t. sós vera, laczkovich miklós - analízis i

A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyv-támogatási Pályázat keretében készült.

Felsőoktatási tankönyv

© M

Szakmai bírálók

ELEKES G YÖ R G Y

( 1- 11. fejezet)

GÉMES M A R G IT

(Függelék)

A Függelék Simonovits Miklós munkája

© Laczkovich Miklós, T. Sós Vera, Simonovits Miklós,Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., Budapest, 2006

ISBN 963 19 5704 7

Minden jog fenntartva. A mű egészének vagy bármely részének mechanikus, illetve elektronikus másolása, sokszorosítása, valamint információszolgáltató rendszerben való tárolása és továbbítása a Kiadó előzetes írásbeli engedélyéhez kötött.

Tartalom

E lőszó ...................................................................................................... 5Rövid történeti bevezetés...................................................................... 7

1. A la p fo g a lm a k ...................................................................................... 15Néhány szó a matematikáról általában................................................ 15Logikai alapfogalmak............................................................................. 15Bizonyítási módszerek........................................................................... 19Halmazok, függvények, sorozatok......................................................... 26

2. Va lós s z á m o k ...................................................................................... 32Tizedestörtek. A számegyenes.............................................................. 42Korlátos számhalmazok........................................................................ 48Hatványozás........................................................................................... 53Első függelék: A testaxiómák következményei.................................... 57Második függelék; A rendezési axiómák következményei................... 58

3. V ég te len szám soroza tok ( I . ) ........................................................... 60Konvergens és divergens számsorozatok.............................................. 62Végtelenhez tartó sorozatok................................................................. 67A határérték egyértelműsége............................................................... 69Néhány konkrét sorozat határértéke.................................................... 72

4. V ég te len szám sorozatok ( I I . ) ......................................................... ” 4A határérték alaptulajdonságai............................................................ 74Határérték és egyenlőtlenségek............................................................ 77Határérték és m ííveletek........................................................................ 79Alkalmazások.........................................................— ............................. 86

5. V ég te len szám sorozatok ( I I I . ) ....................................................... 90Monoton sorozatok................................................................................. 90A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium.......................... 96

6. M egszám lá lh a tó h a lm a zo k .............................................................. 1027. Valós vá ltozós , va lós értékű fü gg vén yek .................................... 108

Függvények és grafikonok...................................................................... 108Valós függvények globális tvűajdonságai.............................................. 114Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai.................................. 122

8. Fü ggvények fo lytonossága és h a tá ré rték e ................................... 124Függvény határértéke............................................................................ 128A z átviteli e lv .......................................................................................... 139Határérték és műveletek........................................................................ 146Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények............................ 156Egyenletes folytonosság........................................................................ 162Monotonitás és folytonosság................................................................. 166Konvexitás és folytonosság................................................................... 171A ftiggvénygraíikon ívhossza................................................................. 176

9. N éh án y fontos fü ggvén yosztá ly (E lem i fü g g v é n y e k ).............. 182Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények................................. 182Exponenciális függvények és hatványfüggvények............................... 185Logaritmusfüggvények............................................................................ 197Ti’igonometrikus függvények................................................................. 202A trigonometrikus függvények inverzei................................................ 211A hiperbolikus függvények és inverzeik.............................................. 212Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása................................. 217

Második függelék; Néhány szó a komplex számokról..........................21810. D iffe ren c iá ls zá m ítá s .......................................................................... 220

A differenciálhatóság fogalma................................................................220Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai.............. 229Magasabb rendű differenciálhányadosok............................................. 244A lokális tulajdonságok és a derivált líapcsolata................................. 250Középértéktételek.................................................................................. 258A differenciálható függvények vizsgálata............................................. 264

11. A d ifferenciá lszám ítás a lka lm azása i............................................. 277A L ’Hospital-szabály............................................................................. 277Polinomapproximáció............................................................................ 281

A határozatlan integrál..........................................................................292Differenciálegyenletek............................................................................ 299A láncgörbe............................................................................................. 308A deriváltfüggvények tulajdonságai..................................................... 311Függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséró'l 315

Megoldási ötletek........................................................................................... 318Megoldások......................................................................................................323Függelék: Számítástechnika és analízis.........................................................330

Bevezetés............................................................................................. 330Basic programok................................................................................. 332M ap le .................................................................................................. 345

Név- és tárgymutató...................................................................................... 361Jelölések......................................................................................................... 365Irodalom ......................................................................................................... 367

Előszó

Az analízis nélkülözhetetlen alapját képezi mind a matematika egészének, mind pedig a természettudományoknak, sőt egyre inkább a társadalomtudományoknak is. Az analízis elméletét (a differenciál- és integrálszámítást) éppen az az igény hozta létre, hogy - Galilei meglátását követve - a világegyetemet a matematika nyelvén írhassuk le. A precíz elmélet kidolgozása csaknem 300 évet vett igénybe, elsősorban a határérték és a folytonosság lényegét megragadó alapfogalmak kialakítása miatt. E fogalmak elsajátítása általában komoly nehézségekkel járhat; ez is oka annak, hogy az analízis a középiskolai anyagban alig szerepel.

Ugyanakkor a felsőoktatásban, mindazokon a szakokon, ahol a matematika része a tantervnek ~ így az egyetemek különböző irányú (egy- vagy többszakos, alkalmazott stb.) matematika tanári és matematikus képzéseiben az analízis alapozó tárgyként, illetve törzsanyagként jelenik meg. Könyvünket elsősorban a fenti szakok bevezető analízis tankönyvének szánjuk. Ezen felül, elképzelésünk szerint a könyv mindazokon a szakokon is hasznos lehet, amelyeken az analízis a tanterv szerves része, így a műszaki és közgazdasági egyetemeken, illetve a főiskolákon. A könyv megírásában felhasználtuk mindazokat a tapasztalatokat, amelyeket az ELTE-n több évtizeden át tartott előadásaink során gyűjtöttünk.

Nagy súlyt helyeztünk az analízis alapjainak tárgyalására: mielőtt rátérnénk a tulajdonképpeni analízis témájára, összefoglaljuk mindazt, amire az elmélet épül (logikai alapok, halmazok, valós számok), bár ezek egy része ismerős lehet a középiskolai tanulmányokból. Meggyőződésünk, hogy a szilárd alapokra nemcsak azoknak van szükségük, akik az analízis magasabb fejezeteit akarják elsajátítani, de azoknak is, akik alkalmazzák, és nem utolsósorban azoknak, akik az analízist - bármilyen szinten - tanítani fogják.

Az analízis centrális fogalmai a határérték, a folytonosság, a differenciálhányados és az integrál. Ebben a kötetben* a célunk ezek közül az első háromnak a fokozatos, a szemléletre is támaszkodó kialakítása és a rájuk épülő elmélet tárgyalása, szem előtt tarva és minél gyakrabban bemutatva a lehetséges

* A második kötetben tárgyaljuk az integrálszámítást, a végtelen sorokat és az egyváltozós

analízis további fontos fejezeteit.

14 Analízis I.

is jelent az, hogy végtelenül kicsiny mennyiség? Végül is egy ilyen mennyiség nulla vagy sem? Ha, nulla, akkor nem oszthatunk vele a dy/dx differenciálhányadosban. Ha viszont nem nulla, akkor a számolásokban nem hanyagolhatjuk el. Egy ilyen ellentmondás megengedhetetlen egy matematikai fogalom esetében. A szélsöértékek kiszámításának módszere sem világos. Ha el is fogadjuk, hogy a szélsőérték helyén a differenciál nulla (bár ennek az indoklása sem tökéletesen meggyőző), nekünk valójában az állítás megfordítására volna szükségünk: ha a differenciál nulla, akkor szélsöérték van. Ez azonban nem mindig igaz. Hiszen d{x'^) = ‘ix^ • dx = 0 ha a; = 0, pedig x^-nek nincs szélsőértéke0-ban.

A kalkulus körüli vita egészen a XIX. század végéig zajlott, és nemegyszer filozófiai síkra terelődött. Berkeley amellett érvelt, hogy a kalkulus állításai szemernyivel sem tudományosabbak, mint a hit igazságai, Hegel pedig úgy vélte, hogy a kalkulus belső problémániak megoldására csakis a filozófia hivatott.

Ezeket a belső problémákat végül mégis a matematikusok oldották meg a XIX. században, amennyiben a kalkulus intuitív, de homályos és ellentmondásos fogalmait precízen definiált matematikai fogalmakkal helyettesítették. A változó mennyiség fogalmát a függvény fogalmával, a differenciált a határértékkel, a differenciálhányadost pedig a deriválttal váltották fel. Ennek a tisztázási folyamatnak az eredményeképpen - amelyben Augustin Cauchy (1789-1857), Kari Weierstrass (1815-1897) és Richard Dedekind (1831-1916) vállaltak úttörő szerepet - a X IX . század végére a d ifferenciá l- és in tegrá lszám ítás (röviden analízis) elérte a logikai tisztaságnak azt a fokát, amelyet a matematika megkövetel.

Az analízis precíz elméletének kidolgozása az újkori nyugati kultúra egyik legnagyobb szellemi teljesítménye volt. Ne csodálkozzunk hát, ha ezt az elméletet főleg az alapjait, mindenekelőtt pedig annak centrális fogalmát, a határértéket - nehéznek találjuk. Hogy megkönnyítsük a határérték fogalmának elsajátítását, először a sorozatok határértékét tárgyaljuk. De mindenekelőtt meg kell ismerkednünk azokkal az alapokkal, amelyekre az anahzis mint a matematika egy fejezete épül.

1. ALAPFOGALMAK

Néhány szó a matematikáról általában

A matematikát régen úgy definiálták, mint azt a tudományt, amely számokat és alakzatokat vizsgál. (Erre utal Hans Rademacher és Ottó Toeplitz híres könyvének címe: Von Zahlen und Figuren, azaz Számokról és Alakzatokról [7].) Ma már a matematikát aligha lehetne így definiálni, hiszen a modern algebra nem számokat, hanem absztrakt struktúrákat vizsgál, a geometria egyes újabb fejezeteinek tárgya pedig csak távolról emlékeztet a síkbeh vagy térbeli alakzatokra. A znatematika más fejezetei: az analízis, a diszkrét matematika, a valószínűségszámítás inind olyan objektumokat vizsgálnak, melyeket nem nevezhetünk sem számoknak, sem alakzatoknak. A matematikában tanulmányozott objektumokról általában csak annyit állíthatunk, hogy absztrakciók, melyeket sok esetben (de nem mindig) a valóságból vontunk el. Végül is a matematikát nem a tárgya, hanem vizsgálatainak valódi természete segítségével kell defini- áhmnk: azt mondhatjuk, hogy a matematika az a tudomány, amely absztrakt objektumokról abszolút és megdönthetetlen igazságokat állapít meg. Ezeket az igazságokat a matematikában tételeknek nevezzük, a megdönthetetlen gondolatmeneteket pedig, amelyek a tételekhez vezetnek, b izonyításoknak. A tételek bizonyításában használt módszer (vagy mondhatjuk úgy is, hogy nyelv) a matematikai logika.

Logikai alapfogalmakA matematikai logika állításokkal dolgozik. Állításoknak nevezzük azokat a kijelentéseket, melyek vagy igazak, vagy hamisak. (Eszerint nem nevezhetjük állításnak sem azt az óhajt, hogy „Szeretném ha szeretnének” , sem azt a felszólítást, hogy „Légy jó mindhalálig” .) Az állításokat logikai műveletekkel kapcsoljuk össze; ezek segítségével adott állításokból újakat kaphatunk. A logikai műveletek a konjunkció (és), a diszjunkció (vagy), a negáció (tagadás), az implikáció (ha, akkor), valamint az ekvivalencia (akkor és csak akkor).

16 1. Alapfogalmak Logikai alapfogalmak 17

A konjunkció két állítás összekapcsolása; azt állítjuk, hogy inindkettő igaz. Pontosabban, az A és B állítások konjunkciója az „A és B " állítás, melyet úgy jelölünk, hogy A /\B. Az A a B állítás akkor igaz, ha A és B mindketten igazak; minden más esetben hamis.

A d iszjunkció két állítás legalább egyikének az igazságát állítja. Pontosabban, az A és B állítások diszjunkciója az „A vagy B ” állítás, melyet úgy jelölünk, hogy A v B. Az A v B állítás akkor igaz, ha A és B legalább egyike igaz; a maradék esetben, amikor A és B mindketten hamisak, .4 V ö is hamis.

Fontos tudatosítanunk, hogy a mindennapi életben a „vagy” szócskát több különböző értelemben használjuk. Ha egy rendőrségi jelentésben azt olvassuk, hogy „az áldozat otthon volt péntek este, vagy szólt a rádiója” , akkor ez úgy értendő, hogy a kettő egyszerre is igaz lehetett; ezt m egen gedő vagy- nak nevezzük. Ha viszont egy fiatalember így szól a barátnőjéhez: „ma vagy cukrászdába megyünk, vagy moziba” , akkor ezt valószínűleg úgy érti, hogy a két hely közül pontosan az egyiket fogják meglátogatni, mindkettőt biztosan nem. Ez a k iegész ítő vagy. Végül, ha ebéd közben egy apa rászól a fiára; „az ember vagy eszik, vagy olvas!” , akkor ezt úgy kell érteni, hogy legfeljebb az egyiket csinálhatjuk; ez a k izáró vagy. Jegyezzük meg, a matematikában a vagy logikai műveletet a m egen gedő értelemben használjuk.

A negáció tagadást jelent. Az A állítás tagadásán az „A hamis” vagy másképpen „A nem igaz”_állítást értjük. Ezt röviden úgy mondjuk, hogy „nem A ", és úgy jelöljük, hogy A. A z A állítás pontosan akkor igaz, amikor A hamis.

Itt gondosan meg kell különböztetnünk a tagadás és a cáfolat fogalmait. Az A állítás cáfolata minden olyan állítás, amely A -t kizárja, tehát amely A- val egyszerre nem lehet igaz. A tagadás is cáfolat, de ez fordítva nem feltétlenül igaz. Ha A jelöh az „x szám pozitív” állítást és B jelöli az „az x szám negatív” állítást, akkor B az A-nak cáfolata, de nem a tagadása; a pontos tagadás az, hogy „X negatív vagy n u l l^ Hasonlóan, „az ébenfa fekete” állításnak nem az a tagadása, hogy „az ébenfa fehér” . Az utóbbi csupán egy cáfolat; a pontos tagadás az, hogy „az ébenfa nem fekete” (hiszen a feketén kívül még sok szín létezik). Az A állítás tagadása tehát A pontos ellentéte; az összes olyan eset felsorolása, amikor A nem igaz.

Könnyű ellenőrizni, hogy ha_j4 é^B tetszőleges állítások, akkor teljesülnek &z A a B = A v B és A v B = A a B azonosságok.

Az im p likác ióva l azt fejezzük ki, hogy egy állításból következik egy másik. Ezt az az állítás mondja ki, hogy „ha A igaz, akkor B is igaz” vagy röviden „ha A, akkor B '\ Jelölése; A => fí. Az A => 5 áUítás tehát azt jelenti, hogy minden olyan esetben, amikor A igaz, B is igaz. Könnyen látható, hogy

a,z A ^ B állítás egyenértékű & A v B állítással abban az értelemben, hogy pontosan ugyanakkor igazak. (Gondoljunk bele, hogy az az állítás, miszerint „ha az áldozat nem volt otthon péntek este, akkor szólt a rádiója” pontosan ugyanazt jelenti, mint az, hogy „az áldozat otthon volt péntek este, vagy szólt a rádiója” .)

Az A ^ B (vagy az A \> B ) állítás igaz minden olyan esetben, amikor B igaz, valamint akkor is, amikor A hamis. Az egyetlen eset, amikor A ^ B hamis, akkor következik be, amikor A igaz és B hamis. Arról, hogy A 5-nek igaznak kell lennie nnnden olyan esetben, amikor A hamis, meggyőzhetjük magunkat a következő példával. Ha egy barátunknak megígérjük, hogy „ha holnap szép idő lesz, akkor elmegyünk kirándulni” , akkor egyetlen olyan eset van, amikor ígéretünket megszegjük; ha másnap szép idő van, és mégse megyünk kirándulni. Minden más esetben - beleértve azokat az eseteket is, amikor másnap nincs szép idő - magtartottuk az ígéretünket. Egy másik példa; „Ha a nagynénémnek kerekei lennének, ő volna a miskolci gyors.” Ez kétségtelenül igaz (mert nincsenek kerekei).

A matematikában a „ha, akkor” szerkezet használata - a vagy művelethez hasonlóan eltérhet a hétköznapi használattól. A köznapi nyelvben a „ha A, akkor B ” fordulat gyakran azt fejezi ki, hogy az A és B állítások között ok-okozati kapcsolat van. Ezért egy olyan „ha A, akkor B ” szerkezetű állítás, amelyben A és B között ez a kapcsolat hiányzik, értelmetlennek vagy komikusnak tűnik („ha kedd van, akkor ez Belgium” ). A matematikában nem foglalkozunk az állítások közötti (filozófiai értelemben vett) oksággal, csupán azok igazságértékével. Az az implikáció, hogy „ha kedd van, akkor ez Belgium” egyenértékű azzal az állítással, hogy „vagy nincs kedd, vagy pedig ez Belgium” ; az igazsága pedig csakis attól függ, hogy kedd van-e és hogy ez Belgium-e. Ha kedd van és ez mégsem Belgium, akkor az implikáció hamis, minden más esetben pedig igaz.

Az A = ^ B implikációt szavakban kifejezhetjük még az „A-ból következik fi" , „A elégséges feltétele B-nek” , „B szükséges feltétele A-nak” és az „A csak akkor teljesül, ha B " fordulatokkal is.

A z ek v iva len c ia két állítás egyenértékűségét fejezi ki. Az „A ekvivalens -8 -vei” (jelölése A <s=4> B ) állítás akkor igaz, ha A és B mindketten igazak vagy mindketten hamisak. Ha A és B egyike igaz és a másika hamis, akkor A <;=> B hamis. Az A B implikációt szavakban kifejezhetjük még az„A akkor és csak akkor igaz, ha B " , vagy „A szükséges és elégséges feltétele ő-nek” fordulatokkal is.

K van to rok . Nyitott mondatoknak nevezzük azokat az állításokat, amelyek változókat tartalmaznak, és így az igazságértékük attól függ, hogy a vál

18 1. Alapfogalmak

tozók helyébe mit helyettesítünk. így például „N úr kopasz” olyan nyitott mondat, amelyben a változó N, és amelynek az igazsága attól függ, hogy N helyébe kit helyettesítünk. Hasonlóan, „az x szám négyzetszám” olyan nyitott mondat, amely a; = 4 esetén igaz, de x = 5 esetén hamis. Legyen A {x ) egy olyan nyitott mondat, amelyben x a változó. Ekkor A{x)-hö\ két módon is képezhetünk „hagyományos” , azaz fix igazságértékű állítást. Ezek közül az első az ,,A(a;) igaz minden x-re” állítás, amelyet úgy jelölünk, hogy (y x ) A {x ). Ebben a formulában a (Vx) elemet univerzális kvantornak nevezzük. (A V jel a német All [minden] szó kezdó'betűjének megfordítása.) A második a „van olyan x, amelyre A {x ) igaz” állítás, amelyet úgy jelölünk, hogy {^x) A [x ). Ebben a formulában a (3a;) elemet egzisztenciális kvantornak nevezzük. (A 3 jel a német Existenz [létezés] szó kezdőbetűjének megfordítása.)

A fenti példákat tekintve a (3N) (N úr kopasz), és (3ar) {x négyzetszám) állítások igazak, hiszen léteznek kopasz urak és léteznek négyzetszámok, míg a (VN) (N úr kopasz) és (Vx) {x négyzetszám) állítások hamisak, mert nem minden úr kopasz, és nem minden szám négyzetszám.

Könnyű ellenőrizni, hogy bármely A{x) nyitott mondat esetén fennállnak a

{3x) A {x ) = {yx) A {x ) és (Vx) A ( t ) = (3a;) j4(x')

azonosságok.

Gyakran fogunk találkozni olyan állításokkal, anrelyek a (Va:) (A (x)=í'i?(a;)) sémával írhatók le. Ez az állítás azt jelenti, hogy minden x-re teljesül, hogy ha A (x ) igaz, akkor B (x ) is igaz. Vagy rövidebben; valahányszor A (x ) igaz, mindannyiszor B {x ) is igaz. Ha az A {x ] állítás sohasem igaz, akkor (Va;)(A(a;) =í> B {x )) igaz!

Feladatok

1.1. Egy táncmulatságon lányok és fiúk táncoltak. Jelölje T { L ,F ) azt az állítást, hogy az L lány az este folyamán táncolt az F fiúval. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyikből következik a másik;(a) (3 L )(V F )T {L ,F y , (b) (V F )(3 L )T (L ,F ); (c) (3/^ )(VL )T (X ,F ); (d) (V X )(3 F )T (L ,F ); (e) { 'iL ) {y F )T {L ,F ) - ( f ) (3 L )(3 F )T (L ,F ).

1.2. Ugyanezen táncmulatság kapcsán döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyikből következik a másik:

(a) (3 L )(V F )T (X ,F );

(c) (V i ) (3 F )T (L ,F ) :

(b) (V F )(3 L )T (L ,F );

(d) (V L )(V F )T (X ,F ).

Bizonyítási módszerek 19

1.3. Hány olyan H részhalmaza van az (1, 2 , . . . , n) halmaznak, amelyre teljesül, hogy (V x )(x & H ^ x + l i H y . {M )

1.4. Hány olyan H részhalmaza van az {1, 2 ,... ,n ) halmaznak, amelyre teljesül, hogy (Va;)([(x & H ) A {x + 1 e H )] a; -|- 2 e H )'l

Bizonyítási módszerek

A z in d irek t b izony ítás . Az okoskodásnak ebben a formájában feltesszük a bizonyítandó állítás tagadását, majd ebből a feltevésből e llen tm ondást vezetünk le, azaz megmutatjuk, hogy (egy másik) állítás a tagadásával egyszerre kell, hogy igaz legyen. Mivel ez nyilvánvalóan lehetetlen, ezért arra következtetünk, hogy a feltevésünk hamis volt, tehát a bizonyítandó állítás igaz.

Lássunk egy egyszerű példát! Nyilvánvaló, hogy a sakktáblán nem helyezhető el 9 bástya úgy, hogy ne üssék egymást. Valóban, akárhogy is helyezünk el 9 bástyát a sakktáblán, lesz közöttük kettő, melyek azonos oszlopba kerülnek, és akkor ütik egymást. Ezt az okoskodást az indirekt bizonyítás legegyszerűbb formájának tekinthetjük; feltesszük, hogy az állítás hamis (mégis el tudunk helyezni 9 egymást nem ütő bástyát), és ebből az eredeti állítással jutunk ellentmondásba.

Egy kevésbé nyilvánvaló példa a következő. Hagyjuk el a sakktábla két átellenes sarkában elhelyezkedő mezőjét. Mutassiüv meg, hogy a sakktábla maradék része nem fedhető le 31 olyan dominóval, melyek a sakktábla két- két szomszédos mezőjét takarják. Tegyük fel ugyanis, hogy volna ilyen lefedés. Mivel minden egyes dominó egy fehér és egy fekete mezőt takar, ezért a lefedett rész 31 fehér és 31 fekete mezőből áll. Azonban a két átellenes sarok azonos színű, tehát a maradék részben a fehér és fekete mezők száma különböző: az egyik 30, a másik 32. Ez ellentmondás, tehát ilyen lefedés nem létezhet. (Ebben az okoskodásban az az állítás, amelyet a tagadásával együtt vezettünk le, így Sizól: a lefedett részben a fehér és fekete mezők száma azonos.)

Az indirekt bizonyítások klasszikus példája következik.

1-1. T é te l. \/2 irracionális*.

Két bizonyítást adunk.

I. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy V2 = p/q, ahol p és q pozitív egészek, és legyen q a legkisebb ilyen nevező. Ekkor 2q = és így páros. Ezért p-nek

* azaz nem írható fel Icét egész szám hányadosaként

20 1, Alapfogalmak Bizonyítási módszerek 21

is párosnak kell lennie; legyen p = 2pi. Ekkor 2q = (2pi)^ = = 2pj,

tehát q szintén páros. Ha g = 2gi, akkor V2 = p/q = P\/qi- Mivel < q, ez ellentmond q minimalitásának. □

Itt a □ jel a bizonyítás végét jelöli. A fenti bizonyításban a □ tulajdonképpen annak a rövidítése, hogy „ez az ellentmondás csakis onnan származhat, hogy hibás feltételezésből indultunk ki. Ezért az a feltételezésünk, hogy \/2

racionális, tarthatatlan. Ezzel beláttuk, hogy V2 irracionális” .

I I . B izonyítás. Tegyük fel ismét, hogy V2 = p/q, ahol p, q pozitív egészek és q & legkisebb ilyen nevező. Ekkor

2g - p ^ 2 - ip/q) ^ 2 - ^ 2 ^ ^

P - Q (p / 9 ) - l % /2-l

Mivel 2q — p és p — q egészek és 0 < p — q < g, ez ismét ellentmond q minimalitásának. □

A fenti példákban valaminek a lehetetlenségét, nem-létezését bizonyítjuk indirekt. Számos esetben azonban valaminek a létezését bizonyíthatjuk indirekt bizonyítással. Két példát mutatunk.

1.2. Téte l. Ha egy országban csak véges sok város van, és minden városból legalább két út indul ki, akkor bizonyos városok között lehet körutazást tenni.

B izonyítás. Tegyük fel, hogy nem lehet körutazást tenni. Legyen Vi az egyik város, és induljunk el V]-böl bármelyik úton. Ha a V-2 városba jutunk, akkor abból továbbjuthatunk egy V3 városba, hiszen V^böl legalább két út vezet ki. A V3 város különbözik Vi-töl, hiszen V3 — Vy esetén máris egy körutazást tettünk volna, holott feltettük, hogy ez lehetetlen. A V3 városból szintén továbbjuthatunk egy V4 városba, hiszen Vá-ból is legalább két út vezet ki. Itt V4 különbözik a már érintett városok mindegyikétől. Valóban, ha pl. V4 = V2, akkor = V2 egy körutazás lenne. A V4 városból ismét továbbjuthatunk egy, a korábbiaktól különböző V5 városba, és így tovább a végtelenségig. Ez azonban ellentmondás, hiszen a feltétel szerint az országban csak véges sok város van. □

1.3. Téte l. Végtelen sok prímszám van.

B izonyítás. Tegyük fel, hogy csak véges sok prímszám létezne; legyenek ezek P l , ... ,pn- Tekintsük az = pi ■ ... ■ Pn + í számot. Közismert - és könnyű belátni hogy A^-nek (mint minden 1-uél nagyobb egész számnak) van prímosztója. Legyen p az N szám bármelyik pi’ímosztója. Ekkor p különbözik a

p i,.- - iP n prímek mindegyikétől, hiszen különben N és N — l mindegyike osztható lenne p-vel, ami lehetetlen. Azonban a feltétel szerint P i , . .. ,p„ az összes prímszámot felsorolta, ami ellentmondás. □

Fontos bizonyítási módszer a te ljes indukció. Ez olyan okoskodás, amelynek a segítségével egyszerre végtelen sok állítást bizonyítunk. A legegyszerűbb esetben az A\, A 2, A 3, ... álhtásokat bizonyítjuk két lépésben: először belátjuk A i-et, majd megmutatjuk, hogy az An állításból következik An+i minden n-re. (A második lépést, tehát az A = » A^+x implikáció bizonyítását indukciós lépésnek, e bizonyításban az A„ állítást indukciós fe lté te ln ek hívjuk.)

Gondoljuk végig, hogy e két lépés segítségével valóban az összes A^ állítást beláttuk. Az A\ állítást közvetlenül ellenőriztük. Mivel azt is beláttuk, hogy az An állításból következik An+i minden n-re, így speciálisan j4i-ből is következik A 2. Mivel A i igaz, ez azt jelenti, hogy A 2 is igaz. De v42-ből következik A 3, és így A 3 is igaz. Ebből az A:í => A 4 implikáció szerint megkapjuk A,i-et és így tovább.

Lássunk egy egyszerű példát!

1.4. T é te l. Minden n pozitív egész számra 2"' > n.

B izony ítás. A 2 > 1 állítás igaz. Tegyük fel, hogy 2" > n, ahol n > 1. Ekkor = 2 • 2” > 2” -|-1 > n -H 1. Ezzel a tételt beláttuk. □

Sok esetben az áUítások indexezése nem 1-gyeI kezdődik; ekkor persze az okoskodást módosítani kell. így az előző tételt minden n nemnegatív egészre is kimondhattuk volna, hiszen 2” > 0 is igaz, és az indukciós lépés bizonyítása

> 0 esetén is helyes. Egy másik példa; ha be akarjuk látni, hogy n > 5 esetén 2"' > n^, akkor az első lépésben ezt n — 5-re ellenőrizzük (32 > 25), majd az indukciós lépésben azt látjuk be, hogy ha az állítás igaz n-re, akkor igaz n -h 1-re is.

Most a módszer alkalmazásaként egy fontos egyenlőtlenséget bizonyítunk (amelyből egyébként az 1.4. Tétel azonnal következik).

1-5. T é te l (B ern ou lIi*-egyen Iő tIen ség ). Ha a > —1, akkor minden n, pozitív egészre

(1 + a )" > 1 -t- na.

Egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha n = 1 vagy a = 0 .

■Jacob Beriioulli (1654-1705) svájci matematikus

22 1. Alapfogalinak Bizonyítási módszerek 23

B izonyítás. Ha n = 1, akkor az állítás nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy az állítás igaz n-re. Bizonyítjuk, hogy n + 1-re is teljesül. Ha a > —1, akkor 1 + a > 0, tehát

(1 + = (1 + a )” ( l + a) > (1 + n a ){ l + a) =

= 1 + (n + l )a + na? > 1 + (n + l)a .

A fenti gondolat menet bó'l az is látható, hogy (1 + = 1 + (n + l )a csakakkor állhat fenn, ha na~ = 0, tehát ha a = 0. □

Vannak esetek, amikor a teljes indukció imént vázolt egyszerű gondolatmenete nem vezet célhoz. Ezt illusztrálandó tekintsük az ún. F ibon acci*- szám okat, melyek definíciója a következő'. Legyen uq = 0 és it] = 1. Az U2, U3 stb. számokat úgy defimáljuk, mint a két eló'zö (már definiált) szám összege. Tehát u-2 = 0 + 1 = 1, uj = 1 + 1 = 2, U4 = 1 + 2 = 3, U5 = 2 + 3 = 5 és így tovább. Világos, hogy a Fibonacci-számok növekednek, azaz U{) < ui < U2 < ■ ■ ■■ Most teljes indukcióval belátjuk, hogy Un < 2” minden n-re. Először is wo = 0 < 1 = 2". Ha Un < 2” igaz, akkor

Un + l = Un + U n - l < U,i + Un < 2” -|- 2” = 2""*'\

amivel az állítást beláttuk.

Mármost az Un < 2” egyenlőtlenségnél több is igaz, nevezetesen u,i < 1,7” is teljesül minden n-re. Ezt azonban a teljes indukció fenti formája nem bizonyítja, hiszen az Un < 1,7" egyenlőtlenségből legfeljebb arra következtethetünk, hogy Un+i = Un + U n -I < Un + Un < 1,7” + 1,7” = 2-1,7” , ami nagyobb, mint l,? ” "*"'. Ahhoz, hogy az < 1,7” ’'‘ egyenlőtlenséget belássuk, nemcsak azt kell felhasználnunk, hogy Un < 1,7", de azt is, hogy Un—i < 1,7"“ . Ezekből már csakugyan következik, hogy

U n + l = Un + U n - y < 1 ,7 " + 1 , 7 " - ' = 1,7 ■ 1 , 7 " - ' + 1 , 7 " - ' =

= 2,7 • 1,7” - ' < 2,89 • 1,7” - ' = 1,7' • 1,7” - ' = 1,7” + '. (1.1)

A bizonyítás tehát a következő. Először is ellenőrizzük az uo < 1,7 ’ és u\ < 1,7' egyenlőtlenségeket (mindkettő nyilvánvaló). Tegyük fel, hogy n >> 1, és már beláttuk, hogy < 1,7” “ ' és < 1,7". Ekkor, aminta fenti számolás mutatja, u,i+i < l,? ” "*"' is fennáll. Ezzel az egyenlőtlenséget minden n-re beláttuk. Valóban, jelöljük az Un < 1,7" áüítást An- nel. Az A() és A\ állításokat közvetlenül ellenőriztük. Mivel beláttuk, hogy {A n -i A An) => ^ ,1+1 minden n-re, így (Ao A A i) => A-j is igaz. Eszerint A -2 igaz. Tehát az (A i a A 2) => Ay implikáció adja Aa-at és így tovább.

A teljes indukció még általánosabb variánsa az, amikor először belátjuk ylj-et, majd az indukciós lépésben megmutatjuk, hogy ha az A ] , . . . , An állítások mindegyike igaz, akkor A „+ i is igaz. Ez éppúgy bizonyítja az összes An állítást, mint a fenti okoskodások. Ezt a gondolatmenetet fogjuk alkalmazni a számtani, mértani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenségek bizonyításánál.

Az a i , . . . , a,i számok szám tani közepének nevezzük az

számot. A nemnegatív a i , .. . ,a,t számok m értan i közepe

G = y a i ■ .. . ■ a„,

a pozitív a i , . .. ,ttn számok harm onikus közepe pedig

H =n

A „közép” elnevezést az indokolja, hogy az így értelmezett számok mindegyike az a/ számok legkisebbike és legnagyobbika közé esik. Valóban, ha az ai számok

közül a legkisebb m és a legnagyobb M , akkor A >n ■ m

n— m, és hasonlóan.

A < M . Ha a számok nem mind egyenlőek, akkor m < A < M is igaz. Ekkor ui. a számok legalább egyike nagyobb m-nél, tehát oi -f- .. . + On > n • m és A > m. Hasonlóan adódik A < M .

Ugyanígy látható, hogy m > 0 esetén m < G < M és m < H S M ; továbbá, ha a számok nem mind egyenlőek, akkor az egyenlőtlenségek szigorúak.

A fenti közepek másik fontos tulajdonsága a következő. Ha az a i , . . . , On számokhoz hozzávesszük a számtani közepüket, azaz A-t, akkor az így kapott kibővített rendszer számtani közepe megegyezik A-val, tehát az eredeti rendszer számtani közepével. Valóban,

ül -t-... + On + A n ■ A A ^

n + 1 n + 1

Ugyanez érvényes (és hasonlóan bizonyítható) a mértani és a harmonikus közepekre is. _

1-6. T é te l. Ha a i , . . . , a,i tetszőleges nemnegatív számok, akkor

a\ + . . . + ünn

Fiboiiacci (Leoiiai-do Pisaiio) (kb. 1170-1240) itáliai matematikus Egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha ay = . . . = o,*.

24 1. Alapfogalmak

B izon y ítás . Legyenek a i , . . . , tetszőleges nemnegatív számok, és legyen a számtani közepük A. Tegyük fel, hogy az a i, . . . ,a „ , számok között az A-tól különbözők száma k. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. (A rendszer elemszáma, n, akármennyi lehet.) Ha k — 0, akkor az állítás nyilvánvalóan teljesül, hiszen akkor az összes szám yl-vtil egyenlő, tehát a közepeik értéke is A.

Legyen A: > 0, és tegyük fel, hogy az állítás igaz minden olyan rendszerre, amelyben az yl-tól különböző tagok száma fc-nál kisebb. Legyenek a i , . . . , a„ nemnegatív számok, és legyen a számtani és mértani közepük A és G. Tegyük fel, hogy az ü l,.. . ,a,i számok közül éppen k különbözik A-tól. Belátjuk, hogy G < A. Feltehetjük, hogy ai < ... < a^, hiszen a számok sorrendje nem játszik szerepet az állításban. Mivel a számok között van A-tól különböző, ezért ai < A < a„,-

Ha 0 szerepel a számok között, akkor G = 0 és ^ > 0; ekkor tehát az állítás igaz. Feltehetjük tehát, hogy a számok pozitívak. Cseréljük ki an-et A-ra, ai-et pedig ai +a n — A-va. Az új rendszer számtani közepe ismét A lesz, hiszen a csere nem változtatta meg a számok összegét. Másrészt a csere által a mértani közép szigorúan nőtt, hiszen A(a\ + an — A ) > aian, ez ugyanis ekvivalens az (a „ — A ){A — a i) > 0 egyenlőtlenséggel, ami igaz.

Mármost az új rendszerben az A-tól különböző tagok száma legalább 1-gyel csökkent. így az indukciós feltevés szerint G ' £ A, ahol G ' jelöli az új rendszer mértani közepét. Mivel G < G\ ezért G < A, amivel a bizonyítást befejeztük. □

1.7. T é teL Ha a^,. . . , tetszőleges pozitív számok, akkor

n

Egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha ai = . . . = an-

B izony ítás . Alkalmazzuk az előző tételt az 1/ai,. . . , l/a,i számokra, majd vegyük a kapott egyenlőtlenség mindkét oldalának a reciprokát. □

Feladatok

1.5. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egészre fennállnak az alábbi azonosságok:

Bizonyítási módszerek 25

x ~ y

(b ) 1’ + .. . + -

(0 + =

1 1 1 1 1(d)

1 1 n — 1

1.6. Fejezzük ki egyszerűbb alakban az alábbi összegeket:

1 1

l - 2 - 3 ^ ' “ ^ n - ( n + l ) - ( n + 2) ’

(b) 1 • 2 + ... + 71 • (n + 1);

(c) 1 • 2 • 3 + ... + n • (n + 1) ■ (n + 2).

1.7. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egészre fennállnak az alábbi egyenlőtlenségek:

(a) < 1 H----p -f- ... H— ^ < 2-v/n;V 2 s/n

1 1 2 --------P — ^ ---- 7^'2 • V 2 n ■ y/n

1.8. .Jelölje Un az n-edik Fibonacci-számot. Bizonyítsuk be, hogy ii,i > l,6” /3 minden n > 1-re.

1.9. Bizonyítsuk be az alábbi azonosságokat:

I'IO. Fejezzük ki egyszerűbb alakban az alábbi összegeket:

(a) U() -t- U2 -f- . . . -I- U2n', (b) -|- 1Í3 -I- . . . -I- U2n+i;

(c) Mf) -f W3 4- . . . -I- U-Jn; (d) Ui?i2 + ■■■ + U-2n - lU 2n-

1-11. Hol a hiba a következő okoskodásban? Bebizonyítjuk, hogy akárhogy veszünk fel n különböző irányú egyenest a síkon, azok mindig átmennek egy közös ponton. Az állítás n = 1-re és n = 2-re nyilvánvalóan igaz. Legyen n > 2, és tegyük fel, hogy az állítás igaz n egyenesre. Legyenek

26 1. Alapfogalmak Halmazok, függvények, sorozatok 27

e i , . . . , Cn+x különböző irányú egyenesek a síkon. A z indukciós feltevés szerint az f i i , . . . , e„ egyenesek átmennek egy közös P ponton, az 62, , e„+i egyenesek pedig átmennek egy közös Q ponton. Mivel a különböző irányú e-2, . . . , &n-i egyenesek átmennek mind a P , mind pedig a Q ponton, ezért szükségképpen P = Q. Ezzel beláttuk, hogy az összes egyenes átmegy egy közös ponton, ti. P-n. (M )

1.12. Hány részre osztja a síkot n egyenes, ha közülük semelyik kettő nem párhuzamos, és semelyik három nem megy át egy közös ponton? (Ö )

1.13. Bizonyítandó, hogy véges sok egyenes (vagy kör) a síkot olyan tartományokra bontja, melyek kiszínezhetők két színnel úgy, hogy azonos színű tartományoknak nincs közös határvonaluk.

1.14. Határozzuk meg az ■ (1 — x ) függvény legnagyobb értékét, ha s 6 [0, 1]. (Ö )

1.15. Melyik az egyenes körkúpba írható maximális térfogatú henger?

1.16. Melyik a gömbbe írható maximális térfogatú henger?

Halmazok, függvények, sorozatok

H alm azok . A matematika minden ága bizonyos, más-más módon meghatározott elemek, objektumok halmazait vizsgálja. A geometriában ezek az elemek a pontok, egyenesek, síkok, az analízisben a számok, számsorozatok, függvények stb. Szükségünk van tehát a halmazokkal kapcsolatos legalapvetőbb fogalmak és jelölések tisztázására.

Mi a halmaz? „Bizonyos dolgok ö.sszessége, osztálya, rendszere, családja stb.” Látnunk kell, hogy ezek csak körülírások, szinonimák, amelyek a halmaz fogalmát szemléletesen leírják, de nem definiálják. Egy ilyen meghatározást nem is fogadhatnánk el definíciónak, hiszen ehhez először az összesség, osztály stb. fogalmait kellene definiálnunk, és akkor ismét a definiálás problémájába ütköznénk. Néha a halmazt úgy írják le, mint valamely közös tulajdonsággal rendelkező dolgok összességét. Eltekintve attól, hogy ebben a meghatározásban is szerepel az összesség fogalma, itt még egy ellenvetést tehetünk: mit nevezzünk közös tulajdonságnak? Ez szubjektív megítélés kérdése lehet, amit nyilván nem engedhetünk meg. (Vegyük például azt a halmazt, amely a természetes számokból és a sík köreiből áll. Hogy van-e itt közös tulajdonság, arról nyilván megoszlanának a vélemények.) Tehát ezt a definíciót sem fogadhatjuk el.

A lialmaz fogalmát nem tudjuk kézenfekvő, mindenki által elfogadható niódon definiálni. Tudomásul kell vennünk, hogy nem vezethetünk vissza mindent egyszerűbb fogalmakra (hiszen ez az eljárás sose érne véget), tehát mindenképpen szükség van olyan alapfogalmakra, melyeket nem definiálunk. Ilyen alapfogakminak tekintjük a halmaz fogalmát is. A halmazokról csak annyit teszünk fel, hogy bármely dolog vagy eleme egy halmaznak, vagy sem. (Itt kivételesen a kiegészítő „vagy” műveletet használtuk!)

Azt, hogy X eleme a H halmaznak (vagy más szóval x & H halmazhoz tartozik, vagy ií-ban van), úgy jelöljük, hogy x € H . Azt, hogy x nem eleme a H halmaznak (vagy más szóval x nem tartozik a H halmazhoz, vagy nincs H-han), úgy jelöljük, hogy x ^ H.

Magukat a halmazokat kétféleképpen jelölhetjük. Az egyszerűbb esetben két kapocs között felsoroljuk a halmaz elemeit: A = {1,2,3,4,6,8,12,24). Ha a i í halmaznak csak egyetlen eleme van, x, akkor ezt úgy jelöljük, hogy H = {x }. Végtelen sok elemet is felsorolhatunk, ha nem félreérthető, pl. N = 10,1,2,3,...}.

A halmaz jelölésének másik módszere az, hogy a halmaz elemeit jelölő betű vagy jel után kettőspontot írunk, és utána írjuk le valahogy az elemeket:

N = {n : n nemnegatív egész szám} = {0 ,1 ,2 ,...),

N+ = {n : n pozitív egész szám} = { 1, 2, . . . } ,

B = {n ■. 71 páratlan természetes szám} = {2n — 1; n = 1 ,2 ,... } = {1,3, .5,...},1 1 1— - : n = 1, 2, . ..n 2 3

D = {n -. n | 2 4 é s n > 0 } = {l,2 ,3 ,4 ,6 ,8 ,12,24 }.

Mit jelentenek itt az egyenlőségjelek? Megállapodás szerint az A és B halmazokat akkor tekintjük egyenlőnek, ha ugyanazok az elemei, tehát bármely X dologra x e A akkor és csak akkor, ha x e B. Jelben:

A = B ■ =>- {'^x){x e A X e B ).

Más szóval, A = B , ha A minden eleme B-nek is eleme és fordítva. Jegyezzük i^eg, hogy ha egy elemet többször sorolunk fel, ez nem változtat a halmazon. Például { 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3} = {1,2,3}, vagy {n^ n egész) = n > 0 egész) = = (0 ,1 ,4 ,9 ,16 ,...).

Mint láttuk, egy halmaz állhat egyetlen elemből is, például (5). Ez persze nem egyenlő 5-tel (ami nem halmaz), sem ({5})-tel, ami halmaz ugyan, de ügyetlen eleme nem 5, hanem {5}! Mint látjuk, egy halmaznak halmazok is lehetnek elemei.

Lehetséges-e, hogy egy hahnaznak egyáltalán ne legyen eleme? Tekintsük a következő példákat: G = [p . p prímszám, 888 < p < 906), illetve H = {rr : n & N és jegyeinek összege 300). Első pillantásra ezek a halmazok éppoly létjogosultak, mint az összes, korábban felsorolt halmaz. Ha azonban tüzete,sebben megvizsgáljuk őket, kiderül, hogy üresek, egyáltalán nincs elemük! Kizárjuk-e őket a halmazok köréből? Ha megtennénk, akkor minden halmazmegadás előtt meg kellene győződni arról, hogy a halmaznak van-e eleme. Amellett, hogy ez meglehetősen kényelmetlenné tenné a halmazelméletet, erre nem is mindig vagyunk képesek. Senki sem tudja például, hogy van-e páratlan tökéletes szám (egy szám akkor tökéletes, ha megegyezik a nála kisebb pozitív osztói összegével). Ha az elem nélküli halmazokat kizárnánk a halmazok köréből, nem tudnánk eldönteni, hogy [n : n páratlan tökéletes szám) egy jóldefiniált halmazt jelöl-e vagy sem.

Ezért célszerű megállapodnunk abban, hogy ezeket is megengedett halmazdefiníciónak fogadjuk el, tehát (a fenti G vagy H esetében biztosan) olyan halmazokat is elfogadunk, amelyeknek nincs elemük. Hány ilyen halmaz van? A megállapodásunk értelmében csak egy, hiszen ha sem A-nak, sem B-nek nincsenek elemei, akkor A minden eleme 5-nek is eleme (hiszen nincs ilyen) és fordítva. Ennek az egyetlen halmaznak a neve üres ha lm az, jele: 0.

Ha a 5 halmaz minden eleme az A halmaznak is eleme, akkor azt mondjuk, hogy B részha lm aza A-nak. Jelölés: B C A vagy A D B *

Nyilvánvaló, hogy A = B akkor és csak akkor, ha A c 5 és í? c A. Ha B c. A, áe B ^ A , akkor azt mondjuk, hogy B va lód i részha lm aza yl-nak. Ezt úgy jelöljük, hogy A ^ B .

A számok körében végzett műveletekhez hasonlóan (amilyen például az összeadás vagy a szorzás), a halmazokkal is végezhetünk műveleteket. Az A és B halmazok egyes ítése vagy uniója azon elemek összessége, amelyek A és B legalább egyikéhez hozzátartoznak. Az A és B halmazok unióját A U 5-vel jelöljük, tehát

A u B = {x : X e A v X e B ],

Halmazok unióját több (vagy akár végtelen sok) halmazra is definiálhatjuk: A 1 ÍJA2U . . .\JAn mindazon elemek halmazát jelöh, melyek A i , .. . ,A n legalább

negyikéhez hozzátartoznak. Ugyanerre a halmazra a rövidebb IJ A i jelölés is

?:=i00

használatos. Ugyanígy, A iU A 2 U . . . vagy |J Ai mindazon elemek halmazátí=i

jelöli, melyek az A i ,A 2, . . . halmazok legalább egyikéhez hozzátartoznak.

Az A és B hahirazok m etszete vagy közös része azon elemek összessége, amelyek A-nak és i3-nek is elemei. Az A és B halmazok metszetét A Pl i?-vel jelöljük, tehát

Ar^ B — [x ■. X ^ A A X & B ],

Több vagy végtelen sok halmaz metszetét az unióhoz hasonló módon definiáljuk.

Az A és B halmazokat diszjunktaknak nevezzük, ha A Pl 5 = 0.

Az A és B halmazok kü lönbsége azon elemek összessége, amelyek A-nak elemei, de i?-nek nem. Az A és B halmazok különbségét A \ 5 -vel jelöljük, tehát

A \ B = [x \ X e A A X ^ B ],

Legyen H egy rögzített halmaz, és legyen X C H . A H \ X halmazt az X {H-va vonatkozó) komplementerének nevezzük es X-szel jelöljük. Könnyű belátni, hogy teljesülnek az

1 = A,

valamint az ún. de Morgan-féle azonosságok:

A D B = A u B , A U B = A D B .

Néhány további azonosság:

A \ A = 0 A \ 0 = AA U A = A A n A ^ AA U B = B U A A n B = B D A a u {b u c ) = {A u b ) u c = A U B U C A n { B n C ) = { A n B )n c = A n B n CA u ( B n c ) = { A U B ) n { A u c ) A n { B u C ) = { An B ) u { A r \ C )A c A A c B , B c C ^ A c C0 c 4. ( 1 .2)

Függvények. Tekintsünk egy képletet, amelyben szerepel az x változó:

X + 32; -I-1 vagy

x - 2

Néha a tartalmazást a c jellel jelölik.

Ezek azt jelentik, hogy minden x szám esetén ki kell számítani a megfelelő értéket (persze csak akkor, ha az eredmény értelmes; a második példában * = 2 esetén nem az). így ezek a képletek bizonyos számokhoz egyéb számokat rendelnek hozzá. De hozzárendelést más módon is létrehozhatunk. Ilyen hozzárendelés például az n egész pozitív osztóinak száma, n jegyeinek összege stb. Nem csak számokhoz rendelhetünk számokat. Pl. minden emberhez hozzárendelhetjük a súlyát, a hajszálainak számát stb. Még általánosabban: min


den emberhez hozzárendelhetjük a nevét. A fentiekben függvényeket, hozzárendeléseket, leképezéseket definiáltunk. Ezek szinonimák, és a jelentésük a következő.

Tekintsünk két hahnazt, A -t és B -t. Tegyük fel, hogy minden a € yl-hoz valamilyen módon hozzá van rendelve egy b e B elem. Akkor ezt a hozzárendelést fü ggvén yn ek vagy leképezésnek nevezzük. Ha ezt a függvényt /-fel jelöljük, akkor azt mondjuk, hogy / leképezi ^ -t ő-be, és azt írjuk, hogy f : A —* B. Ha az / leképezés az a e A elemhez b-t rendeli hozzá, akkor ezt úgy jelöljük, hogy b = f {a ) . Az A halmazt / érte lm ezés i tartom ányának nevezzük.

Sorozatok . Tetszőleges elemeket egymás után írva sorozatot kapunk. Ha az elemek száma n, akkor n-tagú sorozatról beszélünk. A sorozat megadásához meg kell mondanunk, hogy a sorozatnak melyik az első, a második, és általában a fc-adik tagja, minden k = l , . . . , 7i-re. Egy n-tagú sorozat szokásos jelölése {a i,a 2, ■ ■ ■ ,a jí), ahol természetesen az a betű helyett bármilyen más betűt vagy jelet is használhatunk. Az a i , . . . , a,j. elemeket a sorozat tag ja in ak nevezzük; a tag sorszámát jelző szám a tag indexe*. Két n-tagú sorozatot csak akkor tekintünk azonosnak, ha a fc-adik tagjaik megegyeznek minden k = l , . . . ,n - r e , vagyis a tagok sorrendje lényeges. így például (01, 02, 03) =

= (Gellérthegy, V 2, Varázsfuvola) akkor és csak akkor, ha oi = Gellérthegy,

02 == \/'2 és 03 = Varázsfuvola. A sorozat tagjainak nem kell különbözőeknek lenniük; így pl. (2, 3,3,3) egy 4-tagú sorozat.

Az n-tagú sorozatokat ren d ezett n-eseknek is nevezik. Ha n = 2, akkor „rendezett 2-esek” helyett ren d ezett párokat mondunk.

Ha a sorozatok fenti meghatározásában ki akarjuk küszöbölni a kissé homályos és többféleképpen értelmezhető „egymás mellé írást” , akkor azt kell mondanunk, hogy egy n-tagú sorozat olyan függvény, amely az { 1, 2, . . . ,n } halmazon van értelmezve, mégpedig a függvény által a k számhoz rendelt elem a sorozat fc-adik tagja. Tehát az o: (1 ,2 ,... , n} -> S függvény által meghatározott sorozat (a ( l ) , o (2) , . . . , o (n )), vagy a korábbi jelöléssel (o i, 0-2, . . . , o „).

Gyakran fogunk dolgozni végtelen sorozatokkal. Ezeket úgy kapjuk, hogy végtelen sok elemet írunk egymás után. Precízebben: vé g te len sorozatnak nevezzük az N'*' = {1 ,2 ,... } halmazon értelmezett függvényeket. Tehát az o :N “'‘ ->■ B függvény által meghatározott sorozat (o ( l ) , o (2) , . . . ) , amit még (ül, 02,. . .)-vel vagy (o,;)^ j-vel is jelölhetünk.

Szintén végtelen sorozatnak nevezzük az N-en értelmezett függvényeket. Ezek jelölése (a (0 ), o ( l ) , . . .) vagy (oq, o i , . . .), esetleg (o,;).^„ lehet. Még általánosabban, minden {k,k + 1, . . . } alakú halmazon értelmezett függvényt is végtelen sorozatnak nevezünk; ezek jelölése értelemszerű.

Feladatok

1.17. Bizonyítsuk be az (1.2) alatti azonosságokat.

1.18. Bizonyítsuk be, hogy (yl U B ) \ (yl n J3) = (A \ B ) U {B \ A ).

1.19. .Jelöljük az {A \ B ) U (B \ A ) halmazt AA B -vel. (A z A A B halmazt A és B sz im m etriku s d ifferenciá jának nevezzük.) Mutassuk meg, hogy tetszőleges A, B , C halmazokra

(a) A A 0 = A, (b ) A A A = 0, és (c) {A A B )A C = A A {B A C ).

1.20. Bizonyítsuk be, hogy akkor és csak akkor teljesül x € A 1A A 2A ... AAn, ha a: az j4i, . . . , An halmazok közül páratlan soknak eleme.^

1.21. Állapítsuk meg, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek

hamisak^:

(a) [ A i J B ) \ A = B,

(b) { A U B ) \ C = A U { B \ C ) ,

(c) (A \ 5 ) n a = (A n C7) \ i3 = (A n (7) \ (5 n C ),

(d) A \ B = A \ { A D B ) .

1.22. Legyenek U { A i , . . . , A n ) és V {A \ ,. . . , A n ) olyan képletek, amelyek az U ,

n, \ műveletekkel épülnek fel az A i, ..., An halmazváltozókból. (Pl. U = = A i n [A -2 U As) és V = {A i n A 2) u (A i n A 3).) Bizonyítsuk be, hogy U { A i , . .. ,A n ) — V {A \ ,. . . , An) akkor és csak akkor azonosság, ha minden olyan esetben fennáll, amikor az A i, . . ., halmazok közül a nemüresek egyenlők egymással. (* Ö)

index = mutató

A 1.19(c) állításból következik, hogy az A.42A ... A A „ kifejezés bármelyik zárójelezése

iigyanazt a lialmazt definiálja, ezért a zárójeleket elhagyhatjuk.

Azaz, vagy bizonyítsuk be, hogy az egyenlőség minden A , B , C -re teljesül, vagy adjunk ■neg olyan A , B , C'-t, amelyekre nem teljesül.

2. VALÓS SZAMOK

Mik a valós számok? A szokásos válasz: racionális és irracionális számok. Helyes; de mik az irracionális számok? Válasz: a nem szakaszos végtelen tize- clestörtek. Ehhez viszont tudnunk kell, hogy mik a végtelen tizedestörtek. Nos, végtelen tizedestörtet kaphatunk, ha

( 1) egy osztási eljárást a végtelenségig folytatunk, pl.

illetve

(2) egy pont helyét akarjuk kijelölni a számegyenesen, pl.

1 < x/2 < 21,4 < < 1,5

1,41 < s Í 2 < 1,42

stb. Ennek alapján tehát azt mondjuk, hogy \/2 tizeclestört-alakja 1,41....

Megjegyzendő, hogy az (l)-ben kapott tizedestört szintén kijelöli az illető (racionális) pont helyét a számegyenesen. Tehát egy tizedestört, pl.1,41421356 .. . mindig egy pont helyét jelzi a számegyenesen.

Mármost a kérdés a következő: a tizedestört maga a szám, vagy annak csak egy alakja? Az utóbbit támasztja alá az a tény, hogy a számot más számrendszerben is felírhatjuk, és akkor más alakot kapunk. Pl. az 1/2 szám tízes számrendszerbeh alakja 0,5, míg a kettes számrendszerben 1/2 = 0,1; a hármas számrendszerben pedig 1/2 = 0,111.... Ha viszont a tizedestört csupán a szám alakja, akkor mi a szám? Talán az a pont lenne a szám, amelynek a helyét a tizedestört-alakja kijelöli?

A valós számokat tehát többféleképpen is elképzelhetjük. De mindenképpen olyan dolgot jelentenek, amelyekkel távolságokat, területeket stb. tudunk mérni, és amelyekkel műveleteket (összeadás, szorzás stb.) tudunk végezni. A valós számok megalapozására végül is két utat követhetünk.

I. K o n s tru k tív m ega lapozás. Kijelentjük, hogy ezentúl a fentiek (vagy egy más fogalom) egyikét nevezzük valós számnak. Pl. deklarálhatjuk, hogy a valós számok a végtelen tizedestörtek. Ennek a felépítésnek az az előnye, hogy a

A valós számok axiómarendszere 33

valós számok mibenlétének a kérdését egyszer és mindenkorra elintézi. De ugyanez a hátránya is: akinek más szemléletes képe van a valós számokról, az esetleg nehezebben követi.

A konstruktív felépítésekben általában nem könnyű a műveleteket definiálni. (Pl. nem is olyan világos, hogy mi legyen 2-0,898899888999 ...? ) A műveleti szabályok, pl. a {b + c) = ab + ac bizonyítása ugyancsak kellemetlen lehet.

II. A x iom a tik u s m ega lapozás. Ebben a felépítésben nem tisztázzuk, hogy mik a valós számok, csak azt, hogy milyen tulajdonságokat elégítenek ki. Mindenki azt képzeli, amit akar, de lerögzítünk néhány alaptulajdonságot, és a továbbiakban csak azokat használhatjuk fel. Aki elfogadja, hogy a valós számok ilyenek, minden olyan következtetést is el kell, hogy fogadjon, amelyeket csak az alaptulajdonságokból vezetünk le. Persze az alaptulajdonságoknak olyanoknak kell lenniük, amelyeket általában elvárhatunk a valós számoktól.

