MÉTODOS NUMÉRICOS

A continuación se presentan las fórmulas de algunos métodos que ayudan a aproximar de forma numérica la solución de un problema con valor inicial

( )

( )0 0

,dy f x ydxy x y

=

=

1. MÉTODO DE EULER

( )1

1 ,n n

n n n n

x x hy y hf x y

+

+

= +

= +

2. MÉTODO DE EULER MEJORADO

( ) ( )( )1

1 , , ,2

n n

n n n n n n n n

x x hhy y f x y f x h y hf x y

+

+

= +

⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

3. MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEN 2

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1 , , , ,2!

n n

n n n n n n n n n n

x x h

h f fy y hf x y x y x y f x yx y

+

+

= +

⎡ ⎤∂ ∂= + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

4. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DEL PUNTO MEDIO

1

1 , ( , )2 2

n n

n n n n n n

x x hh hy y hf x y f x y

+

+

= +

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

5. MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN CUATRO

( )

( )

( )

1

1 1 2 3 4

1

12

23

4 3

1 2 26,

,2 2

,2 2,

n n

n n

n n

n n

n n

n n

x x h

y y k k k k

k hf x y

khk hf x y

khk hf x y

k hf x h y k

+

+

= +

= + + + +

=

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + +

Ejemplo

Dada la ecuación diferencial !"!"= 2− !

!𝑦 1 = 0

. Use el método de aproximación de Euler, Euler

mejorado y Rungge Kutta para encontrar la aproximación del valor de 𝑦 2 tomando un tamaño de paso h=0.1.

Usando el Software Geogebra se realiza la aproximación por cada método.

Ejercicios:

1. Realice el ejemplo anterior por los métodos de Taylor orden 2 y Runge Kutta del punto medio.

Aplique en cada caso cada uno de los métodos anteriores para aproximar la solución en el valor solicitado, con tamaño de paso 0.1h = y 0.01h = .

2.

dydx

= y

y 0( ) =1y (1) = ?

3.

dydx

= xy − y 2

y 0( ) = −1y (1) = ?

4. La ley de enfriamiento de Newton establece que la velocidad de cambio de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente. Suponga que la constante de proporcionalidad es igual a 11(minutos)−− y que la temperatura del medio es de 70°F. Si el cuerpo tiene una temperatura inicial de 100°F halle la temperatura del cuerpo al minuto.

5. La temperatura dentro de un edificio se modela mediante el problema con valor inicial

[ ]

( )0 0

( ) ( ) ( ) ( )dT K M t T t H t U tdtT t T

= − + +

=

Donde M es la temperatura fuera del edificio, T es la temperatura dentro del edificio, H es la razón de calentamiento adicional, U es la razón de calentamiento (mediante un calefactor) o de enfriamiento (mediante un aire acondicionado), K es una constante y 0T es la temperatura inicial en 0t . En un momento típico 0 0t = (media noche),

0 65T F= ° , ( ) 0.1H t = , [ ]( ) 1.5 70 ( )U t T t= − , ( )( ) 75 20cos /12M t tπ= − y 0.2K = . Halle la temperatura del edificio a las ocho de la mañana.