B, entonces Q es una constante.

Suponiendo un resultado de este tipo, se pueden encontrar los valores deQ y de , derivando ambos miembros de la ecuacin y comparando coeficientesde los polinomios resultantes, de la manera siguiente

Ax Bdxax2 bx c

Q ax2 bx c dxax2 bx c

derivando ambos miembrosAx B

ax2 bx c Q 2ax b

2 ax2 bx c 1

ax2 bx c

y ahora multiplicando todo por ax2 bx c

Ax B Q2 2ax b Qax Qb2

igualando coeficientes

Qa A, lo cual implica que Q AaQb2 B lo cual implica que B

Ab2a

sustituyendo estos valores de Q y en F. I se tiene el resultado de laintegral.

Aplicando este procedimiento a las integrales de la forma

Pnxax2 bx c

dx, donde Pnx es un polinomio de grado n

suponemos que el resultado es de la forma

Pnxax2 bx c

dx Qn1x ax2 bx c dxax2 bx c

F. II

donde Qn1x es un polinomio de grado n 1, con ciertos coeficientesindeterminados, y una constante. Al derivar la expresin F. II e igualarcoeficientes de los polinomios resultantes, es posible calcular los coeficientesindeterminados de Qn1x y , con lo cual, al sustituir en F. II, se tiene elresultado de la integral.

Ejemplo:Resolver la integral

2x2 3x2 4x 3

dx

Solucin:Aplicando el mtodo descrito se tiene

2x2 3x2 4x 3

dx Mx N x2 4x 3 dxx2 4x 3

derivando2x2 3

x2 4x 3 Mx N x 2

x2 4x 3 M x2 4x 3

x2 4x 3

multiplicando por x2 4x 32x2 3 Mx Nx 2 Mx2 4x 3 2x2 3 2Mx2 6M Nx 2N 3M

igualando coeficientes se tiene2M 2

6M N 02N 3M 3

de manera queM 1N 6 18

y la integral quedar:

2x2 3x2 4x 3

dx Mx N x2 4x 3 dxx2 4x 3

2x2 3x2 4x 3

dx x 6 x2 4x 3 18 dxx2 4x 3

donde la integral de la derecha se resuelve completando cuadrados en la formasiguiente

dxx2 4x 3

dxx 22 7 2

ln x 2 x2 4x 3

quedando por lo tanto

2x2 3x2 4x 3

dx x 6 x2 4x 3 18 ln x 2 x2 4x 3 c

b) Integacin por partes.Otra tcnica de integracin importante, que nos permite resolver una gran

variedad de integrales y obtener frmulas de reduccin, es la llamada integracionpor partes, la cual se basa en una expresin muy simple como es la diferencial deun producto de funciones, que dice:

duv udv vdual integrar esta expresin se tiene

uv udv vdula cual se puede escribir

udv uv vdu IPfrmula que se conoce con el nombre de Integracin por partes

Para integrales definidas tendriamos la expresin

a

bduv

a

budv

a

bvdu

uvab

a

budv

a

bvdu

a

budv uva

b a

bvdu

Al resolver una integral fxdx, empleando la frmula de la integracin porpartes, deben de distinguirse o seleccionarse adecuadamente las partes u ydv. No existe un mtodo general para hacer esta eleccin, no obstante, seconocen una gran variedad de integrales donde se sabe que parte debe ser lafuncin u y que parte debe seleccionarse como dv; lo que s es obvio es que ladiferencial de la variable independiente dx debe ser parte, siempre, de dv.

He aqu algunas de estas integrales:a) Para integrales de la forma:

Mx lnxdx, Mxarcsenxdx, Mxarccosxdx, Mxarctanxdx,donde Mx es unpolinomio en x, se puede seleccionar u como la funcin trascendente y aMxdx como la dv.

b) Para integrales de la forma:

Mxeaxdx, Mxsenaxdx, Mxcosaxdx, se puede seleccionar a u comoMx y a la otra parte como dv.

Se han hecho intentos por encontrar un procedimiento general de eleccinde las partes en este mtodo de integracin, uno de ellos, por ejemplo, es el quese public en la revista Mathematical Monthly del mes de marzo de 1983, pags.210-211, donde su autor, el Dr. Herbert E. Kasube, propone una palabra clave oanagrama que nos sirva de gua en la eleccin de las partes u y dv. La palabraclave es LIATE , donde L indica funciones logartmicas, I funcionestrigonomtricas inversas, A algebracas, T trigonomtricas y E exponenciales. Sien el integrando figuran funciones de este tipo, dice, se debe seleccionar comou la primera funcin que figure en LIATE, de izquierda a derecha. As por ejemplo,si la integral contiene el producto de logartmicas y algebracas, entonces, deacuerdo a la regla, debe seleccionarse a u como la logartmica y la funcinalgebraca, junto con dx,como dv.

Ejemplo. Para la integral

x lnxdxde acuerdo con LIATE, la eleccin debe ser

u lnx dv xdx

du dxx v 12 x

2

y por lo tanto, aplicando la frmula de IP

x lnxdx 12 x2 lnx 12 xdx 12 x2 lnx 14 x2 c

No obstante lo interesante de esta propuesta del Dr. Kasube, en otronmero de la la misma revista, la del mes de diciembre de 1983. pag. 722, DavidH. Brown, menciona que la tcnica es til pero no es recomendable en general ypara ello considera la integral

I xexdxx 12

en la cual se tiene una funcin algebraca y una exponencial, y de acuerdo a laregla de LIATE,

u xx 12

dv exdx

de modo que

du 1 x1 x3

dx v ex

con lo cual se tendra, al aplicar IP,

I xex

x 12 1 x

1 x3exdx

xex

x 12 xex

1 x3dx exdx

1 x3

y si continuamos con LIATE, en las integrales del segundo miembro no sefacilitan las cosas, de hecho es mejor proceder con otra eleccin diferente a lorecomendado por LIATE, digamos

u xex dv dx1 x2

du xex exdx v 1x 1con esta eleccin se tiene

I xex

1 x 1

x 1 xex exdx

xex

1 x 1 x1 x e

xdx

I xex

1 x ex c

Veamos algunos otros ejemplos de la aplicacin del mtodo de integracin porpartes.

Ejemplo. 1. Resolver I sen x dxSolucin. Primero hagamos x z de modo que dx

2 x dz y

dx 2 x dz 2zdzcon lo cual podemos escribir

I sen x dx 2 zsenzdzy, ahora, seleccionando

u z du dzdv senzdz v cos z

se tiene

I 2 zcos z cos zdz 2zcos z 2senz cI 2 x cos x 2sen x c

Ejemplo 2. Resolver

I eaxsenbxdxSolucin: Con la seleccin

u eax du aeax dx

dv senbxdx v 1b cosbx

se tiene

I 1b eax cosbx ab e

ax cosbxdx ( 1 )

Sea, ahora

I1 eax cosbxdxpara esta integral seleccionemos

u eax du aeax dx

dv cosbxdx v 1b senbx

con lo cual

I1 1b eax senbx ab e

axsenbxdx 1b eax senbx ab I ( 2 )

sustituyendo ( 2 ) en ( 1 ) se tendr

I 1b eax cosbx ab

1b e

ax senbx ab I

I 1b eax cosbx a

b2eax senbx a

2

b2I

I a2

b2I a

b2eax senbx b

b2eax cosbx

a2 b2b2

I eaxasenbx bcosbx

b2

I eaxasenbx bcosbx

a2 b2

eaxsenbxdx eaxasenbx bcosbx

a2 b2 c

Ejemplo 3. Resolver

lnxdxPara esta integral pongamos

u lnx du dxxdv dx v x

con lo que obtenemos

lnxdx x lnx x dxx lnxdx x lnx x c

La integracin por partes tambin es til para obtener frmulas dereduccin para integrales como la siguiente.

Ejemplo 4. Encuentre una expresin en trminos de una integral con potenciamenor para

In lnnxdx, donde n es un entero positivoSolucin: Empleando la integracin por partes, hagamos la eleccin

u lnnx du n lnn1x dxxdv dx v x

con lo cual

In x lnnx n lnn1xdx x lnnx nIn1o

lnnxdx x lnnx n lnn1xdxAl aplicar esta frmula de reduccin, cada vez, la potencia del lnx se

reduce en una unidad, lo que finalmente conducir a la integralI1 lnxdx x lnx x.

