Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

1.Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor:

dydx

= 1x+ y+1

, y (0 )=0

2.

Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de :

SOLUCION:

Aplicando criterio de la razón

limn→∞|cn+1

cn |=Lsi L>1diverge si L<1converge r= 1L

cn=(−2)n

(n+1)(x−3)n

cn+1=(−2)n+1

(n+1+1)(x−3)n+1=

(−2)n+1

(n+2)(x−3)n+1

limn→∞

cn+1

cn

=‖ (−2)n+1

(n+2)(x−3)n+1

(−2)n

(n+1)(x−3)n ‖

limn→∞

cn+1

cn

=‖x−3‖∗ limn→∞| (−2)

(n+2 )1

(n+1 )|

¿‖x−3‖∗limn→∞ |(−2)(n+1 )

(n+2 ) |Dividiendo los términos del límite en n

¿‖x−3‖∗(2) limn→∞|( n+1

n )( n+2

n )|

¿‖x−3‖∗2 limn→∞|( nn + 1

n )( nn + 2

n )|si n→∞ ¿n≈ 0

limn→∞

cn+1

cn

=‖x−3‖∗2|1+01+0|n→∞

limn→∞

cn+1

cn

=2‖x−3‖=2 l>1diverge

Su radio de convergencia es R=1L=1

2

Con ‖x−3‖El intervalo de convergencia I=X ± R para x-3=0 x=3

I=3±12

I=(2.5 ,3.5)

∑n=0

∞ (−2)n

(n+1)(x−3)n

3. Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:

∑n=0

∞ (100)n

n!(x+7)n

Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

2 y ' '+x y '+ y=0

4. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

2 y ' '+x y '+ y=0SOLUCION

y=∑n=0

∞

Cnxn→ y ´=∑n=1

∞

ncn xn−1→ y ´ ´=¿∑

n=2

∞

n(n−1)cn xn−2 ¿

Sustituimos

2∑n=2

∞

n(n−1)cn xn−2+¿

∑ ι ( ι−1 )α1 χι−2+ χ2∑ ¿¿

∑ ι (ι−1 )αι χι−2+∑ ι αι χ

ι+1+∑ α2 χι+1=0

5. Encuentre para la ecuación diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto ordinario x=0 que sean linealmente independientes.

1. Y + {X} ^ {2 } {Y} ^ {l } +XY=

SOLUCION

y=∑n=0

∞

Cnxn→ y ´=∑n=1

∞

ncn xn−1→ y ´ ´=¿∑

n=2

∞

n(n−1)cn xn−2 ¿

Sustituimos

2∑n=2

∞

n(n−1)cn xn−2+¿

∑ ι ( ι−1 )α1 χι−2+ χ2∑ ¿¿

∑ ι (ι−1 )αι χι−2+∑ ι αι χ

ι+1+∑ α2 χι+1=0

Primer término de (5)

→ι=κ+1

k=(ι−1)

κ=1

∑κ=1

∞

(κ+1)α κ+1Χκ

Segundo termino de (5)

→ι=κ+1

κ=(ι−1)

κ=1

∑κ=1

∞

(κ+1 )α κ+1 χκ

Tercer término de (5)

κ=ι+1

ι=κ−1

κ=1

∑κ=0

∞

α κ+1 χκ

Sustituimos en 5 luego

∑λ=0

∞

(κ+2 ) (κ+1 )ακ+2 χκ+∑

κ−1

∞

(κ+1 )α κ+1 χκ+∑

κ=0

∞

α κ+1 χκ=0

Evaluamos el primer término en cero

2α 2+∑κ=1

∞

(κ2¿+3k+2)ακ+2+(k+1)α κ+1 χκ+α κ+1 ¿ χκ=0

Igualamos a cero los términos

2α 2=0→α2=0

∑κ=1

∞

(κ2¿+3k+2)ακ+2+(k+1)α κ+1 χκ+ακ+1 ¿ χκdonde χ κ≠0

(κ2+3k+2 )α κ+1−α κ+1(−k−2)=0

α κ+2=ακ+1 (−k−2)

(κ3+3k+2)

