diteurs

Nabil Gmati Mohamed Jaoua Maher Moakher

Actes du 2e colloque sur les

Tendances des Applications Mathmatiques

en Tunisie, Algrie, Maroc

Tunis, 2628 avril 2005

NITLAMSIN

PrfaceOrganiser la seconde dition de ce colloque a t la fois plus facile et plus diffi-

cile que la premire. Plus facile en effet, car nos collgues et amis marocains de Rabat,et Rajae Aboulach en particulier, ont si bien balis la route quil nous a suffi de po-ser tranquillement nos pas dans les leurs. Mais plus difficile aussi par certains cts, caroutre que nous tions videmment attendus au tournant, il nous fallait faire honneur uneaction si bien engage pour que TAM-TAM quitte dfinivement le registre des manifes-tations uniques pour sinstaller srement dans celui des cycles. Celui-l vient naturelle-ment sinscrire dans la continuit dun partenariat maghrbin commenc en 1987, avecles mmes acteurs institutionnels dj, dans le cadre du Colloque sur les Modles Num-riques de lIngnieur (CMMNI). Aprs sept ditions de bons et loyaux services, et ayantpuis sa fonction historique, ce colloque avait laiss la place une multitude dactionsplus cibles, plus resserres, moins gnrales. Entre temps, les enfants de ce partena-riat ont grandi, des quipes de recherche actives ont vu le jour dans nos pays, elles onttiss des liens et des partenariats allant bien au del de la dimension symbolique. Projetsde recherche, co-direction de thses, post-docs, sjours croiss denseignants-chercheurs,contributions aux formations doctorales et aux jurys, etc. faonnent peu peu, et en dpitdes alas que nous ne matrisons gure, le Maghreb scientifique que nous appelions de nosvoeux il y a vingt ans en lanant le CMMNI, et qui demeure plus que jamais lhorizonincontournable de notre reconstruction en tant quacteurs de lhistoire.

TAM-TAM est donc dabord un instrument au service de ce devenir scientifique, plusprcisment mathmatique, fait par les jeunes et en tout premier lieu pour eux, qui sontsi nombreux affluer dans nos universits en pleine expansion, si avides de science ettellement demandeurs despaces pour y confronter leurs ides avant daffronter le vastemonde. Ils ont t nombreux, une fois de plus, rpondre notre appel communicationsen soumettant leurs travaux, certains de ces dernieres tant - comme il est normal - dunemeilleure qualit que les autres. Et si la slection de ceux qui seront prsents Tunis at pnible aux membres du comit de programme, parce quelle les a amens cartercertaines communications qui eussent pu avoir leur place dans une manifestation au for-mat diffrent et aux ressources plus importantes, elle nen a pas moins constitu, parcequelle a t effectue selon les rgles rigoureuses du travail scientifique, un pas de plussur le chemin de notre maturit.

Ces Actes regroupent donc les rsums des 59 communications orales et des 22communications-poster retenues, auxquelles il faut ajouter ceux des 8 confrences pl-nires de nos invits. Les rsums dnotent la varit et la vitalit des mathmatiquesappliques maghrbines, au sens large de ce terme car nous y incluons de plein droit lacontribution essentielle de nos mathmaticiens maghrbins de lmigration, qui articulentde plus en plus leur travail avec ceux de leurs collgues du Maghreb. Sans oublier celle de

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nos collgues et amis de la rive Nord de la Mditerranne, qui ont t et continuent dtrenos plus srs partenaires dans la construction de ce lac de paix et dchanges auxquelsnous aspirons tous, et qui nous font aujourdhui lamiti de venir nos colloques, aprsnous avoir si souvent accueillis dans les leurs. En parcourant ces Actes, on constateraaussi que, passe la longue et douloureuse preuve quils ont traverse, nos collgues al-griens reviennnent progressivement et srement dans la course. La troisime dition deTAM-TAM sera, nen doutons pas, la leur. Non seulement parce quils auront la respon-sabilit de lorganiser, mais aussi et surtout parce quils auront retrouv le rle central quia toujours t le leur dans les mathmatiques appliques maghrbines.

Un tel colloque naurait pu avoir lieu, on le conoit bien, sans limplication dcisivedune multitude dacteurs. Nous voulons dabord remercier les membres du Comit dOr-ganisation et du Comit de Programme, auquel se sont joints de manire informelle ungrand nombre de collgues qui ont naturellement et en toute simplicit accept dvaluerles communications que nous avons soumises leur jugement. Sans lobscur et patienttravail des uns et des autres, ce colloque ne pourrait certainement pas jouer le rle auquelil aspire. Nous tenons galement remercier du fond du coeur les institutions qui ont prisle colloque sour leur patronage : ENIT, EMI, USTHB et ENS Kouba. Car lexpriencepasse a clairement montr que seule une telle implication institutionnelle est en mesuredassurer la prennit dune entreprise comme celle-ci. Il serait cependant fastidieux deciter la longue liste des sponsors de la manifestation, quils ne nous en veuillent pas,notre gratitude - que nous affichons haut et fort sur tous les instruments de communica-tion du colloque - va bien au del des mots. Mais nous ne pouvons manquer de signa-ler le rle particulier jou par lUniversit de Tunis El Manar et sa prsidente, Madamela Professeure Zeneb Mamlouk, lINRIA et sa DREI, et en particulier Patrick Rambertqui nous fait lamiti dtre prsent parmi nous, lAUF et ses reprsentants Philippe Le-poivre et Alex Brayle, le Ministre Franais des Affaires Etrangres qui nous a apportson concours par le biais de lIFC Tunis, ainsi qu travers le projet Sarima dont noussaluons ici chaleureusement les responsables, nos amis Bernard Philippe et Claude Lobry.... Comment ne pas conclure enfin cette prface par le vibrant hommage que nous devons la Banque de lHabitat qui nous fait la grce de souligner, en offrant aux participants ducolloque un concert exceptionnel de notre immense Lotfi Bouchnak national, la parfaiteharmonie qui a de tous temps rgn entre la musique et les mathmatiques ?

Nabil Gmati Mohamed Jaoua Maher Moakher

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Comit dorganisation

Mohamed AbdelwahedESTI & LAMSIN-ENIT, TunisLamia BelaidESSTT & LAMSIN-ENIT, TunisJalel Ben AbdallahENIT, TunisMarouane Ben MiledFST & LAMSIN-ENIT, TunisHdia ChakerLAMSIN-ENIT, TunisHenda El FekihLAMSIN-ENIT, TunisNabil Gmati (coordinateur)IPEIN & LAMSIN-ENIT, Tunis

Mohamed Jaoua (prsident)LAMSIN-ENIT, TunisMaher MoakherLAMSIN-ENIT, TunisAli SaadaIPEIN & LAMSIN-ENIT, TunisAbdeljalil SakatCUS, MarrakechAsma TebessiLAMSIN-ENIT, TunisChiheb ZarroukLAMSIN-ENIT, Tunis

Comit de programme

Rajae AboulachEMI, RabatBoujemaa AchchabUniv. Hassan 1er, SettatMohamed AmaraUniv. de PauBrahim AmazianeUniv. de PauNaceur AmmarESC, TunisHabib AmmariEP, PalaiseauKais AmmariFSM, MonastirMejdi AzaezENSCP, BordeauxHedi BelhadjsalahENIM, Monastir

Amel Ben AbdaENIT, TunisNaoufel Ben AbdallahUniv. Paul Sabatier, ToulouseFaker Ben BelgacemUniv. Paul Sabatier, ToulouseAbderrahmane BendaliUniv. Paul Sabatier, ToulouseHachmi Ben DhiaECP, ParisFayssal BenkhaldounUniv. Paris 13Fethi BennasrFSM, MonastirHdia ChakerENIT, TunisAbdelkhalek CheddadiEMI, Rabat

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Belhassen DehmanFST, TunisIsmail DjebaliENS, AlgerRabia DjellouliCSU, Northridge, CalifornieAbdellatif El-BadiaUTC, CompigneRachid EllaiaEMI, RabatHenda El FekihENIT, TunisHoussem HaddarINRIA, RocquencourtTaieb HadhriUniv.7 novembre de CarthageKamel HamdacheEP, PalaiseauMohamed JaouaENIT, TunisKeddour LemrabetUSTHB, Alger

Mohamed MasmoudiUniv. Paul Sabatier, ToulouseZoubida MghazliUniv. de KenitraAbdelhafidh MokraneENS, KoubaMohand MoussaouiECL, LyonHdi NabliFSM, MonastirAbdeljalil NachchaouiUniv. de NantesKhaled NajibENIM, RabatYoussef OuknineUniv. de MarrakechAli SouissiFSR, RabatDjamel TeniouUSTHB, Alger

Remerciements

Nos remerciements vont aux collgues suivants, qui ont particip lvaluation descontributions :

Monia BellalounaENSI, TunisRahma Ben AyedENIT, TunisSlimane Ben MiledFST, TunisZbeida BerkaouiENIT, TunisChristine BernardiUniv. Paris 6Jacques BlumUniv. de Nice

Olivier BokanowskiUniv. Paris 6Frederic BonnansINRIA, RocquencourtAnne-Sophie Bonnet-B. DhiaENSTA, ParisNoureddine BoudriguaSupCom, TunisRachida BouhlilaENIT, TunisFernandez CaraUniv. de Sville

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Jean DolbeaultUniv. Paris DauphineRached El-FatmiENIT, TunisJalel EzzineENIT, TunisStphane GaubertINRIA, RocquencourtSihem GuemaraSupCom, TunisItidal Hadj-AlouaneENIT, TunisMohamed HaouariEPT, La MarsaSadok HassanUniv. de LilleHdi HassisENIT, TunisJrome JaffrINRIA, RocquencourtRaouf JaibiFST, TunisMeriem JaidaneENIT, TunisPatrick JolyINRIA, Rocquencourt

Juliette LeblondINRIA, Sophia-AntipolisFrancois-Xavier LedimetINRIA, Rhones-AlpesClaude LobryINRIA, Sophia-AntipolisRene LoziUniv. de NiceMahmoud MoussaENIT, TunisFatma-Zohra NouriUniv. de AnnabaBernard PhilippeINRIA, RennesJean RobertsINRIA, RocquencourtRachid TouzaniUniv. de Clermont-FerrandNizar TouziENSAE, ParisHaduong TuongUniv.Technologique de CompigneHatem ZenzriENIT, TunisHasna ZidaniINRIA, Roquencourt

