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A

Matemática Básica

Curso Propedéutico-2013

Tabla de contenido

PRESENTACIÓN .............................................................. 1

I UNIDAD “ARITMÉTICA” ............................................... 3

II UNIDAD “ÁLGEBRA” ................................................. 12

III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA” .................. 52

IV UNIDAD “FUNCIONES Y GRÁFICAS” .................. 76

V UNIDAD “GEOMETRÍA ANALÍTICA” ..................... 88

Son Autores los Profesores:

Rigoberto Morales Videa y Graciela López Moreno

1

PRESENTACIÓN

La educación construye el capital humano para el crecimiento económico y

para superar la pobreza de un pueblo. Para reinsertar a nuestra región en

una economía mundial, se debe mejorar sustancialmente en la

competitividad, dado que éste implica conocimientos tecnológicos, manejo

de información y destrezas, elevar la calidad de nuestros sistemas

educativos y la preparación de nuestros recursos humanos, se vuelve un

requerimiento insustentable.

Conocer o saber Matemática, por parte de una persona no puede reducirse

a identificar las definiciones y propiedad de los objetos matemáticos. Debe

implicar ser capaz de usar el lenguaje y el sistema conceptual matemático

en la resolución de problemas. Por esto se postula la necesidad de

establecer puentes entre la Matemática, la realidad natural y social que

rodea a los jóvenes.

Al organizar este material, nos hemos guiado por el interés de contribuir al

mejoramiento de la enseñanza de la Matemática en nuestra región con

énfasis en las carreras de ingenierías. Hemos realizado este loable

esfuerzo de presentarte, estimado estudiante, este documento de

Matemática con el propósito de fortalecer tus conocimientos en esta área y

particularmente estés preparado para realizar tu examen de admisión y

puedas clasificar en la opción que tu elegiste.

El propósito de este dosier es ofrecerte un material pedagógicamente

confiable para que se te facilite tu aprendizaje, con precisión matemática y

comprensible, con una visión para estudiantes con expectativas de coronar

una carrera universitaria.

Este material comprende cinco unidades con descripción de conceptos,

ejemplos resueltos y ejercicios propuestos:

I Unidad: Aritmética.

II Unidad: Álgebra.

III Unidad: Geometría Euclidiana.

IV Unidad: Funciones y Gráficas.

V Unidad: Geometría Analítica Plana.

2

La Aritmética nos proporciona el aprendizaje básico que debemos dominar

para profundizar en las restantes unidades que vamos a desarrollar. Un buen conocimiento de la aritmética es tan fundamental como saber leer y

escribir y no puede reducirse a los algoritmos para realizar las cuatro operaciones fundamentales. Muchos de los fenómenos que nos afectan se han vuelto tan complejos que no podemos percibirlos directamente o

tratarlos de manera puramente cualitativa, sino que requieren técnicas cuantitativas de recolección y tratamiento de información. Los contenidos que ofrece el texto sobre álgebra están enriquecidos con

ejercicios de aplicación, enfatizado en las operaciones fundamentales que

ésta requiere. Ecuaciones aplicadas a problemas cotidianos de la

ingeniería y la vida.

En la unidad de Geometría Euclidiana te ofrecemos una serie de teoremas

y postulados con una secuencia lógica y una serie de gráficos atractivos

vinculados a la percepción de figuras planas, asociadas al medio que te

rodea.

Una de los contenidos más fructíferos y de mayor aplicación en la

matemática y en otras ciencias, es la utilización de las Funciones para la

interpretación objetiva de los fenómenos físicos y químicos. En esta unidad

se presentan diversas gráficas para una mejor comprensión de las

diferentes teorías, mostramos también la riqueza de la aplicación a

problemas relacionados con la solución de la problemática del medio que

nos rodea.

Uno de los grandes atractivos de la matemática consiste en la aplicación

de la geometría analítica a las diferentes ciencias, ingenierías y ramas de

éstas, aportando elementos fundamentales para la modelación de

proyectos arquitectónicos - cónicos aplicados en la construcción de obras

de ingeniería.

Se resaltan algunos teoremas y definiciones para dar énfasis y permitir

una localización rápida. Las gráficas a lo largo del material permiten

reforzar la comprensión de los conceptos de Matemática que pudiesen

resultar complejos, así como aplicaciones de la vida real.

El corazón de cualquier material de Matemática son los ejercicios que

mantienen vivo el interés, exploración, práctica y comprensión del mismo.

Ofrecemos una variedad de ellos con sus respectivas soluciones.

3

I UNIDAD “ARITMÉTICA”

Contenidos a desarrollar

1. Conjunto de los números reales

Operaciones (+,-,*, /) -Propiedades de los Números Reales (+, *).

2. Descomposición factorial ( MCD y MCM)

3. Potenciación

4. Regla de Tres

Regla de tres

Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de

cantidades proporcionales, siendo una desconocida i incógnita, hallar el

valor de esta última.

La regla tres puede ser simple y compuesta.

Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales.

Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades

proporcionales.

Regla de tres Simple

En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y

una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser Directa o Inversa, según

las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales.

Supuesto y pregunta.

En toda regla de tres hay dos filas de términos o números. El supuesto

formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la

parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la

incógnita el problema va en la parte inferior.

4

Ejemplo.

Si 5 lapiceros cuestan C$ 20. ¿Cuánto costaran 12 lapiceros?

Supuesto: 5 lapiceros C$ 20

Pregunta: 12 lapiceros C$ X

De manera formal, la regla de tres simple directa enuncia el problema de la

siguiente manera:

A es a B como X es a Y

lo que suele representarse así:

donde A es 5, B es 20, X es 12 e Y es el término desconocido. Para resolver

todas las reglas de tres simples directas basta con recordar la siguiente

fórmula:

Regla de tres simple inversa

Ejemplo.

Si 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminaran

la misma obra 12 obreros?

Supuesto: 8 obreros 15 días

Pregunta: 12 obreros X días

Formalizado, como antes: A es a B como X es a Y

lo que se representa como:

http://es.wikipedia.org/wiki/Formal

5

Siendo la solución formalizada la siguiente

Regla de tres compuesta

En la regla de tres compuesta intervienen tres o más partes de cantidades

proporcionales, siendo una la cantidad desconocida o incógnita.

Método Práctico:

Para resolver los problemas de Regla de Tres, aplicamos el método llamado

“La Ley de los Signos”, que no es más que la consecuencia práctica de

magnitudes proporcionales y que consiste en lo siguiente: Se colocan los

valores correspondientes a la misma magnitud uno debajo de otro, a

continuación se comparan cada par de magnitudes proporcionales con el

par que contiene a la incógnita, para saber si son directa o inversamente

proporcionales con la incógnita y:

Si son directamente Si son inversamente

proporcionales proporcionales

El valor de la incógnita viene dado por un quebrado cuyo numerador es el

producto de todas las cantidades afectadas del signo (+) y cuyo

denominador es el producto de las cantidades afectadas del signo (-) en

todos los problemas sin excepción, el valor numérico que es de la misma

especie que la incógnita, llevara signo (+).

Arriba -

Abajo +

Arriba +

Abajo -

6

-

+

+

-

+

Ejemplo.

Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos

días se necesitaran para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4

obreros menos?

Supuesto: 180 metros 18 obreros 21 días

Pregunta: 120 metros 14 obreros X días

Comparaciones:

Metros con días: Para hacer menos metros de pista tardan menos días; la

regla de tres es directa; colocando arriba de la columna de metros la

letra D.

Obreros con días: Menos obreros tardarán más días, la regla de tres es

inversa; colocando arriba de la columna de obreros la letra I.

Donde:



Luego pasamos a colocar los signos correspondientes



La incógnita viene dada por un quebrado cuyo numerador es el producto

de todas las cantidades afectadas por el signo (+) y cuyo denominador es el

producto de las cantidades afectadas por el signo (-), Así:

D I

7

Ejercicios propuestos

1. Al resolver 5-(7-9)+(3-11) se obtiene:

1. -1

2. -5

3. 5

4. 15

5. NDLA

2. Al operar 5-10(8-6)(2-17)+5 se obtiene:

1. 65

2. 155

3. 310

4. -155

5. NDLA

3. Al resolver (-3)(2)-(-2)(4) se obtiene:

1. 14

2. -16

3. 2

4. -14

5. NDLA

4. Al resolver { [ ( ( ))]} ( ) se obtiene:

1. 2

2. 14

3. 18

4. 24

5. NDLA

5. Al resolver

se obtiene:

1. 17/12

2. 1

3. ¼

4. -25/12

5. NDLA

8

6. Al resultado que se tiene al operar

1. (

) (

) (

)

2. -2/5

3. 2/5

4. -20/9

5. 20/9

6. NDLA

7. Al resolver [

] [

] [

] obtenemos:

1. 3/10

2. 59/30

3. 9/20

4. 20/9

5. NDLA

8. Al simplificar ( )

⁄ la respuesta es:

1. 25

2. 1/25

3. -5

4. ( )

5. NDLA

6.

9. Al efectuar la operación [( ) ] [ ( )]

Se obtiene:

1. 1875

2. 7,5

3. 875

4. 12,5

5. NDLA

10. El resultado de la siguiente operación √ √ √ es:

1. √

2. √

3. √

4. √

5. NDLA

9

11. Al operar √ √ √ se obtiene

1. 10

2.

3. √

4. √

5. NDLA

12. Al resolver la siguiente expresión

( ) √ √ ( ) √

se obtiene.