Ejemplo 5. Con la frmula de reduccin anterior, resolvamos la integralI3 ln3xdx

Solucin: Aplicando dos veces la frmula de reduccin tendremos

I3 x ln3x 3 ln2xdx x ln3x 3 x ln2x 2 lnxdx x ln3x 3x ln2x 6x lnx x

ln3xdx x ln3x 3x ln2x 6x lnx 6x c

Ejemplo 6. Obtener una frmula de reduccin para

In sennxdx, donde n es un entero mayor que unoSolucin: Sea

u senn1x du n 1senn2xcosxdxv senxdx v cosx

con esto se tiene

In cosxsenn1x n 1 senn2xcos2xdx cosxsenn1x n 1 senn2x1 sen2xdx cosxsenn1x n 1 senn2xdx n 1 sennxdx

In cosxsenn1x n 1In2 n 1InnIn cosxsenn1x n 1In2

In cosxsenn1x

n n 1

n In2

sennxdx cosxsenn1xn n 1

n senn2xdx

Ejemplo 7. Encuentre una frmula de reduccin para

In dxx2 k2n

, donde n es un entero positivo

Solucin:Primero pongamos la integral en la forma

In dxx2 k2n

1k2

k2 x2 x2

x2 k2ndx

1k2

dxx2 k2n1

1k2

x2dxx2 k2n

In 1k2In1 1k2 x

xdxx2 k2n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . a

Para la integral del lado derecho pongamosu x du dx

dv xdxx2 k2n

v x2 k2nxdx 12n 11

x2 k2n1

con lo cual

x2dxx2 k2n

x2n 1x2 k2n1

12n 1 dx

x2 k2n1

x2dxx2 k2n

x2n 1x2 k2n1

12n 1In1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b

sustituyendo b en a se tiene

In 1k2In1 1k2

x2n 1x2 k2n1

12n 1In1

In 1k2x

2n 1x2 k2n1 1

k21 12n 1

In1

In x2k2n 1x2 k2n1

1k2

2n 32n 2 In1

esto es

dxx2 k2n

x2k2n 1x2 k2n1

1k2

2n 32n 2

dxx2 k2n1

o bien generalizando esto por la regla de sustitucin, se puede emplear unafuncin u de x, en lugar de la variable x, quedando

duu2 k2n

u2k2n 1u2 k2n1

1k2

2n 32n 2

duu2 k2n1

FR

Ejemplo 8. Obtenga una frmula de reduccin para

In dxax2 bx cn

, donde n es un entero positivo mayor que

uno y b2 4ac 0

Solucin.Observando que

4aax2 bx c 2ax b2 4ac b2

se puede escribir

In 4an dx2ax b2 4ac b2

2 n

si ponemosD 4ac b2 y u 2ax b

entonces

du 2adx o dx du2ay podemos escribir

In 4an

2a du

u2 D 2n

y si ahora aplicamos la frmula de reduccin FR vista anteriormente, con k D , se tiene

In 4an

2a2ax b

2Dn 1ax2 bx cn14an1 1D

2n 32n 2

2adxax2 bx cn14an1

In 2ax bDn 1ax2 bx cn1

2aD2n 3n 1

dxax2 bx cn1

, donde D 4ac b2

c) La integracin por fracciones parciales.Este mtodo se aplica a las integrales de funciones racionales, las cuales son

cocientes de polinomios.Si en una funcin racional, el grado del polinomio del numerador es mayor o

igual que el grado del polinomio del denominador, la funcin racional esdenominada impropia F.R. I, y en caso contrario es llamada propia, F.R.P.

Al integrar funciones racionales, si estas no son inmediatas, es necesariodescomponer la funcin racional en fracciones parciales, las cuales se puedenintegrar de forma inmediata o casi inmediata.

Para poder descomponer una funcin racional en fracciones parciales esnecesario hacer lo siguiente:

1) Si la funcin es impropia, entonces, mediante una divisin entre polinomios,se separa en la suma de un polinomio mas una funcin racional propia , esto es

F.R. I Polinomio F.R.P2) Para el caso de una F.R.P, su denominador se debe factorizar en el

producto de formas lineales ax b , y/o cuadrticas irreducibles ax2 bx c, locual tericamente siempre es posible. (Irreducible significa que b2 4ac 0.

3) Ya factorizado el denominador de la F.R.P, se procede a descomponerlaen una suma de fracciones parciales, de acuerdo a las reglas siguientes, quedependen de las formas lineales o cuadrticas presentes en el denominador.

Regla 1. Formas lineales, repetidas k veces.Por cada forma lineal ax bk, repetida k veces, que figure en el

denominador de una F.R.P, le corresponde una suma de k fracciones parcialesde la forma

A1ax b

A2ax b2

Akax bk

donde A1,A2, ,Ak son constantes por determinar.Si k 1, cuando la forma lineal ax b no se repite, entonces, para esta

forma, la suma se reduce a la fraccin parcial A1ax b .

Regla 2. Formas cuadrticas, repetidas k veces.Por cada forma cuadrtica irreducible ax2 bx ck, repetida k veces, que

figure en el denominador de una F.R.P, le corresponde una suma de kfracciones parciales de la forma

A1x B1ax2 bx c

A2x B2ax2 bx c2

A3x B3ax2 bx c3

Akx Bkax2 bx ck

donde las Ai, Bi , i 1, ,k, son constantes por determinar.Si k 1, solamente se tiene la primera fraccin parcial A1x B1

ax2 bx c.

Las constantes por determinar se calculan reduciendo, la igualdad de laF.R.P con sus fracciones parciales correspondientes, a una expresin sindenominadores (forma simplificada) y despues, comparando polinomios, seigualan coeficientes de las variables de igual potencia obtenindose un sistemadonde las incgnitas son, precisamente, las constantes por determinar. Al resolverel sistema se obtienen los valores numricos de las constantes los cuales sesustituyen en las fracciones parciales y se procede a la integracin.

Ejemplo ilustrativo 1. Encuentre la integral

x2 3x 6x 1x 2x 3

dx

En este caso se tiene la integral de una funcin racional propia, donde eldenominador ya se encuentra factorizado en tres formas lineales no repetidas y,entonces, de acuerdo a la Regla 1., tendremos:

x2 3x 6x 1x 2x 3

Ax 1 B

x 2 C

x 3

quitando denominadores tendremos la forma simplificadax2 3x 6 Ax 2x 3 Bx 1x 3 Cx 1x 2 FS

Cuando hay factores lineales no repetidos, como en este caso, lasconstantes se pueden calcular de una manera rapida, asignado, sucesivamente ala variable x, aquellos valores crticos, que anulen los denominadores de lasfracciones parciales, que en este caso son: x 1, x 2 y x 3.

Para x 1, la forma simplificada FS quedar:

8 6A A 43Para x 2, se tiene

4 15B B 415Y para x 3, obtenemos

6 10C C 35

Y por lo tanto la integral quedar

x2 3x 6x 1x 2x 3

dx 43 dx

x 1 415

dxx 2

35

dxx 3

43 ln|x 1| 415 ln|x 2|

35 ln|x 3| c

115 lnx 120x 24

x 39 c

Ejemplo ilustrativo 2. Encuentre la integral

I dxx5 x4 2x3 2x2 x 1En este ejemplo, el denominador de la F.R.P, no se encuentra factorizado de

manera que primero hay que hacerlo, para lo cual podemos emplear la divisinsinttica, y al intentar con x 1, se obtiene

-1 1 1 -2 -2 1 1-1 0 2 0 -1

1 0 -2 0 1 0

de manera quex5 x4 2x3 2x2 x 1 x 1x4 2x2 1

x 1x2 12

x 1x 1x 12

x 13x 12

Aplicando la descomposicin en fracciones parciales para formas linealesrepetidas

1x 13x 12

Ax 1 B

x 12 Cx 13

Dx 1 E

x 12

quitando denominadores obtenemos la forma simplificada1 Ax 12x 12 Bx 1x 12 Cx 12 Dx 13x 1 Ex 13

Podemos emplear en este caso dos valores crticos de x de manera inmediataAl poner x 1, se tiene

1 4C C 14para x 1,se tiene

1 8E E 18

Al sustituir estos valores en la forma simplificada se obtiene

1 Ax 12x 12 Bx 1x 12 14 x 12 Dx 13x 1 18 x 1

3

desarrollando terminos con coeficientes numricos y simplificando se tiene x3 5x2 x 5 8x 1x 1Ax 1x 1 Bx 1 Dx 12

en esta igualdad de polinomios; x 1x 1 son factores del polinomio de laderecha, por lo que, tambin, deben serlo del polinomio del lado izquierdo.Dividiendo, entonces, ambos miembros por dichos factores se tiene la nuevaexpresin simplificada

x 5 8Ax 1x 1 Bx 1 Dx 12

con esto, podemos emplear nuevamente los valores crticos de x.