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SOMMAIRE / CONTENTS

I Confrences Invites / Invited Presentations 1

Numerical Simulation of the 3D Navier-Stokes equations with nonstandard bound-ary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3M. Amara, D. Capatina, D. Trujillo

Mthode dagrgation des variables applique la dynamique des populations 9P. Auger, A. El abdllaoui, R. Mchichi

Transport quantique et classique en nanolectronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19N. Ben Abdallah

Quelques aspects mathmatiques et numriques des problmes inverses en lubri-fication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20M. El Alaoui Talibi

A topology Nash game for tumoral anti-angiogenesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25A. Habbal

N-particles approximation of the Vlasov equations with singular potential . . . 33M. Hauray, P.-E. Jabin

Approximation de loprateur dimpdance dune couche mince . . . . . . . . . . . . .40K. Lemrabet

Image restoration and edge detection by topological asymptotic expansion . . . 47L. Jaafar-Belaid, M. Jaoua, M. Masmoudi, M.L. Siala

II Contrle / Control 55

Stabilisation et commande des quations de Saint-Venant 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 57H. Arfaoui

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Control of the chaotic advection in hydrodynamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63T. Benzekri, C. Chandre, R. Lima, M. Vittot

A max-plus finite element method for solving Hamilton-Jacobi equations . . . . 69M. Akian, S. Gaubert, A. Lakhoua

An adaptative antidissipative method for optimal control problems . . . . . . . . . . 75O. Bokanowski, N. Megdich, H. Zidani

Sur les problmes de contrle optimal frontire pour lquation de la chaleur 82H. Metoui

III Environnement / Environment 89

Gestion et modlisation des ressources hybriques, Partie A : Concept et architec-ture logicielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91F. El Dabaghi, M. Bechichi

Gestion et modlisation des ressources hybriques. Partie B : Ralisation et appli-cations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98F. El Dabaghi, M. Bechchi, H. Henine

Random Perturbations of Reduced Gradient Algorithm (RPRGA) for Solving aComplex of Drinking Water . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105R. Ellaia, A. Elmouatasim

IV Equations Diffrentielles / Differential Equations 111

Fleuves singuliers des champs de vecteurs polynmiaux du plan . . . . . . . . . . . . 113B. Abdelkader

general results about neutral functional differential equations with infinite delay119H. Bouzahir

Goursat boundary value problem for hyperbolic equation with variable domainsof operators coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124A. Guezane-Lakoud, A. Chaoui

Application lanalyse dimage multispectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130S. Chitroub

Bifurcations de bassins dattraction pour les applications avec dnominateur137M. R. Ferchichi, I. Djellit

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Equilibre dans un systme dynamique en lubrification incompressible . . . . . . 143I. Hafidi

Jeu diffrentiel stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149M. Lefebvre

Sur une classe dquations elliptiques donnes dans L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155D. Meskine

Existence globale et comportement asymptotique des solutions dune classe desystmes de raction-diffusion avec raction croissance exponentielle . . . . . 161K. Saoudi

V Estimation dErreurs / Error Estimation 175

A Posteriori error estimator for the subgrid modeling stabilization applied toconvection-diffusion problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177B. Achchab, M. El Fatini, A. Souissi

R-adaptation de maillage par lestimateur derreur hirarchique . . . . . . . . . . . 183A. Alla, M. Fortin, F. Hecht

Estimation a Posteriori h-hirarchique pour la mthode des lments finis avecjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189B. Achchab, A. Ennori, Z. Mghazli

Couplage modle numrique de St-Venant et maillage via les estimateurs a pos-teriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195F. El Dabaghi, N. Guelmi, M. Amara

Residual error estimators for the time dependent Stokes equations . . . . . . . . . 202N. Kharrat, Z. Mghazli

VI Mcanique des Fluides / Fluid Mechanics 209

Eutrophisation des lacs : Modlisation dinjection de bulles dans un lac par unemthode cintique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211M. Abdelwahed, R. Bad, H. Chaker

Procdure spectrale avec diagonalisation des oprateurs pour un coulement flu-ide incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218M. El Guarmah, A. Cheddadi, M. Azaiez

Simulation de londe de crue via un modle numrique deau peu profonde bas

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sur la mthode des caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224F. El Dabaghi, A. El Kacimi, B. Nakhle

Numerical spectral approximations for the solution of Navier-Stokes problem231K. Amoura, F. Z. Nouri

Ecoulement Darcy-Forchheimer dans un milieu poreux fractur . . . . . . . . . . . 237N. Frih, J. E. Roberts, A. Saada

Analyse spectrale linaire dun jet turbulent libre soumis la force de Coriolis243M. Hasnaoui, M. Agouzoul

A theoretical study of free surface flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249D. Hernane-Boukari

Modlisation numrique par la mthode des caractristiques de la surface libredcoulement deau gouvern par les quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 253C. Kada Kloucha, F. El Dabaghi, M. Amara

Dimensions fractales : attracteurs de Lorenz, attracteurs pour les quations deNavier-Stokes et arcs trinomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260K. Lamrini Uahabi, M. Zaoui

Numerical analysis for the problem of viscoelastic fluid flow with characteristicsmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268M. El-Kyal, D. Esselaoui, A. Machmoum, M. Sead

Comparaison de diffrentes approximations employes pour modliser les coule-ments diphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273E. Marchand, F. Clment, J. Jaffr

Performance parallle dun code E.F.Navier-Stokes 2D en vitesse pression pourla simulation dcoulements diphasiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279F. Mezali, F. El Dabaghi, M. Abdelwahed, B.Nakhle

Mthode de continuation pour des instabilits hydrodynamiques 3D en gomtriecylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286R. Touihri, S. Ghnimi

VII Mthodes Numriques / Numerical Methods 293

Dcomposition de domaine pour un milieu poreux fractur . . . . . . . . . . . . . . . . 295L. Amir, M. Kern, V. Martin, J. E. Roberts

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Arlequin method: Practical impacts of the mathematical analysis . . . . . . . . . . 301H. Ben Dhia

Reduction methods and uncertainty propagation: Application to a Chemistry-Transport Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309J. Boutahar, B. Sportisse

Homognisation dun problme de conduction-rayonnement: simulation avecCAST3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317K. El Ganaoui, G. Allaire

Equation dHamilton-Jacobi non-locale modlisant la dynamique des disloca-tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322A. Ghorbel, R. Monneau

Dtermination du nombre de rgions dune image couleur par les critres dinformation329H. Hamzaoui, A. Elmatouat, P. Martin

Simulation des courants de Foucault harmoniques dans des domaines non bornspar la mthode de Schwarz alterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335F. Jelassi

Une mthode dacclration de convergence applique lalgorithme des ap-proximations successives pour la rsolution des grands systmes . . . . . . . . . . . .341A. Laouar, J. Abdelli

REE for Stokes equations: Analyse et Application dun schma aux volumes finisddi au systmes non homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348S. Sahmim, F. Benkhaldoun

Smoothing and compressing surfaces: Some applications of Mathematics in CAGD354H. Mraoui, D. Sbibih

Raffinement en temps par sous-domaine pour un problme de convection en mi-lieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360A. Sboui

La mthode des lments finis mixtes hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365A. Younes, P. Ackerer, F. Lehmann

VIII Modles Cintiques / Kinetic Models 373

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The two-band Schrdinger model : Application to a resonant interband tunnel-ing diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375N. Ben Abdallah, J. Kefi-Ferhane

Particules dans un potentiel de surface : une limite asymptotique du modle deVlasov-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381P. Degond, C. Parzani, M. H. Vignal

IX Optimisation / Optimization 387

Les mtaheuristiques : Application rseaux intelligents dantennes . . . . . . . . . 389F. Debbat, F. T. Bendimerad

Prices after capacity addition in multi-user elastic demand communication net-works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397M. El Kamili, M. Abbad, R. El Azouzi

Shape optimization for the Stokes equations using topological gradient . . . . . 404H. Maatoug

Problmes doptimisation en conomie OLG : Calcul dun sentier optimal decroissance conomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411M. Mabrouk

X Problmes Inverses / Inverse Problems 417

Assimilation de donnes pour lenvironnement: Mthodes variationnelles et nudg-ing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419D. Auroux

Ecart la rciprocit et identification de fissures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425F. Delbary

tude de la robustesse de l algorithme de Kohn et Vogelius . . . . . . . . . . . . . . . . 432S. Chaabane, C. Elhechmi, M. Jaoua

Application de la mthode alternative de Kozlov pour la rsolution dun prob-lme de Cauchy en EEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438M. Farah, A. El-Badia, T. Ha-Duong, V. Pavan

Problme inverse gomtrique : Identification dune partie inconnue de la fron-tire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444S. Chaabane, I. Fellah, M. Jaoua, J. Leblond

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Application de la mthode de Gauss-Newton lidentification de fissures . . . 450I. Horchani

Application de lalgorithme de Neumann-Dirichlet pour la compltion de don-nes en lasticit plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455T. N. Baranger, J. Ben Abdallah, M. L. Kadri

Analytic extensions on an annulus : Applications for some inverse problems 461M. Jaoua, J. Leblond, M. Mahjoub, J. Partington

On solving the Cauchy problem for Laplaces equation and applications . . . . 468A. Ben Abda, L. Jaafar-Belaid, A. Sakat

XI Propagation dOndes / Wave Propagation 475

Modlisation asymptotique des ondes de relief sous leffet de le force de Coriolis477A. Slimani, M. Hasnaoui

Rgularisation pour laroacoustique en rgime transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . 484K. Berriri, A. S. Bonnet-Bendhia, P. Joly

Modlisation mathmatique dun miroir retournement temporel . . . . . . . . . 490C. Ben Amar, N. Gmati, C. Hazard, K. Ramdani

Elments finis mixtes spectraux dordre lev pour la vibro-acoustique instation-naire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496P. Grob, G. Cohen

Elments finis mixtes dordre levs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501E. Bcache, A. Ezziani, P. Joly

The implicitly restarted Arnoldi method for computing a reduced number ofeigenpairs: Application for computing guided modes in an optical fibre . . . . . 507M. Labidi, C. Bekkey

XII Science du Vivant / Life Science 513

Perturbation singulire dun modle de croissance avec retard dans un eniviron-nement htrogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515S. Achchab

Modles cintiques pour limmunologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521L. Derbel, P. E. Jabin

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A Stochastic partial differential equation for phytoplankton aggregation . . . .526N. El Saadi

Modlisation dune population de mrous, effets du braconnage et de la migra-tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533S. Ben Miled, A. Kebir

