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Métodos Numéricos Métodos analíticos Solución de ecuaciones diferenciales Métodos Numéricos Métodos analíticos: La solución es una relación funcional entre dos variables. No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica. , dy f xy dx = y f x c = 0 0 , x y y g x = 1 1 si x x y y Métodos numéricos: Constituyen aproximaciones a la solución exacta Las soluciones son escalares Todas las ecuaciones tienen solución numérica Se pueden usar los programas de cómputo para reducir el trabajo. , dy f xy dx =0 0 1 , , , x y hx x =1 y Método de Euler. Sea y f x la solución particular de una ecuación diferencial, y sea y su derivada evaluada en el punto 0 0 , x y como se muestra en la gráfica:

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Métodos Numéricos

Métodos analíticos

Solución de ecuaciones diferenciales

Métodos Numéricos

Métodos analíticos:

La solución es una relación funcional entre dos variables.

No todas las ecuaciones diferenciales tienen solución analítica.

,dy

f x ydx

=► y f x c =►

0 0,x y

y g x = ►

1

1

si x x

y y

Métodos numéricos:

Constituyen aproximaciones a la solución exacta

Las soluciones son escalares

Todas las ecuaciones tienen solución numérica

Se pueden usar los programas de cómputo para reducir el trabajo.

,dy

f x ydx

=► 0 0 1, , ,x y h x x =► 1y

Método de Euler.

Sea y f x la solución particular de una ecuación diferencial, y sea y su derivada evaluada en

el punto 0 0,x y como se muestra en la gráfica:

x

y

1Ty

2Ty

1y

0y

2x

2y

1x 3x0x

Ty

y f x

A partir de la figura se puede establecer que el valor de la recta tangente en 1x y el valor de la

función son muy próximos.

1 1Ty y

Si la diferencia entre 0x y 1x se toma muy pequeña entonces se puede decir que 1 1Ty y .

Del curso de geometría analítica se sabe que:

1 1 0 0Ty m x x y

Considerando que

0

0

x x

dym y

dx

se tiene:

1 0 1 0 0 1 0 0

h

y y x x y y y h y

De esta forma se podría calcular con muy buena aproximación el valor de 1y sin la necesidad de

resolver la ecuación diferencial y tener explícitamente la función y f x .

Considere que ahora se requiere calcular el valor de 2y . Si se toma la misma recta tangente se

puede observar que la aproximación ya no es tan buena y el error cometido crece

considerablemente, por lo que sería más conveniente tomar otra recta tangente. La recta

tangente evaluada en el punto anterior sería una mejor opción. De esta manera 2 2Ty y .

2 2 1 1Ty m x x y

Donde

1

1

x x

dym y

dx

Sustituyendo el valor de la pendiente:

2 1 2 1 1y y x x y

Tomando el mismo valor de 1 0 2 1h x x x x :

2 1 1y y h y

De igual manera si se quisiera obtener una aproximación del valor 3y se debe trabajar con la recta

tangente evaluada en el punto anterior, es decir para 2x . La fórmula será:

3 2 2y y h y

De esta forma se puede plantear la siguiente ecuación general:

1n n ny y h y

A esta ecuación se le conoce como ecuación de Euler. El valor de h (magnitud de paso) debe ser

pequeño para tener una aproximación aceptable.

Errores.

Error Absoluto: Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.

a TE y y

Error Relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del valor exacto.

ar

EE

y

Porcentaje de Error Relativo: Es el producto del error relativo por cien.

% 100r rE E

Ejemplo1: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 5

dy x y

dx para 1.5x considerando las

siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una

tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

La fórmula de Euler será:

1 1 0.15

n nn n n n n

x yy y h y y y

Empezamos con n=0:

0 01 0 1 0 1

1

1 10.1 0.1 0.1 1

5 5 5

1.02

n nn n

x y x yy y y y y

y

Para n=1: 1 0 1.0 0.1 1.1x x h

1 11 1 1 1

2 2

0.1 0.15 5

1.1 1.020.1 1.02 1.04244

5

n nn n

x y x yy y y y

y y

Para n=2: 2 1 1.1 0.1 1.2x x h

2 21 2 1 2

3 3

0.1 0.15 5

1.2 1.042440.1 1.04244 1.06745856

5

n nn n

x y x yy y y y

y y

Para n=3: 3 2 1.2 0.1 1.3x x h

3 31 3 1 3

4 4

0.1 0.15 5

1.3 1.067458560.1 1.06745856 1.095212483

5

n nn n

x y x yy y y y

y y

Para n=4: 4 3 1.3 0.1 1.4x x h

4 41 4 1 4

5 5

0.1 0.15 5

1.4 1.0952124830.1 1.095212483 1.125878432

5

n nn n

x y x yy y y y

y y

Solución analítica:

