Clculo NumricoRoberto Aravire FloresAgosto de 20111 Resolucin de Ecuaciones No LinealesUn problema fundamental de las matemticas aplicadas es determinar valoresc tales que 1(c) = 0. Estos valores se denominan races de la ecuacin1(r) = 0En general no es posible resolver una ecuacin como esta y por lo tanto en-contrar los valores exactos no es alcanzable en todos los casos, por esto se handesarrollado mtodos que permiten determinar aproximaciones numricas su-cientemente cercanas a las races buscadas. El siguiente ejemplo ilustra eltipo de problemas que queremos estudiar:Problema: En los estudios sobre recoleccin de energa solar al enfocarun campo de espejos planos en un colector solar central, un investigadorobtuvo la siguiente ecuacin para el factor de concentracin geomtrica (:( =:(/ cos )210.512(1 + sin 0.5 cos ).donde es el ngulo de anillo del campo, 1 es la cobertura fraccionaria delcampo con los espejos, 1 es el dimetro del colector y / es la altura delmismo. Encuentre , si / = 300, ( = 1200, 1 = 0.8 y1 = 14.Para resolver este tipo de problemas consideraremos 3 mtodos que ilus-tran el tipo de argumentos y herramientas usadas en clculo numrico.11.1 Mtodo de la BiseccinEst basado en el Teorema del Valor Intermedio que dice: Si 1(r) unafuncin real tal que 1(c) y 1(/) tienen signos distintos y adems es continuaen un intervalo que incluye a [c. /], entonces existe c [c. /] tal que 1(c) = 0.De este modo debemos determinar dos puntos c y / donde la funcin1 cambie de signo, esto es posible mediante el uso de la funcin j|ot deMaple, de modo que supongamos que ya tenemos estos valores.El mtodoconsiste en considerar el punto medio c entre ambos extremos y determinardonde se produce el cambio de signo, en [c. c] o en [c. /], segn correspondase descarta uno de los dos intervalos y se contina con el restante, al que seaplica el mismo procedimiento. De este modo en cada iteracin del procesola amplitud del intervalo se reduce a la mitad y la raiz buscada quedarencerrada en el intervalo restante. El intervalo inicial tiene amplitud / c,de este modo, despus de : iteraciones, obtendremos un intervalo de amplitud(/ c)2n1.Este mtodo permite obtener una sucesin ridonde cada ri es el puntomedio obtenido en cada iteracin. Dado que la amplitud del intervalo tiendea 0, tenemos que la sucesin es convergente y su lmite es una de las racesbuscadas.En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.Ejercicios:1. Encuentre la menor raiz positiva de la funcin trascendente1(r) = 3r + sin r cxCuntas races existen?2. La funcin 1(r) = r cos(r(r 2)) tiene muchos ceros, especialmentecerca de r = 2, donde est indenida.Trace la grca de la funcin.Determine las cuatro primeras races positivas aplicando el mtodo dela biseccin, obtengas estas races con hasta 6 dgitos signicativosexactos.23. Encuentre, mediante el mtodo de la biseccin, las coordenadas de lospuntos dende se cortan las grcas de n = r22e n = cxcon hasta6 cifras decimales exactas. Cuntas iteraciones se requieren?1.2 Metodo de Newton - RaphsonEste mtodo es uno de los ms utilizados y est basado en aproximacioneslineales de 1. Para deducir el mtodo recurriremos a la serie de Taylor de lafuncin, la que supondremos tiene todas sus derivadas en una vecindad queincluya a la raiz buscada. Sea r0 una paroximacin inicial, desarrollemos laserie de Taylor de 1 alrededor de r0, entonces1(r) = 1(r0) +10(r0)(r r0) + + 1:!1(n)(r0)(r r0)n+Considerando r cercano a r0 tenemos que las potencias de rr0 deben sermuy pequeas lo que permite truncar la serie a partir de la segunda derivada,de este modo obtenemos:1(r) t 1(r0) +10(r0)(r r0)con un error dado por la segunda derivada de 1. Ms an como la raiz c escercana a r0podemos especializar r = c, obteniendo, dado que 1(c) = 00 t 1(r0) +10(r0)(c r0)de donde concluimos que:c t r0 1(r0)10(r0)Esta aproximacin nos permite construir una nueva y mejor aproximacinr1 = r0 1(r0)10(r0)e iterando el procedimientorn+1 = rn 1(rn)10(rn)para : _ 1.3Nota: Cabe destacar que este mtodo no converge cuando la primeraderivada es 0 o muy cercana a 0, en tal caso, se puede recurrir a un trminoms en la serie de Taylor para obtener una aproximacin mejor, en este casoobtendremos una aproximacin de carcter cuadrtica en la que an podemosdespejar c.En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.Ejercicios:1. Un mtodo similar al de la Biseccin es el Mtodo de Interpolacin Lin-eal, consiste en determinar como aproximacin el punto de interseccinde la recta que une (c. 1(c)) y(/. 1(/)) , con el eje A.(a) Aplique este mtodo para determinar la raiz de1(r) = r3+r23r 3 = 0con valores iniciales c = 1, / = 2.(b) Redacte un programa en Maple que desarrolle este mtodo.2. Mtodo de Gree para separar races de polinomios. A veces las racesde un polinomio estn muy cercanas, por lo que los mtodos usualesno convergen, este mtodo permite construir un nuevo polinomio cuyasraces son los cuadrados de las races originales, por lo tanto estsraces quedarn ms separadas. sea1(r) un polinomio, considere elproducto 1(r)1(r), este nuevo polinomio es tal que la variable r seencuentra siempre elevado a potencias pares.reemplazando . = r2,obtenemos un polinomio en . que tiene el mismo grado que el originalpero con races que son el cuadrado de las races del polinomio original.Demuestrelo.3. Confeccione un programa en Maple que permita aplicar el mtodo deBairstow.4. Encuentre los puntos mximo/mnimo de la funcin1(r) = [sin(r)]6c20xtan(1 r)sobre el intervalo[0. 1].45. Aplique el mtodo de Newton para calcular las races de1(r) = cx+ 4r35con una precisin de hasta el quinto decimal, determine el nmero deiteraciones necesarias para lograr esta aproximacin.6. Use el mtodo de Newton en la ecuacin r2= ` para deducur elalgoritmo para obtener la raiz cuadrada de `;rn+1 = 12