Si sustituimos x 1, en la expresin anterior se tiene

6 32D D 316y si x 1, se tiene

4 16B B 14

sustituyendo estos valores en la nueva expresin simplificada se tiene

x 5 8 Ax 1x 1 14 x 1 316 x 1

2

simplificando

x 5 8Ax 1x 1 2x 2 32 x2 3x 32

32 x

2 1 8Ax2 1 A 316

Sustituyendo los valores calculados de las constantes en las fraccionesparciales de la F.R.P, e integrar trmino a trmino, se tiene

I 316 dx

x 1 14 x 1

2dx 14 x 13dx 316

dxx 1

18 x 1

2dx

I 316 lnx 1x 1

14x 1

18x 12

18x 1 C

I 316 lnx 1x 1

3x2 3x 28x 12x 1

C

Para ver un mtodo de solucin como el del ejercicio anterior, serecomienda la lectura del artculo: An alternate method for finding the partialfraction descomposition of a rational function, publicado en MathematicalMonthly Vol. 91 N6 de Junio-Julio de 1984.

Ejemplo 3. Resolver la integral

I dx1 x4Primero factoricemos el denominador de la manera siguiente

1 x4 1 x22 2x2 1 x22 2 x2

1 x2 2 x 1 x2 2 x

x2 2 x 1x2 2 x 1obtenindose dos formas cuadrticas irreducibles, no repetidas.

De acuerdo a la Regla 2., las fracciones parciales que corresponden a laF.R.P, sern:

11 x4

Ax Bx2 2 x 1

Cx Dx2 2 x 1

al quitar denominadores se tiene la forma simplificada

1 Ax Bx2 2 x 1 Cx Dx2 2 x 1efectuando los productos en el segundo miembro y ordenando en potencias

decrecientes de la x, se tiene:

1 A Cx3 2 C A B D x2 2 D B A C x B D

igualando coeficientes, de variables de igual potencia, con el polinomio del

primer miembro, considerado como de tercer grado, se tiene el sistema:A C 0 1

2 C A B D 0 2

2 D B A C 0 3B D 1 4

resolvamos el sitemade 2 y 4 se tiene

A C 12

5

y de 3 y 1D B 0 6

ahora sumando 1 y 5 se tiene

2A 12

A 12 2

; C 12 2

sumando 4 y 6 obtenemos

2D 1 D 12 ; B 12

y por lo tanto

I dx1 x4 1

2 2x 12

x2 2 x 1dx

12 2

x 12x2 2 x 1

dx

14 2 2x 2 2

x2 2 x 1dx 1

4 2 2x 2 2

x2 2 x 1dx

14 2 2x 2

x2 2 x 1dx 14

dxx2 2 x 1

14 2 2x 2

x2 2 x 1dx 14

dxx2 2 x 1

14 2

ln x2 2 x 1

x2 2 x 1 14

dxx 1

2

2 1

2

2 dxx 1

2

2 1

2

2

14 2

ln x2 2 x 1

x2 2 x 1 24 arctan 2 x 1 arctan 2 x 1

Para expresar la ltima suma de arcos como un solo arco tangente, sepuede emplear la identidad trigonomtrica

tanA B tanA tanB1 tanA tanBde la cual se obtiene que:

A B arctan tanA tanB1 tanA tanB

haciendo

A arctanm, B arctannse tendr

arctanm arctann arctan m n1 mnempleando esta expresin, la integral que nos ocupa quedara:

dx1 x4 1

4 2ln x

2 2 x 1x2 2 x 1

24 arctan2 2 x

1 2x2 1

dx1 x4 1

4 2ln x

2 2 x 1x2 2 x 1

24 arctan2 x

1 x2 C

d) Integrales por sustituciones trigonomtricas.Por ser muy semejantes las identidades trigonomtricas de funciones

circulares e hiperblicas, se manejarn de manera simultnea las integrales paraambos casos.

Integrales de la forma:A. senmucosnudu A. senhmucoshnudu.B. tanmc secnudu B. tanhm sechnuduC. cotmucscnudu C. cothmucschnudu

Para las integrales del tipo: A. senmucosnudu o A. senhmucoshnudu, seconsideran tres casos, que son los siguientes.

Caso A1 : Cuando n entero impar y positivo. (m puede ser cualquier nmero real)Caso A2 : Cuando m entero impar y positivo. (n puede ser cualquier nmero real)Caso A3 : Cuando m y n, ambos pares y positivos. (o alguno de ellos cero)

El procedimiento o algortmo de cada caso se da a continuacin; dondepara simplificar la notacin, al considerar una determinada integral, quedarsobreentendido que la regla es vlida tanto para circulares como para hiperblicas.

Reglas o procedimientos de resolucin:Caso A1 : En este caso se factoriza a cosudu y las potencias pares restantes

de los cosenos se cambian a senos, empleando las identidadescos2u sen2u 1 o cosh2u senh2u 1

Caso A2 : En este caso se factoriza a senudu y las potencias pares restantesde los senos se cambian a cosenos, empleando las mismas identidades del casoanterior.

Caso A3 : En este caso el grado de la expresin se puede reducir mediantelas sustituciones:

sen2u 12 1 cos2u o senh2u 12 cosh2u 1

cos2u 12 1 cos2u o cosh2u 12 cosh2u 1

senucosu 12 sen2u o senhucoshu 12 senh2u

El ltimo par de identidades son tiles, sobre todo, cuando las potencias sonpares e iguales.

Consideremos algunos ejemplos.Ejemplo 1. Encuentre

sen32xcos42xdx

Solucin: Puesto que la potencia del seno es impar, entonces se factoriza asen2xdx y se tiene

sen32xcos42xdx sen22xcos42xsen2xdx 1 cos22xcos42xsen2xdx cos42xsen2xdx cos62xsen2xdx

sen32xcos42xdx 110 cos52x 114 cos

72xdx C

Ejemplo 2. Determine

I cos3xdxsenxSolucin:La integral es se puede escribir

I sen 12 xcos3xdxy por ser impar la potencia del coseno, se puede factorizar a cosxdx y obtener:

sen 12 xcos3xdx sen 12 xcos2xcosxdx sen 12 x1 sen2xxcosxdx sen 12 xcosxdx sen 32 xcosxdx

cos3xdxsenx 2 senx 25 sen

52 x C

Ejemplo 3. Encuentre

cosh43xdxSolucin: La integral es del Caso A3 y se puede escribir

cosh43xdx 12 cosh6x 12dx

14 cosh26x 2cosh6x 1dx

14 12 cosh12x 1dx

112 senh6x

14 x C1

cosh43xdx 196 senh12x 112 senh6x

38 x C

Para las integrales del tipo: B. tanmc secnudu o B. tanhm sechnudu, tenemosdos casos.

Caso B1 : Cuando n es par y positivo. (m puede ser cualquier nmero real)Caso B2 : Cuando m es impar y positivo. (n puede ser cualquier nmero real)

Procedimiento de resolucinCaso B1 : En este caso se factoriza a sec2udu y se cambian las potencias

pares restantes de las secantes a tangentes, empleando para ello las identidadessec2u 1 tan2u o sech2u 1 tanh2u

Caso B2 : En este caso se factoriza a secu tanudu y se cambian las potenciaspares restantes de las tangentes a secantes, empleando las mismas identidadesdel caso anterior.

Para las integrales del tipo: C. cotmucscnudu o C. cothmucschnudu, setienen dos casos similares a los anteriores

Caso C1 : Cuando n es par y positivo. (m puede ser cualquier nmero real)Caso C2 : Cuando m es impar y positivo. (n puede ser cualquier nmero real)

y las Reglas o procedimientos de resolucin seran.

Caso C1 : En este caso se factoriza a csc2udu y se cambian las potenciaspares restantes de las cosecantes a cotangentes, empleando para ello lasidentidades

csc2u 1 cot2u o csch2u coth2u 1

Caso C2 : En este caso se factoriza a cscucotudu y se cambian las potenciaspares restantes de las cotangentes a cosecantes, empleando las mismasidentidades del caso anterior.