Az axiomatikus megalapozás nem teszi feleslegessé a konstruktív felépítést, hiszen jogosan merül fel a kérdés, hogy van-e olyan struktúra, amelyik kielégíti a megkövetelt alaptulajdonságokat. A konstruktív megalapozásnak több módja is ismeretes. A végtelen tizedestörtekre alapuló felépítést részleteiben tárgyalja Szász Pál könyve [10]. Egy másik konstruktív felépítést röviden ismertetünk az 5.14. Megjegyzésben. Egy harmadik felépítést tárgyalnak Szele Tibor és W. Rudin tankönyvei [11], [8].

Az alábbiakban az axiomatikus megalapozást fogjuk követni. A valós szám fogalmát tehát alapfogalomnak tekintjük. Azokat az alaptulajdonságokat, amelyeket a felépítés során bizonyítás nélkül elfogadunk, a valós számok axiómáinak nevezzük. Az axiómákat négy csoportban adjuk meg. Az első csoport a műveletek (az összeadás és a szorzás), a második csoport a rendezés (nagyobb, kisebb) tulajdonságait rögzíti. A harmadik, illetve negyedik csoport csupán egy-egy axiómából áll. Ezek azt fejezik ki, hogy van „akármilyen nagy” természetes szám, illetve azt, hogy a valós számok halmaza „teljes” .

I- Testaxiómák

Az első axiómacsoport ismertetéséhez további alapfogalmakra van szükség. A valós számok halmazát M-rel fogjuk jelölni. Feltesszük, hogy a valós számok körében értelmezve van két művelet, melyeket összeadásnak, illetve szorzásnak nevezünk. Ezen azt értjük, hogy bármely két a, 6 € R valós számhoz hozzá van rendelve egy o -I- b~vel jelölt valós szám (a és b összege), valamint egy a ■ ö-vel jelölt valós szám (a és b szorzata). Feltesszük továbbá, hogy ki van jelölve két

34 2. Valós számok

valós szám, 0 és 1, amelyek különbözőek. Ezekre a fogalmakra vonatkozik az első axiómacsoport.

1. Az összeadás kornmutativitása: a + b = b + a minden a,b e M-tc.

2. Az összeadás asszociativüása: (a + 6)+ c = a+{b+c) minden a,b,c e IR-re.

3 . a + 0 = a minden a, e M-re.

4. Minden a € M.-h,ez létezik olyan ö e K, amelyre a + b = 0.

5. A szorzás kommutativitáisa: a ■ b = b • a minden a,b e ÍR-re.

6 . A szorzás asszociativitása: {a ■ b) ■ c = a ■ {b ■ c) minden a, b, c e M-re.

7. a ■ 1 = a minden a e M-re.

8. Minden a ^ 0 valós számhoz létezik olyan b e R, amelyre a ■ b = 1.

9. Disztributivitás: a ■ { b c ) = a ■ b + a ■ c minden a ,b,c e ffi-re.

Ha egy halmazon értelmezve van két művelet, amelyek kielégítik a fenti kilenc axiómát, akkor azt mondjuk, hogy a halmaz az adott műveletekkel tes te t alkot. (A feltételekbe azt is beleértjük, hogy a halmaznak ki van jelölve két különböző, 0-val és 1-gyel jelölt eleme.) Az első axiómacsoport tehát azt mondja ki, hogy a valós számok testet alkotnak. Az 1-9. axiómát ezért tes taxiómáknak nevezzük.

Nem nehéz belátni, hogy minden a e M-hez pontosan egy olyan b e M van, amelyre a + 6 = 0 (lásd az első függelék 2.26. Tételét). Ezt az egyetlen b-t —a-val fogjuk jelölni. Hasonlóan, minden a ^ 0 számhoz pontosan egy olyan ö e K van, amelyre a ■ b = í (lásd az első függelék 2.28. Tételét). Ezt a

b elemet — val vagy 1/a-val jelöljük. Ha c ^ 0, akkor az a ■ (1/c) számot --ve i a c

vagy a/c-vel jelöljük.

Meg lehet mutatni, hogy mindazok a műveleti tulajdonságok, amelyeket számolásainkban vagy az algebrai átalakítások során lépten-nyomon használunk, a testaxiómák következményei. A fejezet első függelékében felsoroljuk mindezeket a tulajdonságokat; a legfontosabbakat be is bizonyítjuk.

II. Rendezési axiómák

A második axiómacsoport ismertetéséhez szükségünk van még egy alapfogalomra. Feltesszük, hogy a valós számok halmazán adott egy < (kisebb) jellel jelölt, ún. rendezési reláció. Ezen azt értjük, hogy bármely két a és b valós számra az a < b állítás vagy igaz, vagy hamis. (Ezt úgy is megfogalmazhatnánk, hogy adott egy leképezés, amely minden, valós számokból álló rendezett párhoz hozzárendeli az „igaz” és „hamis” logikai értékek valamelyikét. Ha az


{a,b) párhoz az „igaz” értéket rendeljük hozzá, akkor ezt úgy jelöljük, hogy a < b.) A rendezési axiómák ennek a rendezési relációnak a tulajdonságait rögzítik.

10. Trichotómia: Bármely két a és b valós számra az a < b, a = b, b < a állítások közül pontosan egy igaz.

11. Tranzitivitás: Bármely a,b,c G K-re, ha a < b és b < c, akkor a < c.

12. Bármely a ,b,c & ®-re, ha a < b, akkor a + c < b + c.

13. Bármely a, b,c e M-re, ha a < b és 0 < c. akkor a ■ c b formula jelentése azonos b < a- val; a > b jelentése azonos b < a-val.

Az a számot p o z it ívn a k nevezzük, ha a > 0; nega tívnak , ha a < 0; n em n egatívn ak , ha a > 0; n em pozitívn ak , ha a < 0.

Term észetes szám oknak nevezzük az 1 ismételt összeadásával keletkező számokat:

1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 , . . . .

A természetes számok halmazát N'^-szal jelöljük.

Az egész szám ok a természetes számok, ezek —1-szeresei és a 0. Az egész számok halmazát Z jelöli.

A nemnegatív egész számok halmazát N-nel jelöljük. Tehát N ~ N'*' U {0).

Egy valós szám racionális, ha felírható p jq alakban, ahol p ,q egész számok és g 7 0. A racionális számok halmazát Q-val fogjuk jelölni.

Egy valós számot irracionálisnak nevezünk, ha nem racionális.

Ugyanúgy, mint a testaxiómák esetében, a rendezési axiómákról is elmondhatjuk, hogy az egyenlőtlenségekre vonatkozó mindazon szabályok és tulajdonságok, amelyeket számolásaink során felhasználunk, a rendezési axiómák következményei. Ezeket részletesen a fejezet második függelékében tárgyaljuk. Javasoljuk az olvasónak, hogy tekintse át még egyszer a Bernoulli- egyenlőtlenség, a számtani és mértani közepek, illetve a harmonikus és mértani közepek közötti egyenlőtlenségek bizonyításait (1.5., 1.6., 1.7. Tételeik), és ellenőrizze, hogy azok az egyenlőtlenségekre vonatkozó tulajdonságok, amelyeket a bizonyítások során felhasználtunk, valóban következményei a rendezési axiómáknak.

A rendezési axiómák következményei közül kiemeljük azt az állítást, amely szerint a természetes számok pozitívak és különbözőek, pontosabban igazak a

0 < 1 < 2 . . . egyenlőtlenségek (lásd az 2.36. Tételt a második függelékben). Ugyancsak fontos tény, hogy nincsenek szomszédos valós számol;. Azaz, tetszőleges a < b valós számokhoz létezik olyan c valós szám, amelyre a < c <h\ ilyen pl. a c = (o + fc)/2 szám (lásd az 2.38. Tételt).

2.1. D efin íc ió . Egy a szám abszolút értékét, |a|-t a következőképpen értelmezzük;

a, ha a > 0,—a, ha a < 0.|a| =

Az abszolút érték értelmezéséből és a rendezési axiómák már említett következményeiből könnyű levezetni, hogy tetszőleges a és b valós számokra teljesülnek az alábbi tulajdonságok.

|a| > 0, és |a| = 0 csak a = 0 esetén teljesül;

|a| = i - «l;\a-b\ = |a| • |6|;

N

|ö|’H árom szög-egyen lő tlen ség : |a -t- 6| < la| + 11; l|a| — 111 < |a — b\.

III. Az arkhimédészi axióma

14. Tetszőleges b pozitív számhoz található b-nél nagyobb n természetes szám.

Ha a fenti axiómát b helyett 6/o-val alkalmazzuk (ahol a és b pozitív számok), akkor az alábbi következményt kapjuk:

Ha a és b tetszőleges pozitív számok, akkor létezik olyan n terinészetes szám, amelyre n ■ a > b.

Ha pedig b helyett 1/e-t írunk, ahol £ > 0, akkor a következőt kapjuk:

Ha e tetszőleges pozitív szám, akkor létezik olyan n természetes szám, amelyre \ jn < e.

Az arkhimédészi axióma fontos következménye, hogy a racionáhs számok „mindenütt sűrűén” helyezkednek el a valós számok között.

2.2. T é te l. Bármely két valós szám között van racionális szám.

B izony ítás. Legyenek a < b valós számok, és tegyük fel először, hogy0 < a < b. Az arkhimédészi axióma következményeképpen vau olyan n pozitív


egész, amelyre 1/n < b — a. Ismét az arkhimédészi axiómára hivatkozva találunk olyan m pozitív egészt, amelyre a < rnjn. Legyen k a legkisebb pozitív egész, amelyre a < kjn . Ekkor

és Így

A: — 1 k ------- 5 tt < - ,

Ti n

k k k — 1 l-----a < --------------— — < b — a.ri n n n

Végül is azt kaptuk, hogy a < k/ri < b, tehát találtunk egy racionális számot a és b között.

Most tegyük fel, hogy a < b < 0. Ekkor 0 < —6 < —a, tehát a fentiek szerint van olyan r racionális szám, amelyre —b < r < —a. Ekkor a < —r < b, tehát a tétel állítása ekkor i.s igaz.

Végül, ha a < 0 < 6, akkor nincs mit bizonyítani, hiszen a 0 racionális szám. □

2.3. M eg jeg y zé s . Az arkhimédészi axióma kimondására valóban szükség van, ugyanis ez az axióma nem Icövetkezik a korábban kimondott test- és rendezési axiómákból. Ezt úgy mutathatjuk meg, ha megadunk egy rendezett testet (azaz egy halmazt, amelyen értelmezve vannak a műveletek és egy rendezési reláció, melyek kielégítik az első 13 axiómát), amelyen azonban az arkhimédészi axióma nem teljesül. Vázoljuk a konstrukciót.

Egész együtthatós polinonniak nevezzük az ... -t-ai-X'-t-ao alakúkifejezéseket, ahol n > 0, ao ,...,a „ egész számok és a,,. ^ 0, valamint a 0-t. Az egész együtthatós polinomok hahnazát Z[a:]-szel jelöljük. Egész együtthatós racionális törtfüggvénynek (röviden törtfüggvénynek) nevezzük a p/g alakú kifejezéseket, ahol P, 7 e Z [2;] és ^ 0. A törtfüggvények halmazát Z(x)-szel jelöljük. A p/q és r/s tört- függvényeket akkor tekintjük egyenlőnek, ha ps = qr; azaz, ha a ps és gr szorzatokat polinom alakra hozva azonos alakot kapunk.

A törtfüggvények összegét és szorzatát ap ^ r _ ps + qr p r _ pr q s gs q s qs

képletekkel definiáljuk. Meg lehet mutatni, hogy ezekkel a műveletekkel a Z {x ) halmaz testet alkot (ahol 0/1 és 1/1 játsszák a nullelem és az egységelem szerepét). A ’P/q törtfüggvényt pozitívnak mondjuk, ha p és g föegyütthatói azonos előjelűek. Azt niondjuk, hogy az / törtfüggvény kisebb, nünt a g törtfüggvény, ha - / pozitív. Ezt úgy jelöljük, hogy / < g. Nem nehéz belátni, hogy ezzel egy rendezett testet kapunk, tehát a rendezési axiómák is teljesülnek. Ebben a rendszerben a természetes számok az ?i/l konstans törtfüggvények lesznek.

Most belátjuk, hogy a fenti rendszerben az arkhimédészi axióma nem teljesül. Ehhez azt kell megmutatni, hogy van olyan törtfüggvény, amelynél nincs nagyobb természetes szám. Ilyen pl. az x/l törtfüggvény. Valóban, (n/l) < {xj\ ) minden re-re, hiszen az {x/l) — (n/l) = (:r — n)/l különbség pozitív.

IV . A Cantor-axióma

A valós szániolv eddig felsorolt tulajdon.ságai (az első 14 axióma és következményei) még nem karakterizálják a valós számokat, hiszen nyilvánvaló, hogy a racionális számok is rendelkeznek a fenti tulajdonságok mindegyikével. Másrészt vannak olyan tulajdonságok, amelyeket a valós számoktól elvárunk, de a racionális számok körében nem teljesülnek. így például elvárjuk, hogy az X- = 2 egyenletnek legyen a valós számok körében megoldása, de tudjuk, hogy racionális megoldás nem létezik (1.1. Tétel).

Az utolsó, ún. Cantor*-axióma centrális szerepet játszik az analízisben. Azt fejezi ki, hogy a valós számok összessége egy bizonyos értelemben „teljes” .

Az axióma kimondásához szükség van néhány elnevezésre, illetve jelölésre. Legyen a < b. Azon x számok összességét, amelyekre a < x )-vel jelöljük és ny ílt in terva llum nak nevezzük.

Legyen minden n természetes számhoz hozzárendelve egy = [a„, &„] zárt intervallum. Az I i , I 2, . . . intervallumsorozatot egym ásba skatu lyázott zárt in terva llu m sorozatnak nevezzük, lia Ji D I 2 D . ■ ■ D In ^ ■ ■ ■', azaz, ha

0 1 < ű?í+i < ^7i+i bn

teljesül minden n-re. Immár megfogalmazhatjuk a Gantor-axiómát.

15. Minden egymásba skatulyázott f i 'D I 2 13 ... zárt intervallumsorozatnak van közös eleme, azaz van olyan x valós szám, hogy x e /„. minden n-re.

2.4. M eg jegy zés . Lényeges, hogy az In intervallumok zártak legyenek; egymásba skatulyázott nyílt intervallumoknak nem mindig van közös eleme. Ha

pl. Jn = ^0 , —^ (71 = 1, 2, . . . ) , akkor Jj D J2 D ..., de a Jn intervallumoknak

nincs közös elemük. Valóban, ha x e J\, akkor a: > 0. így az arkhimédészi axióma szerint van olyan n, amelyre 1/n < oc, és erre az n-re x ^ Jn-

* Georg Cantor (1845-1918) német matematikus


Vizsgáljuk meg, hogy az egymásba skatulyázott /i, I 2, . . . zárt intervallumsorozatnak mikor van pontosan egy közös eleme. Ha x és y mindketten közös elemek és x < y, akkor an < x < y < bn, és így y — x < b„ — a,i minden n-re. Más szóval, ha az I i , I 2, . . . intervallumsorozatnak egynél több közös pontja van, akkor van olyan pozitív szám, amelynél minden 6„, — a„ nagyobb. Igaz tehát a következő:

2.5. Téte l. Ha nincs olyan pozitív szám, amelynél minden bn — a~n nagyobb, azaz, ha minden 6 > 0-hoz van olyan n, amelyre b — a,i < S, akkor az egymásba skatulyázott Ji D /2 D • •. zárt intervallumsorozatnak pontosan egy közös pontja van.

A Cantor-axiómával befejeztük a valós számok axiómarendszerének ismertetését. Az axiomatikas felépítés szellemében a valós számok rendszerén olyan struktúrát értünk, amely kielégíti az 1-15. axiómákat. Ezt úgy is kifejezhetjük, liogy

a valós szám ok arkh im édészién ren dezett testet a lkotnak, am elyben teljesü l a C an tor-ax ióm a.

Mieló'tt rátérünk az analízis elméletének részletes felépítésére, egy fontos példát mutatunk a Cantor-axióma alkalmazására. Ha a > 0 és A: pozitív egész,

akkor Vö-val jelöljük azt a nemnegatív számot, amelynek A:-adik hatványa a. De egyáltalán nem magától értetődő, hogy ilyen szám valóban létezik. Mint láttvik, az első 14 axiómából a \/2 szám létezése nem is következik. Megmu

tatjuk, hogy a teljes axiómarendszerből V a létezése már levezethető.

2.6. T é te l. Ha a > 0 és k pozitív egész, akkor létezik pontosan egy olyan

nemnegatív b valós szám, amelyre b = a.

Bizonyítás. Feltehetjük, hogy a > 0. A bizonyítást csak a A: = 2 speciális esetben végezzük el; az általános eset hasonlóan bizonyítható. (A tételre később egy másik bizonyítást is adunk, 1. a 8,56. Következményt.)

A keresett b számot egy egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat pontjaként fogjuk megkonstruálni. Legyenek ui és vi olyan nemnegatív

számok, melyekre uf < a < vf. (Ilyenek pl. ui = 0 és = a -h 1, hiszen ( « + l ) - > 2 - a > a . )

Tegyük fel, hogy n > 1 egész, és az Un,Vn számokat már meghatároztuk iigy, hogy

u i < a < v l (2.1)

teljesül. Két esetet különböztetünk meg. Ha

''Un + V n V

akkor legyen

Ha viszont

Un+l —

V 2

Un + Vn 2

< a,

akkor legyen

Un-I-I = Un és Vn+\ —Un “1“ Un

9 ■

Világos, hogy mindkét esetben [un+i-,Vn+i\ C [u,i,í;n]) továbbá

Mn+l < « < "í n+l-

Ezzel az Un és Vn számokat minden n-re definiáltuk. A definícióból következik, hogy az [un,Vn] intervallumok egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, tehát a Cantor-axióma szerint van közös pontjuk. Ha h egy közös pont, akkor Un < b < Vn, tehát

 0 számhoz van olyan n, amelyre v l - u'i < ő.

Az intervallumot úgy kaptuk, hogy az [un,Vn] intervallumot„megfeleztük” , és vettük a keletkező két fél intervallum egyikét. Ebből szemléletesen világos, hogy Vn+i—Un+i = {vn—Un)/2. Ez persze [umVn] definíciójából is azonnal következik, hiszen

Un + Un Un + Vn Vn ~ UnV n ------------- = -------------- Un = -------------- .

2 2 2

így teljes indukcióval adódik, hogy — Uu = {vi — •ui)/2” “ * minden n-re. Ebből azt kapjuk, hogy

V i - U y 2 -v 'i 4 - v f 4 • vri _ i ^ A2»i- 2n—1 9n n

(2.3)


minden n-re. Legyen S tetszőleges pozitív szám. Az arkhimédészi axióma szerint van olyan n, amelyre 4- v^/n kisebb 5-nál. Ezzel beláttuk, hogy alkalmas n-re vf, — < 5, tehát a 2.5. Tétel szerint h’ = a.

A b szám egyértelműsége nyilvánvaló. Ha ui. 0 < < 62, akkor b\ < 62, tehát a 61 és 62 számok közül csak az egyiknek a négyzete lehet egyenlő a-val. □

Jegyezzük meg, hogy az 1.1. Tétel tulajdonképpen csak most vált teljessé. Az 1. fejezetben, a tétel kimondásakor nem foglalkoztunk azzal, hogy létezik-e a \/2-vel jelölt szám. Az 1.1. Tétel bizonyításában voltaképpen csak azt láttuk

be, hogy ha létezik V2, akkor nem lehet racionális szám. Igaz, hogy ennek a bizonyításában csak a testaxiómákat és a rendezési axiómákat használtuk fel (ellenőrizzük!).

Feladatok

2.1. Tekintsük a (0 ,1 ,. . . , m - 1} halmazt a (mód m ) vett összeadással és szorzással. (Ezen azt értjük, hogy i + j = k, ha, i + j és k m-mel való osztási maradéka megegyezik, és hasonlóan, i ■ j = k, ha. i ■ j és k m-mel való osztási maradéka megegyezik.) Mutassuk meg, hogy ez a struktúra akkor és csak akkor elégíti ki a testaxiómákat, ha m prím.

2.2. Adjunk meg olyan összeadást és szorzást a {0, l,a , 6) halmazon, amelyek kielégítik a testaxiómákat.

2.3. Legyen F a valós számok egy olyan részhalmaza, amelyre 1 € F . Tegyük fel, hogy ha a, 6 e F és a ^ 0, akkor (l/ a ) - 6 e F . Bizonyítsuk be, hogy F test.

2.4. Bizonyítsuk be, hogy egy véges testet nem lehet rendezni úgy, hogy kielégítse a rendezési axiómákat. (Ö )

2.5. Vezessük le a test- és rendezési axiómákból az abszolút érték felsorolt tulajdonságait.

2.6. Ellenőrizzük, hogy a valós számok halmazán sa {a,h) a + b -^ l művelet kielégíti az első négy axiómát. Mi lesz a nullelem? Adjunk meg olyan szorzást, amellyel együtt testet kapunk.

2.7. Ellenőrizzük, hogy a pozitív valós szánrok halmazán az (a, 6) i->- a ■ b művelet kielégíti az első négy axiómát. Mi lesz a nullelem? Adjunk meg olyan szorzást, amellyel együtt testet kapunk.

2.8. Ellenőrizzük, liogy a pozitív racionális .számok halmazán az (a ,b) ^ a ■ b művelet kielégíti az első négy axiómát. Mi lesz a nullelem? Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan szorzás, amellyel együtt testet kapunk.

2.9. Ellenőrizzük, hogy a törtfüggvények halmaza a megadott műveletekkel és rendezéssel kielégíti a test- és rendezési axiómákat.

2.10. Igaz-e, hogy a törtfüggvények halmaza a megadott műveletekkel és rendezéssel kielégíti a Cantor-axiómát? (Ö )

2.11. A Cantor-axiómában megköveteltük, hogy az egymásba skatulyázott intervallumsorozat korlátos, zárt és nemüres intervallumokból álljon. Ellenőrizzük, hogy a Cantor-axióma állítása nem marad igaz, lia bármelyik feltételt elhagyjuk.

Tizedestörtek. A számegyenes

Már említettük korábban, hogy egy valós szám tizedestört-alakja „kijelöli a szám helyét a számegyenesen” . Most ezt az elképzelést fogjuk részletesebben kifejteni. Mindenekelőtt megadjuk a valós számok tizedestört-alakjának precíz definícióját. Szükségünk lesz a véges tizedestörtek hagyományos jelölésére; ha n nemnegatív egész és a i , . . . ,a/; mindegyike a 0, 1, . . . , 9 számok valamelyikével egyenlő, akkor n,a i...a/^ jelöli az

Gi ü2 ai-

összeget. Legyen x egy tetszőleges nemnegatív valós szám. Azt mondjuk, hogy X végtelen tizedestört-alakja n ,aia2 ..., ha az

n < a: < 71 -h 1,1

n,a\ < x < n,ai + — ,

7i,a\üi < X < n,a\a2 -t-1

10-(2.4)

stb. egyenlőtlenségek teljesülnek. Más szóval, az a: > 0 szám végtelen tizedestört-alakja n,aia2 ..., ha

1n ,a i . . . Ofc < a: < ... a/; (2.5)

teljesül minden k pozitív egészre.

Tizedestörtek. A számegyenes 43

A fenti definícióval kapcsolatban több kérdés merül fel. Van-e minden valós számnak végtelen tizedestört-alakja? Egyértelmű-e a tizedestört-alak? Elöfordul-e a valós számok tizedestört-alakjai között minden végtelen tizedestört? (Má.s szóval, létezik-e minden előírt végtelen tizedestörthöz olyan valós szám, amelynek éppen ez a tizedestört-alakja?) A következő tételek ezekre a kérdésekre adnak választ.

2.7. T é te l. Minden nemnegatív valós számnak van végtelen tizedestört-alakja.

B izonyítás. Legyen a; > 0 adott valós szám. Az arkhimédészi axióma szerint van a;-nél nagyobb pozitív egész. Ha A; a legkisebb olyan pozitív egész, amely nagyobb a;-nél és n = A;—1, akkor n < x < n+1. Az n-|-(a/10) (o = 0 ,1 ,... , 10) számok közül az első nem nagyobb, az utolsó pedig nagyobb a;-nél. így van

olyan oi e {0, 1, . . . ,9 }, amelyre n,ai < x < (n ,a i) -h — . Az (n ,a i) + {a/lÖ^)

(a = 0, 1, . . . , 10) számok közül az első nem nagyobb, az utolsó pedig nagyobb

a;-nél. így van olyan a2 e {0 ,1 ,. . . , 9}, amelyre n,aya2 < x < (n ,aia2)-f--j^ . Az

eljárást folytatva megkapjuk az ai, ao, .. . jegyeket, amelyek kielégítik (2.-5)-öt minden fc-ra. □

Jegyezzük meg, hogy a fenti tételben valójában azt láttuk be, hogy minden X > 0 számnak van olyan n, aia-2 ... tizedestört-alakja, amelyre az erősebb

n ,a i .. .ük < X < n ,a i .. .ük + • (2-6)

egyenlőtlenség is teljesül minden fc pozitív egészre. A z ilyen tulajdonságú tizedestört-alak egyértelmű, hiszen csak egy olyan nemnegatív egész van, amelyre n < x < n -f 1, csak egy olyan a\ jegy van, amelyre

cíi < a; < n, ai -f — é.s így tovább.

Mármost, ha a:-nek van egy másik tizedestört-alakja is: m ,b[ho..., akkor ez nem elégítheti ki (2.6)-ot, tehát vagy a; = m -I- 1, vagy pedig

X = m,bi .. .bf, + (1/10^) valamelyik fc-ra. Könnyű ellenőrizni, hogy x = m + l

esetén n = m - 1, ai = 9 és 6,' = 0 minden j-re, az a: = to,6] .. . 6ji. -h (1/10^) esetben pedig a,j = 9 és í>,= 0 minden i > fc-ra. Ezzel beláttuk a következőt.

2.8. T é te l. A pozitív, véges tizedestört-alakhan megadható számoknak két végtelen tizedestört-alakjuk van: az egyiknek a jegyei valahonnan kezdve 0- S'l, a másikéi 9-ceI egyenlők. Minden más nemnegatív valós szám tizedestört-

alakja egyértelmű. □

A következő tétel azt mondja ki, hogy a nemnegatív valós számok tizedestört-alakjai között minden formálisan felírható tizedestört szerepel.

2.9. Téte l. Tetszőleges n e N-ijez és a (0 ,1, , 9} jegyekből álló (ai, 02, . . . ) sorozathoz létezik pontosan egy olyan nemnegatív valós szám, amelynek a tizedestört-alakja n,a ia2 ....

B izony ítás. A (2.5) feltétel azt jelenti, hogy x eleme az

1h = n,ai ...a/,., n,ai ... +

ló ''.

intervallumnak minden fc-ra. Mivel ezek egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, ezért a Cantor-axióma szerint létezik olyan x valós szám, amelyre x e Ik minden ^-ra. Az pedig, hogy csak egy ilyen szám van, a 2.5. Tételből következik, hiszen az arkhimédészi axióma alapján minden (5 > 0-hoz van olyan /c, amelyre 1/fc < 6, és ekkor 1/10 ' < 1 / k < (5. □

A számok tizedestört-alakban való felírhatóságának több érdekes következménye van. A legfontosabb következmény arra a kérdésre vonatkozik, hogy a valós számok axiómarendszere mennyire pontosan írja le a valós számokat. A kérdés az, hogy az axiómák közül „nem felejtettünk-e ki” valamit; nem lehetséges-e, hogy szükségünk volna további tulajdonságok deklarálására? A válasz megértéséhez idézzük fel az axiomatikus felépítés álláspontját. Eszerint a valós számok mibenlétével nem foglalkozunk, csupán a tulajdonságaival. A valós számok K halmaza helyett vehetnénk egy másik halmazt is, feltéve, hogy abban is értelmezve van két művelet és egy rendezés, amelyek kielégítik mind a 15 axiómát.

Mármost az a tény, hogy a számok tizedestört-alakban való felírhatóságát pusztán a 15 axiómából le tudtuk vezetni, azt jelenti, hogy ez mind M-ben, mind pedig M'-ben igaz. így M minden nemnegatív x eleméhez hozzárendelhetjük azt az x ' e elemet, amelynek ugyanaz a tizedestört-alakja. Ezt a hozzárendelést kiterjeszthetjük R-re a ( —x ) ' = —x' képlettel. A tizedestörtekre vonatkozó fenti tételekből azonnal következik, hogy ezzel egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre ffi és ffi' között*. Azt is meg lehet mutatni (bár ennek a részleteibe most nem megyünk bele), hogy ez a megfeleltetés felcserélhető a műveletekkel, azaz (2; -|- y )' = x + y és {x ■ y )' =— x ' ■ y minden x, y € M-re, továbbá x < y akkor és csak akkor teljesül, ha

* Azt luondjuk, hogy az / függvény kölcsönösen egyérte lm ű megfeleltetést létesít az A és B halmazok között, ha f a.z A halmazon vau értelmezve, az A halmaz különböző pontjaihoz különböző elemeket rendel (azaz ai ^ «2 esetén / (a i ) ^ / (q 2)), és minden b e B elemhez van olyan a e A , amelyre f { a ) = b.


x ' < y ■ Egy ilyen megfeleltetés (röviden izomorfizmus) létezése azzal a következménnyel jár, hogy az ffi és M' struktúrák „megkülönböztethetetlenek” : ha egy állítás igaz az egyikben, akkor igaz lesz a másikban is. Ezt a tényt a matematikai logika úgy fejezi ki, hogy a valós számok axiómarendszerének bármely két modellje izomorf egymással. Ha tehát az axiómarendszerrel az a célunk, hogy a valós számok tulajdonságait minél pontosabban leírjuk, akkor ezt a célt elértük; további axiómák hozzávétele már nem tudja szűkíteni azon modellek körét, amelyek az axiómarendszert kielégítik.

A tizedestört-alakban való felírhatóság másik fontos következménye, hogy a valós számok halmaza és egy egyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést hozhatunk létre.

Legyen e egy egyenes, és adjunk meg e-n két különböző P és Q pontot.

Nevezzük a P Q irányt pozitívnak, az ellentétes irányt pedig negatívnak. A P ponthoz rendeljük hozzá a 0-t, a Q-hoz pedig az 1-et. A P ponttól pozitív, illetve negatív irányban mérjük fel a P Q távolság többszöröseit, és rendeljük hozzá az így kapott pontokhoz az egész számokat. Ha az így kapott pontokkal határolt szakaszokat k egyenlő részre osztjuk (minden &-ra), akkor megkapjuk azokat a pontokat, amelyekhez a racionális számokat rendeljük hozzá. Legyen X egy nemnegatív valós szám, és legyen a tizedestört-alakja n,a\a2 .... Legyenek A . és Bk azok a pontok, amelyekhez az n ,a i.. .a^, illetve az (n ,a i... ak) +

+ (1/10^) számokat rendeltük hozzá. Az egyenes tulajdonságaiból következik, hogy az szakaszoknak létezik egyetlen közös pontja. Ez lesz az az Apont, amelyhez az x számot rendeljük. Végül, a P A szakaszt P -bő l negatív irányban felmérve megkapjuk azt a pontot, amelyhez —x-et rendeljük hozzá.

Meg lehet mutatni, hogy ezzel az e egyenes pontjaihoz kölcsönösen egyértelműen hozzárendeltük a valós számokat. Egy adott ponthoz hozzárendelt számot a pont koord inátá jának , az egyenest magát pedig szám egyenesnek nevezzük. A következőkben, ha egy x számról beszélünk, gyakran mondjuk, hogy a számegyenes x koordinátájú pontja, vagy röviden az x pont.

Ennek a megfeleltetésnek az az előnye, hogy bizonyos állításokat és tulajdonságokat a számegyenesen szemléltetve azokat könnyebben érthető és jobban áttekinthető formában kaphatjuk meg. A szemléltetés révén sokszor nyerünk bizonyítási ötleteket is. Azonban hangsúlyozni kell, hogy a szemléltetésből adódó „látható” tulajdonság sohasem tekinthető bizonyítottnak; sőt, szemléletesen igaznak látszó állításokról kiderülhetnek, hogy hamisak. A bizonyításoknál mindig csupán a valós számok felsorolt alaptulajdonságaira (vagyis az axiómákra), és az azokból már bizonyított tételekre támaszkodhatunk.

A valós számoknak a száinegyeiiessel való szemléltetése sok olyan fogalmat sugall, amely a szemléletes képtől függetlenül is fontosnak bizonyul. Ilyen pl. a mindenütt sűrű halmaz fogalma.

2.10. D efin íc ió . Azt mondjuk, hogy a H számhalmaz mindenütt sűrű ffi- ben, ha minden nyílt intervallum tartalmaz ií-b e li elemet; azaz, ha minden a < ö-hez van olyan x & H , amelyre a < x < b.

így például a 2.2. Tétel szerint a racionális számok halmaza mindenütt sűrű M-ben. Most megmutatjuk, hogy ugyanez igaz az irracionális számok halmazára.

2.11. T é te l. A z irracionális számok halmaza mindenütt sűrű W-hen.

B izonyítás. Legyen a < b tetszőleges. Mivel a racionáhs számok halmaza mindenütt sűrű és a — %/2 < 6 —V 2, ezért van olyan r racionális szám, amelyre

a — \Í2 < r < b — yÍ2. Ekkor a < r + < í), és így az (a, h) nyílt intervallum

tartalmazza az r+ \ Í2 irracionális számot. Az r+\/2 szám irracionalitása abból következik, hogy ha racionális lenne, akkor = (r + V 2) — r is racionális lenne, holott nem az. □

Ugyancsak a számegyenessel való ábrázolás motiválja azt a szóhasználatot, hogy intervallum helyett szakaszt is mondhatunk. A későbbiekben szükségünk lesz az intervallumok körének bővítésére.

Legyen H egy zárt vagy nyílt intervallum. Ekkor könnyen láthatóan H minden olyan szakaszt tartalmaz, amelynek a végpontjai elemei ií-nak. (Ezt a tulajdonságot konvexitásnak nevezzük.) Ezért célszerű mindazokat a halmazokat intervallumnak (vagy szakasznak) nevezni, amelyek rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. A zárt és nyílt intervallumokon kívül ilyenek még a következők.

Legyen a < b. Azon x számok halmazát, amelyekre a < x < b teljesül, [a ,6)-vel jelöljük és ba lró l zá rt, job b ró l ny ílt in terva llu m nak nevezzük. Azon X számok halmazát pedig, amelyekre a < x < b teljesül, (a, 6]-vel jelöljük és jo b b ró l zá rt, ba lró l n y ílt in terva llum nak nevezzük. Tehát

[a,b) = [x : a < X < b] és [a,b] = [x : a < x < b}.

Az [a, 6], (a, 6), [a,b) és (a, 6] típusú intervallumokat korlá tos (vagy véges) intervallumoknak nevezzük. Bevezetjük még a

( - 00, a] = {a; : a; < a}, [a, oo) = (a: : a; > a}, _(—oo, a) = [x : X < a}, (a, oo) — [x ■. x > a]^


valamint a (—00, 00) = M jelöléseket. A ( —00, a], (—00, a), [0, 00), (a, 00) típusi'i intervallumokat valamint M-et magát nem korlá tos (vagy végtelen) intervallumoknak nevezzük. Ezek közül (—00,a] és [a, 00) a zá rt fé legyenesek, ( - 00, a) és (a, 00) pedig a nyílt fé legyenesek.

Az intervallumok közé soroljuk még az üres halmazt és az egyetlen pontból álló halmazokat is; ezek az e lfa ju ló intervallumok. Az egyelemű halmazokat elfajuló zárt intervallumnak tekintjük, amit az [a, a] = {a) jelölés fejez ki.

2.12. M eg jeg y zé s . A nem korlátos intervallumok jelölésében szereplő 00 jelnek nem tulajdonítunk önálló értelmet. Ezek a jelölések pusztán rövidítésnek tekintendők; így pl. [a, 00) mindössze az {a; ; a; > a) halmaz rövidelDb (és szemléletesebb) jelölésére szolgál. A 00 jel még sokszor fog felbukkanni. Minden későbbi alkalmazására ugyanez lesz érvényes, tehát csak a teljes képletnek tulajdonítunk (minden esetben pontosan meghatározott) értelmet.

Feladatok

2.12. Bizonyítsuk be, hogy

(a) Ha X és y racionálisak, akkor x + y \s racionális.

(b) Ha X racionális és y irracionális, akkor x + y irracionális. Igaz-e, hogy ha a: és y irracionálisak, akkor a; -f- y is írracionális?

2.13. Bizonyítsuk be, hogy egy pozitív valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racionális.

2.14. Bizonyítsuk be, hogy a véges tizedestört-alakkal rendelkező számok és ezek negatívjainak halmaza mindenütt sűrű.

2.15. Bontsuk fel a számegyenest végtelen sok páronként diszjunkt, mindenütt sűrű halmaz egyesítésére.

2.16. Legyen i í C M olyan nemüres halmaz, amely bármely két (nem feltétlenül különböző) elemével együtt azok különbségét is tartalmazza. Bizonyítsuk be, hogy vagy van olyan a valós szám, hogy H = [n • a \ n e h ], vagy pedig H mindenütt sűrű. { * Ö )

2.17. Bizonyítsuk be, hogy ha a irracionális, akkor az {n ■ a + k : n, k e Z ] halmaz mindenütt sűrű.

Korlátos számhalmazok

Ha egy A számhalmaz véges, akkor az elemei között biztosan van legnagyobb. (Ezt könnyen beláthatjuk az A elemszámára vonatkozó teljes indukcióval.) Ha azonban egy számhalmaznak végtelen sok eleme van, akkor ezek között már nem szükségképpen van legnagyobb. Nyilvánvaló, hogy az M, [a, oo) vagy N halmazok egyikének sincs legnagyobb eleme. Ezen halmazok mindegyike rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy bármely valós számnál van nagyobb elemük. (A z N halmaz esetében ezt az arkhimédészi axióma biztosítja.) Világos, hogy egy ilyen halmaznak sohasem lehet legnagyobb eleme.

Érdekesebbek azok a példák, amelyek nem rendelkeznek a fenti tulajdonsággal, tehát amelyekhez van olyan szám, amelynél minden elemük kisebb. Ilyen pl. az (a, b) nyílt intervallum, amelynek minden eleme kisebb b-nél. Ennek ellenére az (a, b) halmaznak nincs legnagyobb eleme. Valóban, ha X e (a, b), akkor x < b, és így a 2.38. Tétel szerint van olyan y szám, amelyre X < y < b, és ekkor automatikusan y e (o, b). Egy másik példát szolgáltat a

1 2 n - 1

2 ’ 3 ’ n( 2 .8 )

halmaz. Ennek minden eleme kisebb 1-nél. Még sincs legnagyobb eleme, hiszen B bármelyik (n — l)/n eleménél nagyobb lesz a következő n/{n -f 1) elem.

Ezeknek a jelenségeknek a jobb megértéséhez bevezetjük a következő elnevezéseket. Ha egy A számhalmaznak van legnagyobb (vagy más szóval maxi- máhs) eleme, akkor ezt maxj4-val jelöljük. Ha az A számhalmaznak van legkisebb (vagy más szóval minimáhs) eleme, akkor ennek jelölése m in^. Ha az A halmaz véges, A = {a i , . . . , a,i}, akkor max A helyett írhatunk max a,;-t, és min A helyett min a^-t.

l<2<n

2.13. D efin íc ió . Azt mondjuk, hogy az A számhalmaz/e/ü/ró'/ korlátos, ha van olyan b szám, hogy A minden x elemére x < b teljesül (vagyis amelynél A egyetlen eleme sem nagyobb). Minden ilyen tulajdonságú b számot az A halmaz felső korlátjának nevezünk. Az A számhalmaz tehát pontosan akkor felülről korlátos, ha van felső korlátja.

Az A számhalmazt alub'ól korlátosnak nevezzük, ha van olyan c szám, hogy A minden x elemére x > c teljesül (vagyis amelynél A egyetlen eleme sem kisebb). Minden ilyen tulajdonságú c számot az A halmaz alsó korlátjának nevezünk. Az A számhalmaz tehát pontosan akkor alulról korlátos, ha van alsó korlátja.

Az A számhalmazt korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülről is korlátos.

Korlátos számhalmazok 49

Ismételjük át a fentieket ezen fogalmak felhasználásával! Ha max A létezik, akkor nyilván felső korlátja is A-nak, tehát ekkor A felülről korlátos. így fennállnak az alábbi implikációk;

{A véges) (max A létezik) => {A felülről korlátos).

A fordított implikációk általában nem igazak, hiszen pl. az [a, b\ zárt szakasznak van legnagyobb eleme, de nem véges, és - amint azt már láttuk -, az (a, b) halmaz felülről korlátos, de nincs legnagyobb eleme. A (2.8)-ban definiált B halmaz ugyancsak felülről korlátos, de i?-nek sincs legnagyobb eleme.

További példák: Az N+ halmaz alulról korlátos (sőt van legkisebb eleme), de felülről nem korlátos.

Z nem korlátos sem alulról, sem felülről.

Minden véges intervallum korlátos halmaz.

A félegyenesek nem korlátosak.

A C = .......2 n

halmaz korlátos, hiszen legnagyobb eleme 1, tehát

ez egyben felső korlátja is. Másrészt C minden eleme nemnegatív, tehát 0 alsó korlát. A halmaznak nincs legkisebb eleme.

Jegyezzük meg, hogy a C halmaznak 0 a legnagyobb alsó korlátja. Valóban, ha £: > 0, akkor az arkhimédészi axióma szerint van olyan n, amelyre 1/n < e. Mivel 1 /n e C, ez éppen azt jelenti, hogy e nem alsó korlát.

Hasonló jelenséget figyelhetünk meg az (a, b) nyílt intervallum esetében. Mint láttuk, a halmaznak nincs legnagyobb eleme. De itt is találunk legkisebb felső korlátot: könnyű belátni, hogy az (a, 6) halmaznak a b szám a legkisebb felső korlátja. Vagy vegyük a (2.8)-ban definiált B halmazt. Ennek sincs legnagyobb eleme, de nem nehéz belátni, hogy a felső korlátjai között itt is van legkisebb, nevezetesen az 1. A következő, alapvető fontosságú tétel azt mondja ki, hogy ez minden felülről korlátos (és nemüres) halmaz esetében így van. Mielőtt a tételt kimondanánk, jegyezzük meg, hogy ha egy H halmaznak a b szám felső korlátja, akkor minden 6-nél nagyobb szám is felső korlát lesz. Ezért egy felülről korlátos halmaznak mindig végtelen sok felső korlátja van.

2-14. T é te l. Minden felülről korlátos és nemíires számhalmaznak van legkisebb felső korlátja.

Bizonyítás. Legyen A egy felülről korlátos és nemüres számhalmaz. Az A halmaz legkisebb felső korlátját egy egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat közös pontjaként fogjuk megkonstruálni (hasonlóan a 2.6. Tétel bizonyításához).

50 2. Valós számok Korlátos számhalmazok 51

Legyen vi az A halmaz egy felső korlátja. Legyen továbbá ao egy tetszőleges eleme ^-nak (ilyen van, hiszen a feltevés szerint A 0), és válasszunk egy tetszőleges u\ < ao számot. Ekkor ui nem felső korlátja A-nak, és U) < vi (hiszen ui < ay i).

Tegyük fel, hogy n > 1 egész, és az Un < Vn számokat már meghatároztuk úgy, hogy Un. nem felső korlátja, Vn pedig felső korlátja A-nak. Két esetet különböztetünk meg. Ha {un +Vn.)/2 nem felső korlátja A-nak, akkor legyen

U n + UnUn+1 — és Vn+1 = Vn-

Ha viszont {un 4- Vn)/2 felső korlátja A-nak, akkor legyen

Un + VnUn+1 - Un és Vn+\ = ---- ----- •

Világos, hogy mindkét esetben [u„+i, Vn+i] C [un-,Vn\, továbbá Un+\ nem felső korlátja, Un+i pedig felső korlátja yl-nak.

Ezzel az Un és Vn számokat minden n-re definiáltuk. A definícióból következik, hogy az [un,Vn] intervallumok egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozatot alkotnak, tehát a Cantor-axióma szerint van közös pontjuk. Azt is megállapíthatjuk, hogy csak egy közös pont van. A 2.5. Tétel szerint ehhez elég belátni, hogy minden (5 > 0 számhoz van olyan n, amelyre Vn - Un < ö. Mármost könnyen látható (ugyanúgy, mint a 2.6. Tétel bizonyításában), hogy Vn — Un = {vi minden n-re. Ha teliát n olyan nagy, hogy (ui - u i)/2” “ < ő (ami az arkhimédészi axióma szerint biztosan teljesül egy alkalmas n-re), akkor Vn — Un < ő is teljesülni fog.

Beláttuk tehát, hogy az [un,v„] intervallumoknak egyetlen közös pontjuk van. Legyen ez a közös pont b. Megmutatjuk, hogy b felső korlátja ^1-nak. Legyen a e A tetszőleges, és tegyük fel, hogy b < a. Ekkor Un < b < a < Vn minden n-re. (Itt a második egyenlőtlenség abból következik, hogy felső korlát.) Ez azt jelenti, hogy a is közös eleme az [un,Vn] intervallumoknak, ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy a < b minden a € A-ra, azaz b felső korlát.

Végül megmutatjuk, hogy b a legkisebb felső korlát. Legyen c egy másik felső korlát, és tegyük fel, hogy c < b. Ekkor Un < c < h < Vn minden n-re. (Itt az első egyenlőtlenség abból következik, hogy Un > c esetén Un is felső korlát lenne, holott nem az.) Ez azt jelenti, hogy c is közös eleme az [un,Vn] intervallumoknak, ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy b < c minden c felső korlátra. Tehát b a legkisebb felső korlát. □

A fenti bizonyítás értelemszerű módosításával megkaphatjuk a 2.14. Tételnek az alsó korlátokra vonatkozó párját.

2.15. T é te l. Minden alulról korlátos és nemüres számhalmaznak van legnagyobb alsó korlátja.

A 2.15. Tételt vissza is vezethetjük a 2.14. Tételre. Valóban, legyen A nemüres, alulról korlátos halmaz. Könnyű ellenőrizni, hogy a B — { —a: : x e A ] halmaz nemüres és felülről korlátos. A 2.14. Tétel szerint i?-nek van legkisebb felső korlátja. Ha b a B halmaz legkisebb felső korlátja, akkor könnyen láthatóan — b az A halmaz legnagyobb alsó korlátja lesz.

A fenti okoskodás felhasználta a testaxiómákat (hiszen már a —x számok értelmezéséhez is szükségünk van az első négy axiómára). Érdemes megjegyezni, hogy a 2.15. Tételnek van olyan bizonyítása is, amely a 2.14. Tételen kívül csak a rendezési axiómákat használja fel (lásd a 2.26. feladatot).

2.16. D e fin íc ió . Egy felülről korlátos és nemüres A számhalmaz legkisebb felső korlátját A felső' hatái'ának vagy szuprémumának nevezzük, és supA- val jelöljük. Egy alulról korlátos és nemüres A számhalmaz legnagyobb alsó korlátját A alsó határának vagy infimiimának nevezzük, és inf A-val jelöljük.

A teljesség kedvéért az infimum és szuprémum értelmezését kiterjesztjük nem korlátos halmazokra is.

2.17. D efin íc ió . Ha az A halmaz felülről nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy A felső határa vagy szuprémuma végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy sup A = 00. Ha az A halmaz alulról nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó határa vagy infimuma mínusz végtelen, és ezt úgy jelöljük, hogy inf A = - 00.

2.18. M eg jeg y zé s . Nyilvánvaló, hogy supA e A (illetve inf A e A ) akkor és csak akkor teljesül, ha A-nak van legnagyobb (illetve legkisebb) eleme, és ekkor m axA = sup A (illetve min A = inf A ). A nemüres A halmaz infimuma és szuprémuma akkor és csak akkor egyenlő, ha az A halmaz egyelemű.

Az A, i? c K halmazok kom plexusösszegének nevezzük és A -1- B-vel jelöljük az {a + b : a e A, b e B ] halmazt. A halmazok és a komplexusösszegük szuprénnimai és infimumai között az alábbi egyszerű kapcsolat áll fenn.

2.19. T é te l. Ha A, B nemüres halmazok, akkor sup(A + B ) = sup A + sup B és inf (A + B ) ^ inf A + inf B.

Ha sup A és sup B bármelyike végtelen, akkor az állítás úgy értendő, hogy sup(A -I- B ) is végtelen. Hasonlóan, ha inf A és inf B bármelyike mínusz végtelen, akkor az állítás úgy értendő, hogy in f(A -t- B ) is mínusz végtelen.

52 2. Valós számok Hatványozás 53

B izony ítás. Csak a szuprémiimra vonatkozó állítást bizonyítjuk. Amennyiben supA = oo, akkor A nem korlátos felülről. Nyilvánvaló, hogy ekkor A + B sem korlátos felülről, tehát sup(^ + B ) = oo.

Most tegyük fel, hogy supTl és supi? mindketten végesek. Ha a e A és b G B , akkor a + h < sup A + siip B, tehát sup A + sup B az A + B halmaz felső korlátja.

Másrészt, ha c az A + B halmaz egy felső korlátja, akkor tetszőleges a & A- ra és b e B-ve a + b < c, azaz a < c — b, tehát c — b az A halmaz egy felső korlátja. így sup A < c — b, azaz b < c — sup A minden b e B-ve, tehát c — sup A a B halmaz egy felső korlátja. Ebből sup B < c — sup A, azaz sup A -t- sup B < c, amivel beláttuk, hogy sup A-l-sup B az A + B halmaz legkisebb felső korlátja. □

Feladatok

2.18. Legyen H egy valós számokból álló halmaz. A H halmaz milyen tulajdonságait fejezik ki az alábbi állítások?

(a) (Va; e l ) (3 y e H ) { x < y)\ (b) (Va; e H )[^ y e M )(x < j/);

(c) { y x ^ H ) { 3 y e H ) { x < y ) .


|(z — b\ + a + bmax(a, ö) = és min(a, b) =

— |(x — b\ + a, + b

2.20, Legyen A í ) B ^ 0. M it tudunk mondani sup^, supi? és sup(ylU i?), sup(A n B) , illetve sup(A \ B) kapcsolatáról?

2.21. Legyen >1 = (0 ,1), B = [-\/2, V2] és

Határozzuk meg - amennyiben léteznek - a fenti halmazok szuprémumát, infimumát, maximumát, minimumát.

2.22. Legyen A ■ B = {a ■ b : a e A, b e B] tetszőleges A, c M halmazokra. Milyen kapcsolatot tudunk megállapítani supyl, supB, inf A, in fS és i nf {A • B) , sup(A • B ) között? És ha feltesszük, hogy A , B g (0 , o o ) ?

2.23. Legyen A egy tetszőleges számhalmaz, továbbá B = (—6 : 6 e A ), C = {1/c : c 6 A, Cy^O}. Milyen kapcsolatot tudunk megállapítani sup A, inf A, supB, in f5 , supC, inf C között?.

2.24. Mutassuk meg, hogy az egymásba skatulyázott [a„, intervallumok metszete akkor és csak akkor egyelemű, ha minden <5 > 0-hoz van olyan n, hogy bn — ün < S {a. 2.5. Tétel kiegészítése).

2.25. Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0, A: e N"*" és H - = [x \ < a], illetve

H+ = [x : x^ > a}, akkor s u p H - = in íH + — azaz (su p ií_ )^ =

= (in f H +)''' = a. (Ilyen módon is beláthatjuk V a létezését a > 0 esetén.)

2.26. Legyen X rendezett halmaz. (Ez azt jelenti, hogy adott X-en egy < reláció, amely kielégíti a rendezési axiómák közül az első kettőt, azaz trichotóm és tranzitív.) Tegyük fel, hogy valahányszor egy X-beli nemüres halmaznak van felső korlátja, akkor van legkisebb felső korlátja. Mutassuk meg, hogy ha egy X -beli nemüres halmaznak van alsó korlátja, akkor van legnagyobb alsó korlátja. (Ö )

2.27. A H cM . halmazt konvexnek nevezzük, hax, y e H, x < y esetén [a:, y] C C H teljesül. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaz akkor és csak akkor konvex, ha intervallum. (Használjuk fel a legkisebb felső korlát és a legntigyobb alsó korlát létezésére vonatkozó tételt.) Mutassuk meg, hogy a Cantor- axióma feltételezése nélkül ez nem volna igaz.

2.28. Tegyük fel a testaxiómákat, a rendezési axiómákat, és azt az állítást, hogy ha egy nemüres halmaznak van felső korlátja, akkor van legkisebb felső korlátja. Vezessük le ebből az arkhimédészi axiómát és a Cantor- axiómát. ( * M )

HatványozásAz n-téuyezős a- . . . a szorzatot a” -nel jelöljük és az a szám n-edik hatványának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy bármely a,b valós és x, y pozitív egész számra fennállnak az

{a b f = a^-b^, a^+y = a^-ay, {a^)y = (2.9)

<izonosságok. A célunk a hatványozás műveletének kiterjesztése úgy, hogy afenti azonosságok érvényben maradjanak. Ha a 7 0, akkor azazonosság csak úgy maradhat érvényben, ha a”-t 1-nek, a~"-et pedig l/a"-nek

54 2. Valós számokHatványozás 55

értelmezzük minden n pozitív egészre. Ezt a definíciót elfogadva (2.9) mindhárom azonossága érvényben marad minden a,b ^ 0 és x ,y e Z esetén. A továbbiakban csak a nullától különböző számok hatványaival foglalkozunk; a nullának csali a pozitív egész kitevó's hatványait definiáljuk.

A racionális kitevőjű hatványok értelmezéséhez felhasználjuk a gyök létezésére vonatkozó 2.6. Tételt. Ha a < 0 és A: páratlan, akkor ^a-va\ jelöljük a

— \/\a\ számot. Erre nyilvánvalóan teljesül, hogy ' = a-

Legyen r racionális, és tegyük fel, hogy r = p/q, ahol p,q relatív prím egészek és g > 0. Ha a 7 0, akkor az (a'^)^ = azonosság megköveteli, hogy aJ" = b esetén = aP teljesüljön. Ha q páratlan, aldíor ez egyértelműen meghatározza b-t: az egyetlen lehetséges érték b = VaP- Ha q páros, akkor p páratlan, és aP — b' pozitív kell, hogy legyen. Ez tehát csak a > 0 esetén lehetséges, és ekkor ö = ± %íaP- Mivel természetes megkötés, hogy egy pozitív szám minden hatványa is pozitív legyen, ezért a ö = értelmezést fogadjuk

el. Azt kaptuk, hogy negatív a esetén csak azokat az hatványokat értelmezhetjük, amelyekre q páratlan, és ekkor az egyetlen lehetséges értelmezés

= %föp. Ugyanez a képlet értelmezi aPl^-X, ha a > 0.

A továbbiakban csak a pozitív számok hatványaival foglalkozunk.

2.20. T é te l. Ha a > 0, n, m egészek és m > 0, akkor a” /™ = 'Vö^.

B izonyítás. Legyen n/m = p/q, ahol p,q relatív prím egészek és g > 0.

Be kell látnunk, hogy "V ö ” = V(iP. Mivel mindkét oldal pozitív, ezért elég

megmutatni, hogy ( ~ ~ azonban nyil

vánvaló, hiszen n/m = p/q, tehát nq = mp. □

2.21. T é teL A (2.9) azonosságok érvényesek minden a, b poz itív és x, y racionális számra.

B izonyítás. Csak az első azonosságot látjuk be; a többiek hasonlóan bizo- uyíthatóak. Legyen x = p/q, ahol p, q relatív prím egészek és q > 0. Ekkor

{ab)'^ = 'ij{ab)P és ■ b = Va^ ■ VbP. Mivel itt csak pozitív számok szerepelnek, ezért elég belátni, hogy

A bal oldal értéke (a6)^. A jobb oldal kiszámításához a (2.9) azonosság első egyenlőségét alkalmazhatjuk a g, majd a p egész kitevővel. A zt kapjuk, hogy

VaP ■ ‘i/ w y = = aP ■ IP = {ab)P. □

2.22. T é te l, > 0 minden a pozitív és r racionális számra. Ha ri < r-2, akkor a > 1 esetén a'~ < a'’^ 0 < a < 1 esetén pedig a’"' > a’' .

B izonyítás. Az a’’ > 0 egyenlőtlenség nyilvánvaló a definícióból. Ha a > 1 és

p,q pozitív egészek, akkor = X/cíp > 1, és így a'’ > 1 minden r pozitív racionális számra. Ha tehát r\ < r2, akkor > a'’’ . A 0 < a < 1-re vonatkozó állítás ugyanígy bizonyítható, □

Az irracionális kitevőjű hatványok definiálásakor az előző tételben megfogalmazott inonotonitási tulajdonságot fogjuk szem előtt tartani. Legyen a > 1. Ha megköveteljük, hogy x < y esetén < oP teljesüljön, akkor a^-nek ki kell elégítenie az < oF < a'' egyenlőtlenséget, valahányszor s és r olyan racionális számok, melyekre r < x < s. Megmutatjuk, hogy ez a követelmény egyértelműen meghatározza a'^-t.

2.23. T é te l. Ha a > 1, akkor tetszőleges x valós számra

sup{a’’ : r e Q, r < x ] = inf{a^ ; s e Q, s > x). ( 2.10)

Ha 0 < a < 1 , akkor tetszőleges x valós számra

inf{ű ’' ; r e Q, r < x} = sup(a* ; s e Q, s > x ). (2.11)

Bizonyítás. Legyen a > 1 . Az A = [a'' : r e Q, r < x ] halmaz nem üres és felülről korlátos, hiszen a® felső korlátja minden x-nél nagyobb s racionális számra. így az a = sup A mennyiség véges, és a < a®, valahányszor s > 2; és s racionális. így a alsó korlátja a B = [a^ : s e Q, s > 2;} halmaznak, tehát P = inf B véges, és a < fS. Belátjuk, hogy a = f3.

Tegyük fel, hogy (3 > a, és legyen {P/a) = l + h, ahol h > 0. Minden n pozitív egészre van olyan k egész, amelyre k/n < x < {k + l)/?^- Ekkor

{k — l)/ n < X < {k + l)/n , és így < o t 1 + nh.