Optimal spatial distribution of a bioeconomical fishing model on 3 zones . . . . 540R. Mchich, P. Auger, H. Hbid, N. Rassi

XIII Structure / Structure 547

An algorithm for computing the critical state of unilateral buckling of thin plates549M. Ayadi

Analyse mathmatique et numrique des tiges lastiques avec autocontact . . 556M. Chamekh, S. Mani-Aouadi, M. Moakher

Modlisation de leffet dynamique dun raidisseur sur le bord dune plaque mince562L. Rahmani

Rsolution dun systme delasticit non linaire en combinant la mthode desapproximations successives par les quations intgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568M. S. Said

Rgularisation dun problme dobstacle bilatral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574B. Achchab, A. Addou, J. Zahi

Modlisation dun pieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580R. Aboulaich, H. Hidsi, M. Ziani

XIV Thorie des Graphes / Graph Theory 587

A new adjacency list-matrix for graph representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589A. Hlaoui

La thorie des graphes applique la modlisation du Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595M. Nekri, A. Kelladi

Indice des auteurs / Author index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

xiv

I

Confrences InvitesInvited Presentations

1

Numerical simulation of the 3D Navier-Stokesequations with non standard boundary

conditions

M. Amara D. Capatina D. Trujillo *

* Laboratoire de Mathmatiques Appliques CNRS-UMR5142Universit de Pau et des Pays de lAdour IPRA-LMA BP1155 64013 Pau cedex FRANCE

ABSTRACT. We consider boundary value problems for the 3D Navier Stokes equations in the casewhere non standard boundary conditions are given (pressure, vorticity, normal or tangential compo-nents of the velocity). We solve this problem with a minimal regularity. The associated variationalformulation is a mixed one, the principal unknowns being the pressure and the vorticity and the mul-tiplier being the velocity. We describe the numerical discretization which needs some stabilization.Some numerical tests are then presented.

RSUM. On considre les quations de Navier-Stokes dans des domaines tridimensionnels avecdes conditions aux limites non classiques (portant sur la pression, la rotation, les composantes nor-male ou tangentielle de la vitesse). Le problme est trait dans un cadre de rgularit minimale par lebiais dune formulation variationnelle mixte avec pour inconnues principales la rotation et la pressionet pour multiplicateur de Lagrange, la vitesse. Le problme discrtis ncessite une stabilisation; sonordre derreur et son comportement a priori sont donns. Des essais numriques sont aussi dcrits.

KEYWORDS : 3D Navier-Stokes equations, Mixed Finite Elements, Stabilization.

MOTS-CLS : Equations de Navier-Stokes 3D, Elments Finis Mixtes, Stabilisation.

3 TAMTAM Tunis 2005

1. Introduction

We are interested in the stationary 3D Navier-Stokes problem satisfying physicalboundary conditions in a bounded domain with a polyhedral boundary = . Thecorresponding 2D Stokes equations, with the same kind of boundary conditions, werestudied in [1] with a three-fields variational formulation discretized by conforming piece-wise finite elements. The discrete inf-sup condition associated with this formulation isobvious, while the discrete coercivity is obtained by adding a stabilization term takinginto account the jumps of both the vorticity and the pressure across the edges of the trian-gulation. Error bounds were deduced ensuring an optimal convergence rate .

The present work proposes a well-posed and convergent numerical approximation forthe 3D Navier-Stokes equations. The discretization is based on a simpler discrete formula-tion of the Stokes equations than that developed in [1] . We stabilize only the pressure andwe obtain similar results from both the theoretical and the numerical points of view. Thenonlinear aspects of the problem are treated using a variant of the implicit function theo-rem which can be found for instance in [6]. We thus obtain existence and local uniquenessof the solution of the discrete problem. The method is unconditionally convergent and weget the same optimal convergence rate as for the Stokes problem.

2. Mathematical framework

We suppose that is composed of three open and disjoint subsets 1,2,3 such that = 123 and, for the sake of simplicity, we suppose that |2| > 0 where || denotesthe Lebesgue measure. We denote, as usually, by n the unit outward normal vector to theboundary . We consider the stationary incompressible Navier-Stokes equations

u + u.u +p = f and divu = 0 in (1)

with the following boundary conditions : u n = 0 , u n = 0 on 1,p = p0 , u n = 0 on 2,u n = 0 , n = 0 on 3, (2)where u denotes the velocity, p the pressure, = curl u the vorticity and the vectorproduct. The data f , 0, p0 are given, as well as the kinematic viscosity > 0. For thesake of simplicity, we take f L 43 (), 0 L2(3) and p0 L2(2).Introducing the kinematic pressure p = p + 12u u, equations [1] give :

curl +p + u = f , = curl u, divu = 0 in (3)

whose unknowns are now u, and p (denoted by p in the following).

4 Amara et al.

TAMTAM Tunis 2005

2.1. The linear Stokes operator

Let us recall some results similar to those established in [1] for the associated Stokesproblem :

curl +p = g, = curlu, divu = 0 in , (4)

satisfying the boundary conditions u n = 0 , u n = 0 on 1,p = , u n = 0 on 2,u n = 0 , n = on 3, (5)where we take g L 43 (), L2(3) and L2(2).The mixed variational formulation associated with problem [4]-[5] is : Find (,u) XM such thata(, ) + b(,u) = 0 X,

b(,v) = l(v) v M,(6)

where, for all = (, p), = (, q) X and v M :

a(, ) =

.d , b(,v) =

.curlvd +

qdivvd,l(v) =

g.vd + 3

.v nd2

v nd.

The following Hilbert spaces are employed :

M = {v H(div, curl; ); v n|13 = 0,v n|12 = 0},

X = L2() L2(),

where H(div, curl; ) = {v L2(); divv L2(), curlv L2()}.The space M is normed by vM = (v

20, + divv

20, + curlv

20,)

1/2.

We introduce the seminorm |v|M = (divv20, + curlv

20,)

1/2 and we assume that: the seminorm ||M is equivalent to the norm M in M, M is compactly embedded in Lp() with p > 4 , the traces of the elements of M belong to L2().

For every (g, , ) L 43 () L2(3) L2(2), problem (6) satisfies the Babuska-Brezzi conditions (cf. [2] for instance). Then we can define the linear and continuousStokes operator S :

S : L43 () L2(3) L2(2) X L4() with S(g, , ) = (,u). (7)

3D Navier-Stokes equations 5

TAMTAM Tunis 2005

2.2. The nonlinear Navier-Stokes operator

We introduce the nonlinear operator

G : X L4() L4/3() with G(,v) = v = (, q) X, (8)

then the Navier-Stokes equations (3) can be put in the general setting of a nonlinear prob-lem as follows :

F (,u) = 0. (9)

The mapping F is defined by :

F : X L4() X L4(), F (,v) = (,v) S(f G(,v), 0, p0). (10)

We assume in what follows that there exists a solution (,u) such that:

F (,u) = 0 and DF (,u) is an isomorphism on X L4().

It is well-known that the Navier-Stokes problem admits at least a solution (,u), theuniqueness holding under a hypothesis of small data. In this last case, DF (,u) is clearlyan isomorphism. We remark that DF (,u) = Id + S(DG(,u),0, 0) where

DG(,u)(,v) = u+ u = (, q) X.

3. Discrete problem

The numerical approximation of the Navier-Stokes equations needs to consider onlythe discretization of the associated Stokes problem. Let (Th)h>0 a regular family oftriangulations of consisting of tetrahedrons, we denote by Eh the set of internal faces.As usually, hK represents the diameter of the tetrahedron K while he represents thediameter of the face e. We define the discrete finite element spaces:

Mh = {vh M;K Th, vh |K P1(K)} MLh =

{qh L2();K Th, qh |K P0(K)

}, Xh = Lh Lh X.

3.1. The discrete Stokes operator

The discrete linear Stokes operator Sh is defined by

Sh : L43 ()L2(3)L2(2) XL4() with Sh(g, , ) = (h,uh) (11)

(h,uh) being the solution of the discrete formulation associated with problem (4) : Find (h = (h, ph),uh) Xh Mh such thata(h, h) + Ah(h, h) + b(h,uh) = ch(h) h = (h, qh) Xh,b(h,vh) = l(vh) vh Mh,

(12)

6 Amara et al.

TAMTAM Tunis 2005

with

Ah(h, h) =eEh

he

e

[ph][qh]ds +e2

he

e

phqhd

and

ch(h) =e2

he

e

qhd

where > 0 represents a stabilization parameter (which can be eventually chosen inde-pendently of the discretization parameter h) and [.] the jump across the edge e Eh.With this choice of spaces, the inf-sup condition is directly satisfied. The initial bilinearform a(, ) has been changed in a consistent way by adding the stabilization form Ah inorder to retrieve its coercivity on the discrete kernel of b(, ). This result is obtained byadapting the proofs presented in [1].The operator Sh is linear, continuous, bounded in XM and satisfies :

(g, , ) L4/3() L2(3) L2(2 limh0

(S Sh)(g, , )XM = 0. (13)

3.2. The discrete Navier-Stokes problem

The discrete Navier-Stokes formulation associated with equations (3) can be writtenas follows :

Fh(h,uh) = (0, 0) (14)

where the mapping Fh is defined by :

Fh : X L4() X L4(), Fh(,v) = (,v) Sh(f G(,v), 0, p0). (15)

We remark that if (h,uh) is solution of equation (14) then (h,uh) Xh Mh. Thefunctional Fh is differentiable and:

DFh(h,uh) = Id + Sh(DG(h,uh),0, 0).

The analysis of (14) uses a result established in [6], which is mainly based on theimplicit function theorem. Some variants can be found in [3] or in [4]. Then according to[6], we obtain that there exists h0 > 0 such that, for all h < h0, problem (14) has a uniquesolution. Moreover, the following a priori, respectively a posteriori estimates hold :

(,u) (h,uh) c Fh(,u) , (16)

(,u) (h,uh) c F (h,uh) . (17)

Therefore, the approximation method for the Navier-Stokes problem is uncondition-ally convergent and we obtain the optimal convergence rate of the error as for the Stokesproblem.

3D Navier-Stokes equations 7

TAMTAM Tunis 2005

4. Numerical results

We present here the numerical results obtained for the step test. The boundary condi-tions associated with this example are the following: we impose the pressure and un onthe inlet and outlet boundaries, u = 0 elsewhere. The results presented here are obtainedfor Re=1000 using a mesh with 2665 nodes and 10794 elements. In Figures (a) and (b),we show the velocity and the streamlines near the step. One can see that a vortex appearsbehind the step. This situation doesnt occur for small Reynolds numbers.

