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  • Mtodos Numricos

    Mtodos analticos

    Solucin de ecuaciones diferenciales

    Mtodos Numricos

    Mtodos analticos:

    La solucin es una relacin funcional entre dos variables.

    No todas las ecuaciones diferenciales tienen solucin analtica.

    ,dy

    f x ydx

    = y f x c =

    0 0,x y

    y g x =

    1

    1

    si x x

    y y

    Mtodos numricos:

    Constituyen aproximaciones a la solucin exacta

    Las soluciones son escalares

    Todas las ecuaciones tienen solucin numrica

    Se pueden usar los programas de cmputo para reducir el trabajo.

    ,dy

    f x ydx

    = 0 0 1, , ,x y h x x = 1y

    Mtodo de Euler.

    Sea y f x la solucin particular de una ecuacin diferencial, y sea y su derivada evaluada en

    el punto 0 0,x y como se muestra en la grfica:

  • x

    y

    1Ty

    2Ty

    1y

    0y

    2x

    2y

    1x 3x0x

    Ty

    y f x

    A partir de la figura se puede establecer que el valor de la recta tangente en 1x y el valor de la

    funcin son muy prximos.

    1 1Ty y

    Si la diferencia entre 0x y 1x se toma muy pequea entonces se puede decir que 1 1Ty y .

    Del curso de geometra analtica se sabe que:

    1 1 0 0Ty m x x y

    Considerando que

    0

    0

    x x

    dym y

    dx

    se tiene:

    1 0 1 0 0 1 0 0

    h

    y y x x y y y h y

    De esta forma se podra calcular con muy buena aproximacin el valor de 1y sin la necesidad de

    resolver la ecuacin diferencial y tener explcitamente la funcin y f x .

  • Considere que ahora se requiere calcular el valor de 2y . Si se toma la misma recta tangente se

    puede observar que la aproximacin ya no es tan buena y el error cometido crece

    considerablemente, por lo que sera ms conveniente tomar otra recta tangente. La recta

    tangente evaluada en el punto anterior sera una mejor opcin. De esta manera 2 2Ty y .

    2 2 1 1Ty m x x y

    Donde

    1

    1

    x x

    dym y

    dx

    Sustituyendo el valor de la pendiente:

    2 1 2 1 1y y x x y

    Tomando el mismo valor de 1 0 2 1h x x x x :

    2 1 1y y h y

    De igual manera si se quisiera obtener una aproximacin del valor 3y se debe trabajar con la recta

    tangente evaluada en el punto anterior, es decir para 2x . La frmula ser:

    3 2 2y y h y

    De esta forma se puede plantear la siguiente ecuacin general:

    1n n ny y h y

    A esta ecuacin se le conoce como ecuacin de Euler. El valor de h (magnitud de paso) debe ser

    pequeo para tener una aproximacin aceptable.

    Errores.

    Error Absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.

    a TE y y

    Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor exacto.

    ar

    EE

    y

  • Porcentaje de Error Relativo: Es el producto del error relativo por cien.

    % 100r rE E

    Ejemplo1: Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial 5

    dy x y

    dx para 1.5x considerando las

    siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solucin analtica y haga una

    tabla donde exprese el valor terico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

    La frmula de Euler ser:

    1 1 0.15

    n nn n n n n

    x yy y h y y y

    Empezamos con n=0:

    0 01 0 1 0 1

    1

    1 10.1 0.1 0.1 1

    5 5 5

    1.02

    n nn n

    x y x yy y y y y

    y

    Para n=1: 1 0 1.0 0.1 1.1x x h

    1 11 1 1 1

    2 2

    0.1 0.15 5

    1.1 1.020.1 1.02 1.04244

    5

    n nn n

    x y x yy y y y

    y y

    Para n=2: 2 1 1.1 0.1 1.2x x h

    2 21 2 1 2

    3 3

    0.1 0.15 5

    1.2 1.042440.1 1.04244 1.06745856

    5

    n nn n

    x y x yy y y y

    y y

    Para n=3: 3 2 1.2 0.1 1.3x x h

    3 31 3 1 3

    4 4

    0.1 0.15 5

    1.3 1.067458560.1 1.06745856 1.095212483

    5

    n nn n

    x y x yy y y y

    y y

  • Para n=4: 4 3 1.3 0.1 1.4x x h

    4 41 4 1 4

    5 5

    0.1 0.15 5

    1.4 1.0952124830.1 1.095212483 1.125878432

    5

    n nn n

    x y x yy y y y

    y y

    Solucin analtica:

    2

    2

    0.1

    0.2 0.2 ln 0.15

    e x

    dy x y dy dyx dx x dx y x C

    dx y y

    y C

    Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 1.0x y

    20.1 0.1 0.1

    0.1

    1e 1 e e

    e

    xy C C C C

    Sustituyendo nuevamente en la solucin general:

    22 2 2 0.1 10.1 0.1 0.1 0.1 0.1e e e e exx x xy C y y y

    Con esta ltima expresin se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar

    la siguiente tabla:

    x yeuler yexacto %E

    1 1 1 0.00%

    1.1 1.02 1.021222052 0.12%

    1.2 1.04244 1.044982355 0.24%

    1.3 1.06745856 1.071436209 0.37%

    1.4 1.095212483 1.100759064 0.50%

    1.5 1.125878432 1.133148453 0.64%

  • Ejemplo2: Resolver el problema anterior usando un valor de h=0.05.