56 2. Valós számok Első függelék: A testaxiómák következményei 57

Ez azonban n > a^/h esetén lehetetlen. így a = (3, amivel (2.10)-et beláttuk. A második állítás ugyanígy bizonyítható. □

2.24. D efin íc ió . Legyen a > 1. Tetszőleges x valós számra a^-szel jelöljük a sup{a’’ : 7- e Q, r < x ] = inf{a^ : s € Q, r > x ] mennyiséget. Ha 0 < a < 1, akkor értéke in f{a ’’ : r e Q, r < a;) = sup{a* : s e (Q, r > a;). Az 1* hatványt 1-nek definiáljuk minden a;-re.

Jegyezzük meg, hogy ha x racionális, akkor a fenti definíció által adott érték megegyezik a korábbi definícióból kapott számmal a 2.23. Tétel alapján.

2.25. T é te l, > 0 minden a pozitív és x valós számra. Ha x i < X2, akkor a > 1 esetén a^' < 0 < a < 1 esetén pedig

B izonyítás. Legyen a > 1. Tetszó'leges x-hez választhatunk egy r < x racionális számot, amelyre a' > ci > 0. Ha x j < x->, akkor legyenek t’i és r- olyan racionális számok, melyekre x i < ri < r-2 < X2- Ekkor < a’ - < a' .Hasonlóan okoskodhatunk a 0 < a < 1 esetben. □

Később látni fogjuk (lásd a 9.4. Tételt), hogy (2.9) mindhárom azonossága érvényben marad minden a,b > 0 és x ,y e R esetén.

Feladatok

2.29. Bizonyítsuk be, hogy ha n e N, akkor Vri vagy egész, vagy irracionális.

2.30. Bizonyítsuk be, hogy ha n,A;eN+, akkor vagy egész, vagy irracionális.

2.31. Legyen a > 0 racionáhs. Bizonyítsuk be, hogy ha a“ is racionáhs, akkor a egész.

2.32. Legyenek a és 6 racionális számok, 0 < a < b. Bizonyítsuk be, hogy akkor

és csak akkor teljesül o/’ = 6“ , ha van olyan n G N+, amelyre

1 \a — és [1 +

n(Ö)

2.33. Bizonyítsuk be, hogy ha a; > —1 és r > 1 racionális, akkor (1 -t- x)^ >

> 1 -|- rx . Ha viszont 0 < r < 1, akkor (1 + x Y < 1 -H rx . (Ö )

Első függelék: A testaxiómák következményei

2.26. Tétel. Haa + b = Qésa + c = 0, akkor b = c.

Bizonyítás. Az első három axióma felhasználásával azt kapjuk, hogy c = c - l - 0 = c + ( a - l - ö ) = ( c - f a ) - l - f t = ( a - 1 - c ) + & = 0 - l - & = & - } - 0 = &. □

Ha az előző tétel áUítását összevetjük a 4. axiómával, akkor azt kapjuk, hogy minden a e ffi-hez pontosan egy olyan b létezik, amelyre a -I- ö = 0. Ezt az egyetlen b-t -ft-val jelöljük.

2.27. Tétel. Bármely a, b-re van pontosan egy x, amelyre a = b + x.

Bizonyítás. Ha x — (—ö) -I- a, akkor

b + X = b + ((-& ) -I- fl) = (fi -f- (- fi)) -l-a = 0-l-ű = a-l-0 = a.

Másrészt, ha a = b + x, akkor

x = a;-|-0 = 0 -l-x = ((- fi) -H fi) -H a: = (-fi) 4- (fi 4- x) = (- fi) + a □ .

A következőkben a (—fi) -I- a = a -|- (—fi) elemet a — fi-vel fogjuk jelölni.

2.28. Tétel. Ha a ■ b = 1 és a ■ c = 1, akkor b = c.

Ez ugyanúgy bizonyítható, mint a 2.26. Tétel, csak itt az 5-8. axiómákat kell használnunk. A 2.28. Tételt a 8. axiómával összevetve azt kapjuk, hogy minden a ^ 0-

hoz létezik egy és csak egy olyan fi, amelyre a ■ fi — 1. Ezt a fi elemet — val vagy 1/a-val

jelöljük.

2.29. Tétel. Bármely a-ra és b ^ 0-ra van pontosan egy olyan x, amelyre a = b ■ x.

Bizonyítás. A 2.27. Tétel bizonyításának mintájára könnyen beláthatjuk, hogy = a - (l/fi) az az egyetlen valós szám, amely kielégíti a tétel feltételét. □

Ha a, fi e ffi és fi ^ 0, akkor az a ■ (l/fi) számot a/fi-vel vagy ^-"vel jelöljük.0

2-30. Tétel. Minden a valós számra a - 0 — 0.

Bizonyítás. Legyen a • 0 = fi. A 3. és a 9. axióma szerint b = ft-0 = a - (0-1-0) = ~ (a. • 0) -I- (a • 0) = b + b. Mivel fi + 0 = fi is fennáll, ezért a 2.27. Tétel szerint & = 0. □

58 2. Valós számok Második függelék: A rendezési axiómák következményei 59

Könnyű ellenőrizni, hogy az alábbi azonosságok mindegyike levezethető a testaxiómákból:

-a = ( - 1) ■ a, [ - a ) - b = - { a- b) ,

{ a - b ) - c = a — {b + c), l/(a/b) = h/a (a,Ö7 0),

a c

b ■ d

a ■ cb-d

Teljes indukcióval könnyű igazolni, hogy egy többtagú összeget vagy szorzatot akárhogy zárójelezve az összeg, illetve szorzat értéke ugyanaz lesz. így pl. (a + b) + + (c + á) = (a + (í) + c)) + d, vagy (a ■ b) ■ (c ■ d) = a ■ {(b ■ c) ■ d). Ezért a többtagú összegekben és szorzatokban elhagyhatjuk a zárójeleket; az ai + ... + a„, összegen, illetve az ai • ... ■ a„. szorzaton azt a közös számot értjük, amelyet úgy kapunk, hogy az összeget (szorzatot) tetszőleges módon zárójelezzük.

Második függelék: A rendezési axiómák következményei

2.31. Tétel. Ha a < b és c < d, akkor a + c < b + d. Ha a < b és c < d, akkor a + c < b + d.

Bizonyítás. Legyen a < b és c < d. A 12. axióma és a kommutativitás kétszeri felhasználásával azt kapjuk, hogy a + c < b + c = c + b < d + b = b + d. A második állítás ennek nyilvánvaló következménye. □

Ugyanígy láthatjuk be, hogy ha 0 < a < & és 0 < c < d, akkor a-c < b-d; illetve, ha 0 < a < ?) és 0 < c < á, akkor a-c < b-d. (A második álhtás bizonyításához a 2.30. Tételt is fel kell használnunk.)

2.32. Tétel. Ha a < b, akkor - a > -b .

Bizonyítás. A 12. axióma szerint —b = a + {—a — b) b-c. Ha a b-c.

Bizonyítás. Legyen a < & és c < 0. Az előző tétel szerint —c > 0, tehát a 13. axióma szerint —a - c = a - ( —c) b-c. A második állítás ennek egyszerű következménye, felhasználva a 2.30. Tételt. □

2.34 . Tétel. 1 > 0.

B iz o n y í t á s . A 10. axióma szerint elég belátni, hogy az 1 = 0 és 1 < 0 áUítások egyike sem igaz- A 0 és 1 számokról eleve feltettük, hogy különbözőek, tehát elég az 1 < 0 áüítást kizárni. Tegyük fel, hogy 1 < 0. Ekkor a 2.33. Tétel szerint 1 ■ 1 > 0 • 1, azaz 1 > 0. Ez azonban ellentmond a feltevésnek. így a feltevés hamis volt, tehát 1 > 0. □

2.35. Tétel. Ha a > 0, akkor l/a > 0. Ha 0 < a < b, akkor 1/n > 1/6. Ha a -f- 0, akkor a. > 0.

Bizonyítás. Legyen « > 0. Ha l/a < 0, akkor a 2.33. és 2.30. Tételek szerint 1 = (l/a) ■ a < 0 ■ a = 0, ami lehetetlen. Ezért csak l/a > 0 lehetséges a 10. axióma alapján.

Most tegyük fel, hogy 0 < a < ö. Ha l/a < l/ö, akkor a 13. axióma szerint b = (l/a) ■ a - b < (l/ö) - a - b = a, ami lehetetlen.

A harmadik állítás nyilvánvaló a 13. axiómából és a 2.33. Tételből. □

2.3(5. Tétel. A természetes számok pozitívak és páronként különbözőek.

Bizonyítás. A 2.34. Tétel szerint 0 < 1. A 12. axióma szerint ebből következik, hogy1 = 0 + 1 < 1 + 1 = 2. Ismét a 12. axiómát alkalmazva azt kapjuk, hogy 2 = 1 + 1 < < 2 + 1 = 3 stb. Végül is azt kapjuk, hogy 0 < 1 < 2 < . . . , amiből a tranzitivitás felhasználásával a tétel mindkét állítása következik. □

2.37. Tétel. Ha n természetes szám, akkor minden a valós számra

a + . . . + g = n - a.n híg

Bizonyítás. rt+. . . + a = l - a + ... + l - o = (1-K . ■ + 1) ■ a = n • a. □II. tag a tag » tag

2-38. Tétel. Nincsenek szomszédos valós .számok. Azaz tetszőleges a < b valós szánkókhoz létezik olyan c valós szám, amelyre a < c < b. Ilyen pl. a c = {a +.b)/2 Szám.

Bizonyítás. A 2.37. Tétel és a 12. axióma szerint 2 • a = a + a < a + ö. Ha ezt az Egyenlőtlenséget megszorozzuk az 1/2 számmal (amely pozitív a 2.35. és 2.36. Tételek szerint), akkor azt kapjuk, hogy a, < c. Ugyanígy bizonyítható, hogy c < ö. □

Számsorozatok megadása 61

3. VÉGTELEN SZÁMSOROZATOK (I.)

Számsorozatról akkor beszélünk, ha a sorozat tagjai valós számok, A következőkben „végtelen számsorozat” helyett gyakran csak „sorozat” -ot mondunk.

Egy végtelen számsorozat megadása különböző' módokon történhet. Néhány példa (mindegyik sorozatot az n G N'*’ indexekre értelmezzük):

3.1. Példa .

( 1) a„ = - :n

(2) a„ = ( - l ) n+ln

(3) a „ = ( - l ) ” :

(4) ttn = (n + 1) ;

(5) an = VVi + 1 — Vn;

(a\(6) an = -------:n

(7)

(8) a„ = n + - ;n

K ) =

(a,,) = ( - 1, 1, . . . , - 1, 1,. . . ) ;

(a „ ) = (4 ,9 ,16 ,...);

(a „ ) = ( V 2 - l , V 3 - V 2 , . . . ) ;

{an) = (2>2 ’ 3 ’ 4 ’ - ' - ) ’

(a „ ) = ( - l ,4 , - 9 ,1 6 , . . . ) ;

, , A 5 10 17 \

(a „) = (V n , V T 2, . . . ) ;(9) an = Vn + 10;

( 10) On = ^1 + - ^ ;

/ 1 \(11) an = ( 1 + — j ;

( 12) an = ( 1 + ;

(13) ai = -1 , ü2 = 2, an = (a „ - i + an-2)/2 (n > 3):

_ ( I ^ 1 1 1 \(a„.) - (^ -1-2, 2 , 4 , g> 16’ •••J;

(14) ai = 1, «2 = 3, an+i = ^ 0.1 ■ ■■■ ■ an (n > 2);

( a „ ) = (l,3 ,^/3 ,V 3 ,^/3 ,...);

(15) öl = 0, Ö71+1 = V2 + ön > !)•■

(q?i ) —

' ---------- ---------- '0, x/2 ,72 + V 2, + ^2 + n/2, ...V

TL, ha n páros, _1, ha n páratlan'(16) (a,.) = ( i , 2 , 1, 4, 1, 6, 1, 8,. . . ) ;

(17) an = az n-edik prímszám: (an) = (2, 3, 5, 7 ,11 ,...);

(18) an — y/ ‘2 végtelen tizedestört-kifejtésének n-edik tizedesjegye:

(a „ ) = (4 , l ,4 ,2 , l ,3 ,5 ,6 ,. . . ) .

Az első tizenkét sorozatnál a „ értéke minden n-re „explicit formulával” van megadva. A (13)-(15) sorozat tagjai ún. rekurzióva l vannak meghatározva. Ez azt jelenti, hogy megadjuk a sorozat első néhány, mondjuk k tagját, ha pedig n > k, akkor a sorozat n-edik tagja bizonyos n-nél kisebb indexű tagok segítségével van megadva. A (16)-(18) sorozatoknál a,i megadása nem „formulával” történt. Ez azonban semmiféle elvi megkülönböztetést nem jelent a sorozatok meghatározása tekintetében. Mint a későbbiekben is látjuk majd, az, hogy a „ (vagy általában egy függvény) értéke valamilyen formulával kifejezhető vagy sem, csak azon múlik, hogy a megfelelő értelmezés, hozzárendelés gyakran fordul-e elő, fontos-e vagy sem. Ha igen, akkor érdemes egy külön jelölést, illetve elnevezést bevezetni, ami által a hosszadalmas értelmezés rövid „formulává” válik. Ha nem, akkor megtartjuk az eredeti értelmezés részletes kiírását. így például a fenti (9) sorozatban az a pozitív szám, amelynek a négyzete n -|- 10. Azonban az itt szereplő hozzárendelés (a négyzetgyök) oly gyakori és fontos, hogy külön jelet vezettünk be számára, ezáltal vált megadása egyszerű formulával való értelmezéssé.

Feladatok

Adjunk zárt formulát a 3.1. Példa (13) sorozatának n-edik tagjára.

3.2. Legyen p{x) = - . . . - Ck, legyenek a i , . . . , a m &Ppolinom gyökei (nem feltétlenül az összes), és . ,/3m tetszőleges valós

62 3. Végtelen számsorozatok (I.) Konvergens és divergens számsorozatok 63

számok. Mutassuk meg, hogy az

a„ = /?i ■ a ” + ... + /?,„ • q " (n = 1, 2, . . . )

sorozat kielégíti az a „ = C ]a„_i + C2a„_2 + ... + rekurziót mindenn > k-va.

3.3. Adjunk zárt formulát a következő, rekurzióval definiált sorozatok n-edik tagjára.

(a) mq = 0, Ui = 1, U n = U n - i + U n - 2 ( n > 2);

(b) ao = 0, ai = 1, a„ = o,(_i + 2 • a„_2 (n > 2);

(c) űo = 0, fli = 1, an = 2 ■ a-n-i + an-2 { n > 2 ).

3.4. Legyen p{x) = - C2X^~‘ - . . . - c^, és legyen a a p polinom kétszere.s gyöke (ez azt jelenti, hogy p-böl kiemelhető az (x — a)^ tényező). Mutassuk meg, hogy az an = n ■ a '’ (n - 1 ,2 ,...) sorozat kielégíti aza,i — c ia ,i- i + oian-2 + ■.. + rekurziót minden n > k-va.

3.5. Adjunk zárt formulát az

ű() = 0, Ű1 = 0, Ű2 = (ín — O.n- 1 + O.n-2 ~ (hi-3 {n > 3)

rekurzióval megadott sorozat n-edik tagjára.

Konvergens és divergens számsorozatok

A mérés problémája gyakran vezet olyan mennyiségekhez, amelyeket csak közelítéssel - de tetszőleges pontossággal való közehtéssel - tudunk megadni, így például a kör kerületét (illetve területét) a beírt vagy körülírt szabályos n-szögek kerületével (illetve területével) értehnezzük. Eszerint a kör kerülete (vagy területe) az a szám, amelyet a beírt szabályos n-szögek kerülete (vagy területe) „tetszőleges pontossággal megközelít, ha n értékét minden határon túl növeljük” .

A fenti sorozatok közül néhány szintén rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy a sorozat tagjai „tartanak” valamely „határértékhez” . Az (1) sorozat tagjai 0-hoz „tartanak” abban az értelemben, hogy ha n nagy, 1/n értéke „nagyon kicsi” , azaz nagyon közel van 0-hoz. Pontosabban, 0 körül akármilyen kis intervallumot véve, ha n elég nagy, 1/n ezen intervallumon belül van (csak véges sok n-re lesz 1/n ezen intervallumon kívül).

A (2) sorozat tag,jai ugyancsak 0-hoz „tartanak” , a (6) sorozat tagjai pedig 1-hez „tartanak” a fenti értelemben.

A (3), (4), (7), (8), (9), (16), (17), (18) sorozatokhoz nem található olyan szám, amelyhez a sorozat tagjai a fenti értelemben „tartanak” .

A (10), (11) és (12) sorozatok esetében az o,j tagot definiáló hatvány alapja és kitevője növekvő n mellett különböző tendenciát mutat: az alap 1- hez közeledik, viszont a kitevő nagyon nagy lesz. Részletesebb vizsgálat nélkül e sorozatokról nem „látható” , hogy tartanak-e valamihez és ha igen, mihez. A későbbiekben fogjuk látni, hogy e három sorozat különbözőképpen viselkedik a határérték szempontjából.

Végül is a határérték pontos értelmezését az (1) sorozatnál megfogalmazott feltétel adja meg. Két definíciót adunk, amelyekről azonnal belátjuk, hogy ekvivalensek.

3.2. D efin íc ió . Az (oy,.) sorozat b-hez tart (vagy b a határértéke, illetve b a limesze), ha minden e > 0-ra csak véges sok tag esik a {b — e,b + e) intervallumon kívül. Más szóval, az (a,,,) sorozat határértéke b, ha minden e > 0-ra a sorozat tagjai véges sok kivételével kielégítik a b — e < a n 0-hoz létezik olyan (e-tól függő) tiq szám, amelyre teljesül, hogy

|fln — b\ < e minden n > no indexre. (3.1)

Lássuk be, hogy a két definíció ekvivalens! Tegyük fel először, hogy az (a „) sorozat b-hez tart a 3.2. Definíció szerint. Tekintsünk egy tetszőleges e > 0-t. Ekkor a {b—e, 6+ e ) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Ha ezen intervallumon kívül egyáltalán nincs tagja a sorozatnak, akkor (3.1) minden no-ra teljesül. Ha a {b — e,b -\- e) intervallumon kívül a sorozatnak van tagja, akkor ezen véges sok tag között van egy maximális indexű. Legyen ennek indexe no. Ekkor minden n > no-ra a {b — e,b + e) intervallumban van, vagyis |a„ — 6| < e, ha n > no. Ezzel beláttuk, hogy az (a^) sorozat kielégíti a 3.3. Definíciót.

Másodszor tegyük fel, hogy az {a,,) sorozat ö-hez tart a 3.3. Definíció szerint. Legyen £ > 0 adott. Ekkor van olyan no, hogy n > no esetén azI = {b — £,b e) intervallumban van. így csak az a; (i < no) tagok között lehetnek olyanok, amelyek nem esnek az I intervallumba. Ezek száma legfeljebb no, tehát véges. Következésképpen a sorozat kielégíti a 3.2. Definíciót.

64 3. Végtelen számsorozatok (I.)

3.4. Jelö lés. Ha az (a „ ) sorozat a h számhoz tart, akkor ezt úgy jelöljük, h o gy

lim a„ = b n -^cx )

vagy ün b, ha 71 —>■ oo (illetve röviden —> b).

Ha van olyan b valós szám, amelyre ^ lüiâ,,. = b, akkor azt mondjuk, hogy az

(ün) sorozat konvergens. Ha nincs ilyen szám, akkor az (a,i) sorozat d iv e r gens.

3.5. Pé ldák . 1. A 3.3. Definíció alapján könnyű ellenőrizni, hogy a 3.1,-beh

(1) sorozat valóban 0-hoz tart, azaz lim - = 0. Ha ui. e tetszőleges pozitívn—oo fiszám, akkor n > l/e esetén 1/n < e, és így |(1/ti) - 0| = 1/n < e. Tehát a definícióban szereplő no-at választhatjuk 1/e-nak. (A definíció nem követelte meg, hogy uq egész szám legyen. De világos, hogy ha egy no szám kielégíti a definíció követelményét, akkor minden no-nál nagyobb szám is, és ezek között- az arkhimédészi axióma alapján - van egész szám.)

2. Ugyanígy adódik, hogy a 3.1.-beli (2) sorozat is 0-hoz tart. Hasonlóan látható, hogy

,. n-l-1hm ------- = 1,

■ii-í-oo n

71 “h 1azaz a (6) sorozat is konvergens, és a határértéke 1. Valóban, ------- e

n

e (1 — e, 1 -1- e), ha - < e, vagyis csak azok az a„-nek vannak az (1 — e, 1 -|- e) n

intervallumon kívül, amelyekre — > e, azaz n < - .n e

3. Most belátjuk, hogy az (-5) sorozat 0-hoz tart, azaz

lim (^ n -h 1 — V n ) = 0.oo

(3.2)

Ugyanis

\/n -H 1 — v n — <-I- 1 -I- y ü 2 ^ n

így, ha n > — r, akkor l/ (2v ^ ) < e és an G {—e,e) .

3.6, M eg jegy zések . 1. Világos, hogy ha egy rio küszöbindex jó, azaz kielégíti a (3.1) feltételt, akkor minden ng-nál nagyobb szám is jó index. Általában az no küszöbindex megadásánál nem törekszünk a legkisebb küszöbindex meghatározására.

Konvergens és divergens számsorozatok 65

2. A 3.2, Definícióval kapcsolatban fontos megjegyezni a következőt. Ha az {an) végtelen számsorozatnak csak véges sok tagja van az (a —e, a-|-e) intervallumon kívül, akkor természetesen végtelen sok van az {a — e,a + e) intervallumon belül. Világos azonban, hogy ha az (an) sorozatra teljesül, hogy minden e > 0-ra végtelen sok tag van az (a — e,a + e) intervallumon helül, ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy csak véges sok van kívül, azaz ebből nem következik, hogy ^linô,i = a. Például a 3.1. Példa (3) sorozatánál minden e > ü-ra

(1 —e, 1 -t-e)-n belül végtelen sok tag van (és ugyanez teljesül ( — 1 — e, —1 -|- e)- ra is), de ha e < 2, akkor nem teljesül, hogy (1 - e, 1 -f- e)-on kívül csak véges sok van. Tehát a sorozatnak nem határértéke az 1, és könnyií belátni, hogy e sorozat divergens.

Jelöljük az (an) számsorozat tagjaiként előforduló számok összességét {a„}-nel. Vizsgáljuk meg (a „ ) és {a „) kapcsolatát! Tudjuk egyrészt, hogy egy számhalmaznak egy szám vagy eleme, vagy nem, és nincs értelme annak, hogy „többszörös elem” , míg egy sorozatban többször is előfordulhat ugyanaz a szám. így a 3.1. Példa (3) sorozatára {a „ } = {—1,1), tehát az (a „ ) végtelen sorozatra az {a?,) halmaz véges! (Ezt a különbséget is hangsúlyozzuk azzal a szóhasználattal, hogy a halmazoknak az elemeiről, míg a sorozatoknak a tagjairól beszélünk.) Tekintsük az alábbi két tulajdonságot:

I. Minden e > 0-ra (a,j)-nek véges sok tagja van az (a — e, a 4- e) intervallumon kívül.

II. Minden e > 0-ra {a,j}-nek véges sok eleme van az {a — e,a + e) intervallumon kívül.

Az I. tulajdonság azt jelenti, hogy ^lmâ,i = a. A II. tulajdonságról ez

nem mondható el, hiszen pl. a fenti példában (a„}-nek csak véges sok eleme van bármely {a — e,a + e) intervallumon kívül, és a sorozat mégis divergens. Világos tehát, hogy I.-ből következik II., de II.-bői nem következik I. Más szóval I. erősebb tulajdonság, mint II.

Feladatok

Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét, és adjunk meg adott £ > 0-hoz n()-at (nem feltétlenül a legkisebbet) a 3.3. Definíció értelmében.

(a) 1/Vn; (b ) (2n-h l )/ (n - f 1);

(c) (5 n - l )/ (7 n - f 2); {d) l/ {n - ^ n );

(e) ( l + ... + n)/ n ( f ) (V T -I- -s/2 4- . . . -I- ^/n) \

(g ) n ■ ^v/l + (l/ í^) - 1^; (h ) 'Jn- + 1 + \/n - 1 - 2n;

(i) V ;r + 2 - X/n - 2; (j)1

1-2 2-3 (n — 1) • n

3.7. Tekintsük a„ -> h definícióját: (Ve > 0)(3no)(Vn > no)(|a77. — 6| < £■)• A kvantorokat permutálva, ill. megváltoztatva a következő állításokat kapjuk;

(a) (Ve > 0) ( 3no)(37i > nü)(|a„ - 6| < e);

(b) (Ve > 0)(Vrio)(VTi > n„)(|an - b\ < e);

(c) (Ve > 0)(Vrí„)(3n > n„)(|a„ - b\< c);

(d) (3£ > 0)(Vno)(Vn > no)(la,i -b\ < e)\

(e) (3e > 0)(Vno)(3n > no)(|a„ - 6| < e);

(f ) (3e > 0)(3no)(Vn > 7i„)(|an - b\ < e);

(g) (3e > 0)(3rio)(3n > n())(|o„, - 6| < e);

(h) (3no)(Ve > 0)(Vn > n(,)(|a„ - b\ < e);

(i) (3no)(Ve > 0)(3n > nu)(|a„. - 6| < e)\

(j) (Vno)(3e > 0)(V7i > nn)(|a.„ - 6| < e);

(k) (Vno)(3e > 0)(3n > ri(,)(|a„ - b\ < e).

Ezek az állítások az (a „) sorozat milyen tulajdonságait fejezik ki? Adjunk meg olyan sorozatokat, amelyek rendelkeznek a megfelelő tulajdonságokkal.

3.8. Bizonyítandó, hogy egy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.

3.9. Adjunk példákat arra, hogy —» 0, de a,j/6„ nem tart 1-hez, illetve íín/^n 1, de — bn nem tart 0-hoz.

3.10. Bizonyítandó, hogy ha (a „ ) konvergens, akkor (|a,J) is konvergens. Igaz-e az állítás megfordítása?

3.11. Abból, hogy következik-e, hogy Abból, hogy következik-e, hogy a,i -> a?

3.12. Bizonyítsuk be, hogy ha a „ a > 0, akkor y/’aT, JTi.

3.13. Tekintsük az (a „ ) sorozathoz tartozó s„ = —- számtani köze-n

pék sorozatát. Bizonyítsuk be, ha lim an = a, akkor lini .v„ = a. Ad’ n-*oo n-voojunk meg olyan sorozatot, amelyre (s„) konvergens, de (fln) divergens. (M )

Végtelenhez tartó sorozatok 67

Végtelenhez tartó sorozatok

Könnyen belátható, hogy a 3.1. Példa (3), (4), (7), ( 8), (9), (16), (17) sorozatai divergensek. Megfigyelhető', hogy a (4), (8), (9), (17) sorozatok tagjai a divergencia mellett azt a határozott tendenciát mutatják, hogy „nagy” n-ekre az a„, értékek „nagyok” ; pontosabban, hogy tetszőleges (nagy) P számra csak véges sok olyan tagja van a sorozatnak, amely P-nél nem nagyobb. Az ilyen sorozatokat ,,oo-hez divergáló” -nak nevezzük. Ezt értelmezi pontosan a következő definíció. Mint a konvergens sorozatok esetében, most is két definíciót adunk, majd belátjuk, hogy ezek ekvivalensek.

3.7. D efin íc ió . A zt mondjuk, hogy az (a^) sorozat határértéke oo (vagy (a „ ) végtelenhez tart), ha tetszőleges P-re teljesül, hogy a (P , cxo) intervallumon kívül* a sorozatnak csak véges sok tagja van.

3.8. D e fin íc ió . A zt mondjuk, hogy az (a„.) sorozat határértéke oo (vagy (a „ ) végtelenhez tart), ha tetszőleges P-hez létezik olyan (P -tő l függő) no szám, amelyre teljesül, hogy

Un > P, ha n > rí(). (3.3)

A fenti definíciók ekvivalenciáját a következőképpen láthatjuk be. Ha a (P, oo) intervallumon kívül nincs tag, akkor (3.3) minden no-ra teljesül. Ha a (P, oo) intervallumon kívül van tag, de csak véges sok, akkor ezek indexei közül a legnagyobbat rio-lal jelölve, ezzel az indexszel (3.3) teljesül.

Fordítva, ha (3.3) teljesül, akkor a (P , oo) intervallumon kívül legfeljebb ^ (), vagyis csak véges sok tagja van a sorozatnak.

3.9. Jelö lés. Ha az (a,j) sorozat végtelenhez tart, akkor ezt úgy jelöljük, hogy= oo, vagy a,i —> oo, ha n oo, illetve röviden a,i oo. Ebben az

esetben azt mondjuk, hogy az (a „ ) sorozat vég te len h ez d ivergá l.

Hasonlóan értelmezzük a —oo-hez tartás fogalmát.

3.10. D e fin íc ió . A zt mondjuk, hogy az (a,i) sorozat határértéke —oo (vagy [o-n) mínusz végtelenhez tart), ha tetszőleges P-re teljesül, hogy a ( —oo ,P )

intervallumon kívül^ a sorozatnak csak véges sok tagja van.

tazaz a számegyenesen P -tö l balra

azaz a számegyenesen P - t ö l jobbra

Ezzel ekvivalens a következő.

3.11. D e fin íc ió . A zt mondjuk, hogy az (a,i) sorozat határértéke - o o (vagy (an) mínusz végtelenhez tart), ha tetszőleges P-hez létezik olyan (P -tő l függő) no szám, amelyre teljesül, hogy a„ no.

3.12. Jelö lés. Ha az (a „ ) sorozat mínusz végtelenhez tart, akkor ezt úgy jelöljük, hogy = -o o , vagy a„ ^ —oo, ha n -o o , illetve röviden

(ín —oo. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az (a„,) sorozat m ínusz vég te len h ez d ivergá l.

A 3.1. Példa sorozatai közül több is van, amelyik végtelenhez tart. Nyilvánvalóan ilyenek a (4) és ( 8) sorozatok, hiszen mindkettőre teljesül, hogy n > P esetén > P . A (9) sorozat szintén végtelenhez tart. Ha ugyanis

n > P^, akkor a,i > P .

Most belátjuk, hogy a (11) sorozat is végtelenhez tart. Legyen P adott. A Bernoulli-egyenlőtlenségböl

„2í 2 1( l + — I > l + n • — — 1 + n , \ n j n

tehát tetszőleges n > P-re

Feladatok

3.14. Adjunk meg adott P-hez no-at (nem feltétlenül a legkisebbet) a 3.8. Definíció értelmében a következő sorozatok esetében:

(a) (b) ( 1 -1- . . . -|-n)/n;

(d )(c) { V l + ^/2 + . . . + ■Jn)ln\

(e) 2'7 n,

lOn -I- 100’

3.15. Tekintsük a„ oo definícióját: (VP)(3rio)('^« > no){an > P ) . A kvantorokat permutálva, ill. megváltoztatva a következő állításokat kapjuk:(a) (VP)(3no)(3n > no )(a „ > F ); (b) (VP)(Vno)(Vn > no)(an > P );

A határérték egyértelműsége 69

(c) (VP)(Vno)(3n > no )(a „ > P ); (d) (3P )(Vno)(Vn > no)(an > P );

(e) (3P )(Vno)(3n > no)(a„ > P ); ( f ) (3P )(3n „)(V n > n „ )(a „ > P );(g ) (3P )(3no)(3n > n „ )(a „ > P ); (h) (3no)(VP)(Vn > n„)(a„, > P );

(i) (3no)(VP )(3n > no)(a„ > P ); (j) (Vno)(3P)(Vn > no)(a,,, > P );

(k) (Vno)(3P )(3n > n())(o„, > P ).

Ezek az állítások az (a „ ) sorozat milyen tulajdonságait fejezik ki? Adjunk meg olyan sorozatokat (amennyiben léteznek), amelyek rendelkeznek a megadott tulajdonságokkal.

3.16. Bizonyítandó, hogy egy végtelenhez tartó sorozatnak mindig van legkisebb tagja.

3.17. Határozzuk megri + l n -I- 1

— an határértékét minden a-ra.

3.18. Határozzuk meg x/n — n + 1 — an határértékét minden a-ra.

3.19. Határozzuk meg ^ {n + a) {n + b) — n határértékét minden a, 6-re.

3.20. Bizonyítsuk be, hogy ha — a,i —>■ c, ahol c > 0, akkor a,j oo.

3.21. Bizonyítsuk be, hogy ha a„ > 0 és a„+i/a,i -> c, ahol c > 1, akkor( I j l —^ OO.

/ I 1 \3.22. Bizonyítsuk be, hogy lim 1 H----- h ... H— I = oo. (* M )

n-»oo V 2 n/

A határérték egyértelműsége

Ha az (a,j) sorozat konvergens, vagy végtelenhez, vagy mínusz végtelenhez tart, akkor azt mondjuk, hogy (a„,)-nek van határértéke. Ahelyett, hogy egy sorozat konvergens, azt is mondhatjuk, hogy a sorozatn ak véges h a tárértéke van. Ha (a,i)-nek nincs határértéke, akkor az (a„.) sorozatot oszc illá lva d ivergensnek nevezzük. A sorozatok fenti osztályozását a következő táblázat illusztrálja.

6 e ffikonvergens

divergens

a„O-n

an

oo- o o

van határértéke

nincs hatérértéke oszcillálva divergens

A fenti osztályozás jogosságához be kell látnunk, hogy a középső oszlopban szereplő tulajdonságok kölcsönösen kizárják egymást. Ennél többet fogunk belátni: a 3.17. Tételben megmutatjuk, hogy egy sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Ehhez szükségünk lesz a következő két tételre.

3.13. T é te l. Ha az (a „ ) sorozat konvergens, akkor korlátos*

B izon y ítás . Legyen lin^a,, = b. Válasszuk a 3.2. Definíció szerinti jelöléssel

e-t 1-nek. Azt kapjuk, hogy az (a - 1, a + 1) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Ha nincs a + 1-nél nagyobb tag, akkor a + 1 felső korlát. Ha viszont van a + 1-nél nagyobb tag, akkor csak véges sok ilyen van. Ezek közül a legnagyobb az egész sorozat legnagyobb tagja, és mint ilyen, felső korlát is egyben. Az alulról korlátosság ugyanígy bizonyítható. □

3.14. M e g jeg y zé s . A tétel állítása nem megfordítható; a ( — 1)” sorozat korlátos, de nem konvergens.

3.15. T é te l. Ha az [a-a) sorozat végtelenhez tart, akkor alulról korlátos és felülről nem korlátos. Ha az (o,i) sorozat mínusz végtelenhez tart, akkor felülrő l korlátos és alulról nem korlátos.

B izon y ítás . Legyen lim a,, = oo. A 3.7. Definíciót összevetve a felülről72—>00

korlátosság definíciójával (2.13.), nyilvánvalóan adódik, hogy (a,i) nem lehet felülről korlátos.

Válasszuk a 3.7. Definíció szerinti jelöléssel P -t 0-nak. A (0,oo) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van. Ha az intervallumon kívül nincs tag, akkor 0 alsó korlát. Ha az intervallumon kívül vannak tagok, akkor csak véges sok ilyen van. Ezek közül a legkisebb az egész sorozat legkisebb tagja, és mint ilyen, alsó korlát is egyben. Ezzel beláttuk, hogy (a „ ) alulról korlátos. Az an -> —oo eset hasonlóan bizonyítható. □

3.16. M e g jeg y zé s . A tétel állításai nem megfordíthatóak. Világos, hogy a3.1. Példa (16) sorozata alulról korlátos (az 1 szám alsó korlátja), felülről nem korlátos, de mégsem tart végtelenhez.

3.17. T é teL Bármely sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet.

Ezen azt értjük, hogy az (a„ ] halmaz korlátos.

A iiatárérték egyértelmíisége 71

B izony ítás. A 3.13. és 3.15. tételek alapján elég belátni, hogy bármely konvergens sorozatnak legfeljebb egy határértéke lehet. Tegyük fel, hogy a,j b és 0,1 —>■ c egyaránt teljesülnek, ahol b és c különböző valós számok. Ekkor minden e > 0-ra a (ö — e, b + s) intervallumon kívül a sorozatnak csak véges sok tagja van, tehát (ö — e, b + e)-on belül végtelen sok tag van. Legyen e olyan kicsi, hogy a {b — e, b + e) és {c — e, c + e) intervallumoknak ne legyen közös pontja. (Ilyen pl. e = \c - b\/2.) Ekkor a (c - e, c 4- e) intervallumon kívül a sorozatnak végtelen sok tagja van, ami lehetetlen, hiszen így c nem lehet az a . sorozat határértéke. □

Feladatok

3.23. Legyen

S az összes sorozatok halmaza;C a konvergens sorozatok halmaza;D a divergens sorozatok halmaza;D qq a oo-hez divergáló sorozatok halmaza;D -oo a -oo-hez divergáló sorozatok halmaza;O az oszcillálva divergens sorozatok halmaza;K a korlátos sorozatok halmaza.

Bizonyítsuk be az alábbi állításokat: (a) S = CKJD.

(c) C d K .(b ) D — D qq U D —qo U O.

(d ) K C \ D o o ^ & -

3.24. Adjunk példákat az (a „ ) sorozat összes lehetséges viselkedésére (konvergens, végtelenhez tart, mínusz végtelenhez tart, oszcillálva divergens), miközben a „+ i — a„ ^ 0 is teljesül.

3.25. Adjunk példákat az (a,i) sorozat összes lehetséges viselkedésére (konvergens, végtelenhez tart, mínusz végtelenhez tart, oszcillálva divergens), miközben an+i/on -> 1 is teljesül.

3'26. Adjunk példát olyan (a „ ) sorozatra, amely

(a) konvergens, (b) végtelenhez tart, (c) mínusz végtelenhez tart,

miközben a„ < —— teljesül minden n > 1-re.

•27. Bizonyítsuk be, hogy ha oo és (ö„) korlátos, akkor (a„-|-&„) —>■ oo.

3.28. Igaz-e, hogy ha (űn) oszcillálva divergens, nem korlátos és (6„ ) korlátos, akkor (a „ + ö„) oszcillálva divergens és nem korlátos?

3.29. Legyen (a,i) a 3.1. Példa (18) sorozata, tehát legyen a„ a V2 végtelen tizedestört-kifejtésének n-edik tizedesjegye. Bizonyítsuk be, hogy az (a „ ) sorozat oszcillálva divergens. (Ö )

Néhány konkrét sorozat határértéke

3.18. T é te l, (i) Minden rögzített p egész számra

lim = 11-^00

(ii) Ha p > 0, akkor lim = oo. ^ ’ n-^oo

00, h ap > 0,1, hap = 0,0, hap < G.

(3.4)

B izon y ítás , (i) Legyen először p > 0. Tetszőleges P > 0 számra teljesül, hogy ha n > P , akkor > n > P . így —> oo.

Ha p = 0, akkor = 1 minden n-re, tehát ^ 1. Végül, ha p negatív egész és £ > 0, akkor n > l/e esetén 0 < < 1/n < e, ami bizonyítja, hogy nP 0.

(ii) Ha n > PP, akkor > P , tehát í/n oo. □

3.19. T é te l. Minden rögzített a valós számra

lim a” =n -* o o

00, ha a > 1,1, ha a = 1 ,0, ha |a| < 1.

(3.5)

Ha a < - 1, akkor (a " ) oszcillálva divergens.

B izon y ítás . Ha a > 1, akkor a Bernoulli-egyenlőtlenség szerint

a” = ( l + ( a - l ) ) ” > l + n - ( a - l )

minden n-re. így tetszőleges P valós számra, ha n > (P — l)/ (a — 1), akkor a” > P , tehát a” -> oo.

Ha a = 1, akkor a” = 1 minden n-re, és így a” — 1.

Néhány konkrét sorozat határértéke 73

Ha |a| < 1, akkor l/|a| > 1. Ha e > 0 adott, akkor a már bizonyított állítás szerint van olyan no, hogy n > no-ra

1 . - .>

|a|in/ 1 1

= Ir)tehát la” ! = \a\ < e. Ezzel beláttuk, hogy ekkor a” -> 0.

Végül, ha a < —1, akkor páros n-re a " > 1, míg páratlan n-re a” < —1. Világos, hogy egy ilyen tulajdonságú sorozatnak nem lehet sem véges, sem végtelen határértéke. □

3.20. T é te l, (i) Minden rögzített a pozitív valós számra ^ = 1-

(ii) lim I !/ n = l . ’ n^oo

B izonyítás. Legyen a > 0 rögzített. Ha 0 < e < 1, akkor a 3.19. Tétel szerint (1 -I- e)'* ^ oo és (1 — e )” 0. így van ni és ri2 úgy, hogy n > ni esetén (1 -I- e )” > a, és n > n2 esetén (1 - e )” < a. Ha tehát n > m ax(n i,n2), akkor (1 — e )” < a < (1 -t- e )" , azaz l - e < y a < l - t - £ . Ezzel beláttuk, hogy ha 0 < e < 1, akkor van olyan no, hogy n > no esetén 1 í/a — 1| < e. Ebből következik, hogy tetszőleges pozitív e-hoz találunk ilyen no-at, hiszen ha e > 1, akkor az 1-hez tartozó no e-hoz is megfelel. Ezzel beláttuk (i)-et.

(ii) Legyen 0 < e < 1 adott. Ha n > 4/e^ páros, akkor a Bernoulli-egyen-

lőtlenség szerint (1 -h > ne/2, tehát

2

> n.(1 + e )” >

Ha n > 16/e^ páratlan, akkor (1 > (n - 1)e:/2, amiből

(1 -t-e)" > (1 + £ )" >'n — 1 2 n 1

> -------£ > —e2 4

> n.

Ezzel beláttuk, hogy n > 16/e^ esetén ’Vn < 1 4- e. □

4. VÉGTELEN SZÁMSOROZATOK (II.)

Egy sorozat határértékének meghatározása általában nehéz feladat. Néha még annak az eldöntése is fogas kérdés, hogy a sorozatnak van-e határértéke vagy sem. Tekintsük a 3.1. Példa (18) sorozatát, vagyis legyen a„ a végtelen tizedestört-kifejtésének n-edik tizedesjegye. Tudjuk, hogy (a„)-nek nincs határértéke. De van-e határértéke & Cn = í/án sorozatnak? Először is jegyezzük meg, hogy \/2 irracionalitása miatt a„ > 1, és így c„ > 1 végtelen sok n-ie. Mármost, ha az a „ tagok között van végtelen sok nulla, akkor c„ = 0 is végtelen sok n-re teljesül, tehát a (c „) sorozat divergens. Ha viszont az tagok között csak véges sok nulla van, azaz ^ 0 minden n > no-ra, akkor

1 < < 9, és így 1 < c,i < ^ is teljesül, ha n > no. A 3.20. Tétel sze

rint ^9 ^ 1. Tehát adott £ > 0-hoz van ni úgy, hogy ^ 9 < 1 + e minden n > ni-re. Ha tehát n > m ax(no,ni), akkor 1 < Cn < 1 + £, és így Cn 1.

Ezzel beláttuk, hogy a (cn) sorozatnak akkor és csak akkor van határértéke, ha az a,i tagok között nincs végtelen sok nulla. Azonban az a kérdés,

hogy V 2 végtelen tizedestört-kifejtésében van-e végtelen sok nulla vagy sem, a számelmélet nevezetes megoldatlan problémája. így a jelenlegi tudásunk szerint nem tudjuk eldönteni, hogy a (c „) sorozatnak van-e limesze vagy sem.

A fenti példa azonban szerencsére nem tipikus; a gyakorlatban előforduló sorozatok határértékét legtöbbször meg tudjuk határozni. Az esetek nagy részében azt a módszert alkalmazzuk, hogy az adott sorozatot olyan egysze- rííbb szerkezetű sorozatokból építjük fel, amelyeknek már ismerjük a határértékét. A megoldáshoz persze tudnunk kell, hogy a sorozatok képzése során hogyan következtethetünk az új sorozatok konvergenciaviselkedésére, illetve határértékére. A következőkben ezekről a kérdésekről lesz szó.

A határérték alaptulajdonságai

4 .1. D efin íc ió . Az (a i, ü2, . . . , a „ , . . . ) sorozat részsorozatainak nevezzük az

(Oni, 0(121 ■ ■ ■ 1 ■ ■ ■)

alakú sorozatokat, ahol ni < n-2 < .. . < n/t < ... pozitív egészek.

A határérték alaptulajdonságai 75

Egy részsorozat tehát úgy képződik, hogy az eredeti sorozatból elhagyunk néhány (esetleg végtelen sok) tagot, végtelen sokat megtartva.

4.2. T é te l. Ha az (a „ ) sorozatnak van határértéke, akkor minden {an )részsorozatának is van, és lim a,j, — lim a,,.

k - y o o n -^0 0

B izony ítás. Tegyük fel először, hogy (a,J konvergens, és legyen lim o,, = hn—>00

véges határérték. Ez azt jelenti, hogy minden pozitív e-ra {b — £ ,b + e )-on kívüla sorozatnak csak véges sok tagja van. Ekkor azonban nyilvánvalóan ugyanezteljesül a részsorozat tagjaira is, ami éppen lim a„,. = b fennállását jelenti.

A:—>00

Hasonlóan látható be az állítás, ha (a „ ) végtelenhez vagy mínusz végtelenhez tart. □

Megjegyzendő, hogy egy részsorozat határértékének létezéséből nem lehet következtetni az eredeti sorozat határértékének létezésére, amint azt a 3.1. Példa (3) és (16) sorozatai mutatják. Ha azonban már tudjuk valahonnan, hogy (a„)-nek van határértéke, akkor (a 4.2. Tétel szerint) bármely részsorozat határértéke ezzel meg kell, hogy egyezzen.

4.3. D e fin íc ió . Azt mondjuk, hogy az (a,i) és (6„) sorozat konvergenciaviselkedése azonos, ha teljesül, hogy (a„)-nek akkor és csak akkor van határértéke, ha (ö„)-nek is van, és ekkor (a „ ) és (ö „) határértékei megegyeznek.

Sorozatok határértékének meghatározásához hasznos megvizsgálni, hogy egy sorozat milyen megváltoztatásai mellett lesz az új sorozat konvergenciaviselkedése azonos az eredeti sorozat konvergenciaviselkedésével.

Az alábbiakban felsorolunk néhány ilyen változtatást:

I. A sorozatot „átrendezzük” , azaz tagjainak sorrendjét megváltoztatjuk. Az átrendezett sorozat tehát ugyanazokat a számokat tartalmazza, méghozzá mindegyiket ugyanannyiszor felsorolva, mint az eredeti sorozat. (A formális definíció a következő: az (a „ i , 0 ,2, • • •) sorozat az (a i,a 2 )--0 sorozat átrendezett sorozata, ha az f { k ) = n/. {k e N+ ) függvény N''‘ -nak egy permutációja, ami azt jelenti, hogy / az N"*' halmazt kölcsönösen egyér- telmííen önmagára képezi.)

II. A sorozat bizonyos tagjait (akár végtelen sokat) véges sokszor megismételjük.

III. A sorozathoz véges sok tagot hozzáveszünk.

IV. A sorozat tagjai közül véges sokat elhagyunk.

A fenti változtatásoknál természetesen a tagok indexe megváltozhat.

76 4. Végtelen számsorozatok (II.)

4.4. Pé lda . Tekintsük a következő sorozatokat:

(1) a„ = TI;

( 2) a„ = n + 2 :

(3) a,i = n — 2 ;

. k { k - l ) k { k + l )(4) a,i = k, h a -----------< n <

i^n) — ( 1) 2, • ■ •, n , . . .);

(a „ ) = (3 ,4 ,5 , . . . ) ;

(a „ ) = ( - 1, 0, 1, . . . ) ;

(5) a„ = 2n - 1 :

(6)

2(a „ ) = (l,2 ,2 ,3 ,3 ,3 ,4 ,4 ,4 ,4 ,... ,fc ,.. .);

(an) = (1,3,5, 7 ... );

ha n = 2A: + 1, . ha n = 2k '

u + 1, ha n = 2A: + 1, , n — 1, \\an — 2k '

(a „ ) = (0 , l ,ü ,2 ,0 ,3 , . . . ) ;

(a,J = (2 , l , 4 ,3 ,6 ,5 , . . . ) .

A fenti sorozatok esetében az ( 1) sorozatból

(2)-t IV. típusú változtatással,

(3)-at III. típusú változtatással,

(4)-et II. típusú változtatással,

(7)-et I. típusú változtatással

nyerhetjük. Másrészt (6) nem nyerhető (l)-b ö l az I.-IV . típusú változtatásokkal, hiszen (6)-ban a tagok között csak egy új szám van, a 0, de ez végtelen sokszor szerepel. (Ugyan (4)-ben is végtelen sok új tag szerepel, de ezeketIl.-vel nyerhetjük.)

4.5. T é te l. A z [an] és (bn) sorozatok konvergendaviselkedése azonos, ha egymásból az I - IV . típusú változtatások véges sokszori alkalmazásával nyerhetők.

B izonyítás. Az a tulajdonság, hogy az elemek közül véges vagy végtelen sok van egy intervallumon kívül, az I-IV , típusú változtatások egyikénél sem változik. Ebből a 3.2. és 3.7. Definíció alapján a tétel állítása nyilvánvaló. □

Feladatok

4.1. Bizonyítsuk be, hogy ha (an) minden részsorozatának van &-hez tartó részsorozata, akkor b.

Határérték és egyenlőtlenségek 77

4.2. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a „ ) sorozatnak nincs végtelenhez tartó részsorozata, akkor (a „ ) felülről korlátos.

4.3. Bizonyítsuk be, hogy ha (a2n), (a-2n+i), (a3„ ) konvergensek, akkor a„ is az.

4.4. Lehetséges-e, hogy (a„)-nek nincs konvergens részsorozata, de (|aril) konvergens?

4.5. Adjunk példát arra, hogy (a,i) divergens, de minden k > 1 egészre az (akn) részsorozat konvergens. (Ö )

Határérték és egyenlőtlenségek

Mindenekelőtt bevezetünk egy elnevezést. Legyen (A „ ) állítások egy sorozata. Azt mondjuk, hogy An minden elég nagy n-re teljesül, ha van olyan no, hogy An igaz minden n > no-ra. így pl. mondhatjuk, hogy 2" > minden elég nagy n-re, hiszen ez az egyenlőtlenség minden n > 4-re fennáll.

4.6. T é te l. Ha lim = oo és bn > On minden elég nagy n-re, akkorOO

lim bn = oo. Ha lim = —oo és b,i < an minden elég nagy n-re, akkor^00 TI— 00

lim bn = —oo. n-*oo

B izony ítás. Tegyük fel, hogy > a„, ha n > no. Ha > -P minden n > ni-re, akkor > a,j > P minden n > max(no,ni)-re teljesülni fog. Ebből világos, hogy ^^lm^a„, = oo esetén ^Im^bn = oo is teljesül. A második

állítás ugyanígy következik. □

A következő tétel közkeletű neve rendőr szabály.*

4.7. T é te l. Haan < b„ < Cn minden elég nagy n-re és l i^ O n = = a,

akkor lim a.n—oo

Bizonyítás. Az előző tétel alapján elég aura az esetre szorítkozni, amikor a véges. Tegyük fel, hogy a,j < < Cn minden n > no-ra. A feltételekből

Az elnevezés onnan ered, hogy lia két rendőr (a„ és c„) közrefog egy honpolgárt (6„), és

ha a két rendőr az őrszoba felé tart, akkor szükségképpen a honpolgár is az őrszoba felé tart.

következik, hogy minden e > 0-hoz létezik olyan n\ és n2, hogy

a — e < ün < a + e, ha n > rii

és

a — £ < Cn < a + e, ha n > 712-

így n > max(no,rj.i,n2) esetén

a ~ e < ün < bn < Cji < a + e,

tehát bn ^ a. □

A tételt gyakran használjuk az = 0 speciális esetben: ha 0 < < Cnés lim Cn = 0, akkor lim = 0.

r .-> o o n —> 0 0

A következő tételek azt állítják, hogy a limeszek közötti szigorú egyenlőtlenség öröklődik a sorozatok elég nagy indexű tagjaira; a tagok közötti nem szigorú egyenlőtlenség pedig öröklődik a limeszekre.

4.8. T é te l. Legyenek (an) és (bn) konvergens sorozatok, és legyen lim (in = a,n — *’ 00

b,i = b. Ha a < b, akkor ni, és > ö — e, ha n > ri2. Legyen no = max(ni, n-i). Ha TI > no, akkor mindkét egyenlőtlenség teljesül, azaz a,i < o-f-e = 6 —e < &„. □

4.9. M eg jeg y zé s . Jegyezzük meg, hogy a gyengébb a bn

n^oo n—oominden n-re.

4.10. T é te l. Legyenek (a,, ) és (bn) konvergens sorozatok, és legyen lim an=a,

= b. Ha a,i < bn teljesül minden elég nagy n-re, akkor a < b.

B izonyítás. Tegyük fel, hogy a > b. A 4.8. Tétel szerint ebből következik, hogy ün > bn minden elég nagy n-re, ami ellentmond a feltételnek. □

4.11. M e g jeg y zé s . Jegyezzük meg, hogy még az < bn feltételből sem következtethetünk a < b-ie. Ha pl. a„ = -1/n és bn — l/^i akkor a „ < bnminden n-re, de lim fin = 0 = lim 6,,.n-^00 n-*oo

Határérték és műveletek 79

F e la d a to k

4.6. Bizonyítsuk be, hogy ha ^ a > 1, akkor (On)” 00.

4.7. Bizonyítsuk be, hogy ha an a, ahol (al < 1, akkor {ünY^

4.8. Bizonyítsuk be, hogy ha ün a > 0, akkor iya,i —*■ 1.

4.9. hm ^ 2” — n =?71—>-00

4.10. Bizonyítsuk be, hogy ha o i , . . . , > 0, akkor

lim ifaV -1-... -I- = max a;. „^00 V I k ( M )

Határérték és műveletek

Az (a,j) és (b-n) sorozatok összegsorozatának nevezzük az ( 0,1 -I- 6„ ) sorozatot. A következő tétel azt állítja, hogy a legtöbb esetben az összegképzés és a limeszképzés felcserélhető műveletek, tehát az összeg hmesze egyenlő a hmeszek összegével.

4.12. T é te l, (i) Ha az (an) és {bn) sorozatok konvergensek és an a, bn ->• b, akkor az (ün + fen) sorozat is konvergens és a„ + bn ^ a + b.

(ii) Ha az {an) sorozat konvergens, an a és bn —>■ 00, akkor an + bn 00.

(iii) Ha az (ün) sorozat konvergens, a n ^ a és h n ^ — 00, akkor an+bn-^ — 00.

(iv) Ha Un —> 00 és bn —>• 00, akkor a,i 4- bn 00.

(v) Ha ün ->■ —00 és bn - 00, akkor Un + bn —00.

B izonyítás, (i) Érezhető, hogy ha a,i közel van a-hoz és bn közel van 6-hez, akkor an + bn közel van a -H 6-hez. Lényegében ezt a tényt kell a határérték pontos értelmezését felhasználva kimutatni.

Ha ün a és bn b, akkor minden e > 0-hoz létezik n\ és U2, amelyekre teljesül, hogy |a„ — a| < e/2, ha n > ni és \bn — 6| < e/2, ha n > n2- Ebből következik, a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva, hogy

\{an + bn) - {a + b)\ < |a, - a| -f \bn - b\ < e,

ha n > m ax (n i,n2).

Mivel e tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy ün + bn ^ a + b.

(ii) Ha (a,i) konvergens, akkor a 3.13. Tétel szerint korlátos. Ez azt jelenti, hogy alkalmas K > 0-val |a„,| < K minden n-re. Legyen P tetszőleges. Mivel bn oo, ezért van olyan no, hogy n > no esetén bn > P + K . Ekkor Un + bn > ( - K ) + ( P + K ) = P minden n > no-ra. Mivel P tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy + bn oo. A (iii) állítás ugyanígy bizonyítható.

(iv) Tegyük fel, hogy a„ ->■ oo és ^ oo. Legyen P tetszőleges. Ekkor van olyan n\ és U2, hogy n > n\ esetén an > P/2, és n > U2 esetén bn > P/2. Ha n > m ax(n i,n2), akkor a„ + > (P/2) + (P/2) = P . Mivel P tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy ün + bn -»■ oo. Az (v ) állítás ugyanígy bizonyítható. □

Ha (a „ ) konvergens és a,i —> a, akkor a 4.12. Tétel (i) állítását a konstans bn = —o. sorozatra alkalmazva azt kapjuk, hogy a„, — a —>■ 0. Megfordítva, ha ün - a —>■ 0, akkor ün = {an — a) + o -> a. Ezzel beláttuk a következőt.

4.13. K övetkezm én y . Egy (a „ ) sorozat akkor és csak akkor tart a véges a határértékhez, ha an — a —>• 0.

A 4.12. Tétel állításai az alál^bi táblázatban foglalhatók össze.lim bn

l i m an

b 00 -00

a a b 00 -00

00 00 00 ?

—00 —00 ? — 00

A táblázatban megjelenő kérdőjelek azt jelentik, hogy lim a^ és hm 6,i megadott értékei nem határozzák meg lim (a„ + bn) értékét. Konkrétan, ha lim a„ = oo és lim^n = - o o (vagy fordítva), akkor pusztán ezt az információt felhasználva nem mondhatjuk meg, hogy lim (a„ + bn) mivel egyenlő. Lássunk néhány példát!

ün = n + c, bn = —n, an +bn = c eM.

an -- 2n, bn = —n, a„ + &„ = n —> oo

a,i = n, bn = —2n, an + bn = —n ^ —oo

an = n + ( —1)” , bn = —n, a,i + = (—1)”' oszcillálva divergens.

Látható, hogy (an + bn) lehet konvergens, tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva divergens is. Ezt úgy fejezzük ki, hogy a lim (a„ + bn) határérték a lima,i = oo és lim ö„ = - o o esetben kritikus. Röviden azt is mondhatjuk, hogy a oo — oo típusú határérték kritikus.

Most rátérünk a szorzat határértékére. Az (on) és (í»n) sorozatok szorzatsoroza tának nevezzük az (a „ • 6„ ) sorozatot.


4.14. T é te l.

(i) Ha az (an) és (bn) sorozatok konvergensek és an a, bn b, akkor az (o-n • bn) sorozat is konvergens és a,i - bn —* a ■ b.

(ii) Ha az (a,i) sorozat konvergens, an ->■ a > 0, és bn ±oo, akkor an ■ b„ —»■ ±oo.

(iii) Ha az (an) sorozat konvergens, an a < 0, és bn ±oo , akkorO-n ■ b,i —* ^OO.