(a) Velocity near the step (b) Streamlines near the step

5. References

[1] M. AMARA, E. CHACON VERA, D. TRUJILLO, Stokes equations with non standard boundaryconditions., Mathematics of Computation, 73-248, p. 1673-1697 (2004).

[2] F. BREZZI, M. FORTIN, Mixed and Hybrid Finite Element Methods., Springer-Verlag, NewYork (1991).

[3] F. BREZZI, J. RAPPAZ, P.A. RAVIART, Finite Dimensional Approximation of NonlinearProblems. Branches of Nonsingular Solutions. , Numerisch Mathematik 36, p. 1-27 (1980).

[4] G. CALOZ, J. RAPPAZ, Numerical Analysis for Nonlinear and Bifurcation Problems. ,Handbook of Numerical Analysis, vol. V, P.G. Ciarlet & J.L. Lions eds, North-Holland, Am-sterdam (1997).

[5] V. GIRAULT, P.A. RAVIART, Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations. The-ory and Algorithms., Springer-Verlag (1986).

[6] J. POUSIN, J. RAPPAZ, Consistency, stability, a priori and a posteriori errors for Petrov-Galerkin methods applied to nonlinear problems., Numerisch Mathematik 69, p. 213-231(1994).

8 Amara et al.

TAMTAM Tunis 2005

Mthode dagrgation des variables applique la dynamique des populations

P. Auger* , A. El abdllaoui* , R. Mchichi**

* UR GEODESInstitut de Recherche pour le Dveloppement (I.R.D)93143 BONDY CedexFRANCE{pauger,elabdll}@bondy.ird.fr}

** E.N.C.GB.P.1255Tanger PrincipaleMarocracmchich@yahoo.com

RSUM. Nous prsentons les grandes lignes de la mthode dagrgation des variables dans les sys-tmes dquations diffrentielles ordinaires. Nous appliquons la mthode un modle proie-prdateurspatialis. Dans ce modle, les proies peuvent chapper la prdation en se rfugiant sur un site. Leprdateur doit aussi retourner rgulirement dans son terrier pour nourrir sa progniture. Nous tu-dions les effets de migration dpendant de la densit des populations sur la stabilit globale du sys-tme proie-prdateur. Nous considrons des taux de migration constants, puis densit-dpendants.Dans le cas de taux constants il existe un quilibre positif toujours stable alors que dans le cas detaux de migration densit-dpendants, il existe un cycle limite stable via une bifurcation de Hopf.

ABSTRACT. We present the method of aggregation of variables in the case of ordinary differentialequations. We apply the method to a prey - predator model in a multi - patchy environment. Inthis model, preys can go to a refuge and therefore escape to predation. The predator must returnregularly to his terrier to feed his progeny. We study the effect of density-dependent migration on theglobal stability of the prey-predator system. We consider constant migration rates, but also density-dependent migration rates. We prove that the positif equilibrium is globally asymptotically stable inthe first case, and that its stability changes in the second case. The fact that we consider density-dependent migration rates leads to the existence of a stable limit cycle via a Hopf bifurcation.

MOTS-CLS : Agrgation des variables, helles de temps, dynamique de population, proie-prdateur.

KEYWORDS : Aggregation of variables, time scales, population dynamics, prey-predator.

9 TAMTAM Tunis 2005

1. Introduction :

Dans cet article, nous prsentons la mthode dagrgation des variables et son appli-cation dans le domaine de la dynamique des populations. Cette mthode a t dveloppedans le cadre des quations diffrentielles ordinaires [4], des systmes discrets [7] et dansle cas des systmes dquations aux drives partielles [1] et [6].

Dans ce travail nous allons nous focaliser sur les systmes en temps continu et plusprcisment sur des quations diffrentielles ordinaires EDOs. Nous prsentons deuxexemples dans le domaine de la dynamique des populations. Il sagit de deux modlesproie-prdateur spatialiss. Nous faisons lhypothse que la dynamique de migration sefait une chelle de temps plus rapide que la dynamique de croissance et de prdation dessous-populations sur les sites.

Les deux modles dapplication qui seront prsents diffrent par leurs taux de migra-tion entre les sites. Dans le premier modle les taux de migration sont supposs constants,tandis que dans le second, les taux de migration vont tre densit-dpendants. Le fait deconsidrer deux chelles de temps diffrentes nous permet dappliquer la mthode dagr-gation des variables et daboutir un modle global gouvernant la dynamique de quelquesvariables macroscopiques une chelle de temps lente.

Dans le premier modle, nous montrons quil existe un quilibre proie-prdateur qui,lorsquil est positif est globalement asymptotiquement stable.Dans le deuxime modle, la prise en compte dune migration densit-dpendante faitmerger dautres comportements au niveau des populations. Ltude numrique entre-prise dans ce cas montre lexistence dun cycle limite stable. Ces deux exemples illustrentcomment les comportements individuels rapides peuvent merger au niveau des popula-tions.

2. Prsentation de la mthode dagrgation des variables :

Dans ce paragraphe, nous rappelons les grandes lignes de la mthode dagrgationdes variables dans le contexte des EDOs. Nous considrons un systme hirarchique (voirfigure 1), les variables dtat peuvent appartenir diffrents groupes. Chaque groupe estconstitu de plusieurs sous-populations. Les interactions inter-groupes sont vues commeune perturbation des interactions intra-groupe. Notons par nj la densit de populationde la sous-population j de la population , o j {1, N} et o N est le nombre desous-populations de la population .

10 Auger et al.

TAMTAM Tunis 2005

Lquation gnrale qui reprsente lvolution de le densit de la sous-population lchelledu temps rapide s crit :

dnjd

= fj (n1 , .., n

N) +

a 6=,=1

fj (na1 , .., n

N , n

1 , .., n

N

) (1)

avec {1, A} , j {1, N} .

Le terme fj (n1 , .., n

N) reprsente le processus rapide (interactions intra-groupe), et

le termea

6=,=1 fj (n

a1 , .., n

N , n

1 , .., n

N

) reprsente le processus lent (interac-tions inter-groupes). Le paramtre sans dimension reprsente le rapport entre lchellede temps rapide et lchelle de temps lente.

La procdure dagrgation des variables commence par une tape importante qui consiste choisir des variables globales V , {1, A} . En gnral, chaque variable globalecorrespond une population et dpend de toutes ses sous-populations. De plus, cesvariables globales V doivent tre constantes lchelle du temps rapide. Dans cette sec-tion, nous nous limitons au choix usuel suivant :

V (t) = n(t) =Nj=1

nj (t), {1, A} (2)

o n(t) reprsente la densit de la population totale linstant t.

Pour appliquer la mthode dagrgation, le syst me rapide doit tre conservatif :

Nj=1

fj (n1 , .., n

N) = 0, {1, A} (3)

Ltape suivante de la mthode consiste calculer l quilibre rapide. Autrement dit, onnglige la partie lente du syst me en posant = 0, puis on rsoud le systme d qua-tions : {

fj (n1 , .., n

N) = 0,N

j=1 nj = n

(4)

pour tout {1, A} .

Le systme (4) peut avoir plusieurs solutions comme il peut navoir aucune solution.Dans ce qui suit, nous supposons que (4) admet une solution unique et que cette solutionest asymptotiquement stable pour le systme rapide{

dnjd = f

j (n

1 , .., n

N)N

j=1 nj = n

(5)

Mthode dagrgation des variables 11

TAMTAM Tunis 2005

La condition de stabilit asymptotique est une condition ncessaire pour lapplication dela mthode dagrgation des variables.

On note par n

= (n

1 , .., n

N) lquilibre rapide du systme i.e.

fj (n

1 , .., nN1, n

N1j=1

nj ) = 0, {1, A} (6)

Par consquent, pour tout {1, A} , n est une fonction de la variable globale n etpeut donc tre note par n

(n) = (n1 (n

), .., n

N(n)).

Pour aboutir lquation vrifie par les variables globales n (quation agrge), on ad-ditionne les quations du systme initial (1) puis on substitue lquilibre rapide n

(n)

aux micro-variables nj . Ainsi on obtient

dn

dt=

Nj=1

a 6=,=1

fj (n

1 (n), .., n

N(n), n

1 (n), .., n

N(n)) + O(). (7)

o t est le temps lent avec la relation suivante avec le temps rapide ; t = .

Lquation (7) est appele le modle agrg. Ce modle est obtenu par un dveloppementen srie de Taylor en et reprsente une approximation du modle initial (1). Le premierterme du modle agrg (7) est une bonne approximation du modle initial lorsque lesconditions suivantes sont satisfaites :

- Le systme

dn

dt=

Nj=1

a 6=,=1

fj (n

1 (n), .., n

N(n), n

1 (n), .., n

N(n)) (8)

est structurellement stable ([5], [10]),

- Le paramtre > 0 est assez petit.

Si le modle agrg (8) nest pas structurellement stable, il est ncessaire de dtermi-ner les termes dordre suprieurs dans le dveloppement en srie de Taylor en [3].

Souvent lorsquon considre des systmes hirarchiques avec diffrents niveaux dor-ganisation (niveau de lindividu, de la population, de la communaut, de lcosystme),lune des difficults majeures dans ltude de tels systmes peut tre la dimension le-ve de ceux-ci. La mthode dagrgation des variables permet de rduire le systme de(a

=1 N) quations un systme de A quations.

12 Auger et al.

TAMTAM Tunis 2005

Le modle agrg auquel on aboutit peut parfois permettre de faire une tude analytiqueet dobtenir ainsi des rsultats gnraux en fonction des paramtres, tandis que le modlecomplet est souvent impossible tudier analytiquement et exige une tude numrique.

La mthode dagrgation peut permettre non seulement de retrouver des modles clas-siques tudis prcdemment [2], mais aussi de construire de nouveaux modles prenanten compte les interactions intra-populations et de donner des informations sur lmer-gence des processus rapides au niveau de la population.

3. Agrgation des variables dans un modle proie-prdateurspatialis :

Dans cette section nous considrons deux populations ; une population de proies etune population de prdateurs. Il sagit dun modle proie-prdateur spatialis avec troissites. Nous supposons que la proie est prsente sur les sites 1 et 2 et le prdateur sur lessites 2 et 3 (voir figure 2). Le site 2 est donc un site commun la proie et au prdateur.Pour la proie, le site 1 est un refuge et aussi un puits. Ainsi, la proie doit venir sur lesite 2 pour trouver des resources mais elle doit faire face au prdateur. le site 2 permetau prdateur dattraper des proies mais il doit retourner rgulirement sur le site 3 qui estson refuge cest--dire lendroit o il lve et nourrit ses petits, par exemple un nid pourdes aigles ou encore un terrier.