rn + `rn

.7. Encuentre las races (reales o complejas), mediante el mtodo de New-ton - Raphson, de las siguientes ecuaciones:(a) 3r3+ 2r2r 6(b) r3r21(c) r3c2x+ 18. Determine las races del polinomior511r4+ 46r390r2+ 81r 27(a) Es posible obtener todas las races por biseccin?(b) Qu ocurre con el mtodo de Newton (hay races mltiples).9. Encuentre los puntos mximos o mnimos de la funcin1(r) = [sin r]6c20xtan(1 r)en el intervalo [0. 1]. Utilice cualquier mtodo.10. El polinomio j(r) = r3+ 94r2389r + 294 tiene como races a 1, 3,-98. El punto r0 = 2 debera ser en este caso un buen punto inicialpara calcular cualquiera de las races pequeas por medio de iteracionesde Newton. Haga los clculos y explique lo que sucede.51.3 Mtodo de Newton - Raphson GeneralizadoEste mtodo permite obtener las races de sistemas de : funciones no linealesde : variables. Est basado en las series de Taylor de variables mltiples, lasque se truncan manteniendo su parte lineal, siguiendo la misma estrategiaque en la seccin anterior obtenemos un sistema lineal de : ecuaciones con: incgnitas ( las incgnitas son las componentes de un punto interseccinde las supercies ) (r1. r1. . . . . rn)En el caso : = 2, las funciones son1(r. n) = 0G(r. n) = 0y un punto de interseccin de estas curvas (c. ) , se puede aproximarmediante una sucesin de puntos (rn. nn) obtenidos de la siguiente manera:rn+1 = rn

1(rn. nn) 1y(rn. nn)G(rn. nn) Gy(rn. nn)

1x(rn. nn) 1y(rn. nn)Gx(rn. nn) Gy(rn. nn)

nn+1 = nn

1x(rn. nn) 1(rn. nn)Gx(rn. nn) G(rn. nn)

1x(rn. nn) 1y(rn. nn)Gx(rn. nn) Gy(rn. nn)

donde el determinante

1x(rn. nn) 1y(rn. nn)Gx(rn. nn) Gy(rn. nn)