(iv) Ha an ±c>o és bn —> ± 00, akkor an ■ bn 00.

(v) Ha an -> ±00 és bn ^oo, akkor an ■ bn —00.

4.15. Lem m a. Ha an 0 és bn korlátos, akkor ün ■ bn 0 .

B izony ítás. Mivel {bn) korlátos, ezért van olyan K > 0, hogy \bn\ £ K minden n-re. Legyen £ > 0 adott. Az an 0 feltételből következik, hogy |a,,| < e/K minden elég nagy n-re. Ezért |a„ • &„| < { e/K) ■ K = e minden elég nagy n-re. Mivel e tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy an ■ bn ^ 0. □

A 4.14. T é te l b izony ítása , (i) Mivel a feltétel szerint (a „ ) és (bn) konvergensek, így a 3.13. Tétel alapján mindketten korlátosak. Ha an ^ a és bn b, akkor a 4.13. Következmény szerint a„ — a —>■ 0 és 6„ — 6 0. Mármost

an ■ bn — a ■ b = {an - a) ■ bn + a ■ (bn - b). (4.1)

A 4.15. Lemma szerint a jobb oldal mindkét tagja 0-hoz tart, tehát a 4.12. Tétel szerint a jobb oldal határértéke 0. így a„ • - a • ö 0, tehát a 4.13. Következmény alapján a „ • ->■ a • b.

(ii) Tegyük fel, hogy a„ ^ a > 0, és 00. Legyen P tetszőlegespozitív szám. Mivel a/2 < a, ezért van olyan ni, hogy > a/2 minden n > n]-re. A bn —>• 00 feltétel szerint van olyan n2, hogy bn > 2P/a minden n > n9-re. Ha n > m ax(n i,n2), akkor tehát > {a/2) ■ {2P/a) = P . MivelP tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy a„ ■ -> 00. Hasonlóan látható, hogy ha ün a > 0 és 6,1 —>■ —00, akkor an ■ bn —>■ —00. A (iii) állítás ugyanígyb i z o n y í t h a t ó .

(iv ) Ha an —>• 00 és bn 00, akkor minden P > 0-hoz van m ’ és n-2 ’ igy, hogy minden n > ni-re an > P és minden n > n2-re > 1. Ha n >> m ax(n i,n2), akkor tehát a,,. ■ &„ > P ■ 1 = P . Hasonlóan látható, hogy ha a„ -0 0 és 6„. -> —00, akkor an ■ bn 00. Az (v ) állítás ugyanígy bizonyítható. □

82 4. Végtelen számsorozatok (II.) Határérték és műveletek 83

A 4.14. Tétel állításai az alábbi táblázatban foglalhatók össze.

lini bn

lim a,i

6 > 0 0 6 < 0 oo —ooa > 0 a ■ 6 0 a ■ b oo —oo

0 0 0 0 ? ■7

a < 0 a ■ 6 0 a ■ b —oo oooo oo •? —oo oo —oo

—oo —oo ? oo —oo oo

A kérdőjelek ismét a kritikus határértékeket jelzik. Amint az alábbi példák mutatják, lim (a„-ö„) kritikus, ha a„ -> 0 és oo. (Röviden; a 0-cx) típusú határérték kritikus.)

(•«n = n

11

n

• I n —( - 1)“

n

bn — n, ün ■ bn = C ^ C € M

bfi ^ Tt , ^n ' 71 ^ ^

bn = n^, fin ■ bn = -T I —OO

bn = n, a „ • bn = ( — 1)” oszcillálva divergens.

Hasonló példák mutatják, hogy a 0 • ( —oo) típusú határérték is kritikus.

Most rátérünk a hányados határértékének meghatározására. Tegyük fel, hogy bn 0 minden n-re. Az (a,i) és {bn) sorozatok hányadossorozatának nevezzük az {ün/bn) sorozatot.

4.16. T é te l. Tegyük fel, hogy az (an) és (bn) sorozatoknak van határértéke, és hogy bn 0 minden n-re. Ekkor az (an/bn) sorozat határértékét az alábbi táblázat adja meg.

lim o„

6 > 0lim

0íbn

b < 0 oo -o o

a > 0 a/b ? a/b 0 0

0 0 ? Ü 0 0

a < 0 a/b ? a/b 0 0

oo oo ■? — o o ■? ?

—oo —oo ? oo ? ?

4.17. L em m a. Ha {bn) konvergens és bn b ^ 0, akkor l/bn l/b.

< £, ha nB iz o n y ítá s . Legyen e > 0 adott; be kell látnunk, hogy

elég nagy. Mivel1 1 b - b n

b b - b n 'e zé rt azt kell megmutatni, hogy ha n nagy, akkor b — bn nagyon kicsi, míg h-bn nem nagyon kicsi. A 6,,, ->• b feltétel szerint létezik olyan nj, hogy n > ni esetén |6n — ö| < eb^f2. Mivel \b\/2 > 0, ezért találhatunk egy olyan ri2-t, amelyre |6„ - b\ < \b\/2 , ha n > U2. így n > ri-2-re |ö„| > \b\/2 , hiszen ö > 0 esetén b„ > b - { b / 2 ) = 6/2, 6 < 0 esetén pedig &„ < b+{\b\/2 ) = b/2 = -\b\/2 . Ha tehát n > m ax (n i,n2), akkor

eöV 21 16 - bn

\b ■ b n 161/2= c.

Mivel e tetszőleges volt, ez bizonyítja, hogy l/ 6„ ^ 1/6. □

4.18. Lem m a. Ha |6„| ^ oo, akkor l/bn 0.

B izonyítás. Legyen e > 0 adott. Mivel |6„| -> oo, ezért van olyan no, hogy n > ri()-ra |6„| > l/e. Ekkor n > no esetén |1/6„| = 1/|6„| < e, tehát V^n -> 0. □

4.19. K övetkezm én y . Ha bn -*■ oo vagy b,i —oo, akkor 1/6,j 0.

B izonyítás. Könnyű ellenőrizni, hogy ha 6„ oo vagy bn —oo, akkor |6u| -»• oo. □

A 4.16. T é te l b izonyítása . Tegyük fel először, hogy a „ ^ a e ® ésa ■

1

bn —> 6 € R, 6 7 0. A 4.14. Tétel és a 4.17. Lennna szerint ekkor

O'll- j — — ( í n • —

b n b n

1 _ a

^ b ~ b'

Ha (a„) konvergens és 6„ -> oo vagy bn —>■ —oo, akkor a 4.14. Tétel és a 4-19. Következmény szerint

“ 'I 1 rv n— = a,i -------- > a • 0 = 0.b n b n

84 4. Végtelen számsorozatok (II.) Határérték és műveletek 85

Most tegyük fel, hogy -> oo és 6 € 1, b > 0. Ekkor a 4.14. Tétel és a 4.17. Lemma szerint

ün 1~ r - 0-n- -----> OO,bn bji

hiszen l/ö„ ^ 1/b > 0. Ugyanígy látható, hogy a,n oo és bn. ^ b < 0 esetén ün/bn —oű, a-n —oo és Ön -> & > 0 esetén a„/6„ ->• —oo, illetve, hogy a„ —> —oo és bn ^ b < 0 esetén a^/bn oo. Ezzel a táblázat mindegyik (kérdőjeltől különböző) bejegyzését igazoltuk. □

A 4.16. Tétel táblázatában a kérdőjelek ismét a kritikus határértékeket jelzik. Itt azonban a kritikusság két szintjét kell megkülönböztetnünk. Amint az alábbi példák mutatják, a 0/0 típusú határérték kritikus, méghozzá ugyanabban az értelemben, ahogy pl. a 0 • oo típusú határérték is kritikus,

c 1CLn — 5 bfi = , ünfbn = C C £ M

n n

Végül tekintsük azt az esetet, amikor a,i oo és bn oo. Az a,i = bn = n és fln = bn = n példák mutatják, hogy lehet konvergerrs, és tarthatvégtelenhez is. Most legyen

a = I páros,“ I n, ha n páratlan

és hn — n. Világos, hogy o,j ->• oo, és an/bn megegyezik a 3.1. Példa (16) sorozatával, amely oszcillálva divergens. Olyan példát azonban nem találhatunk, ahol an/bn mínusz végtelenhez tartana. Ha ui. a„ ->• oo és bn oo, akkor a„ és bn mindketten pozitívak minden elég nagy n-re. így Un/bn is pozitív minden elég nagy n-re, tehát nem tarthat míimsz végtelenhez. Hasonló megjegyzés vonatkozik a többi három olyan esetre, ahol (a „ ) és {bn) végtelenhez vagy mínusz végtelenhez tart.

Feladatok

n

bn = — , an/b-n = n - > o on-

K = — , anjbn ^ - n ^ -o o n~

( - 1) " 1a„ = -------- , bn = —, cLnlbn — ( —1 )" Oszcillálva divergens.

n n

Láthatjuk, hogy ha a,j —>■ 0 és bn 0, akkor (an/bn) lehet konvergens, tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva divergens is.

Más a helyzet a 4.16. Tétel táblázatának többi kérdőjelével. Nézzük azt az esetet, amikor a,i a > 0 és bn 0. Az a„ = 1, bn = l/n] an = 1. bn = —1/n és ün = 1, bn = {—l)'^/n példák azt mutatják, hogy ün/bn tarthat végtelenhez vagy mínusz végtelenhez, de lehet oszcillálva divergens is. Olyan példát azonban nem találhatunk, ahol ün/bn konvergens lenne. Ez azonnal következik az alábbi tételből.

4.20. T é te l, (i) Tegyük fel, hogy bn ^ 0 és 7 0 minden n-re. Ekkor 1/|6„,| ^ 00,

(ii) Tegyük fel, hogy o,„ a ^ 0, bn -> 0 és bn 7 0 minden n-re. Ekkor \an/hn\ 00.

B izony ítás . Elég (ii)-t bizonyítani. Legyen P > 0 adott. Van olyan no, hogy n > no-ra |a„| > |a|/2 és |í)„| < |a|/(2P). Ekkor n > no esetén |a„/6„| > P , tehát \ün/bn\ 00. □

4.11. Bizonyítsuk be, hogy ha (a „ + bn) konvergens és (t>„.) divergens, akkor (a „ ) is divergens.

4.12. Igaz-e, hogy ha (a „ • 6„ ) konvergens és (6,,) divergens, akkor (a „ ) is divergens?

4.13. Igaz-e, hogy ha {ün/bn) konvergens és (6„,) divergens, akkor (a,j) is divergens?

4.14. Bizonyítsuk be, hogy ha lim —---- = 0, akkor lim a„ = 1.n-^cx^an + l

4.15. Legyen lim a,j = a, hm bn = b. Bizonyítsuk be, hogy m ax(a„, bn) ->00 00max(a, 6).

4-16. Bizonyítsuk be, hogy ha a „ < 0 és a„ ->■ 0, akkor l/ a „ —> —00.

86 4. Végtelen számsorozatok (II.) Alkalmazások 87

Alkalmazások

Miucleiiekelőtt szükségünk van a 4.12. (i) és 4.14. (i) állításoknak több tagra, illetőleg több tényezőre való általánosítására.

4.21. T é te l. Legyenek (a j, ) , . . . , (a^) konvergens sorozatok*, és legyen

Hm aJi = bi minden i = 1 , . , k-ra. Ekkor az (a„ + • • • + a, ) és (a', ■... ■ af,)

sorozatok is konvergensek, és a határértékük + ... + ö/,., illetve bi h -

Az állítás k szerinti indukcióval könnyen bizonyítható, felhasználva, hogy ■A k = 2 esetet már beláttuk a 4.12. és 4.14. Tételekben.

Fontos megjegyezni, hogy a 4.21. Tétel csak rögzített számú sorozatra igaz, tehát a tétel feltétele nem engedi meg, hogy a sorozatok száma {k) függjön n-töl. Gondoljuk meg, hogy

1 = 1 + . . , + i .n n

ha a jobb oldalon a tagok száma éppen n. Hiába tart az 1/n sorozat 0-hoz, a jobb oldah ö.sszeg, a konstans 1 sorozat mégis 1-hez tart. Hasonlóan,

2 = ^ •. . . • y 2,

ha a jobb oldalon a tényezők száma éppen n. Hiába tart az >/2 sorozat 1-hez, a szorzat, a konstans 2 sorozat 2-höz tart.

Első alkalmazásként meghatározzuk azoknak a sorozatoknak a határértékét, amelyek az n indexből és konstansokból kaphatók a négy alapművelet felhasználásával.

4.22. T é te l. Legyen

C n —

k

b() + bin + ... -h b 7i

ahol a/; / 0 és bg 7 0. Ekkor

( n = 1, 2, . . . ) ,

lim c,, = 11- 00

0,00,- 00,(ík

ha £ > k,ha £ < k és a i jb ( > 0, ha £ < k és ai ./bg < 0,

ha £ — k.

aj, Jelöli az i-edik sorozat 7i-edik tagját

B izonyítás. Ha a c„-et definiáló tört számlálójából, illetve nevezőjéből kie- nielünk n^-t, illetve r/-et, akkor azt kapjuk, hogy

nC-n = —J

, , «A'-1 . . «()k dk ----------h . . . 4-

n n'' (4.2)

A 3.18. Tétel szerint a második tényezőben az első tagok kivételével a számláló és a nevező minden tagja 0-lioz tart. így a 4.21. és a 4.16. Tételek alkalmazá

sával azt kapjuk, hogy (4.2) jobb oldalán a második tényező határértéke — .be

Ebből és viselkedéséből n ^ 00 esetén (3.18. Tétel) azonnal következik az állítás. □

A 0-hoz tartás egy fontos elégséges feltételét fogalmazza meg a következő tétel.

4.23. T é te l. Tegyük fel, hogy van olyan q 0.

B izonyítás. Ha a,j ^ Q és |a,i+[/a„J < q minden n > 7io-ra, akkor fennállnak az

l<ín,o+l 1 ^ 9 ’ l®no li

| o ? i 0+ 2 l — q ■ | f l ? í o - ( - l l — q ■

| ö 7 i o + 3 l < q - | a 7 i o - H 2 l < q^ ■ | a no \ (4.3)

és így tovább, lűnl < f/“ • la„pl egyenlőtlenségek minden n > no-ra. Mivel 9'* 0 a 3.19. Tétel szerint, így a„. —>■ 0. □

4.24. K övetkezm én y . Tegyük fel, hogy ^ 0 minden elég nagy n-re, és

a„c, ahol |cl < 1. Ekkor an 0.

Bizonyítás. Rögzítsünk egy olyan q számot, amelyre |c| < g < 1. Mivel —>■ |c|, ezért < q minden elég nagy n-re, tehát alkalmaz

hatjuk a 4.23. Tételt. □

4.25. M eg jeg y zé s . A 4.23. Tétel és a 4.24. Következmény feltételei általában nem szükségesek ahhoz, hogy a„ 0-ra következtessünk. Az an = I jn

sorozat nullához tart, de an+ildn = n/{n + 1) — 1, tehát sem a 4.23. Tétel, sem pedig a 4.24. Következmény feltétele nem teljesül.

A 4.24. Következmény gyakran alkalmazható olyan sorozatok esetében, amelyek szorzat alakban vannak megadva. A következő tétel két fontos speciális esetet mutat be. A második áUításban szereplő n! jelölés az 1 ■ 2 • ... • n szorzat rövidítése. E szorzatot n faktoriá lisnak nevezzük.

714.26. T é te l, (i) Tetszőleges a > 1 valós számra és k pozitív egészre —

aP-0 .

(ii) Tetszőleges a valós számra 0 .

ni

B izony ítás , (i) Legyen a „ = n^/a” . Ekkor

a-n+i _ {n + 1)^ • g " _ (^ + n )

a n ■ a “ + ' a

Itt a számláló 1-hez tart a 4.21. Tétel szerint, és így an+\/a.n 1/^- Mivel a > 1 a feltétel szerint, ezért 0 < l/a < 1, tehát alkalmazhatjuk a 4.24. Következményt.

(ii) Ha = a” /n!, akkor

6„+ i _ ■ n! _ a

bn a " • (n -I- 1)! n -f 1

így b-n+i/bn 0, tehát 6,i ^ 0 a 4.24. Következmény alapján. □

A 3.19. Tétel szerint oT' — oo, ha a > 1. Azt is tudjuk, hogy -> oo, ha k pozitív egész. A fenti tétel (i) állítása alapján megállapíthatjuk, hogy

dP'jn^ —>• oo (lásd a 4.20. Tételt), ami azt jelenti, hogy az (a ”') sorozat „sokkal

nagyobb” , mint az (n^') sorozat. Ennek a jelenségnek a leírására bevezetjük az alábbi elnevezést, illetve jelölést.

4.27. D efin íc ió . Legyenek (a „ ) és (b,j) végtelenhez tartó sorozatok. Azt mondjuk, hogy az [an) sorozat gyorsabban tart végtelenhez, mint a (bn) sorozat, ha ün/bn oo. Ezt még úgy is kifejezhetjük, hogy az (a „ ) sorozat nagyságrendje nagyobb, mint a (bn) sorozat nagyságrendje, és úgy jelöljük, hogy {b n ) -< { ( í n ) -

Alkalmazások 89

A 3.18., 3.19. és 4.26. Tételek alapján megállapíthatjuk, hogy fennállnak az alábbi nagyságrend-relációk:

(n) ^ (n^) < (n''*) ^ . k (2” ) -< (3'*) ^ (4” ) k .. . ^ (n!) ^ u” .

4.28. D efin íc ió . Amennyiben a,i -> oo, bn — oo és a,i/bn —> 1, akkor azt m o n d ju k , hogy az (a „ ) és {bn) sorozatok aszimptotikusan egyenló'ek, és ezt úgy

k, hogy a „ ~ bn-

így pl- + n ) ~ n^, hiszen (n^ -I- n)/n^ = 1 -f (1/n) 1.

Feladatok

4.17. Legyen p{n) ~ üq -|- a\n 4 -... -I- a^n ’ . Bizonyítsuk be, hogy

lim = 1.n -> + (X ) p[n)

4.18. Mutassuk meg, hogy ha an > 0 és an+i/an —*■ q, akkor ->■ q.

4.19. Adjunk példát olyan pozitív (a,i) sorozatra, amelyre 1/a^ -> 1, de an+i/an nem tart 1-hez.

2-Jn

n - * 004.20. Bizonyítsuk be, hogy lim — r- = oo minden k-ra.

4.21. Legyen (a,\), ( a f j , . . . végtelenhez tartó sorozatok egy tetszó'leges soro

zata. (Itt a* a A;-adik sorozat n-edik tagját jelöli.) Bizonyítsuk be,'"hogy van olyan bn —>■ oo sorozat, amelynek a nagyságrendje nagyobb, mint

bármelyik (a *) nagyságrendje. (Ö)

4.22. Tegyük fel, hogy

« ) ( 4 ) ^ ^ (b n ) ^ (&n)-

Bizonyítsuk be, hogy van olyan (c „) sorozat, amelyre (a^) -< (cn )’< (bn) minden k-rsi.

5. VÉGTELEN SZÁMSOROZATOK (III.)

Monoton sorozatok

A 3.13. Tételben bebizonyítottuk, hogy egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele a sorozat korlátossága, és a ( — 1)” sorozat példáján azt is láttuk, hogy a korlátosság nem elégséges feltétele a konvergenciának.

Az alábbiakban bebizonyítjuk azonban, hogy a sorozatok egy lényeges osztályánál, az ún. monoton sorozatok körében a korlátosságból már következik a konvergencia. Mivel a korlátosságot általában egyszerűbb eldönteni, mint közvetlenül a konvergenciát, a tétel sok esetben jól használható módszert ad a konvergencia eldöntésére. Ezen túlmenően, mint majd látni fogjuk, a tétel elvi szempontból is jelentős, és a Cantor-axiómával van szoros kapcsolatban.

5.1. D efin íc ió . Az (o,í) sorozatot monoton növekedőnek nevezzük, ha

ai < a2 < . . . < an < a«+ i < ■ •. ■

Amennyiben itt < helyett mindenütt > áll, a sorozatot monoton csökkenőnek, ha <, illetve > áll, szigorúan monoton növekedőnek, illetve szigorúan monoton csökkenőnek nevezzük.

Az {a,i) sorozatot monoton sorozatnak nevezzük, ha a fenti esetek valamelyike áll fenn.

5.2. T é te l. Ha az (a„) sorozat monoton és korlátos, akkor konvergens. Ha (a,i) monoton növekedő, akkor

lim a,i = sup{an), n-ôo

ha pedig monoton csökkenő, akkor

lim a,, — inffapl.71—>00 ■

B izony ítás. Legyen például ( a„) monoton növekedő, korlátos, és

a = sup{a„).

Ivíonoton sorozatok 91

IVlivel a az (o,,} számhalmaz legkisebb felső korlátja, ezért minden e > 0-ra a — e nem felső korlát, azaz létezik oljân no, amelyre

> a - e .

A sorozat monoton növekedő, ezért

> űno- ha n > ni),

és így0 < a — ttn, < a - a,iQ < £, ha 7i > uq.

Beláttuk, hogy minden £ > 0-hoz létezik olyan no, amelyre teljesül, hogy

\a — a,i| < £, ha n > n<),

ami éppen azt jelenti, hogy ^^linân = a. □

Az 5.2. Tételt kiegészíthetjük a következővel.

5.3. Téte l. Ha az (a„) sorozat monoton növekedő és nem korlátos, akkorlim a,i = oo; ha monoton csökkenő és nem korlátos, akkor lim a„ = —oo.

n ^ o o ’ ’ n -ôo ”

B izonyítás. Legyen (a,i) monoton növekedő és nem korlátos. Ha (a,,) monoton növekvő, akkor alulról korlátos, hiszen ai alsó korlátja. így az a feltétel, hogy (an) nem korlátos, azt jelenti, hogy felülről nern korlátos. Ekkor minden P-hez létezik (P -tő l függő) no, amelyre a„g > P. De a monoton növekedés miatt > a„Q > P , ha n > no, vagyis lm â „ — oo. Hasonlóan látható be a

monoton csökkenő sorozatokra vonatkozó állítás. □

Az előző tételben elég feltenni, hogy a sorozat n > nj-re monoton, hiszen véges sok elem nem befolyásolja a sorozat konvergenciaviselkedését.

Azt, hogy az (a,i) sorozat monoton növekedő (illetve csökkenő) és a-hoz tart, gyakran a következőképpen jelöljük;

an / a; (a „ \ a).

A-z 5.2. Tétel segítségével néhány fontos, gyakran előforduló sorozat konvergenciáját igazolhatjuk.

( 1 Jl1-1— I sorozat szigorúan monoton növekedő és kor-

n j'átos, tehát konvergens.

92 5. Végtelen számsorozatok (III.) IVÍonoton sorozatok 93

B izony ítás . A számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint

= ! ^ = 1 + - L .y V n j n + 1 n + 1 n + 1

Itt mindkét oldalt n + 1-edik hatványra emelve azt kapjuk, hogy

(

1 \ n / 1 \ »i+i

amivel beláttuk, hogy a sorozat szigorúan monoton növekedő.

A felülről való korlátosság bizonyításához azt fogjuk megmutatni, hogy minden n és m pozitív egészre

\ nJ \ m

1(5.1)

Valóban, ismét a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenséget alkalmazva

" / f i + . f i _ I V ” < " ■ ( ■ + ^ ) + " ‘ - ( ‘ - í : ) ^ ^yV n J \ m/ n + m n + m = 1.

azaz

Mivel (1 — (l/m ))™ ' reciproka

/ rn f 1

ezért (5.2) mindkét oldalát (1 — ( l/ 77i))"*-m el osztva azt kapjuk, hogy

( i , i Y ‘ < ( i + ^ ) " .\ n/ \ m — 1 /

Ha itt m helyébe m + 1-et helyettesítünk, megkapjuk (5.1)-et. Ezzel beláttuk,

hogy az (1 + ( l/ m )) ’"* számok mindegyike felső korlátja a sorozatnak. □

Az ^1 + sorozat határérértékét e-vel jelöljük*, tehát

lim l . + i ' "7l->00 V 71

(5.3)

ívlint a későbbiek során látni fogjuk, ez a konstans az anahzisben és a matematika más fejezeteiben jelentős szerepet játszik.

Könnyen belátható, hogy egy szigorúan monoton növő sorozat limesze nagyobb, mint a sorozat bármely tagja. Ha ezt összevetjük (5.1)-gyel és a 4 10. Tétellel, akkor azt kapjuk, hogy

minden n-re. Ebből azt kapjuk, hogy e > 1,1 *’ > 2,5; illetve e < 1,2® < 3. Egyébként (5.4) alapján

és ez (elvben) lehetőséget ad arra,hogy e értékét tetszőleges előírt pontossággal kiszámítsuk.* Meg lehet mutatni (ha nem is a fenti becslés segítségével), hogy

e = 2,718281828459045.... Bebizonyítható, hogy e irracionális szám.^

Az (5.4) becslés segítségével pontosabb információt kaphatunk a faktori- áhsok nagyságrendjéről.

/ n \ "5.5. T é te l, (i) n! > I — I minden n-re, valamint

Ve/

(ii) n\ < n ■ ^ minden n > 7-re.

Bizonyítás. Mindkét állítást teljes indukcióval bizonyítjuk. Mivel e > 1, ezért l! = 1 > l/e. Tegyük fel, hogy n > 1 és n! > (n/e)^. Az {n + 1)! >> { { n + l )/ e )” "'"' egyenlőtlenség bizonyításához elég azt megmutatni, hogy

/ n \ " /n + l\ " + i

ami ekvivalens az ^1 -I— ^ < e egyenlőtlenséggel. Ezzel (i)-et beláttuk.

Ezt a jelölést Leoiihard Euler (1707-1783) svájci matematikus vezette be.

A gyakorlatban az (5.4) becslés uemigeu használható. Ha ennek segítségével akarnánk

10 tizedesjegy pontossággal megadni, akkor egy 10^°-edik hatványt kellene kiszámítanunk. Később megadunk egy sokkal gyorsabb közelítési módszert.

Só't, azt is meg lehet mutatni, hogy e ún. transzcendens szám, azaz nem gyöke sem- •lúlyen nem azonosan nulla egész együtthatós pohnomnak. Később mindkét állítást belátjuk Wajd: e irracionalitását a 10.88. feladatban, a transzcendenciáját pedig az integrálszámítás

alkalmazásaként.

94 5. Végtelen számsorozatok (III.)

A (ii) egyenlőtlenséget bizonyítandó először is ellenőrizzük, hogy 7! =5040 << 7 ■ (7/e)^ Valóban, 720 < (2,56)^ amiből 5040 < 7 ■ (2,56)^ < 7 ■ (7/e)\ Tegyük fel, hogy n > 7 és n! < n- (ri/e)". Az (n + 1)! < (n + 1) ■ ((n + egyenlőtlenség bizonyításához elég azt megmutatni, hogy

l\"+iami az > e egyenlőtlenséggel ekvivalens. Ezzel (ii)-t is igazoltuk. □

Az n! sorozat pontos nagyságrendjét az ún. S tir lin g*-fo rm u la adja meg,

amely azt állítja, hogy n! ~ í —\ ■ yJ 'Kn. Ezt később be is bizonyítjuk azVe/

integrálszámítás egyik alkalmazásaként.

Az 5.2. Tétel segítségével számos, rekurzióval megadott sorozatról is megállapítható, hogy konvergens.

5.6. Pé lda . Tekintsük a 3.1. Példa (15) sorozatát, vagyis azt az (a „ ) sorozatot, amely az a\ = 0, a „+ i == V2 + a,,, rekurzióval van megadva. Belátjuk, hogy a sorozat monoton növő. Az an < a„+i állítást teljes indukcióval fogjuk

belátni. Mivel ai = 0 < V2 = 02, ezért a bizonyítandó állítás n = 1-re igaz. Ha n-re igaz, akkor

a,i+] = -v/2 + (hl < y 2 + a,i+i — an+2,

tehát 71 + 1-re is igaz. Ezzel beláttuk, hogy a sorozat (szigorúan) monoton növő.

Most megmutatjuk, hogy a sorozat felülről korlátos, nevezetesen 2 felső korlátja. Az a „ < 2 állítás szintén teljes indukcióval következik, hiszen ül = 0 < 2, és ha a„ < 2, akkor a,i+i = y/2 -1- a„ < V 2 -1-2 = 2.

Ezzel beláttuk, hogy a sorozat monoton és korlátos, tehát konvergens. A határértékét a rekurzió segítségével tudjuk meghatározni. Legyen Hn^a?* ==

= a. Mivel = 2 Un minden n-re, ezért

a = lim a.,., = lim (2-1-a „) = 2 -|-a, n->co n^OQ

amiből a — 2 vagy a = —1. A második eset lehetetlen, hiszen a sorozat tagjai nemnegatívak. így a = 2, azaz = 2.

James Stirliug (1692-1770) .skót matematikus

Monoton sorozatok 95

Feladatok

5.1. Bizonyítsuk be, hogy ha yl C M és sup A = a ^ A, akkor létezik olyan (a,i) sorozat, amelyre [an] C A, (an) szigorúan monoton növekedő és a,,. a. Igaz-e az állítás akkor is, ha a G A'!

5.2. Egy sorozat a monotonitás, korlátosság, konvergencia szempontjából (elvben) 8-féleképpen viselkedhet (mindegyik tulajdonsággal vagy rendelkezik, vagy sem). Valójában a 8 eset közül hány fordulhat elő?

5.3. Tegyük fel, hogy az (a „ ) sorozat tagjai kielégítik az a „ < {a n -i + an+\)/2 egyenlőtlenséget minden n > 1-re. Bizonyítsuk be, hogy (a „ ) nem lehet oszcillálva divergens.

5.4. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi, rekurzióval definiált sorozatok konvergensek, és határozzuk meg a határértékeiket!

(a) ai = 0, a„+ i = V o T o ^ (n = 1,2, . . . ) , ahol a > 0 adott;

(b) fli = 0, ün+i = 1 / ( 2 - a n ) [ n = 1, 2,. . . ) ;

(c) ai = 0, an+i = 1/(4 - an) [n = 1 ,2 ,...);

(d) ai = 0, a,,+i = 1/(1 + an) [n = 1, 2, . . . ) (Ö );

(e) ai = V 2, a,i+i = (n = 1, 2 ,...).

Legyen a > 0 adott, és definiáljuk az (a „ ) sorozatot az a\ — a, ün+i =í (l ••

= I an H----- 1/2 rekurzióval. Bizonyítandó, hogy a „ —> y/a. (Ö )V anJ

í 1\ '‘ +Bizonyítsuk be, hogy az ( 1 H— j sorozat monoton csökkenő.

Bizonyítsuk be, hogy n-f- 1 < < 3n minden n = 1, 2,.. .-re. (Ö )

Legyenek a és b adott pozitív számok. Tegyük fel, hogy az (a,i) és (6,1)

sorozatokra teljesül a\ = a, b\ = b és o„+ i = {ün + b n )l2 , bn+i = \/o-nbn minden n > 1-re. Bizonyítandó, hogy lim a,. = lim ö,j. (Ez az érték az~ ./ I oj ,i->oo n->ooa és b számok ún. szám tan i-m értan i közepe.)

•9. Bizonyítsuk be, hogy ha (a,i) konvergens és (on+i — a „ ) monoton, akkor n ■ {an+i — an) 0. Adjunk példát olyan konvergens (a,j) sorozatra,

amelyre n • (a„_|_i — an) nem tart 0-hoz. (=t=Ö)

5*10. Tegyük fel, hogy (b„) szigorúan monoton növőleg végtelenhez tart. Bizo-

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

nyítsuk be, hogy ha(I n ~ ( n—1

bn ~~ bn—lc, akkor

bnc.

A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium

Láttuk, hogy a monoton sorozatok egyszerűen viselkednek konvergencia szempontjából. A zt is tudjuk (lásd a 4.5. Tételt), hogy egy sorozat átrendezése a sorozat konvergenciájának tényét és konvergencia esetén a határértéket nem változtatja meg. Ezért kézenfekvő megvizsgálni, hogy mely sorozatok rendezhetők monoton sorozattá?

Tetszőlegesen megadva véges sok számot, ezek nagyság szerinti sorrendbe, vagyis véges monoton sorozattá rendezhetők. Nyilvánvaló azonban, hogy nem minden végtelen sorozat rendezhető monoton sorozattá. Könnyű belátni például, hogy a ( ( —1)’Y ’^) sorozat nem rendezhető monoton sorozattá. A szigorú monotonitásra vonatkozó pontos kritériumot a következő tétel adja meg.

5.7. T é te l. Egy sorozat akkor és csak akkor rendezhető át szigorúan monoton növő sorozattá, ha a tagjai páronként különbözőek, és ha a sorozat vagy végtelenhez tart, vagy pedig konvergens és a tagjai kisebbek a határértékénél.

B izony ítás . Egy szigorúan monoton sorozat tagjai páronként különbözőek, ez tehát szükséges ahhoz, hogy a sorozat ilyenné átrendezhető legyen. Tudjuk, hogy minden monoton növő sorozat vagy végtelenhez tart, vagy konvergens (5.2. és 5.3. Tételek). A z is világos, hogy ha egy szigorúan monoton növő sorozat konvergens, akkor a tagjai kisebbek a határértékénél. Ezzel az állítás „csak akkor” részét beláttuk.

Most tegyük fel, hogy az (a^) sorozat tagjai különbözőek és a,i oo; megmutatjuk, hogy (a „ ) átrendezhető szigorúan monoton növő sorozattá. Tekintsük az

/„ = ( - 00, 0], Ji = (0, 1], . . . , 4 = { k - l , k ] , . . .

intervallumokat. Ezek mindegyikében a sorozatnak csak véges sok tagja van. Ha most monoton növekedő sorrendben felsoroljuk az /o-beli tagokat, utánuk az /j-beli tagokat és így tovább, akkor megkapjuk a sorozat szigorúan monoton növő sorozattá való átrendezését.

Végül tegyük fel, hogy az (a „ ) sorozat tagjai különbözőek, « « -> a. véges, és o„ < a minden n-re. Megmutatjuk, hogy (a,i) átrendezhető szigorúan monoton növő sorozattá. Tekintsük most a

A :- 1

1

A. Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium 97

intervallumokat. Ezek mindegyikében a sorozatnak csak véges sok tagja van, és a sorozat minden tagja benne van a J^-k valamelyikében. Ha tehát monoton növekedő sorrendben felsoroljuk a Ji-beli tagokat, utánuk a J2-beh tagokat és így tovább, akkor megkapjuk a sorozat szigorúan monoton növő sorozattá való átrendezését. □

Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ha egy sorozat konvergens és a tagjai kisebbek a határértékénél (de nem feltétlenül különbözőek), akkor átrendezhető (nem feltétlenül szigorúan) monoton növő sorozattá.

A következő, kombinatorikus jellegíí tétel önmagában is érdekes, de főleg a konzekvenciái miatt fontos.

5.8. T é te l. Minden sorozatnak van monoton részsorozata.

B izony ítás. Az tagot az (a^) sorozat csúcselemének nevezzük, ha minden m > k-v'A üm < ah- Két esetet különböztetünk meg.

I. Az (a,i) sorozatnak végtelen sok csúcseleme van. Ebben az esetben a csúcselemek egy monoton csökkenő sorozatot alkotnak.

II. Az {ün) sorozatnak csak véges sok csúcseleme van. Ekkor van olyan no, hogy n > na esetén ün nem csúcselem. Mivel üng nem csúcselem, ezért a csúcselemek definíciója szerint létezik olyan n\ > no index, amelyre o,ii > an - Mivel a„j sem csúcselem, ezért létezik olyan ri2 > ri], hogy a,)2 > Qn] és így tovább. Ezzel egy olyan no < ni < .. . < n/;. < ... végtelen indexsorozatot kaptunk, amelyre

dno < flni < • ■ • < <hn. < . . . .

Tehát ebben az esetben a sorozatnak van (szigorúan) monoton növekedő részsorozata. □

Egy alapvető fontosságú tétel következik.

5.9. T é te l (B o lza n o -W e ie rs tra ss *-té te l). Minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás. Ha a sorozat korlátos, akkor minden részsorozata is korlátos. Ezért az előbbi tételből következik, hogy minden korlátos sorozatnak van monoton korlátos részsorozata. Az 5.2. Tételből pedig következik, hogy ez konvergens. □

* Bernhard Bolzano (1781-1848) olasz-német és Kari Weierstrass (1815- 1897) német

matematikusok

Az 5.8. Tételt a következővel egészíthetjük ki.

5.10. T é te l. Ha egy sorozat nem korlátos felülről, akkor van oo-hez tartó monoton részsorozata; ha alulról nem korlátos, akkor van —oo-hez tartó monoton részsorozata.

B izonyítás. Ha {a,i) felülről nem korlátos, akkor van olyan ni, amelyrea,íi > 0. Ugyancsak a felülről nem korlátosság alapján találhatunk olyan indexet, amelyre

Onj > m a x (a i, ... ,a r t i,l).

Ekkor szükségképpen U2 > n\. Az eljárást folytatva találunk olyan ni, íi2, -. • indexeket, amelyekre teljesül, hogy

> m ax (a i,... k)

minden A;-ra. Ekkor ni < n2 < ..., űm < ^„2 < ..., és anj. > k — 1. Tehát az így konstruált részsorozat monoton növőleg oo-hez divergál. A tételmásodik állítása ugyanígy bizonyítható. □

Mivel minden monoton sorozatnak van határértéke, ezért az 5.8. Tétel szerint minden sorozatnak van határértékkel rendelkező' részsorozata. A következő tételekben megmutatjuk, hogy a határértékkel rendelkező részsorozatok meghatározzák a teljes sorozat konvergenciaviselkedését.

5.11. T é te l. Ha az (an) sorozat minden, határértékkel rendelkező részsorozata b-hez tart (ahol b lehet véges vagy végtelen), akkor (a „ ) is b-hez tart.

B izonyítás. Legyen először b = oo, és legyen K adott. Belátjuk, hogy a sorozatnak csak véges sok K-nál kisebb tagja lehet. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyenek mind kisebbek if-nál. Amint láttuk, az (a„^.)sorozatnak van határértékkel rendelkező részsorozata. Ez azonban nem tarthat végtelenhez (hiszen minden tagja kisebb ií-ná l), ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy a,j —> oo. Ugyanígy okoskodhatunk, ha b = —oo.

Most tegyük fel, hogy b véges, és legyen e > 0 adott. Belátjuk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja lehet a {b - e,b + e) intarvallumon kívül. Tegyük fel, hogy ez nem igaz, és legyenek a.,,,, a „2, . . . olyan tagok, amelyek nem esnek {b—s, ö4-e)-ba. Amint láttuk, az (a„^,) sorozatnak van határértékkel rendelkező részsorozata. Ez azonban nem tarthat ö-hez (hiszen egyetlen tagja sincs {b ~ e,b + £)-ban), ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy ün —> 6. □

A 4.2, Tétel szerint az előző tétel áUítása megfordítható: ha a „ -> b, akkor (a,j) minden, határértékkel rendelkező részsorozata b-hez tart, hiszen

A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-krltérlum 99

v a ló já b a n (a „ ) minden részsorozatának van határértéke, mégpedig b. A 4.2. és 5.11. Tételekből azonnal adódik az alábbi fontos következmény.

5.12. T é te l. Egy sorozat akkor és csak akkor oszcillálva divergens, ha van két, különböző (véges vagy végtelen) határértékhez tartó részsorozata. □

A következő tétel - az ún. Cauchy-kritérium* - szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy egy sorozat konvergens legyen. A tétel alapvető jelentőségű, mert lehetőséget ad a konvergencia eldöntésére anélkül, hogy a határértéket ismernénk. A feltételben ugyanis a sorozat elemeinek egymástól való eltérése szerepel a határértéktől való eltérés helyett.

5.13. T é te l (C au ch y-k rité r iu m ). Az (a „ ) sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden e > 0-hoz létezik olyan N , hogy minden n ,m > N -re

\(ín ~ 0-m\ < £■

B izony ítás. Ha (a^) konvergens és lim a„ = b, akkor minden e > 0-hoz

létezik N , amelyre teljesül, hogy |a,j — b\ < e/2 és \ajn — ftl < e/2, ha, n > N és m > N . Ezért a háromszög-egyenlőtlenségből adódóan |a„ — am\ < £■, ha m, n > N . Ezzel beláttuk, hogy a tételben megfogalmazott feltétel szükséges feltétele a konvergenciának.

Most bebizonyítjuk, hogy a feltételből következik a konvergencia. Először is megmutatjuk, hogy a feltétel teljesülése esetén a sorozat korlátos. Valóban, a feltételt e = 1-re alkalmazva találunk olyan N -e i, hogy n ,m > N esetén \a,i — a,„| < 1. Ha itt m-et N-nek választjuk, akkor azt kapjuk, hogy Wn — «,v l < 1 minden n > N -re , amiből világos, hogy a sorozat korlátos.

A Bolzano-Weierstrass-tétel szerint ebből következik, hogy (a,i)-nek van konvergens részsorozata. Legyen Im^űn^. = b. Bebizonyítjuk, hogy (a „ ) kon

vergens és ö-hez tart. Erre két bizonyítást is adunk.

I. Legyen e > 0 adott. Ekkor létezik fco úgy, hogy k > fco esetén \ani. - ö| << e/2. Másrészt a feltételből adódóan van olyan N , hogy n,rn > N esetén kn —űml < í/2. Rögzítsünk egy olyan k > fco indexet, amelyre n . > N . Ekkor tetszőleges n > N -re

\a.n - b \ < \an - Qn/J + Wn,, ~ b\ < {e/2 ) -1- (e/2 ) = e,

amivel beláttuk, hogy an b.

Augustin Cauchy (1789-1857) francia matematikus

I I . Az 5.11. Tétel szerint elég belátni, hogy (a,i) minden, határértékkel rendelkező részsorozata 6-hez tart. Legyen {(im-) egy határértékkel rendelkezőrészsorozat, és legyen lim am = c. Mivel (a,i) korlátos, ezért c véges.

i->-ooLegyen e > 0 adott. A feltétel szerint van olyan N, hogy n , m > N esetén

lűji - ain\ < e. Mármost ani. b és ür, c, így vannak olyan ni; > N ésm-i > N indexek, melyekre — 6| < s: és |a,„, — c\ < e. Ebből

\ b - c\ < \ani. -b\ + \am.. ~ c\ + < 3e.

Mivel £ tetszőleges volt, ezért 6 = c. □

A Canchy-kritérium állítását (pongyolán, de szemléletesen) úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a nagy indexű tagjai közel vannak egymáshoz. Fontos megjegyezni, hogy egy sorozat konvergenciájához szükséges, de nem elegendő, ha csupán a nagy indexű és szomszédos tagok vannak közel egymáshoz. Precízebben; az a„+ i — a„ —>• 0 feltétel szükséges, de nem elégséges ahhoz, hogy (a „ ) konvergens legyen. Valóban, ha a „ ^ a, akkor a„+ i — a„ -»■ a — a = 0. Másrészt (3.2) alapján

V íi + 1 — ^/n —> 0, de a (V n ) sorozat nem konvergens, hanem végtelenhez tart.

5.14. M eg jeg y zé s . A valós számok bevezetésének kapcsán említettük a különböző konstruktív felépítések lehetőségét, azaz olyan struktúrák konstrukcióját, amelyek kielégítik a valós számok axiómarendszerét. A Canchy-kritérium segítségével most röviden vázolunk egy ilyen struktúrát, felhasználva a racionális számok létezését és tulajdonságait. A rövidség kedvéért egy (a„) sorozatot Cauchy-sorozatnak fogunk nevezni, ha kielégíti a Cauchy-krítérium feltételét, azaz, ha minden e > 0-hoz van olyan N , hogy [o,,. - a,„l < £ minden n,m > N-re.

Valahányszor (o„) egy racionális számokból álló Cauchy-sorozat, akkor a limo,,. kifejezést egy valós számjelének tekintjük. A lima„, és limö„, kifejezések akkor definiálják ugyanazt a valós számot, ha a,,, - hn. 0, azaz, ha minden £ > 0-hoz van olyan N, hogy \a,, - ö„| < £ minden n > N-ie.

Az így definiált valós számok között az összeadás és szorzás műveleteit a (lim o,,,)-l- -1- (limfr,,) = lim(a„ -|- b„) és (lima,,) • (lim6„ ) = lim(a,, ■ &„) képletekkel definiáljuk. (A definíció jogosságát persze ellenőrizni kell.) A konstrukcióban 0 és 1 szerepét limM,i és hmw„ játssza, ahol (w„) és {v,,.) a konstans 0, illetve a konstans 1 sorozat.

Meg lehet mutatani, hogy az így definiált struktúra kielégíti a testaxiómákat.

A kisebb relációt a következőképpen értelmezzük: (lim a,,) < (limö,,), ha (lirna,,.) ^ (lim6„) (azaz a„, — b„ -/y 0) és van olyan N , hogy a,,. < b„, minden n > N - re. Be lehet bizonyítani, hogy ezzel a rendezéssel egy olyan struktúrát definiálunk, amely kielégíti a valós számok axiómarendszerét.

A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-krítérium 101

Feladatok

5.11. Bizonyítsuk be, hogy ha az (a „ ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, akkor |a,i| —> oo.

5.12. Bizonyítsuk be, hogy ha (a „ ) korlátos és minden konvergens részsorozata 5-hez tart, akkor a-n b.

5.13. Bizonyítsuk be, hogy ha az {a-n) sorozatnak nincs két, különböző határértékhez tartó konvergens részsorozata, akkor (a„)-nek vagy van határértéke, vagy pedig felbontható két részsorozat egyesítésére, melyek közül az egyik konvergens, a másiknak az abszolút értéke pedig végtelenhez tart.

5.14. Tegyük fel a test- és rendezési axiómákat és a Bolzano-Weierstrass-tételt. Vezessük le ezekből az arkhimédészi és a Cantor-axiómát. ( * M )

5.15. Bizonyítsuk be, hogy ha egy sorozatnak végtelen sok a-nál kisebb és végtelen sok a-nál nagyobb tagja van, akkor az (an) sorozat nem rendezhető monoton sorozattá.

5.16. M i a pontos feltétele annak, hogy egy (a „ ) sorozat átrendezhető legyen monoton növő sorozattá? (Ö )

5.17. Bizonyítsuk be, hogy minden konvergens sorozat felbomlik legfeljebb három (véges vagy végtelen) részsorozatra, amelyek mindegyike monoton sorozattá rendezhető.

5.18. Bizonyítsuk be, hogy ha |an+i — an\ < minden n-re, akkor (a „) konvergens.

5.19. Tegyük fel, hogy - a „ ^ 0. Következik-e ebből, hogy ü2n - a.n-> 0?

5.20. Adjunk példákat arra, hogy a,j ^ oo és(a) a2n - a„ 0 (M ); (b) a,„2 - a„ 0; (c) a2«. - a„ 0;

(d ) egy előre megadott, pozitív egészekből álló tetszőleges s„ > n sorozatra Usii — a,i —> 0 (M ).

5.21. Adjunk példát olyan sorozatra, amelyre a^u — o,n 0 minden k > 1-re,

de 02''- — fln nem tart 0-hoz. {* Ö)

5.22. Igaz-e, hogy az alábbi állítások ekvivalensek?

(a) (Ve > 0 ) { 3 N ) { n , m > N ^ |a,i -a ,„| < £■), illetve

(b) valahányszor s„,ín pozitív egészek, melyekre s„ -> oo és <„ oo, akkor - at„ 0. (Ö )

6. MEGSZÁMLÁLHATÓ HALMAZOK

A sorozatok tárgyalásánál már felhívtuk a figyelmet arra, hogy gondosan meg kell különböztetnünk az (a „ ) sorozatot a tagjaiból képzett {a,i} halmaztól. A zt fogjuk mondani, hogy az {a ) sorozat fe lso ro lja a H halmaz elemeit, ha H = {a„,}. (A H halmaz elemei és így az (a,i) sorozat tagjai tetszőlegesek lehetnek, tehát nem csak valós számokból álló sorozatokat tekinthetünk.) Ha van olyan sorozat, amely felsorolja H elemeit, akkor azt mondjuk, hogy H fe lsoro lh ató . Nyilvánvaló, hogy minden véges halmaz felsorolható, hiszen ha H = { a i , . . . , üjt), akkor az ( a i , . . . , «a-i • • •) sorozatra teljesül H = {a,i}.Tegyük most fel, hogy H végtelen. Megmutatjuk, hogy ha van olyan (a „) sorozat, amely felsorolja H elemeit, akkor ezek között olyan is van, amelynek a tagjai páronként különbözőek. Valóban, válasszunk ki H minden x eleméhez egy olyan a,i tagot, amelyre = x. Az így kiválasztott tagok (az indexeik sorrendjében) (o,i)-nek egy részsorozatát alkotják. Ha = o„y, mindenfc-ra, akkor a (c^) sorozat tagjai páronként különbözőek, és H = {c/.}.

Mint minden sorozat, így {cj ) is egy olyan függvény, amely az N'*' halmazon van értelmezve. Mivel a tagjai különbözőek és H = (cytli jelenti, hogy a k H*- ck leképezés kölcsönösen egyértelmű az N'*' és H halmazok között. (Lásd a 44. oldal lábjegyzetét.)

Azt láttuk be, hogy egy H halmaz elemei akkor és csak akkor felsorolha- tóak, ha H véges vagy pedig van H és N"*" között egy kölcsönösen egyértelmű leképezés.

6 .1. D efin íc ió . A H halmazt megszámlálhatóan végtelennek nevezzük, ha N"*" és H elemei között létezik kölcsönösen egyértelmű leképezés. A H halmaz megszámlálható, ha véges vagy megszámlálhatóan végtelen.

Ezen elnevezések birtokában a fenti okoskodást úgy foglalhatjuk össze, hogy egy halmaz akkor és csak akkor felsorolható, ha megszámlálható.

Nyilvánvaló, hogy N megszámlálható: tekintsük a (0, 1, 2, . . . ) sorozatot. Azt is könnyű belátni, hogy Z is megszámlálható: a (0, 1, —1,2, —2, . . . ) sorozat minden egész számot tartalmaz. Ennél meglepőbb a következő tétel.

6.2. T é te l. A racionális számok halmaza megszámlálható.

A/Ipgszámlálható halmazok 103

B iz o n y í t á s . Azt kell belátnunk, hogy van olyan sorozat, amely felsorolja a racionális számokat. Egy ilyen sorozat például:

1- 4

02 ’

- 3

1

1 - 2 - 1 0 1

I ’ 1 ’ 2 ’ 3 ’ 2 ’

- 2 - 1 0 1 2 3

’ 1 ” ’ T ’ 5'

2 -3

1’

-2 -1

4 3 2

14

T'

2-5

T ’

3

- 4

04 ’

1 2

3 ’ 2'(6.1)

Itt a p/<7 törteket (ahol p, q egészek és <7 > 0) a IpI -h 9 összeg nagysága szerint soroltuk fel. Minden n-re valamilyen sorrendben leírtuk az összes olyan törtet, melyekre \p\+q = n, majd az n = 1, 2, . . . értékekhez tartozó így kapott véges sorozatokat egymás után írva egyetlen végtelen sorozatot képeztünk. Világos, hogy ilyen módon minden racionális számot felsoroltunk. □

- 3 - 3 - 3

- 2T

V

T- 2T- 1T(I4

1í24

6.1. ábra

Hasonló módszerrel a racionális :számoknál jóval bővebb halmazokról is beláthatjuk, hogy megszánilálhatóak.Azt mondjuk, hogy az a komplex szám a lgebra i, ha gyöke egy nem azonosan nulla egész együtthatós polinomnak. Világos, hogy minden racionális

szám algebrai, hiszen p/g gyöke a qx — p polinomnak. A V2 szám szintén algebrai, mert gyöke x" — 2-nek.

6.3. T é te l. A z algebrai számok hahnaza megszámlálható.

Bizonyítás. Az . . + ao pohnoni súlyán a fc 4- \a/.\ + la^ -i | -I-... -f |giiIszámot fogjuk érteni. Világos, hogy minden 7i-re csak véges sok olyan egész együtthatós polinom van, amelynek a svilya n. Ebből következik, hogy van olyan /i,/2, . . . sorozat, amely minden egész együtthatós nemkonstans polinomot tartalmaz. Valóban, először soroljuk fel azokat az egész együtthatós nemkonstans polinomokat, melyek súlya 2. írjuk ezek után azokat, melyek súlya 3 és így tovább. így minden egész együtthatós nemkonstans pohnoniot felsoroltunk, hiszen egy ilyen polinom súlya nem lehet 0 vagy 1. Az f i polino- niok mindegyikének csak véges sok gyöke van (lásd a 9.1. Lemmát). Soroljuk fel az f i polinom gyökeit valamilyen sorrendben, írjuk utánuk f ‘2 gyökeit, és így tovább. így egyetlen sorozatban felsoroltuk az összes algebrai számot, amivel a tételt Ijebizonyítottuk. □

104 6. Megszámlálható halmazok

A következő tétel szerint a halmazelméleti műveletek (unió, metszet, különbség) nem vezetnek ki a megszámlálható halmazok köréből.

6.4. T é te l, (i) Egy megszámlálható halmaz minden részhalmaza is megszámlálható. (ii) K ét megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható.

Bizonyítás, (i) Legyen A megszámlálható és B C A. Tegyük fel, hogy az (a,i) sorozat felsorolja az A halmaz elemeit. Válasszunk ki B minden x eleméhez egy olyan a,i tagot, amelyre a„, = x. Az így kiválasztott tagok (az indexeik sorrendjében) (a„)-nek egy olyan részsorozatát alkotják, amely felsorolja B elemeit.

(ii) Ha az (an) és {b„) sorozatok felsorolják az A és B halmazok elemeit, akkor az (fli, öl, a-2) 2, • • •) sorozat felsorolja A U B elemeit. □

A fenti (ii) állításból azonnal adódik (teljes indukcióval), hogy véges sok megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható. A következő tétel szerint több is igaz.

6.5. T é te l. Megszámlálhatóan végtelen sok megszámlálható halmaz uniója is megszámlálható.

B izony ítás. Legyenek az A i , A 2, . . . halmazok megszámlálhatóak, és legyen

minden k-ra {a \) olyan sorozat, amely felsorolja Aj elemeit. Ekkor az

(a },a2 ,a?,aJ,a2>aM a4)«3>«i“ í>-- •)OO

sorozat felsorolja Aj. elemeit. A sorozatot úgy kaptuk, hogy minden

n > 1-re egymás után írtuk az (ajj, . . . , a'/) véges sorozatokat. □

Az előző tételek alapján jogosan vetődik fel a kérdés, hogy vannak-e egyáltalán nemmegszámlálható halmazok? A következő tétel erre ad választ.

6 .6. T é te l. A valós számok halmaza nem megszámlálható.

B izon y ítás . Tegyük fel, hogy K megszámlálható, és legyen ( xn) valós számok egy olyan sorozata, amely minden valós számot tartalmaz. Úgy fogunk ellentmondásra jutni, hogy konstruálunk egy x valós számot, amely nem tagja a sorozatnak. Két konstrukciót is mutatunk. I. Az első konstrukció a következő egyszerű észrevételen alapszik: ha I zárt intervallum és c egy adott szám, akkor /-nek van olyan zárt részintervalluma, amely nem tartalmazza c-t. Ez nyilvánvaló: kiválasztva I két diszjunkt zárt részintervallumát, ezek közül legalább az egyik nem tartalmazza c-t.

Megszámlálható halmazok 105

Legyen I\ olyan zárt intervallum, amely nem tartalmazza xi-et. Legyen1-2 olyan zárt részintervalluma 7i-nek, amelyre X2 ^ h- Az eljárást induktíve folytatva legyen In olyan zárt részintervalluma /„_i-nek, amelyre Xn ^ In. A Cantor-axióma szerint az /„ intervallumoknak van közös pontjuk. Ha

OO

a; e Q In, akkor x ^ x’„ minden n-re, hiszen x e In, de ^ Ezzel n=l

beláttuk, hogy x nem tagja a sorozatnak, és ezt kellett bizonyítani.

I L Egy másik konstrukció hasonló tulajdonságú a:-re a következő. Tekintsük az xi ,x-2, ■ ■ ■ számok tizedestört-alakját:

x\ = ± n i , a }a -2 . . .

X2 = ± r i2 , ...

(6 .2 )

Legyen a; = 0, 6162 ■ • ahol bi — 5, ha a] 5 és bi — 4, ha a'- = 5. Világos, hogy X különbözik mindegyik a;,i-től. □

A 6.4. és 6.6. tételekből azonnal következik, hogy az irracionális számok halmaza nem megszámlálható. Ha ugyanis megszámlálható lenne, akkor - mivel Q is az - K = Q U (E \ Q) is megszámlálható lenne, holott nem az. Egy számot transzcendensnek nevezünk, ha nem algebrai. Az előző okoskodás megismétlésével - felhasználva, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható - azt kapjuk, hogy a transzcendens számok halmaza sem megszámlálható.

6.7. Definíció. Ha két halmaz, A és B között kölcsönösen egyértelmű leképezés hozható létre, akkor a két halmazt ekvivalensnek vagy azonos számos- ságúnak nevezzük, és ezt úgy jelöljük, hogy A ~ B.

A fenti definíció értelmében egy A halmaz akkor és csak akkor megszámlálhatóan végtelen, ha i4 ~ N"*". Azonnal látható, hogy ha A ~ .B és i? ~ (7, akkor A ^ C. Valóban, ha / egy kölcsönösen egyértelmű leképezés A-rói B-ve és g egy kölcsönösen egyértelmű leképezés B -iö l C-re, akkor az x .9(/ (^ )) [x e A ) leképezés kölcsönösen egyértelmű ^-ról C-re.

6.8. Definíció. A H halmazt kontinuum számosságúnak nevezzük, ha ekvivalens E-rel.

Megmutatjuk, hogy mind az irracionális számok halmaza, mind pedig a transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú. Ehhez szükségünk lesz a következő egyszerű lemmára.

106 6. Megszámlálható halmazok

6.9. Lem m a. Ha A végtelen és B megszámlálható, akkor AVJ B A.

B izonyítás. Először is belátjuk, hogy A tartalmaz megszámlálhatóan végtelen részhalmazt. Valóban, mivel A végtelen, ezért nemüres, és így kiválaszthatjuk egy x\ e A elemét. Ha az s i , . . . , G A elemeket már kiválasztottuk, akkor A ^ { x i , . . . , Xn} (hiszen különben A véges lenne), tehát választhatunk egy Xn+\ 6 A \ { x i , . . . , a;„} elemet. így induktíve minden n-re kiválasztottuk a különböző Xn elemeket. Ekkor X = {xn : n = 1, 2, . . . } egy megszámlálhatóan végtelen részhalmaza A-nak.