Le modle est le suivant :

dn1d = (k12n2 k21n1) + [mn1]

dn2d = (k21n1 k12n2) +

[r2n2

(1 n2K2

) an2p2

]dp2d = (k23p3 k32p2) + [bn2p2 2p2]

dp3d = (k32p2 k23p3) + [(1 )bn2p2 3p3]

(9)

o est la proportion des proies consommes sur le site 2 par le pr 12ateur et (1 ) laproportion des proies ramenes au terrier par le prdateur pour nourrir sa progniture. okij representent les taux de migration du site j vers le site i.Dans un premier temps, nous allons considrer des taux de migration constants et dans undeuxime temps des taux de migration densit-dpendants.

Mthode dagrgation des variables 13

TAMTAM Tunis 2005

3.1. Taux de migration constants

Dans cette sous-section nous supposons que les proies et les prdateurs migrent rgu-lirement et constamment entre les sites :

k12 = , k21 = , k23 = , k32 = (10)

Le modle (9) scrit :dn1d = (n2 n1) + [mn1]

dn2d = (n1 n2) +

[r2n2

(1 n2K2

) an2p2

]dp2d = (p3 p2) + [bn2p2 2p2]

dp3d = (p2 p3) + [(1 )bn2p2 3p3]

(11)

Equilibre rapide :

Pour dterminer lquilibre rapide, on rsoud le systme dquations suivant :{n2 n1 = 0p3 p2 = 0

(12)

avec n = n1 + n2 et p = p2 + p3.

Un calcul simple montre que lquilibre rapide est donn par :

n1 = 1n, n

2 =

2n, (13)

p2 = 2p, p

3 =

3p. (14)

o les proportions i des proies et i des prdateurs sur le site i sont donnes par :

1 =

+ , 2 =

+

2 =

+ , 3 =

+

Le modle agrg est le suivant :{dndt = Rn(1

nK )Anp

dpdt = p + Bnp

(15)

14 Auger et al.

TAMTAM Tunis 2005

o

R = r22 m1 ,K =K2R

r2 (2 )2 , A = a

2

2 (16)

= 22 + 33 , B = b

2

2 . (17)

Le modle agrg (15) est un modle classique ([8], [9]) et admet les points dquilibresuivants :

E0 = (0, 0), E1 = (K, 0) (18)

et lquilibre positif E = (n, p) o

n =

B, (19)

p =R

a(1 n

K) (20)

Lquilibre positif E existe ssi

R > 0, BK > 0. (21)

Lanalyse de stabilit montre que : E0 est toujours instable. Si E existe, alors E1 estinstable. Mais si E1 est stable alors E nexiste pas.De plus, si Eexiste, alors il est globalement asymptotiquement stable.

3.2. Taux de migration densit-dpendants

Nous allons maintenant supposer que le taux de migration de la proie (resp. du pr-dateur) vers son refuge dpend de la densit de prdateurs (resp. des proies) sur le site 2.Lorsquil y a beaucoup de prdateurs sur le site 2, les proies retournent plus rapidementdans leur refuge. Le prdateur exerce un effet rpulsif sur la proie. Lorsque la proie estassez abondante sur le site 2, le prdateur chasse plus vite et donc repart trs vite versson refuge pour apporter de la nourriture sa progniture. Nous supposons aussi que leprdateur revient rgulirement sur le site 2 la recherche de la proie sur ce site.

k12 = p2, k21 = , k23 = , k32 = n2. (22)

Le systme (9) scrit :dn1d = (p2n2 n1) + [mn1]

dn2d = (n1 p2n2) +

[r2n2

(1 n2K2

) an2p2

]dp2d = (p3 n2p2) + [bn2p2 2p2]

dp3d = (n2p2 p3) + [(1 )bn2p2 3p3]

(23)

Mthode dagrgation des variables 15

TAMTAM Tunis 2005

Lquilibre rapide est solution du systme dquations suivant :{p2n2 = (n n2)(p p2) = n2p2

(24)

Un calcul simple donnen2 =

(pn+)+

(pn+)2+42n2 ,

p2 = p(nn2)

,

n1 = n n2,p3 = p p2

(25)

Le modle agrg scrit alors :{dndt = (

r2K2

+ a )(n2)

2 + (r2 ap + an + m)n2 mn

dpdt = (

b )(n

2)

2 ((23+bn) bp)n2 (

(32) n + 2p)

(26)

o n2 est donn par (25) et n2 est une fonction des densits de populations totales n et p.

Il est important de remarquer que le modle agrg montre une diffrence significativeavec le modle initial. Le modle microscopique initial contient la fonction de prdationclassique de Lotka-Volterra, tandis que le modle agrg est un modle compltementnouveau par rapport au modle initial mais aussi par rapport aux modles classiques quenous rencontrons gnralement en cologie mathmatique.

3.2.1. Simulations numriques :

Dans cette section, nous prsentons des simulations numriques effectues sur le mo-dle agrg (26). Tous les paramtres du modle sont fixs except le paramtre . Nousnous focalisons sur leffet dune migration densit-dpendante travers ce dernier para-mtre. Nous avons obtenu diffrents rsultats en fonction du paramtre , o ]0, 1[.

Les valeurs des paramtres qui sont fixs sont les suivantes :

a = 0.8, = 0.2, = 0.6,K1 = 1000,m = 0.15, = 0.1, 1 = 0.3, 2 = 0.4, b = 0.5, r1 = 0.2, = 0.3.

(27)

Les simulations numriques montrent que lquilibre positif est stable pour des petites etdes grandes valeurs de ]0.0651; 0.1401078[]0.7490; 0.7495[ (voir figure 3).

16 Auger et al.

TAMTAM Tunis 2005

Cet quilibre positif devient instable lorsque traverse la valeur critique 1c = 0.1401078et une bifurcation de Hopf supercritique apparat.

La figure 4 montre lexistence dun cycle limite stable pour les populations totales desproies et des prdateurs. Ce cycle apparat la valeur critique 1c = 0.1401078 et dispa-rat juste aprs la valeur critique 2c = 0.7490992.

4. Conclusion

Dans le premier exemple, lorsquil existe un quilibre positif, il est toujours globa-lement asymptotiquement stable. Dans le second exemple, lorsquil existe un quilibrepositif, il peut soit tre globalement asymptotiquement stable (Figure 3) ou bien tre in-stable et sentourer dun cycle limite stable (Figure 4). En effet, lorsque le paramtre crot entre min et max (o ]min, max[ est lintervalle dexistence de lquilibre posi-tif), alors lquilibre positif passe de la stabilit linstabilit lorsque traverse la valeurcritique 1c et il y a apparition dun cycle limite correspondant des oscillations entrete-nues dans les populations totales des proies et des prdateurs. Ce cycle limite continue exister jusqu ce que atteigne la valeur 2c . Lorsque traverse la valeur

2c , lquilibre

positif redevient stable. Dans le cas o lquilibre positif est instable, les trajectoires ducycle limite passent trs prs de lorigine ce qui pourrait provoquer sous leffet de petitesvariations alatoires du milieu lextinction du systme proie-prdateur.Dans ces conditions, nous pouvons dire que le comportement de migration densit-dpendanta tendance destabiliser le systme proie-prdateur.

5. Bibliographie

[1] ARINO O., SNCHEZ E. , BRAVO DE LA PARRA R., AUGER P., A singular perturbation inan age-structured population model , SIAM J. Appli. Math., 60, 1999.

[2] AUGER P., CHIORINO G., POGGIALE J-C., Aggregation emergence and immergence inhierarchically organized systems , Int. J. General Systems,vol. 27 (4-5),pp. 349-371.

[3] AUGER P., POGGIALE J-C., Emergence of population growth models : fast migration andslow growth , J. Theor. Biol., 182 (99-108) 1996.

[4] AUGER P., POGGIALE J-C., Aggregation and emergence in systems of ordinary differentialequations , Math. Comput. Model., 27 (1-21) 1998.

[5] AUGER P., ROUSSARIE R., Complex ecological models with simple dynamics : From indivi-duals to populations , Acta Biotheor., 42 (111-136) 1994.

[6] BRAVO DE LA PARRA R., ARINO O. , SNCHEZ E., AUGER P., A model of an age-structuredpopulation with two time scales , Math. Comput. Model., 31 (17-26) 2000.

Mthode dagrgation des variables 17

TAMTAM Tunis 2005

[7] BRAVO DE LA PARRA R., AUGER P., SNCHEZ E., Aggregation methods in descrete mo-dels , J. Biol. Syst., 3 (603-612) 1995.

[8] EDELSTEIN-KESHET L., , Mathematical Models in Biology , New York, 1988.

[9] MURRAY J. D., , Mathematica Biology , Springer Verlag, Berlin, 1989.

[10] POGGIALE J-C., , Applications des varits invariantes la modlisation en dynamique depopulations , Ph.D. Thesis, Dijon, 1994.

18 Auger et al.

TAMTAM Tunis 2005

Transport quantique et classique ennanolectronique

N. Ben Abdallah

Laboratoire MIP, Universit Paul-Sabatier, Toulouse, FranceE-Mail : naoufel@mip-ups-tlse.fr

RSUM. Du fait de la forte miniaturisation dans lindustrie des semi-conducteurs, la physique quan-tique devient un ingrdient cl de fonctionnement des dispositifs lectroniques.En effet lchelle dunanomtre les lectrons ne sont plus des particules mais se comportent comme des ondes; do deseffets quantiques dinterfrence, de rsonance, dont la prise en compte ncessite un effort particulierde modlisation. En ralit, ces effets quantiques sont en gnral spatialement localiss. Pour plusdefficacit au niveau de la modlisation et de la simulation numrique, leur description doit atre cou-ple une modlisation purement classique ce qui soulve des questions danalyse asymptotique etde condition dinterface entre les diffrents modles. Le but de lexpos est de prsenter une brefpanorama de modles dactualit dans ce domaine, dexpliciter, travers des techniques danalyseasymptotique, les liens existant entre eux, et de soulever les nombreux problmes mathmatiques etnumriques qui doivent atre rsolus. Lexpos sera illustr par quelques expriences numriques.

ABSTRACT.