1. -5

2. 25

3. 22

4. -2

5. NDLA

13. Hallar el MCD de 9, 6, 12

1. 3

2. 36

3. 6

4. 12

5. NDLA

14. El MCM de 3,5,10,14,42 es

1. 3

2. 1

3. 210

4. 420

5. NDLA

15. Si y el mcm es 9000, entonces x es igual:

1. 2

2. 3

3. 1

4. 0

5. NDLA

10

16. ¿Qué tanto % representa 17 de 68?

1. 4%

2. 400%

3. 25%

4. 11.56%

5. NDLA

17. Los ¾ de los 4/5 de 200 litros es:

1. 120 lt

2. 187,5 lt

3. 213,3 lt

4. 310 lt

5. NDLA

18. 3,6 decímetros convertidos a metros son:

1. 36 m

2. 0,36 m

3. 0,036m

4. 360 m

5. NDLA

19. Un individuo va al supermercado y gasta $900. A esta cantidad se le

debe de agregar el impuesto que corresponde al 7% ¿Cuánto es el

valor total a pagar?

1. $63

2. $963

3. $1053

4. $1530

5. NDLA

20. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimentos para ellas para 28 días.

Pero si el número de ovejas fuese 56, sin disminuir la ración diaria y

sin agregar forraje la cantidad de día que se podrá alimentarlas es:

1. 18

2. 14

3. 20

4. 21

5. NDLA

11

21. 20 labradores araron un terreno en 10 días trabajando 8 horas

diarias (suponga que el rendimiento sea constante). Si 60 hombres

labraron el mismo terreno en 8 días, el número de horas que se

trabajaron por día es:

1. 2,67 hrs

2. 4 hrs

3. 30 hrs

4. 3.30 hrs

5. NDLA

22. Para cosechar un campo de berenjenas se emplearon 5 obreros

durante 8 horas. Para terminar en 4 horas se requerirán de:

1. 20 obreros

2. 40 obreros

3. 10 obreros

4. 15 obreros

5. NDLA

23. Una cuadrilla de jornaleros han realizado una obra en 10 días

trabajando 8 hrs. Cuantas horas deberán de trabajar

aproximadamente para terminar la obra en 6 días.

1. 10 hrs

2. 11,1 hrs

3. 12 hrs

4. 13,3 hrs

5. NDLA

24. Juan invierte en un banco una cantidad de $2000 al 6% de interés

anual, deposita el 12 de marzo y retira el 10 de junio ¿cuánto es el

interés recibido? (1 año= 360 días)

1. $300

2. $40

3. $120

4. $30

5. NDLA

12

II UNIDAD “ÁLGEBRA”


Operaciones con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación,

división

Productos notables y factorización

Teorema del binomio.

Operaciones con fracciones algebraicas

Radicales

Operaciones con radicales

Racionalización

Ecuaciones lineales en una variable.

Ecuaciones cuadráticas en una sola variable

Desigualdades lineales y cuadráticas en una variable

Ecuaciones con valor absoluto

Desigualdades con valor absoluto

Operaciones con Expresiones algebraicas.

¿Qué es una expresión algebraica?

Es toda combinación de símbolos: números y letras, ligadas por las

operaciones fundamentales del algebra: suma, resta, multiplicación,

división, potenciación y radicación.

Ejemplo:

bxax 54 3 ; ; 22 584 baa ; (3x2-y)(x+y) 3

273

x

x

13

Una expresión algebraica es racional cuando no contiene letras bajo el

signo radical, en caso contrario es irracional.

Una expresión racional es entera si no tiene denominador literal ni

exponentes negativos que afecten a las letras, en caso contrario es

fraccionaria.

Ejemplos:

85

7 5 dba , expresión entera.

64

3

x

b, expresión racional fraccionaria.

168 33 xx , expresión irracional.

Variable: Un símbolo que representa cualquier elemento de un conjunto.

Ejemplo: x, y, z, etc.

Constante: Un símbolo que representa un elemento determinado de un

conjunto.

Ejemplo: en la fórmula s=1/2gt2, g es la gravedad y es constante

g=9.81m/s2 y “t” y "s" son variables.

Término: Es una constante, una variable o bien una o varias constantes

multiplicadas por potencias de variables.

Ejemplos: π, x, 5x2 yz3, etc.

Coeficiente: En un término, es el factor que representa una constante

numérica.

Ejemplo: en la expresión 52

5

7yx ,

5

7es el coeficiente numérico.

Valor numérico de una expresión algebraica.

Valor numérico de una expresión algebraica para un conjunto de valores

atribuidos a sus letras, es el número que resulta al reemplazar cada letra

por su valor y efectuar las operaciones indicadas.

14

Ejemplos:

Determine el valor numérico de la expresión

165

273

22

a

baa , para a=5 y b=2.

Solución:

Monomios:

Un monomio es una expresión algebraica cuyas letras están sometidas

únicamente a la operación de multiplicar (pudiendo llevar exponentes).

Ejemplos:

53

2 x

x , al buscar el mcd se convierte en un monomio.

x

xxx 532 veamos otros ejemplos de monomios

Observación: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte

literal.

Ejemplo:

4323 xba y 432

3

7xba son semejantes.

4233 xba y 4323 xba no son semejantes.

Suma algebraica de monomios semejantes:

Para sumar varios monomios semejantes se suman algebraicamente sus

coeficientes y el resultado se multiplica por la parte literal, su resultado es

siempre un monomio.

Ejemplo: Determine la suma de los siguientes monomios

cba 325 ; cba 32

4

3 y cba 32

2

5

305

9

2745

9

18315

9

817515

1655

225753

22

15

Solución:

cbacbacbacbacbacba 323232323232

4

27

4

10320

2

5

4

35

2

5

4

35

Signos de Agrupación.

Se tendrá en cuenta que si un signo de agrupación está precedido del

signo (+), cada término de la expresión encerrada entre signos de

agrupación, conservan su signo, en cambio sí está precedido del signo

menos (-), cada término de la expresión encerrada entre el signo de

agrupación, cambia de signo.

Ejemplo:

Simplificar:

xzyxzyxxzyxyxzyx 564317643462435634

Observemos que los más internos son los paréntesis por lo tanto son los

primeros en eliminar.


Ahora eliminamos las llaves.


Ahora eliminamos los corchetes.


Nos queda reducir términos semejantes que bien podemos hacerlo de

manera directa o bien agrupando; en este caso lo haremos agrupando.

615574646643343234 zzzzyyyyyxxxxxxx

1081712 zyx

Grado de un monomio: Un monomio tiene dos tipos de grados; absoluto y

relativo.

Grado relativo: Es el grado respecto a una letra (variable).

16

Ejemplo: cba 32

2

5 Es de segundo grado respecto a la variable “a”

De tercer grado respecto a la variable “b”

De primer grado respecto a la variable “c”

Grado absoluto: Es la suma de los exponentes de su parte literal.

Ejemplo: cba 23

3

5 Su grado absoluto es (3+2+1) = 6, por tanto el término

es de sexto grado.

Polinomios:

Es una suma algebraica de varios monomios y cada uno de estos

constituye un término del polinomio.

Cuando un polinomio contiene sólo dos términos, se llama binomio; si

contiene tres términos es un trinomio.

Ejemplos: 3x4 -2x es un binomio;

5x2+4x-17 es un trinomio;

5a3b-2ab2-3/5a4+6b3 es un polinomio.

De manera general a toda expresión algebraica que tiene de dos a más

términos se le llama polinomio.

Reducción de un polinomio

Sea el polinomio 9x3+5-7x-4+3x-6x3 su forma reducida sería

9x3-6x3-7x+3x+5-4 = 3x3-4x+1, en donde observamos que tanto el

polinomio propuesto como el obtenido son equivalentes y ya no contiene

términos semejantes.

Grado de un polinomio:

Grado relativo: Es el exponente correspondiente únicamente a una

letra.

17

Ejemplo: Sea el polinomio 2x-5x4+4x2 es de cuarto grado con respecto a

“x”

3x5y4-7x3y2-9xy6 de quinto grado en “x”, de sexto grado en “y”

Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio es el grado del

monomio de mayor grado absoluto.

Ejemplo: Sea 3x5y4-7x3y2-9xy2 se busca el término de mayor grado

absoluto el cual es 3x5y4 por tanto el polinomio es de noveno grado

absoluto.

Polinomios Ordenados:

Los polinomios se ordenan de modo creciente o ascendente y decreciente o

descendente, ya sea con respecto a una o más variables.

Ejemplo:

a) Ordenar el polinomios 19x-4x4+2x5-5+11x3-14x2 de forma

decreciente.

2x5 - 4x4 +11x3 -14x2 +19x - 5

Adición y sustracción de polinomios.

Ejemplos:

1. Sumar 5x3-2x2+x-3 y 7x3+5x2+9

Solución:

= (5x3 - 2x2 + x - 3) + (7x3 + 5x2 + 9)

= 5x3 - 2x2 + x – 3 + 7x3 + 5x2 + 9

= 12x3+3x2+x+6

2. Restar 5x3-2x2+x-3 De 7x3+5x2+9

18

Solución:

Colocamos el minuendo al inicio que va acompañado de la palabra “De” y

luego el sustraendo que va acompañado de la palabra “restar”.

= (7x3 + 5x2 + 9) - (5x3 - 2x2 + x - 3)

= (7x3 + 5x2 + 9) + (-1) (5x3 - 2x2 + x - 3)

= (7x3 + 5x2 + 9) + (-5x3+2x2-x+3)

= 7x3 + 5x2 + 9 - 5x3 + 2x2 - x +3

= 2x3 + 7x2 - x + 12

Multiplicación de Expresiones Algebraicas.

La multiplicación de expresiones algebraicas implica el uso de la propiedad

distributiva y las propiedades de los exponentes, las cuales mencionamos

a continuación.