2

2

0.1

0.2 0.2 ln 0.15

e x

dy x y dy dyx dx x dx y x C

dx y y

y C

Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 1.0x y

20.1 0.1 0.1

0.1

1e 1 e e

e

xy C C C C

Sustituyendo nuevamente en la solución general:

22 2 2 0.1 10.1 0.1 0.1 0.1 0.1e e e e e

xx x xy C y y y

Con esta última expresión se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar

la siguiente tabla:

x yeuler yexacto %E

1 1 1 0.00%

1.1 1.02 1.021222052 0.12%

1.2 1.04244 1.044982355 0.24%

1.3 1.06745856 1.071436209 0.37%

1.4 1.095212483 1.100759064 0.50%

1.5 1.125878432 1.133148453 0.64%

Ejemplo2: Resolver el problema anterior usando un valor de h=0.05.

x yeuler yexacto %E

1 1 1 0.00%

1.05 1.01 1.010302711 0.03%

1.1 1.020605 1.021222052 0.06%

1.15 1.031831655 1.032775667 0.09%

1.2 1.043697719 1.044982355 0.12%

1.25 1.056222092 1.057862116 0.16%

1.3 1.069424868 1.071436209 0.19%

1.35 1.083327391 1.085727208 0.22%

1.4 1.097952311 1.100759064 0.25%

1.45 1.113323643 1.116557175 0.29%

1.5 1.129466836 1.133148453 0.32%

Ejemplo3: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2

1

dy y

dx x

para 1.6x considerando

las siguientes condiciones: 0 01.0 4.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga

una tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

La fórmula de Euler será:

1 1 1

2 0.20.1

1 1

n nn n n n n n n

n n

y yy y h y y y y y

x x

Comenzando con n=0:

01 0 1 0 1

0

1

0.2 0.2 0.2 44

1 1 1 1

4.4

nn n

n

y yy y y y y

x x

y

Para n=1:

11 1 1 1 2

1

2

0.2 0.2 0.2 4.44.4

1 1 1.1 1

4.819047619

nn n

n

y yy y y y y

x x

y

Para n=2:

21 2 1 2

2

3 3

0.2 0.2

1 1

0.2 4.8190476194.819047619 5.2571142857

1.2 1

nn n

n

y yy y y y

x x

y y

Para n=3:

31 3 1 3

3

4 4

0.2 0.2

1 1

0.2 5.25711428575.2571142857 5.714285714

1.3 1

nn n

n

y yy y y y

x x

y y

Para n=4:

41 4 1 4

4

5 5

0.2 0.2

1 1

0.2 5.7142857145.714285714 6.19047619

1.4 1

nn n

n

y yy y y y

x x

y y

Para n=5:

51 5 1 5

5

6 6

0.2 0.2

1 1

0.2 6.190476196.19047619 6.685714286

1.5 1

nn n

n

y yy y y y

x x

y y

Solución analítica:

2

2 22 ln 2ln 1

1 1 1

1

dy y dy dy dxdx y x C

dx x y x y x

y C x

Sustituyendo condiciones iniciales: 0 01.0 4.0x y

2 2 4

1 4 1 1 14

y C x C C C

Sustituyendo nuevamente en la solución general:

2 2

1 1y C x y x

Con esta última expresión se puede calcular el valor exacto de y, por lo que se procede a elaborar

la siguiente tabla:

x yeuler yexacto %E

1 4 4 0.00%

1.1 4.4 4.41 0.23%

1.2 4.819047619 4.84 0.43%

1.3 5.257142857 5.29 0.62%

1.4 5.714285714 5.76 0.79%

1.5 6.19047619 6.25 0.95%

1.6 6.685714286 6.76 1.10%

Ejemplo 4: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2dy

xydx

para 1.5x considerando las

siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una

tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

La fórmula de Euler será:

1 1 12 0.1 0.2n n n n n n n n n n ny y h y y y x y y y x y

La solución exacta se obtiene resolviendo la ecuación diferencial:

2 1exy

Con estas expresiones se obtiene la siguiente tabla:

x yeuler yexacto %E

1 1 1 0.00%

1.1 1.2 1.23367806 2.73%

1.2 1.464 1.552707219 5.71%

1.3 1.81536 1.993715533 8.95%

1.4 2.2873536 2.611696473 12.42%

1.5 2.927812608 3.490342957 16.12%

Se observa que el error es muy alto. Para disminuirlo se podría cambiar el valor de la magnitud de

paso, pero esto conllevaría gran número de operaciones.

Hay métodos más exactos que el método de Euler. Uno de ellos es el método de Runge-Kutta.

Método de Runge-Kutta.