MOTS-CLS :

KEYWORDS :

19 TAMTAM Tunis 2005

Quelques aspects mathmatiques etnumriques des problmes inverses en

lubrification

M. El Alaoui Talibi

Department of MathematicsFacult des Sciences Semlalia40000, Marrakech, Moroccoelalaoui@ucam.ac.ma

RSUM. Dans cet expos nous prsentons un certain ensemble de rsultats mathmatiques etnumriques pour des problmes inverses et doptimisations en lubrification. Lobjectif tant de re-constituer lpaisseur dun film partir dune distribution de pression donne ou bien de chercherlpaisseur optimisant des paramtres physiques dtermins. Dans tous les mcanismes lubrifis,lcoulement est mince et les quations de Navier-Stokes tridimensionnelles sont approches parles quations bidimensionnelles de Reynolds ou des variantes suivant la gomtrie et la nature dulubrifiant. Mais bien que ces quations aient un caractre ellitique priori, la prise en compte du ph-nomne de cavitation dans le film induit plusieurs modles de cavitation et conduit des problmesde contrle ou ltat est solution dun problme frontire libre. Nous distinguons alors plusieurs mo-dles et nous prsentons des rsultats dexistence dunicit et de rgularit pour les quations dtatset des tats adjoints. Nous introduisons aussi plusieurs algorithmes bass sur des approximations parrgularisation ou par relaxation et nous donnons quelques rsultats numriques.

ABSTRACT.

MOTS-CLS :

KEYWORDS :

TAMTAM Tunis 2005 20

1. Introduction

Dans ce travail nous prsentons quelques problmes didentification et doptimisationen Lubrification. Lobjectif tant damliorer les performances des mcanismes et dvi-ter leurs dtrioration. Celle-ci est due un contact non adquat ; par exemple, pour desjoints dtanchit o des paliers : lapparitions de cavit de manire disproportionne.Pour des ttes de lectures magntiques il sagit de trouver un compromis entre un contactvitant la dterioration des surfaces et un bon rendement cest dire une bonne recons-titution de linformation enregistre. Nous distinguerons entre les problmes frontireslibre ou nous prenons en compte la cavitaion par plusieurs modles, et les problmessans cavitation modlisant lcoulement de lair entre un disque magntique et une ttede lecture.

2. Quelques modles de cavitation en lubrificationhydrodynamique

Pour un mcanisme lubrifi par un fluide Newtonien, la pression est rgie par lqua-tion classique de Reynolds [10] :

x

(h3

12p

x

)+

y

(h3

12p

y

)=

x

(hU

2

)(1)

o p est la pression dans le film, h(x) lpaisseur du film, la densit du fluide, laviscosit du fluide et U la vitesse relative des surfaces du mcanisme. Dans la suite nousconsidrerons un palier cylindrique de surface .

Lquation (1), ntant valable que dans la partie de o le film est complet - cest dire o la pression est suprieure la pression de vaporisation du fluide- plusieurs modlesont t introduits pour tenir compte du phnomne de cavitation qui apparait gnralementdans un mcanisme lubrifi. Citons parmi ces modles :

Modle de Reynolds : ce modle consiste considrer que la pression ainsi queson gradient sont continus travers la frontire de la zone cavit et conduit linquationvariationnelle :

p V

h3p.( p)dx

hU.( p) dx K (2)

o K ={ H10 (), 0

}

Problmes inverses en lubrification 21

TAMTAM Tunis 2005

Modle dElrod-Adams : Dans ce modle on introduit comme inconnue suppl-mentaire la concentration du lubrifiant dans le film pour obtenir une quation valabledans tout le domaine, ce qui conduit la formulation variationnelle :

(, p) L() V

h3p. hU. dx =0

0h dx2 V H(p)

(3)

0 tant un dbit dentre assurant lalimentation du palier et H le graphe d Heavisidedfini par :

H(r) =

1 if r > 0[0, 1] if r = 00 if r < 0,et lespace V par :

V ={ H1(); = 0 on

},

Modle dElrod : En introduisant une loi de compressibilit reliant la saturation dulubrifiant et la pression dans le film on obtient une quation valable dans tout le domaineayant la formulation varitionnelle :{

Trouver p L2() vrifiant p+ H1(), B(p) 0

h3p+ dxdy

hB(p)x dxdy = 0 V,(4)

o loprateur B est associ la loi de compressibilit considre.

3. Etude du problme direct associ au modle dElrod

Nous donnons ici un rsultat dexistence et dunicit pour le problme (4), utilisant unlemme de Ky Fan Genralis. Ces rsultats gnralisent et compltent ceux de [3].

4. Problme inverse associ au modle dElrod

Dans [1, 7, 6, 5], nous avons tudi les problmes didentification pour les modles (2)et (3). Nous prsentons ici une tude rcente de ces problmes pour le modle dElrod.Le problme de contrle que nous tudions se formule ainsi :

(M)

{Min J(h) = 12 p(h) pd

2 = 12 log(1 + 1 p+(h)) pd2

h Uad(5)

oUad = {h BV () L() / 0 < a h b p.p et Dh () C}

22 El Alaoui Talibi M.

TAMTAM Tunis 2005

et p(h) est la solution de (4) avec la loi de compressibilit B(p) = 1 +p

. BV () est

lespace des fonctions de L1() variation borne et Df () la variation totale de fdfinie par :

Df () := sup{

f div dx / C1c (, Rn) ; || 1}

.

5. Etude dun modle compressible. Optimisation dune ttede lecture

Nous prsentons dans la dernire partie des rsultats obtenus dans [4] pour le problmede lcoulement de lair entre une tte de lecture et un disque magntique. La pressiondans le film est solution de lquation de Reynolds compressible [2] :{

[(h3p + 6Kp2)p] = (hp) x p = pa x

(6)

et nous nous intressons au problme de loptimisation de la charge

Trouver p Uad telle que j1(p) = min j1(p)

avec

j1(p) =

(p(h) pa)dx

o p(h) est la solution (6). Sous les hypothses assez faibles sur les coefficients :

h L(), a h(x) b,

nous donnons un rsultat dexistence et dunicit pour (6) et nous tudions le problmede loptimisation avec h BV () .

6. Bibliographie

[1] G. Bayada, M. El Alaoui Talibi : Control by coefficients in a variational inequality : Theinverse elastohydrodynamic lubrication problem. Non linear Analysis J., Serie Real world ap-plication (1) 2000, p.p 315-328.

[2] B. Burgdorfer. The influence of the molecular mean free path on the performance of hydrody-namic gas lubricated bearings. ASME Journal of basic Engineering, 81 :99100, 1959.

Problmes inverses en lubrification 23

TAMTAM Tunis 2005

[3] M. Chambat, Contribution la modlisation en lubrification hydrodynamique : phnomnesde cavitation et tudes asymptotiques pour un coulement entre des surfaces rugueuses , Thsedtat, Universit Claude Bernard Lyon 1, (1987).

[4] I. Ciuperca, M. El Alaoui Talibi, M. Jai : On the optimal control in elliptic problems . Applica-tion to the optimization of the head slider. A paraitre dans Esaim J. Control, Optimisation andCalculus of Variation (2005)

[5] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : "Numerical simulation of the two-hydrodynamic filmthikness" Numerical Algorithms 33 : 241-250, 2003

[6] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : "Contrle p ar les coefficients dans le modle Elrod-Adams" Esaim J. Control, Optimisation and Calculus of Variation Vol. 6, pp.97-118 (2001).

[7] M. El Alaoui Talibi., A. El Kacimi : A constraints relaxation technic for solving an identifica-tion of coefficients problem issued from hydrodynamic lubrication. J. Inv. Ill-Posed Problems,Vol.10, N. 3, pp.295-318(2002) .

[8] H. G. Elrod, A Cavitation Algorithm, ASME J. Lubr. Technol, 103, 350-354, (1981).

[9] A. A. Elsharkawy and L. H. Guedouar, An inverse analysis for steady-state elastohydrodyna-mic lubrication of one-layered journal bearings. ASME, J. Tribo, Vol 122, 524-533, (2000).

[10] J. Frne, D. Nicolas, B. Degueurce, D. Berthe and M. Godet, Lubrification hydrodynamique,Paliers et Butes. 72 Eyrolles, (1990).

24 El Alaoui Talibi M.

TAMTAM Tunis 2005

A topology Nash game for tumoralanti-angiogenesis

A. Habbal*

* University of Nice-Sophia Antipolis, Francehabbal@unice.fr

ABSTRACT.

RSUM. Langiognse est le processus biologique par lequel se dveloppent des rseaux de vais-seaux sanguins, partir de vaisseaux pr-existants. Ce processus est souhaitable, voire fondamental,lors du dveloppement de lembryon et de sa maturation, ou lors de la cicatrisation de blessures parexemple. Par contre, cest aussi un moyen utilis par les tumeurs cancreuses solides pour survivreet continuer se dvelopper. On sait aussi depuis peu que langiognse tumorale est le mca-nisme par lequel sopre la metastase cancereuse, tape ultime et lthale du cancer. Depuis quelquesannes, des chercheurs oncologues ont mis lide que lempchement de langiognse, ou anti-angiognse, pourrait apporter de nouveaux espoirs de traitement du cancer. Divers moyens peuventtre mis en oeuvre pour cela, et certain s mdicaments bass sur cette approche sont en cours detests, donnant des rsultats spectaculaires sur des cobayes. Pour envisager son application aux hu-mains, cette approche -et les phnomnes inhrents- doit tre bien comprise et bien matrise par leschercheurs. Notre tude se propose de contribuer la comprhension de linteraction entre facteursdangiognse et facteurs dinhibition de celle-ci. Pour cela, nous proposons un modle simple issu dela physique des milieux poreux, coupl un modle dlasticit linaire, pour reprsenter la tumeur etle tissu biologique hte. La tumeur cherche se fabriquer un rseau de vaisseaux le mieux pour elle,tandis que le tissu hte cherche se protger de la dgradation de matire opre par des enzymessecretes par la tumeur. Cette situation se prte parfaitement une modlisation par la thorie desjeux, dans laquelle les joueurs sont la tumeur et le tissu lastique, et les stratgies sont respective-ment la densit dactivateurs et celle dinhibiteurs dangiognse. Les rsultats numriques obtenus(pour une variante somme nulle) montrent une organisation lquilibre non triviale des inhibiteurs,et lapparition de canaux (pour la porosit) et non de structures artrielles bien organises.