Producto de dos Monomios. El producto de dos monomios es un monomio en el que se verifica:

1. El coeficiente es el producto de los coeficientes de cada uno de los factores.

2. La parte literal está formada por la letra contenida en los dos

monomios, cada una de ellas con un exponente que sea la suma de sus exponentes en cada uno de los factores.

3. El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factores.

Ejemplo: Obtenga el producto de los monomios: 22

7

3yax y 454 xa

2664522

7

124

7

3yxaxayax

Producto de un Polinomio por un Monomio.

Ejemplo: Obtenga el producto de: 6105 23 xxx y yx35

yxyxyxyxyxxxx 3456323 305025556105

19

Producto de dos Polinomios.

Ejemplo: Obtenga el producto de: yxx 234 2 y yx 2

Tenemos varios caminos para resolver esta situación

Forma Horizontal.

yxyxx 2234 2

Distribuir cada término del binomio por el polinomio

yxxyyxxx 2342342 22

Efectuar la multiplicación

2223 234468 yxyyxxyxx

Reducir términos semejantes

xyyyxxx 72468 2223

División de Expresiones Algebraicas.

a) División de un monomio por otro monomio.

Si un monomio dividendo es divisible por un monomio divisor, el

coeficiente es un monomio cuyo coeficiente es igual al cociente de los

coeficientes del dividendo y del divisor. En la división también

aplicamos las leyes de los exponentes.

Ejemplo:

1) yxyxayxa

xa

yxa2203522

32

52

5

6

5

6

10

12

3

25

4

El resultado es un monomio.

2) 2

22

2

1324

22

34

5

3

5

3

5

3

y

xa

y

xa

xya

xa

20

El resultado no es un monomio, no cumple con la definición.

3) x

axa

xa

xa

7

2

7

2

7

2 3223

32

23

El resultado no es un monomio.

b) División de un Polinomio por un Monomio.

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término

del polinomio por el monomio y se suman los cocientes parciales.

Ejemplo:

Efectué:

1) babababa 353245 4)1458(

Solución:

ba

ba

ba

ba

ba

ba3

53

3

23

3

5

4

14

4

5

4

8

4242

2

13

4

52

2

7

4

52 b

babba

2) 2

3223

4

816

ac

cabca Solución: acba 24 2

c) División de dos Polinomios.

Ejemplo:

1) Dividir 4125103 23 aaaa

125103 23 aaa 4a

22 123 aa

aa 52 2

323 2 aa

aa 82 2

123 a 123 a

0

21

División Sintética

Regla de Ruffini

Demostraremos el procedimiento de manera ilustrada.

Ejemplo:

1) Dividir )1()1252( 234 xxxxx

Pasos que no debemos olvidar:

a) Revisar que el dividendo esté completo y ordenado.

b) Extraer los coeficientes del dividendo y despejar el divisor. c) Bajar el primer coeficiente

El cociente es 4623 xxx con resto -3.

Productos Notables y Factorización.

Binomio al cuadrado.

Ejemplo:

1) Calcular 254 x

2225542454 xxx

254016 2 xx

Producto de la suma por la diferencia

Ejemplo:

2222 2332 qppq

En este caso ordenamos la suma para que nos quede en el mismo orden

1 -2 -5 2 1 +1

+1 -1 -6 -4

1 -1 -6 -4 -3

x – 1 = 0

x = 1

22

que la diferencia.

22222222 232323 qpqpqp

2222 2332 qppq 44 49 qp

Cubo de un binomio (Suma)

Ejemplo:

De igual manera se hace con la diferencia al cubo.

Cubo de un binomio (diferencia)

Ejemplo:

23p 22q

2222 2323 qpqp

32 74 xyx

24x

xyx 74322

22 743 xyx

xy7

32yx

3222232 77437434 xyxyxxyxx

332456 34358833664 yxyxyxx

32 74 xyx

322322323 yyxyxx

3223 8126 yxyyxx

23

Cuadrado de un Polinomio.

Ejemplo 2:

23223 432 yxyyxx

323222

33232323222223

432422322

423222432

yxyyyxxyyx

yxxyxyxxyxyyxx

5423333245642246 2416128641694 xyyxyxyxyxyxyyxyxx

6553342246 16244202510 yxyyxyxyxyxx

Producto de binomios con términos en común.

Para facilitar la aplicación de la regla, lo haremos a través de un

esquemas

Ejemplo:

Factor común de un monomio:

yxaayax

Ejemplo:

1) xyx 84 2

Los coeficientes numéricos tienen como MCD a 4.

yxx 24

425 22 xx

425 22 xx

24

Factor común por agrupación de términos:

Ejemplo:

1) 22 735408 xzyzyx

22 735408 xzyzyx Agrupamos.

75758 2 zzxy Extraemos factor común.

7852 yzx Extraemos factor común por segunda vez, hasta llegar a

la factorización total.

Ejercicios propuestos.

En los siguientes ejercicios encierre la respuesta correcta justificando el

resultado.

1) Al operar (3a-2)-( ) se obtiene:

a) -3

b)

c) -2

d) -2 +6a+3

e) Ninguna de las anteriores

2) Al operar 2(a-3 )+3(5a-3), se obtiene:

a) -6

b) -6

c) -6

d) -15


3) operar -4y+6-(3 ) obtiene:

a)

b)

c)

d)


25

4) Al operar ( ) ( )

a) - +5x+10

b) - +5x-10

c) - +5x

d) - -5x


5) Al restar 3 se obtiene

a. 9 +7 -6x+1

b. -3 -3 +4x+3

c. 9 -7 +6x-1

d. -9 +7 -6x+1

e. Ninguna de las anteriores

6) Al operar 2x(x-3 ) ( ) se obtiene

a. -6 +17 -9x

b. -6 +13 -9x

c. -6 -17 +9x

d. -6 -13 +9x


7) Al operar (a-3)(a+2), se obtiene:

a) +5a-6

b) -a-6

c) -6a+5

d) +a-6


8) Al operar (2a-3)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) -5a+6

d) -5a-6


9) Al operar (y-5)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) +3a-2

26

d) -5a-6


10) Al operar (3a-1)(3a+2), se obtiene:

a) -6

b) +5a-6

c) +3a-2

d) -5a-6


11) Al multiplicar ( )( ) se obtiene

a)

b)

c)

d)


12) Al operar ( ) se obtiene:

a.

b.

c.

d.


13) Al operar ( ) se obtiene

a.

b.

c.

d.


14) Al operar ( ) se obtiene

a.

b.

c.

d.


15) Al multiplicar ( ) es

a.

27

b.

c.

d. -


16) Al dividir entre a+1, se obtiene

a.

b.

c.

d.


17) Al dividir entre x+1, se obtiene

como residuo

a.

b.

c.

d.


18) Al dividir

x+2 por 2+3 el cociente y el residuo

respectivamente son:

a.

b.

c.

d.


19) La factorización de 4 es:

a. ( )

b. (2x+9y)(2x+y)

c. (2x-9y)(2x-y)

d. ( )


28

Binomio de Newton.

Comúnmente sabemos cómo desarrollar los binomios 23 yx y 335 nm

ya que tenemos a mano una regla precisa. Pero ¿Qué sucede cuando se

nos presenta la situación 43 yx o bien 535 nm ? En este caso tenemos

que acudir al desarrollo de potencias de binomios de la forma nyx

conocido como binomio de Newton en honor a Sir Isaac Newton (1642-

1727) por haber establecido su generalización.

Número Combinatorio.

Dado un número natural n y un número nk ( 0k ó k natural) definimos

el “número combinatorio n, k” como:

!!

!

knk

n

k

nCkn

Ejemplo:

Este número es llamado número combinatorio.

Volviendo al tema del Binomio de Newton, decíamos que al pretender

desarrollar 4ba , lo podemos obtener multiplicando ba por si mismo 4

veces y si tuviésemos 5ba se procederá del mismo modo y así

sucesivamente, hasta tener nba = bababa ... n veces. Es obvio

el tedio que sería calcular 100ba , por ejemplo; por lo tanto se hace

necesario una fórmula que definimos a continuación:

0

nk

knknba

k

nba

15504

!15!.5

!15.16.17.18.19.20

!520!5

!20

5

20520

C

29

¿Cómo encontrar un término cualquiera del desarrollo nba ?

Usamos la ecuación 11

1 .

kkn

knk baCT

Por ejemplo, determinar el quinto término del desarrollo 623 2yx .

Tenemos que n = 6 por el exponente del binomio y k = 5 porque es el

término que nos piden encontrar, de lo que obtenemos:

4223

465 2. yxCT

86

5 16.4

6yxT

86

5 16.!46!4

!6yxT

86

5 16!2!.4

!6yxT

86

5 1615 yxT

86

5 240 yxT

Operaciones con Fracciones Algebraicas.

Simplificación.

Es el proceso de reducir a su forma mínima una fracción algebraica.

Decimos que una fracción está en su forma mínima cuando el numerador

y el denominador no tienen factor común diferente de 1 .

Para simplificar una fracción descomponemos en sus factores tanto el

numerador como el denominador y luego cancelamos los factores que sean

iguales y que estén simultáneamente en ambos.

Ejemplos:

Simplificar

2

3

15 3.5

25

a

a

2.a

5.5 2. a

3

5. aa

30

1)

2)

Adición y Sustracción.

La adición y sustracción de fracciones algebraicas siguen las reglas de la

adición y sustracción de fracciones con números reales.