Es uno de los métodos más exactos para calcular soluciones aproximadas de una ecuación

diferencial con condiciones iniciales. El método que se fundamenta en una serie de Taylor de

cuarto orden y que genera la siguiente fórmula de inducción:

161 2 2n ny y A B C D

1 12 2

1 12 2

,

,

,

,

n n

n n

n n

n n

A h y x y x x y y

B h y x y x x h y y A

C h y x y x x h y y B

B h y x y x x h y y C

Ejemplo 5: Obtenga la solución de la ecuación diferencial 2dy

xydx

para 1.5x considerando las

siguientes condiciones: 0 01.0 1.0 0.1x y h . Desarrolle la solución analítica y haga una

tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo.

Para n=0:

0 0

0 0

1 12 20 0

1 12 20 0

1 1

, 0.1 2 0.2 1 1 0.2

1 0.5 0.1 1.05 1 0.5 0.2 1.1

, 0.1 2 0.2 1.05 1.1 0.231

1 0.5 0.1 1.05 1 0.5 0.231 1.1155

, 0.1 2

x x y y

A h y x y A x y A

x x h y y A

B h y x y B x y B

x x h y y B

C h y x y C x

0 0

0.2 1.05 1.1155 0.234255

1 0.1 1.1 1 0.234255 1.234255

, 0.1 2 0.2 1.1 1.234255 0.2715361

y C

x x h y y C

D h y x y D x y D

160 1 0

161 1

2 2

1 0.2 2 0.231 2 0.234255 0.2715361 1.23367435

y y A B C D

y y

Para n=1:

1 1

121

121

1.1 1.23367435

, 0.1 2 0.2 1.1 1.23367435

0.271408357

1.1 0.5 0.1 1.15

1.23367435 0.5 0.271408357 1.369378529

, 0.1 2 0.2 1.05 1.1 0.3149570616

x x y y

A h y x y A x y A

A

x x h

y y A

B h y x y B x y B

x

121

121

1 1

1.1 0.5 0.1 1.15

1.23367435 0.5 0.3149570616 1.391152881

, 0.1 2 0.2 1.15 1.391152881

0.3199651626

1.1 0.1 1.2 1.23367435 0.3199651626 1.553639513

,

x h

y y B

C h y x y C x y C

C

x x h y y C

D h y x y D

0.1 2 0.2 1.12 1.553639513

0.372873483

x y D

D

161 1 1

2

2 2

1.552695398

y y A B C D

y

Siguiendo el mismo procedimiento se puede construir la siguiente tabla:

Se observa que el error es insignificante, por lo que se puede concluir que la aproximación con el

método de Runge-Kutta es aceptable.

Ejercicio 1: Resuelva con el método de Runge-Kutta la siguiente ecuación ecuación diferencial :2

1

dy y

dx x

para 1.0x considerando las siguientes condiciones: 0 00 0.5 0.2x y h .

Desarrolle la solución analítica y haga una tabla donde exprese el valor teórico, el valor

aproximado y el porcentaje de error relativo.

Ejercicio 2: Resuelva con el método de Runge-Kutta la siguiente ecuación diferencial : 2 1dy

xdx

para 1.0x considerando las siguientes condiciones: 0 00 2 0.2x y h . Desarrolle la

solución analítica y haga una tabla donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el

porcentaje de error relativo.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales (Método de Runge-Kutta).

Dado el sistema de ecuaciones diferenciales:

1 0 0

2 0 0

, ,

, ,

dxf t x y x t x

dt

dyf t x y y t y

dt

La solución por el método de Runge-Kutta está dada por:

161 1 2 3 4

161 1 2 3 4

2 2

2 2

n n

n n

x x m m m m

y y k k k k

Donde:

1

1

, ,

, ,

n

n n

m h x t x y t t

k h y t x y x x y y

122

1 12 22 1 1

, ,

, ,

n

n n

m h x t x y t t h

k h y t x y x x m y y k

123

1 12 23 2 2

, ,

, ,

n

n n

m h x t x y t t h

k h y t x y x x m y y k

4

4 3 3

, ,

, ,

n

n n

m h x t x y t t h

k h y t x y x x m y y k

Ejemplo 6: Obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para 0.6t

considerando las siguientes condiciones: 0 0 00 1 6 0.2t x y h . Haga una tabla

donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo si la solución

analítica es

4

4

26 1 e

13 6 e

t

t

x t

y t

2 4

6

dxx y

dt

dyx y

dt

Para n=0:

0

0

0

1

1

0

1

6

, , 0.2 2 4 4.4

, , 0.

M

C x

D y

2 6 7.