A lemma bizonyításához feltehetjük, hogy A f l B = 0, hiszen B -t helyettesíthetjük B \ A-val (ami szintén megszámlálható). A 6.4. Tétel szerint X B megszámlálható. Mivel végtelen is, ezért U ő ~ N'*" és így X U ő ~ X , hiszen N"'' ~ X . Legyen / egy kölcsönösen egyértelmű leképezés X-xö\ X\JB- re. Ekkor

, V .T, ha a: G A \ X ,/(X-), h a x e X

kölcsönösen egyértelmű leképezés A-ról A U B-re. □

6.10. T é te l. M ind az irracionális, mind pedig a transzcendens számok halmaza kontinuum számosságú.

B izonyítás. Az előző tétel szerint M \ Q ~ (M \ Q) U Q = M, tehát M \ Q kontinuum számosságú. Az okoskodás értelemszerű módosítása adja, hogy a transzcendens számok halmaza is kontinuum számosságú. □

6 .11. T é te l. Minden nem elfajuló intervallum kontinuum számosságú.

B izon y ítás . A (—1,1) nyílt intervallum kontinuum számosságú, ugyanis az f { x ) = a;/(l -f- |x|) függvény kölcsönösen egyértelműen ráképezi M-et ( - 1, 1)- re. (A z / függvény inverze f ~^{x ) = x/{ l — la;|) {x e ( - 1,1 )). Mivel minden nyílt intervallum ekvivalens (0, l)-gyel (a {b—a ) x + a függvény (0, l)-e t (a, b)-re képezi), így minden nyílt intervallum kontinuum számosságú.

Mármost a 6.9. Lemma szerint [a, ~ (a,b), (a, &] ~ [a,,b) és [a,b) ~ (a,b) , tehát azt kaptuk, hogy a korlátos intervallumok mind konti- nvumi számosságúak.

Annak bizonyítását, hogy a félegyenesek is kontinuum számosságúak, az olvasóra hagyjuk. □

Megszámlálható halmazok 107

Feladatok

6.1. Jelölje üji a (6.1) sorozat n-edik tagját. Melyik a legkisebb n, amelyre= -17/39?

6.2. Bizonyítsuk be, hogy az egész számokból képezhető véges sorozatok halmaza megszámlálható. (Ö )

6.3. Mutassuk meg, hogy a véges hosszúságú magyar nyelvű szövegek halmaza megszámlálható.

6.4. Bizonyítsuk be, hogy páronként diszjunkt intervallumok bármely halmaza megszámlálható. (Ö )

6.5. Bizonyítsuk be, hogy egy halmaz akkor és csak akkor végtelen, ha ekvivalens egy valódi részhalmazával.

6.6. Bizonyítsuk be, hogy minden félegyenes kontinuum számosságú.

6.7. Bizonyítsuk be, hogy ha A és 5 kontinuum számosságú halmazok, akkor A U f i is kontinuum számosságú.

6.8. Bizonyítsuk be, hogy egy kör kerülete kontinuum számosságú.

6.9. Bizonyítsuk be, hogy a sík (vagyis az {(x , y ) : x, y e M) halmaz) kontinuum

számosságú. (Ö )

6.10. Bizonyítsuk be, hogy N összes részhalmazainak halmaza kontinuum számosságú.

6.11. Adjunk meg egy olyan függvényt, amely (0, l]-et kölcsönösen egyértelműen ráképezi a pozitív egész számokból álló végtelen sorozatok halmazára. (Ö )

7. VALÓS VALTOZOS,

VALÓS ÉRTÉKŰ FÜGGVÉNYEK

Függvények és grafikonok

Tekintsünk egy f : A - > B függvényt. Amint azt korábban már tisztáztuk, ezen azt értjük, hogy az A halmaz mindegyik a eleméhez hozzá van rendelve egy b e B elem, amelyet úgy jelölünk, hogy b = f {a) .

Az A halmazt / é rte lm ezés i tartom ányának nevezzük, melynek jelölése A = D { f ) . Azon b e B elemek halmazát, amelyek megfelelnek valamely a e j4-nak, / értékkészle tének nevezzük, és i?(/ )-fel jelöljük. Tehát R { f ) = {/ (a ) ; a e £>(/)). Az R { f ) halmaz része S-nek, de általában nem kell, hogy egyenlő legyen 5-vel.

Ha C C A, akkor f (C )-v e l jelöljük azon b e B elemek halmazát, amelyek megfelelnek valamely a e C-nek: f { C ) = [ f { a) : a e C] . Ezen jelölés szerint R U ) = f { D i f ) ) .

Az f és g függvényeket akkor tekintjük egyenlőnek, ha D { f ) = D{g) , és f { x ) = g[ x ) teljesül minden x e D { f ) = D{g)-Te.

Ha egy képletet írimk fel, pl. n^-l- 1-et, és hangsúlyozni akarjuk, hogy nem az + I számot tekintjük, hanem azt a leképezést, amely n-hez -I- 1-et rendeli, akkor ezt így jelölhetjük:

n i-> n' -f 1 {n e N).

7.1. D efin íc ió . Ha f : A ^ B és ai, U2 e A, aj ^ ü2 esetén / (a i) ^ f { a 2), akkor azt mondjuk, hogy / egy-egyértelmi'í leképezés (más szóval injektív leképezés, injekció.)

Ha / :A ^ B egy-egyértelmű és R { f ) = B, akkor azt mondjuk, hogy / kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít A és B között. (Más szóval / bijektív leképezés, bijekció.)

7.2. D efin íc ió . Ha f : A - ^ B kölcsönösen egyértelmű A és B között, akkor / “ ^-gyel jelöljük azt a leképezést, amely minden b — f {a) elemhez hozzáren- deh a-t (a € A) . Ekkor f~^ : B ^ A, D (/ " ‘ ) = B, i? (/ “ M = A. Az leképezést / inverz függvényének nevezzük.

Függvények és grafikonok 109

7.3. Tétel. Legyen f : A B kölcsönösen egyértelmű A és B között. Ekkor a g = / ” ' '■ B ^ A függvénynek létezik az inverze, és g~^ — f .

Bizonyítás. Az állítás nyilvánvaló az inverz függvény definíciójából. □

A függvények körében többféle műveletet értelmezhetünk; ezek a műveletek függvények párjaihoz rendelnek függvényeket. Ilyen például a kompozíció művelete.

7.4. D efin íc ió . Az J: A ^ B és g: B -y C függvények összetételén vagy kompozícióján azt a g o /-fel jelölt függvényt értjük, amelyre D {g o f ) = A és {go f ) { x ) = g { f { x ) ) minden x e A-ra. Ha / és 5 tetszőleges függvények, akkor a g o f függvényt azokra az a;-ekre értelmezzük, amelyekre g { f { x ) ) értelmes. Tehát D{ g o J) = [ x e D { f ) : f { x ) e D{g) ] , és {g o f ) { x ) = g { f { x ) ) minden ilyen x-re.

Tekintsük a következő példát. Jelölje Z az egész számok halmazát, és legyen f { x ) = a: -I- 1 minden x e Z-re. Legyen továbbá g{x) = 1/x minden X e Z \ (0}-ra. Ekkor D{ g o f ) = Z \ { — 1}, és {g o f ) { x ) = l /{ x + 1) minden x e Z \ { —l}-re. Má.srészt D { f og ) = Z \ (0), és { f og ) { x ) = ( l /x ) + 1 minden X e Z\(0)-ra. Láthatjuk, hogy f o g ^ g o f , hiszen különbözőek az értelmezési tartományaik. Sőt, könnyen beláthatjuk, hogy (/ o g ) { x ) 7 {g o f ) { x ) minden olyan a:-re, ahol mindkét oldal értelmes.

A valós értékű függvények körében értelmezhetjük még az összeadás, kivonás, szorzás és osztás műveleteit is.

Legyenek f és g valós értékű függvények. Az f + g összegfüggvényt és az f - g különbségfüggvényt az (/ -|- g) { x ) = f { x ) -|- g{x) és (/ - g){x)^ =— f { x ) — g{x) képletekkel értelmezzük minden x 6 D { f ) n D{ g ) pontra. így D { f + g) = D { f - g ) = D { f ) n D { g ) .

Hasonlóan, az f -g szorzatfüggvény értelmezési tartománya a D { f ) n D{ g ) halmaz, az értéke az 2; e D { f ) n D{ g ) pontban pedig f { x ) ■g{x). Végül, az f /g hányadosfüggvény értelmezése { f /g) { x ) = f { x ) /g { x ) minden olyan x pontra, amelyre x e D { f ) D{ g ) és g{x) 7 0. Tehát D{ f / g ) = {a; e D { f ) D D { g ) ■

A következőkben olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a valós számok egy-egy részhalmaza. Az ilyen függvényeket valós változós, valós értékű függvényeknek (röviden valós függvényeknek) nevezzük. A számsorozatokhoz hasonlóan a valós függvények megadása is többféle módon lehetséges. Tekintsük a következő példákat.

110 7. Valós váitozós, valós értékű függvények

7.5. Példák.

(1) / (x ) = x ' + 3

(2) f { x ) =1, ha X racionális

( x e

( x e0, ha X irracionális

im (1 +a ; + ... + x " '-»CX) ^

(4) / (0,aia2 ■ ■ ■) — 0,a,2a4ac, . . ahol a 0,ai .. . 0^999.. . alakot kizárjuk.

Az (l)-ben szereplő függvényt „képlettel” adtuk meg; a többiek esetében a hozzárendelést más módon határoztuk meg. Akárcsak a sorozatok esetében, a függvények meghatározá-sánál sem játszik szerepet, hogy milyen módon definiáljuk: a képlettel történő definíció sem nem jobb, sem nem rosszabb (legfeljebb rövidebb) a többinél.

A valós függvényeket a síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben szemléltethetjük*. Legyen f : A ^ B egy valós függvény, ahol tehát A C ffi és 5 c M. Tekintsük az (a:,0) alakú pontokat az x tengelyen, ahol x e A. Minden ilyen pontban emeljünk merőlegest az x tengelyre, és mérjük fel erre a merőlegesre az előjeles f { x ) távolságot (tehát az x tengelytől „felfelé” , ha f { x ) > 0 és „lefelé” , ha f { x ) < 0.) így az ( x , f { x ) ) pontokhoz jutunk, ahol x e A. Ezen pontok halmazát nevezzük az / függvény grafikonjának; jelölése graph/. Tehát röviden:

gTa.phf = l { x , f { x ) ) : x e A } . (7.1)

7.6. Példák.

Tekintsük a következő függvényeket.

( 1) f { x ) = ax + b- (2) / (x ) = x^

(3) f { x ) ^ { x ~ a ) { x - b ) - (4) f { x ) = x ;

(5) f { x ) = - ;X

(6) f { x ) = \x\-

(7) f { x ) = [x], ahol [x] az x-nél nem nagyobb egész számokközül a legnagyobbat jelöli;

(8) f { x ) = [x}, ahol {x j = X - [a;];

(9) f i x ) =1, ha X racionális

0, ha X irracionális;( 10) f { x ) ^

X, ha X racionális

0, ha X irracionális.

* A koordiiiátageometria alapfogalmait röviden ö.sszefoglaljuk a fejezet függelékében.


Lássuk az ( I ) - ( IO ) függvények grafikonjait!

(1)

f { x) = ax + b

(2)y ■ f { x ) ^ x ^\ ^

\ 1\ ^\ ^\ /

- 2 - 1 0 1 2 X

(3) y.

/f l\ 0 A

X

fix) = { x - a ) { x - b )

(6)

\ ^ , fix) = 1x1

0 X

' ’ y.

f i x ) = h

1

1

. 1 ^

yj7 ( ^ ) - N

•--- 0

1- # o

-2 -1 0 1 2 X

m--- 0 - 2

(9) y ( 10) y.

0 0X

1, ha a; 6 I 0, ha a: fi I fix) =

xX, ha a; e ' 0, ha a; ^ I

7.1. ábra

112 7. Valós változós, valós értékű függvények

A (9) függvény, amely immár másodszor szerepel, a későbbiekben is sokszor fog felbukkanni különböző jelenségek illusztrálásakor. Ezt a függvényt - felfedezőjéről - Dirichlet-függvénynek nevezzük*.

Megjegyezzük, hogy a függvények grafikonjának síkbeli szemléltetésére ugyanaz igaz, amit a számegyenessel kapcsolatban korábban mondtunk. A síkbeli ábrázolás előnye, hogy bizonyos állításokat könnyebben érthető és jobban áttekinthető formában kaphatunk meg, és a szemléltetés révén sokszor nyerünk bizonyítási ötleteket is. De ismét hangsúlyozzuk, hogy az, amit a szemléltetésből adódóan „látunk” , nem tekinthető bizonyításnak; sőt, szemléletesen igaznak látszó állításokról kiderülhetnek, hogy hamisak. Mint már eddig is, a bizonyításokban csupán a valós számok axiómáira és az azokból már bizonyított tételekre támaszkodhatunk.

7.7. M eg jeg y zé s . A figyelmes olvasónak feltűnhetett, hogy a függvények bevezetésekor nem jártunk el olyan szigorú kritikával, mint a halmaz fogalmának esetében. Ott megjegyeztük, hogy a halmazt összességként, osztályként, rendszerként leírva nem oldjuk meg a definíció problémáját, ezért a halmazt alapfogalomnak tekintjük. A függvények fogalmát a hozzárendelés fogalmára vezettük vissza, az utóbbit azonban nem defináltuk. Kézenfekvő ugyanazt a megoldást választani, mint a halmazok esetében, tehát a függvényt is alapfogalomként kezelni, amelynek a hozzárendelés és a leképezés csupán szinonimái.

Meg kell azonban jegyezni, hogy a függvény fogalmát vissza lehet vezetni a halmaz fogalmára. Ezt a grafikon fogalmának általánosításával tehetjük meg. A függvénygrafikon (7.1)-beli definícióját könnyen általánosíthatjuk tetszőleges halmazok közötti leképezésekre. Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Az (a, b) rendezett párok halmazát, ahol a e A és h e B , az A és B halmazok D escartes-szorzatának nevezzük, és x E-vel jelöljük. Tehát

A X B = {(a , 6) : a e A, b e B ).

Ha f - . A —* B egy függvény, akkor / grafikonját a (7.1) képlettel definiáljuk.

A graph / halmaz tehát az A x B Descarte.s-szorzat részhalmaza. így minden ^-ból B-he képező függvényhez hozzárendeltük a graph / CL A x B halmazt. Nyilvánvaló, hogy különböző függvények grafikonja különböző.

Világos, hogy a graph/ c A x B halmaz rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy tetszőleges a e A elemhez pontosan egy olyan h g B elem van, amelyre (a,b) e graph/, nevezetesen h = f {a) . Megfordítva, tegyük fel, hogy H c A x B és minden a e A elemhez pontosan egy olyan b e B elem

Lejeune Dirichlet (1805-1859) német matematikus


van, amelyre [a,b) £ H. Jelöljük /(a)-val ezt az egyetlen elemet. Ezzel egy j : A - ^ B függvényt értelmeztünk, és világos, hogy H = graph/. Ez a megfigyelés az, amely lehetővé teszi, hogy a függvény fogalmát visszavezessük a halmaz fogalmára. A halmazelmélet axiomatikus felépítésében a függvényeket úgy definiálják, mint az A x B Descartes-szorzatok fenti tulajdonságú részhalmazai. Mi nem követjük ezt az utat (hiszen a halmazelmélet axiomatikus felépítése nem célunk), így a függvény fogalmát továbbra is alapfogalomként kezeljük.

A fejezetet a matematikai jelölésekre vonatkozó megjegyzéssel zárjuk. A matematikai fogalmak és objektumok jelölésére az évszázadok során kialakult egy konvenció. Eszerint a függvényeket legtöbbször /-fel jelöljük; ez a latin functio szó kezdőbetűje (amely szerencsés módon megegyezik a függvény szó kezdőbetűjével). Ha egy okoskodásban több függvény szerepel, azokat általában f , g, h-val jelöljük. Hasonló okból a természetes számok jelölése legtöbbször n, amely a naturalis szó kezdőbetűje. A természetes és az egész számok jelölésére az n-en kívül gyakran használjuk még az n-et megelőző i , j , k , l , m betűket is. A konstansokat és a sorozatokat leginkább az ábécé elején található betűkkel jelöljük, míg a változók (vagyis azok a mennyiségek, amelyekre függvényeket alkalmazunk) szol-cásos jelölése az ábécé végén levő x, y, z betűkkel történik.

Természetesen semmilyen elvi jelentősége nincs annak, hogy egy mennyiséget éppen milyen betűvel vagy szimbólummal jelölünk, és előfordulhat, hogy egy függvényt kénytelenek vagyunk az f , g j i betűktől különböző betűvel jelölni. Azonban a fenti konvenció használata jelentősen megkönnyíti a matematikai szövegek olvasását, mert az esetek többségében egy pillanat alatt tájékozódni tudunk a szereplő matematikai objektumok természetéről.

Feladatok

7.1. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak minden f : A ^ B függvényre és H, K c A részhalmazra.

(a) f { H U K ) = f { H ) U f { Ky, (b ) f { H n K ) = f { H ) n / (K );

(c) f { H \ K ) = f { H ) \ f { K ) .

7.2. Tetszőleges f : A ^ B függvényre és Y c B halmazra jelöljük f ~^{ Y) - nal azon x e A elemek halmazát, amelyekre f { x ) e Y. (Nem tesszük fel, hogy /-nek létezik az inverze. A jelölés jogosságát illetően megjegyezzük.

hogy ha létezik az / inverz, akkor / kétféle értelmezése ugyanazt a halmazt jelöli.)

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges Y , Z c B halmazokra

(a) r \ Y U Z ) = r \ Y ) u r H z y ,

(b) r \ Y n z ) = r \ Y ) n r ^ i z ) -

(c) r H y \ z ) = r \ Y ) \ r \ z ) .

7.3. Határozzuk meg az alábbi függvények inverzeit.

(a) {x + l ) /{ x - 1), a; e K \ {1}; (b ) \/{2x + 3), x 6 M \ {-3/2 );

(c) x/{\ + |a;|), a; e 1 .

7.4. Van-e olyan /: R —>■ ® függvény, amelyre (/ o f ) { x ) = —x minden x e M-re? (Ö )

7.5. Adjunk meg minden c valós számhoz egy /c : ® —> K függvényt úgy, hogy /a+6 = fa ° fb teljesüljön minden a,b e E-re. Megtehetö-e ez úgy is, hogy f i egy tetszőleges, előre megadott függvény legyen? ( * Ö )

7.6. (a) Adjunk meg két olyan valós f i , f -2 függvényt, melyekhez nincs olyang, hogy f i és /2 mindketten g o .. . o g alakúak legyenek. (Ö )

(b ) Legyenek f \ , . . . , f k tetszőleges, ffi-en értelmezett valós függvények. Mutassuk meg, hogy megadható három függvény: gi , g2,gz ’-igyi hogy f i , . . . , fk mindegyike előáll gi o gi o . . . o gi alakban ( i i , .. . , 2 = = 1,2,3). ( * M )

(c) Megoldható-e ez két gi függvénnyel három helyett? ( * Ö M )

(d) Megoldható-e ez / -k egy végtelen sorozatára? (* Ö M )

Valós függvények globális tulajdonságai

A 7.6. Példákban szereplő függvények grafikonjain olyan szimmetriákat és egyéb tulajdonságokat figyelhetünk meg, amelyek számos más függvénynél is előfordulnak. így a (2), ( 6) és (9) függvények grafikonjai szimmetrikusak az y tengelyre, a (4) és (.5) függvények grafikonjai szimmetrikusak az origóra, a(8) függvény grafikonja periodikusan ismétlődő szakaszokból áll. A (2), (4) és(6) függvények grafikonja más jellegű tulajdonságot is tükröz. Ezeknél a függvényeknél a grafikonnak a [0, cx>) feletti része „fölfelé halad” , ami annak felel meg, hogy ezen a félegyenesen nagyobb ac-hez nagyobb f { x ) tartozik. A (2),

Valós függvények globális tulajdonságai 115

(3) függvények grafikonja, illetve a (4) és (5) függvények grafikonjának (0, oo) feletti része pedig „alulról domború” , vagyis a grafikon két pontját összekötő egyenesszakasz mindig a grafikon felett halad.

A következőkben pontosan értelmezzük ezeket a tulajdonságokat, és olyan módszereket mutatunk, amelyek segítségével eldönthetjük, hogy egy függvény az adott tulajdonságok valamelyikével rendelkezik-e vagy sem.

7.8. D efin íc ió . A z / függvény páros, ha minden x e D { f ) számra —x e D { f ) és f { x ) = f ( - x ) .

Az / függvény páratlan, ha minden x e D [ f ) számra —x g D { f ) és f { x ) = - f { - x ) .

7.9. M eg jeg y zé s . Nyilvánvaló, hogy tetszőleges n páros egész számra az j { x ) = x^ függvény páros, ha pedig n páratlan, akkor x ” is páratlan. (Az elnevezést éppen ez a tény indokolja.) Az is világos, hogy egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Ez abból következik, hogy az {x,y) pontot az y tengelyre tükrözve a {—x, ij) pontba jutunk. A páratlan függvények grafikonja viszont az origóra szimmetrikus, ugyanis az {x, y) pontot az origóra tükrözve a (—x, —y) pontba jutunk.

7.10. D efin íc ió . Az / függvény periodikus, ha van olyan d 0, hogy minden X G D{ f ) - ve X + d e D { f ) , x - d e D { f ) és f { x + d) — f { x ) . A d számot az f függvény periódusának nevezzük.

7.11. M eg jeg y zé s . Könnyű belátni, hogy ha dia. f függvény egy periódusa, akkor k-d\s periódus minden k egész számra. Tehát egy periodikus függvénynek mindig végtelen sok periódusa van.

Nem minden periodikus függvénynek van legkisebb pozitív periódusa. Pl. a Dirichlet-függvény periódusai éppen a racionáhs számok, és a pozitív racionális számok között nincs legkisebb.

7.12. D efin íc ió . Az / függvény felülről (illetve alulról) korlátos az ^ C M halmazon, ha A c D { f ) , és van olyan K szám, hogy f { x ) < K (/ (x ) K ) minden x e A-ra.

Az / korlátos az A c K halmazon, ha alulról és felülről is korlátos A-n.

Könnyű belátni, hogy / akkor és csak akkor korlátos A-n, ha A C D { f ) , és van olyan K szám, hogy |/(x)l < K minden x e A-ra. Az / függvénynek az

A halmazon való korlátossága szemléletesen azt jelenti, hogy alkalmas K -ra a függvény grafikonjának A feletti része az y = —K és y = K egyenesek által határolt sávban van.

Az f { x ) = 1/x függvény korlátos (í, l)-ben minden J > 0 esetén, de nem korlátos (0, l)-ben. A (0,1) intervallumban alulról korlátos, de felülről nem korlátos.

Az

jyX ) =X, ha a; racionális 0, ha X irracionális

függvény nem korlátos ( —oo, +cx))-ben. Azonban / korlátos az ffi\Q halmazon.

7.13. D efin íc ió . Az / függvény monoton növekvő (monoton csökkenő) az A C M halmazon, ha j4 c D { f ) , és minden xi e A, X2 e A, X[ < X2 esetén

f { x i ) < f { x 2) i f { x i ) > f { x 2) ) . (7.2)

Ha (7.2)-ben <, illetve > helyett < , iüetve > áll, akkor f -e t szigorúan monoton növekvőnek (illetve csökkenőnek) nevezzük. A monoton növekvő vagy monoton csökkenő függvényeket röviden monoton függvényeknek hívjuk.

Jegyezzük meg, hogy ha / konstans az A halmazon, akkor / egyszerre monoton növekedő és monoton csökkenő A-n.

A Dirichlet-függvény semmilyen intervallumban nem monoton növekedő, és nem is monoton csökkenő. De a racionális számok halmazán a Dirichlet- függvény egyszerre monoton növekedő és monoton csökkenő (hiszen ott konstans).

K o n ve x és konkáv fü ggvények . Tekintsük a graph/ grafikon (a ,/ (a )) és pontjait, ahol a < ö. E pontokat összekötő egyenesszakaszt a graph/

grafikon húrjának nevezzük. A húr egyenesének egyenletét megadó lineáris függvény legyen azaz legyen

K ,b {x ) = ---- ]---------- [x - a) -h / a).b — a

7.14. D efin íc ió . A z / függvény konvex az I intervallumban, ha minden a, b e l é s a < x , illetve > áll, akkor f -e t /-ben konkávnak, illetve szigorúan konkávnak nevezzük.

Yalós függvények globális tulajdonságai 117

7.2. ábra

Az a tulajdonság, hogy / konvex /-ben, szemléletesen úgy fogalmazható, hogy mindena, & e / esetén a graph / grafikonnak az (a, b) intervallumhoz tartozó része az (a ,/ (a )) és {b, f {b) ) pontokat összekötő húr „alatt” van.Az ábrán / = (a,/3).

Nyilvánvaló, hogy / akkor és csak akkor konvex /-ben, ha —/ konlíáv /-ben. Megjegyezzük, hogy „konvex” helyett néha szokás az „alulról konvex” , „konkáv” helyett pedig az „alulról konkáv” elnevezést használni.

Ha az / függvény lineáris az / intervallumon, azaz f { x ) = cx+d valamely c és d konstanssal, akkor (7.3)-ban egyenlőség áll minden a::-re. Tehát egy lineáris függvény egyszerre konvex és konkáv is.

Az alkalmazások szempontjából érdemes a konvexitást jellemző egyenlőtlenséget más formában is megadni.

Legyen a < b é s O < t < l . Ekkor az x = ta + { I — t)b szám eleme (a, b)- nek, méghozzá a; az a pont, amely az [a, 6] intervallumot (1 — í) - t arányban osztja. Valóban,

a = t a + [ l - t ) a < t a - \ - { l - t ) b = x < t b - \ - { l - t ) h = b ,

tehát x e (a, ö). Másrészt egyszerű számolás mutatja, hogy {x — a)/{b — x ) = = { l ~ t ) / t .

A számolás megfordításával az is látható, hogy (a, b) minden eleme előáll ta + {1 - t )b alakban, ahol 0 < í < 1. Ha ugyanis x e {a,b), akkor a t = {b — x)/{b — a) választás megfelel.

Mármost, h a a < x < 6 é s r r = ía - t - ( l - t)b, akkor

b — a{[ta + (1 - t)b] - a ) + f i a ) = t f ( a ) + (1 - t ) f ( b ) .

Ha ezt behelyettesítjük a (7.3) egyenlőtlenségbe, akkor a konvexitás alábbi ekvivalens feltételét kapjuk.

'^•15. L em m a . A z f függvény akkor és csak akkor konvex az I intervallumon, ba bármely a , b e l é s 0 < t < l számokra

f ( t a + ( l - t ) b ) < t f ( a ) + ( l - t ) f ( b ) . (7.4)

7.16. M egjegyzés. A fenti okoskodásból az is adódik, hogy az / függvény szigorú konvexitása azzal ekvivalens, hogy a ^ b esetén (7.4)-ben szigorú egyenlőtlenség áll.

7.17. Tétel (Jensen*-egyenlőtlenség). Az f függvény akkor és csak akkor konvex az 1 intervallumon, ha valahányszor a^,. . . ,ün ^ I , t i , . . . ,tn > 0 és ti + . . . + tn = 1, akkor

f [tlO-l + • . . + tn.an) < t i f { a i ) + . . . + tnf (an) - ( ” -5)

Ha f szigorúan konvex, akkor szigorú egyenlőtlenség áll, feltéve, hogy az aj-k nem mind egyenlők.

Bizonyítás. A 7.15. Lemma szerint az / függvény akkor és csak akkor konvex az I intervallumon, ha (7.5) n == 2-re fennáll. így csak azt kell megmutatnunk, hogy ha az egyenlőtlenség n = 2-re igaz, akkor n > 2-re is igaz. Ezt indukcióval látjuk be.

Legyen k > 2, és tegyük fel, hogy (7.5) teljesül minden 2 < n < k és a i , . . . , € /, valamint í i , . . . , > 0, íi -|-... H- í „ = 1 esetén. Legyen o i , .... . . ,ük & I és t i , . . . ,tk > 0, ti + . . . + tk = í. Belátjuk, hogy

/ {t iai -t-... + tkük) < t i f { a i ) + .. . -f- ífc/(a/,). (7.6)

Legyen

t = t i + . . . + í f c - i )

a = { t i/ t )a i - t - . . . -h ( í / . _ i / í ) a / ; _ i

és

P = ( t i / t ) f i a i ) + . . . + { t k - i l t ) f { a k - i ) .

Az indukciós feltevés szerint / (a ) < /?. Ha még felhasználjuk, hogy t^ = \ —t, akkor azt kapjuk, hogy

/ (íia i -f-... -f tkük) = í { t - a + { l - t )ak) <

< t - f { a ) + { í - t ) - f {ak) <

< t - f3 + { í - t ) - f {ak) =

^ t i f { a i ) + . . . + t k f { ak ) ,

amivel az állítást beláttuk. A szigorú konvexitásra vonatkozó állítás ugyanígy adódik. □

Johan Ludw ig W illiam Vaidemar Jensen (1859-1925) dán matematikus


A következő tétel a konvexitás és a monotonitás között létesít kapcsolatot.

7.18. T é te l. Az f függvény akkor és csak akkor konvex az I intervallumon,

ha minden a e I - r e az x --------------------- (x e T \ { a ] ) függvény m onoton növőX — a

az I \ {a } halmazon.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy / konvex I-n , és legyen a, x, y e I , a < x < y. A (7.3) feltétel szerint

f { x ) < - a ) + f {a) .y - a

Ebből egyszerű átrendezéssel meglcaphatjuk az

X — a ~ y — CL

egyenlőtlenséget.

Ha X < a < y, akkor (7.3) szerint

(7.8)

í/ f i y ) - f { ^ ) , N , í/ /(a) < --------------- [ a - x ) + f i x ) ,' — X

amiből (7.8) ismét egyszerű átrendezéssel megkapható. Ugyanígy adódik (7.8)

&'íx < y < a esetben. Ezzel beláttuk, hogy az függvény monoton

növó'.X — a

Mo.st tegyük fel, hogy az függvény monoton nő mindenX — a

a e /-re. Legyen a,b e I és a < x < b. Ekkor

f i x ) - f i a ) ^ f { b ) - f i a )

X — a b — a

amiből átrendezéssel

f i x ) < — ^ ( . T - a) -t- f ia ) , b — a

/ kielégíti a konvexitás feltételét. □

Lássunk néhány alkalmazást!


7.19. P é ld a . Először is megmutatjuk, hogy az függvény konvex 1-ben. A 7.18. Tétel szerint azt kell megmutatni, hogy az - a^)/(x — a) = x + a

függvény monoton növő minden a-ra, ami nyilvánvaló. így az f { x ) = -j? függvényre alkalmazhatjuk a Jensen-egyenlötlenséget. k ti — . . . = tn = l l n választással azt kapjuk, hogy

/ Qi -I-.. . + any ^ aj + . . . + afiV n ) ~ n '

illetve négyzetgyököt vonva

ül + . . . + ün ^ I (Aj

- V

af + . . . + a í(7.9)

n ' i n

minden a i , . . . , o „ e 1-re. Ez az ún. szám tan i és n égyzetes közepek k ö zö tt i egyen lő tlen ség .

7.20. P é ld a . Most belátjuk, hogy az l /x függvény konvex a (0, oo) félegyenesen. Azt kell belátnunk, hogy minden a > 0-ra az

( l / x ) - { l / a ) 1

X — a a ■ X

függvény monoton növő a (0, oo) \ {a} halmazon, ami ismét világos.

Ha most az f { x ) = l / x függvényre alkalmazzuk a Jensen-egyenlőtlenséget- ismét a íi = .. . = í „ = 1/n választással akkor megkapjuk a számtani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget (1.6. és 1.7. Tételek).

Feladatok

7.7. Legyen f és g értelmezve ( —oo,+oo)-ben és legyen

(a) / páros, g páratlan;

(b) / páros, g páros;

(c) f páratlan, g páratlan.

Mi mondható az (a ), (b ), illetve (c) esetekben a , z f + g , f — g , f - g , illetve f o g függvények páros, illetve páratlan voltáról'.'’

7.8. A z előző feladat kérdése páros, illetve páratlan függvények helyett monoton növekedő, illetve monoton csökkenő függvényekre.


7.9. Bizonyítsuk be, hogy minden /; egy páratlan függvény összege.

7.10. Tegyük fel, hogy az /:1R Bizonyítsuk be, hogy ha

függvény előáll mint egy páros és

függvény sehol sem veszi fel a —1 értéket.

f i x ) - 1/ (x - + l ) =

f i x ) + 1

minden x-re, akkor / periodikus.

7.11. Tegyük fel, hogy az /: ffi ^ ffi függvénynek pontosan a racionális számok a periódusai. Igaz-e, hogy van olyan M ® függvény, amelyre g o f a, Dirichlet-függvény?

7.12. Bizonyítsuk be, hogy az

0, ha X irracionális

/ (* ) ^ 9, ha a; = p e Z, 9 € N+, [p ,q ) = 1 I 9

függvény semmilyen 1 intervallumban nem korlátos.

7.13. Az / függvény legyen értelmezve a következőképpen. Legyen x e (0 ,1] végtelen tizedestört-kifejtése

X = 0 ,010203 . . . a2n-\0‘2n • • • j

ahol az egyértelműség kedvéért a 0 ,a i... a „0 .. . 0 ... alakot kizárjuk. Egy olyan függvényt értelmezünk, amelynek értéke attól függ, hogy a

0,aia3 .. . a2n+i ■ ■ ■

szám (minden második jegy szerepel) racionális-e vagy nem. Legyen

0, ha 0,010305 .. . a-2n+i ■ ■ ■ irracionális,

/ (^ ) = ha 0,0103 . . . 02n+i • . • racionális és u,02,10271+2 • • • 0‘2n+2k • • •! gjgg periódusa 02n-i-nél kezdődik.

Bizonyítsuk be, hogy / a (0, 1) minden részintervallumában minden (0, 1)- beli értéket felvesz. (Ebből következik, hogy (0,1) minden részintervallumában minden értéket végtelen sokszor vesz fel.)

7.14. Bizonyítsuk be, hogy x^ szigorúan konvex [0, oo)-ben minden A: > 1 egész számra.

7.15. Bizonyítsuk be, hogy ha a j , . . . , a„ > 0 és fc > 1 egész, akkor

n n


(a) szigorúan konkáv [0, oo)-ben;

(b) szigorúan konkáv [0, oo)-ben minden A; > 1 egészre.

7.17. Bizonyítandó, hogy ha konvex [a, 6]-ben, [a, &]-beli értékkészlete [c,d], f { x ) konvex és monoton növekedő [c, d]-ben, akkor / o konvex [a, ö]-ben.

7.18. Bizonyítsuk be, hogy ha / szigorúan konvex az I intervallumon, akkor / grafikonját minden egyenes legfeljebb két pontban metszi. (M )

Függelék: A koordinátageometria alapfogalmai

Vegyünk fel két merőleges egyenest a síkon, nevezzük az elsőt x tengelynek, a másodikat pedig y tengelynek. A két tengely metszéspontját origónak nevezzük. Mindkét tengelyt számegyenesként képzeljük el, tehát mindkét tengely minden pontjához hozzárendelünk egy valós számot, az illető pont koordinátáját, amely a pontnak az origótól vett előjeles távolságát adja meg.

Egy síkbeli P pont x tengelyre vett vetületét úgy kapjuk, hogy vesszük a P-n átmenő és az y tengellyel párhuzamos egyenest, és ennek az x tengellyel vett metszéspontját. E vetületnek az x tengelyen mint számegyenesen vett koordinátáját a P pont első koordinátájának nevezzük. Hasonlóan kapjuk a P pont y tengelyre vett vetületét, és ennek koordinátáját, amelyet P második koordinátájának nevezünk. Ha a P pont első és második koordinátája a és b, akkor ezt úgy jelöljük, hogy P = {a,b). Ilyen módon a sík minden pontjához hozzárendeltünk egy valós számokból álló rendezett párt. A sík geometriai tulajdonságaiból következik, hogy ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Ezért a továbbiakban azonosítjuk a sík pontjait a koordinátáikból álló párokkal, a síkot magát pedig az M x 1. = jR halmazzal. Ahelyett, hogy „a sík azon pontja, melynek koordinátái a és ö” azt mondjuk, hogy „az (a, b) pont” .

A sík pontjait vektoroknak is nevezhetjük. Kz x — (a, b) vektor hosszúságán az

|x| = \ / s z á m o t értjük. A vektorok körében értelmezzük az összeadás, a kivonás és a valós számmal való szorzás műveleteit: az (ai,a-2) és (&i, &2) vektorok összege az (ai-f&i, 02-I-&2) vektor, a különbségük az (ai —&i, «2 —&2) vektor, az (01,02) vektornak és a f valós számnak a szorzata a {ta\,ta2) vektor.

Függelék; A koordinátageometria alapfogalmai 123

Egy adott c e vektorral való összeadás a koordinátasíkon eltolásként jelentkezik: egy X vektort a c vektorral eltolva az a: -I- c vektorba jutunk. Ha ^ C K" vektorok e g y halmaza, akkor az {x + c : x e A] halmaz az A halmaznak a c vektorral való eltoltja.

Ha c = (ci,C2) egy adott, nullától különböző vektor, akkor a t ■ c - ( íc i, te ) vektorok (ahol í tetszőleges valós szám) befutják az origón és a c ponton átmenő egyenes pontjait. Ha ezt az egyenest eltoljuk egy a vektorral, akkor az {a -f íc : í e ffi} halmazt kapjuk; ez tehát egy a-n átmenő egyenes.

Legyenek a és 6 különböző pontok. Az előzőek szerint az E={a -I- í (6 — a) ; í e M} halmaz egy egyenes, amely átmegy az a ponton és a & ponton is, hiszen

1 . (fe — a) = 6. Ez tehát éppen az o és í) pontokon átmenő egyenes. Legyen a = (01,03) és b = (bi,b2), ahol 01 j í bi. Egy (x,y) pont akkor és csak akkor eleme E-nek, ha

.T = oi-I-í(öi - oi) és 3/= tt2 -f t(Ö2 — 02) (7.10)

egy alkalmas t valós számra. Ha í-t kifejezzük az első egyenletből és a másodikba helyettesítjük, akkor azt kapjuk, hogy

62 — 02y = a-2 + ■ ( i - a i ) . (7.11)

bi - ai

Megfordítva, ha (7.11) teljesül, akkor (7.10) is teljesülni fog í = (a; —aj )/(bi-oi)-gyel. Ez azt jelenti, hogy {x,y) e E akkor és csak akkor, ha (7.11) fennáll. Ezt röviden úgy fejezzük ki, hogy (7.11) az E egyenes egyenlete.

Ha 02 = &2, akkor (7.11) az y = 02 alakot ölti. Ez egybevág azzal az egyszerű megfigyeléssel, hogy az (x,y) pont akkor és csak akkor van a,z a — (01,02) ponton átmenő vízszintes egyenesen, ha 1/ = 02. Ha ai = foi, akkor az a és b pontokon átmenő egyenes egyenlete könnyen láthatóan a; = a i.

Az a,b e pontokat összekötő [o,ö] szakasz bármely pontját úgy kaphatjuk nieg, hogy o-ra felmérünk egy b — a irányú és legfeljebb — a| hosszúságú vektort. Más szóval, [o, b] = [a + t{b - a) : t e [0, 1]). Tehát {x,y) e [a, 6] akkor és csak akkor, ha van olyan £ e [0,1] szám, amelyre (7.10) teljesül. Az 01 < 02 esetben ennek az a pontos feltétele, hogy 01 < x < aq és (7.11) teljesüljön.

8. FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

Ha valamely gyakorlati problémában szereplő függvény értékét akarjuk kiszámítani egy a helyen, könnyen előfordulhat, hogy a-nak csak közelítő értékével számolhatunk. Tekintsük például a szabadon eső test által megtett út hosszát.

Ezt az 5( í ) = összefüggés adja meg, ahol t az eltelt idő. E képlet ismere

tében s (í) értékét egyszerűen ki tudjuk számítani. Ha azonban t = a értékét mérés segítségével határozzuk meg, akkor valójában nem az eltelt idő pontos hosszát kapjuk meg, csupán annak - a műszerek pontosságától függően - jobb vagy rosszabb közelítő értékét. De a mért t értékből s {t)-t kiszámítva azt reméljük, hogy ha a-t jó közelítéssel, vagyis kis hibával adtuk meg, akkor s(a ) értékét is jó közelítéssel kapjuk meg. Tulajdonképpen ez a helyzet minden olyan esetben, amikor valamilyen adatot más, mérési eredményekből adódó adatok segítségével számítunk ki. Ilyenkor feltételezzük, hogy ha a mérési adatok kevéssel térnek el a tényleges értéktől, akkor a mérési adatokból számított érték is csak kevéssel tér el a ténylegestől.

Ezekben az esetekben tehát adva van egy / függvény, és feltételezzük, hogy / (í ) közel lesz /(a)-hoz, feltéve, hogy t elég kevéssel tér el a-tól. Ezt a tulajdonságot nevezzük folytonosságnak. E fogalom pontos definíciója a következő.

8.1. D efin íc ió . Legyen / értelmezve valamely a-t tartalmazó nyílt intervallumban. Az / függvény folytonos az a helyen, ha minden e > 0-hoz létezik 6gy (e-tól függő) á > 0, amelyre teljesül, hogy

\ f i x ) - f { a ) \ < e , ha |a; - a| < 5. (8.1)

I { a ) + e

f i a ) - £

a — 6 a + 6

8.1. ábra

Az / függvény a helyen való folytonossága szemléletesen & G = graph / grafikon következő tulajdonságát jelenti: tetszőleges (keskeny)

\{x,y) : / (a ) - e < y < f { a ) + e]

sávot megadva, létezik egy {a — ö, a+<5) intervallum úgy, hogy G-nek ezen intervallumhoz tartozó része a m egadott sávban van.

Függvény folytonossága 125

Nyilvánvaló, hogy ha (8.1) teljesül egy 6 > 0-val, akkor teljesül minden S' e (0,<5)-val is. Más szóval, ha egy e-hoz egy 6 > 0 „jó ” , akkor minden pozitív í ' < <5 is „jó ” . Másrészt, ha egy e > 0-hoz egy <5 > 0 „jó ” , akkor ez ^jó” minden e' > e-hoz is. Ha az a feladatunk, hogy egy függvénynek egy adott pontbeli folytonosságát megállapítsuk, akkor általában nincs szükség arra, hogy minden e > 0-hoz meghatározzuk a legjobb (vagyis legnagyobb) hozzá tartozó jó J-t, elég, ha egy ilyet megadunk. (A helyzet analóg a sorozatok konvergenciájának megállapításával: ott sem kellett adott e-hoz a legkisebb küszöbindexet megtalálni, elég volt, ha találtunk egyet.)

8.2. Pé ldák . 1. Az f { x ) = c konstans függvény folytonos minden a helyen. Bármely e > 0-hoz minden pozitív <5 jó.

2. Az f { x ) = X függvény folytonos minden a helyen. Minden e > 0-hoz <5 = e: jó.

3. Az f { x ) = függvény minden a helyen folytonos. Ugyanis, ha 0 < 5 < 1 és |x — a| < (5, akkor

— a l = |x — a| • [x + a| = |x — a| • |a; — a -f- 2a\ < [n; — a| • (2|a| -1- 1).

Ezért, ha

ő = min ( 1,V 2|a| + i ) '

akkor \x — a \ < S ■ (2|a| -f 1) < e, valahányszor |a: — a| < S.

4. Az f ( x ) = I j x függvény folytonos minden a ^ 0 helyen. Ennek belátásához kivételesen adott e > 0-hoz megadjuk a legjobb <5-t, sőt meghatározzuk mindazon x helyek összességét, amelyekre \f{x) — f{a)\ < e. Legyen az egyszerűség kedvéért 0 < a < l é s 0 < e < l .Ekkor

1 1 , a- = - + £ , ha X = --------- ,X a 1 -I- ea1 1 , a- — -----e, ha a: = ---------- .X a \ — ea

Ezért, mivel 1/x szigorúan monoton (O,oo)-ben,

/(^) = i

\f {x) - f{a)\ < e, haa

< X <1 — ea ’

\f {x) - f {a)\ > e, ha x i 7 - ^ ) •\1 4- ea 1 — ea/

126 8. Függvények folytonossága és határértéke

Ebből következik, hogy adott a és e mellett

(5 = min { -a ea"

— a , a —

1 + ea 1 + ea(8 .2)

0■6 -1

8.3. ábra

V I — f a ' 1 + E a ^

a legnagyobb <5, amelyre teljesül, hogy

\J{x) - f{a)\ < e, ha x e { a - 5 , a + 5).

Később egy általános tételből (8.42.) látni fogjuk, hogy f { x ) = és f { x ) = = \jx folytonossága minden külön meggondolás nélkül rögtön következik /(a;) = X folytonosságából.

5. Az

1 ------ 1, ha a; > 0f { x ) = s g n x — 0, ha a; = 0

— 1, ha X < 0

függvény minden a ^ 0 helyen folytonos, 0-baii viszont nem folytonos. Mivel / s 1 a teljes (0, oo) félegyenesen, ezért minden a > 0-ra és minden

e > 0-ra <5 = a jó í . Ugyanígy adódik, hogy a < 0 esetén S = |a| jó Ő minden c-ra. Viszont \f(x) — /(0)| = 1, ha x 0, ezért a = 0-ra 0 < e < 1 esetén e-hoz nem létezik jó <5.

6 . Azj X, ha X racionális

( — X , ha X irracionális függvény folytonos a 0 helyen, de egyetlen x ^ 0 helyen sem folytonos. A 0 helyen folytonos, hiszen minden x-re \f{x) — / (0)| = |a;|, tehát

l/ (x ) - / (0)1 < £, ha |a ;-01< e ,

vagyis minden e > 0-hoz <5 = e jó ő.

Most belátjuk, hogy a függvény az a ^ 0 helyen nem folytonos. Legyen pk a racionális szám. Ekkor minden - a-val egyező előjelű - irracionális x helyen \f{x) — /(a)| > (a|. Ez pedig azt jelenti, hogy 0 < e < |a| esetén e-hoz nem

létezik j ó i . Hasonló a bizonyítás, ha a irracionális.

(Tudjuk, hogy minden { a ~ S,a + 5)-ban van racionális szám is és irracionális szám is; lásd a 2.2. és 2.11. Tételeket.)

E z a példa azért figyelemre méltó, mert azt mutatja, hogy egy függvény lehet egy pontban folytonos, de mindenütt másutt nem folytonos. A s z e m lé le t

számára ez talán kevésbé természetes jelenség, mint hogy egy függvény lehet egy pont kivételével mindenütt folytonos.

piiggvény folytonossága 127

7. Legyen f { x ) = (a;) a törtrész-függvény (L 7.1(8) ábra). Belátjuk, hogy f folytonos az a helyen, ha a nem egész szám, és nem folytonos az a helyen, ha a egész szám. Valóban, / (a ) = a — [a] és f { x ) — x — [a], ha [a] < a; < [a-1-1], ezért 1/ (2;) - /(a)| = \x - a\, ha [a] < . t < [a H- 1]. Vagyis, ha a nem egész, akkor minden e > 0-hoz

ő = min(e, a - [o], [a] -|- 1 — a)

jó 5. Ha viszont a egész, akkor

|/(x) - /(a)| = |x - (a - 1)1 > i , ha a - ^ < x < a,

amiből következik, hogy például 0 < e < 1/2 esetén e-hoz nem létezik jó á > 0.

Láthatjuk, hogy ha a egész, akkor az f { x ) = {x } függvény esetében minden egész a-nak csak a bal oldali környezetében való viselkedése gátolja meg a folytonosságot. Ilyen esetben a függvényt jobbról folytonosnak nevezzük. Ennek pontos értelmezése a következő.

8.3. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy [a, b) intervallumban. Az / függvény jobbról folytonos az a helyen, ha minden e > 0-hoz létezik ő > 0 úgy, hogy

|/(a:) - /(o)| < e, ha 0 < a; - a < ő. (8.3)

Az / függvény balról folytonos az a helyen, ha értelmezve van egy (c, a] intervallumban, és ha minden e > 0-hoz létezik <5 > 0, amelyre teljesül, hogy

l/(a;) - /(a)| < e, ha 0 < a — a; < ő. (8.4)

Feladatok

8.1. Mutassuk meg, hogy az / függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha ott jobbról is és balról is folytonos.

8.2. Mutassuk meg, hogy az [x] függvény folytonos a-ban, ha a nem egész, és jobbról folytonos a-ban, ha a egész.

8.3. Adjunk meg adott e > 0-hoz jó í-t (a 8.1. Definíció értelmében) az alábbi függvényekhez.(a) f ( x ) = (x + l )/ (x - 1), a = 3; (b ) / (x ) = x^ a = 2;

(c) 7 ^ , a = 2.

8.4. Az /: ffi ->• M függvény a pontbeli folytonosságának definíciója a következő formulával írható le:

(Ve > 0)(3J > 0)(Va;)(|a; - a|< 5 \f{x) - /(a)| < e).

Tekintsük a következő formulákat:

(Ve > 0)(VJ > 0)(Va;)(|a: - a|< á \f{x) - /(o)| < e);

(3 e > 0 )(V<5 > 0)(V2;)(|x - a | < 5 => 1/(2;) - f(a)\ < e);

(3e > 0)(3Ő > 0)(Vx)(la; - a|< 5 = » \f{x) - f{a)\ < e);

{Vő > 0)(3e > 0)(Vx)(la; - a|< 5 =» l/(x') - f{a)\ < e);

(35 > 0)(Ve > 0)(Va;)(|a; - a|< <5 \f(x) - f{a)\ < e).

Ezek a formulák az / függvény milyen tulajdonságait írják le?

8.5. Bizonyítsuk be, hogy ha / folytonos egy pontban, akkor |/| is folytonos ugyanitt. Fordítva, |/1 folytonosságából következik-e / folytonossága?

8.6. Bizonyítsuk be, hogy ha / és 5 folytonosak egy a pontban, akkor max(/, g) és min{ f , g ) is folytonosak a-ban.

8.7. Bizonyítsuk be, hogy ha az /; E — M függvény monoton növő és minden racionális számot felvesz, akkor mindenütt folytonos.

8.8. Bizonyítsuk be, hogy ha /: 1 ÍR nemkonstans, folytonos és periodikus, akkor van legkisebb pozitív periódusa. (Ö )

Függvény határértéke

A függvények határértékének értelmezése előtt három olyan problémát tárgyalunk, amelyek jól megvilágítják a határérték értelmezésének s z ü k s é g e s s é g é t ,

sőt a definíció célszerű módját is sugallják. Az első k é t probléma által érintett kérdések alapvető fontosságúak; szinte azt mondhatjuk, hogy az analízis elmélete azért született, hogy ezeket a kérdéseket megválaszolhassuk. A harmadik probléma egy konkrét feladat, de szintén jól érzékelteti a h a t á r é r té k

fogalmának jellegét.

1. Az első probléma a sebesség értelmezése. Egyenletes mozgás esetén a sebesség értéke v = s/t, ahol s a í időegység alatt megtett út hossza. Tekintsünk most egy változó sebességű mozgást, és jelölje s{t) a t időpontig megtett út hosszát. A probléma a pillanatnyi sebesség értelmezése és kiszámítása egy

Függvény határértéke 129

adott í() időpontban. Jelölje ui{t) a [to,t] időintervallumhoz tartozó átlagsebességet, vagyis legyen

s{t) - s(to)

t - hEz az a sebességérték, amellyel egyenletes mozgás esetén a mozgó pont t — í,, idő alatt s( t ) — s(ío) hosszúságú utat tesz meg. Ha például

s (í) = r és — 2, akkor uj{t) =t - 2

Ebben az esetben, ha t közel van 2-höz, akkor a [2,í] intervallumbeli átlagsebesség 12-höz lesz közel. Világos, hogy a 12 értéket célszerű a íq = 2 pontbeli pillanatnyi sebességnek nevezni.

Általában, ha tudjuk, hogy van olyan v érték, amelyhez w{t) értéke „nagyon” közel van minden ío-hoz elég közeli í-re, akkor ezt a v értéket fogjuk a í() pontbeli pillanatnyi sebességnek nevezni.

2. A második probléma egy függvénygrafikon értintőjének értelmezése és meghatározása. Tekintsünk egy graph/ grafikont és ennek egy rögzített P = (a, / (a )) pontját. Jelöljük ha{x)-sze\ a P és az {x, f { x ) ) pontokon átmenő húrt. A görbe érintőjének azt az egyenest célszerű nevezni, amelyhez - pontosan meghatározandó értelemben - e húrok egyenesei tartanak, ha x tart a-hoz. Mivel a szóban forgó egyenesek átmennek a P ponton, ezért ezen egyeneseket egyértelműen meghatározzák meredekségeik. A ha{x) húr meredeksége

X — a

Például az f { x ) = 1/1 esetben

1 1

ma{x) = ^X — a xa

Látható, hogy - pontosan meghatározandó értelemben - ha a; tart a-hoz, akkor ma{x) tart —1/a^-hez. így célszerű lesz a P pontbeli érintőt úgy értelmezni, mint azt az egyenest, amely átmegy az (a, l/a) ponton, és a meredeksége --1/a^. Az érintő egyenlete tehát

y = — ^ { x - a ) + - . a- a

Általában, ha az

ma{x] =f i x ) - f i a )

X — aértékek - pontosan meghatározandó értelemben - egy m értékhez tartanak, amikor x tart a-hoz, akkor a P ponton átmenő, m mereclekségű egyenest fogjuk a graph / grafikon P pontbeli érintőjének nevezni.

3. A harmadik probléma a gömbtükör fókuszpontjának a meghatározása. Tekintsünk egy r sugarú homorú gömbtükröt. A tengellyel párhuzamosan, attól X távolságra haladó fénysugár a gömbtükörró'l visszaverődve a tengelyt

egy Px pontban metszi. Kérdés, mi lesz a Px

/ pont határhelyzete, ha x 0-hoz tart. A fény- visszaverődés törvényét ismertnek tekintve:Zal

7a~ - -o azaz O Px =

8.5. ábra

(r/2)

Látható, hogy ha x elég közel van 0-hoz, akkor 0 Px tetszőlegesen megközelítheti az r /2 értéket. Tehát a gömbtükör fókusza r/2.

Mindhárom esetben a felmerülő probléma lényege a következő: hogyan értelmezzük azt, hogy „ha x tart a-hoz, akkor az f { x ) függvényértékek tartanak egy b értékhez” , illetve, hogy „az / függvény határértéke az a pontban 6” ? A fenti három probléma azt mutatja, hogy a függvény határértékét oly módon kell értelmeznünk, hogy ennek a létezését és értékét ne befolyásolja / értéke az x = a helyen, illetve az a tény, hogy az / függvény az re = a helyen esetleg nincs is értelmezve.

Az / függvény folytonossága annak precíz megfogalmazása, hogy az o-hoz elég „közeh” helyeken az / függvényérték nagyon „közel” van /(a)-hoz. így a folytonosság definíciójának megfelelő módosításával kézenfekvően kínálkozik a függvény határértékének következő definíciója.

8.4. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy a-t tartalmazó nyílt intervallumban, kivéve esetleg a-t magát. Az / függvény határértéke az a helyen létezik és értéke b, ha minden e > O-hoz létezik (5 > 0, amelyre teljesül, hogy

\f{x) - b \ < e , ha 0 < |.x - a|< á. (8.5)

A folytonosság értelmezését figyelembe véve, ezzel nyilvánvalóan ekvivalen.s a következő


f * { ^ ) =

8.5. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy a-t tartalmazó nyílt intervallumban, kivéve esetleg a-t magát. Az / függvény határértéke az a helyen létezik és értéke b, ha az

f { x ) , ha X 7 a

b, ha a: = a függvény folytonos az a helyen.

Azt, hogy / határértéke az a helyen 6, a következőképpen jelöljük:

Um^f{x) — b, illetve f { x ) -> 6, ha x ^ a.

f { x ) - />b azt jelöli, hogy / nem tart ö-hez.

Ha / folytonos a-ban, akkor a 8.4. Definíció feltétele teljesül b — /(a)-val. A folytonosság és határérték kapcsolata tehát a következőképpen is megfogalmazható:

Legyen / éi'telmezve egy a-t tartalmazó nyílt intervallumban. A z / függvény akkor és csak akkor folytonos a-ban, ha Jmi f [ x ) létezik és értéke /(a).

A l im^f{x) — b álhtás a függvény grafikonjának következő tulajdonságát

jelenti: tetszőleges „keskeny” {{x,y) : b ~ e < y 0, hogy a grafikonnak az (a — 5, a -t- J) \ {a} halmazhoz tartozó része a megadott sávban van.

A következő tétel a határérték egyértelműségét állítja.

8.6. T é te l. Ha lim f ( x ) = b és lim f { x ) = b', akkor b = b'.

B izonyítás. Tegyük fel, hogy \) ^ b. Legyen 0 < £ < \b' — 61/2. Ekkor az \f{x) — b\ < £ és \fix) — b'] < e egyenlőtlenségek egyidejííleg sohasem teljesülhetnek (hiszen abból

\ b - b ’\ < \b~f {x)\ + \ f i x ) - b ' \ < £ + e = 26

következne), ami lehetetlen. □

8.7. Példák.

1. Az f { x ) = sgn^ X függvény 0-ban nem folytonos, de a határértéke itt létezik és az értéke 1. Valóban, az

f * { x ) =sgn X, ha a; ^ 0

1, ha a; = 0

függvény értéke minden x helyen 1, tehát f * 0-ban (is) folytonos.

2. Belátjuk, hogy

limx ~ 2

x^2 - 3x + 2

Ugyanis — 3a; + 2 = (a; — l ) ( x — 2), ezért x ^ 2 esetén

X - 2 1- 3x + 2 X - 1'

EbbőlX — 2

x2 - 3x + 2 1

1-1

2 - x

X — 1 X — 11

Mivel Ix — 21 < - esetén |x — 1| > ezért

0 < |2 - x| < min (e/2, 1/2).

3. Legyen

0, ha X irracionális

2 — X

X - 1< e, hacsak

1 pha X = ahol p, egész, 9 > 0 és íp, ?) = 1.