Ejemplo:

Efectuar la siguiente sustracción de fracciones algebraicas y reducir la

respuesta a su mínima expresión.

xx

x

xx

x

3

5

9

2

96

322

Solución:

xx

x

xx

x

3

5

9

2

96

322

= 3

5

33

2

3

32

xxx

x

x

x

= 3

5

33

2

3

32

xxx

x

x

x

El mínimo común denominador es MCD = 332

xx . Entonces.

3

5

33

2

3

32

xxx

x

x

x=

33

33532332

xx

xxxxxx

=

33

956962

222

xx

xxxxx=

33

4556962

222

xx

xxxxx

= 33

4556962

222

xx

xxxxx =

33

30752

2

xx

xx

1

1

11

11

1

1 22

2

3

x

xx

xx

xxx

x

x

31

Multiplicación y División.

Se deduce la multiplicación y la división de fracciones algebraicas a partir

de las reglas de multiplicación y división de números reales.

Ejemplo:

1)

Ejercicios Propuestos.

I. Desarrolle.

a) 7232 yx

b) 5nm ba

En las potencias indicadas obtenga el término que se les pide.

a) El quinto término de 72 27m

b) Los dos términos centrales de 53 2yx

c) El término central de 102 abc

12

1

6

1

11

32

2

1

6

1

1

322

2

2

2

223

2

3

23

xx

x

xxx

xx

xxx

xxx

xx

x

xxx

xx

x

xxx

11

12

23

1

11

13 2

2

x

xx

xxx

xx

xxx

xxx

32

d) El término que contiene a 4x de 5

2 1

xx

Efectué las operaciones indicadas.

a. y

xyx 3

2

33

2

b.

xx

x1

1

21

c.

d.

e)

11

1

x

x

x

xx

f)

g.

8

3

8

12

1

x

x

11

1

1

x

xx

x

x

x

x

1

11

11

11

x

y

y

x

yxyx22

22

9

2

3

1

3

22

y

y

yy

33

h.

Radicales

Raíz n-ésima de un número: se llama raíz n-ésima de un número a otro

número que elevado a la potencia n-ésima reproduce el primero.

Notación:

Raíz n-ésima de nn bbb1

El símbolo se llama radical, “n” es el índice y b el radicando. Ejemplo

si n = 2, se escribe b en lugar de 2 b .

Propiedades básicas de los radicales.

a) Raíz de un Producto: La raíz m-sima de un producto de las raíces m-

sima de los factores mmmm cxbxaabc

Ejemplo:

3 3323 333 633 336 32727 yxxyxxyxx

Igual podemos simplificar de manera directa.

b) Raíz de un Cociente: la raíz m-sima de un cociente es igual al cociente

de las raíces m-simas de sus términos.m

m

m

b

a

b

a

Ejemplo: ba

ab

ba

ba

ba

ba

2

2

422

2

42 4416

c) Potencia de una Raíz: para elevar una raíz a una potencia se eleva la

cantidad subradical a dicha potencia. n mm

n aa

34

Ejemplo:

1) 7 547 5747 1247 434

7 3 yxyyyxyxxyxy

d) Raíz de una Potencia: para extraer una raíz de una potencia cuyo

exponente es múltiplo del índice de la raíz, se divide dicho exponente por el índice de la raíz.

pm mp aa Siendo mmpp :

Ejemplo:

1) 34

124 12 222

e) Raíz de una raíz: Para extraer la raíz de una raíz se extrae la raíz que indica el producto de los índices.

nmm n aa

Radicales semejantes.

Dos o más radicales son semejantes si tienen el mismo índice y la misma

cantidad sub-radical.

Ejemplo:

1) xx 8,3

Simplificar un radical es transformarlo en otros equivalentes de

expresión más sencilla, es decir los factores bajo el radical tiene

exponentes menor que el índice del radical; no hay fracciones bajo el

radical y el índice del radical es el menor posible.

Ejemplo:

Simplificar

35

a) 22222484 222222223 aababaabababa

Operaciones con radicales.

Adición y Sustracción de radicales.

Al sumar o restar radicales lo hacemos del mismo modo que lo hicimos

con polinomio, teniendo cuidado de reducir los radicales semejantes.

Ejemplo:

Sumar bb 25285

bb 25285 , eliminamos los paréntesis.

28255 bb , agrupar y reducir términos semejantes

234 b

Multiplicación de radicales.

Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican las cantidades

subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al

mismo índice.

Ejemplo:

Multiplicar:

a) 3 243 243 4 4523 cabacab

cbacbacbacba 23233 36933 369 302.15215815

División de radicales.

Para dividir radicales del mismo índice se dividen las cantidades

subradicales. Si tuvieran distintos índices se les reduce previamente al

mismo índice.

36

Ejemplos:

1) 33 2223 xyzzyxxyz xyzxyz

zyx

xyz

xyz 1

3

3 222

3

3

Racionalización del denominador.

Ejemplo:

Racionalice el denominador de las siguientes expresiones.

a) 5

52

5

52

5

5.

5

2

5

2

2

El denominador es un binomio irracional:

Para racionalizar, se multiplican numeradores y denominadores por el

binomio conjugado del denominador.

Se llaman expresiones conjugadas dos expresiones que están formadas

una por la suma y otra por la diferencia de iguales términos.

Ejemplo:

La conjugada de ba es ba

La conjugada de 32 es 32

Ejemplo:

Racionalice el denominador de las siguientes expresiones.

37

Ejercicios propuestos

I) Efectué las siguientes operaciones indicadas.

a) 333 12825054

b) 2

43532 23

b

accca

ccab

c) 454

17

3

228

3

15

4

3

d) 205725382

e) 46 9272

II) Racionalice el denominador de:

a) 523

2

x

x

b) 2335

3223

c) 3 32

124

a) 24

2222224

22

1682224

22

22.

22

82

22

82 42

22

38

d) yx

xyyx

Ecuaciones Lineales en una variable.

Una ecuación está formada por un signo de igualdad colocado entre dos

expresiones, las cuales contienen números y variables.

Igualdad:

Expresiones que igualados cantidades con el mismo valor: cba

Ejemplo: 3

10

3

42

Ecuación:

Es una afirmación de que dos expresiones son iguales, en la que hay una o

más incógnitas y que solo se verifica para determinados valores.

Ejemplo:

1) 1725 x , es una ecuación con una incógnita con solución única, x = 3

Ecuaciones Lineales:

Ecuaciones Equivalentes:

Ejemplo: 012 x ; 2

112 xx

Solución o Raíces de la ecuación.

Ejercicio:

Definición 1: Una ecuación de la forma 0bax , 0a , donde a y b

son números reales, se llama Ecuación Lineal.

Definición: Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma

solución.

39

Resuelva. 063 x

60663 x

603 x

63 x

63

13

3

1x 2x

La única solución de la ecuación original es 2.

Ecuaciones Lineales con una variable real.

Una ecuación de la forma 0bax , donde ba, ; a 0 recibe el nombre

de ecuación lineal o ecuación de primer grado con una incógnita.

Ejemplo:

Resuelva: 6572 xx

Solución:

765772 xx

13502 xx

xxxx 513552

0133 x

3

1133

3

1x

Ejemplo:

Resuelva xxxx 4

2

4

112

3

13x

40

Solución: Para eliminar los denominadores, multiplicamos a ambos

miembros por el m.c.m de los denominadores de las fracciones en la

ecuación.

m.c.m x , 4x , xx 42

x , 4x , 4xx

4 xx

44

2

4

114

xx

xxxxxx

24

14

14

xxx

xxx

24 xx

422 x

62 x

2

6x


I. Encuentre la solución de la ecuación dada.

a) xxxx 154

b) 1262363 2 xxxxx

c) 18

7

8

3x

d)

4

1

32

3

2

3

3

1 uuuu

3x

41

e) xxx 32.05.05.3

f) xx 82

12

g) xxxx 262 23

h) 288

3

24

5

12

32

xxxx

i) xx

xx

296

j) 1

53

3

1

xxx

k) 42

14

83

78

x

x

x

x

Resuelve los siguientes problemas

1. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el

segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

2. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el

orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Halla dicho número.

3. Halla una fracción equivalente a 3/5 cuyos términos elevados al cuadrado sumen 544.

42

4. Calcula dos números positivos tales que la suma de sus cuadrados

sea 193 y la diferencia sea 95.

5. Tengo 30 monedas. Unas son de cinco córdobas y otras de un córdoba. ¿Puedo tener en total 78 córdobas?

Ecuaciones Cuadráticas.

Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo 02 cbxax con 0a

y cba ,, .

Método de Factorización.

Anteriormente estudiamos los diferentes casos de Factorización pues aquí

es donde aplicamos el caso que contiene un trinomio de la forma

cbxax 2 .

Ejemplo:

Resuelva 0352 2 xx

Solución:

Aplicamos el método de factorización para obtener una ecuación

equivalente:

02

)3(25)2(2 2

xx

02

652 22

xx

0

2

1262

xx

0

2

1232

xx

0123 xx

Si aplicamos la multiplicación por cero:

43

03 x ó 012 x

Las soluciones de las ecuaciones lineales son:

3x y 2

1x

Estas son las raíces de la ecuación cuadrática y se puede verificar

sustituyendo en la ecuación original.

Por medio de la Fórmula General.

Fórmula cuadrática.

La naturaleza de las raíces está determinada por el radicando acb 42 , al

cual se le llama discriminante.