KEYWORDS :

MOTS-CLS :

25 TAMTAM Tunis 2005

1. Introduction

Angiogenesis is the biological process by which networks of blood vessels are ini-tiated and proliferate towards a mature vasculature -local circulatory system-. At earlydevelopment and growth, angiogenesis is necessary to go from the embryonic vasculo-genesis into a complete and mature blood circulatory system. Moreover, angiogenesisplays an important role in wound healing and tissue repairing. But from other part, angio-genesis plays also a pathological role, being a fundamental step in the growth of cancertumors and in tumoral metastasis, the ability of tumor cells to develop in other places us-ing the blood and lymphatic networks. Recently, oncologists have suggested that the useof inhibitors of angiogenesis, an approach that is often referred to as anti-angiogenesis,could prove effective in cancer treatment. Combined with directly curative drugs, anti-angiogenic drugs are intended to efficiently stop the expansion of tumoral mass, forcingthe tumor to dormancy or even regression.

In the present work, we consider angiogenesis and anti-angiogenesis processes as re-sulting from a mathematical game between two players : activators of angiogenesis, will-ing to provide the tumor with an efficient feeding (and waste expelling) network of bloodvessels, and inhibitors, with a specific action on the tumor vasculature.

From the activators viewpoint, the biological tissue surrounding the tumor, and locatedbetween close existing vessels and the tumor is seen as a porous medium, defined by itsporosity distribution. The latter is defined as a result of an interaction between activatorsand inhibitors. Activators would like to design the porosity in order to yield the minimalpressure drop. From the inhibitors viewpoint, the same biological medium is seen as alinear elastic continuum, defined by its material elasticity tensor. As for the porosity,the material properties are defined as a result of an interaction between activators andinhibitors. Inhibitors would like to design the material distribution in order to provide thematrix with the minimal mechanical compliance.

2. Mathematical modeling

Obviously, solid tumor growth is not only a question of diffusion ; it should and infact it does include key factors from structural mechanics. Indeed, there are only a veryfew and quite recent contributions to this area. In Chaplain and Sleeman [3], elasticitytheory is used to describe tumor invasion. Jones et al. in [1] introduce a constitutivelaw that combines the stress-strain relation of linear elasticity with a growth term derivedby analogy with thermal expansion. Tumor spheroid growth is also studied with poroe-lasticity modeling in [7] [5]. A more recent study by Araujo and McElwain addressinggrowth-induced stresses in tumors can be found in [4], the model presented highlights therole of various tissue properties in inducing vascular collapse phenomena observed insidetumors.

26 Habbal

TAMTAM Tunis 2005

While still viewing the tumor+extracellular matrix+existing vessel as an overall sys-tem, we assume that the tumor and the host tissue are acting in a competition framework,each competitor willing to fulfill a given objective. We make two assumptions on therespective objectives of the tumor and of the host tissue. The first one is that angio-genesis provides the tumor with an optimal drainage mechanism. Natural circulatorynetworks, including human vascular network are known to have arterial branchings opti-mal structure with respect to the maximal-drainage objective ; An evidence is providedby Schreiner [8] "Arterial branchings closely fullfil several bifurcation rules which aredeemed to optimize blood flow. The question is whether these local criteria in conjunc-tion with a general optimization principle can explain the overall structure of an arterialtree. Schreiner concludes in the cited study that "The comparison between the modeland real coronary arterial trees shows good agreement regarding structural appearance,morphometric parameters, and pressure profiles." The second assumption we make is thatthe host tissue is willing to keep its structural integrity as a way to fight against the tumorgrowth. Indeed, this assumption seems to gain audience among biologists. Based on invitro studies, Helmlinger et al. [9] demonstrated that solid stress inhibits tumor growthin vitro, regardless of host species, tissue of origin, or differentiation state, which madeRoose et al. [7] suggest that the host tissue provides resistance to tumor growth.

2.1. A porous media model for the tumor

The extracellular matrix as well as the tumoral vasculature are seen as a porous medium,which occupies a volume RN (N = 2 or 3), with a variable porosity denoted by , which lies between the matrix porosity M and blood vessel porosity V . The simplesteffective model for porous media is the following, also known as the DArcy Law, wherethe physical variable is pressure p :

div (p) = Q in pn = g over Vpn = 0 over Np = 0 over T

(1)

The right-hand side Q represents a residual source of nutrients by diffusion throughthe host tissue, it is assumed to be negligible compared to the inward blood flow g. Itshould be noticed that we do not take into account what happens inside the tumor itself,considering only its boundary T as an outlet.

Obviously, the pressure field depends on the porosity distribution.

As mentioned before, we postulate that angiogenesis provides the tumor with an opti-mal drainage mechanism, i.e. with a porosity such that the tumor optimal blood networkminimizes the averaged pressure drop.

A topology Nash game 27

TAMTAM Tunis 2005

The pressure drop denoted by L1(; p) is given by the formula :

L1(; p) =

Qp dx +

V

gp ds

2.2. A structural model for the extracellular matrix

Now, one may also consider the host surrounding tissue as a continuum medium, letsay a linear isotropic, nonhomogeneous, elastic material. This model is of course a coarseapproximation of the actual mechanical behavior of the living tissues, which is rather ofvisco-elastic nature [6]. This medium is composed of healthy and degraded tissues. Thedegradation could be due to established vascularization or to an early enzymes action,like as the MMPs family.The elasticity tensor E lies then (in a certain sense) between thedegraded material tensor ED, and the original -sane- extracellular matrix tensor EM.

Conforming to the linear elasticity classical equilibrium equations, the displacementvector u = (uj) solves

div (E(u)) = b in u = 0 over VE(u).n = 0 over NE(u).n = t over T

(2)

The strain tensor denoted by (u) is defined with obvious notations as

(u)ij =12

(uixj

+ujxi

)The mechanical stress tensor is given by (u) = E(u).

The body forces -such as selfweight- are denoted by b, and the normal tension whichmodels the stress induced by the tumor growth is denoted by t. The tissue is assumedto be clamped to the mother vessel V . A related model can be found in [1] where theauthors study the stress induced during avascular tumor growth.

The displacement vector u depends on the Elasticity tensor E. The latter itself de-pends on the interaction between activators and inhibitors of tissue degradation.

As said in the introductory section, we assume that the host tissue is willing to keepits integrity, by using all available factors it could control (one example is inhibitors ofMMPs). In continuum mechanics, it is usual to consider that such goal is achieved bymaximizing the stiffness, or equivalently, minimizing the compliance :

L2(E;u) =

b.u dx +

T

t.u ds

28 Habbal

TAMTAM Tunis 2005

3. The Nash game

We consider a two-players static game of complete information. The two players arethe Tumoral Angiogenic Factors (TAF) which control activators distribution, denoted by, and anti-Angiogenic Factors (aAF) which control inhibitors distribution, denoted by k.

Strategy spaces are defined as follows :

(TAF) is equipped with a strategy space

S1 = { L(), 0 1,

dx 1||}

(aAF) is equipped with a strategy space

S2 = {k L(), 0 k 1,

kdx 2||}

The constraints on the relative volume fractions express the fact that there is only a limitedavailable amount of activators and inhibitors.

A simultaneous (or blind) choice of (; k) prompts an interaction between TAF andaAF, which is modeled as follows :

Interaction Law : = (1 k) Porosity : = (; k) = M + (V M )P () Elasticity tensor : E = E (; k) = EM + (ED EM )P ()

where P () is the identity, an exact homogenization operator, or an interpolated SIMP-like (Solid Isotropic Material Penalization) operator, see Rozvany et al. [10].

The interaction law is a very simple, arbitrary, choice. It states for example that theinhibitor action is completely and immediately efficient. Actual biological situations areof course much more complex.

To end with the definition of the game, objective or loss functions are defined respec-tively as :

Pressure Drop j1(; k) = L1(; p) for player (TAF) (3)

Mechanical Compliance j2(; k) = L2(E;u) for player (aAF) (4)

where p is the pressure solution to the DArcy equation (1), and u is the displacementvector solution to the elasticity equation (2).

3.1. Existence of a Nash equilibrium

We consider the cases where either P () = or P () is a restriction operator,i.e. P () = g SR(), with g being a convex function and SR a linear compact filter,cf [2] for details. We have the

A topology Nash game 29

TAMTAM Tunis 2005

theorem 1 There exists a Nash equilibrium, i.e. a pair of strategies (?, k?) S1 S2such that

? solves minS1

j1(, k?) (5)

k? solves minkS2

j2(?, k) (6)

For numerical experiments, we considered the minimax (or duel) problem

j2(; k) = j1(; k) = L1(; p)

which models a game where the first player wants to minimize the pressure drop, while onthe contrary the second player wants to maximize it (or, equivalently, wants to minimizethe drainage of the network).

Such a game is also known as a zero-sum game.

4. A Computational experiment

The domain is a rectangle. The upper side is V , and the lower is T . Maximumallowed volume fractions are 40% for (TAF) and10% for (aAF).The Nash overall loop converged in three iterations ; each partial optimization took aroundthirty iterations (and two hundred FEM runs) to converge.

Converging strategies are presented in figures 1-2-3.In figure-1, the first player (TAF), having the information that the second player (aAF)

has played a uniform strategy, plays its optimal strategy which consists, as could be ex-pected, in a single channel, preserving the volume constraint, located at the central lineof the rectangle (thanks to the symmetry of the problem). At its turn, the second player,informed that the first player has played a uniform strategy, simply puts as much anti-angiogenic as possible around the tumor T . Quite unexpectedly, (aAF) does not play auniform horizontal density, but creates a small excavation.

Then, at the second Nash iteration, the first player knows that the second one has cutoff the way to the tumor, so it starts to develop alternative channels. At the same time,the second player knows now that the TAF has a strong presence within the excavation,which is then filled as shown in figure-2.

The final iteration, yielding a numerical Nash equilibrium is shown in figure-3. The re-sulting porosity distribution in figure-3 does not exhibit any arterial-tree branching struc-ture, but only multiple channels.

Multiple channels seem to be the best response of the activators to optimally dis-tributed inhibitors.

30 Habbal

TAMTAM Tunis 2005

Figure 1. First Nash loop iteration.Left: density of the TAF. Right: density k of the aAF.

5. References

J.S. Gibson A.F. Jones, H.M. Byrne and J.W. Dold. A mathematical model of the stress inducedduring avascular tumour growth. J. Math. Biol., 40(6):473499, 2000.

T. Borrvall and J. Petersson. Topology optimization using regularized intermediate density control.Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 190(37-38):49114928, 2001.