Ejemplos ilustrativos.Ejemplo 1. Encuentre la integral

tan22x sec42xdxSolucin: Se tiene el caso B1, y por lo tanto factorizando sec22xdx

tan22x sec42xdx tan22x sec22xsec22xdx tan22x1 tan22xsec22xdx tan22x sec22xdx tan42x sec22xdx

tan22x sec42xdx 16 tan32x 110 tan

52x C

Ejemplo 2. Encuentre

tan3 x

3 dx

cos x3 tan3 x3 sec

12 x

3 dx

solucin: Tenemos el caso B2, de manera que factorizandotan x3 sec

x3 dx se tiene

tan3 x

3 dx

cos x3 tan2 x3 sec

12 x3 tan

x3 sec

x3 dx

sec2 x3 1 sec 12 x

3 tanx3 sec

x3 dx

3 sec 32 x3 tanx3 sec

x3

13 dx 3 sec

12 x3 tan

x3 sec

x3

13 dx

tan3 x

3 dx

cos x3 65 sec

52 x

3 6sec12 x

3 C

Integrales de la forma:

senaxsenbxdx o senhaxcoshbxdx

cosaxcosbxdx o coshaxcoshbxdx

senaxcosbxdx o senhaxcoshbxdx

Para resolver este tipo de integrales se emplean las identidades

senAsenB 12 cosA B cosA B

cosAcosB 12 cosA B cosA B

senAcosB 12 senA B senA B

y para las hiperblicas

senhAsenhB 12 coshA B coshA B

coshAcoshB 12 coshA B coshA B

senhAcoshB 12 senhA B senhA B

Ejemplo. Encuentre la integral

I cos2axcos2bxdxSolucin:

I cosaxcosbx2dx 12 cosa bx cosa bx

2dx

14 cos2a bx 2cosa bxcosa bx cos2a bxdx 14 cos2a bxdx

12 cosa bxcosa bxdx

14 cos2a bxdx

18 1 cos2a bxdx 14 cos2bx cos2axdx

18 1 cos2a bxdx

x4 1

16a bsen2a bx 116a b

sen2a bx 18b sen2bx 18a sen2ax C

e) Frmula de Wallis.Las integrales del tipo

W 0

2 senmxcosnxdx

en las cuales m y n son enteros 0, aparecen frecuentemente en aplicacionesdel clculo y afortunadamente pueden evaluarse de manera simple con unafrmula fcil de recordar; a la cual se le llama Frmula de Wallis.

La cual establece que, para m y n enteros 1

0

2 senmxcosnxdx

m 1m 32 1 n 1n 32 1m nm n 22 1

. F.W

en la cual 2 , si m y n son ambos pares

1, en caso contrarioSi alguno de los nmeros m n, es la unidad, la integral W se puede

evaluar con la regla de la potencia. Si alguno de estos nmeros es cero, entoncesel resultado ya no es tan simple, pero podemos anexar una regla adicional a la

frmula de Wallis que contemple estos casos.REGLA ADICIONAL: Si el primer factor en cualesquiera de los productos que

se forman al aplicar la frmula F.W, para m,n 0, es menor que la unidad,remplace el producto por la unidad.

Ejemplos.Ejemplo 1. Evaluar

0

2 sen8xcos4xdx

Solucin: De acuerdo a la regla, se tiene, para cuando ambos exponentes sonpares:

0

2 sen8xcos4xdx 7

.5.3.13.112.10.8.6.4.2

2

7211

72048Ejemplo 2. Evaluar

0

2 sen3xcos5xdx

Solucin: Como, en este caso, no son ambas pares, se tiene

0

2 sen3xcos5xdx 24

.28.6.4.2

124

Ejemplo 3. Evaluar la integral

0

2 cos7xsenxdx

Solucin: En este caso, ambos exponentes son impares y el producto asociadocon el exponente del seno, principiara con cero y de acuerdo a la regla adicionalpondremos la unidad, en lugar de cero, para este producto, quedando

0

2 cos7xsenxdx 6

.4.218.6.4.2

18

En este ejemplo se puede aplicar, desde luego, la regla de la potencia y elteorema fundamental para obtener

0

2 cos7xsenxdx 18 cos

8x02 18 0 1

18

pero la regla de Wallis tambin funciona en estos casos.

Ejemplo 4. Evaluar

0

2 cos6xdx

Solucin: En este caso, el exponente del seno es cero, de tal manera queambos exponentes son pares y el producto asociado con el exponente del senoprincipiara con 1 y, entonces, de acuerdo a la regla adicional, al remplazarlo conla unidad, tendremos

0

2 cos6xdx 15

.3.16.4.2

2

532

Algunas integrales, aparentemente no tienen la forma de las del tipo Wallis,pero se pueden reducir a este tipo con un simple cambio de variable, como semuestra en los ejemplos siguientes

Ejemplo 5. Calcular la integral

0

ax5a2 x26dx

Solucin: Haciendo el cambio de variablex asen

se tienea2 x2 a21 sen2 a2 cos2

dx acosdy

cuando x 0, 0cuando x a, 2

de manera que

0

ax5a2 x26dx

0

2 a5sen5 .a12 cos12acosd

a18 0

2 sen5cos13d

a18 4.212.10.8.6.4.2

18.16.14.12.10.8.6.4.2 8a18

18.16.14 a

18

18.2.14 a18504

Ejemplo 6. Encuentre el valor de la integral

I 0

4 sen24ycos22ydy

Solucin: Haciendo2y

cuando y 0, 0 y cuando y 4 , 2

con lo que tendremos

0

4 sen24ycos22ydy

0

2 sen22cos2 12 d

12 022sencos2 cos2d

2 0

2 sen2cos4d

y aplicando regla de Wallis a esta ltima integral, se tiene

0

4 sen24ycos22ydy 213

.16.4.2

2

16

Deduccin de la frmula de Wallis.Primero consideremos la integral

Tn 0

2 cosnxdx

para obtener una frmula de reduccin apliquemos la integracin por partescon

u cosn1x y dv cosxdxentonces

du n 1cosn2xsenxdx y v senxde manera que

Tn cosn1xsenx02 n 1

0

2 cosn2xsen2xdx

Tn 0 n 1 0

2 cosn2x1 cos2xxdx

Tn n 1 0

2 cosn2xdx n 1Tn

nTn n 1 0

2 cosn2xdx

Tn 0

2 cosnxdx n 1n 0

2 cosn2xdx

al aplicar sucesivamente esta frmula de reduccin obtenida, se tiene

Tn 0

2 cosnxdx n 1n

n 3n 2 0

2 cosn4xdx

Tn n 1nn 3n 2

n 5n 4 0

2 cosn6xdx

etc., etc.,de modo que,cuando quede la ltima integral, se tiene

Tn n 1nn 3n 2

34

12 0

2 cos0xdx n 1n 33

.1nn 24.2

2 , para cuando n es par

Tn n 1nn 3n 2

45

23 0

2 cosxdx n 1n 34

.2n n 2 5.3

, para cuando n es impar

Resultados que se pueden expresar con la sola expresin

Tn n 1n 32 1

n n 22 1

donde 2 si n es par y 1, si n es impar.Un resultado idntico se obtiene para

0

2 sennxdx

ya que las integrales son igualesEn efecto, haciendo x 2 y, se obtiene

0

2 sennxdx

2

0senn 2 y dy

0

2 cosnydy

0

2 cosnxdx

Ahora s, consideremos la integral

Wm,n 0

2 senmxcosnxdx

Aplicando la integracin por partes, conu senm1x y dv cosnxsenxdx

se obtiene

du m 1senm2xcosxdx y v 1n 1 cosn1x

y por lo tanto

Wm,n 1n 1 senm1xcosn1x0

2 m 1n 1 0

2 senm2xcosn2xdx

0 m 1n 1 02 senm2xcosnx1 sen2xdx

m 1n 1 02 senm2xcosnxdx m 1n 1 0

2 senmxcosnxdx

Wm,n m 1n 1 02 senm2xcosnxdx m 1n 1 Wm,n

despejando a Wm,n, de esta ltima expresin, se tiene

Wm,n m 1m n 02 senm2xcosnxdx FR

esta frmula nos permite reducir el exponente del seno en dos unidades cadavez que se aplique, hasta que el exponente se reduzca a uno cero.