Ejemplo:

Resuelva 0423 2 xx

Solución:

De la fórmula cuadrática con 3a , 2b , 4c , tenemos:

32

434222

x

6

4842 x

6

522 x

6

1322 x

)3(2

)131(2 x

Si 0a , entonces las raíces de 02 cbxax están dadas por a

acbbx

2

42

44

3

131x

Las soluciones son:

3

131,

3

131


I) Resuelva

a) 0162 x

b) uu 84 2

c) 8152 2 dd

d) 12211 2 vv

e) AA 123 2

f) 0422 yy

g) 03218 24 xx

h) 0254 35 gg

i) 0813 xx

Ecuaciones Reducibles a la Forma Cuadrática

Consideramos ahora dos tipos de ecuaciones que se pueden resolver

reduciendo o transformándolas a la forma cuadrática.

Ecuaciones que implican exponentes radicales o ecuaciones irracionales.

Ecuaciones que implican exponentes racionales.

Ecuaciones que implican radicales. Ejemplo:

Resolver una ecuación que implica un radical como 2 xx

45

Se puede eliminar el radical, elevando ambos miembros al cuadrado, así:

22 2 xx

22 xx

Con lo que obtenemos una ecuación cuadrática y la reescribimos.

022 xx

Es entonces que procedemos a resolver por factorización o fórmula

general.

022 xx

012 xx

0102 xx

12 xx

Solución: 2,1

Ecuaciones que implican exponentes racionales.

Ejemplo:

Resolver la ecuación: 0631

32

xx

Solución:

Reescribimos la ecuación de la forma:

0631

2

31

xx , de esta forma obtenemos una ecuación cuadrática.

a) solución directa

0631

2

31

xx

023 31

31

xx

46

331

x ó 231

x , elevando al cubo ambos lados.

33

31

3

x ó 3

3

31

2

x

27x ó 8x Conjunto solución 27,8


1) 353 x

2) xx 243

3) 5

73

73

58

x

x

x

x

4) 082127 3 xx

5) 3802 34 xxx

6) 433324 xx

7) 4

12

2

12

x

x

x

8) 312

2

a

a

aa

Desigualdades o Inecuaciones Lineales y Cuadrática.

Desigualdades Lineales.

Ejemplo:

Resuelva xx 51648

Solución:

4516448 xx , restando 4 a ambos lados.

xxxx 551258 , restando 5x a ambos lados.

47

123 x

3

1123

3

1x , multiplicando por

3

1 a ambos lados

4x

En el ejemplo anterior, la solución escrita en forma de intervalo y gráfica

seria respectivamente.

4x 4,

Ejemplo:

Resuelve 2

53

2

1 x

Solución:

2

1

2

53

2

1

2

1 x

3

123

3

1x

3

2x Solución:

,

3

2

Desigualdades Cuadráticas.

Ejemplo:

Resuelva 2310 xx

Solución: Escribimos todos los términos distintos de cero al mismo lado.

003 2 xx

2

43 x

23 x

0

3

2

4 0

48

Factorizando

0

3

5363

xx

0532 xx

Los números críticos son:

02 x

2x

053 x

3

5x

Solución:

3

5,2x ,

Desigualdades Radicales y no Racionales.

Son proposiciones que representan el coeficiente de dos polígonos )(

)(

xQ

xP ,

considerando las raíces del denominador no forman parte del conjunto

solución.

Ejemplo:

2)

02

1

x

xx

Solución:

Como todos los términos diferentes de cero están a un lado de la

desigualdad; entonces procedemos a elaborar la tabla de los signos.

Puntos críticos:

De aquí obtenemos que la solución está dada por 1,02,

3

5 -2

49

Desigualdades Polinómicas de grado “n”

Se puede usar los métodos desarrollados para las desigualdades

cuadráticas y racionales, para resolver desigualdades polinómicas de “n”

grados y racionales de naturaleza más general.

La mayoría de las aplicaciones importantes de la matemática implican más

el uso de desigualdades que de igualdades; pues en el mundo real pocas

cosas son exactas.

Ejemplos:

Resuelva: 4

1

2

3

xx

04

1

2

3

xx

042

2143

xx

xx

0

42

2123

xx

xx

0

42

104

xx

x

Puntos críticos: 4,2,2

5 xxx

Solución: ,25.2,4

0 1 -2

-4 2

5 2

50


Resuelva las siguientes desigualdades, exprese las soluciones en notación de intervalo y trace la gráfica.

1) 032 x

2) 1332 xx

3) 236 x

4) 2370 x

5) 51122 xx

6) 2323 xxxx

7) 2424

312 x

8) 215

2715 x

9) 01522 xx

10) 03

23

x

x

Valor Absoluto en Ecuaciones Lineales y Desigualdades.

La relación entre el Álgebra y la Geometría, una herramienta importante

cuando se trabaja con ecuaciones y desigualdades que implican valor

absoluto. Recuerde que anteriormente definimos que x representa la

distancia a lo largo de la recta numérica desde x hasta el origen.

51

Por ejemplo el enunciado algebraico.

21 x

Ejemplos:

Resuelva y escriba la solución en notación de desigualdad y de intervalo

donde corresponda.

1) 1082 x

1082 x ó 1082 x

8102 x 8102 x

182 x 22 x

2

18x

2

2x

9x 1x

Solución: 9,1


Resuelve las siguientes ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

a. xx 251

b. 0126 x

c.

d.

624 xx

945 x

52

e. 4

232

x

x

x

x

f. 023 22 xxx

III UNIDAD “GEOMETRÍA EUCLIDIANA”


Conceptos Básicos (Punto, recta, plano, espacio)

Ángulos Paralelismo Relaciones y Proporciones

Perpendicularidad Clasificación de los triángulos

Recta y puntos notables Razones Proporciones

Congruencia de triángulos. Cuadriláteros. Polígonos regulares.

Circunferencia y círculo. Cuerpos sólidos.

Ejemplos:

1) En la figura a partir de la información dada, determine el valor x:

405/2 xº

Solución. De la figura

deducimos que los ángulos

indicados forman un par lineal,

y por tanto son suplementarios,

luego:

5/2 xº + 40 º = 180

5/2 xº = 180 - 40 º

x = (140) 2/5

53

2) Sean

m 1 ||

m 2 y

m 3 es una secantes a

m 1 y

m 2. Determine los

valores de X e Y, dada la información en la figura.

3) En la figura

m 1 ||

m 2. A partir de la información dada determine el

valor de x.

x = 56º

m1

m2 Y + 18

2x

m3

3x - 40

Solución

Con la información dada los ángulos 2x y

3x – 40 son alternos internos por lo que

son congruentes, de donde tenemos:

2x = 3x – 40

2x – 3x = - 40

(- x = - 40) (-1)

x = 40

xº

m2.

m1

xº

60º 110º

m2.

m1

xº

60º 60º

Solución

Si trazamos una línea auxiliar

paralela a las rectas dadas que

pase por el vértice del ángulo que

mide 110°, se forman ángulos

alternos – internos entre paralelas

con los ángulos que miden 60° y x°,

luego se tiene:

x + 60° = 110°

x = 110° - 60°

x = 50°

54

Ejercicios sobre Ángulos.

1) A partir de la información dada en la

figura encuentre el valor de X.

2) Si A, B y C son colineales, BD AC .

Hallar el valor de x.

3)- En las figuras, los rayos, segmentos y rectas paralelas se representan

colocándoles puntas de flecha en el mismo sentido .En cada uno

determine el valor del ángulo indicado.

a)

c)

e)

b)

d)

f)

55

Triángulos

Ejemplos

1-Encuentre la media proporcional entre 9 y 16

Solución:

De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que

12144

144

169

,16

9

2

2

XX

X

X

luegox

x

2- Encuentre la tercera proporcional entre 4 y 6

Solución:

De acuerdo a la definición, se pide el valor de X, tal que

9

4

36

664

6

6

4

x

x

x

x

3- Si un triángulo tiene un perímetro de 84cm y sus lados son

proporcionales a los números 5,7 y 9, encuentre las longitudes de dichos

lados.

Solución:

56

Sea a, b y c. Las longitudes de los lados del triángulo, luego c

Por las propiedades de las proporciones se tiene 975975

cbacba

Pero el perímetro es P= a + b + c = 84, luego 421

84

975

cba

Por tanto a = (5) (4) = 20cm

b = (7) (4) = 28cm

c = (9) (4) = 36cm

Teorema sobre proporcionalidad y semejanza de triángulo.

Teorema.

Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los

otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales.

v

u

y

xBCDE ________

Ejercicios:

1- Si P representa el perímetro de un triángulo, determine las longitudes

de sus lados si:

a) p = 75 y sus lados proporcionales a 3, 5 y 7

A

‘’

B

‘’

C

‘’

D

‘’

E

‘’

X

‘’

U

‘’ V

‘’

Y

‘’

57

b) p = 90 y sus lados proporcionales a 2, 3 y 4

2- Teniendo como referencia la rotulación en el triángulo dado y la información que se brinda a continuación, calcule los elementos

restantes.

a) x = 9 b) a = 5, b = 3 c) a = 10, c = 8 d) b = 4,c = 3 e) a = 32,c = 12

Ejercicios sobre semejanzas

1. Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la

distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?

a) 1 m b) 9 m c) 6 m d) 3 m e) 30 m

2. En la figura 1 ||

m 2. A partir de la información dada determine el

valor de x

a) 50º b) 60º c) 110º d) 55º e) 70º

a

c b h

x y D B C

A

m

m

58

Clasificación de los Cuadriláteros.

Ejemplos

1- La figura representa un trapecio isósceles

con _____

CDIIAB .S :AC=BD=13.CD=12 y AB=22,

determine su área.

Solución:

Por ser un trapecio isósceles EF=CD=12, luego

AE=FB= 52

1222

2

EFAB

Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos

h= 1214425169513 22

Por tanto el área buscada es

A= 220412

2

1222Ux

m

59

3- El lado de cada cuadro mide 1.La estrella de la figura se forma uniendo

vértices de los cuadrados con los puntos medios de los lados opuestos

¿Cuál es el área de la estrella?