M.A.J. Chaplain and B.D. Sleeman. Modelling the growth of solid tumours and incorporating amethod for their classification using nonlinear elasticity theory. J. Math. Biol., 31(5):431473,1993.

Araujo R.P. McElwain D.L.S. New insights into vascular collapse and growth dynamics in solidtumors. Journal of Theoretical Biology, 228:335346, 2004.

M. Sarntinoranont F. Rooney M. Ferrari. Interstitial stress and fluid pressure within a growingtumor. Annals of Biomedical Engineering, 31:327335, 2003.

Y.C. Fung. Biomechanics. Mechanical properties of living tissues. 2nd ed. Springer-Verlag NewYork Berlin Heidelberg., 1993.

T. Roose P.A. Netti L.L. Munn Y. Boucher R.K. Jain. Solid stress generated by spheroid growthestimated using a linear poroelasticity model. Microvascular Research, 66:204212, 2003.

Schreiner W. Buxbaum P.F. Computer-optimization of vascular trees. IEEE Transactions onBiomedical Engineering, 40(5):482491, 1993.

Helmlinger G. Netti P.A. Lichtenbeld H.C. Melder R.J. Jain R.K. Solid stress inhibits the growthof multicellular tumor spheroids. Nature Biotechnology, 15(8):778783, 1997.

T. Rozvany G. I. N. Zhou M. Birker. Generalized shape optimization without homogenization.Struct Optim., 4:250254, 1992.

A topology Nash game 31

TAMTAM Tunis 2005

Figure 2. Second Nash loop iteration.Left: density of the TAF. Right: density k of the aAF.

Figure 3. Final (3rd) Nash loop iteration.Left: density of the TAF. center: density k of the aAF. Right: Porosity distribution.

32 Habbal

TAMTAM Tunis 2005

N-particles approximation of the Vlasovequations with singular potential

M. Hauray * P.-E. Jabin **

* CEREMADEPlace du Marchal de Lattre de Tassigny75775 Paris Cedex 16

** Laboratoire Dieudonn, Universit de Nice-Sophia AntipolisParc Valrose06108 Nice Cedex 02

ABSTRACT. We prove the convergence in any time interval of a point-particle approximation of theVlasov equation by particles initially equally separated for a force in 1/|x|, with 1. We introducediscrete versions of the L norm and time averages of the force field. The core of the proof is to showthat these quantities are bounded and that consequently the minimal distance between particles inthe phase space is bounded from below.

RSUM. On prouve la convergence en tout temps dune approximation particulaire de lquationde Vlasov, pourvu que les particules soient initialement bien rparties et que la force entre deuxparticules se comporte en 1/|x|, avec 1. Pour cela, on introduit une notion de norme L

discrte et on moyenne en temps le champ de force. Le point crucial de la preuve est de montrer queces nouvelles quantits sont bornes et donc que la distance entre deux particules dans lespace desphases est minore.

KEYWORDS : Derivation of kinetic equations. Particle methods. Vlasov equations.

MOTS-CLS : Drivation des quations cintiques. Mthodes particulaires. quations de Vlasov.

33 TAMTAM Tunis 2005

1. Introduction

We are interested here by the validity of the modeling of a continuous media by akinetic equation, with a density of presence in space and velocity. In other words, dothe trajectories of many interacting particles follow the evolution given by the continuousmedia if their number is sufficiently large? This is a very general question and this paperclaims to give a (partial) answer only for the mean field approach.

Let us be more precise. We study the evolution of N particles, centered at (X1, . . . , Xn)in Rd with velocities (V1, . . . , Vn) and interacting with a central force F (x). The posi-tions and velocities satisfy the following system of ODEs

Xi = Vi,Vi = E(Xi) =

j 6=i

i jmi

F (Xi Xj), (1)

where the initial conditions (X01 , V01 , . . . , X

0n, V

0n ) are given. The prime example for

(1) consists in charged particles with charges i and masses mi, in which case F (x) =x/|x|3 in dimension three.

To easily derive from (1) a kinetic equation (at least formally), it is very convenient toassume that the particles are identical which means i = j . Moreover we will rescalesystem (1) in time and space to work with quantities of order one, which means that wemay assume that

i jmi

=1N

, i, j. (2)

We now write the Vlasov equation modelling the evolution of a density f of particlesinteracting with a radial force in F (x). This is a kinetic equation in the sense that thedensity depends on the position and on the velocity (and of course on the time)

tf + v xf + E(x) vf = 0, t R+, x Rd, v Rd,

E(x) =

Rd(t, y) F (x y) dy,

(t, x) =

v

f(t, x, v) dv. (3)

Here is the spatial density and the initial density f0 is given.When the number N of particles is large, it is obviously easier to study (or solve

numerically) (3) than (1). Therefore it is a crucial point to determine whether (3) can beseen as a limit of (1).

Remark that if (X1, . . . , XN , V1, . . . , Vn) is a solution of (1), then the measure

N (t) =1N

ni=1

(xXi(t)) (v Vi(t))

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is a solution of the Vlasov equation in the sense of distributions. And the question iswhether a weak limit f of N solves (3) or not. If F is C1 with compact support, then itis indeed the case (it is proved in the book by Spohn [14] for example). The purpose ofthis paper is to justify this limit if

|F (x)| C|x|

, |F (x)| C|x|1+

|2F (x)| C|x|2+

, x 6= 0, (4)

for < 1, which is the first rigorous proof of the limit in a case where F is not necessarilybounded.

Before being more precise concerning our result, let us explain what is the meaningof (1) in view of the singularity in F . Here we assume either that we restrict ourselvesto the initial configurations for which there are no collisions between particles over atime interval [0, T ] with a fixed T , independent of N . Or we assume that F is regularor regularized but that the norm FW 1, may depend on N ; This procedure is wellpresented in [1] and it is the usual one in numerical simulations (see [15] and [16]). Inboth cases, we have classical solutions to (1) but the only bound we may use is (4).

Other possible approaches would consist in justifying that the set of initial configu-rations X1(0), . . . , XN (0), V1(0), . . . , VN (0) for which there is at least one collision, isnegligible or that it is possible to define a solution (unique or not) to the dynamics evenwith collisions.

Finally notice that the condition < 1 is not unphysical. Indeed if F derives froma potential, = 1 is the critical exponent for which repulsive and attractive forces seemvery different. In other words, this is the point where the behavior of the force when twoparticles are very close takes all its importance.

2. Important quantities

The derivation of the limit requires a control on many quantities. Although some ofthem are important only at the discrete level, many were already used to get the existenceof strong solutions to the Vlasov-Poisson equation (we refer to [7], [8] and [12], [13] asbeing the closest from our method).

The first two quantities are quite natural and are bounds on the size of the support ofthe initial data in space and velocity,

R(T ) = supt[0,T ], i=1,...N

|Xi(t)|, K(T ) = supt[0,T ], i=1,...N

|Vi(t)|. (5)

Of course R is trivially controlled by K since

R(T ) R(0) + T K(T ). (6)

Now a very important and new parameter is the discrete scale of the problem denoted. This quantity represents roughly the minimal distance between two particles or the

Approximation of the Vlasov equations 35

TAMTAM Tunis 2005

minimal time interval which the discrete dynamics can see. We fix this parameter fromthe beginning and somehow the main part of our work is to show that it is indeed correct,so take

=R(0)N1/2d

. (7)

At the initial time, we will choose our approximation so that the minimal distance betweentwo particles will be of order .

The force term cannot be bounded at every time for the discrete dynamics (a quantitylike F ? N is not bounded even in the case of free transport), but we can expect that itsaverage on a short interval of time will be bounded. So we denote

E(T ) = supt[0, T],i=1,...,N

{1

t+t

|E(Xi(s))| ds}

, (8)

with for T <

E(T ) = supi=1,...,N

{1

T0

|E(Xi(s))| ds

}, (9)

thus obtaining a unique and consistant definition for all T > 0. Moreover we denote byE0 the supremum over all i of |E(Xi(0))|.

This definition comes from the following intuition. The force is big when two particlesare close together. But if their speeds are different, they will not stay close for a long time.So we can expect the interaction force between these two particles to be integrable in timeeven if they "collide". There just remains the case of two close particles with almost thesame speed. To estimate the force created by them, we need an estimate on their number.One way of obtaining it is to have a bound on

m(T ) = supt[0,T ],i 6=j

|Xi(t)Xj(t)|+ |Vi(t) Vj(t)|. (10)

The control on m requires the use of a discretized derivative of E, more precisely, wedefine for any exponent ] 1, d [ , which also satisfies < 2d 3 ( = 1 wouldbe enough for short time estimates)

E(T ) = supt[0, T]

supi,j=1,...,N,

{1

t+t

|E(Xi(s)) E(Xj(s))| + |Xi(s)Xj(s)|

ds

}, (11)

with as for E, when T <

E(T ) = supi,j=1,...,N

{1

T0

|E(Xi(s)) E(Xj(s))| + |Xi(s)Xj(s)|

ds

}. (12)

Now, we introduce what we called the discrete infinite norm of the distribution of theparticle N . This quantity is the supremum over all the boxes of size of the total massthey contain divided by the size of the box. That is, for a measure we denote

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, =1

(2)2dsup

(x,v)R2d{(B((x, v), ))} . (13)

where B((x, v), ) is the ball of radius centered at (x, v) for the infinite norm. Notethat we may bound N (T, ), by

N (T, ), (4 m(T ))2d . (14)

We may also introduce discrete L norm at other scales by defining in general

, =1

(2)2dsup

(x,v)R2d{(B((x, v), ))} . (15)

The quantities R, K, m will always be assumed to be bounded at the initial time T = 0uniformly in N .

3. Main results

The main point in the derivation of the Vlasov equation is to obtain a control on theprevious quantities. We first do it for a short time as given by

Theorem 3.1 If < 1, there exists a time T and a constant c depending only on R(0),K(0), m(0) but not on N such that for some < < 3

R(T ) 2 (1 + R(0)), K(T ) 2 (1 + K(0)), m(T ) 2 m(0),

E(T ) c (m(0))2(K(0))

(R(0))

, suptT

N (t, ), (8 m(0))2d.

RemarkThe constant 2, which appears in the bounds, is of course only a matter of convenience.

This means that another theorem could be written with 3 instead of 2 for instance; Thetime T would then be larger. However increasing this value is not really helpful becausethe kind of estimates which we use for this theorem blow up in finite time, no matter howlarge the constant in the bounds is.

This theorem ca