5.Resolver por series la ecuación diferencial

y ' '+x2 y=0

y=∑n=0

∞

Cnxn→ y ´=∑n=1

∞

ncn xn−1→ y ´ ´=¿∑

n=2

∞

n(n−1)cn xn−2 ¿

y ' '+x2 y=0→∑n=2

∞

n(n−1)cn xn−2+x2∑

n=0

∞

Cnxn=0

∑n=2

∞

n(n−1)cn xn−2+∑

n=0

∞

Cn xn+2=0

Para

∑n=2

∞

n (n−1 ) cn xn−2 K=n−2n=k+2

el lim inf esn=2 K=0n=k+2 (n−1 )=k+1

∑n=2

∞

n (n−1 ) cn xn−2=∑

k=0

∞

(k+2)(k+1)ck +2xk

Para

∑n=0

∞

Cn xn+2

K=n+2n=k−2 ∑n=0

∞

Cn xn+2=∑k=2

∞

ck−2 xk

Al sumar las dos series

∑k=0

∞

(k+2)(k+1)ck+2xk+∑

k=2

∞

ck−2 xk

homologandoel limite inferior enk=2

La primera serie

(k+2 ) (k+1 )c k+2xk conk=0→2c2

(k+2 ) (k+1 )c k+2xk conk=1→6c3 x

2c2+6c3 x+∑k=2

∞

(k+2)(k+1)ck+2xk+∑

k=2

∞

ck−2 xk=0

2c2+6c3 x+∑k=2

∞

[ (k+2 ) ( k+1 ) ck+2+ck−2 ] xk=0

los términos del miembro izquierdo de la ecuación deben ser nulos, por lo tanto:

c2=c3=0→ (k+2 ) ( k+1 ) ck+2+ck−2=0

ck +2=−ck−2

(k+2) (k+1 )conk ≥2

K=2

c4=−c0

(4 ) (3 )

K=3

c5=−c1

(5 ) (4 )

K=4

c6=−c2

(6 ) (5 )=0

c7=−c3

(7 ) (6 )=0

c8=−c4

(8 ) (7 )=

c0

(8 ) (7 ) (4 ) (3 )

c9=c5

(9 ) (8 )=

c1

(9 ) (8 ) (5 ) (4 )

c10=−c6

(10)(9)=0

y=c0+c1 x+c2 x2+c3 x

3+c4 x4+…+cn x

n

Como todos los términos están en función de c0 y c1

y=c0+c1 x+0+0+−c0

(4 ) (3 )x

4

+−c1

(5 ) (4 )x5+0+0+

c0

(8 ) (7 ) (4 ) (3 )x

8 +c1

(9 ) (8 ) (5 ) (4 )x

9

+……cn xn

6.Determine todos los puntos singulares de:

x y' '+x (1−x )−1 y '+(senx ) y=0

Realizar la prueba tipo test con el fin de evaluar los avances de su proceso

Supongamos un condensador que tiene una diferencia de potencial Vo entre sus placas cuando se tiene una línea conductora R, la carga acumulada viaja a través de un condensador desde una placa hasta la otra, estableciéndose una corriente de intesidad i intensidad. Así la tensión v en el condensador va disminuyendo gradualmente hasta llegar a ser cero también la corriente en el mismo tiempo en el circuito RC.

Ri=v

i=−cdvdt

v '+ 1RC

v=0

Solucionar por series de potencias la siguiente ecuación diferencial.

1. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

y '+2 yx=0 y ´+2 xy=0

y=∑n=0

∞

Cnxn→ y ´=∑n=1

∞

ncn xn−1→

y ´+2 xy=0→∑n=1

∞

ncn xn−1+2 x∑

n=0

∞

Cn xn=0

∑n=1

∞

ncn xn−1+2∑

n=0

∞

Cn xn+1=0

Para

el primer término de la primera serie (que corresponde a n = 0) es cero, la suma comienza con n = 1. Con la ecuación anterior

∑n=1

∞

ncn xn−1=c1 x

0+∑n=2

∞

ncn xn−1

Al sumar las dos series

c1 x0+∑

n=2

∞

ncn xn−1+∑

n=0

∞

2Cn xn+1=0

con k = n - 1 en la primera serie y k = n + 1 en la segunda.

c1 x0+∑

k=1

∞

(k+1)c k+1xk+∑

k=1

∞

2ck−1 xk

homologandoel limite inferior enk=1

c1+∑k=1

∞

[(k+1)c k+1+2ck−1 ] x k=0

(k+1)ck+1+2ck−1=0 y c1=0

(k+1)ck+1=−2c

k−1ck+1=−2ck−1

( k+1)

c1=0

ck +1=−2ck−1

(k+1 )conk ≥1

K=1

c2=−2c0

(2 )=−c0

K=2

c3=−2c1

3=0

K=3

c4=−2c2

4=

c0

2

K=4

c5=−2c3

5=

4c1

15=0

K=5

c6=−2c4

6=

−c0

6

K=6

c7=−2c5

7=

−8c1

105=0

y=c0+c1 x+c2 x2+c3 x

3+c4 x4+…+cn x

n

Como todos los términos están en función de c0 y c1

y=c0+0−c0 x2+0+

c0

2x4+0−

c0

6x6…+cn x

n