Solución:

Toda la figura es un cuadrado, por lo que encontramos su área.

222 42 uA Observemos que las partes no sombreadas son triángulos

rectángulos, en total son 8, así que

225.02

5.01

2

.u

hbA Área no

sombreada=8 2225.08 uA

Luego para obtener el área de la estrella, restamos el área de todo el

cuadrado menos el área no sombreada.

A - Ans = 4 222 22 uuu

Polígonos Regulares

Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden

inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.

EL hexágono está

circunscrito a la

circunferencia

El octágono está

inscrito en la

circunferencia

60

4

222 ra p

La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita en el polígono.

En general, si R es el radio de un polígono regular, la apotema y la

longitud de los lados.

Áreas y perímetros de polígonos regulares.

Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado y pa la apotema, se

tiene:

Ejemplo

(1) El perímetro de un decágono regular es 24.72 y su apotema 3.8 ¿Cuál

es el radio de la circunferencia circunstancia? Determine el área de la

región poligonal correspondiente (Redondee su respuesta)

Solución

Datos P = 24.72, 8.3pa n = 10 472.210

72.24

n

pa

Se tiene R = 42

472.28.3

2

12

2

2

2

pa

4

222 apR

2242

1 Rap

Perímetro: p = n.a

Área: A = pp apaan .

2

1..

2

1

478.372.242

1

2

1 PapA

61

Ejercicios.

2

4. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en

su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud

de la curva?

En la figura, los círculos son tangentes y tienen

radio igual a 10. Si se unen los centros de los

círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área

de la región sombreada?

A B C

Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos

centros están sobre un diámetro del círculo que

se muestra en la figura.

Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de

la región sombreada y el área de la región no

sombreada es:

3

62

5. el área de un rectángulo es 5,586.2m2 y su perímetro es 365m. Calcular

sus dimensiones.

6. calcular los lados de un rectángulo, sabiendo que si se agregan 3 m a

su base y se quita otro tanto a la altura, el área no se altera; pero si se

agrega 5 m a su base y se quita 3m a su altura, el área aumente 16 m2.

7. un poste cercano a un árbol mide 2m y su sombra en un momento dado

mide 1.8m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11m,

hallar la altura del árbol. (12.22).

8. una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su

sombra mide 1.5m, entonces si el árbol mide 36m, ¿Cuánto mide su

sombra? (18m)

9. un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo

en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio

pueda verse en el espejo ¿Qué altura tiene un edificio si una persona

cuyos ojos están a 1.5m del piso observa la parte superior del edificio

cuando el espejo está a 120m del edificio y la persona está a 6m del

espejo? (30m)

10. en un jardín de forma cuadrada de 48.60m de lado se desea construir

un estanque circular 15 veces menor que el jardín ¿Qué ha de ser su

diámetro?

11. una puerta está formada de una parte rectangular y un semicírculo. El

ancho es de 1.60m y la altura total 3m. ¿Cuál es el área de la superficie?

3m

1.6m

63

Circunferencias y polígonos

Ejemplos

1. En la figura O representa el centro de la circunferencia si m < A0C=20º, determine los valores de yX , .

2- En la figura de la izquierda, determine valor de si m

9030 CDymAB

Solución:

º30º602

1,

2

1)

º60º120º180º180)

º120)

BCperoMBCmc

ADCb

AOCMACmxa

Solución:

Por ser un ángulo interno tenemos

º602

º30º90

30º 90º

D

C A

B

o A B

C X

64

Ejercicios Propuestos

1) Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, 50Am y

70Bm se trazan tangentes a la circunferencia por A, B y C de forman

que forman el triángulo circunscrito a A' B' C'.

2) A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado

A

B a) AC = 16, PB = 6, PD = 8. Hallar AP y PC.

b) AP = 3, PC = 5, PD = 4. Hallar PB.

c) PC = 2PA, FD 0 4, y BD = 12. Hallar AC.

D C d) BD = 15, PB = 6 y PB = 3PA. Hallar PC.

3) a) PA = AD, PB = 4, BC = 7. Hallar PD. D A

b) PD = 6, PA = 2 y PC = 5. Hallar PB.

c) PD = 7, AD = 4 y BC = 5. Hallar PB. P d) PA = 8, AD =12 y BC = 10. Hallar PC. C B

e) PD = 12, PA = 4, PC = 10. Hallar PB.

Área de un círculo.

P

N K

T

Q

R

S

M

65

El área de un círculo, es el límite de las áreas de los polígonos regulares

inscritos en la circunferencia correspondiente. Puede probarse que el área de u circulo de radio r o diámetro d está dada por:

Regiones Circulares

Sector Circular: es la sección de un círculo limitada por dos radios y el arco

correspondiente rsr

A2

1

º360

2

rA2

1 ( en radianes)

1) Segmento Circular: es la sección del círculo limitada por una curda

y el arco correspondiente.

El área de un segmento Circular puede calcularse mediante la diferencia entre

el área del sector circular correspondiente y el triángulo formado por lados

radios y la cuerda que une los extremos del arco.

Para calcular el área del triángulo generalmente hay que hacer uso de la

trigonometría, salvo los casos de triángulos con ángulos de 30º, 45º, 60º, 90º o múltiplos de

ellos.

Tenemos yrh

2tan2

22

42

1

2cot

2

1

2cos 22

yrsenx

xrxry

Si se mide en radianes, el área del segmento circular esta dada por

xyrssenrA 2

1

2

1 2

Corona Circular: es la sección de un plano limitado por dos

circunferencias concéntricas. El área puede obtenerse como la

diferencia entre las áreas del círculo exterior y el círculo interior o

sea que 22 rRA

66

2) Trapecio Circular: es la sección de una corona circular,

limitada por dos radios.

El área es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares

que los determinan.

Si hacemos rRh y si 1s y

2s son las longitudes de los arcos exterior e interior

respectivamente se tiene 21

2

1

2

1sshrRhA

Ejemplo:

1) ¿Cuál es el radio de la circunferencia cuya longitud es ?

Solución:

Como CrC 2

r2

2

112 rr

2) la longitud de la circunferencia correspondiente a un círculo y el perímetro de un

cuadrado son 20cm cada uno ¿Cuál tendrá mayor área?

Solución:

Tenemos

10

2

20202 rrC

2

2

2

2 83.3110010010

cmrAO

54

202044 llllP

222 255 cmAAlA

El círculo tiene mayor área.

22 rRA o 22

2

1rRA , en radianes.

67

3) si O es el centro de la circunferencia de la figura, 6r y º60 AOBm

determine el área de la región sombreada y la longitud del área AB.

Solución:

Tenemos que para un sector circular rsr

A2

1

º360

2

y

º180

rs

6

º360

º6062

A ,

2º180

º606s


1.

O

A

B

C

Si es un diámetro de la circunferencia y

su longitud es , encuentre el área del

ABC.

2.

Si el área del sector circular

OAB mide 31.5 cm2 y la

longitud del arco AB es 3 cm,

encuentre el radio del círculo. O

A

B

3.

B

A O

Encuentre el área de la corona

circular si

a) OA = 6 y AB = 2

b) OB = 6 y AB = 2

c) OB = 6 y OA = 2

68

4.

6.

Cuerpos Sólidos.

Volúmenes y áreas de prismas

En general el volumen de un prisma está dado por donde Ab es el área de la base y h es la altura del prisma.

Las áreas laterales y totales dependen del tipo de prisma. No hay una fórmula general, sin embargo no hay que olvidar que las bases

son regiones poligonales y las caras laterales son regiones paralelográmicas.

Para un Prisma Recto.

En la figura, cada pétalo es formado al trazar arcos cuyo centro está

en la circunferencia y que pasan por el centro de la misma. Si el radio

de la circunferencia es 1’’, encuentre el área de los seis pétalos.

1 2 1 1 2 1 1

2

2

Determine el área cubierta por las

tres letras de la figura

5.

En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10.

Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado.

¿Cuál es el área de la región sombreada?

V = Ab∙h

AL = P.a = P.h, AT = P.a + 2Ab

69

Donde AL: Área lateral, AT: Área total, P: Perímetro de la base, a = h:

Longitud de la arista lateral o altura.

Para un paralelepípedo regular, si a, b y c representa el largo, ancho y alto tenemos:

Volumen: abcV

Área Total: acbcabAT .2

La diagonal está dada por: 222 cbad

En particular para el cubo de lado a, se tiene:

Volumen: 3aV

Área Total: 26aAT

La diagonal está dada por: ad 3

Ejemplos:

1) Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determine su volumen y su

área total. Solución:

Tenemos que para un cubo ad 3

Entonces la longitud del lado es 163

316

3

ba

Su volumen está dado por 3aV 33 096,416 uV

Su área total está dada por 26aAT 22

536,1166 uAT

Pirámides.

Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal

y sus caras son regiones triangulares que tiene un vértice en común V.

d c

b

a

70

La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la

base.

Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Así tenemos pirámides triangulares, si su base es un triángulo, pirámides cuadradas, si

su base es un cuadrado; etc. También se clasifican en regulares y no regulares.

Pirámide Regular. Es una pirámide cuya base es un polígono regular u el pie de la

perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base.

Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. A las alturas de dicho triangulo se le llama apotema de la pirámide

Sección transversal.

Similar en los prismas, una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la

base. Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base.