9 g

Ez a függvény a folytonosság és a határérték létezése szempontjából a következő különös jelenséget mutatja:

a) Az f függvénynek minden a helyen létezik határértéke és ez 0 (pedig / nem azonosan 0!).

b) Az / függvény minden irracionális helyen folytonos.

ej Az / függvény egyetlen racionális helyen sem folytonos.

Az a) állítás igazolásához azt kell belátnunk, hogy ha a tetszőleges érték, akkor minden e > 0-hoz létezik í > 0 úgy, hogy

l / ( x ) - 0| < e , ha 0 < |x - al < í. (8.6)

Az egyszerűség kedvéért szorítkozzunk a ( — 1,1) intervallumra. Legyen £ > 0 adott, és válasszunk egy n > l/e egész számot. Az / függvény értelmezése miatt |/(x)| < 1/n minden x irracionális számra, és minden olyan x = p/g racionális számra, amelyre (p,q) = l és q > n. Vagyis |/(x) - 0| > 1/n a (—1, 1) intervallum pontjai közül kizárólag a

0, ± 1, 4 , ± 1 , (8.7)2 d ó n n n

pontokban teljesül. Mármost, ha a a (-1 ,1 ) intervallum egy tetszőleges pontja, akkor a (8.7) alatti véges sok szám között van olyan, amely a-tól


különböző, és ezek között a-hoz legközelebb van. Legyen ez — , és legyen

Pl------aQi

5 = . Az (a — ő,a + ő) intervallumban tehát nincs a-tól különböző

1(8.7) alatti szám, ezért \f(x)\ < - < e, ha 0 < |x - a| < í =

nPl

— a vagyis

e-hoz jó a (5 = ------a érték. Mivel e > 0 tetszőleges volt, ezzel beláttuk,Qi

hogy f i x ) = 0.

b) Mivel egy irracionális a helyen f ( a ) = 0, ezért lim / (x ) = f (a), tehát

a függvény minden irracionális helyen folytonos.

c) Mivel egy racionális a helyen / (a ) / 0, ezért lim f [ x ) 7 / (a ), vagyisX—a racionáhs pontokban a függvény nem folytonos.

8.8. M eg jeg y zé s . A 3. példában definiált függvényt - felfedezőjéről - Rie- mann*-függvénynek nevezzük. E függvény tehát minden irracionális helyen folytonos, és minden racionális helyen nem folytonos. Bebizonyítható azonban, hogy nem létezik olyan függvény, amely minden racionális helyen folytonos és minden irracionális helyen nem folytonos (lásd a 8.17. feladatot).

A jobb és bal oldali folytonosság fogalmaihoz hasonlóan a határértéknek is vannak féloldali megfelelői.

8.9. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy (a ,c ) nyílt intervallumban. Az / függvény jobb oldali határértéke létezik az a helyen és az értéke b, ha minden e > 0-hoz létezik á > 0, amelyre teljesül, hogy \f{x) — b\ < e, ha 0 < x —a < 5.

Jelölés: lim f { x ) ~ b vagy f { x )

f {a + 0) = b .

b, ha X a-fO, illetve még rövidebben

Hasonlóan értelmezhető és jelölhető a bal oldali határérték.

8.10. M eg jeg y zé s . A fenti jelölésekben a + 0 és a — 0 természetesen nem számok, csupán szimbólumok, amelyek a definícióban megadott tulajdonság rövid jelölését teszik lehetővé.

A következő tétel nyilvánvaló a definíciókból,

8.11. T é te l. Jm ^/(x) = b akkor és csak akkor, ha f { a + 0) és f { a — 0)

mindegyike létezik, és f { a 4- 0) = f ( a - 0) = 6.

Georg Friedrich Benihard Riemaiui (1826-1866) német luateinatikiis

A sorozatok határértékének tárgyalásához hasonlóan a függvények viselkedésének leírásához is szükségünk lesz a végtelenhez és a mínusz végtelenhez tartás fogalmaira.

8.12. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy a-t tartalmazó nyílt intervallumban, kivéve esetleg a-t magát. Az / függvény határértéke az a helyen oo, ha minden P számhoz létezik <5 > 0 iigy, hogy J{x ) > P , valahányszor 0 < |a; - a| < ő.

Jelölés: lim f i x ) = oo, illetve f ( x ) x^a * '

oo, ha X —> a.

A lim f ( x ) = oo állítás a grafikon következő tulajdonságát jelenti: tetsző

leges P-hez létezik olyan í > 0, hogy / grafikonjának az {a — ő,a + ő) \ [a] halmaz feletti része &z y = P vízszintes egyenes felett van.

Hasonlóan értelmezzük azt, hogy / határértéke az a pontban —oo. Szükségünk lesz még a végtelenhez tartás féloldali változatára is.

8.13. D e fin íc ió . Legyen / értelmezve egy (a ,c ) nyílt intervallumban. Az / függvény jobb oldali határértéke az a helyen oo, ha minden P számhoz létezik (5 > 0 úgy, hogy f { x ) > P , ha 0 < x — a < 5.

_La — S 0 -1-6

8.7. ábra

Jelölés: lim f ( x ) = oo; vagy f ( x ) oo, haa;->a+() '

X —*■ a + 0; illetve f ( a + 0) = oo.

Hasonlóan értelmezzük azt, hogy lim f i x ) —x -> a + i ]

= —oo; illetve, hogy lim f { x ) ~ ±oo.I —>-n—0

De még mindig nem végeztünk a határérték fogalmának különböző variációival.

8.14. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy (a, oo) félegyenesen. Azt mondjuk, hogy az / függvény határértéke co-ben b, ha minden e > 0-hoz létezik olyan K , amelyre teljesül, hogy \f{x) - b\ < e, ha x > K .

Jelö lés: illetve ha x ^ oo.

Hasonlóan értelmezzük azt, hogy / határértéke —oo-ben b.

És végül egy további típus, amelyben mind a „hely” , mind pedig az „érték” végtelen.

pjjggvény határértéke 135

g . l5. D efin íc ió . Legyen / értelmezve egy (a, oo) félegyenesen. Azt mondjuk jiogy az / függvény határértéke oo-ben oo, ha minden P-hez létezik K úgy, hogy f i x ) > P , h a . x > K .

Ez utóbbi fogalomnak három további variációját kapjuk, ha a oo-ben értelmezett —oo, illetve a —oo-ben értelmezett oo és —oo határértékeket definiáljuk.

Összefoglalva, a határérték alábbi változatait értelmeztük.

b véges b végesoo ; hm f ( x ) = oo ;

x - > a ± 0 „—oo I —oolim f { x ) = lirn f { x ) =

X—f ± o o

b véges oo .

—oo

Ez 1-5 variánsa egy olyan fogalomnak, amelyről érezzük, hogy egy egységes gondolaton alapszik. Annak érdekében, hogy ezt a közös gondolatot megfogalmazhassuk, bevezetjük a környezet fogalmát.

8.16. D efin íc ió . Az a valós szám környezeteinek nevezzük az (a — 5, a -|- 5) alakú intervallumokat, ahol S tetszőleges pozitív szám. Az a valós szám jobb oldali, illetve bal oldali környezeteinek nevezzük az [a,a + ö), illetve (a — a] alakú intervallumokat, ahol S tetszőleges pozitív szám.

Az a valós szám pontozott környezeteinek nevezzük az (a — ó, a + S) \ (a) alakú halmazokat, ahol á tetszőleges pozitív szám. Az a valós szám jobb oldali, illetve bal oldali pontozott környezeteinek nevezzük az (a,a-l-5), illetve {a—S,a) alakú intervallumokat, ahol ő tetszőleges pozitív szám.

Végül, a oo környezeteinek nevezzük a {K ,o o ) alakú félegyeneseket, ahol K tetszőleges valós szám, továbbá a —oo környezeteinek nevezzük az (—oo, K ) alakú félegyeneseket, ahol K tetszőleges valós szám.

A fenti definícióban a „pontozott” jelző arra utal, hogy az illető pontot kihagytuk a környezetből, tehát a környezetet mintegy „kipontoztuk” . Mármost a környezet fogalmának segítségével megadhatjuk a határérték 1.5-féle értelmezésének egységes alakját, amely egyúttal a határérték-fogalom lényegét is jobban megragadja.

8.17. D e fin íc ió . Jelentse a az a valós számot, vagy a z a 0, a — 0, oo, illetve -o o szimbólumok valamelyikét. Az egyes eseteknek megfelelően az a pontozott környezetén értsük a pontozott környezetét, a jobb oldali pontozott környezetét, a bal oldali pontozott környezetét, oo környezetét, illetve —oo környezetét. Jelentse /3 a 6 valós számot, vagy a oo, illetve —oo szimbólumok ''valamelyikét.

Legyen / értelmezve a egy pontozott környezetében. Azt mondjuk, hogy lim /(a;) = /3, ha fi minden V környezetéhez létezik a-nak olyan U pontozott

x —* a

környezete, amelyre teljesül, hogy /(a;) e V , h& x € U.

Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy ebből a definícióból (speciáhs esetekként) valóban a felsorolt határérték-értelmezéseket kapjuk.

8.18. P é ldák . 1. hm - = cx>, mert - > P , ha 0 < a; < — .x->ü+n X X P

lim — = —oo, mert — P , ha 0 < |a:| <x->-0 x- X -s/p

l - 2x3. lim —------- = —2, mert tetszőleges e > 0 számra

x -^oo 1 -I- X

1 - 2x

1 + X- (-2) 3 , 3 .-------- < £, lia x > ---- 1.

l + I E

4. limx->--oo 2x^ + 3

= 0, mert tetszőleges £ > 0 számra

lOa: 5 5< — < e , ha \x\ >

|x| £2x^ + 3

és így akkor is, ha a; < —S/e.

5. lim x^ = oo, mert a; > P , ha x < -\/\P\.

6. Belátjuk, hogy = oo minden a > 1-re. Legyen P adott. Ha

n = [P/{a - 1)] + 1 és a: > n, akkor felhasználva az a* függvény m o n o to

nitását (2 .2.5. Tétel) és a Bernoulli-egyenlötlenséget, azt kapjuk, hogy

> a" = (1 + (a - 1 ))" > 1 + n • (a - 1) >a — 1

(a - 1) = P


Ebből látható, hogy ha l/ (n -t-1) < a; < 1/n, akkor n/{n + 1) < f { x ) < 1,

vagyis \f(x) — 1| < l/ (n + 1). Hasonlóan, ha —1/n < x < —l / { n + 1), akkor

1 < / (^ ) = - ( « + 1) 2 < ( « + l)/n, vagyis |/(a;)-l| < 1/n. Ebből következik,

hogy

|/ (a ;)-l| < ha 0 < |a;| < - .n n

Eszerint bármely e > 0-hoz a á = 1/n választás megfelel, ha n > l/e.

f i x ) =

0 ,n

n -t- 1

ha 0 < 3: < 1,

ha n < a; < n -t- 1,

, ha —(n -I- 1) < a; < —n.

Nyilvánvalóan lim f i x ) = 0; továbbáx-^O+O

hm f ( x ) = 00, hiszen f i x ) = ----,

ha - 1 < X < 0.

Most bebizonyítjuk, hogy

lim f ( x ) = hm f ( x ) - 1. x - * o o - ’ x -^ -0 0

„ J

.y

f i ^ ) = ^■ i-

-4 -3 -2 -1 0 /I 2 3 4/' 1 - ^

8.10. ábra

71 1 TiValóban, ----- - = 1 ---------- < f { x ) = — < 1, ha. n < x < n + 1, vagyis

n + l n + 1 X

|/(a;) - 1| < ----- r, ha x > n , tehátTt ~i~ 1

lim f { x ) - 1. x->oo •' ^

Hasonlóan,

1 = r Í ! L ± i l < Z < Ü ± I 1 = J + i ,

—(n + 1) X —n n

ha —(n + 1) < a: < —n, tehát |/(a;) - 1| < 1/n, ha x < —n. Ezzel beláttuk, hogy lim f [ x ) ^ l .

X - ^ — OQ

Feladatok

8.9. Az alábbi függvényeknek a megadott a helyen létezik a f3 határértéke. Határozzuk meg /9-t, és /? minden V környezetéhez adjuk meg a egy olyan U pontozott környezetét, amelyre teljesül, hogy x e U esetén f { x ) e V.

(a) f ( x ) = [a;], q = 2 + 0; (b) f ( x ) = {x l, a = 2 + 0;

(c) f ( x ) = r — - , a = oo; (d) f ( x ) = - - - , a = ^ 4- 0;2x ~ 1 2x — 1 2

(e) f ( x ) =X

x^ — 1 ( f ) / (^ ) =

(g) f { x ) = - J x + l - y/x, a = oo; (h) ^ , a - oo-,

+ 5a: + 6-T T 7..— T T ’ a = 00; x^ -\-bx -\-b

(k) + 1 — X, a — oo.

X — V ®

(j) 2-H/^l, a = oo;

8.10. Definiálhatjuk-e a {^/x — l ) / {x - 1) függvényt x = 1-ben úgy, hogy ott folytonos legyen?

8.11. Legyen n pozitív egész. Definiálhatjuk-e az ( V 1 4- a; — l )/x függvényt X = 0-ban úgy, hogy ott folytonos legyen?

8.12. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény értéke a;-ben

1 — lim max({a;J, {2a:l,. . . , {TJa;}).n—*'OQ ( ö )

átviteli elv 139

8.13. Tegyük fel, hogy az /:M 1 függvénynek minden x pontban létezik a b{x) véges határértéke. Bizonyítsuk be, hogy a h függvény mindenütt folytonos.

8.14. Bizonyítsuk be, hogy ha /: ]

azonosan nulla.

periodikus és ^lm^/(a;) = 0, akkor /

R függvény, amelynek minden8.15. Bizonyítsvik be, hogy nincs olyan /; ® —X pontban végtelen a határértéke. (Ö )

8.16. Bizonyítsuk be, hogy ha az /; K M. függvénynek minden x pontban nulla a határértéke, akkor van olyan x pont, amelyben f { x ) — 0.

8.17. Bizonyítsuk be, hogy ha az / :K —>■ ÍR függvény minden racionális pontban folytonos, akkor van olyan irracionális pont is, amelyben folytonos. (=f=M)

Az átviteli elv

A függvény határértékének fogalma szoros kapcsolatban van a sorozat határértékének fogalmával. Ezt fejezi ki a következő tétel. (A tételben a és (3 jelentése ugyanaz, mint 8.17. Definícióban.)

8.19. Tétel. Legyen f értelmezve a egy Ú pontozott környezetében. Akkor

(8.8)

és csak akkor teljesül Imi f { x ) = (3, ha valahányszor egy (xn) sorozatra

(in ) C U és Xn ->■ a,

akkor lim / (x „ ) = j3 . n->oo ' ^

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a = a és = b véges valós számok. Először azt bizonyítjuk be, hogy ha lim f { x ) = b, akkor /(a:„) ->■ b, valahányszor

X—{Xn} C {/ és x-n -> a.

Legyen £ > 0 adott. Tudjuk, hogy vau í > 0 úgy, hogy \f(x) — b\ < e, valahányszor 0 < |a: — a| < Ha x,i ->• a, akkor S > 0-hoz létezik olyan na, hogy \xn — a| < J minden n > riQ-ra. Mivel (8.8) szerint Xn az a egy pontozott környezetében van, ezért Xn ^ a minden n-re. Ha tehát n > no, akkor0 < \xn — a[ < (5, és így (/(^n) — h\<e. Ezzel beláttuk, hogy /(a;„) h.

Most megmutatjuk, hogy ha minden (8.8)-nak eleget tevő sorozatra f { xn ) b, akkor f { x ) = b. Ezt indirekt úton igazoljuk.

Tegyük fel, hogy f { x ) = b nem teljesül. Ez azt jelenti, hogy van olyan

£■ > 0, amelyhez nem létezik jó í > 0, vagyis minden (a — S,a + 6) n Ú -bán van olyan x, amelyre \f{x) — b\ > e. Ez minden ö = 1/ri-re is igaz, tehát minden

n e N"''-re van olyan Xn e U, amelyre 0 < \xn — a| < 1/n és \f{xn) — b\ > e. Az így kapott (xn) sorozatra Xn —*■ a és Xn e Ú, ugyanakkor f { x n ) A Ez azonban ellentmondásban van a feltétellel.

Tekintsük most azt az esetet, amikor o; = o + 0 é s/ 3 = :o o . Tegyük fel, hogy lim f ( x ) — oo, és legyen ( xn) egy jobbról a-hoz tartó sorozat*. Be kell

látnunk, hogy f { xn ) oo. Legyen K adott. Ekkor van olyan ő > 0, amelyre f { x ) > K minden a < a: < a + <5 esetén. Mivel > a és Xn > a, ezért van olyan no, hogy a < Xn < cl + S teljesül minden n > no-ra. Ekkor f { x n ) > K , valahányszor n > no, amivel megmutattuk, hogy f { xn ) -> oo.

Most tegyük fel, hogy / (sn ) ^ oo minden olyan sorozatra, amelyreXn a és Xn > a. Belátjuk, hogy lim f ( x ) = oo. Ezt indirekt úton iga-

x->a+()zoljuk. Ha az állítás nem igaz, akkor van olyan K , amelyhez nincs jó <5, azaz minden <5 > 0-hoz van x e (a, a-l-á) úgy, hogy f { x ) < K . Ez minden <5 = 1/n- re is igaz, tehát minden n e N*^-re van olyan a < < a -I- <5, amelyre0 < \xn — a| < 1/n és f { x n ) < K . Az így kapott {xn) sorozat jobbról a-hoz tart és J{xn) 7 00, ami ellentmondásban van a feltétellel.

Hasonlóan láthatóak be a többi esetre vonatkozó állítások. □

8.20. M e g je g y zé s . A határérték létezésének tehát szükséges és elégséges feltétele, hogy minden Xn —>• a, [xn] C U sorozatra (i) (/ (xn))-nek legyen határértéke, valamint (ii) ^ li^ / (a ;,i) értéke független legyen az ( xn) sorozat

választásától.

Itt a (ii) feltétel elhagyható, mert (i) teljesüléséből már automatikusan következik. Ezt indirekt bizonyítással a következőképpen láthatjuk be. Tegyük fel, hogy (i) teljesül, de (ii) nem igaz. Ez azt jelentené, hogy van egy

és egy

a, [x';,} C U

Ez értelemszerűen azt jelenti, hogy x„ > a minden n-re, és x„ —>■ a.

Az átviteU elv 141

sorozat, amelyekre

n-^oo ” 71- 00 ‘ f ff f ffDe akkor az 21 ■ ■ * • • •) " ugyancsak a-hoz tartó - sorozat

hoz tartozó

U i x [ ) , f i x 'O , / ( 4 ) , Z ( 4 ' ) ....... / « ) . / « ) , • ■ ■)

függvényértékek sorozata oszcillálva divergens lenne, ugyanis volna két különböző határértékhez tartó részsorozata. Ez azonban (i) miatt nem lehetséges.

A 8.19. Tételt átviteli elvnek nevezzük, ugyanis a függvények határértékének fogalmát (és értékét) mintegy „átviszi” a sorozatok határértékére. A tétel éppen azért jelentős, mert ezen keresztül a sorozatok határértékére vonatkozó eredményeinket fel tudjuk használni a függvények határértékének vizsgálatánál. Szükségünk lesz folytonosságra vonatkozó átviteli elvre is, amelynek a megfogalmazása jóval egyszerűbb, mint a 8.19. Tételé, és arra könnyen vissza is vezethető.

8.21. Tétel. A z / függvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha értelmezve van a egy környezetében, és minden x„ a, sorozatra f i x n ) -> /(a ).

B izony ítás. Tegyük fel, hogy / folytonos a-ban, és legyen (a:„,) egy a- hoz tartó sorozat. Adott e-hoz van <5 úgy, hogy 1/ (2;) — /(a)| < £ minden X e {a — S,a + á)-ra. Mivel Xn —>■ a, ezért Xn G (a — á, a -I- á) minden elég nagy

n-re. így \f{xn) - f{a)\ < £ minden elég nagy n-re, amivel beláttuk, hogy f { xn) ^ /(a ).

Most tegyük fel, hogy f { x n ) f [ a ) valahányszor Xn ->■ a. A 8.19. Tétel szerint ebből következik, hogy lim f { x ) = f {a) , tehát / folytonos a-ban. □

A későbbi alkalmazások miatt érdemes megfogalmazni a következő tételt.

8.22. Tétel. A lim f ( x ) véges határérték akkor és csak akkor létezik, hax —x i —i)

minden Xn Z ' a sorozatra {/{xn) ) konvergens. Tehát a bal oldaU határérték esetén elegendő csak monoton növekedő (xn) sorozatokat figyelembe venni. Hasonló állítás igaz a jobb oldali határértékre vonatkozólag.

B izonyítás. A tétel bizonyításához csak azt kell belátnunk, hogy abból, hogy ininden Xn Z ' a sorozatra az { f { xn ) ) sorozat konvergens, következik, hogy minden Xn ^ a, Xn < a sorozatra az (/ (a ;„)) sorozat konvergens.

De ez egyszerű következménye annak, hogy minden Xn < a, Xn a sorozat átrendezhető monoton növekedő (a7fc,J sorozattá (lásd az 5.7. Tételt és az azt követő megjegyzést), és hogy ha az átrendezett (/(^fc,,)) sorozat konvergens, akkor az eredeti { f { xn ) ) sorozat is konvergens (lásd a 4.5. Tételt). □

Egy további - bár kevésbé mélyenfekvö - kapcsolat a függvények határértéke és a sorozatok határértéke között a következő. Egy végtelen sorozat tulajdonképpen a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény. Tehát az ai = / ( l ) , a-2 = / (2), ..., = / (n ), ... sorozat határértéke az / függvény oo-ben vett határértéke, legalábbis a pozitív egész számok halmazára szorítkozva. Hogy ennek pontos értelmet tulajdoníthassunk, értelmezzük a határérték fogalmát egy halmazra szorítkozva.

8.23. D efin íc ió . Legyen a jelentése egy valós szám, vagy a oo, illetve —oo szimbólumok valamelyike. Azt mondjuk, hogy a torlódási pontja az A számhalmaznak, ha a minden környezetében ^-nak végtelen sok pontja van.

8.24. D e fin íc ió . Legyen a &2, A halmaz torlódási pontja. Az / függvény határértéke a-ban az A halmazra szorítkozva [3, ha /3 minden V környezetéhez létezik a-nak egy U pontozott környezete úgy, hogy

f { x ) e V , x e Ú C ^ A. (8.9)

Jelölés: lím f i x ) = ű. x e A

Ha például / a Dirichlet-függvény, akkor tetszőleges c valós számra lím f { x ) = 1 és lini f { x ) = 0, hiszen f [ x ) = 1, ha x racionális és f { x ) = 0,

X ►C X —

ha X irracionális. Nyilvánvaló, hogy minden c valós szám torlódási pontja a racionális számok halmazának is és az irracionális számok halmazának is, tehát a fenti határértékeknek van értelme.

8.25. M eg jegyzések . 1. Ezzel az értelmezéssel a hm / (x ) határérték nem

más, mint / határértéke a-ban az (a, oo) halmazra szorítkozva.

2. A z a„ = f [ n ) sorozat hatái'értéke (n oo esetén) nem más, mint az / függvény határértéke x oo esetén az N"'" halmazra szorítkozva.

3. Ha a az A halmaznak nem torlódási pontja, akkor a-nak van olyan U pontozott környezete, amelyre Ü H A = 0. Ebben az esetben a definíció követelménye automatikusan teljesül (hiszen ekkor az x e. U A feltétel üres).

Az átviteh elv 143

Ekkor tehát (8.9) /3 minden V környezetére igaz. Ez azt mutatja, hogy csakis abban az esetben kapunk értelmes definíciót, ha a torlódási pontja ^-nak.

A fentiek birtokában természetes a következő

8.26. D e fin íc ió . Legyen a e A C D ( f ) . Az / függvény folytonos az a pontban az A halmazra szorítkozva, ha minden s > 0-hoz létezik olyan <5 > 0, amelyre teljesül, hogy \ f { x ) - f { a ] \ < e, ha x e (a -ó ,a + ^ )r iA . Ha A — D ( f ) , akkor ahelyett, hogy / folytonos az a pontban J9(/)-re szorítkozva, röviden azt is mondhatjuk, hogy / folytonos a-ban.

8.27. M egjegyzések. 1. Ennek az értelmezésnek a birtokában azt, hogy / az a pontban jobbról folytonos, úgy is megfogalmazhatjuk, hogy / a-ban folytonos az [a, oo) intervallumra szorítkozva.

2. A határérték definíciójával szemben a folytonosság értelmezésekor fel kell tennünk, hogy / értelmezve van az a pontban. Azt azonban nem kell feltennünk, hogy az a pont az A halmaznak torlódási pontja legyen. Ha a e A, de a nem torlódási pontja A-nak, akkor azt mondjuk, hogy a izolált pontja A-nak. Könnyű belátni, hogy a akkor és csak akkor izolált pontja A-nak, ha van olyan á > 0, amelyre {a — 6,a + ó ) r i A = {a}. Ebből következik, hogy ha a izolált pontja A-nak, akkor bármely f : A ^ M . függvény folytonos a-ban A-ra szorítkozva. Valóban, akármilyen e > 0-t megadva a fenti <5-ra teljesül, hogy |/(a:) - /(ű)| < e, ha X e (a - ö, a -h ö) í l A, hiszen az utóbbi feltételt csak x = a elégíti ki, és |/(a) - /(a)| = 0 < e:.

Gyakran használhatóak az alábbi egyszerű állítások, amelyek a 4.7., 4.8. és 4.10. Tételek megfelelői.

8.28. T é te l (ren d őrszab á ly ). Ha a egy pontozott környezetében f i x ) < g{x) < h{x) és lim f { x ) = lim h{x) = /5, akkor hm g (x ) = (3.

B izony ítás. Az állítás a 4.7. és a 8.19. Tételek egyszerű következménye.□

8.29. T é te l. Amennyiben

Jini f { x ) = b < c = g{x), x e A

x—yax € A

akkor van a-nak olyan Ú pontozott környezete, amelyre teljesül, hogy f ( x ) < g ( x ) minden x e (7 Cl A-ra.

Bizonyítás. A határérték értelmezéséből következik, hogy e = {c — b)/2-hözlétezik a-nak egy U\ pontozott környezete úgy, hogy \f{x) — b\ < (c — h)/2minden x e Ar\Ú\ esetén. Hasonlóan, van olyan Ú-i, hogy \g{x) — c\ < ( c—b)/2,\vá X e Afy Ü-2- Legyen U = C/i n í/2. Ekkor Ú\ is egy pontozott környezete

c — b c — ba-nak, és x e A n C/ esetén f ( x ) < b-l-----— = c ------— < ff(x). □

8.30. T é te l. Ha léteznek a lim f ( x ) = b és Hm g(x) — c limeszek, továbbáx ~ * a ' x - * Q

ha f { x ) < g{x) teljesül a egy pontozott környezetében, akkor b < c.

Bizonyítás. Legyen U az a egy olyan pontozott környezete, amelyben f { x ) < g{x) . Tegyük fel, hogy h > c. Ekkor az előző tétel szerint létezik a- nak egy V pontozott környezete úgy, hogy f { x ) > g{x) minden x e V-re. Ez azonban lehetetlen, mert a,z Ü C\V halmaz nem üres, és minden x elemére f { x ) < g{x) . □

8.31. K övetkezm ény. Ha f folytonos a-ban és f{ a ) > 0, akkor van olyan6 > 0, hogy f { x ) > 0 minden x e (a — ó,a + ő) esetén. Ha f > 0 teljesül az a pont egy környezetében és f folytonos a-ban, akkor f {a) > 0, □

8.32. M eg jegyzés . A 8.29. Tétel megfordítása nem igaz: ha / (x ) < g{x) teljesül a egy pontozott környezetében, akkor el)böl általában nem következtethetünk arra, hogy Ha pl. f { x ) = 0 és g { x ) = la;|,

akkor f ( . x) < g l x ) minden x ^ 0-ra, de lim f i x ) = lim g ( x ) = 0.

A 8.30. Tétel megfordítása sem igaz; ha lim f ( x ) < lim g[ x ) , akkorX — ' x — * a

ebből általában nem következtethetünk arra, hogy f { x ) < g ( x ) teljesül a egy pontozott környezetében. Ha pl. f ( x ) = la:l és g ( x ) = 0, akkor liin^/(a;) <

< lim g ( x ) = 0, de f ( x ) > g ( x ) minden x ^ 0-ra. ü

A következő tétel a Cauchy-kritérium függvényhatárértékre vonatkozó megfelelője.

8.33. T é te l. Legyen f értelmezve a egy pontozott környezetében. A lim f ( x )Gr

határérték akkor és csak akkor létezik és véges, ha minden e > 0-hoz létezik a-nak egy olyan U pontozott környezete, hogy

- J {x 2)\ < s, (8.10)

valahányszor x i , x 2 e Ü.

Az átviteli elv 145

B izonyítás. Tegyük fel, hogy f { x ) = 6 e M, és legyen e > 0 adott. Ekkor

létezik a-nak egy olyan Ú pontozott környezete, hogy |/(a;) -6| < e/2 minden X e Ú-va. Világos, hogy (8.10) teljesül minden X\,X2 e ?7-ra.

Most tegyük fel, hogy a feltétel teljesül. Ha a és Xn ^ a minden n-re, akkor az f { xn ) számsorozat kielégíti a Cauchy-kritérium feltételét. Valóban, adott £-hoz válasszunk egy U pontozott környezetet úgy, hogy (8.10) teljesüljön minden X^,X2 e C/-ra. Mivel x „ —»• a és ^ a minden n-re, ezért van olyan N , hogy Xn G Ű minden n > N-ve. Ha n,m > N , akkor (8.10)-böl következően \ f i x n ) - f { x m ) \ < £■ Az 5.13. Tétel szerint ebből következik, hogy az ( f { xn ) ) sorozat konvergens.

Rögzítsünk egy X n ol sorozatot, amelyre X n 7^ ot minden n-re, és legyen lim f ( x n ) = b. Ha Vn 01 egy másik sorozat, amelyre yn ^ a minden n-

n-ÔOre, akkor az {x i ,y\,x2,y2, ■ ■ ■) összefésült sorozat is kielégíti ezt a feltételt, tehát az s = { f { x i ) , f { y i ) , /(x '2 ), /(í/2 ), • • •) sorozat is konvergens. Mivel ennek az i f { xn ) ) sorozat részsorozata, ezért s határértéke csak b lehet. Másrészt az { f {y, i ) ) sorozat is részsorozata s-nek, így f {yn) b. Ez minden olyan y,i -> a sorozatra teljesül, amelyre yn ^ ot minden n-re, így az átviteli elv szerint lim f i x ) = 6. □

Feladatok

8.18. Mutassuk meg, hogy minden /; E E függvényre van olyan Xn 00

sorozat, amelyre az { f { xn ) ) sorozatnak van határértéke.

8.19. Legyen /;M —>■ M tetszőleges. Bizonyítsuk be, hogy a ^ lh^/ (a ;) határ

érték akkor és csak akkor létezik, ha valahányszor az (a;„) és (y,,) sorozatokra a;„ -> 00, -> cx) és a ^ Inn /(a;„), határértékek

léteznek, akkor egyenlők.

8.20. Konstruáljunk olyan / ;E E függvényt, amelyre / ( a - n )^ O (n 00) minden a > O-ra, de a l i ^ f i x ) határérték nem létezik. (Ö )

8.21. Bizonyítsuk be, hogy ha /:M ^ K folytonos és / (a • n) —>• 0 (n ^ 00)minden a > 0-ra, akkor lim f i x ) = 0. (* M)’ xôo '

8.22. Legyen / :E — K olyan függvény, amelyre teljesül, hogy az i f { xn ) ) sorozatnak van határértéke minden olyan Xn —>• oo sorozatra, amelyre xn+i/xn 00. Mutassuk meg, hogy a ÛiT^/(a:) határérték létezik.

8.23. Bizonyítsuk be, hogy ha a H halmaznak az 1/n pontok torlódási pontjai minden n € N"'"-re, akkor ií-nak a 0 is torlódási pontja.

8.24. Bizonyítsuk be, hogy a ÍJ és ÍR \ Q halmazoknak minden pont torlódási pontja.

8.25. Bizonyítsuk be, hogy (i) minden korlátos végtelen halmaznak van véges torlódási pontja; és (ii) minden végtelen halmaznak van torlódási pontja.

8.26. Bizonyítsuk be, hogy ha a H halmaznak csak egyetlen torlódási pontja van, akkor H megszámlálható, és van olyan (xn) sorozatba rendezése, amelyre a lii:^a;„ határérték létezik és egyenlő H torlódási pontjával.

8.27. Melyek azok a számhalmazok, amelyeknek pontosan két torlódási pontjuk van?

8.28. Legyen f { x ) = x, ha x racionális, és f { x ) = —x, ha x irracionális. Mittudiink mondani a lim f ( x ) , lim f ( x ) határértékekről?

x - í - c x->-c_ 'leQ

Határérték és műveletek

Az eddigi példáknál az egyes függvények folytonosságát és határértékét közvetlenül a definícióból vezettük le. A következő tételek - amelyek az átviteli elv, valamint a sorozatok határértékére vonatkozó analóg tételek közvetlen következményei - lehetőséget adnak arra, hogy egyes egyszerű függvények folytonosságának, illetve határértékének ismeretéből megállapítsuk további, bonyolultabb szerkezetű függvények folytonosságát, illetve, hogy kiszámítsuk a határértékeiket.

8.34. Téte l. Legyen a jelentése egy a szám, vagy az a - 0, a + 0, oo, illetve —oo szimbólumok valamelyike. Ha a Imi f { x ) = b és Vmi^g{x) = c véges

határértékek léteznek, akkor

(i) J .i^ (/(a;) + g{x) ) létezik és az értéke b + c;

(ii) Jmi^(/(2;) - g{x ) ) létezik és az értéke b ■ c;

(iii) c ^ 0 esetén lim — létezik és az értéke^ -*0, g ( x ) c


B izonyítás. Csak az (i) állítás bizonyítását részletezzük. Legyen / értelmezve

a egy U pontozott környezetében. Az átviteli elvből következik, hogy minden

Xn

4.12. Tétel következtében

a, Xn e Ú sorozatra hm f ( x n ) = b és lim g(xn) — c. Ezért a7]. ” ♦ 0 0 M OO

^ i ^ i f i X n ) + g{Xn) ) = b + C,

a m ib ő l viszont, ismét az átviteli elvet felhasználva, megkapjuk (i)-et. Hasonlóan bizonyítható (ii) és (iii). □

8.35. M eg jegyzések . 1. A bizonyítás első részében azt használtuk fel, hogy a sorozatokra vonatkozó feltétel szükséges, a második részben pedig azt, hogy elégséges a határérték létezéséhez.

2. A (iii) állításban nem tettük fel, hogy g{x) ^ 0. Hogy a lim ——-i-o r g{x)

határ

érték mégis értelemmel bír, az abból következik, hogy ha c ^ 0 , akkor szükségképpen létezik olyan U pontozott környezete a-nak, amelyben g{x) ^ 0. Valóban, a 8.29. Tétel szerint, ha c < 0, akkor egy alkalmas pontozott környezetben g{x) < 0, ha pedig c > 0, akkor egy alkalmas í7-ban g{x) > 0.

8.36. Pé ldák . 1. A 8.34. Tétel egyszerű alkalmazásaként adódik, hogy

a;” - 1 nlim ---------= —

x ^ i a;’" — 1 m

minden n , m e N+-ra. Ugyanis x l esetén

rr" - 1 + x^~ ‘ + ... + 1xm _ l ^m-\ 2-m-2 + . . . 4. l '

Itt a számlálónak n, a nevezőnek m tagja van, és ezek mindegyike 1-hez tart, ha 2; L

2. Tekintsük most a következő feladatot. Határozzuk meg a és b értékét hogy

( \/x' - X + 1 - {ax + b ) ^ = 0 (^-H )

teljesüljön. Világos, hogy csak pozitív a értékek jöhetnek számításba, és így íjOo — 00” típusú határértéket kell meghatároznunk. A következő átalakítás

lesz célravezető:

yjx^ - a; + 1 - [ax + b) =

{\/x' — a; + 1 — {ax + b)) ■ — a; + 1 + {ax + b))

\/x' — X + 1 + {ax + b)

x^ — X + l — {ax + b)^ (1 — a“ )x^ — {2ab + l ) x + (1 — 6^)

\/x^ — a: + 1 + {ax + b) \/x‘ — x + 1 + {ax + b)

(1 — a^)x - {2ab + 1) +

Mivel

1 — — -j- —— “l" íi -|- — —> ÍZ -f" 1 es 2ab -f* 1 ~í" - *2ab -1- 1,x X

ha a: —)■ oo, ezért a hányados csak akkor tarthat 0-hoz, ha 1 — = 0, azaz a > 0 miatt csak akkor, ha a = 1. Ebben az esetben

“1“ 1Hm (y/'x - a; + 1 - (a: + 6) ) = — .

r->oo \ ' V 2

Ez akkor 0, ha b = -1/2. Ezzel beláttuk, hogy (8.11) pontosan akkor teljesül, ha a = 1 és 6 = - 1/2.

8.37. M eg jegy zés . Általában, ha

hm { f { x ) - {ax + b)) = 0, x-»oo

akkor azt mondjuk, hogy f { x ) aszimptotája oo-ben a,z ax + b lineáris függvény. (Vagy geometriai nyelven: az y = f { x ) görbe aszimptotája oo-ben az y = ax + b egyenes.) Hasonló a —oo-beli aszimptota értelmezése.

8.38. M eg jegy zés . A 4.12., 4.14. és 4.16. Tételekben a sorozatok határértékének és az alapműveleteknek a felcserélhetőségét láttuk be. Ezt számos olyan esetben is bebizonyítottuk, amikor a vizsgált sorozatok egyikének (vagy akár mindkettőjüknek) a határértéke végtelen. Ezeknek az eseteknek a függvényekre vonatkozó megfelelői éppúgy érvényesek (azonos bizonyítással), mint a véges határértékek esete. így például:

Ha hm f { x ) = b véges és hm g{x) = oo, akkor lm { f { x ) + g {x ) ) = oo.


Vagy, ha Jm ^/ (x ) = a 7 0, Jm^^(a:) = 0 és ^ ^ 0 az a egy pontozott

környezetében, akkor \f{x)/g{x)\ = 00. Ha még azt is tudjuk, hogy az f /g

hányados állandó előjelű, akkor ebből következik, hogy lim f { x ) / g { x ) = 00

vagy l ] m^ f { x ) / g { x ) — -0 0 a hányados előjelétől függően.

Pé lda . Legyenek xi és X2 az ax^ + bx + c = 0 egyenlet gyökei. Határozzuk meg x i és X2 határértékét, ha 6 és c rögzített értékek, 6 7 0, és a —»• 0.

Legyen

—b + — 4acés X2 =

—b — — 4ac

2a 2aAz általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy 6 > 0. Látható, hogy ekkor hni xi „0/0” típusú határérték. Egyszerű átalakítással adódik, hogy

X, =\/b' — 4ac — b —4ac —4c

2a{^/b' — 4ac + b) 2 {\/b' — 4 a c + b )

A másik gyökre lim {—b — Vbi — 4ac) = —2b < 0 miatt adódik, hogya^O

hm X2 = —00,a-^O+O

és lim X9 = 00. a-^0-0 •

Megjegyezzük, hogy a függvények körében is fellépnek - méghozzá pontosan azokban az esetekben, mint a sorozatoknál - a kritikus határértékek, amikor f és g határértékei önmagukban nem határozzák meg f + g, f ■ g vagy í l g határértékét. így pl. lim f ( x ) = hm g ( x ) = 0 esetén a lim f { x )/g {x )

határérték lehet véges, végtelen, de az is lehet, hogy nem létezik. Valóban, Jini a;/a; = 1, lim a;/a; = 00, hm —x/x^ = —00, ha pedig / a Riemann-

függvény, akkor a lim f ( x ) /x határérték nem létezik (lássuk be!). Azok a

példák, amelyek a sorozatok kritikus határértékeit illusztrálták, legtöbbször nehézség nélkül lefordíthatók függvényekre vonatkozó példákra.

A következő tétel az összetett függvény határértékét vizsgálja.

8.39. T é te l. Tegyük fel, hogy hm g{x) = 7 és hm f { t ) = /3. Ha g{x) 7 7x-*a

a egy pontozott környezetében, vagy pedig 7 véges, és f folytonos 7-ban, akkor l m ^ f { g { x ) ) = p.

B izonyítás. A rövidség kedvéért az a pontozott környezeteit Ú{a)-va\ jelöljük.

Azt kell belátnunk, hogy (5 bármely V környezetéhez megadható egy U(a )

úgy, hogy x e Ú [ a ) esetén f { g { x ) ) e V. Mivel l im / (í) = /3, ezért létezik

egy W (7 ), amelyre teljesül, hogy / (í) e V minden t e W (y )-ra . Legyen

W ( j ) = W (7 ) ha 7 = 00 vagy - 00, és legyen W {'^) = W (7 ) U {7 ), ha 7 véges. Ekkor í¥ (7 ) a 7 egy környezete, tehát Hm q(x) = 7 alapján létezik Ui [ a ) úgy,

X — ► Q *

hogy X e Ui {a) esetén g{x) e W i j ) .

Ha g{x) ^ j az a egy 1) 2( 0 ) pontozott környezetében, akkor U{a) = = Ui ( a ) n Ú2{o:) az a egy olyan pontozott környezete, amelyre teljesül, hogy X e Ü [ a ) esetén g[x ) e W{-^) és g{x) ^ 7 , tehát g[x ) e W (7 ), amiből /(<?(X)) G V'.

Most legyen / folytonos 7-ban. Ekkor f [ t ) e V minden t e W (7 )-ra,

hiszen 7 (7 ) — f3 e V . így x e Ú i [ a ) esetén g[x ) e W^(7 ) és f { g { x ) ) & V . D

f ( t ) =

8.40. M eg jeg y zé s . A tételben lényeges az a feltétel, hogy vagy g{x ) 7 7 egy U{a) -han, vagy pedig / folytonos 7-ban. Ha ezek egyike sem teljesül, akkor a tétel állítása nem mindig igaz, amint a következő példa mutatja. Legyen g a Riemann-függvény (vagyis a 8.7. Példák 3. függvénye), és legyen

1, ha t ^ 0,

0, ha í = 0.

Könnyen látható, hogy ekkor { f og ) { x ) = f { g { x ) } éppen a Dírichlet-függvény. A 8.7. Példában láttuk, hogy lini^5(a;) = 0. Másrészt nyilvánvaló, hogy

lim / (í) = 1, ugyanakkor a lim f i g i x ) ) limesz nem létezik. t^t) x->ü

Ha 7 — 00, akkor a g{x) ^ j [x e Ü{ a ) ) feltétel automatikusan teljesül. Ez azt jelenti, hogy ha lim g{x) — ooés lim f { t ) = P, akkor lim f { g { x ) ) = /3

X~ Oi X- Olminden további feltétel nélkül igaz. Egy fontos speciáhs esetben a megfordítás is igaz.

8.41. T é teL Legyen f értelmezve 00 egy környezetében. Ekkor

hm / f -!- ')= hm f { x ) (8.12)

abban az értelemben, hogy ha az egyik hmesz létezik, akkor a másik is, és egyen löek.


B izony ítás. Mivel lim 1/x = 00, ezért, amint azt az előbb már láttuk, azX—0+0

állítás igaz, valahányszor a jobb oldal létezik. Ha a bal oldal létezik, akkor alkalmazzuk a 8.39. Tételt az a = 00, g ( x ) = l/a: és 7 = 0 választással. Mivel g ( x ) sehol sem nulla, ezért

lim h i l / x ) = lim hix ) , x - * o o ' x-í-O-l-O

valahányszor a jobb oldal létezik. Ha ezt a h{x ) = /(l/a;) függvényre alkalmazzuk, akkor megkapjuk (8.12)-t. □

A 8.34. és 8.39. Tételek alkalmazásaként azonnal adódik a következő

8.42. T é te l, (i) Ha f és g folytonosak a-ban, akkor f + g, f ■ g, és g{a) 7 0 esetén f /g is folytonos a-ban.

(ii) Ha g{x) folytonos a-ban és f { t ) folytonos g{a)-ban, akkor f o g is folytonos a-ban. □

Az inverz függvény folytonosságára nézve bebizonyítjuk a következőt. (Felhívjuk az olvasó figyelmét, hogy a tételben a függvény folytonosságát nem tesszük fel.)

8.43. T é te l. Legyen f szigorúan monoton növő (csökkenő) az I intervallumon. Ekkor

(i) / inverze, is szigorúan monoton növő (csökkenő) az / (/ ) halmazon, továbbá

(ii) az f ( I ) halmaz minden pontjában folytonos az f { l ) halmazra szorítkozva.

B izony ítás. Feltehetjük, hogy az I intervallum nem elfajuló, mert különben az állítás nyilvánvaló: egy egyelemű halmazon minden függvény szigorúan nionoton növő, csökkenő és folytonos (a halmazra szorítkozva). Azt is feltehetjük, hogy / szigorúan monoton növő, mert a csökkenő függvény esete Ugyanúgy bizonyítható.

Mivel ui, U‘2 e /, ui < U2 esetén f ( u i ) < f ( u 2), ezért / egy-egyértelmű, tehát létezik az inverze. Legyen x i , x 2 G / (/ ), és tegyük fel, hogy xi < X2, de

■^~'(^i) > f ~ ^ { x 2)- Mivel / monoton növő, ezért ebből

X l = f > / ( f ~ \ x 2) ) = X2

következne, ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy x\ < X2 esetén f ~^ ( x i ) << f~^(xo) , azaz / “ ' szigorúan monoton növő.

Legyen d G / (/ ) tetszőleges; ekkor d = / (a ) egy alkalmas a e I- ie . Megmutatjuk, hogy / “ * folytonos d-ben /(/)-re szorítkozva. Legyen e > 0 adott. Mivel f~^{d) = a, ezért azt kell belátnunk, Hogy létezik egy (5 > 0 úgy, hogy

X e {d — ő,d + 5) n f { I ) esetén f ~ \ x ) e {a - e,a + e). (8.13)

fic)

d

f{b\/

a—e b a c a+£

8.11. ábra

Tekintsük először azt az esetet, amikor a I intervallumnak belső pontja (azaz nem végpontja). Ekkor választhatunk olyan b , c e l pontokat, amelyekre a — e < b < a < c < a + e. Mivel / szigorúan monoton növő, ezért f {b) < / (a ) < /(c), azaz f {b) < d < /(c). Válasszunk egy olyan pozitív (í-t, amelyre /(6) < d — 5 < d + ö < f { c ) . Ha X e { d - ő,d + 6) D /(/), akkor / “ * szigorú monotonitása alapján

b = r \ f { b ) ) < r H d - 6 ) < r \ x ) < r \ d + ö) < r \ f { c ) ) = c.

így e {b,c) C (o -£ - ,a + e), amivel (8.13)-at beláttuk.

Ha a az / intervallum bal végpontja, akkor válasszunk egy olyan c e I pontot, amelyre a < c < a + e. Ekkor d = f {a ) < f { c ) , tehát egy alkalmas ő > 0-ra d + 5 < f { c ) . Ea x € {d - S,d + 6) n / (/ ), akkor

a < r H x ) < r H d + 5 ) < r \ f { c ) ) = c.

így ^ C {a — £,a + e), tehát (8.13) ekkor is igaz. Hasonló abizonyítás, ha a az 7 intervallum jobb végpontja. □

A sorozatokhoz hasonlóan a függvények körében is értelmezhetjük a nagyságrend és az aszimptotikus egyenlőség fogalmait.

8.44. D efin íc ió . Tegyük fel, hogy lim f { x ) = lim g{x) = oo. HaX—> Q: X—

,. f(.x) hm — — = oo,

g{x)

akkor azt mondjuk, hogy / gyorsabban tart végtelenhez, mint g (vagy g lassabban tart végtelenhez, m int /). Ezt még úgy is kifejezhetjük, hogy / nagyságrendje nagyobb, m int g nagyságrendje.

Hasonlóan, ha lim f ( x ) = hm q(x) = 0 és limf i x )

= 0, akkor aztg [ x )

mondjuk, hogy / gyorsabban tart nullához, mint g (vagy g lassabban tart nullához, m int /).


A fenti fogalmakkal kapcsolatban megemlítjük, hogy a lim f { x ) / g { x ) = 0

állítást .szokás még úgy jelölni, hogy f { x ) — o{ g {x ) ) (olvasd: f { x ) egyenlő kis ordo* g { x ) ) .

Ha csak azt tudjuk, hogy f { x ) / g { x ) korlátos egy (7(a)-ban, akkor ezt a következőképpen jelöljük: f ( x ) = 0 { g { x ) ) (olvasd: f ( x ) egyenlő nagy ordo g ( x ) ) .

8.45. Példa. Megmutatjuk, hogy x ^ oo esetén az függvény gyor

sabban tart végtelenhez, mint x , bármilyen a > 1-re és k > 0-ra.

Ehhez azt kell belátnunk, hogy ^lin^a^/a;^ = oo. Legyen P adott valós

szám. Mivel az [a^/n^) sorozat végtelenhez tart, ezért van olyan no, hogy

n>r i Q esetén a ' ^ / n ^ > 2 ^ - P . Mármost, ha a: > 1, akkor és

x^ < (2 • [x] )^ = 2^ • [x]''"'. Ha tehát x > no, akkor [a:] > no, és így

x^ 2 • [x]^>


Tekintsük a következő függvényeket:

. . . , V í , V í,a ;,a :^ 2 ;^ ... ,a ;" ,.. . ,2 ^ ,3 ^ ,.. .,n ^ ,. ..,a ;^ . (8.14)

Könnyű belátni, hogy x ^ oo esetén a fenti elrendezésben szereplő bármelyik függvény gyorsabban tart végtelenhez, mint a tőle balra levő függvények.

8.46. Definíció. Tegyük fel, hogy Hm f { x ) = lim g{x ) = 0 vagy

lim f [ x ) = lim qix) = ±oo. Ha

lim = 1,g[x)

akkor azt mondjuk, hogy f és g aszimptotikusan egyenlőek. Ezt úgy jelöljük, ^ogy / ~ 5, ha re —> a.

Példa. Megmutatjuk, hogy a; 0 esetén V T + lc — 1 ~ Valóban,

V l + a; - 1 (V I X — l ) ( V l -i- X -f- 1)

f (V l + X -H 1) v/l + X -M1,

ha 0.

ordo = rend

154 8, Függvények folytonossága és határértéke

Feladatok

Va: + 9 - 2

359/J — 18.30. lim -yr-^— —

8.31. lim X ‘X —> 0 0

— •?%/a;2 + 2x — 2\/ a;- + x + x

8.32. lim ■ V x + 2 + ^/x — 2V x + 1X-^00

(1 - x ) ( i - - y x ) ■.■ ■ ■ (1 - v ^ )

_■?

8.33. lim1^1 (1 - x ) '^


limax + b

ax + blim ---------

x -^ - i -Q ex + a

oo, ha be — ad > 0—oo, ha be — ad < 0,

-o o , ha be — a d > 0oo, ha be - ad < 0,

és

limax + b a

x->±oo ex + d c{CytO).

8.35. Legyen p{x) egy legfeljebb n-edfokú polinom; azaz legyen

p{x) = anx"- 4- + .. . + a ix + ao.

Bizonyítsuk be, hogy ha

lim = 0,x - , 1) 2;“

akkor p(x ) — 0 minden x-re.

8.36. Konstruáljunk olyan f és g függvényeket, amelyekre lim f { x )a;—>■()

lini g (x ) = —oo, továbbá

(i) hm^(/(x) + g { x ) ) létezik és véges; (ii) (/ (x ) + g ( x ) ) = oo;

=-= oo,


(iii) lim (/ (x ) + í í (x ) ) = -o o ;I —>■()

(iv ) lim (/ (x ) + 5(x )) nem létezik.

g,37. (i) Ha X = a-ban / folytonos, g pedig nem folytonos, akkor lehet-e ugyanitt folytonos / -I- g? (ii) Ha x — a-ban sem /, sem g nem folytonos, lehet-e ugyanitt folytonos / -f g l

8.38. Tegyük fel, hogy <p: M M szigorúan monoton, és legyen i?(v?) = M. Bizonyítsuk be, hogy ha /: M —> M és /o</3 folytonos, akkor / is folytonos.

8.39. M it tudunk mondani f o g folytonosságáról, ha M-ben

(a) / is, g is folytonos,

(b) / folytonos, g nem folytonos,

(c) / nem folytonos, g nem folytonos.

8.40. Mutassunk példát olyan f , g : M - ^ K függvényekre, amelyekre

lim / (x ) = lim g{x) = 0, de lim f { g { x ) ) — 1. (M )r-»0 0-—►!) l-»()

8.41. Bizonyítsuk be, hogy ha / a Riemann-függvény, akkor a lm / (x )/ x

határérték nem létezik.

8.42. Igaz-e a következő állítás: ha - folytonos függvények végtelensorozata és F { x ) = inf{//i.(x)), akkor F { x ) is folytonos függvény?

k

8.43. Igaz-e, hogy ha / szigorúan monoton az A C ® halmazon, akkor az inverze folytonos az f { A ) halmazon?

8.44. Legyenek a és b pozitív számok. Bizonyítsuk be, hogy (i) x -> oo esetén

x“ nagyságrendje akkor és csak akkor nagyobb, mint x^ nagyságrendje, ha a > 6; és (ii) x -> 0 -f 0 esetén x ” “ nagyságrendje akkor és csak akkor

nagyobb, mint x~^ nagyságrendje, ha a > b.

8.45. Bizonyítsuk be, hogy a (8.14) elrendezésben szereplő bármelyik függvény gyorsabban tart végtelenhez, mint a tőle balra levő függvények.

8.46. Legyen a > 1 és A; > 0. Bizonyítsuk be, hogy x -> oo esetén a ' ^ nagy

ságrendje nagyobb, mint x^ nagyságrendje.

8.47. Tegyük fel, hogy az függvények mindegyike végtelenhez tart X -> oo esetén. Bizonyítsuk be, hogy van olyan / függvény, amelynek a nagyságrendje nagyobb, mint bármelyik /„ nagyságrendje.

Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények

8.47. D efin íc ió . Legyen a < b. Az f függvény folytonos az [a, b] intervallumban, ha minden x e (a, b) helyen folytonos, továbbá a-ban jobbról, 6-ben pedig balról folytonos.

Általánosabban:

8.48. D efin íc ió . Legyen A C D { f ) . Az / függvény/o/yíonos az A halmazon, ha minden x & A helyen az A halmazra szorítkozva folytonos.

Az alábbi tételek azt mutatják, hogy ha az / függvény folytonos egy korlátos és zárt intervallumban, akkor ebből automatikusan következik, hogy / számos egyéb fontos tulajdonsággal is rendelkezik. A következó'kben az [a, b] korlátos zárt intervallumban folytonos függvények összességét C[a, ö]-vel jelöljük.

8.49. T é te l. Ha f e C[a, b], akkor f korlátos [a, b]-ben.

B izony ítás. A tételt indirekt úton bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy / nem korlátos [a, 6]-ben. Ekkor semmilyen K számra nem teljesülhet. Hogy |/(:t’)l 5 K minden x e [a, 6]-ra. így például minden n-hez létezik olyan x„. e [a, 6], amelyre |/(a;„)| > n.

Tekintsük az (xn) sorozatot. Ez korlátos, hiszen minden tagja [a, ö]-beesik, ezért van egy konvergens részsorozata. Legyen lim = «• Mivel

h — oo[xn] C [a,b], ezért a is [a, ö]-ben van. Mármost / folytonos o;-ban, ezért az átviteli elv alapján az (/(xn;,)) sorozat konvergens (és /(a)-hoz tart). Következésképpen az ( f ixn/.) ) sorozat korlátos. Ez viszont ellentmondásban van azzal, hogy > n*. minden k-ra. □

8.50. M eg jegy zés . A tételben lényeges felteniaünk, hogy az / függvény egy korlátos és zárt intervallumban folytonos. Bármelyik feltételt is hagyjuk el, a tétel állítása nem marad igaz. így pl. az f { x ) = I j x függvény folytonos a korlátos (0,1] intervallumban, de / itt nem korlátos. Az f { x ) = x^ függvény pedig folytonos [0, oo)-ben, de szintén nem korlátos itt.

8.51. D efin íc ió . Legyen / értelmezve az A halmazon. Ha az A halmazhoz tartozó f { A ) értékkészletnek van legnagyobb eleme, akkor ezt az / függvény ^-n felvett (abszolút) maximumának nevezzük, és m ax/(A )-val vagy

Korlátos zárt intervallumban folytonos függvények 157

max/(.T)-szel jelöljük. Ha a e A és f { a ) = m ax/ (A ), akkor azt mondjuk, xéAjjogy a sjz f függvény yl-hoz tartozó abszolút maximumhelye.

Ha az f ( A ) értékkészletnek van legkisebb eleme, akkor ezt az / függvényA-n felvett (abszolút) minimumának nevezzük, és min /(A )-va l vagy m in/(x )-

x e A

szel jelöljük. Ha ö G A és f {b) = m h i f { A ) , akkor azt mondjuk, hogy b az f függvény A-hoz tartozó abszolút minimumhelye.

Az abszolút maximum-, illetve minimumhelyeket közösen abszolút szélső- értékhelyeknek nevezzük.

Természetesen egy A halmazon egy függvénynek több abszolút maximum- (illetve minimum-) helye is lehet.

Egy számhalmaznak nyilvánvalóan csak akkor létezhet maximuma (illetve minimuma), ha felülről (illetve alulról) korlátos. Viszont, amint azt már láttuk, nem minden korlátos számhalmazban van maximális vagy minimális elem. Ha egy / függvény értékkészlete a A halmazon korlátos, ez még nem biztosítja azt, hogy a függvény értékei között van legnagyobb vagy legkisebb.

Például az f { x ) = {2;) függvény [0,2]-ben korlátos, értékkészletének felső határa 1, de a függvényérték sehol sem 1. Tehát e függvénynek nincs maximális függvényértéke [0, 2]-ben.

A következő tétel azt mutatja, hogy ez a jelenség egy korlátos zárt intervallumban folytonos függvénynél nem fordulhat elő.

8.52. T é te l (W e iers tra ss té te le ). Ha f e C[a, b], akkor van olyan a e [o, 6] és /3 e [a, b], amelyekre teljesül, hogy f ( a ) < f { x ) < /(/?) minden x e [a, b]-re. Más szóval, egy korlátos, zárt intervallumban folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és abszolút minimumhelye.

A tételre két bizonyítást adunk.

