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Taller
Matemático
Sucesiones
Cristóbal Pareja Flores
antares.sip.ucm.es/cpareja
Facultad de Estadística
Universidad Complutense de Madrid
Sucesiones Taller matemático 2 / 12
1. Sucesiones Sucesión: Lista de términos, ordenados: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ...
1. Ejemplos: (a) 1, 3, 5, 7, … (b) 1, -1, 1, -1, … (c) 2, 4, 6, 8, … (d) 1, 2, 4, 8, 16, … (e) 1, -3, 9, -27, … (f) 11, 9, 7, 5, … (g) 1, 3, 6, 8, … (h) 1, 1, 2, 3, 5, … (i) 1, -3, 5, -7, …
2. Descripción genérica: • Mediante un término general:
(j) 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 (j) 𝑏𝑛 = 2𝑛 (k) 𝑐𝑛 = (−1)
𝑛 • Mediante una regla de formación: (sucesiones recurrentes)
(l) Los dos primeros términos son ... y ... Los siguientes se obtienen mediante la suma de los dos precedentes. (Fibonacci) 𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1
3. Ejercicio: (1) Halla los primeros términos de las sucesiones dadas mediante los términos generales o reglas de formación del apartado anterior. (2) Busca el término general o la regla de formación de los ejemplos del apartado inicial.
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2. Sucesiones importantes 2.1. Progresiones aritméticas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 4, 7, 10, 13, … (b) 45, 40, 35, 30, … (c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …
2. Ejercicio:
• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas? • En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general. • Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10, 𝑎2 + 𝑎9, 𝑎3 + 𝑎8, etc.
3. Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 + 𝑎1 ----------------------------------------------------------------
2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯+ ∗ + ∗
𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛2
3. Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20.
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2. Sucesiones importantes 2.1. Progresiones aritméticas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 4, 7, 10, 13, … (b) 45, 40, 35, 30, … (c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …
2. Ejercicio:
• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas? • En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general. • Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10, 𝑎2 + 𝑎9, 𝑎3 + 𝑎8, etc.
3. Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 + 𝑎1 ----------------------------------------------------------------
2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯+ ∗ + ∗
𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛2
3. Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20.
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2. Sucesiones importantes 2.2. Progresiones geométricas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟
𝑛−1
1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 3, 6, 12, 24, … (b) 20, 10, 5, 2.5, … (c) 1, -1, 1, -1, …
2. Ejercicio: (a) ¿Cuáles de estas sucesiones son progresiones geométricas? (b) En las p. g., halla el primer término, la razón y el término general.
3. Suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión geométrica: 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 ∙ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + … + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 ----------------------------------------------------------------------------
𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1
𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1𝑟 − 1
=𝑎1 − 𝑎𝑛 ∙ 𝑟
1 − 𝑟=𝑎1 − 𝑎1 ∙ 𝑟
𝑛−1 ∙ 𝑟
1 − 𝑟=𝑎1 ∙ (1 − 𝑟
𝑛)
1 − 𝑟
3. Ejercicio: (a) en las p. g. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20. (b) Cuando una p. g. tiene |𝑟| < 1, ∃𝑆∞: serie. Deduce esta fórmula y aplícala a una p. g. concreta. (c) En la figura, área de la zona naranja.
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2. Sucesiones importantes
2.3. Sucesiones de potencias: 𝑎𝑛 = 𝑛𝑘
1. Cuadráticas: 𝑎𝑛 = 𝑛2 𝑆𝑛 =
𝑛 ∙ (𝑛+1)∙ (2𝑛+1)
6
2. Cúbicas: 𝑎𝑛 = 𝑛3 𝑆𝑛 =
𝑛2(𝑛+1)2
4
2.4. Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1
3. Notación 𝑎𝑛
10
𝑛=4
1. Ejercicio. Interpreta, calcula:
𝑖
𝑛
𝑖=1
(2𝑖 + 1)
𝑛
𝑖=1
(11 − 𝑖)
𝑛
𝑖=1
2(𝑖−1)𝑛
𝑖=1
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Números triangulares
Solución
• Pongamos unos cuantos términos: 𝑡𝑛 : 1 3 6 10 15 21 …
• No es conocida: formamos
la sucesión de las diferencias: 𝑎𝑛 : 2 3 4 5 6 …
• Conocida: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑛 𝑠𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛𝑖=1 =
𝑛 ∙ (𝑛+3)
2
• Volvemos a 𝑡𝑛:
𝑡1 = 1 = 1 + 𝑠0 𝑡2 = 1 + 𝑎1 = 1 + 𝑠1 𝑡3 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 = 1 + 𝑠2 𝑡4 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 1 + 𝑠3 …
𝑡𝑛 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 + …+ 𝑎𝑛−1 = 1 + 𝑠𝑛−1 = 1 + 𝑠𝑛−1
4. Ejercicio resuelto
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Cuadrados de naranjas
1. Interpreta y calcula:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎𝑛, 𝑆𝑛
Pirámides de naranjas
2. Interpreta y calcula:
𝑝1, 𝑝2, 𝑝𝑛, 𝑆𝑛
𝑝𝑛
10
𝑛=4
Fractales
3. Calcula los perímetros.
4. Calcula el número de lados.
5. Ejercicios y problemas
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Elemento genérico de una matriz (= término general)
Estrategias:
- Buscar primero el término general de cada fila.
Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada fila.
- Buscar primero el término general de cada columna.
Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada columna.
6. Sucesiones en 2D
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
1 6 11 16 21
2 7 12 17 22
3 8 13 18 23
4 9 14 19 24
5 10 15 20 25
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
6 7 8 9 10
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Apéndice A: ideas para buscar patrones
Sucesiones Taller matemático 11 / 12
Apéndice A: ideas para buscar patrones
Sucesiones Taller matemático 12 / 12
Cociente y resto:
23 // 7 = 3
23 % 7 = 2
Ejemplos de sucesiones:
• Escribe los primeros términos de estas sucesiones:
𝑎𝑛 = 𝑛 // 2 𝑏𝑛 = 𝑛 % 2
𝑐𝑛 = ( 𝑛 − 1) // 7 + 1 𝑑𝑛 = 𝑛 − 1 % 7 + 1 𝑒𝑛 = (𝑛 + 3) // 5 𝑓𝑛 = 𝑛 + 1 % 5
• Halla el término general de éstas sucesiones:
- 1, 1, 2, 2, 3, 3, … - 0, 1, 2, 0, 1, 2, … - 1, 2, 3, 1, 2, 3, …
- 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6 …
Apéndice B: Sucesiones con la división entera