Si h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice a la sección transversa, y si A es el área de la base y A’ el área de la sección transversal,

entonces:

2'

h

k

A

A

h

k

71

Además, si la base de la pirámide es un polígono regular y l y l’ son las longitudes de los lados de la base y la sección transversal respectivamente,

entonces h

k

l

l

'

Principio de Cavalier. Dados dos cuerpos sólidos y un plano, supongamos que todo plano

paralelo al plano dado que interseca a cada uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y las secciones transversales tienen igual área,

entonces los cuerpos tienen el mismo volumen. Basados en este principio se obtienen las fórmulas para el volumen de

diversos cuerpos sólidos: Pirámides, conos, esferas, etc. Volumen de una Pirámide:

alturah

baseladeareaA

hAV

b

b

.3

1

Áreas: únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares:

lateralescaraslasdeapotemaa

baseladeperímetrop

donde

APaA

aPA

PT

L

:

2

1

.2

1

Pirámide Truncada o Tronco de Pirámide.

Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original, Ab el

72

área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco

de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene.

Si consideramos la pirámide “original” y la pirámide que “quitamos” para formar un tronco de pirámide, se obtiene la siguiente relación.

Si H es la altura de la pirámide original k es la

distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de pirámide, entonces si V

es el volumen de la pirámide original y V’ el

volumen de la pirámide que se quita 3

'

H

k

V

V

El volumen de la pirámide truncada es la diferencia V-V’

Ejemplos:

1) Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 20cm y la arista de la base mide 15cm.

Solución:

Tenemos que hAV b.3

1

Por ser la base un triángulo equilátero se tiene.

222 43.97154

3

4

3cmlAb

Luego 352.6492043.973

1cmV

baseslasdeperímetroslossonPyPdonde

AAaPPATotalArea

aPPALateralArea

AAAAhVVolumen

bBT

L

bBbB

'

'2

1:

'2

1:

3

1:

73

Cilindros y Conos Circulares

Volumen y Área de un Cilindro

*Para un Cilindro Circular de radio r y altura h tenemos:

Su área lateral es un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien

un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo, de base la longitud de la circunferencia y altura h. En ambos casos se tiene:

Volumen y Área del Cono

*Para los conos en general su volumen está dado por:

hrhAbV 2

3

1*

3

1

*Para un cono circular recto, su área lateral está formada por un sector

circular, cuyo radio es la generatriz del cono y la longitud del área corresponde a la circunferencia de su base. Luego:

BLTL AAArhgdondergA ,,, 22

Cono Truncado

Área Lateral rhAL 2

Área Total 2222 rrhAbAA LT

Volumen hrhAbV 2*

22

22

22

3

1

rRhg

rRAA

rRgA

RrrRhV

LT

L

74

Área y Volumen de una Esfera Se puede probar a partir del principio de Cavalier, que para una esfera de

radio R, su volumen V y el área de la superficie esférica está dado por:

Regiones Esféricas

*Cuando un plano secante corta a una esfera, se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de dos bases. Si consideramos la superficie esférica en lugar del sólido, cada parte recibe el nombre de casquete

esférico o zona de una base. Zona y segmento de una base

22

2

2

36

1

33

1

2

hahV

hhV

pRhS

*Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos, la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar se considera si consideramos la superficie

limitada por los planos recibe el nombre de zona de dos bases. Zona de segmentos de dos bases

222 336

1

2

hbahV

RhS

3

3

4RV y 24 RS

75


1) El volumen de una caja es 6.48 dm3. su longitud es de 30cm, su

altura es igual a los 2/3 de su anchura. Calcular la superficie total. (22.32 dm2)

2) Dado un cubo cuya diagonal mide 316 , determinar su volumen y

su área total. (V=4096, AT=1536)

3) Calcular el volumen, el área lateral y el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 12cm de radio

y 16cm de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 9cm de la base (2210.7 cm3, 609.66cm2, 1,148cm2)

4) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 10cm. Si sus bases

son triángulos equiláteros con área 239 cm . Determine la arista de

la base y el área lateral. (23 180,6,390 cmAcmlcmV L )

5) Hallar el volumen de un prisma recto de altura 4cm, si sus bases

son hexágonos regulares y el área lateral es 144cm2. (374.12cm3)

6) Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son regiones trapezoides, si las aristas paralelas de las bases miden 4 y 9 y las no paralelas 5 y 6. la altura del prisma es 12 y las no paralelas 5 y

6. la altura del prisma es 12. (374.4u3) 7) Las bases del prisma de la figura son triángulos equiláteros y sus

caras son regiones rectangulares. Si la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10, calcule el volumen del prisma

y la superficie total. (V=155.88, AT=211.18)

8) La altura de un cono es de 5cm. Un plano paralelo a la base lo interseca a 2cm de la misma formando un cono pequeño en la parte

76

superior. Si el volumen del cono pequeño es 24cm3, halle el

volumen del cono original. (V=111.11cm3)

UNIDAD IV “FUNCIONES Y GRÁFICAS”


Función. Definición, dominio y rango.

Graficas de funciones algebraicas.

Funciones exponenciales.

Funciones logarítmicas.

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométrica en un triángulo rectángulo

Resolución de triángulos oblicuángulos

Ecuaciones trigonométricas

Evaluación de funciones

Ejemplo:

Dadas las siguientes funciones:

3

15

xxf 2316 xxxg 225 xxh

Encuentre:

a) 6f

b) 7g

c) 10h

d) 340 hgf

e) 1af

f)

a

afaf 1

77

Función compuesta Un símbolo de función especial se usa frecuentemente para representar a

la función compuesta de dos funciones, las cuales en términos generales

de la siguientes manera.

Ejemplo:

1) Encuentre xfog y xgof y su dominio para 10xxf y 13 4 xxg

Solución:

1044 1313 xxfxgfxfog

1313 4041010 xxxgxfgxgof

Función inversa:

Ejemplo:

Determine la función inversa de 13 xxf , asumiendo que xf es

biyectiva, verifique.

Solución:

Despejamos x en función de y, luego intercambiar las variables.

3

13113

yxxyxy

Definición:

Dadas dos funciones f y g entonces fog se llama compuesta y se define

por la ecuación:

El conjunto de fog es el conjunto de todos los números reales x en el

dominio de g donde g(x) está en el dominio de f.

xgfxfog

78

3

11 y

yfx , intercambiamos variables 3

11 x

xf

I. Dadas las siguientes funciones

53 xxf

423 2 mmmF

ttg 4

2uuuG

Evalúe como se le indica:

1. 1f

2. 2G

3. 31 fF

4. 122 GF

5. 3

2.0

F

gf

6. 6g

7. 3F

8. 32 gG

9. 1223 FG

10.

12.4

G

fg

II. Dadas las siguientes funciones, determine su dominio y bosqueje su gráfica.

1) 83 xxf , dom

79

2) 2 xxh , 2x

3) x

xxs

4

32, 4

4) 82

922

2

xx

xxxn , 4,2

5) 24 xxF , 22 x

6) 112 xxg ,

7) xxk 4 , 4x

III. Las siguientes funciones son uno a uno halle f —1

1. xxf 3

2. 34 xxf

3. 5

3

10

1 xxf

4. 1

2

xxf

5. 2

x

xxf

IV. Para las funciones indicadas f y g encuentre las funciones fog y gof y

su dominio.

1) 3xxf 12 xxxg

2) 2xxf 423 xxxg

3) 31

xxf 42 3 xxg

80

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Al operar con funciones exponenciales son válidas las leyes algebraicas

relacionadas con exponentes.

a) yxyx aaa .

b) XXXbaab

c) yx

Y

X

aa

a

d) xyyx aa

e)

f) x

x

aa

1


a) Sobre funciones logarítmicas:

1. Cambie a la forma logarítmica

1.1- 000,100105

1.2- 81

13 4

x

xx

b

a

b

a

81

1.3- pe 7

2. Cambie a la forma exponencial

2.1- 532log2

2.2- 52log3 x

2.3- 43log2 xm

3. Encontrar x, y, o b según corresponda:

3.1- 2log 2 x

3.2 y16log 4

3.3 216log b

3.4 y

7

1log49

3.5 2

1log25 x

4- Escriba en términos de formas logarítmicas más simples, usando las propiedades de los logaritmos.

4.1- vw

ualog

4.2- uvwblog

4.3- 25log wb

82

4.4- 5log Mb

5.5- 4

32

logz

yxb

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas:

¿Cómo resolver una ecuación exponencial?

Ejemplos: Resolver

a) 52 23 x

5log2log 23 x, aplicamos logaritmos a ambos lados (3x+2)log2 = log5,

aplicamos la propiedadxPx a

P

a loglog ,

2log

5log23 x , iniciamos a despejar x

3

22log

5log

x

x = 1.4406

b) 213 x

21log3log x

21log3log x

7712.23log

21logx

Si aplicamos ln, ¿El resultado es el mismo?, veamos

21ln3ln x

83

21ln3ln x

3ln

21lnx

7712.2x

Analicemos un caso en que hay variables a ambos miembros

1254 xx

125log4log xx

5log124log xx

5log5log24log xx

5log5log24log xx

5log5log24log x

8782.0

3978.16020.0

6989.0

6989.026020.0

6989.0

5log24log

5log

x

Ecuaciones Logarítmicas

Ejemplos:

a) Resolver la ecuación 3log1log xx

Solución 1log)3log( xx

13log xx

xx 3101

01032 xx

84

025 xx

5

05

x

x y 2

02

x

x verificar si satisfacen la ecuación

1log)3log( xx

1)5log()35log(

1)5log()3log( , de hecho no la satisface ya que el dominio de la función

logarítmica es ,0

12log)32log(

12log5log

12*5log

110log

1 = 1


Resuelva las siguientes ecuaciones

a) 02552652

xx

b) 3437 12 x

c) 3282

2 xx

d) x

x

2193

1

e) 23log15log xx

f) 244log 2 xx

g) 02

4log

3

1

x

x

85

h) 13loglog xx

i) 3100log9log xx

Funciones Trigonométricas


Aplicaciones de las leyes de los senos y cosenos

Resuelva aplicando las leyes de los senos y cosenos.