Si m es impar la frmula de reduccin anterior quedara

Wm,n m 1m 34.2

m nm 2 n3 n 02 senxcosnxdx

m 1m 34.2

m nm 2 n3 n1

n 1Si multiplicamos numerador y denominador por n 1n 32 1, se tendr

Wm,n m 1m 34.2 n 1n 32 1

m nm n 2n 3n 1 n 1n 32 1

Que es la frmula de Wallis con 1Si m es par, la frmula de reduccin FR quedara

Wm,n m 1m 33.1

m nm 2 n4 n2 n 02 cosnxdx

Wm,n m 1m 33.1

m nm 2 n4 n2 n Tn

Ahora, al sustituir la frmula que obtenida para Tn, se tiene

Wm,n m 1m 33.1

m nm 2 n4 n2 nn 1n 32 1

n n 22 1

Wm,n m 1m 33.1 n 1n 32 1

m nm n 22 1

con 2 , si n es par y 1, si n es impar.con lo cual queda demostrada la frmula de Wallis.

f) Sustituciones racionalizadoras.Una amplia variedad de funciones racionales en dos o ms variables

pueden efectuarse mediante cambios de variable llamadas sustitucionesracionalizadoras, las cuales reducen el integrando a funciones racionales en unasola variable.

Una funcin racional en dos variables Rx,y, es un cociente Px,yQx.y de dos

polinomios en dichas variables, siendo un polinomio en dos variables unaexpresin de la forma

Px,y C00 C10x C01y C20x2 C11xy C02y2 Cn0xn Cn1,1xn1y C1,n1xyn1 C0nyn

donde los coeficientes C00,C10,,C0n son nmeros reales.Una expresin del tipo

Rx, ax2 bx c

indica que se trata de una funcin racional Rx, z, donde z ax2 bx c .As, por ejemplo, la expresin

Rsenx, cosxnos indica que se trata de una funcin racional en las variables senx y cosx.

Veamos un caso concreto de como una sustitucin puede reducir unintegrando de funcin racional en dos variables a uno de una funcin racional enuna sola variable.

i) Para las integrales del tipo

I R x, n ax bcx d dxla sustitucin

ax bcx d t

n

reduce el integrando a una funcin racional en la variable t.En efecto, con este cambio de variable se tiene

ax b ctnx dtn

a ctnx dtn b

x dtn b

a ctn , que es funcin racional en t

y por lo tanto

dx ntn1ad bca ctn2

dt, es funcin racional en t

al sustituir en I, se tiene

R dtn ba ctn , tntn1ad bca ctn2

dt

y como el producto de funciones racionales es una funcin racional, entoncesel integrando es una funcin racional en la variable t.

ii) En general podemos considerar integrales del tipo

I R x, ax bcx dm1n1 , ax bcx d

m2n2 , , ax bcx d

mrnr dx

donde m1,n1, ,mr,nr son nmeros enteros , con nk 0; k 1, . . . , r.Este tipo de integrales se reducen a integrales de funciones racionales en

la variable t, mediante la sustitucinax bcx d t

s

donde s es el mnimo comn mltiplo, de los denominadores n1,n2, ,nr.Casos particulares de este tipo de integrales seran:

R x, ax b m1n1 , ax b m2n2 , , ax b mrnr dx

R x,x m1n1 ,x m2n2 , ,x mrnr dxlas cuales se reducen mediante las sustituciones respectivas

ax b ts y x ts

siendo s,el mnimo comn mltiplo, de los denominadores n1,n2, ,nr.

Ejemplos.Ejemplo 1. Resolver

I 1 x 11 3 x 1

dx R x, x 1 12 , x 1 13 dx

Puesto que el mnimo comn mltiplo de los denominadores 2 y 3 es 6,entonces se pone

x 1 t6

con lo cualdx 6t5dt

3 x 1 t2

x 1 t3

y por lo tanto

I 1 t31 t2 6t5dt 6 t5 t81 t2 dt

siendo el integrando una funcin racional (impropia) en la variable t.Efectuando la divisin se tiene

I 6 t6 t4 t3 t2 t 1 t 11 t2 dte integrando el polinomio

I 67 t7 56 t

5 32 t4 2t3 3t2 6t 6 t 11 t2 dt

La integral de la funcin racional propia ser

t 11 t2 dt 12

2t 21 t2

dt 12 2tdt

1 t2 dt1 t2

12 ln1 t2 arctan t

de manera que

I 67 t7 56 t

5 32 t4 2t3 3t2 6t 3 ln1 t2 6arctan t C

donde t 6 1 x .En algunas integrales de este tipo, conviene primero ver si es posible

simplificar el integrando antes de proceder con la sustitucin racionalizadora yevitarnos un trabajo considerable.

Por ejemplo, para resolver la integral

I x 1 x 1x 1 x 1

dx 1 x1x11 x1x1

dx

que es del del tipo

Rx, x 1x 1 dxal aplicar la correspondiente sustitucin racionalizadora, (intente hacerlo!) , nos

obligara a una serie de clculos que se pueden evitar, si previamentesimplificamos el integrando de la siguiente manera:

I x 1 x 1x 1 x 1

dx x 1 x 1x 1 x 1

x 1 x 1x 1 x 1

dx

x 1 x 12

2 dx 2x 2 x2 1

2 dx xdx x2 1 dx x

2

2 x2 x

2 1 12 ln x x2 1

x2

2 12 ln x x

2 1 x2 x2 1 C

iii) Integrales de la forma:

Rsenx, cosxdx o Rsenhx, coshxdxPara estas integrales de funciones racionales en senos y cosenos, existe

una sustitucin universal, o de Weierstrass, que las reduce a integrales defunciones racionales en una sola variable.

Nota: Se manejarn simultneamente las integrales con funcionescirculares y con funciones hiperblicas.

Haciendo la sustitucin:tan x2 t tanh

x2 t

se tendra

x 2arctant x 2arctanht ln 1 t1 tdx 2dt

1 t2dx 2dt

1 t2

senx 2sen x2 cos

x2

cos2 x2 sen2 x

2

2 tan x21 tan2 x2

2t1 t2

senhx 2senh x2 cosh

x2

cos2 x2 sen2 x

2

2 tanh x21 tanh2 x2

21

cosx cos2 x2 sen

2 x2

cos2 x2 sen2 x

2

1 tan2 x21 tan2 x2

1 t2

1 t2coshx

cosh2 x2 senh2 x

2

cosh2 x2 senh2 x

2

1 tanh2 x21 tanh2 x2

Casos particulares para esta sustitucin:a) Si la funcin R, es impar respecto del seno, o sea si se verifica que

Rsenx, cosx Rsenx, cosx

Rsenhx, coshx Rsenhx, coshxentonces resulta ms conveniente emplear la sustitucin

cosx t coshx t

en lugar de la sustitucin universal, ya que en estos casos es posible escribirlas integrales como

Rcosxsenxdx Rcoshxsenhxdxy con la sustitucin indicada la racionalizacin es inmediata.

b) Si la funcin R, es impar respecto del coseno, esto es, si se verifica que:Rsenx,cosx Rsenx, cosx

Rsenhx,coshx Rsenhx, coshxentonces lo ms prctico es emplear la sustitucin

senx t senhx t

c) Si R es par, respecto de ambos argumentos, o sea si:Rsenx.cosx Rsenx, cosx

Rsenhx,coshx Rsenhx, coshx

entonces conviene aplicar la sustitucintanx t tanhx t

ya que en estos casos es posible escribir las integrales en la forma

Rtanxdx Rtanhxdxy con la sustitucin indicada se obtienen integrandos racionales en t.

Ejemplo 1. Resolver la integral

I dxsenh2x 4senhxcoshx 9cosh2x

Rsenhx, coshxdxSolucin:

En este caso la funcin R es par respecto de sus argumentos, pues esevidente que:

Rsenhx,coshx Rsenhx, coshx

y por lo tanto debe ser posible escribir la integral en la forma RtanhxdxEn efecto, dividiendo, numerador y denominador, por cosh2x tendremos

I sech2xdxtanh2x 4 tanhx 9

1 tanh2xdx

tanh2x 4 tanhx 9De manera que haciendo la sustitucin tanhx t, se tiene

I 1 t2

t2 4t 9. dt1 t2

dtt2 4t 9I dt

t 22 5 2 1

5arctan t 2

5

I 15

arctan tanhx 25

C

Ejemplo 2. Resolver la integral

I dxsenhx 2coshxSolucin: La integral no es ninguno de los casos particulares, de manera que

haremos la sustitucin universal, con lo cual quedara (ver la tabla de arriba para lasustitucin universal).