A

B4

t t

x x

y y

m h x t x y x y

k h y t x y x y

Nota: Las letras que aparecen entre corchetes indican las memorias en los que se sugiere

guardar los valores obtenidos. (Calculadora marca Casio, modelos fx-82ES, ). Para guardar un

dato en la memoria use la siguiente secuencia: Valor del display → Shift → STO → Memoria

requerida.

120

120 1

120 1

2

2

0.1 0.5

1.2 0.5

9.7 0.5

, , 0.2 2 4 8.24

, , 0.2 6 11.4

M 0.2

C A

D B

A

B

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y

x

t x y y

y

x

120

120 2

120 2

3

3

0.1 0.5

3.12 0.5

11.7 0.5

, , 0.2 2 4 10.608

, , 0.2 6 13

M 0.2

C A

D

A

.4 6 B1

B

x

y

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x y x y

0

0 3

0 3

4

4

0.2

1.2

9.7

, , 0.2 2 4 19.376

, , 0.2 6 21.3776

M 0.2

C A

D B

A

B

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x

y

y x y

x

160 1 0 1 2 3 4 1

161 1 2 3 4 1

2 2 9.245333333

2 2 19.068266

C

D67n n

x x m m m m x

y y k k k k y

Para n=1:

1

1

1

1

1

M

C x

D

0.2

9.245333333

19.06826667

, , 0.2 2 4 18.95274667

, , 0.2 6 21

y

.03285333

A

B

t t

x x

y y

m h x t x y x y

k h y t x y x y

121

121 1

121 1

2

2

M 0.2

C A

D B

0.3 0.5

18.72170667 0.5

29.58469333 0.5

, , 0.2 2 4 31.15643733

, , 0.2 6 31.75729

A

B067

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x y x y

x

y

121

121 2

121 2

3

3

M 0.2

C A

D B

0.3 0.5

24.823552 0.5

34.946912 0.5

, A, 0.2 2 4 37.8869504

, , 0.2 6 36.9 B71548

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x y x

x

y

y

1

1 3

1 3

4

4

M 0.2

C A

D B

0.4

47.13228373

56.03985067

, , 0.2 2 4 63.68479403

, , 0.2 6 57.8213640

A

B5

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x

x

y x y

y

161 1 1 1 2 3 4 2

161 1 1 1 2 3 4 2

2 2 4 C6.03271936

2 2 55.12024 12 D9

x x m m m m x

y y k k k k y

Para n=2:

2

2

2

1

1

M

C x

D

0.4

46.03271936

55.12024912

, , 0.2 2 4 62.50928704

, , 0.2 6 56

y

.93775507

A

B

t t

x x

y y

m h x t x y x y

k h y t x y x y

122

122 1

122 1

2

2

M 0.2

C A

D B

0.5 0.5

77.28736288 0.5

83.58912666 0.5

, , 0.2 2 4 97.78624648

, , 0.2 6 84.84947

A

B941

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x y x y

x

y

122

122 2

122 2

3

3

M 0.2

C A

D B

0.5 0.5

94.9258426 0.5

97.54498883 0.5

, , 0.2 2 4 116.0063281

, , 0.2 6 98.06881

A

807 B

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x y x y

x

y

2

2 3

2 3

4

4

M 0.2

C A

D B

0.6

162.0390475

153.1890672

, , 0.2 2 4 187.3668727

, , 0.2 6 151.419071

A

B1

t t h

x x m

y y k

m h x t x y x y

k h y t x

x

y x y

y

162 1 2 1 2 3 4 3

162 1 2 1 2 3 4 3

2 2 1 C58.9429375

2 2 150.8191 26 D5

x x m m m m x

y y k k k k y

t xa xe %Ex ya ye %Ey 0.0 -1 -1 0 6 6 0

0.2 9.245333 9.3472719 1.09% 19.06826667 19.13965198 0.37%

0.4 46.03271936 46.55850479 1.13% 55.12024912 55.47396315 0.64%

0.6 158.9429375 160.9383752 1.23% 150.8191526 152.1198341 0.86%

Ejemplo 7: Obtenga la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para 0.4t

considerando las siguientes condiciones: 0 0 00 2 1 0.1t x y h . Haga una tabla

donde exprese el valor teórico, el valor aproximado y el porcentaje de error relativo si la solución

analítica es

5

5

e e

e 2e

t t

t t

x

y

2 4 3dx dy

x y x ydt dt

Solución:

t xa ya xe ye %Ex %Ey

0 2.00000000 1.000000000 2.00000000 1.000000000 0.00 0.00

0.1 2.55327500 2.392037500 2.55355869 2.392605123 0.01 0.02

0.2 3.53607709 4.615961481 3.53701258 4.617832904 0.03 0.04

0.3 5.22019378 8.217932303 5.22250729 8.222559920 0.04 0.06

0.4 8.05429061 14.097620359 8.05937614 14.107792152 0.06 0.07