1. Dos salvavidas se encuentran en la orilla de una playa a una

distancia uno del otro de 1.5 Km. en los puntos A y B, y divisan un bote que se está hundiendo situado en el punto C. Si el salvavidas en A mide un ángulo CBA igual a 43.6º. ¿A qué distancia está el bote

de cada salvavidas? ¿A qué distancia está el bote de la costa? R/ 1.76 Km. de A 1.23 Km. de B.

2. Dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. Otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de

250 m de B. Si el ángulo ABC es de 110º y el ángulo ACB es de 18º; encuentre la distancia a lo largo del río entre A y B R/ 98.04m

3. Por una carretera recta transita un vehículo rumbo norte a 80 Km/h. En cierto momento desde el vehículo se observan las luces

de un pueblo situado a N 20º W. Una hora más tarde estas luces se encuentran a S 59º W desde el vehículo, Si se construye la carretera de menor longitud desde el pueblo a la carretera por la que transita

el vehículo, ¿Cuál será su longitud? R/ 23.9 Km

4. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se encuentran a un

ángulo de 35º10` y tienen longitudes de 3 y 8 pies. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta del paralelogramo (con tres dígitos

significativos)? R/ 5.81 pies.

Ecuaciones Trigonométricas

86

Son aquellas que contienen expresiones trigonométricas. Las soluciones

de ecuaciones trigonométricas se encuentran mediante técnicas

semejantes a las que se usan en álgebra despejando a senx, cos , etc. de

la ecuación trigonométrica y a continuación se determinan los valores de x

o que satisfagan la ecuación, pudiendo expresarlos como números reales

o como ángulos.

Ejemplo

Encuentre las soluciones exactas de:

1) 0coscos2 2 xx exprese x en términos de π

01cos2cos xx factorizar

cosx = 0 y 2cosx-1 = 0 igualar cada factor a cero.

0cos x y 2

1cos x

Busquemos cuales son los valores de las variables:

0cos x y 2

1cos x

23,

2

x y

35,

3

x

de manera general

x =

k

k

k

k

23

5

22

3

22

23

donde k es cualquier constante

87


Resuelva con exactitud para la variable indicada en el intervalo que se

especifica.

a) 132 2 senxxsen 2,0

b) 03cos4 2 x 2,0

c) 03cot 2 x 2,0

d) senxxsenx 2tan 2,0

e) 01tan º360,0

f) 12

cos21

x 2,0

g) 03tan x 2,0

h) 656 2 senxxsen º90,0

i) 0cos2cos º360,º0

j) senxx 2tan 2,0

k) 1cos senxx 2,0

l) 03cos2 2 sen 2,0

88

UNIDAD V “GEOMETRÍA ANALÍTICA”


Distancia entre dos puntos

Punto medio

Ángulo entre dos rectas

Paralelismo

Perpendicularidad

Ecuaciones de la recta

Distancia de un punto a una recta

Distancia entre rectas paralelas

Intersección entre rectas

Ejercicios

1. Hallar el perímetro y el área del cuadrilátero cuyos vértices son:-3, -1),

(0, 3), (3, 4), y (4, -1) R: P = 20, A = 22 2U

2. Demostrar que los tres puntos (12, 1), (-3, -2), y (2, -1) son colineales, es

decir, que están sobre una misma línea recta.

3. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (0, 0), (1, 2), y

(3, -4). R: 5 2U

4. Determine si el triángulo dado por las coordenadas de sus vértices, es

isósceles, equilátero, o escaleno.

a) A (1, 2), B(3, 4), C(2, 7)

b) D(-2, 0), E(2, 0), F(0, 2 3 )

89

c) P(-1, -3), Q(6, 1), R(2, -5)

5. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, -2), (-1, 4) y (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados. R: -2, 1/5, 7/2

6. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada. R: 5

7. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto P(x, y) que pertenezca a la recta que pasa por los puntos (2, -1) y (7, 3). R: 4x -5y -13

= 0

8. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por

los puntos (-2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por los puntos (3, 9) y A cuya abscisa es -2. Hallar la ordenada de A. R: -8

9. Una recta

1l pasa por los puntos (3, 2) y (-4, -6) y otra recta

2l pasa por el

punto (-7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del

punto A, sabiendo que

1l es perpendicular a

2l . R: 1

10. Verificar que los tres puntos (2, 5), (8, -1) y (-2, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos. R: 4133 ’, 56 19’

11. Halle la distancia desde el punto medio del segmento que une A (-2, -10) y B (4, 6) hasta el punto medio del segmento que une C (3, 5) y

D (-1, 3). R: 6

12. Encuentre la distancia desde el punto (2, 3) hasta la recta 3x-4y+0 = 0.

R: 4/5

13. Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C (6, 7) y D (8, 0).

Hallar las ecuaciones de sus lados. R: 2x –y = 0, 3x -4y +10 = 0, 7x +2y – 56, y = 0

14. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas 2x +y -8 = 0 y 3x -2y +9 = 0. R: 4x + y

-10 = 0

90

15. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son A (-3, 2) y B (1, 6). R: x + y – 3 = 0

16. Una recta pasa por el punto A (7, 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C (-2, 2) y D (3, -4). Hallar su ecuación. R: 6x + 5y -82 = 0

17. Sea el triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 7) y c(6, -3), hallar:

a) Ecuación de la recta que pasa por A paralela a BC . R: 5x + y + 9 = 0

b) Ecuaciones de las medianas y su punto de intersección. R: (8/3, 5/3)

18. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, -1) y que

forman cada una un ángulo de 45 con la recta 2x – 3y + 7 = 0.

R: 5x – y – 11 = 0, x + 5y + 3 = 0

19. Hallar la distancia entre las rectas paralelas 3x – 4y + 8 = 0 y 6x – 8y + 9 = 0. R: 7

SECCIONES CÓNICAS

Ejercicios

1. Determine el centro y el radio de las siguientes circunferencias

a) 86522 yx b) 22554

22 yx

c) 818322 yx d) 14453

22 yx

R/ a) C (-5, 6), r = 22 b) C (-4, 5), r = 15 c) C (-3, -8), r = 9 d) C (3,

5), r = 12

2. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las siguientes condiciones.

a) C (3, 5), r = 6 b) C (-6, 4), r = 3

c) C (2, -1), pasa por (4, 0) d) C (3, -2) y es tangente al eje x

91

R/ a) x2 + y2 – 6x +10y – 2 = 0 b) x2 + y2 +12x -8y + 43 = 0

c) x2 + y2 – 4x + 2y = 0 d) 42322 yx

3. Determine los puntos donde la circunferencia con ecuación x2 + y2 –

6x – 7 = 0 corta al eje x.

R/ (7, 0), (-1, 0)

4. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y -24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0.

R/ 253622 yx

5. Para la parábola cuya ecuación se da, encontrar su foco, ecuación

de la directriz y longitud del lado recto. Trazar su gráfica.

a) x2 = 4y b) x2 -12y = 0 R/ a) F (0, 1), y = -1, LR = 4 b) F (0, 3), y = -3, LR = 12

6. Encontrar la ecuación de la parábola que cumpla con las

condiciones dadas: Trazar su gráfica.

a) Foco (0, -2) y directriz y – 2 = 0 R/ x2 = -8y

b) Vértice (0,0), se abre hacia la izquierda y longitud del lado recto 6.R/ y2 = -6x

7. La directriz de una parábola es la recta x + 5 = 0, y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola.

R/ y2 - 20x – 6y + 9 = 0

8. Hallar la ecuación de la elipse cuyo vértice son los puntos (4, 0) y (-4, 0) y cuyos focos son los puntos (3, 0) y (-3, 0). Trazar su gráfica.

R/ 1716

22

yx

9. Los focos de una elipse son (3, 0) y (-3, 0) y la longitud de sus lados rectos es 9. Hallar su ecuación y trazar su gráfica.

R/ 12736

22

yx

92

10. Los focos de una elipse son los puntos (-4, -2) y (-4, -6) y la longitud

de cada lado recto es 6. Hallar su ecuación y excentricidad. Trazar su

gráfica. R/

116

4

12

422

yx

, e = ½

11. La ecuación de una familia de elipses es 4x2 + 9y2 + ax + by – 11 = 0.

Hallar la ecuación del elemento de la familia que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 1)

R/ 4x2 + 9y2 – 16x – 18y – 11 = 0

12. El punto medio de una cuerda de la elipse x2 + 4y2 – 6x – 8y – 3 = 0 es el punto (5, 2). Hallar la ecuación de la cuerda.

R/ x + 2y – 9 = 0

13. Dada la elipse 4x2 + 9y2 – 32x + 54y + 109 = 0, encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el mismo que la elipse y como radio la mitad de la longitud del eje menor.

R/ x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0

14. Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0,

3) y (0, -3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar su ecuación y

la excentricidad. R/ 199

22

yx

, e = 2

15. Los vértices de una hipérbola son (0, 4) y (0, -4) y su excentricidad

es 3/2. Hallar su ecuación y los focos. Trazar su gráfica.

R/ 12016

22

xy

, F (0, 6)

16. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (3, -1), su

centro está en el origen, su eje transverso sobre el eje x, y una de sus

asíntotas es la recta 0232 yx . Graficarla

R/ 2x2 – 9y2 = 9

tabla de contenido -...

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