I 2dt1t2

2t1t2

2 1t21t2

dtt2 t 1

dtt 12

2 322

23

arctan 2t 13

C

I 23

arctan2 tanh x2 1

3 C

Ejemplo 3. Encuentre la integral

I senxcosxsenx cosx dxSolucin:En ocasiones, como lo haremos ahora, es conveniente primero transformar el

integrando en otra forma ms cmoda de manejar.Para ello hagamos lo siguiente

I senxcosxsenx cosx dx 12 2senxcosxsenx cosx dx

12 senx cosx2 1

senx cosx dx 12 senx cosxdx

12

dxsenx cosx

12 cosx 12 senx

12

2dt1t2

2t1t2

1t2

1t2

12 senx cosx dt

t2 2t 1 12 senx cosx

dtt 12 2 2

12 senx cosx 1

2 2ln t 1 2

t 1 2

12 senx cosx 1

2 2ln

tan x2 1 2tan x2 1 2

C

50 Integrales resueltasLeonardo Senz Baez.

1. 3 1 lnx

x dx 1 lnx13 dxx

34 1 lnx

43 C

2. ln1 x2

x2dx, empleando integracin por partes (LIATE), tendremos

u ln1 x2 du 2x1 x2

dv dxx2

x2dx v 1x

ln1 x2

x2dx

ln1 x2 x 2 1x x1 x2 dx

ln1 x2 x 2 dx1 x2

ln1 x2

x 2 arctanx C

3. e2xex 1

dx

e2xex 1

dx e2x ex exex 1

dx exex 1 ex

ex 1dx

exex 1

ex 1dx ex

ex 1dx

ex ex 1 dx exex 1 12 dx 23 e

x 132 2ex 1

12 C

23 ex 1 ex 1 3 C

23 ex 1 ex 2 C

4. dxx2 43

dxx2 43

x2 432 dx

hagamosx 2 sec

dx 2 sec tandx2 4 4 sec2 4 4sec2 1 4 tan2

dxx2 43

14 tan2

32 sec tand 14 tan2 secd

14 sectan2

d 14 cossin2

d 14 sin2cosd

14 csc C

puesto quesec x2csc x

x2 4y el resultado ser

dxx2 43

x4 x2 4

C

5. x 3x2 4x 6

dx

x 3x2 4x 6 dx 12 2x 4 3 2

x2 4x 6dx

12 2x 4

x2 4x 6dx 5 dxx2 4x 4 2

12 lnx2 4x 6 5 dx

x 22 22

12 lnx2 4x 6 5

2arctan x 2

2 C

6. lnxx1 ln2x

dx

lnxx1 ln2x

dx 12 2 lnx

1 ln2xdxx

12 ln1 ln

2x C

7. x29 4x2

dx

x29 4x2

dx 14 9 4x2 9

9 4x2dx

14 9 4x2

9 4x2 94

dx9 4x2

18 9 4x2 2dx 98 arcsin

2x3

18 x 9 4x2 92 arcsin

2x3

98 arcsin

2x3

18 x 9 4x2 916 arcsin

2x3 C

8. 3x2 6x3 x2 2x

dx

3x2 6x3 x2 2x dx 3x2 6

xx2 x 2dx 3x2 6xx 2x 1 dx

3x2 6xx 2x 1

Ax B

x 2 C

x 13x2 6 Ax 2x 1 Bxx 1 Cxx 2

si x 0, 6 2A, A 3Si x 2, 18 6B, B 3Si x 1, 9 4C, C 3

3x2 6xx 2x 1 dx 3 dxx 3 dxx 2 3

dxx 1

3 ln|x| 3 ln|x 2| 3 ln|x 1| C

3 ln x 2x 1x C

9. x2 arctan x2 dx

empleando integracin por partes

u arctan x2 du dx2

1 x24 2dx

x2 4

dv x2dx v 13 x3

x2 arctan x2 dx 13 x

3 arctan x2 23

x3dxx2 4

pero comox3

x2 4 x 4x

x2 4

x2 arctan x2 dx 13 x

3 arctan x2 23 xdx 2

2xdxx2 4

13 x3 arctan x2

23

x22 2 lnx

2 4

13 x

3 arctan x2 x2 4 lnx2 4 C

10. sin2 lnxdx

apliquemos integracin por partes, poniendo

u sin2 lnx du 2 cos2 lnx dxxdv dx v x

sin2 lnxdx x sin2 lnx 2 cos2 lnxdx. . . . . . . . . 1para la integral cos2 lnxdx

pongamos u cos2 lnx du 2 sin2 lnx dxxdv dx v x

cos2 lnxdx xcos2 lnx 2 sin2 lnxdx. . . . . . . . . 2sustituyendo (2) en (1)

sin2 lnxdx x sin2 lnx 2 xcos2 lnx 2 sin2 lnxdx5 sin2 lnxdx x sin2 lnx 2xcos2 lnx

x5 sin2 lnx 2 cos2 lnx C

11. x2 2

x 2x2 2x 3dx

descomponiendo en fracciones parciales el integrandox2 2

x 2x 3x 1 Ax 2

Bx 3

Cx 1

x2 2 Ax 3x 1 Bx 2x 1 Cx 2x 3Si x 2, 6 3A, A 2

Si x 3, 11 4B, B 114Si x 1, 3 12C, C 14

de manera que

x2 2x 2x 3x 1

dx 2 dxx 2 114

dxx 3

14

dxx 1

2 ln|x 2| 114 ln|x 3| 14 ln|x 1| C

12. 4x4x2 4x 5

dx

4x4x2 4x 5 dx 12

8x 4 44x2 4x 5

dx

12 8x 4

4x2 4x 5dx 2 dx4x2 4x 5

12 ln4x2 4x 5 12

dxx2 x 54

12 ln4x2 4x 5 12

dxx 12

2 112 ln4x

2 4x 5 12 arctan2x 1

2 C

13. x7 3 2 x4 dx ( ver las integrales de diferenciales binomias)

hagamos z x4; x z 14 , dx 14 z 34 dz

I x7 3 2 x4 dx z 74 2 z 13 14 z 34 dz 14 z2 z

13 dz

ahora pongamos 2 z t3; z t3 2; dz 3t2dt

I 14 z2 z13 dz 14 t

3 2t3t2dt 34 t6 2t3 dt

I 328 t7 38 t

4 C 328 2 z73 38 2 z

43 C

x7 3 2 x4 dx 328 2 x4

73 38 2 x

4 43 C

14. tan2x sec4xdx

tan2x sec4xdx tan2x sec2x sec2xdx tan2x1 tan2x sec2xdx tan2x sec2xdx tan4x sec2xdx 13 tan

3x 15 tan5x C

15. ln2xx3

dx x 32 ln2xdx

empleando integracin por partes (LIATE)

u ln2x du 2dx2x dxx

dv x 32 dx v 2x 12

ln2xx3

dx 2x 12 ln2x 2 x 12 dxx

2 ln2xx

4x C

16. sin2x1 sin2x

dx

sin2x1 sin2x

dx 1 sin2x 12 2 sinxcos xdx

aplicando undu un1n 1 sin2x

1 sin2xdx 21 sin2x 12 2 1 sin2x C

17. x3 2xx2 1

dx dividiendo los polinomios tendremos x 3xx2 1

dx

x 3xx2 1 dx xdx 32

2xx2 1

dx

x3 2xx2 1 dx x22

32 ln|x

2 1| C

18. x2e3x

dx x2e3xdx

empleando integracin por partes (LIATE), tendremosu x2 du 2xdx

dv e3xdx v e3xdx 13 e3x

x2e3x dx 13 x

2e3x 23 xe3xdx . . . . . . . . . . . . 1

para xe3xdx seau x du dx

dv e3xdx v 13 e3x

xe3xdx 13 xe3x 13 e

3xdx 13 xe3x 19 e

3x . . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

x2e3x dx 13 x

2e3x 23 13 xe

3x 19 e3x

13 x2e3x 29 xe

3x 227 e3x C

x2e3x dx 1

27 e3x9x2 6x 2 C

19. ex sin3excosexdx, la integral es inmediata aplicando la regla de la potencia

undu un1n 1 sin3excosexexdx 14 sin

4ex C

20. x2 1 x dx x21 x 12 dxesta integral se resuelve empleando diferenciales binomias

xma bxn pdxcasos resolubles

1 p entero, 2) m 1n entero y 3)m 1

n p entero

para la integral x21 x 12 dx, m 2, n 1, p 12 y se cumple el caso 2)