    x yeuler yexacto %E

    1 1 1 0.00%

    1.05 1.01 1.010302711 0.03%

    1.1 1.020605 1.021222052 0.06%

    1.15 1.031831655 1.032775667 0.09%

    1.2 1.043697719 1.044982355 0.12%

    1.25 1.056222092 1.057862116 0.16%

    1.3 1.069424868 1.071436209 0.19%

    1.35 1.083327391 1.085727208 0.22%

    1.4 1.097952311 1.100759064 0.25%

    1.45 1.113323643 1.116557175 0.29%

    1.5 1.129466836 1.133148453 0.32%

    Ejemplo3: Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial 2

    1

    dy y

    dx x

    para 1.6x considerando

    las siguientes condiciones: 0 01.0 4.0 0.1x y h . Desarrolle la solucin analtica y haga

    una tabla donde exprese el valor terico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

    La frmula de Euler ser:

    1 1 12 0.2

    0.11 1

    n nn n n n n n n

    n n

    y yy y h y y y y y

    x x

    Comenzando con n=0:

    01 0 1 0 1

    0

    1

    0.2 0.2 0.2 44

    1 1 1 1

    4.4

    nn n

    n

    y yy y y y y

    x x

    y

    Para n=1:

    11 1 1 1 2

    1

    2

    0.2 0.2 0.2 4.44.4

    1 1 1.1 1

    4.819047619

    nn n

    n

    y yy y y y y

    x x

    y

  • Para n=2:

    21 2 1 2

    2

    3 3

    0.2 0.2

    1 1

    0.2 4.8190476194.819047619 5.2571142857

    1.2 1

    nn n

    n

    y yy y y y

    x x

    y y

    Para n=3:

    31 3 1 3

    3

    4 4

    0.2 0.2

    1 1

    0.2 5.25711428575.2571142857 5.714285714

    1.3 1

    nn n

    n

    y yy y y y

    x x

    y y

    Para n=4:

    41 4 1 4

    4

    5 5

    0.2 0.2

    1 1

    0.2 5.7142857145.714285714 6.19047619

    1.4 1

    nn n

    n

    y yy y y y

    x x

    y y

    Para n=5:

    51 5 1 5

    5

    6 6

    0.2 0.2

    1 1

    0.2 6.190476196.19047619 6.685714286

    1.5 1

    nn n

    n

    y yy y y y

    x x

    y y

    Solucin analtica:

    2

    2 22 ln 2ln 1

    1 1 1

    1

    dy y dy dy dxdx y x C

    dx x y x y x

    y C x

    Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 4.0x y

    2 2 4

    1 4 1 1 14

    y C x C C C

    Sustituyendo nuevamente en la solucin general:

  • 2 2

    1 1y C x y x

    Con esta ltima expresin se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar

    la siguiente tabla:

    x yeuler yexacto %E

    1 4 4 0.00%

    1.1 4.4 4.41 0.23%

    1.2 4.819047619 4.84 0.43%

    1.3 5.257142857 5.29 0.62%

    1.4 5.714285714 5.76 0.79%

    1.5 6.19047619 6.25 0.95%

    1.6 6.685714286 6.76 1.10%

    Ejemplo 4: Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial 2dy

    xydx

    para 1.5x considerando las

    siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solucin analtica y haga una

    tabla donde exprese el valor terico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

    La frmula de Euler ser:

    1 1 12 0.1 0.2n n n n n n n n n n ny y h y y y x y y y x y

    La solucin exacta se obtiene resolviendo la ecuacin diferencial:

    2 1exy

    Con estas expresiones se obtiene la siguiente tabla:

    x yeuler yexacto %E

    1 1 1 0.00%

    1.1 1.2 1.23367806 2.73%

    1.2 1.464 1.552707219 5.71%

    1.3 1.81536 1.993715533 8.95%

    1.4 2.2873536 2.611696473 12.42%

    1.5 2.927812608 3.490342957 16.12%

  • Se observa que el error es muy alto. Para disminuirlo se podra cambiar el valor de la magnitud de

    paso, pero esto conllevara gran nmero de operaciones.

    Hay mtodos ms exactos que el mtodo de Euler. Uno de ellos es el mtodo de Runge-Kutta.

    Mtodo de Runge-Kutta.

    Es uno de los mtodos ms exactos para calcular soluciones aproximadas de una ecuacin

    diferencial con condiciones iniciales. El mtodo que se fundamenta en una serie de Taylor de

    cuarto orden y que genera la siguiente frmula de induccin:

    161 2 2n ny y A B C D

    1 12 2

    1 12 2

    ,

    ,

    ,

    ,

    n n

    n n

    n n

    n n

    A h y x y x x y y

    B h y x y x x h y y A

    C h y x y x x h y y B

    B h y x y x x h y y C

    Ejemplo 5: Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial 2dy

    xydx

    para 1.5x considerando las

    siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solucin analtica y haga una

    tabla donde exprese el valor terico, el valor a