es el Determinante Ja-cobiano del Sistema.En el documento adjunto se incluye un programa en Maple que permiteaplicar este mtodo.Ejercicios:61. Considere las siguientes funciones1(r. n) = r32n210G(r. n) = r23rn3+ 3Determine los puntos de interseccin entre estas curvas. Para elloefectue primero una gracacin y luego, partiendo de diversas aproxi-maciones, determine los puntos de interseccin.2. En Anlisis Numrico con Aplicaciones de Gerald & Wheatley y enotros textos se encuentran una variedad de mtodos. Revise estos mto-dos, son variaciones de los que hemos presentado.(a) Mtodo de Interpolacin Lineal(b) Mtodo de Muller(c) Mtodo de Newton para Polinomios(d) Mtodo de Bairstow para factores cuadrticos(e) Mtodos para races mltiples.3. Para efectuar Integracin Numrica se utiliza un mtodo denominadoCuadratura Gaussiana. Para esto es necesario determinar los cerosde los polinomios de Legendre. Encuentre los ceros del polinomio deLegendre de sexto orden16(r) =148(693r6945r4+ 315r215)Similarmente encuentre los ceros de los polinomios de Laguerre:(a) 13(r) = r39r2+ 18r 6(b) 14(r) = r416r3+ 72r296r + 244. Determine las races de las ecuaciones simultneas(r 4)2+ (n 4)2= 4r2+n2= 16Use una aproximacin grca para obtener los valores iniciales.75. Repita el problema anterior paran = r2+ 1n = 3 cos r6. Localice la primera raz positiva de1(r) = sin(r) + cos(1 + r2) 1donde r est en radianes. Mediante grcos determine una primeraaproximacin y luego use 4 iteraciones con el mtodo de Newton-Raphson.7. El mtodo de divide y promedia, un antiguo mtodo para aproximarla raiz cuadrada de cualquier nmero positivo c, se puede formularcomor = r +cr2Demuestre que esta frmula est basada en el algoritmo de Newton-Raphson.8. Efecte iteraciones con el Mtodo de Newton Generalizado para el sis-tema siguiente1(r. n) = 1 +r2n2+cxcos nG(r. n) = 2rn +cxsin ncon valores iniciales r0 = 1e n0 = 4 .82 Aproximacin de FuncionesOtro problema fundamental en matemticas aplicadas es cmo aproxi-mar funciones mediante funciones elementales?, las elementales son las fun-ciones polinmicas, trigonomtricas, funciones racionales (cuociente de poli-nomios), exponenciales, etc. En particular, desde un punto de vista prcticoes muy importante aproximar una funcin mediante funciones elementalesque involucren el menor nmero posible de operaciones y que stas sean el-ementales. En el caso de las calculadoras, se desea representar las funcionestrigonomtricas, logaritmicas, exponenciales y otras, a partir de multiplica-ciones, sumas y restas, este tipo de habilidades son las que transforman auna calculadora usual en una cientca.2.1 Aproximaciones de TaylorCuando la funcin es continua y derivable todas las veces necesarias, se puedeconstruir su serie de Taylor alrededor de algn punto r0. As tenemos1(r) = c0 +c1(r r0) +c2(r r0)2+c3(r r0)3+ +cn(r r0)n+donde cn =1:!1(n)(r0) y esta representacin es vlida en una ciertavecindad de r0de radio 1 (radio de convergencia) donde se producela convergencia uniforme lo que permite realizar operaciones fundamentalestrmino a trmino tales comoderivacin e integracin.De esta manera truncando la serie en algn trmino obtenemos1(r) - c0 +c1(r r0) +c2(r r0)2+c3(r r0)3+ +cn(r r0)nes decir, la funcin 1(r) aproximada por un polinomio. Por ejemplo,sin r - r r33! + r55! r77! + r99!Con esta aproximacin podemos calcular sin(n) evaluando un polinomio degrado 9. Los problemas que surgen son: cul es el error cometido?, esposible encontrar otro polinomio del mismo grado que d menos error?La primera pregunta se responde por medio de la frmula[1T[ _ [1(n+1)(r1) (r r0)n+1[:!9donde r1es un punto en el intervalo en que se est trabajando.En el Taller 2 se estudia el caso de 1(r) = sin r, con [c. /] = [:2. :2],y se verica que la distribucin del error no es uniforme en el intervalo, dehecho para esta funcin, los valores del error crecen violentamente en losextremos del intervalo.En el mismo Taller se revisan los grcos de cada elemento de la base1. r. r2. r3. r4. . . . . rn. . . . del conjunto de polinomios .(A).La poca uniformidad de la distribucin de errores para esta base hace quese estudien bases alternativas de .(A) y funciones de ponderacin (pesos) queden mayor importancia a los extremos. En la siguiente seccin veremos unabase distinta de polinomios y una funcin peso que permitir una distribucinms uniforme.2.2 Polinomios de ChebyshevConsideremos el Espacio J[1. 1] de Funciones Reales Cuadrtico-Integrablessobre el intervalo [1. 1] con el producto< 1. o = 111(r)o(r)