para resolverla hagamos t 1 x , 1 x t2, x t2 1, dx 2tdt

x21 x 12 dx t2 12t2tdt 2 t6 2t4 t2 dt 27 t

7 45 t5 23 t

3 C

x21 x 12 dx 27 1 x72 45 1 x

52 23 1 x

32 C

2105 1 x32 151 x2 421 x 35 C

2105 1 x32 15x2 12x 8 C

21. 3x 76x 9x2

dx

3x 76x 9x2

dx Q 6x 9x2 dx6x 9x2

derivando respecto de x, ambos miembros3x 76x 9x2

Q 6 18x2 6x 9x2

16x 9x2

eliminando el denominador comn3x 7 Q3 9x 9Qx 3Q

comparando coeficientes

9Q 3 Q 13 3Q 7 8

de manera que

3x 76x 9x2

dx 13 6x 9x2 8 dx

6x 9x2. . . . . . . . . . 1

para la integral dx6x 9x2

se tiene

dx6x 9x2

dx9x2 23 x

13 dx

19 x

2 23 x 19

dx6x 9x2

13 dx

13 2 x 13

2

y aplicando dua2 u2

arcsin ua se tiene

dx6x 9x2

13 dx

13 2 x 13

2 13 arcsin3x 1 . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

3x 76x 9x2

dx 13 6x 9x2 83 arcsin3x 1 C

22. 4x2x3 9

dx

la integral es inmediata completando diferenciales

4x2x3 9

dx 43 3x2

x3 9dx 43 x

3 912 3x2dx

83 x3 9 C

23. x21 3x

dx

x21 3x 12 dxintegral diferencial binomia

1 3x t2; 1 t2 3x

x 13 1 t2 ; dx 23 tdt

x21 3x

dx 19 1 t2 2

t 23 tdt

227 1 2t

2 t4 dt

227 t 23 t

3 15 t5 C

227 1 3x 23 1 3x

32 15 1 3x

52 C

2405 1 3x 15 101 3x 31 3x2

2405 1 3x 27x2 12x 8 C

24. 4x2 3x 1x3 7x2 16x 12

dx

por divisin sinttica tenemos2 1 7 16 12

2 10 12___________________________

1 5 6 0de modo que

x3 7x2 16x 12 x 2x2 5x 6y factorizando la forma cuadrtica

x3 7x2 16x 12 x 2x 2x 3

4x2 3x 1x3 7x2 16x 12 dx 4x2 3x 1x 22x 3

dx

empleando fracciones parciales4x2 3x 1x 22x 3

Ax 2 B

x 22 Cx 3

4x2 3x 1 Ax 2x 3 Bx 3 Cx 22

Si x 2, 9 B, B 9Si x 3, 26 CSi x 0, 1 6A 27 104, 6A 132, A 22

4x2 3x 1x 22x 3

dx 22 dxx 2 9 dx

x 22 26 dxx 3

22 ln|x 2| 9x 2 26 ln|x 3| C

25. x4 2x x2

dx

x4 2x x2

dx 12 2x 2 24 2x x2

dx

12 4 2x x2

12 2x 2dx dx

4 x2 2x

4 2x x2 dx5 x2 2x 1

4 2x x2 dx5 2 x 12

x4 2x x2

dx 4 2x x2 arcsin x 15

C

26. x4 3x3 2x 3x2 3x

dx

haciendo la divisin se tiene

x4 3x3 2x 3x2 3x dx x2 2x 3

x2 3xdx

x2dx 2x 3x2 3x dx x

3

3 ln|x2 3x| C

27. 5x2 12x 1x3 3x2 4

dx

5x2 12x 1x3 3x2 4

5x2 12x 1

x 1x 22 Ax 1

Bx 2

Cx 22

5x2 12x 1 Ax 22 Bx 1x 2 Cx 1Si x 1, 18 9A, A 2Si x 2, 3 3C, C 1Si x 0, 1 8 2B 1, 2B 6, B 3

5x2 12x 1x3 3x2 4 dx 2 dx

x 1 3 dx

x 2 x 22dx

2 ln|x 1| 3 ln|x 2| 1x 2 C

28. x 11 x dx

hagamos x t2 dx 2tdt, x t

x 11 x dx t 11 t2

2tdt 2 t2 t1 t2 dt

2 1 t2 t 11 t2

dt 2 1 t 11 t2 dt 2 dt 2t1 t2 2

dt1 t2

2t ln1 t2 2 arctant C 2 x ln1 x 2 arctan x C

29. 3 x ln2xdx

integrando por partes (LIATE)

u ln2x du 2 lnx dxxdv 3 x v 3 x 12 dx 2x 32

3 x ln2xdx 2x 32 ln2x 4 x 32 lnx dxx 3 x ln2xdx 2x 32 ln2x 4 x 12 lnxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

para la integral x 12 lnxdx, pongamosu lnx du dxx

dv x 12 dx v x 12 dx 23 x32

x 12 lnxdx 23 x32 lnx 23 x

32 dxx

x 12 lnxdx 23 x32 lnx 49 x

32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

3 x ln2xdx 2x 32 ln2x 4 23 x32 lnx 49 x

32 C

2x 32 ln2x 83 x32 lnx 169 x

32 C

3 x ln2xdx 2x 32 ln2x 43 lnx 89 C

30. ex arcsinex dx

integrando por partes

u arcsinex du ex

1 e2xdx

dv exdx v ex

ex arcsinex dx ex arcsinex e2x1 e2x

dx

ex arcsinex 12 2e2x

1 e2xdx

ex arcsinex 1 e2x C

31. x3 21 x2 3

dx

hagamos x sin, dx cosd

1 sin2 1 x2 cos

cos 1 x2 , tan sincos x

1 x2

x3 21 x2 3

dx sin3 21 sin23

cosd

sin3 2cos6

cosd sin3 2cos3 cosd

sin3 2cos2 d cos2 sin3d 2 dcos2

cos2 sin2 sind 2 sec2d cos21 cos2 sind 2 tan C cos2 sind sind 2 tan C

x3 21 x2 3

dx 1cos cos 2 tan C

11 x2

1 x2 2x1 x2

C

x3 21 x2 3

dx 2 2x x2

1 x2 C

32. dxex 1

haciendo ex 1 t, ex 1 t2, ex 1 t2

x ln1 t2, dx 2tdt1 t2

dxex 1

2tdt1t2

t 2 dt1 t2 2 arctant C

dxex 1

2 arctan ex 1 C

34. x 12

26 2x x2dx

I x 12

26 2x x2dx x2 2x 1

26 2x x2dx x2 2x 26 25

26 2x x2dx

x2 2x 26x2 2x 26

dx 25 dxx2 2x 26

x2 2x 26 dx 25 dxx2 2x 1 25

x2 2x 1 25 dx 25 dxx 12 52

x 12 52 dx 25 dxx 12 52

empleando las frmulas

u2 a2 du u2 u2 a2 a

2

2 ln u u2 a2

duu2 a2

ln u u2 a2 , tendremos

I x 12 x2 2x 26 252 ln x 1 x

2 2x 26

25 ln x 1 x2 2x 26

x 12

26 2x x2dx x 12 x

2 2x 26 252 ln x 1 x2 2x 26 C

35. 3x3 4x2 8xx2 1

dx

haciendo la divisin de la funcin del integrando3x3 4x2 8x

x2 1 3x 4 5x 4

x2 1, tendremos

3x3 4x2 8xx2 1 dx 3x 4dx 5x 4x2 1

dx

32 x2 4x 52

2x 85x2 1

dx

32 x2 4x 52

2xdxx2 1

4 dxx2 1 32 x

2 4x 52 lnx2 1 4 arctanx C

36. x 54x2 9

dx

x 54x2 9 dx 18

8xdx4x2 9

5 dx2x2 32

18 ln4x2 9 52

2dx2x2 32

18 ln4x2 9 56 arctan

2x3 C

37. 4x2 1x2

dx

sea 2x tanu, x 12 tanu, dx 12 sec

2udu

1 4x2 1 tan2u sec2u, secu 1 4x2

cotu 12x , 1 cot2u 1 1

4x2 4x

2 14x2

csc2u

cscu 1 4x2

2x

4x2 1x2

dx secu14 tan

2u12 sec

2udu

2 sec3utan2u du 2 1

cos3usin2ucos2u

du

2 cos2ucos3u sin2u

du 2 ducos u sin2u

2 cos2u sin2ucos u sin2u

du 2 cos usin2u

du 2 ducos u 2 sin2u cos udu 2 secudu 2 cscu 2 ln|secu tanu | C

4x2 1x2

dx 1 4x2

x 2 ln 1 4x2 2x C

38. x2 2x

x 1 dx

hagamos x2 2x t2, t x2 2x

x2 2x 1 t2 1x 12 t2 1,diferenciando tendremos

2x 1dx 2tdt

dx tdtx 1 tdt

t2 1sustituyendo

x2 2x

x 1 dx t

t2 1tdt

t2 1 t2t2 1 dt

t2 1 1t2 1

dt dt dtt2 1 t arctant C

x2 2x

x 1 dx x2 2x arctan x2 2x C

39. x2 cos3xdx

integrando por partes , seau x2 du 2xdx

dv cos3xdx v 13 sin3x

x2 cos3xdx 13 x2 sin3x 23 x sin3xdx. . . . . . . . . . . . . . . 1

para x sin3xdx, hagamosu x du dx

dv sin3xdx v 13 cos3x

x sin3xdx 13 xcos3x 13 cos3xdx

x sin3xdx 13 xcos3x 19 sin3x. . . . . . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