I- B izon y ítás . A 8.49. Tétel szerint f { [a,b] ) korlátos. Legyen /([a, 6]) felső határa A í. Ha M e /(fa, b\), akkor ez éppen azt jelenti, hogy M = max f { x ) .

xela.b]Azt kell tehát csak belátnunk, hogy M ^ /([a, &]) nem lehetséges. Ezt indirekt úton bizonyítjuk be. Ha M ^ f{ [a,b] ) , akkor az F { x ) = M — f { x ) függvény értéke pozitív minden x e [a, &]-re. Ezért az 1/F függvény is folytonos [a, felben (1. a 8.42. Tételt), így itt korlátos is (a 8.49. Tétel szerint). Létezik tehát olyan K > 0 , amelyre

------------- < KM - f { x ) -

minden x e [a, 6]-re. Mindkét oldal reciprokát véve és átrendezve (és felhasználva, hogy M — f { x ) > 0 mindenütt), azt kapjuk, hogy

ha X € [a, 6]. Ez viszont ellentmond annak, hogy M az f { [a,b] ) halmaz legkisebb felső korlátja.

Hasonlóan bizonyítható min/[a, &] létezése. (Vagy pedig visszavezethetjük a maximumra vonatkozó állításra, ha azt / helyett -/ -re alkalmazzuk.)

I I . B izony ítás. Legyen ismét M = sup/([a, 6]); belátjuk, hogy M e /([a, 6]).Ha n pozitív egész, akkor M - (1/n) nem felső korlátja /([a, b])-nek, mert Mvolt f { [a,b] ) legkisebb felső korlátja. így van olyan Xn G [a, ö] pont, amelyref { xn ) > M — (1/n). Az ( xn) sorozat korlátos (hiszen minden tagja [a,ö]-beesik), ezért van egy konvergens (x ,j.) részsorozata. Legyen lim Xn,. = a.

A;—>ooMivel {xn} C [a, 6], ezért a € [o, f>]. Mármost / folytonos a-ban, ezért az átviteli elv alapján az f (xn, . ) —>■ /(o;)- Mivel

M - — < f { x n , ) < M nk

minden fc-ra, ezért a rendőrelv szerint M < / (a ) < M , azaz f { a ) = M . Ezzel megmutattuk, hogy M e f {[a, b]).

Hasonlóan bizonyítható min f [a, b] létezése. □

8.53. M eg jeg y zé s . A tétel feltételeit tekintve ismét lényeges az, hogy zárt, korlátos intervallumban folytonos függvényekről szól. Azt már láttuk a 8.50. Megjegyzésben, hogy ha / egy nyílt (a, b) intervallumban folytonos, akkor előfordulhat, hogy f { ( a ,b ) ) nem korlátos felülről, és így akkor m ax/((o, b)) nem létezik. De ez még akkor is előfordulhat, ha / korlátos. így pl. az f { x ) = X függvény folytonos és korlátos a (0,1) nyílt intervallumban, de ott nincs legnagyobb értéke.

Ugyancsak lényeges, hogy az intervallum korlátos legyen. Ezt illusztrálja

az f { x ) — --------- - függvény, amely korlátos ÍO,oo)-ben, de szintén nincs1 + x^

legnagyobb értéke.

A korlátos és zárt intervallumban folytonos függvények egy további fontos tulajdonságát adja meg az alábbi


8.54. T é te l (B o lza n o -D a rb o u x *-té te l). Ha f & C[a,b] , akkor f az [a, 6] iiitervallumhan felvesz minden f {a ) és f {b) közötti értéket.

Erre a tételre is két bizonyítást adunk, mivel mindkét bizonyítás alapgondolata karakterisztikus és gyakran alkalmazott az analízisben.

I. B izon y ítás . A z általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy / (a ) < c < f {b) .Olyan a e [a, 6] hely létezését fogjuk megmutatni, amelynek tetszőleges környezetében a függvény felvesz c-nél nem nagyobb és c-nél nem kisebb értéket is. Ebből / a-beli folytonossága alapján már egyszerűen következik, hogy f { a ) = c.

Az a számot egy /o D /] D ... egymásba skatulyázott zárt intervallumsorozat metszeteként fogjuk definiálni. Legyen I q — [a, ö].

y ./

\C_____ _______ - J - T ~

1 , / p----i ' I\i® 1 1 / 3 i b

1 / 2 11 J ' • 11 . 1

Ha / ^ a k k o r legyen ly = [ai, 6i] =

ha pedig / akkor legyen I i = [ai, bi] =

8.12. ábra

(L b

2a + b'

a, ■

Ezt a felezési eljárást folytatjuk. Ha I n = [a-n, b n ] már meg van határozva

és / ^ j < c, akkor legyen In+ i =O-n + bn

ha viszont / ( ^ ^ > c, akkor legyen In+i = \ 2 /

(int

2

2

Az /() 2) /j 3 ... intervallumsorozatot tehát úgy értelmeztük, hogy

/ (a „ ) < c < f ibn)

b — a

(8.15)

teljesüljön minden n-re. Mivel \In\ = ■VI0, ezért az ( In) intervallumso

rozatnak pontosan egy közös pontja van. Legyen ez a. Nyilvánvalóan

a = lii n-»

és ezért, mivel / folytonos a-ban,

a = lim Un = lim bn n->oo n -^ o o

(8.16)

Jean Gastoii Darboux (1842-1917) francia matematikus

De (8.15)-ből

vagyis (8.16) csak úgy teljesülhet, ha / (a ) = c. □

I I . B izon y ítás . Ismét tegyük fel, hogy f ( a ) < c < f {b) , és legyen

A = [x e [a, b] : f { x ) < c}.

Az így értelmezett A halmaz korlátos és nem üres, hiszen a € A. így a = sup A létezik, és C [a,b] miatt a e [a, b]. Mivel / folytonos a-ban és / (a ) < c, ezért f { x ) < c egy alkalmas [a, a + 5) intervallumban, és így a < a. Továbbá, mivel / folytonos ö-ben és f {b) > c, ezért f { x ) > c egy alkalmas {b — <5,6] intervallumban, és így a < b. Bebizonyítjuk, hogy f { a ) = c.

Ha ugyanis / (a ) nagyobb lenne, mint c, akkor létezne olyan (a — <5, a + (5) intervallum, amelyben f { x ) > c teljesülne. De ekkor a nem lehetne az A halmaz felső határa, azaz legkisebb felső korlátja, hiszen az a-nál kisebb a ~ ó is felső korlátja lenne A-nak.

Ha viszont f { a ) kisebb lenne, mint c, akkor létezne olyan (a — á, a + í ) intervallum, amelyben f { x ) < c teljesülne. De ekkor ismét nem lehetne a az A halmaz felső határa, mert A-ban lennének a-nál nagyobb x értékek is. Tehát sem f { a ) > c, sem f { a ) < c nem lehetséges, és így / (a ) = c. □

8.55. K övetkezm én y . Ha f e C[a,b], akkor f értékkészlete egy korlátos, zárt intervallum, mégpedig

f { [a,b] ) = min f { x ) , max f { x ) xe[a,b] j;6[a,6]

B izon y ítás . A Weierstrass-tételből következik, hogy M = m ax/([a, 6]) és m = m in/([a, 6]) létezik. Világos, hogy /([a, 6]) C [ m , M] . A 8.54. Tételből következik, hogy a ftiggvény minden [m, M ]-beli értéket felvesz [a, 6]-ben, tehát f { [a,b] ) = [ m , M] . □

A fenti tételekből nem nehéz belátni, hogy ha I tetszőleges típusú intervallum és / folytonos 7-ben, akkor /(/ ) is intervallum (lásd a 8.61. feladatot).

A Bolzano-Darboux-tétel segítségével egyszerű bizonyítást adhatunk a nemnegatív számok /c-adik gyökének létezésére (2.6. Tétel).


8.56. K övetkezm én y . Ha a > 0 és k pozitív egész, akkor létezik olyan nemnegatív b valós szám, amelyre b = a.

B izonyítás. A z függvény folytonos a [0 ,a + 1] intervallumon (miért?).

Mivel /(O) = 0 < a és / (a + 1) = (a -h 1)* > a -H 1 > a, ezért a Bolzano-

Darboux-tétel szerint van olyan fe e [0, a + 1], amelyre b = f ( b ) = a. □

Feladatok

8.48. Adjunk példát olyan /: [a, 6] -> R függvényre, amely egy pont kivételével [a, 6] minden pontjában folytonos, és amely (i) nem korlátos; illetve (ii) korlátos, de nincs legnagyobb értéke.

folytonos és lim f { x ) = hm f { x ) , akkor f-iiek vagy a:— 00 x-^—oo

8.49. Ha /; 1 ^

van legnagyobb, vagy van legkisebb értéke. (Mindkettő nem feltétlenül.

8.50. Melyek azok az /: [a, 6] -> ÍR függvények, amelyeknek minden nemüres A C [a, 6] halmazon van legkisebb és legnagyobb értékük?

8.51. Tegyük fel, hogy az /: [a, 6] - » M függvény rendelkezik a következő tulajdonságokkal: (i) Minden a < c < d c, akkor f -n ek az {xn : n = 1 ,2 ,... } U {c} halmazon van legkisebb és legnagyobb értéke. Bizonyítandó, hogy / folytonos.

8.52. Legyen /: [a, 6] (0, oo) folytonos. Bizonyítandó, hogy alkalmas 5 > 0- ra f { x ) > 5 minden x e [ a , b ] - v e . Adjunk ellenpéldát, ha [a,b] helyett (a, 6)-n értelmezett folytonos függvényt veszünk.

8.53. Legyenek /, g. [a,b] ->• M folytonosak, és tegyük fel, hogy f { x ) < g {x ) minden x e [a, 6]-re. Bizonyítandó, hogy alkalmas 5 > 0-ra f { x ) + ö < g {x ) minden x e [a, &]-re. Adjunk ellenpéldát, ha [a, b] helyett (a, b)-n értelmezett folytonos függvényeket veszünk.

8.54. Bizonyítsuk be, hogy ha /: [a, 6] szigorúan monoton.

folytonos és egy-egyértelmű, akkor

8.55. Mutassuk meg, hogy ha f : [a,b] -> M monoton növő és az értékkészlete tartalmazza [ f { a ) , f { b ) ] n(Q-t, akkor / folytonos.

8.56. Bizonyítsuk be, hogy ha /: [a, í»]->-]R folytonos, akkor minden x i , . . . , Xn 6 e [a, 6]-hez van olyan c e [a, h], amelyre { f { x { ) + ... + f { x n ) ) / n = f {c ) .

8.57. Bizonyítandó, hogy minden harmadfokú polinomnak van valós gyöke. Igaz-e, hogy minden negyedfokú polinomnak van valós gyöke? (Ö )

8.58. Bizonyítsuk be, hogy ha /: [a, ö] -> [a, 6] folytonos, akkor van olyan c e [a, ö], amelyre / (c) = c. Adjunk ellenpéldát, ha [a, ö] helyett bármilyen más típusú intervallumot veszünk. (Ö )

8.59. Bizonyítsuk be, hogy ha /: [0,1] M folytonos és /(O) = / ( l ) , akkor van olyan x e [0,1/2], amelyre f ( x ) = f ( x + (1/2)). Sőt, minden n e N"'"-ra van olyan 0 < a; < 1 — (1/n), amelyre f { x ) = f { x + (1/n)).

8.60. Van-e olyan f : x-re? (Ö )

. folytonos függvény, am elyre/(/(a:)) = - x minden

8.61. Bizonyítsuk be, hogy ha I egy intervallum (zárt vagy sem, korlátos vagy sem, elfajuló vagy sem) és /: 7 ÍR folytonos, akkor / (/ ) is egy intervallum.

Egyenletes folytonosság

Legyen az / függvény folytonos az I intervallumban. Ez azt jelenti, hogy minden a e 7-hez és tetszőleges £ > 0-hoz létezik 5 > 0 úgy, hogy

< e. ha 3.171a; € (a — (5, a 4- 5) n 7.

Sok esetben meghatározhatjuk az a helyhez tartozó lehető legnagyobb J-t, amellyel (8.17) teljesül. Jelöljük ezt á(a)-val. Ha £ > 0 rögzített, akkor különböző a pontokhoz általában különböző J(a) tartozik. Könnyű belátni például, hogy az J{x ) = x^ függvény esetében minél nagyobb |a| értéke, annál kisebb az a helyhez tartozó ő{a). így a [0,1] intervallumban az o = 1 helyhez tartozó S{a) a legkisebb, ezért bármely a e [0,1] helyen választható S gyanánt az 1-hez tartozó 5(1). Ez más szóval azt jelenti, hogy minden a e [0, l]-re

\f {x) - f {a) \<e, ha |x - a | < ő ( l ) .

Egyenletes folytonosság 163

Ez az okoskodás persze általában nem működik. Mivel végtelen sok szám között nem mindig van legkisebb, ezért egy /: 7 —> M folytonos függvényhez - a fenti módszerrel ~ nem mindig találhatunk olyan í-t, ami minden a e 7-re jó. De nern is mindig létezik ilyen ő. Az f { x ) = 1/x függvény esetében a 8.2.4. példájában meghatároztuk ö{a) értékét (lásd a (8.2) képletet). Láthatjuk, hogy ebben az esetben < (a) —> 0, ha a -> 0, vagyis nem létezik olyan ő, amely a (0,1) intervallum bármely a helyén jó lenne. Amint azt hamarosan megmutatjuk, ez a jelenség nem fordulhat elő olyan függvények esetében, amelyek egy korlátos zárt intervallumban folytonosak: ilyen esetben kell, hogy létezzen az intervallum minden pontjában egy közös, jó 6. Ezt a tulajdonságot egyenletes folytonosságnak nevezzük. Ennek pontos értelmezése a következő:

8.57. D e fin íc ió . Az / függvény egyenletesen folytonos az 7 intervallumban, ha minden e > 0-hoz létezik egy (közös, azaz a helytől független) á > 0, amelyre teljesül, hogy

ha xq, xi e I és |a;i — a;o| < <5, akkor \f{xi ) — f { x i ) ) \ < e . (8.18)

Hasonlóan értelmezhető egy tetszőleges A C M halmazon az egyenletes folytonosság; írjunk a fenti definícióban 7 helyett mindenütt A -t.

8.58. T é te l (H e in e * - té te l). Ha f e C[a,b] , akkor / egyenletesen folytonos [a, b]-hen.

B izonyítás. Az állítást indirekt módon bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy / nem egyenletesen folytonos [a, 6]-ben. Ez azt jelenti, hogy van olyan cq > 0, amelyhez nem létezik olyan í > 0, amelyre (8.18) teljesül. Ekkor (8.18) a. S — 1/n választással sem teljesül, vagyis minden n-re létezik olyan o;„ e [a, b] és Pn e [a, í>], amelyekre

(8,19)

de ugyanakkor

l / ( a n ) - / (A O I >£()• (8-20)

Mivel {a „ ] c [a, ö], ezért létezik egy (a,,./.) konvergens részsorozat, amelynek határértéke, a ugyancsak [a, 6]-ben van. Mármost (8.19) alapján

Au- ~ ~ Q + ot = a.

Heiiirich Eduard Heine (1821-1881) német matematikus

Mivel / folytonos [a, 6]-ben, ezért a-ban is folytonos ([a, b]-ve szorítkozva). így az átviteli elv szerint / («n í,) ^ / ( « ) és / (/3„j.) ->■ / (a ), amiből

(/ («n< ) - / (Ai/,:)) = 0-

Ez azonban ellentmond (8.20)-nak. □

8.59. M eg jeg y zé s . A 8.58. Tételben az [a,b] intervallum korlátossága is, zártsága is lényeges. Például az f { x ) = I j x függvény folytonos (0, l)-ben, de itt nem egyenletesen folytonos. Ez azt mutatja, hogy a zártság feltétele nem hagyható el. Az f { x ) = függvény folytonos (—oo, oo)-ben, de itt nem egyenletesen folytonos. Ez azt mutatja, hogy a korlátosság feltétele sem hagyható el.

Később látni fogjuk, hogy az egyenletes folytonosság nagyon hasznos tulajdonság, és gyakran van szükség arra, hogy egy függvénynek egy adott A halmazon való egyenletes folytonosságát megállapítsuk. Ha az A halmaz egy korlátos, zárt intervallum, akkor egyszerű dolgunk van: a Heine-tétel szerint a függvény akkor és csak akkor egyenletesen folytonos A-n, ha A minden pontjában folytonos. Ha azonban A egy olyan intervallum, amely nem korlátos vagy nem zárt (esetleg A nem is intervallum), akkor a Heine-tétel nem segít. Ezért fontos tudnunk, hogy van egy egyszeri! tulajdonság, amit könnyű ellenőrizni, és amelyből az egyenletes folytonosság következik.

8.60. D efin íc ió . Az / függvény Lipschitz*-tulajdonságú (röviden Lipschitz) az A halmazon, ha van olyan > 0 konstans, hogy

\ f { x x ) - f { x o ) \ < K -\x,~x( ,\ (8.21)

minden xa,x\ e A-ra.

Könnyű belátni, hogy a Lipschitz-tulajdonságból tényleg következik az egyenletes folytonosság. Ha ui. (8.21) teljesül minden minden xq, x i e ^-ra, akkor xq, xi e A és |xi - a,’o| < e/K esetén

\J { x , ) ~ f { x o ) \ < K \xi - x o\ < K ■ — = e.h.

A megfordítás általában nem igaz: az egyenletes folytonosságból általában nem következik a Lipschitz-tulajdonság. (Vagyis a Lipschitz-tulajdonság erősebb feltétel, mint az egyenletes folytonosság.) így pl. a ^/x függvény nem

Rudolph O ttó Sigismuiid Lipschitz (1832-1903) német matematikus

Egyenletes folytonosság 165

Lipschitz a [0,1] intervallumon. Valóban, bármilyen K > 0 konstanst is adunk meg, ha xo = 0 és 0 < x i < m in(l, 1/K^), akkor xi > ■ x j , és így

I - \/^l = > K ■ xi = K ■ \xi - s o l .

Másrészt a ^/x függvény egyenletesen folytonos [0, l]-en, hiszen folytonos ott.

Feladatok

8.62. Az alább megadott függvények egyenletesen folytonosak a megadott intervallumokban a Heine-tétel szerint. Adjunk meg minden e > 0-hoz á-t az egyenletesen folytonosság definíciójának megfelelően.

(a) [0, l]-ben; (b ) [ - 2 ,2]-ben; (c) V x [0, l]-ben.

8.63. Bizonyítsuk be, hogy (a) f { x ) = nem egyenletesen folytonos M-en; és(b) f { x ) = l/x^ nem egyenletesen folytonos (0, l)-ben, de egyenletesen folytonos [1,4-oo)-ben.

8.64. Bizonyítsuk be, hogy ha / folytonos M-en és

hm f ( x ) = lim f ( x ) = 0, x - ^ o o ' ■ x - y - o o ■

akkor / egyenletesen folytonos M-en.

8.65. Bizonyítsuk be, hogy ha / egyenletesen folytonos a korlátos A halmazon, akkor / korlátos >l-n. Igaz-e az állítás, ha nem feltételezzük A korlátosságát?

8.66. Bizonyítsuk be, hogy ha f : R ^ R é s g : R - ^ R egyenletesen folytonosak M-en, akkor f + g is egyenletesen folytonos IR-en.

8.67. Igaz-e, hogy ha /: M ->■ R és 5: M ^ ® egyenletesen folytonosak M-en, akkor / • ,g is egyenletesen folytonos M-en?

8.68. Bizonyítsuk be, hogy ha / folytonos [a, &]-ben, akkor minden e > 0-hoz található olyan [a, ö]-ben szakaszonként lineáris £(x) függvény, amelyre 1/ (2;) — í {x)\ < e minden x G [a, ö]-re. (Azaz / grafikonja £-nál jobban közelíthető törött vonallal.) (A z í { x ) függvény akkor szal^aszonként lineáris [a, &]-ben, ha az [a, 6] intervallum az ao = a < oi < ... < a,i-\ < = 6 osztópontokkal felbontható olyan [a/,_i,a/,,] részintervallumokra, amelyekben í { x ) liiíeáris, azaz í { x ) = c^x -I- d)., ha x e és fc = 1 ,... ,n .)

8.69. Bizonyítsuk be, hogy az függvény Lipschitz minden korlátos halmazon {k tetszőleges pozitív egész).

8.70. Bizonyítsuk be, hogy a v a; függvény Lipschitz az [a, ?>] intervallumon minden 0 < a < b-re.

8.71. Tegyük fel, hogy f és g Lipschitz A-n. Bizonyítsuk be, hogy ekkor

{^) / + 5 c • / is Lipschitz az A halmazon minden c € R-re; és

(b ) ha az A halmaz korlátos, akkor f ■ g is Lipschitz A-n. (Ö )

8.72. Mutassunk példát olyan /, ^: R R Lipschitz-függvényekre, amelyekre / • g nem Lipschitz.

8.73. Tegyük fel, hogy / Lipschitz a korlátos és zárt [a, b] intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy ha / sehol sem nulla, akkor 1// is Lipschitz [a,?;]-n.

8.74. Tegyük fel, hogy az /: M ^ 1 függvényre teljesül, hogy |/(a;i) - / (o ;2)| << \x i - x - 2f minden xi , x -2 € M-re. Bizonyítsuk be, hogy ekkor / konstans.

Monotonitás és folytonosság

Legyen / értelmezve a egy pontozott környezetében. Az / függvény akkor és csak akkor folytonos az a helyen, ha a következő feltételek mindegyike teljesül:

(i) f ( x ) létezik,

(ii) a e D (/ ) ,

Ha ezen három feltétel bármelyike nem áll fenn, a függvény nem folytonos a-ban; ekkor azt mondjuk, hogy f-nek a-ban szakadási he lye van. A szakadási helyeket a következőképpen osztályozzuk.

8.61. D efin íc ió . Legyen / értelmezve a egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy / nem folytonos a-ban. Ha lim f ( x ) létezik és véges, de

X—►aa ^ D { f ) vagy / (a ) / Imi f { x ) , akkor azt mondjuk, hogy f -nek megszüntet

hető szakadási helye van a-ban*

Ugyanis ekkor az f { a ) = lim f { x ) értelmezéssel / folytonossá tehető a-ban.

IVlonotonitás és folytonosság 167

Ha lim f ( x ) nem létezik, dex—a ' '

hm f { x ) = f {a-\-0 ) és hm f { x ) = f { a - 0)X—>-a+0 x ^ a —ü

mindketten léteznek (és ekkor szükségképpen különbözőek), akkor azt mondjuk, hogy f -nek ugráshelye van a-ban. A megszüntethető szakadási helyeket és az ugráshelyeket közösen elsőfajú szakadási helyeknek nevezzük.

Minden más esetben azt mondjuk, hogy f-nek másodfajú szakadása van a-ban.

Példák. 1. A {re} és [a;] függvényeknek minden egész pontban ugráshelye van. Ugyancsak ugráshelye van az l/x függvénynek, valamint a sgnx függvénynek a 0 pontban.

2. A Riemanii-függvénynek (8.7. Példa 3. függvénye) minden racionáüs pontban megszüntethető szakadása van.

3. A Dirichlet-függvénynek (7.6. Példa (9) függvénye) viszont minden pont másodfajú szakadási pontja.

Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a monoton függvények szakadási helyei elsőfajúak, és ezek is csak ugráshelyek lehetnek. Ez azzal ekvivalens, hogy egy monoton függvénynek minden pontban léteznek a féloldali határértékei.

8.62. T é te l. Legyen f monoton növekedő a véges vagy végtelen (a,b) nyílt intervallumban. Ekkor

(i) minden xo e (a, b) esetén léteznek a véges f {xo — 0) és f{x{) -h 0) véges határértékek, és

f { xo - 0) < f ( xo ) < f [ x o -f 0).

(ii) Ha f felülről korlátos {a,b)-ben, akkor létezik a véges f ( b - O ) határérték, ha pedig alulról korlátos (a, b)-hen, akkor létezik a véges / (a -t- 0) határérték.

(iii) Ha f felülről nem korlátos {a,b)-ben, akkor f { b — 0) = oo, ha pedig / alulról nem korlátos (a, b)-ben, akkor f {a -f 0) = —oo.

Hasonló állítás fogalmazható meg monoton csökkenő függvényre, illetve nem korlátos intervallumra. A tételre két bizonyítást adunk.

I- B izon y ítás , (i) Mivel f { x ) < /(.to) minden x e (a,a;o)-ra, ezért / ((o , x’o)) halmaz felüről korlátos, és /(xo) egy felső korlátja. Legyen

ö = su p / ((a ,2;())); ekkor tehát a < f {xo) .

Legyen e > 0 adott. Mivel a az f { {a,xo) ) halmaz legkisebb felső korlátja, ezért a — e nem felső korlát. így létezik olyan e (a,xo) , amelyre a — £ < f ( xe ) . Mármost / monoton növekedése és a értelmezése miatt

a - e < / (xe) < f { x ) < a,

ha a < Xe < X < xq, amiből világos, hogy lim f { x ) = a. Ezzel belát-x— 0

tűk, hogy f{x( ) — 0) létezik és véges, valamint f{x[ ) — 0) < f {x[ ) ) . Ugyanígy bizonyítható f (xi ) + 0) > f ( xo ) .

A (ii) és (iii) állítások hasonlóan bizonylthatóak; (ii) első állításának bizonyításában f{x[ ) ) szerepét sup/ ((a ,b )) veszi át. □

I I . B izonyítás. Csak (i) bizonyítását részletezzük. A 8.22. Tétel szerint elegendő belátni, hogy minden Xn Z ' xq sorozatra { f { xn) ) konvergens, és a limesze legfeljebb f{x{) ) . Az / függvény monotonitása miatt, ha Xn xq, akkor i f { xn ) ) is monoton növő, tehát létezik a (véges vagy végtelen) határértéke. Mivel pedig f { xn ) < /(a^o) minden n-re, ezért ^ i n ^ f { x n ) < f {xo) . □

8.63. K övetkezm ény. Ha f monoton (a, b)-ben, akkor minden xq e (a, b) pontban vagy folytonos, vagy pedig ugráshelye van: egy (a, b)-ben monoton függvénynek más szakadási helye mint ugráshelye nem lehet. □

Most megmutatjuk, hogy egy monoton függvénynek nemcsak hogy nem lehet akármilyen szakadási helye, de túl sok szakadási helye sem lehet.

8.64. Téte l. Ha f monoton az I nyílt intervallumban, akkor I-ben legfeljebb megszámlálhatóan sok szakadási helye van.

B izonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy / monoton növekedő 7-ben. Ha / egy c e I helyen nem folytonos, akkor f ( c — 0) < f ( c + 0). Legyen r(c ) egy olyan racionális szám, amelyre /(c — 0) < r (c ) < f ( c + 0). Ha Cl < C2, akkor / monoton növekedése miatt /(ci -I- 0) < / (c2 - 0). Ezért, ha f-nek ci is, C2 is szakadási helye, akkor r (c i) < r (c2).

Ez azt jelenti, hogy a szakadási helyek és a8.14. ábra racionális számok egy részhalmaza között egy-

egyértelmű megfeleltetést hoztunk létre. Mivel a racionális számok megszámlálható halmazt alkotnak, f-nek csak megszámlálhatóan sok szakadási helye van. □

V

r{c2)-

/

r(ci)-_ _ _ y \

r-------- 11 ) 1 t

Cl C2 X

IVlonotonitás és folytonosság 169

8.65. M e g jeg y zé s . Megadva egy tetszőleges A megszámlálható számhal- niazt, konstruálható olyan / monoton növő függvény, amely (—oo, oo)-ben monoton és a szakadási pontjainak halmaza éppen A. így például konstruálható olyan (—oo,oo)-ben monoton növő függvény, amely minden irracionális helyen folytonos és minden racionáhs helyen nem folytonos.

A 8.43. Tételben beláttuk, hogy ha / szigorúan monoton az I intervallumon, akkor az inverze folytonos az / (/ ) halmazon. Ha az / függvény maga is folytonos, akkor ezt a következőképpen egészíthetjük ki.

8.66. T é te l. Legyen f szigorúan monoton növekedő és folytonos az I intervallumban. Ekkor (i) / (/ ) szintén egy intervallum. Nevezetesen,

h a l = [a, b], akkor f ( I ) = [/(a), /(ö)];

ha I = [a,b), ahol b véges vagy végtelen, akkor f { I ) = [/ (a ),su p/ (/ ));

ha I = (a, 6], ahol a véges vagy végtelen, akkor J { I ) = (inf /(/),/(&)],'

ha pedig I = (a, b), ahol a és b véges vagy végtelen, akkor/(/ ) = ( in f/ (/ ), sup/ (/ )).

(ii) / inverz függvénye, szigorúan monoton növekedő és folytonos az f ( I ) intervallumon f { I ) - r e szorítkozva.

Hasonló állítás fogalmazható meg szigorúan monoton csökkenő és folytonos függvényekre.

B izony ítás. Csak (i)-et kell belátnunk.Ha 7 = [o, &], akkor /(7 ) = [/(a), f {b) ] nyilvánvaló a Bolzano-Darboux-tételből.

Tegyük fel, hogy I = [a, 6). Világos, hogy ekkor /(7 ) C [/ (a ),sup/(7 )].Ha / (a ) < a; < sup/(7), akkor válasszunk ®gy u e I pontot, amelyre x < f {u) . A Bolzano-Darboux-tétel szerint / minden /(a) és f { u ) közötti értéket felvesz az [a,u] intervallumon, tehát x e f { [ a ,u ] ) c /(7).

Ezzel beláttuk, hogy [/ (a), sup/ (/ )) c /(7). A z /(/ ) = [/ (a ),su p/ (7 )) állítás bizonyításához már csak azt kell belátni, hogy sup/(7) ^ /(7). Valóban, ha X = f { u ) , ahol u e I , akkor u < v e I esetén x = f { u ) < f { v ) < sup/(7), tehát X 7 sup /(/).

A többi állítás ugyanígy bizonyítható. □

8.67. M e g jeg y zé s . Az előző tétel szerint egy [a, 6] intervallumon értelmezett / függvény inverze létezik és szintén egy korlátos zárt intervallumon van értelmezve, ha az / függvény szigorúan monoton és folytonos. Ez a feltétel azonban távolról sem szükséges, amint az alábbi példa mutatja.

I I I I I I I I

i - f•'I I I I

-M--i i54

IIII

I ■■

.■f i I I I 1 I I I I I I I I I I I i l I

Legyen

f i x ) = {x € [0,1]).

172

0,91 a:

X, ha X racionális,1 - cc, ha a; irracionális

Egyszerűen belátható, hogy [0, Ij-ben /

a) semmilyen részintervallumban nem monoton,

b) a.7, X = - pont kivételével sehol sem foly-

8 . 1 6 . á b r a

tonos; és mégis,

c) f inverz függvénye létezik.

Ráadásul / ([0 ,1]) = [0,1], azaz / a [0,1] intervallumnak önmagára való kölcsönösen egyértelmű, sehol sem monoton, egy pont kivételével sehol sem folytonos leképezése.

Belátható azonban, hogy ha / folytonos egy intervallumban, akkor / szigorú monotonitása szükséges és elégséges feltétele az inverz függvény létezésének (lásd a 8.54. feladatot).

Feladatok

8.75. Adjunk meg egy olyan /: [0,1] [0,1] függvényt, amely monoton és végtelen sok szakadási helye van.

8.76. Legyen / értelmezve az a pont egy környezetében, és legyen

m{h) - in f{/ (x ) : x e [a — h,a + h]}, M { k ) = sup(/(a;) : x e [ a - h , a + h]}

minden h > 0-ra. Bizonyítsuk be, hogy a lim M ( h ) = M és

lim m{h) = m határértékek léteznek, továbbá, hogy / akkor és csak

akkor folytonos a-ban, ha m = M .

8.77. Létezhet-e inverz függvénye /-nek [—1, l]-ben, ha / ( [—1,1]) = [—1,1] és az / függvénynek [—1, l]-ben pontosan két szakadási pontja van?

Konvexitás és folytonosság 171

8.78. Konstruáljunk olyan /: M 1 függvényt, amely minden nullától különböző pontban folytonos, és amelynek a nullában másodfajú szakadása van.

8.79. Legyen /: 1 M olyan függvény, amelyre f ( x - 0) < f { x ) < f { x + 0) minden a;-re. Igaz-e, hogy / monoton növő? (Ö )

8.80. Bizonyítsuk be, hogy bármely /:ffi ^ M függvény elsőfajú szakadási helyeinek halmaza megszámlálható. (Ö )

8.81. Bizonyítsuk be, hogy ha az /:IK -> M függvénynek minden racionális pontban elsőfajú szakadása van, akkor van olyan irracionális pont, amelyben folytonos. (Ö )

Konvexitás és folytonosság

Az első célunk annak a bizonyítása, hogy egy nyílt intervallumban konvex függvény szükségképpen folytonos. Mint látni fogjuk, ez abból következik, hogy ha / konvex, akkor bármely c pontnak van olyan környezete, amelyben / közrefogható két folytonos (lineáris) függvénnyel, amelyek közös értéke c-ben /(c). Ennek belátásához először egy segédtételt bizonyítunk be. Emlékeztetjük az olvasót, hogy (adott / esetén) fta,6-vel jelöljük azt a lineáris függvényt, amely az a és 6 pontokban megegyezik /-fel, tehát

haMW = ----7----------- { x - a ) + f {a) .’ b - a

8.68. L em m a. Legyen f konvex az I intervallumban. Ha a, b e I , a ha^h(x). (8.22)

Ha f szigorúan konvex I-hen, akkor ( 8.22)-ben szigorú egyenlőtlenség áll. (Vagyis az [a, 6] intervallumon kívül f grafikonjának pontjai az (a ,/ (a )) és (^ ;/ (i')) pontokat összekötő egyenes felett vannak, I. 7.2. ábra.)

B izon y ítás . Tegyük fel, hogy a < b < x. A konvexitás definíciója szerint ekkor f { b ) < ha,x(b), azaz

/ (& )< — ^~-^^“ ^ - ( b - a ) + / (a ),X ~ a

ami egyszerű átrendezés után éppen (8.22)-t adja. Ha a; < a < ö, akkor / (a ) < < hx,b{0')-, azaz

^ /(ft) - K x ) , , , , , ,/ (a ) < ----7----------- { a - x ) + f { x ) ,

0 — X

amiből egy egyszerű átalakítással szintén megkapjuk (8.22)-t.

Ha / szigorúan konvex, akkor a fenti okoskodásban mindenütt szigorú egyenlőtlenségek állnak. □

Most már könnyen bebizonyíthatjuk a konvex függvények folytonosságát.

8.69. T é te l. Ha f konvex a nyílt I intervallumban, akkor / folytonos I-ben.

B izon y ítás . Legyen c e I adott, és válasszunk olyan a,b e I pontokat, melyekre a < c < b. Ha x e (c, b), akkor a fenti lemma, valamint / konvexitása alapján

ha,c{^) ^ f ( ^ ) ^Mivel JinWia,c(2;) = Um^hi. i){x) = / (c), ezért arendörelv szerint lim ^/ (^ ) =

= / (c). Ugyanígy adódik hm f { x ) = f { c ) . □x —>c—Q

Ha / konvex az I intervallumban, akkor tetszőleges a,b e /-re teljesül

f{a) + f{b)I

/a + b\

) - 2(8.23)

Valóban, ha a = 6, akkor (8.23) nyilvánvaló, míg az a < b esetben (8.23) az f { x ) < hafi{x) egyenlőtlenségből következik, ha azt x = {a + b)/2-ve alkalmazzuk. Azokat a függvényeket, amelyek minden a,b e I-ve kielégítik a (8.23) egyenlőtlenséget, gyen gén konvex függvényeknek nevezik*. Az / függvény gyengén konkáv, ha / ((a -I- b)/2) > (/ (a ) + f ( b) )/2 minden a, b e /-re.

A gyengén konvexitás tulajdonsága - nevének megfelelően - valóban gyengébb feltétel a konvexitásnál, azaz léteznek gyengén konvex, de nem konvex függvények. Meg lehet mutatni ugyanis, hogy van olyan /; M -> M függvény, amely additív abban az értelemben, hogy f ( x + y) = f { x ) + f ( y ) teljesül minden x ,y e M-re, de / nem folytonos. (E tény bizonyítása azonban meghaladja ennek a könyvnek a kereteit.) Mármost könnyű belátni, hogy egy ilyen

A gyengén konvex függvényeket szokás még Jensen-konvex függvényeknek is nevezni.


függvény szükségképpen gyengén konvex, sőt, még az erősebb / ((a + b)/2 ) — = (/ (a ) + f {b) )/2 feltételt is kielégíti minden a,b-re. Másrészt / nem konvex, mert nem folytonos.

A következő tételben bebizonyítjuk, hogy ha / folytonos, akkor / gyengén konvexitása már ekvivalens / konvexitásával. Ez azt jelenti, hogy a folytonos függvények körében a konvexitás megállapításához elegendő a gyengén konvexitást ellenőrizni, ami általában egyszerűbb, mint a konvexitás definíciójának ellenőrzése.

8.70. T é te l. Tegyük fel, hogy f folytonos és gyengén konvex az I intervallumban. Ekkor f konvex I-ben.

B izony ítás . A zt kell megmutatnunk, hogy ha a,Xo,b e I és a < < b, akkor f { xo ) < ha^bi^o)- Tegyük fel, hogy ez nem igaz, tehát f { xo ) > ha^bi^o). Ez azt jelenti, hogy a g{x) = f { x ) - ha^bi^) függvény pozitív so-ban. Mivel g{a) — 0, ezért létezik egy utolsó pont xq előtt, amelyben g eltűnik. Valóban, legyen A = [x e [a,a:o] : g{x) = 0), és legyen a = sup A. Ekkor a < a < xq. Megmutatjuk, hogy g ( a ) = 0. Valóban, választhatunk egy olyan Xn ^ A sorozatot, amely a-hoz tart, és így g folytonossága alapján g{xn) gia) - Mivel g{xn) — 0 minden n-re, ezért g{a) — 0. Ebből következik, hogy a < xo, és a 5 függvény pozitív az {a,X[-,] intervallumban. Ha ui. volna egy olyan a < xi < xq pont, amelyben g {x i ) < 0, akkor a Bolzano-Darboux-tétel szerint ,a-nek volna gyöke [xi,o;()]-ban, ami ellenmond annak, hogy a az A halmaz felső korlátja.

Pontosan ugyanígy adódik, hogy van egy első (3 pont xo után, amelyben g eltűnik, és hogy a g függvény pozitív az [aio, f3) intervallumban. Ekkor tehát g(a ) = g { (i ) = 0, és g{x) > 0 minden x e (a,/3)-ra. Mármost a g függvényt úgy kaptuk /-bői, hogy levontunk belőle egy l Hneáris függvényt. Ebből következik, hogy g is gyengén konvex. Valóban, mivel í lineáris, így í [ { a + b)/2 ) — [ í {a) + í {b)]/2 minden a, 6-re, tehát, ha / kielégíti a (8.23) egyenlőtlenséget, akkor í levonása ezt nem befolyásolja. Azonban 5(0 ) = g{(3) = 0 és g{ {a -1- /3)/2) > 0, tehát (8.23) az a = a, b — (3 választással nem teljesül. Ez ellentmondás, amivel beláttuk, hogy / konvex. □

8.71. M e g je g y zé s . Ha az / :/

' a + b~<

függvény kielégíti az

f{a) + m(8.24)

feltételt minden a, b e I , a ^ &-re, akkor /-et szigorúan gyen gén konvexnek nevezzük. Hasonlóan definiáljuk a szigorúan gyengén konkáv függvényeket. Az előző tételből következik, hogy ha f folytonos és szigorúan gyen-

gén konvex az I intervallumban, akkor f szigorúan konvex 1-ben. Valóban, könnyű belátni, hogy ha / konvex, de nem szigorúan konvex az I intervallumban, akkor I-nek van olyan J részintervalluma, amelyben / lineáris (lásd a8.82. feladatot). Ekkor azonban (8.24) nem teljesül a J intervallum pontjaira, hiszen a,b € J esetén (8.24)-ben egyenlőség áll.

Ugyanígy adódik, hogy minden folytonos és szigorúan gyengén konkáv függvény szigorúan konkáv.

Megemlítjük, hogy a 8.70. Tétel feltétele jelentó'sen gyengíthető: / folytonossága helyett elég feltenni, hogy /-nek van olyan részintervalluma, amelyben / felülről korlátos (lásd a 8.98-8.101. feladatokat).

Feladatok

8.82. Bizonyítsuk be, hogy ha / konvex, de nem szigorúan konvex az I intervallumban, akkor /-nek van olyan részintervalluma, amelyben / lineáris.

8.83. Nevezzünk egy /: / ÍR függvényt alig konvexnek, ha valahányszor a,b,c e I és a < b < c, akkor f {b) < m ax (/ (a ),/ (c )). Bizonyítsuk be, hogy ha ^ R konvex az / intervallumban, akkor / alig konvex.

8.84. Legyen / alig konvex az (a, 6) intervallumban, és tegyük fel, hogy a < c < d f {d) . Mutassuk meg, hogy / monoton csökkenő' (a,c]-ben. Hasonlóan, ha a < c < d < i és / (c) < f {d) , akkor / monoton növő [d, ö)-ben.

8.85. Bizonyítsuk be, hogy az f : I M függvény akkor és csak akkor alig konvex az (a, b) intervallumban, ha az alábbi esetek egyike fennáll.

(a) / monoton csökkenő (a, 6)-ben.

(b ) / monoton növő (a, 6)-ben.

(c) Létezik egy c e (a, b) pont úgy, hogy / monoton csökkenő (a, c)-ben, monoton növő (c,6)-ben, továbbá /(c) < m ax(/(c — 0 ),/ (c + 0)).

8.86. Bizonyítsuk be, hogy ha /; 7 —>■ M konvex az (a, b) intervallumban, akkor az alábbi esetek egyike fennáll.

(a) / monoton csökkenő (a, &)-ben.

(b ) / monoton növő (a, 6)-ben.

(c) Létezik egy c e (a, b) pont úgy, hogy / monoton csökkenő (a, c]-ben és monoton növő [c, &)-ben.


8.87. Legyen / konvex (—oo, oo)-ben, és tegyük fel, hogy hm f ( x ) = oo.X—>■—00

Lehetséges-e, hogy lim f ( x ) = —oo? (M )Oű

8.88. Legyen / konvex ( —oo, oo)-ben, és tegyük fel, hogy lim f i x ) — 0.X—>—o o " '

Lehetséges-e, hogy lim f { x ) = —oo? (Ö )

8.89. Legyen / konvex (0, l)-ben. Lehetséges-e, hogy lim = —oo? (Ö )

8.90. Legyen / gyengén konvex az I intervallumban. Bizonyítsuk be, hogy

'a;i + . . . +a:n\ f {x\) + . . . + f { xn )

minden o;i, . . . ,Xn e /-re. (M )

n

8.91. Legyen /: E ^ M additív függvény (vagyis tegyük fel, hogy minden X, y-va f { x + y) = f { x ) + f {y ) ) . Bizonyítsuk be, hogy f { r x ) = r ■ f { x ) minden x valós és r racionális számra.

8.92. Bizonyítsuk be, hogy ha /: M —>• M additív, akkor a g{x) = f { x ) — f { l ) ■ x függvény szintén additív és periodikus, nevezetesen minden racionális szám periódusa.

8.93. Legyen /: E ->■ M additív függvény. Bizonyítsuk be, hogy ha / felülről korlátos egy intervallumon, akkor f { x ) = / ( l ) - x minden x-ve. (Ö )

8.94. Legyen /; M -> M additív függvény. Bizonyítsuk be, hogy f gyengén konvex. (Amennyiben / nem lineáris függvény, akkor /' olyan gyengén konvex függvény, amely korlátos alulról, de nem konvex.)

8.95. Legyen / folytonos az / intervallumon, és tegyük fel, hogy műiden a, b e I , a < b-ve van olyan a < x < b pont, amelyre f { x ) < /ia,fc( )-

Bizonyítsuk be, hogy / konvex. (Ö )

8.96. Legyen / korlátos az / intervallumon, és tegyük fel, hogy minden a , b e l , a < b-re van olyan a < x < b pont, amelyre f { x ) < /ia,6(^)- Következik-e ebből, hogy / konvex?

8.97. Legyen / konvex az / nyílt intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy / Lipschitz az I intervallum minden korlátos és zárt részintervallumában.

A következő négy feladat célja annak bizonyítása, hogy ha / gyengén konvex a nyílt I intervallumban és ha 7-nek van olyan részintervalluina, amelyben / felülről korlátos, akkor / konvex.

8.98. Legyen / gyengén konvex a nyílt I intervallumban, és legyen xq € I. Bizonyítsuk be, hogy ha / felülről korlátos (lo ~ + <5)-ban, akkor / korlátos (xo — ö,xo + 5)-ban. (M )

8.99. Legyen / gyengén konvex a nyílt I intervallumban. Legyen n > 1 egész, és legyenek x és h olyan számok, melyekre x e I és x + 2” /i e I . Bizonyítsuk be, hogy

f i x + h )~ f i x ) < — • [/ (x + - f i x ) ] . (M )

8.100. Legyen / gyengén konvex a nyílt I intervallumban, és legyen Xq g I. Bizonyítsuk be, hogy ha / felülről korlátos (sq — ő, xq -t- 5)-ban, akkor / folytonos a^o-ban. (M )

8.101. Legyen / gyengén konvex az I intervallumon, és tegyük fel, hogy 7-nek van olyan nem-elfajuló részintervalluma, amelyen / felülről korlátos. Bizonyítsuk be, hogy / folytonos (tehát a 8.70. Tétel szerint konvex) 7-ben. (Ö )

A ftiggvénygrafikon ívhossza

Az analízis egyik alapfeladata a hosszúságok, területek és térfogatok mérése. A következőkben a célunk a hosszúság fogalmának értelmezése.

A p, (/ e pontokat összekötő szakaszt [p, gj-val jelöljük, azaz \p,q] = = {p -t- ^(9 — p) : í 6 [0,1]}. A [p, g] szakasz hosszúsága (definíció szerint) a végpontjainak távolsága, azaz T ö rö ttvon a ln ak (vagy pohgonnak) nevezzük azokat a halmazokat, amelyek csatlakozó szakaszok uniói. Egy töröttvonal tehát [po,pi] U [pi,p2] U .. . U [pn_i,p„] alakú, ahol po,... ,Pn a sík tetszőleges pontjai. A töröttvonal hossza az alkotó szakaszok hosszainak összege, azaz b l - Pol + IP2 - P ll + • ■ • + \Pn - Pn -ll-

Mivel „két pont között legrövidebb út az egyenes” , ezért egy görbe hossza (bárhogyan értelmezzük is) nem lehet kisebb a végpontjainak távolságánál. Ha a görbébe „beírjuk” a [po,Pi] U [p i,p2] U ... U \ p n - i , P n ] töröttvonalat, akkor tehát az pi—i és pi pontokat összekötő részív hossza legalább |p, — p/_i|, és így a teljes görbe hossza legalább |pi-po|-I-|p2- p i l + ■ • • + IP ? i-Pn -il kell, hogy legyen. Másfelől - ismét a szemléletre hivatkozva - azt várhatjuk, hogy egy

A függvénygrafikon ívhossza 177

„elég finom” beírt töröttvonal annyira „megközelíti” a görbét, hogy a hosszúsága is közel lesz a görbe hosszához. Mindezekből azt szűrhetjük le, hogy a görbe ívhossza egyenlő a beírt töröttvonalak hosszainak szuprémumával. Ezt a megállapítást fogjuk definícióként elfogadni. A definíciót csak függvénygrafikonokra fogalmazzuk meg, mert egyelőre nem lesz szükségünk bonyolultabb görbékre. Emlékeztetjük az olvasót, hogy az /: [a, 6] ^ M függvény grafikonját graph /-fel jelöljük.

A formulákat egyszerűsítendő a többtagú összegekre bevezetjük a következő jelölést; ^

a\ + a;.■<=1

8.72. D efin íc ió . Legyen f : [a,b] M tetszőleges függvény és legyen a = X{) < x i < .. . < x,i = b az [a, ö] intervallum egy F felosztá.sa. Az / függvény grafikonjának az F felosztáshoz tartozó beírt poligonján az

{xi ) , f i xn) ) , . . . , { ' - i :n, f i xn) )

pontokat összekötő poligont értjük. A graph / grafikon ívhossza az Összes beírt poligon hosszaiból álló halmaz felső határa. (Ez lehet végtelen is.) Az / grafikonjának ívhosszát s(/; [a, 6])-vel jelöljük. így

Í n

\Pi - P *-il ■■ a ^ xo < x i < . . . < Xn = b,

(=1

P i = i x i J i x i ) ) ( i = 0 , . . . ,n

Azt mondjuk, hogy graph / rektifikálható, ha s(/ ;[a, &]) véges.

Jegyezzük meg, hogy ha a = b, akkor s(/; [a, ö]) = 0 minden / függvényre.

8.73. T é teL Tetszőleges f : [o, t] ^ M függvényre

ö - a )2 + (/ (ö )- / (a ) )2 < s (/ ; [a ,& ] ) , (8.25)

és így a 0. Ha f : [a, 6] ^ ffi monoton, akkor graph/ rektiBkálható, és

sif- , [a,b] ) < i b - a ) + \ f i b ) - f i a ) \ . (8.26)

B izon y ítás . Nyilvánvaló, hogy s(/; [a, fc]) nem kisebb egyetlen beírt poligon hosszánál sem. Mármost az {a, f i a ) ) és (6, / (6) ) pontokat összekötő szakasz is egy beírt poligon, amely az a = xp < x\ = b felosztáshoz tartozik. Mivel e

szakasz hossza ^ (ö — a)' + (/ (a ) — f{b))'^, ezért (8.25) fennáll.

Most tegyük fel, hogy / monoton növő, legyen F\a=x [ ) <x\< ... <Xn=b az [a, ö] intervallum egy felosztása, és jelöljük az (a;.;, /(a:,;)) pontot p,;-vel minden i = 0 , , n-re. Ekkor / monotonitását felhasználva

IPi - P i - l I = y / ( ^ i - <

< { x i ~ x i - i ) + i f { x i ) - / (x ;_ i ) )

minden í-re, amiből

\ V í - P i - i \ ^í=i

J ^ ix i - X i--i) L'j=i

+Li=l

= ( 2;„ - X(j) + i f i xn ) - f {xi ) ) ) = { b - a) + (/ (6 ) - / (a )).

Mivel a felosztás tetszőleges volt, ezzel (8.26)-ot beláttuk. Ha / monoton csökkenő, akkor hasonlóan okoskodhatunk, vagy az áüítást visszavezethetjük a monoton növő függvény esetére a —/ függvényre való áttéréssel. □

A következő tétel állítását úgy is kifejezhetjük, hogy az ívhossz additív.

M. Ha graph / rektifíkálható,8.74. T é te l. Legyen a < b < c és /:[a,c] akkor

s(/; k c]) = s(/; [a, 6]) + s(/; [b, c]). (8.27)

B izony ítás . Jelöljük az [a, 6], [ö, c], illetve [a,c] intervallum felosztásaihoz tartozó beírt poligonok hosszainak halmazát ^i-gyel, S'2-vel, illetve 5-sel. Ekkor s(/; [a, 6]) = sup 5 i, s(/; [6, c]) = sup52 és s(/; [a, c]) = sup S az ívhossz definíciója szerint.

Mivel az [a, b] és [6, c] intervallumok egy-egy felosztása együtt az [a, c] intervallum egy felosztását adják, ezért bármely 5i-beli számnak és bármely 52-beH számnak az összege 5-ben vau. Ez azt jelenti, hogy S D S i + S2- A 2.19. Tétel szerint sup(5i + S2) = sup5i + sup 52, amiből azt kapjuk, hogy

s{f\ [a,c]} ^ sup 5 > sup(5i + 52) = sup5i +sup52 = s(/; [a, 6]) + s (/ ; [6,c]).

Most belátjuk, hogy

s(/; [a, c]) < s(/; [a, 6]) + s(/; [ö, c]). (8.28)

Legyen F: a = X{] < x\ < . . . < Xn = c az [a, c] intervallum egy felosztása, és jelöljük az { x i , f { x i ) ) pontot p,-vei. Ekkor az F-hez tartozó poligon hossza

11hp = (p,;— Ha a b pont egyenlő az x; pontok valamelyikével, mondjuk


2; .-val, akkor Fi : a = xq < x\ < . . . < x^ = b, illetve F 2 : b = Xf, < << ... < a;,i == c az [a, ti], illetve [b, c] intervallum egy-egy felosztása, tehát

k n

hPi I ^ [a, b]) és fiF2 = } _ \ P i - P i - l I < s( f - [b, c]).t=i i=k+\

Mivel hp = hp -I- hp^, ezért hp < s{f ; [a,ö]) + s(/; [b,c]). Ha a 6 pont az xi pontok egyikével sem egyenlő és < b < Xk, akkor legyen Fi : a = xo << x i < . . . < íCfc-i < b és F 2 : b < x) < Xk+\ < .. . < x,, = c. Jelöljük 5-val a (b, f {b) ) pontot. Az Fi és F 2 felosztásokhoz tartozó poligonhosszak

k- ihp., = \Pi - P í- il + - Pk-i\ < s { f ] [a,ö])

í=i

és

h p 2 = \Pk - 9l + £ \Pi - P i - i \ < s{f ; [6, c]).1=^+1

Mármost a háromszög-egyenlőtlenség szerint

IPk - P k - i \ < \ q - P k - i \ + \Pk - 9I,

amiből világos, hogy hp < hp -f hp < s{f\[a,b] ) + s{ f - [b, c ] ) . így hp << s{f ; [a, &]) -1- s(/; [6,c]) minden F felosztásra, amiből (8.28) nyilvánvaló. □

A következőkben szükségünk lesz egy egyszerű geometriai tényre.

8.75. Lem m a. Ha A , B konvex sokszögek és A C B, akkor A kerülete nem nagyobb B kerületénél.

B izonyítás. A B sokszöget A egy oldalegyenesével levágva egy A -t tartalmazó és B-nél nem nagyobb kerületű B i sokszöget kapunk. Az eljárást folytatva a B, B i , . .. ,Bn — A sorozatot kapjuk, amelyben mindegyik sokszög kerülete nem nagyobb az előzőnél. □

A körvonal ívhossza. Jelöljük /C-val az origó középpontú egység sugarú körvonalat. A K körvonalnak az [ {x,y) : y > 0) felső félsíkba eső része legyen

Nyilvánvaló, hogy megegyezik a [—1,1] intervallumon értelmezett

= \/l — x' függvény grafikonjával. Mivel a k függvény monoton mind 9- [-1 ,0 ], mind a [0,1] intervallumon, ezért a fenti tételek szerint k grafikonja rektifikálható. A graph A; grafikon (vagyis a félkörív) ívhosszát ir-vel

Az előző két tételből a 2V2 < n < 4 becslést olvashatjuk ki, ahol a 2v^ érték a — 1 = < 0 — xi < 1 = X2 felosztáshoz tartozó beírt poligon hossza. k K'^ félkörbe különböző más poligonokat beírva különböző alsó becsléseket kaphatunk 7r-re, és ezek segítségével 7r-t tetszőleges pontossággal megközelíthetjük (legalábbis elvben).

Ha a egységkört belefoglaljuk egy tetszőleges B konvex sokszögbe, akkor a 8.75. Lemma szerint bármely K-h& írt poligon hossza nem nagyobb B hosszánál. így e beírt poligonok hosszainak szuprémuma - vagyis 27t - sem lehet B hosszánál nagyobb.

Az így nyert alsó és felső becslések segítségével meg lehet mutatni, hogy 7T = 3,14159265___* A tt szám - az e-hez hasonlóan - irracionális, sőt transzcendens, ennek bizonyítása azonban meghaladja e könyv kereteit.

8.76. M eg jegyzés . Később szükségünk lesz arra a (szemléletesen nyilvánvaló) tényre, hogy a K körre az (1,0) pontból kiindulva tetszőleges hosszúságú ívet „felmérhetünk” . Tekintsük azt az esetet, amikor x e [0, tt]. Azt kell belátnunk, hogy van olyan u e [-1 ,1 ] szám, amelyre s(A;;[w, 1]) = x. Az S{u) = s(A:; [?i, 1]) jelöléssel ez azt jelenti, hogy az S{u) függvény a [-1,1] intervallumban minden 0 és 7r közötti értéket felvesz.

8.77. Téte l. A z S függvény szigorúan monoton csökkenő és folytonos [-1 , l]-ben.

B izonyítás. Ha —1 < w 0, ebből következik, hogy S szigorúan monoton csökkenő [—l,l]-ben .

Mivel a k függvény monoton mind [—l,0]-ban, mind [0, l]-ben, ezért (8.26) alapján

s{k- [ujv]) < (-y - u) + Ifc('u) - fc(u)|,

valahányszor —1 < u < w < 0 vagy 0 < u < v 5 1-így

|5(«) - 5(ü)| < b - «| + |fc(í;) - A;(u)|, (8.29)

ha u,v € [-1 ,0 ] vagy u,v e [0,1]. Mivel a k(u) =

= %/l -u^ függvény folytonos [-1 , l]-ben, ezért

8.17. ábra - “ I + ^

S{u) \r . A

-1 u 1

* Lásd a Számítástechnika és analízis című függeléket.


minden u € [—1, l]-re, amiből (8.29) alapján azonnal következik, hogy S folytonos [-1 , l]-ben. □

Mármost az előző tétel, valamint a Bolzano-Darboux-tétel szerint az S{u) függvény minden 5 (—1) és 5 (1 ) közötti értéket felvesz [—1, l]-ben, méghozzá pontosan egyszer. Mivel 5 (—1) = tt (hiszen ez volt tt definíciója) és S '(l) = 0, ezzel beláttuk, hogy ha 0 < a; < tt, akkor a K körre valóban felmérhetünk egy X hosszúságú ívet. Mi a helyzet az egyéb hosszúságokkal? Mivel a félkörív ho.ssza TT, ezért ha egy x hosszúságú ívet felmérhetünk, akkor egy x + n (vagy a; — tt) hosszúságú ívet is, és ekkor a K körvonal átellenes pontjába jutunk.

Feladatok

8.102. Legyen /; [a, ö] ® olyan függvény, amelyre s(/; [a, 6]) = 6 — a. Bizonyítsuk be, hogy / konstans.

8.103. Legyen /; [a, 6] -> M olyan függvény, amelyre

s{f-, [a, b]) = 7 ( 6 - a ) 2 + ( / (6 ) -/ ( a ) ) 2 .