1 r2 drdonde n(r) =1

1 r2es la funcin peso, da mayor mayor importancia alos extremos del intervalo y caracteriza este producto.(J[ 1. 1]. < . ) es Espacio Vectorial Euclidiano, es decir, < . es producto interior de denicin positiva.Ejercicio: Demuestre que1. < 1. o =< o. 1 2. < 1. o +/ =< 1. o+ < 1. / 3. < 1. \o = \ < 1. o para todo real \.4. < 1. 1 _ 0, en particular < 1. 1 = 0implica que 1 es cero salvo unnmero nito de puntos.10Es posible, mediante el proceso de Gram-Schmidt, encontrar una baseortogonal de este espacio, sin embargo recurriremos a la siguiente denicinpara determinar una base ortogonal.Denicin: Para 1 _ r _ 1, sea o = arccos r, es decir o [0. :].Denimos1n(r) = cos(:o)De la denicin se obtiene:10(r) = cos(0o) = 111(r) = cos(o) = r12(r) = cos(2o) = 2r2113(r) = cos(3o) = 4r33r14(r) = cos(4o) = 8r48r2+ 1En general es un tedioso calcular 1n(r) para : _ 4, por ello se utiliza lasiguiente frmula:1n+1(r) = cos((: + 1)o) = cos(:o) cos o sin(:o) sin o1n1(r) = cos((: 1)o) = cos(:o) cos o + sin(:o) sin oSumando ambas igualdades obtenemos1n+1(r) +1n+1(r) = 2 cos(:o) cos o = 2r1n(r)es decir1n+1(r) = 2r1n(r) 1n1(r)para todo : _ 1. Esta es la Frmula de Recurrencia de los Polinomios deChebyshev.Propiedades:1. 1n(r) es polinomio de grado:.2. El coeciente principal de 1n(r) es 2n1, para: _ 1.113. 1n(r) es funcin cuya paridad corresponde a la paridad de :.4. [1n(r)[ _ 1para todo r [1. 1].5. 1n(1) = 16. 1n(1) = (1)nEjercicios:1. Demuestre las propiedades anteriores.2. Determine 1n(0).Un hecho sorprendente es que estos polinomios de Chebyshev constituyenuna base orotogonal de .[1. 1] y en consecuencia de (J[ 1. 1]. < . ). Dado que el grado de 1n(r) es :, resulta evidente que el conjunto depolinomios de Chebyshev es una base, el hecho que sea ortogonal se obtienedel siguiente clculo:< 1m(r). 1n(r) = 111m(r)1n(r)

1 r2dr =cambiando variable r = cos o, dr = sin odo, obtenemos

111m(r)1n(r)

1 r2dr = 0

cos(:o) cos(:o)

1 cos2o(sin o)do=

0cos(:o) cos(:o)do=12

0[cos(:+:)o + cos(::)o] do=12sin(:+:)o:+:+ sin(::)o::

0= 0De este modo los polinomios de Chebyshev son ortogonales.12Ms an, con argumentos similares se demuestra que:< 1n(r). 1n(r) =

:2 para : _ 1: para : = 0El Teorema de Weierstrass garantiza que los polinomios son densos en J[ 1. 1] de modo que podemos representar una funcin1(r) como serie de los1n(r)1(r) = c010(r) +c111(r) +c212(r) + +cn1n(r) +para todo r [1. 1].Es fcil vericar quecn =

1

11f(x)p1x2dr para : = 02

11 f(x)Tn(x)p1x2dr para : _ 1Ejemplo: Si 1(r) = 3 +r r3, entonces1(r) = 310(r) + 2311(r) 1313(r)La razn para la eleccin de los polinomios de Chebyshev, es que dis-tribuyen el error de manera uniforme, es decir, comparado con polinomiosdel mismo grado y mismo coeciente principal, los polinomios de Chebyshevtienen menor error uniforme.Demostracin. Dado que el coeciente principal de los polinomios deChebyshev 1n(r) es 2n1, consideremos los polinomios tn(r) = 2(n1)1n(r),es polinomios multiplos de los de Chebyshev pero con coeciente principal 1,entonces la variacin mxima de tn(r) es 2(n1)(que es alcanzada en :+1puntos, dado que 1n(r) es un coseno). Supongamos que existe un polinomiode grado :, con coeciente principal 1 que tiene variacin menor que la detn(r) en[1. 1], es decirmaxx2[1;1](r)