x2 cos3xdx 13 x2 sin3x 23

13 xcos3x

19 sin3x

13 x2 sin3x 29 xcos3x

227 sin3x

9x2 227 sin3x

29 xcos3x C

40. x sec23xdxintegrando por partes

u x du dx

dv sec23xdx v sec23xdx 13 tan3x

x sec23xdx 13 x tan3x 13 tan3xdx

13 x tan3x 19 ln|sec3x| C

o bien

x sec23xdx 13 x tan3x 19 ln|cos3x| C

41. 2x 19x2 6x 4 dx

19 18x 6 1

23

9x2 6x 4dx 19

18x 69x2 6x 4

dx 13 dx

9x2 23 x 49

19 ln9x2 6x 4 127

dxx2 23 x

19

49

19

19 ln9x2 6x 4 127

dxx 13

2 13

2

2x 19x2 6x 4 dx 19 ln9x

2 6x 4 327 arctan3x 1

3 C

42. 4x2 6x 8x 1x2 2x 3

dx

una clsica integracin por fracciones parciales con una forma lnealy una cuadrtica irreducible en el denominador

4x2 6x 8x 1x2 2x 3

Ax 1 Bx C

x2 2x 34x2 6x 8 Ax2 2x 3 Bx Cx 1

Si x 1, 6 2A, A 3, con este valor conocido podemos escribir4x2 6x 8 3x2 6x 9 Bx Cx 1

x2 1 x 1x 1 Bx Cx 1x 1 Bx C

y ahora si x 0 C 1, y por lo tantox 1 Bx 1 B 1

4x2 6x 8x 1x2 2x 3

dx 3 dxx 1 x 1

x2 2x 3dx

3 ln|x 1| 12 2x 2

x2 2x 3dx 2 dxx2 2x 3

3 ln|x 1| 12 lnx2 2x 3 2 dx

x 12 22

3 ln|x 1| 12 lnx2 2x 3 2

2arctan x 1

2 C

4x2 6x 8x 1x2 2x 3

dx 3 ln|x 1| 12 lnx2 2x 3 2 arctan x 1

2 C

43. x35 x2 3

dx

hagamos x 5 tan

dx 5 sec2dtan x

5

1 tan2 1 x2

5 sec2

sec 5 x2

5, cos 5

5 x2

x35 x2 3

dx 5 tan3

5 5 tan23 5 sec

2d

5 tan3sec3 sec2d 5 tan3sec d

5 sin3cos3

1cos

d 5 sin3cos2 d 5 cos2 sin2 sind

5 cos21 cos2 sind 5 cos2 sind sind

5 sec cos C 5 5 x2

5 5

5 x2

x35 x2 3

dx 5 5 x2 5

5 5 x2 C x

2 105 x2

C

44. x 205 4x x2 3

dx x 205 4x x2

32

dx I

I 12 2x 4 18

5 4x x2 32

dx 12 2x 4

5 4x x2 32

dx 18 dx9 x 22

32

12 5 4x x2

32 2x 4dx 18 dx

9 x 2232

x 205 4x x2 3

dx 15 4x x2

18 dx9 x 22

32

. . . . . . . . . 1

para resolver esta segunda integral resultante, hagamosx 2 3 sin 9 x 22 91 sin2 9 cos2, dx 3 cosd

dx9 x 22

32 3 cosd

9 cos232 19

dcos2

dx9 x 22

32 19 sec

2d 19 tan

dx9 x 22

32 19 tan

como sin x 23 ,

entonces

tan sincos sin

1 sin2

x 23

1 x 232 x 2

9 x2 4x 4 x 2

5 4x x2

de manera que

dx9 x 22

32 19

x 25 4x x2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

x 205 4x x2 3

dx 15 4x x2

2x 2

5 4x x2 2x 5

5 4x x2 C

45. 2x2 7x 1x 2x2 3

dx

descomponiendo en fracciones parciales el integrando2x2 7x 1x 2x2 3

Ax 2 Bx Cx2 3

2x2 7x 1 Ax2 3 Bx Cx 2Si x 2, 21 7A, A 3

2x2 7x 1 3x2 9 Bx Cx 2 x2 7x 10 Bx Cx 2

Si x 0, 10 2C, C 5 x2 7x 10 Bx 5x 2

Si x 1, 4 B 5, B 1

2x2 7x 1x 2x2 3

dx 3 dxx 2 x 5x2 3

dx

3 ln|x 2| 12 2x

x2 3dx 5 dx

x2 32

2x2 7x 1x 2x2 3

dx 3 ln|x 2| 12 lnx2 3 5

3arctan x

3 C

46. x1 3 x dx

Sea x t6 x t3, 3 x t2, dx 6t5dt

x1 3 x dx t3

1 t26t5dt 6 t81 t2 dt

dividiendot8

1 t2 t6 t4 t2 1 1

1 t2

x1 3 x dx 6 t8

1 t2dt

6 t7

7 t55

t33 t arctant C

x1 3 x dx 6x 767

x 565

x 123 x

16 arctan 6 x C

47. ex lnex 1dxintegrando por partes (LIATE)

u lnex 1 du ex

ex 1 dx

dv exdx v ex

ex lnex 1dx ex lnex 1 ex exex 1 dx ex lnex 1 ex ex 1 1ex 1 dx ex lnex 1 ex 1 1ex 1 dx

ex lnex 1dx ex lnex 1 ex lnex 1 C ex 1 lnex 1 ex C

la integral ex lnex 1dx tambin se puede resolver empleando lnudu u lnu u C, donde u ex 1

48. eax cosbxdx Iintegrando por partes

u cosbx du b sinbxdx

dv eaxdx v 1a eax

I eax cosbxdx 1a eax cosbx ba eax sinbxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1para la integral eax sinbxdx, integremos de nuevo por partes, poniendo

u sinbx du b cosbxdx

dv eaxdx v 1a eax

eax sinbxdx 1a eax sinbx ba eax cosbxdx eax sinbxdx 1a eax sinbx ba I . . . . . . . . . . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

I 1a eax cosbx ba

1a e

ax sinbx ba I

I b2

a2I 1a e

ax cosbx ba2

eax sinbx

a2 b2 a2

I aa2

eax cosbx ba2

eax sinbx

a2 b2 I eaxa cosbx b sinbx

I eaxa cosbx b sinbx

a2 b2 C

eax cosbxdx eaxa cosbx b sinbx

a2 b2 C

49. 4x 5x2 2x 23

dx 4x 5x2 2x 2

32

dx

4x 5x2 2x 2

32

dx 22x 2 5 4x2 2x 2

32

dx

2 x2 2x 2 32 2x 2dx 9 dxx 12 1

32

4x 5x2 2x 2

32

dx 4x2 2x 2

9 dxx 12 1

32

. . . . . . . . . . . 1

para la integral dxx121

32

que queda en el segundo miembro sea

x 1 tan, dx sec2d

sin2 1csc2

11 cot2

11 1

tan2

sin2 tan2

1 tan2

x 12

1 x 12

x 12

x2 2x 2

sin x 1x2 2x 2

dxx 12 1

32 sec2dsec3 cosd sin

x 1x2 2x 2

. . . . . . . . 2

sustituyendo (2) en (1)

4x 5x2 2x 2

32

dx 4x2 2x 2

9x 1

x2 2x 2 C

4x 5x2 2x 2

32

dx 9x 13x2 2x 2

C

50. 6 x3 4x2

dx

6 x3 4x2

dx 18 8x 48

3 4x2dx

18 3 4x2

12 8xdx 62

2dx

32 2x2

6 x3 4x2

dx 14 3 4x2 3 arcsin 2x

3 C

Morelia Michoacn, Mxico, Abril de 2011

Integracionintegrales resuel3