Bizonyítsuk be, hogy / hneáris, azaz f { x ) = ex + d minden x e [o, 6]-re alkalmas c és d konstansokkal.

8.104. Bizonyítsuk be, hogy ha /: [a, 6] korlátos [a, í>]-ben.

grafikonja rektifikálható, akkor /

8.105. Bizonyítsuk be, hogy ha /; [a, ö] -»■ M grafikonja rektifikálható, akkor /- nek minden x e [a, b) pontban létezik a jobb oldali határértéke, és mindenx e (a, b] pontban létezik a bal oldali határértéke.

8.106. Bizonyítsuk be, hogy sem a Dirichlet-függvény, sem a Riemann- függvény [0,1] intervallum feletti grafikonja nem rektifikálható.

8.107. Legyen az /: [0,1] —> K függvény a következőképpen értelmezve: f { x ) - x, ha x - 1/2" (n = 1 ,2 ,...), és f { x ) = 0 egyébként. Bizonyítsuk l>e, hogy / grafikonja rektifikálható. Mennyi az ívhossza?

8-108. Bizonyítsuk be, hogy ha /:[a, 6] rektifikálható.

Lipschitz, akkor a grafikonja

9. NÉH ÁNY FONTOS FÜGGVÉNY- OSZTÁLY (ELEMI FÜGGVÉNYEK)

Ebben a fejezetben megismerkedünk azokkal a függvényekkel, amelyek az analízisben (és általában a matematikában) a leggyakrabban fordulnak elő. Ezek a polinomok, a racionális függvények, az exponenciális, hatvány- és logaritmusfüggvények, a trigonometrikus függvények, a hiperbolikus függvények és inverzeik. E lem i függvén yekn ek nevezzük azokat a függvényeket, amelyeket a fentiekből kaphatunk az alapműveletek és a kompozíció segítségével.

Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények

A p : 1. ^ M függvényt po lin om fü ggvén yn ek (röviden polinomnak) nevezzük, ha vannak ao, a i , . . . , a „ valós számok úgy, hogy

p{x) = anX^ + -H ... + aix ao (9.1)

minden s-re. Tegyük fel, hogy a fenti előállításban a,i ^ 0. Ha p-nek gyöke azx i szám, akkor

p{ x ) ^ p { x ) - p { x i ) = an{x'^ - x'^) + . . . + a i { x - x i ) .Itt az

x' - = (x - -F xix^~'^ 4 -... 4- x^^~^x + 3;f“ ‘ )

azonosságokat alkalmazva, majd a közös x — x i tényezőt kiemelve azt kapjuk, hogy p{x) = {x - x i ) ■ q{x) , ahol q{x) = b n -ix ’''~ + . . . + bix + 6o ésbn-i = dn / 0.

Ha g-nak gyöke az x-j szám, akkor az eljárást q-r& alkalmazva azt kapjuk, l^ogy v{x ) = {x - x i ) { x — X2) • r (x ), ahol r { x ) = Cn~2X ~' -f- .. . -t- cia: co ésCn—l — 0,n 7 0.

Világos, hogy ez az eljárás legfeljebb n lépés után véget ér, és az utolsó lépésben a következőt adja.

9.1. Lem m a. Tegyük fel, hogy (9.1)-ben a,i ^ 0. Ha p-nek van gyöke, akkor léteznek a nem feltétlenül kü l önbözőx i , . . . , X}. valós számok és létezik egy pi polinom úgy, hogy k < n, a pi polinomnak nincs gyöke, és

p{x) = {x - X\) ■... ■ {x - Xk) ■ P\i^) (9-2)

minden x-re. Következésképpen p-nek legfeljebb n gyöke lehet, n

Polinomfüggvények és racionális törtfüggvények 183

A fenti lemmának számos fontos következménye van.

1. Ha egy pohnom nem azonosan nulla, akkor csak véges sok gyöke van. Valóban, ekkor az (9.1) előállításban nem mindegyik együttható nulla. Ha a,n a legnagyobb indextí nullától különböző együttható, akkor a nagyobb indexű tagokat elhagyhatjuk. így a lemma szerint p-nek legfeljebb m gyöke lehet.

2. Ha két polinom végtelen sok pontban egyenlő, akkor mindenütt egyenlő. (Alkalmazzuk az előző áUítást a polinomok különbségére.)

3. A z azonosan nulla függvény minden, (9.1) alakú előáüításában ao — . . . — an — 0. (Hiszen az azonosan nulla függvénynek végtelen sok gyöke van).

4. Ha (9.1)-ben a,i ^ 0, és a (9.1) által definiált p pohnomfüggvénynek

p ( ^ x ) — b f ; X ^ + b f ; _ i x ^ ~ ^ . . . -t- b i x + b()

egy olyan előállítása, amelyben bj ^ 0, akkor szükségképpen k = n és bi = a/ minden i — 0 , . . . , n-re. Valóban, a két előálhtást egymásból kivonva az azonosan milla függvényt kapjuk. így az állítás az előző következményből adódik.

Az utolsó következmény azt jelenti, hogy egy nem azonosan nulla polinomfüggvénynek a (9.1) alakú előállítása - amelyben a „ 7 0 - egyértelmű. Az előálhtásban szereplő a „ együtthatót a p pohnom foegyü tth a tó ján ak , az n számot pedig a p polinom fokának nevezzük. A p pohnom fokát gr p-vei jelöljük*. A nulladfokú polinomok tehát a nullától különböző konstans függvények. Az azonosan nulla pohnomnak nincs foka.

Ha a p pohnom nem azonosan nulla, akkor a (9.2)-beh előállítása is egyértelmű. Valóban, ha p{x) = {x — y\) {x — ym) ■ egy másik hasonló előállítás, akkor x\ ennek is gyöke, tehát y i , . . . , y m valamelyike egyenlő xi- gyel (hiszen p2-nek nincs gyöke). Feltehetjük, hogy yi = xi . Ekkor

{x - X 2) ■ { X - X k ) - P i i x ) ^ { x - y 2) ■ . . .■ {X - U m ) - P 2ÍX)

minden x xi-re. így a két oldal végtelen sok pontban megegyezik, tehát mindenütt egyenlő. Mivel a jobb oldalnak x -2 gyöke, ezért y2, . ■ ■ ,ym valamelyike egyenlő a;2-vel. Feltehetjük, hogy 1/2 — X2. Az eljárást folytatva a bal oldalon elfogynak az a; — Xj tényezők, és a A:-adik lépésben azt kapjuk, hogy

pi {x ) = { x - V k + i ) ■...■ { x - U m ) - Pi i x ) .

Mivel pi-nek nincs gyöke, ezért szükségképpen m = k és pi = P2-

gradus = fok

184 9. Néhány fontos függvényosztály (Elem i függvények)

Ha a (9.2) előállításban egy x — a tényező £-szer szerepel, akkor azt mond

juk, liogy a polinom £-szeres gyöke, vagy hogy a m u ltip lic itása í . így pl. a p{ x ) = — X + \ polinomnak az 1 kétszeres gyöke, a —1 pedigegyszeres gyöke, mert p { x ) — {x — l ) ^ { x + l ) { x^ + 1), és x^ + 1-nek nincs gyöke*.

Ami a polinomok analitikus tulajdonságait illeti, először is jegyezzük meg, hogy egy polinom mindenütt folytonos. Ez a 8.42. Tétel nyilvánvaló következménye, felhasználva még, hogy a konstans függvények és az x függvény mindenütt folytonosak. Most megmutatjuk, hogy ha a (9.1) előállításban n > 0 és ün ^ 0, alíkor

oo, ha an > 0 hm pix) = , „->■00 ' - 00, ha ün < 0.

Ez világos a

/ \ n i . “ n-l , , “ (I A

átalakításból, felhasználva még, hogy lim a;” = 00 és

(9.3)

/ an-\ , , ao\hm aji H---------- h • - • + — = an-

X^(X)\ X x "/

R acion á lis tö rtfü ggvén yn ek (röviden racionális függvénynek) nevezzük a p/q alakú függvényeket, ahol p, q pohnomok és q nem azonosan nulla. A p/g racionális függvény ott van értelmezve, ahol a nevező nem nulla, tehát véges sok pont kivételével mindenütt. A 8.42. Tételből ismét következik, hogy egy racionális törtfüggvény minden olyan pontban folytonos, ahol értelmezve van.

A (9.3) limeszrelációhoz hasonlóan látható be a következő tétel.

9.2. T é te l. Legyen

p{x) = a„,x -t- + .. . + aix + aoés

q{x) — b^x^ -f bk-ix^ '~^. . . + bix + bo,

ahol Q,j ^ 0 és 6/; ^ 0. Ekkor

llmq(x)

00, ha Orfi/b . > 0 és n > k,—00, ha ün/bk < 0 és n > k,o-n/bk, ha n = k,0, ha n < k.

□

lásd a fejezet második függelékét

Exponenciális függvények és hatványfüggvények 185

Feladatok

9.1. Legyenek p és q polinomok. Bizonyítsuk be, hogy

(a) ha p, q, p + q egyike sem azonosan nulla, akkor gr(p + q) << max{grp,grq) -

(b ) ha p és q egyike sem azonosan nulla, akkor gr{p ■ q) — (gvp) + (gr g);

(c) ha p, q és p o q egyike sem azonosan nulla, akkor gv{p o q) = = (gi'P ) • (§!■?)• Elég-e feltenni, hogy p és q egyike sem azonosan nulla?

9.2. Legyen p{x) = -|-... -1-ai.T-f oq, ahol o „ > 0. Bizonyítsuk be, hogy p monoton növő a {K, 00) félegyenesen, ha K elég nagy.

9.3. Bizonyítsuk be, hogy ha a p polinom nem konstans, akkor p minden értéket legfeljebb A;-szor vesz fel, ahol k = grp.

9.4. Bizonyítsuk be, hogy ha a p/q racionális törtfüggvény nem konstans, akkor minden értéket legfeljebb fc-szor vesz fel, ahol k = max(grp, grg).

9.5. Bizonyítsuk be, hogy minden polinom Lipschitz minden korlátos intervallumon.

9.6. Bizonyítsuk be, hogy minden racionális törtfüggvény Lipschitz minden olyan korlátos és zárt intervallumon, amelyen értelmezve van.

Exponenciális függvények és hatványfüggvények

Mielőtt e két fontos függvényosztályt definiálnánk, beváltjuk régi ígéretünket (melyet még a 2.25. Tétel után tettünk), és megmutatjuk, hogy a hatványozás azonosságai érvényben maradnak tetszőleges valós kitevők esetén is.

Az egyszerű bizonyítást az teszi lehetővé, hogy időközben megismertük a sorozatok határértékének fogalmát és alaptulajdonságait. A következő segédtételre mindhárom azonosság bizonyítása során támaszkodni fogunk.

9-3. L em m a. Ha a > 0 és x^ —> x, akkor a^'' —>■ .

B izonyítás. Tegyük fel először, hogy a > 1. A 2.23. Tételben beláttuk, hogy

sup{a’’ ; r e Q, r < x} — inf{a^ : s e Q, s > a;},

és a közös érték definíció szerint a^. Legyen í: > 0 adott. Ekl^r léteznek olyan r < X és s > X racionális számok, melyekre

- e < a r és + e .

Mivel X n X , ezért alkalmas 7iQ-ra t < Xn < s, ha ri > no. Mármost a2.25. Tétel szerint bármely < v esetén « “ < n' . így minden n > no-ra

- s < a’' < a^" < + e.

Mivel e tetszőleges volt, ezzel beláttuk, hogy a "- a^.

Ugyanígy bizonyítható az állítás, ha 0 < a < 1, míg az a = 1 eset nyilvánvaló. □

9.4. T é te l. Tetszőleges a,b > 0-ra és valós x, y kitevőkre

{ a b f = a^-b^, a^+y = a^-ay és (9.4)

B izon y ítás . Az azonosságokat racionális kitevőkre már beláttuk a 2.21. Tételben.

Először belátjuk, hogy (9.4) eiső két azonossága fennáll minden pozitív a, b és valós a;, y számra. Válasszunk olyan, racionális számokból álló (r,j) és {sn) sorozatokat, melyek .T-hez, illetve y-hoz tartanak. (Ha pl. 6 (x - { l /n ) , x + (1/n)) n Q és 6 {y - { l /n) ,y + (1/n)) n Q minden n-re, akkor a kapott .sorozatok megfelelnek.) így a 9.3. Lemma alapján

és

(ab)^ = hm (ab)’'"- = lini a '" ■ ■ b' ’ n ->oo n ^ o o

= lim = hm a’'"- • a'""' = .n—>-oo n — oo

A harmadik azonosság bizonyítását csak az a >1 és a;, y > 0 esetben részletezzük. (A többi eset hasonlóan igazolható, vagy a reciprokra való áttéréssel erre az esetre visszavezethető.)

Legyenek most Vn x és Sn y olyan racionális tagú sorozatok, melyekre 0 < r „ < a; és 0 < s„ < y minden n-re. Ekkor

^TnSn ^ ^^Tnyn („xy,,. ^ (9 5)

Itt a 2.25. Tételen kívül a középső egyenlőtlenségben felhasználtuk azt a tényt is, hogy ha 0 < íi < ?; és s > 0 racionális, akkor u* < ■(/’ . Ez abból következik, hogy = [v/uY > {v/uY = 1, hiszen v/u > 1 és ismét alkalmazhatjuk a2.25. Tételt. Mármost (9.5)-ből azt kapjuk, hogy

a- y = hm < (a^)í^.n->-oo ~


Az egyenlőtlenség hasonlóan bizonyítható, ha olyan r„, —> x és5„ ->■ y racionális tagú sorozatokat veszünk, melyekre r „ > x és s„ > y minden n-re. □

Megjegyezzük, hogy (9.4) második azonossága szerint

a* . a -^ = - -'> -

és így a * = 1 /a^ teljesül minden a > 0 és valós számra.

Immár rátérhetünk az exponenciális és hatványfüggvények definíciójára.

Ha az a* hatványban az alapot rögzítettnek, a kitevőt pedig változónak képze ljü k , akkor megkapjuk az exponenciális függvényeket; ha a kitevőt tekintjük rögzítettnek és az alapot változónak, akkor megkapjuk a hatványfüggvényeket. A pontos definíció a következő.

9.5. D e fin íc ió . Tetszőleges a > 0-ra az a; (a; € IR) függvényt a alapú

exponenciális függvénynek nevezzük. Tetszőleges b e M-re az x i-^ x^ {x > 0) függvényt b kitevőjű hatványfüggvénynek nevezzük.

Mivel 1 = 1 minden a;-re, ezért az azonosan 1 függvény egyike az exponenciális függvényeknek. Hasonlóan, az x ” = 1 (x > 0) és = x összefüggések alapján a (0, oo) félegyenesen értelmezett azonosan 1, illetve x függvény mindegyike hatványfüggvény.

Az exponenciális függvények legfontosabb tulajdonságait a következő tétel foglalja össze.

9.6. T é te l, (i) Ha a > 1, akkor az exponenciális függvény mindenütt pozitív, szigorúan monoton növő és folytonos R-en, valamint

lim = oo és lim = 0. (9.6)X-^OO x - ^ —oo

(ii) HaO < a < 1, akkor az exponenciális függvény mindenütt pozitív, szigorúan monoton csökkenő és folytonos M-en, valamint

lim = 0 és lim a' oo.a:->oo

(iii) Tetszőleges a > 0-ra az függvény konvex R-ben.

B izonyítás. Azt, hogy a > 1 esetén az függvény pozitív és szigorúan monoton növő, már beláttuk a 2.25. Tételben. így a 8.62. Tétel szerint a lim és lim határértékek léteznek. Mivel pedig a " oo és a~" 0,

'*“*00 x - y —oo

ha n oo, ezért (9.6) fennáll. Ugyanígy bizonyíthatók a 0 < a < 1 esetre vonatkozó analóg állítások.

Az exponenciális függvények folytonossága nyilvánvaló a 9.3. Lemmából, felhasználva a folytonosságra vonatkozó átviteli elvet (8.19. Tétel). Ezzel az(i) és (ii) állításokat beláttuk.

Legyen a > 0 és x, y € M. Ha a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az és számokra alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

a^ + ayiHÜL ,--------= Víí-' • a'J < 'I

Ez azt jelenti, hogy az függvény gyengén konvex. Mivel folytonos is, ezért a8.70. Tétel szerint konvex. □

A hatványfüggvények megfelelő tulajdonságait a következő tétel fogalmazza meg.

9.7. T é te l, (i) Ha b > 0, akkor az x* hatványfüggvény pozitív, szigorúan monoton növő és folytonos a (0, oo) félegyenesen, valamint

Hm = 0 és liui = oo.a;->()+()

(ii) Ha b < 0, akkor az x hatványfüggvény pozitív, szigorúan monoton csökkenő és folytonos a (0, oo) félegyenesen, valamint

lim = oo és lim x^ = 0. i -> ü + 0 x ->oo

(iii) Ha b > í vagy 6 < 0, akkor az hatványfüggvény konvex (0, oo)-hen.

Ha 0 — 1.

(i) H a b > l vagy b < 0, akkor (1 -h x)^ > 1 + bx.

(ii) Ha 0 < 6 < 1, akkor (1 -f x)^ < l + bx.

Bizonyítás. Változtassuk meg a jelölést: írjunk x helyett a-t és b helyett x-et. Azt kell belátnunk, hogy ha a > —1, akkor x e [0,1] esetén (1 + a )* < ax -I-1, míg X ^ (0,1) esetén (1 -f a)^ > ax + 1. Mindkét állítás abból következik, hogy az (1 a)^ függvény konvex. Ugyanis a 0 és 1 pontokhoz tartozó húr egyenlete éppen y = ax + 1; más szóval /io,](x) = ax + 1. így x 6 [0,1] esetén az (1 + a)^ < h()^i{x) egyenlőtlenség a konvexitás definíciójából következik, míg X ^ (0,1) esetén (1 -I- a)^ > /io,i(x) a 8.68. Lemma szerint. □

A 9.7. T é te l b izonyítása, (i) Legyen b > 0. Ha í > 1, akkor í* > = 1 a2.25. Tétel szerint. Ha tehát 0 < x < y, akkor

.6 /„\fc■ x'' > 1 • x'’ = x^

amivel nregnuitattuk, hogy az x függvény szigorúan monoton növő. Mivel

tetszőleges K > 0-ra x^ > K, ha x > ezért = oo. Hasonlóan,

tetszőleges e > 0-ra x* < e, ha x < ezért lim x* = 0. (Mindkét

okoskodásban felhasználtuk, hogy = a = a minden a > 0-ra.)

Legyen xo > 0 tetszőleges; belátjuk, hogy az x függvény folytonos xo-bán. Ha 0 < e < x„, akkor az 1/í) kitevőjű hatványfüggvény monotonitásaalapján

( x o - £ j < x „ < ( x „ + £j .

Ha tehát

í b \'/* í b \‘ /*(xf, - e ) < x < + e) ,

akkor

x|j - e < x^ < Xq -I- e.

Ezzel x^ folytonosságát beláttuk.

A (ü) állítás ugyanígy bizonyítható.

(iii) Mivel az x* függvény folytono.s, ezért elég belátni, hogy ö > 1 és & < 0 esetén gyengén konvex, 0 < ö < 1 esetén pedig gyengén konkáv.

Tekintsük először azt az esetet, amikor b > l vagy 6 < 0. Be kell látnunk,liogy

(9-7)

minden x ,y > 0-ra. Vezessük be az {x + y)/2 = t, x j t = u, y/t = jelöléseket.

Ekkor u + V = 2. A 9.8. Tétel (i) állítása szerint > 1 + 6 ■ (u — 1) és

> l + b ■ {v — 1). Ebből

u + V — 2 > 1 + 6 ------- ::----- = 1.

2 2

Ha ezt az egyenlőtlenséget beszorozzuk t -nel, akkor megkapjuk (9.7)-et.

Most tegyük fel, hogy 0 < 6 < 1; be kell látnunk, hogy ( ( 2; + y)/2)^ >

> {x^ + y ^ )l‘2 . Ezt a fenti okoskodás szó szerinti megismétlésével kaphatjuk meg, csak a 9.8. Tétel (ii) állítását kell alkalmaznunk (i) helyett. □

A 9.8. Tétel egy másik alkalmazásaként megvizsgáljuk az j 1 + —^ függ

vényt.

9.9. T é te l. Az f { x ) ~ ^ ^ függvény monoton nő a (—00, —1) és (0 ,00)

félegyenesek mindegyikén, és

lim ( l + i y = lim ( l + - y = e. x ^ -o o \ x ) x->oo\ x )

(9.8)

B izon y ítás . Ha 0 < x < j/, akkor y jx > 1, tehát a 9.8. Tételből

(l\y/^ y 1 1

1 + - > 1 + - - - = 1 + - , y ) X y X

és így a hatványfüggvény monotonitása alapján

/ i\ y / i\ ^

Ha viszont x < y < -1 , akkor 0 < y/x < 1, tehát a 9.8. Tételből

(1\!/A y 1 1

1 + - < 1 + - - - = 1 + " ,y j X y X

(9.9)


és így az X kitevőjű hatványfüggvény monoton csökkenéséből ismét megkapjuk(9.9)-et. Ezzel beláttuk, hogy / monoton növő a megadott félegyeneseken.

A 8.62. Tétel szerint ebből következik, hogy /-nek létezik a határértéke/ 1\"

mindkét végtelenben. Mivel (1 4 — I e (hiszen ez volt az e szám definíció

ja). ezért a végtelenben vett határérték csak e lehet. Másrészt

tehát

lim f i + i ) ” = 1,„. (1 - i ) ‘ “ = e.n->-oo \ n/ 11^00 \ n j

Ezzel (9.8) első egyenlőségét is megkaptuk. □

A 9.9. Tételt a következőképpen általánosíthatjuk.

9.10. T é te l. Tetszőleges b valós számra

( b í b \ ^1 + - 1 = hm I 1 + - ) = e*’ . (9.10)

x j X ^O O \ X J

B izonyítás. Az állítás b = 0-ra nyilvánvaló. Ha í) > 0, akkor az összetett függvény határértékére vonatkozó 8.39. Tételt alkalmazva

, ( . ( 1 lim 1 -I- - = lim 1 + -C-OOO \ X ) X = e,

és így a b kitevőjű hatványfüggvény folytonossága alapján

f 1 + = ii,„ ( i + i Vx ) •r-»-oo V x )

Ugyanígy adódik a —00-ben vett határérték, illetve a. b < 0 eset. □

9-11. K övetkezm én y . Tetszőleges b valós számra lim (1 -f = e ./l-K)

B izonyítás. A 8.39. Tétel kétszeri alkalmazásával lim (1 -f bh)^/^ —

/ b\^ h~ lim 1 -t- - ) = e . □

í'->±CX3 \ X /


(9.11)

A 9.10. Tétel szerint

ii.„ ( i + =n->-oo\ n j

minden b valós számra. E ténynek több nevezetes alkalmazása van.

9.12. P é ldák . 1. Tegyük fel, hogy egy bank a betétekre évi p százalék kamatot fizet. Egy 1 forintos betét tehát egy év elteltével I + q forintra nő, ahol q = p/100. Ha azonban az 1 forint után fél év elteltével felvesszük a p/2 százalék kamatot, majd a kamattal megnövelt összeget kamatoztatjuk, akkor az év végére az összeg 1 + [q/2) -I- [14- (g/2)] • {q/2) = [1 + {q/2) f lesz. Ha most az évet n egyenlő részre osztjuk, a kamatot minden eltelt 1/n év után felvesszük és a kamattal megnövelt összeget kamatoztatjuk tovább, akkor az év végére a betét értéke [1 -I- (q/n)]” lesz. Ez a sorozat monoton növő (miért?) és, mint

láttuk, a határértéke Ez azt jelenti, hogy akárhányszor vesszük

is fel a kamatot, a betétet nem növelhetjük fölé, de az értékettetszőlegesen megközelíthetjük.

2. Ebben az alkalmazásban azt vizsgáljuk, hogy egy bizonyos anyag (mondjuk az ablaküveg) egy bizonyos sugárzás (mondjuk egy adott hullámhosszú fény) hányad részét nyeli el. Az elnyelés mértéke az anyag vastagságának függvénye. Ez a függvény nem lineáris, de a tapasztalat azt mutatja, hogy a linearitás az anyag vékony rétegeire közelítőleg fennáll. Ez azt jelenti, hogy létezik egy pozitív a konstans (az elnyelési együttható) úgy, hogy az anyag h vastagságú rétege a sugárzásnak körülbelül a ■ /i-szorosát nyeli el, ha h elég kicsi.

Tekintsük most az anyagnak egy h vastagságú rétegét, ahol h tetszőleges. Osszuk fel a réteget n egyenlő részre. Ha n elég nagy, akkor mindegyik h/n vastagságú réteg az odáig elérő sugárzásnak elnyeli a a • (/j/n)-edrészét. így

az i-edik rétegen áthatolva a sugárzásnak az (1 — (a/i/n))'-edrésze marad meg, tehát végül a teljes sugárzásnak 1 — (1 — (a/i/n))'^-edrésze nyelődik el. Ha n-nel végtelenhez tartunk, akkor azt kapjuk, hogy a h vastagságú réteg a sugárzásnak 1 — e~“ ^-adrészét nyeh el.

A következő tétel az exponenciális függvények egy érdekes karakterizáció- ját adja meg.

9.13. T é te l. A z / ; K - > E függvény akkor és csak akkor exponenciá lis

függvény, ha folytonos, nem azonosan nulla, és kielégíti az

f ( x i + X 2) = f ( x i ) - f ( x 2) (9.12)

azonosságot minden X\,X2 e M-re.


B izony ítás . A zt már tudjuk, hogy az exponenciális függvényekre a feltételek teljesülnek. Tegyük fel, hogy / kielégíti a megadott feltételeket, és legyen a — / (!)• Belátjuk, hogy a > 0, és J{x) = a® minden x-re.

Mivel f { x ) = J{{x/2) + [x/2) ) = f { x / 2 f minden x-re, ezért / mindenütt nemnegatív. Ha / eltűnne egy .■ro pontban, akkor az f { x ) — /((. ■ —a;())-f a o) =

f { x — xo) ■ f { xo ) összefüggésből következne, hogy / azonosan nulla volna, amit kizártunk. így / mindenütt pozitív, tehát speciálisan a = / ( l ) is pozitív. Mivel /(O) = /(O + 0) = /(O)^ és /(O) > 0, ezért /(O) = 1. Ebből azt kapjuk, hogy 1 = /(O) = f { x -h ( - x ) ) = f { x ) ■ f ( - x ) , tehát f { - x ) = l / f { x ) minden 2:-re.

A (9.12) feltételből indukcióval következik, hogy

f { X i -I- . . . 4- Xn) = f ( x i ) ■ f { X n )

teljesül minden n-re és a ;i,. . . , a;„-re. Ebből az x\ = . . . = Xn = x választással f { n x ) = f {x) ' ^ adódik. Ha p és q pozitív egészek, akkor tehát

/ ( ^ ) = / = Í Í P ■ 1) = / ( I F = aP,

vagyis f {p/q) = aP ' . Mivel f ( - p / q ) — 1/f { p l q ) = ezzelbeláttuk, hogy / (r ) = a’’ minden r racionális számra.

Ha X tetszőleges valós szám, akkor legyen (r,i) olyan racionális számokból álló sorozat, amely a;-hez tart. Mivel / folytonos x-ben, ezért

f ( x ) = lim / (r „ ) = lim a’’" = a^. □ n ^ o o ' n->oo

9.14. M e g je g y zé s . A 9.13. Tétel egy függvényegyenlet segítségével karakte- rizálja az exponenciális függvényeket. Egy hasonló függvényegyenlettel már találkoztunk a 8. fejezetben, amikor a gyengén konvex függvények kapcsán azokat a függvényeket említettük, amelyek az

f { x i + x 2) = f { x i ) + f [ x 2) (9.13)

egyenlet - az ún. C au chy-fé le fü ggvén yegyen let - megoldásai. Azt is említettük, hogy a (9.13) függvényegyenletnek léteznek olyan megoldásai, amelyek nem folytonosak. Ezek a megoldások a 8.93. feladat szerint egyetlen intervallu

mon sem lehetnek felülről korlátosak. Ha / egy ilyen függvény, akkor az e ^ függvény kielégíti a (9.12) függvényegyenletet és semmilyen intervallumban sem korlátos. Ez a megjegyzés mutatja, hogy a 9.13. Tételben a folytonosság feltételét nem hagyhatjuk el (bár enyhíthetjük).

A fenti függvényegyenletek két további rokonával fogunk még találkozni, amelyeknek a folytonos megoldásai éppen a hatványfüggvények, illetve a logaritmusfüggvények (1. a 9.14. és 9.25. feladatokat). Ugyancsak nevezetes a d’Alembert*-Jéle függvényegyenlet:

f { x i + X2) + f ( x i - X2 ) = 2 f { x i ) f { x2 ) .

Ennek a folytonos megoldásait illetően lásd a 9.34. és 9.42. feladatokat.

H atványközepek . Ha a > 0 és 6 5* 0, akkor az hatványra használni

fogjuk még a jelölést is. (Ez összhangban van azzal, hogy ha k pozitív

egész, akkor definíció szerint.) Legyenek a i , . .. ,a,i pozitív számok,és legyen b ^ 0. A

H(b; ai , . . , , a„ ) =bla1 + . . . + a°

n

mennyiséget az a,; számok 5-edik hatványközepének nevezzük. Világos, hogy .. ,an) , i í ( l ; a i , . . . , o „ ) és i í (2 ; o i , . . . , a „ ) éppen az a,; számok harmonikus, számtani és négyzetes közepei. A hatványközepek közé a mértani közepet is besoroljuk, amennyiben a nulladik hatványközepet a

H { 0 ; ai , . . . ,a.n) = V « l ■ ■ ■ ■ ■ o-n

képlettel definiáljuk. (Ennek az értelmezésnek a motivációját illetően lásd a10.33. feladatot.)

Legyen b Alkalmazzuk a .Jensen-egyenlőtlenséget (7.17. Tétel) az x függvényre! A zt kapjuk, hogy

/ ffli -f-. ■ ■ -I- Q?i ^ a\ + . . . +

V n j ~ n

Mindkét oldalt 1/ö-edik hatványra emelve az

a\ + . . . + ünn

egyenlőtlenséget kapjuk. Ez az ün, h a tván yközép -egyen lő tlen ség (amelynek nyilvánvaló speciális esete a számtani és négyzetes közepek közötti egyenlőtlenség). De ez az egyenlőtlenség is csak speciális esete a következő tételnek.

Jean Le Rond d ’Aleinbert (1717-1783) francia matematikus


9.15. T é tek Legyenek a i , . . . , a„ rögzített pozitív számok. Ekkor a

ö fí(6 ; ű i,. . . , a „ ) (6 e II)

függvény monoton nő M-ben.

B izony ítás . Tegyük fel először, hogy 0 < 6 < c. Ekkor c/b > 1. Alkalmazzuk

a .Jensen-egyenlőtlenséget az x^^ függvényre és az (i = 1 ,... ,n ) számokra! Azt kapjuk, hogy

/a\ + . . . + an\ ^ ^ 0,1 + • • ■ + «n\ n I ~ n\ /

Ha mindkét oldalt 1/c-edik hatványra emeljük, akkor a

H { b ; a i , . . . , a n ) < .. ,a„) (9.14)

egyenlőtlenséget kapjuk.

Most legyen 5 = 0 és c > 0. Alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget az (i- {i = 1, . . . ,n) számokra! A zt kapjuk, hogy

H( 0 - , au . . . , ü r , r = < + +Th

és ha itt mindkét oldalt 1/c-edik hatványra emeljük, akkor ismét megkapjuk (9.14)-et.

Könnyű ellenőrizni, hogy1

H{ - b\ax , . . . , an ) =" ( ‘■^.... i )

minden b-re. így a már bizonyított egyenlőtlenségeket felhasználva azt kapjuk, hogy 6 < c < 0 esetén

H { b ; a i , . .. ,an) =

"(-''^ÍT.... i )______ 1______

....... i )

= f í ( c ; ö l , .. . ,a „ ),

amivel a tételt beláttuk. □

Amint azt a 9.7. Tételben beláttuk, b > 0 esetén lim x = 0. Ezért cél-3T-^>(l+0

szerű a nulla pozitív kitevős hatványait nullának értelmezni. Megállapodunk

196 9. Néhány fontos függvényosztály (Elemi függvények)

tehát, hogy 0 = 0 minden b > 0-ra. (A nulla nempozitív kitevös hatvá

nyait továbbra sem értelmezzük.) Ezzel párhuzamosan, b > 0 esetén az hatványfüggvény értelmezését kiterjesztjük nullára, ahol is az értékét nullának definiáljuk. Az így kiterjesztett x* hatványfüggvény b > 0 esetén jobbról folytonos a nullában.

Feladatok

9.7. Bizonyítsuk be, hogy a 0 < a < í) számokra akkor és csak akkor teljesül

1 \ x+lha van olyan x pozitív szám, amelyre

9.8. Bizonyítsuk be, hogy ha a > 0 és a ^ 1, akkor az függvény szigorúan konvex.

9.9. Bizonyítsuk be, hogy ha 5 > 1 vagy b < 0, akkor az függvény szigorúan konvex.

9.10. Bizonyítsuk be, hogy ha 0 —1 és ö e M. Bizonyítsuk be, hogy (1 -I- x)^ = 1 + bx akkor és csak akkor, ha x = 0, vagy b = 0, vagy b = 1 .

9.12. hm f i + i V =?

9.13. Legyen a i , . . . , a „ ) az a i , . . . , a„ pozitív számok ö-edik hatványközepe. Bizonyítsuk be, hogy

és

lim H{b-, a i , . .. ,a „ ) = m ax (a i,. . . , a „) b-ôo

, lim H{ b ; a i , .. . ,a „ ) = m in (a i,. . . , a „). o-y-oo

9.14. Bizonyítsuk be, hogy az / ; (0, oo) E függvény akkor és csak akkor hatványfüggvény, ha folytonos, nem azonosan nulla, és kielégíti az

f [ x i - X 2) = f { x i ) - f { x 2)

azonosságot minden pozitív x i , X2-re.

Logaritmusfüggvények 197

Logaritmusfüggvények

Ha a > 0 és a ^ 1, akkor az függvény szigorúan monoton és folytonos M-en a 9.6. Tétel szerint. Az függvénynek tehát a > 0 és a 7 1 esetén létezik az inverz függvénye, amelyet a alapú logaritm u sfü ggvénynek nevezünk és log„a;-szel jelölünk. Mivel értékkészlete (0 ,00), ezért a logô; függvény a nyílt (0 ,00) félegyenesen van értelmezve, az értékkészlete pedig M. Az inverz függvény definícióját figyelembe véve megállapíthatjuk, hogy a > 0, a / 1 és 2: > 0 esetén log^ a; az az egyetlen valós szám, amelyre = x teljesül.Speciálisan log„ 1 = 0 és log^ a = 1.

9.16. T é te l, (i) Ha, a > 1, akkor a logaO; függvény szigorúan monoton növő, folytonos és szigorúan konkáv (O,oo)-ben, valamint

lim log. X = —00 és hm lóg,, x = 00. (9.15)X-»()+0 ^ i->oo

(ii) Ha 0 < a < 1, akkor a logâ; függvény szigorúan monoton csökkenő, folytonos és szigorúan konvex (0, 00) -ben, valamint

hm log.„ X = 00 és lim log„ ,x = — 00, (9.16)

(iii) Minden a > 0, a ^ l és x ,y > 0-ra fennállnak az

Ôga(^y) ^ loga a; + loga y,

loga = loga X - loga

loga Q ) = - lo g „ y ,

(9.17)

valamint a

azonosságok.

(9.18)

B izony ítás . A 9.6. és 8.66. Tételek alkalmazásaként adódik, hogy a log^ x függvény mindenütt folytonos, a > 1 esetén szigorúan monoton növő, 0< a < l esetén pedig szigorúan monoton csökkenő. Mivel az értékkészlete M, ebből adódnak a (9,15) és (9,16) limeszrelációk. Ezzel (i)-et és (ii)-t beláttuk, kivéve a konvexitásra, illetve konkávitásra vonatkozó állításokat.

Legyen a > 0, a ^ 1. A (9.4) azonosságok közül a második azt adja, hogy tetszőleges x , y > 0-ra

loi>„a:+logv, i/ _ = X - y =

Mivel az függvény szigorúan monoton, ebből megkapjuk (9.17) első azonosságát. így

loga a; = loga ■ y j = log„ + log„ y,

ami (9.17) második azonossága. Ezt x = 1-re alkalmazva adódik a harmadik.

Ha most a (9.4) azonosságok közül a harmadikat alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

aloK„(x") ^ .y ^

amiből adódik (9.18) első azonossága. Ha ezt y helyett 1/y-ra alkalmazzuk, akkor megkapjuk (9.18) második

azonosságát, figyelembe véve, hogy %/x =

Ha 0 < a; < y, akkor a számtani és mértani közepek

közötti egyenlőtlenség szerint /öcy < — — . így (9.17) és

(9.18) alkalmazásával azt kapjuk, hogy a > 1 esetén

loga a; + log„ y

log,,.r 0 < a < 1

9.3. ábra

2

<

figyelembe véve, hogy ekkor a log„ függvény szigorúan monoton növő. Ez azt jelenti, hogy a > 1 esetén a log^ függvény szigorúan gyengén konkáv. Hasonlóan kapjuk, hogy 0 < a < 1 esetén a log„ függvény szigorúan gyengén konvex. Mivel folytonos függvényekről van szó, ezért a > 1 esetén a log^ x függvény szigorúan konkáv, 0 < a < 1 esetén pedig szigorúan konvex. Ezzel a tétel bizonyítását befejeztük. □

9.17. M eg jeg y zé s . Legyenek a és ö pozitív és 1-töl különböző számok. Ekkor(9.18) alkalmazásával

loga ^ = loga = logfc X ■ log„ b,

amiből

log«a:

logaö(9.19)

minden x > 0-ra. Ez azt jelenti, hogy bármely két logaritmusfüggvény csak konstans szorzóban különbözik egymástól. Ezért célszerű a logaritmusfüggvények közül egyet kiválasztani, és a többieket ennek konstansszorosaiként felírni. De melyiket válasszuk ki a végtelen sok logaritmusfüggvény közül? Ezt


a célszerűség dönti el; nyilván azt érdemes kiválasztani, amelyet a legtöbbször használunk. Ezért a műszaki életben általában a 10 alapú logaritnuist választják, az információelméletben a 2 alapút. Mi az e alapú logaritniusfügg- vényt fogjuk választani, mert a differenciálszámítás képletei ekkor a legegyszerűbbek. A továbbiakban ezért logpa: helyett l ogx-et írunk. (Néha az e alapú logaritmust Inx-szel jelölik, ami a logaritmus naturalis rövidíté.se.)

Ha a (9.19) képletet a = e-re alkalmazzuk, akkor tehát azt kapjuk, hogy

lóg X1 0 B X = ^ (0.20)

minden b > 0, b ^ 1 és x > 0 esetén. Ahogy mindegyik logaritmusfüggvényt kifejezhetjük az e alapú logaritmus segítségével, ugyanúgy mindegyik exponenciális függvényt kifejezhetjük az függvény segítségével. Valóban, ha a > 0, akkor loga definíciója és (9.4) harmadik azonossága szerint

vagyis az függvény egy hatványa.

Tekintve, hogy e > 1, ezért a loga; függvény konkáv. Ez a tény egy fontos egyenlőtlenség bizonyítását teszi lehetővé.

9.18. T é te l (H ö ld e r*-egyen lo tlen ség ). Legyenek p és q olyan pozitív szá

mok, melyekre — I— = 1. Ekkor tetszőleges o i , . . . ,a , j és b i , . . . , bn valós P Q

számokra

\aibi + . . . + anbnl < Py/\ai\P + . . . + \an\P ■ V\bi |? + ■ - - + (9.21)

B izon y ítás . Először is belátjuk, hogy

aP Wab < -----1----

P (}(9.22)

minden a,b > 0-ra. Ez világos, ha a = 0 vagy & = 0, ezért feltehetjük, hogy a > 0 és 6 > 0. Mivel loga; konkáv, ezért a 7.15. Lemma szerint

lóg (ía^ + (1 - t)b‘‘ ) > t lóg + (1 - t) lóg b (9.23)

minden 0 < í < 1-re. Alkalmazzuk ezt az egyenlőtlenséget a t = í/p választással! Ekkor 1 — t = 1/q, és így (9.23) jobb oldala loga + lóg?) = \og{ab). Mivel a loga; függvény monoton nő, ezért azt kapjuk, hogy {l/p)aP + (\/q)W > aö, ami éppen (9.22).

* O ttó Luclwig Hölder (1859-1937) német matematikus

Most rátérünk a tétel bizonyítására. Legyen A = ^|ai|í^ + ... + és B = + .. . + Ha = 0, akkor ai — .. . — an — 0, és így (9.21)igaz, hiszen mindkét oldala nulla. Ugyanez a helyzet, ha B = 0, így feltehetjük, hogy v4 > 0 és S > 0.

Legyen ai = \ai\/A és = \hi\jB minden i = 1 ,.. . , n-re. Ekkor

ai' + . . . + < = + ... + P l = L (9.24)

Mármost (9.22) szerint

p qminden i-re. Ezeket az egyenlőtlenségeket ös.szeadva azt kapjuk, hogy

a iP i + . . . + ön A i < “ • [<^ + • • • + O n] + - • + • •. + /3 J = - • IH----- 1 = 1,P Q P <l

felhasználva (9.24)-et és a,p,q számokra vonatkozó feltevést. Ha most a,- és /3.; helyébe beírjuk az \ai\/A és \hi\/B értékeket, majd mindkét oldalt beszorozzuk ^B-vel, akkor azt kapjuk, hogy

laibil + ... + < AB ,

amiből (9.21) azonnal következik a háromszög-egyenlőtlenség szerint. □

A Hölder-egyenlőtlenség ap — q = 2 speciális esetben a következő, ugyancsak nevezetes egyenlőtlenséget adja.

9.19. T é te l (C au ch y-S chw farz*-B un yakovszk ij^ -egyen lőtlenség ). Tetszőleges ü l , . .. ,an és b i , . .. ,bn valós számokra

|ai&i -f- ... -t- Unbnl < ■ -J b + . . . + bf .

Adunk egy közvetlen bizonyítást is. Tetszőleges i , j = 1 ,... ,n-re az

A i j = afbj -t- ajbj - 'la ia jh fij

szám nemnegatív, mert Ai^j = {aihj —aj b i f . Ha az A^j .számokat összeadjuk minden l < i < j < n-re, aldíor éppen az

( o { -H . . . -h a “ ) ■ (ö j + . . . -t- ö jj) — (o i& i - I - . . . -1- a , ib n )^

különbséget kapjuk, ami tehát szintén nemnegatív. □

Hermáim Amaiiclu.s Schwarz (1843-1921) német matematikust ViViktor Jakovlevics Buiiyakovszkij (1804-1889) orosz matematikus


Feladatok

9.15. Bizonyítsuk be, hogy 1 4- - -H ... -f i > logn minden n-re. (Ö )

9.16. Bizonyítsuk be, hogy az 1 -h . -I- - lóg n sorozat monoton csökkenő2 n

és konvergens*.

9.17. Legyen / szigorúan monoton növő és konvex (konkáv) az / nyílt intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy / inverze konkáv (konvex).

9.18. Legyen / szigorúan monoton csökkenő és konvex (konkáv) az I nyílt intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy / inverze konvex (konkáv). Ellenőrizzük ezeket az állításol'Cat azokban az esetekben, amikor / egy exponenciális, hatvány- vagy logaritrausfüggvény.

9.19. Bizonyítsuk be, hogy lim ■ lóg x = 0 minden e > 0-ra.x -» ()+ ()

9.20. Bizonyítsuk be, hogy ^Ijn^ • lóg x = 0 minden e > 0-ra.

9.2L lim = ? lim lim f i + i ^ =?X-Í-O+O x^oo x^()+() V x j

9.22. Legyen lim a„, = o, lim = b. Mikor lesz igaz, hogy lim a^" = a^?n - f - o o 7 1 -> 0 0 ° "

9.23. Bizonyítsuk be, hogy (9.22)-ben csak akkor áll egyenlőség, ha

9.24. Tegyük fel, hogy az a i , . . . , a , i , b i , . . . ,b,i számok nemnegatívak. Bizonyítsuk be, hogy (9.21)-ben akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha ai = ... = o „ = 0, vagy ha van egy t szám úgy, hogy = t ■ minden i — 1 ,... ,n-re.

9.25. Bizonyítsuk be, hogy az / : (0, oo) —>■ M függvény akkor és csak akkor logaritmusfüggvény, ha folytonos, nem azonosan nulla, és kielégíti az

f { x i -X-2 ) = f { x i ) + f { x 2 )

azonosságot minden pozitív a;i,2;2-re.

* E sorozat határértékét E u ler-konstan sn ak nevezzük. Régóta megoldatlan probléma, hogy az Euler-konstans racionális száni-e vagy sem.

Trigonometrikus függvények

A trigon om etrik u s fü ggvén yek érte lm ezése. A trigonometrikus függvényeket más szóval szögfüggvényeknek is nevezik, mert szögekhez, pontosabban szögek méröszámaihoz rendelnek valós számokat. Ezért a trigonometrikus függvények értelmezéséhez elöször is a szögek mérését kell tisztáznunk.

Legyen P a sík egy pontja, legyenek h és k a P pontból kiinduló félegyenesek, és jelölje (h, k ) < a h és k félegyenesek által határolt (egyik) szögtartományt. Legyen D egy P középpontú körlap, K pedig egy P középpontú körvonal. Szemléletesen világos, hogy a h és k félegyenesek által bezárt szög nagysága arányos mind a D H {h , k ) < körcikk területével, mind pedig a K n {h, k ) < körív hosszúságával. Kézenfekvő tehát, hogy a {h, k ) < szögtartományt a D n { h , k ) < körcikk területével vagy a K n { h , k ) < körív hosszúságával (vagy bármely, ezekkel arányos mennyiséggel) mérjük. Mi a körív hosszát fogjuk választani. Megállapodunk, hogy egy O csúcspontú A szögtartományt azO középpontú és egység sugarú körvonal azon részívének hosszával mérünk, amely az A szögtartományba esik. Ezt a számot a szög ívmértekének hívjuk. Az ívmérték egysége a radián. így az egyenesszög ívmértéke az egység sugarú félkörív hossza, azaz tt radián, a derékszögé ennek a fele, azaz tt/2 radián, a teljes szögé 2it radián. A továbbiakban a „radián” szót elhagyjuk, tehát a szögek méröszámait (hacsak mást nem mondunk) radiánban fogjuk megadni.

A trigonometria úgy definiálja a 7r/2-nél kisebb x szög koszinuszát (illetve szinuszát), mint az x hegyesszögíí derékszögíí háromszögben az X szög melletti (illetve az a;-szel szemben levő) befogónak és az átfogónak a hányadosát. Legyen 0 < u < 1 és v — k{u) —

= v/l - u2. Ekkor az O = (0,0), P = (w,0) és Q = {u,v) pontok egy derékszögű háromszöget határoznak meg, amelynek az O csúcs

nál fekvő szögét az O P és O Q félegyenesek határolják. A K körvonalnak e szögtartományba eső részíve megegyezik a k függvénynek az [u, 1] intervallum feletti grafikonjával, ennek hossza pedig s{k\ [u, 1]) (1. a 8.72. Definíciót). Ha s(fc;[u, 1]) = x, akkor tehát a P O Q < szög ívmértéke x, és így cosa; = O P / O Q — u / l — u, és sinrr = P Q / O Q — v/ l — v. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha a K körvonalra az (1,0) pontból pozitív irányban felmérünk egy x hosszúságú körívet, akkor az így kapott pont koordinátái (cos a:, sin a:). Itt a „pozitív irány” az óramutató járásával ellenkező irányt jelenti, vagyis azt, hogy az ív felmérését az y > 0 félsíkban kezdjük.

Trigonometrikus függvények 203

A fenti megállapítást fogjuk cos a: és sin a; definíciójaként elfogadni.

9.20. D efin íc ió . Az origó középpontú és egység sugarú kör (1,0) pontjából kiindulva mérjük fel az \x\ hosszúságú körívet pozitív, illetve negatív irányban aszerint, hogy a: > 0 vagy a; < 0. (Ha |a;| > 27t, akkor szükségképpen többször futjuk be a kört.) Az így kapott pont első koordinátáját cosa;-szel, második koordinátáját pedig sin a;-szel jelöljük. Ezzel a cos és sin függvényeket az egész számegyenesen értelmeztük.

9.21. M eg jeg y zé s . A 8.76. Megjegyzésben láttuk, hogy 0 < a: < tt esetén van olyan u e [—1,1], amelyre S{u) = s{k\ [u, 1]) = x. így a K körre felmért x

hosszúságú ív végpontja éppen az {u,k{u) ) = {u,\/l — u^) pont. Következés

képpen cos a; = u és sin a; = a/1— = v^l — cosx^. A cos a: = u összefüggés azt jelenti, hogy a [0, tt] intervallumban a cos x függvény nem más, mint az S függvény inverze.

Gyakran van szükség a sin x/ cos x és cos x/ sin x hányadosokra, amelyekre a tgx , illetve c tgx rövidítéseket használjuk.

A tr igon om etrik u s fü ggvén yek tu la jdonságai. Amint azt már megjegyeztük, a K körre bármely pontból egy tt hosszúságú ívet felmérve a kör átellenes pontjába jutunk, amelynek a koordinátái ( —cosa;, — sin a-). Ezért

cos(a; -f- 7r) — cos x és sin(a; -I- tt) = — sin a; (9.25)

minden a;-re. Mivel (cosO,sinO) = (1,0), ezért cosO = 1 és sinO = 0. így (9.25) alapján

cos(fc7r) = (-1 )^ és sin(fcTr) = 0 (9.26)

minden k egész számra. A definícióból azonnal következik, hogy

cos(a;-I-27t) = cosx és sin(a;-|-27t) = sin x

minden a;-re, azaz cos a; és sinx mindketten periodikus függvények 2n periódussal. Mivel (cos a;, sin a;) a K körvonal egy pontja, ezért

sin“ X -1- cos^ a; — 1 (9.27)

minden a;-re. A K körvonal szimmetrikus a vízszintes tengelyre. Ha tehát egy |a:| hosszúságú körívet pozitív, illetve negatív irányban felmérünk az (1,0) pontból, akkor a vízszintes tengelyre nézve szimmetrikus pontokba jutunk. Ez azt jelenti, hogy (cos(-a;), sin (-a;)) = (cosa;, - sin a;), azaz

cos(—a;) = cosa; és sin(—a:) = — sina: (9.28)


minden x-re. Más szóval, a cos a: függvény páros, a sin a: függvény pedig páratlan. A (9.28) és (9.25) azonosságokat összevetve azt kapjuk, hogy

cos(7T — x ) = — cos X és sin(7T — x ) = sin x (9.29)

minden x-re. Ebbe x = 7r/2-et helyettesítve cos(7t/2) = 0 adódik, amibó'l (9.2.5) alapján

cos (9.30)

Mivel sin(7r/2) = — cos^(7t/2) = 1, ezért ugyancsak (9.25) alapján

sin + /c7rj = (-1 )^ (fc e Z ). (9.31)

cos

A K körvonal az origón átmenő 45°-os egyenesre is szimmetrikus. Ha az (1,0) pontból pozitív irányban felmért x hosszúságú ívet tükrözzük erre az egyenesre, akkor a (0,1) pontból negatív irányban felmért x hosszúságú ívet kapjuk. Mivel (0,1) = (cos(-7r/2),sin(7r/2)), ezért a tükrözött ív végpontja ugyanaz, mint az (1,0) pontból negatív irányban felmért x — (tt/2) hosszúságú ív végpontja, vagyis az (1,0) pontból pozitív irányban felmért (7t/2) — x hosszúságú ív végpontja. Ezzel beláttuk, iiogy a (sin x, cos x ) pont - vagyis a (cos x, sin a;) pont tükörképe - megegyezik a ( c o s ( ( 7 t / 2 ) — a;), sin(('!r/2) - x )) ponttal, tehát

= sin a; és sin — a: = cos a: (9.32)

minden a;-re. Az alábbi azonosságok a sin és cos függvényekre vonatkozó ún. addíciós képletek.

sin(a; + y) = sin xcosy + cos x sin y,

sin(a; — y) = sin x cos y — cos x sin y,

cos(a; + y) = cos x cos y — sin x sin y,

cos(a; — y) = cos x cos y + sin x sin y.

Az addíciós képletek bizonyítását illetően lásd a fejezet első függelékét. Az ott közölt bizonyítás az origó körüli elforgatások tulajdonságain alapszik. Később, a differenciálszámítás felhasználásával adunk egy olyan bizonyítást is, amely nem használ geometriai fogalmakat, és nem támaszkodik a szemléletre (lásd a l l . fejezet függelékét).

Az alábbi azonosságok az addíciós képletek egyszerű következményei.

sin 2a; = 2 sin x cos x,, 9 2 2 (9-34)

cos 2x = cos" X — sin" x = 1 — 2 sin x = 2 cos x — 1,

(9.33)


., 1 -I- cos 2x 9 1 - cos 2x cos X = -------------, sin" X = ------------- , (9.35)

cos xcosy = - (cos(x -I- y) -I- cos(x - y ) ) ,

sin X .sin y = ^ (cos(x — y) — cos(x + y ) ) ,

sin X cos y = ^ (sin(x -f- y) -I- sin(x — y ) ) ,

^ -j- y _ ysin X -h sin y = 2 sin------ cos------- ,

2 2X - y X + y

sm X — sm y = 2 sin —-— cos —-— ,

X + y x - y cos X + cos y = 2 cos-------cos------- ,

(9.36)

(9.37)

X — y X + ycosx — cosy = —2sin-------sin------- .

2 2

Most rátérünk a sin és cos függvény analitikus tulajdonságaira.

9.22. Téte l, (i) A cosx függvény szigorúan monoton csökken a [2A;7r, [2k -f-1)?:] intervallumokhan és szigorúan monoton nő a [(2/c —l)7r, 2k7r] intervallumokban (k e Z ). A C O S X függvénynek a (tt/2) -t- kn pontokon kívül nincs gyöke.

(ii) A sinx függvény szigorúan monoton növő a \2k-n — {■n/2 ) , 2k-K + (tt/2)] intervallumokhan és szigorúan monoton csökkenő a [2A;7r-f (7t/2), 2fc7r-f(37r/2)] intervallumokhan (k & Z ). A sinx függvénynek a kw pontokon kívül nincs gyöke.

-27t

■y = sin X

= cos a;

9.5. ábra

B izonyítás, (i) A 9.21. Megjegyzés szerint a [0, tt] intervallumban a cos függvény nem más, mint az S függvény inverze. Az S függvény szigorúan monoton csökkenő [—1, l]-ben, ezért az inverz függvénye, cosx ugyancsak szigorúan monoton csökkenő [0,7r]-ben. így (9.25) alapján nyilvánvaló, hogy ha /c € Z páros, akkor cosx szigorúan monoton csökkenő [2A:7t, (2fc -|- l)7r]-ben és szigorúan monoton nő \{2k — 1)7t, 2/c7r]-ben. Ebből a cosx függvény gyökeire vonatkozó állítás is nyilvánvaló.

A (ü) állítás (i)-ből következik a (9.32) azonosságok felhasználásával. □

Az alábbi egyenlőtlenségek az alkalmazások szempontjából különösen fontosak.

9.23. Téte l. Minden x-re fennállnak az

I sina;| < \x\

és

0 < 1 — cos X < x~

(9.38)

(9.39)

egyenlőtlenségek.

B izonyítás. A (9.38) egyenlőtlenséget elég nemnegatív a;-ekre igazolni, hiszen mindkét oldal páros. Ra. x > tt/2, akkor |sina;| < 1 < tt/2 < x, tehát ekkor az állítás igaz. így feltehetjük, hogy 0 < a; < tv/2. Legyen u =

= cos a; és V = sin a:. Ekkor cos a; és sin a; értelmezése szerint a fe(í) = \/l — függvény grafikonjának az [u, 1] intervallum feletti ívhossza éppen x (hiszen (cos a:, sin a;) = (u,v) annak a pontnak a koordinátái, amelyet úgy kapunk, hogy a K körre felmérünk egy x hosszúságú ívet; 1. a 9.4. ábrát). így a 8.73. Tétel szerint

0 < sin a: = w < ^ (1 — n)^ + (w — 0))^ < s{k; [u, 1]) = x,

amivel (9.38)-at beláttuk.

A (9.39) egyenlőtlenséget szintén elég nemnegatív a--ekre igazolni, hiszen a cos függvény páros. Ha a; > n/2, akkor

1 - cos a: < 2 <

tehát ekkor (9.39) igaz. Ha viszont 0 < a; < tt/2, akkor cos a; > 0, és így

1 — cos X =1 — cos X sin- X

1 + cos X 1 + cos X

amivel (9.39)-et is beláttuk. □

9.24. Téte l. Minden x ,y e ffi-re fennállnak az

1 COS.X — cosyl < |x - y|

< sin" X < x - \

és

egyenlőtlenségek.

I sin a; — siny| < \x — y\

(9.40)

(9.41)


B izony ítás. A 9.23. Tétel és a (9.37) azonosságok felhasználásával

I cos .a; — cosyl = 2x — y

s in ----- -. x + y

sm ------- < 2-x - y

2 2 2

es

I sin a; — sin y\ = 2. x - y x + y

< 2 -x - y

sm ------- cos -------2 2 2

l = \x-y\

■ l ^ \ x - y \ . □

9.25. T é te l, (i) A sin és cos függvények mindenütt folytonosak, sőt Lipschitz- tulajdonságúak.

(ii) A sin a; függvény szigorúan konkáv a [2A;7r, {2k + l)7r] intervallumokon és szigorúan konvex a [(2A; — l)7r, 2A;7r] intervallumokon (k e Z ).

(iii) A cos a; függvény szigorúan konkáv a [2kn — [Tr/2),2kiT + (tt/2)] intervallumokon és szigorúan konvex a [2kTr + (7r/2),2/c7r + (27t/2)] intervallumokon ( k G Z ) .

B izonyítás. Az (i) állítás nyilvánvaló az előző tételből. Ha 0 < x < y < n, akkor a (9.37) azonosságok közül az elsőt alkalmazva azt kapjuk, hogy

s in a ;+s in y x + y x — y x + y----------------= s in-------- cos-------- < s in ------- .

2 2 2 2

Ezzel beláttuk, hogy a sin a; függvény szigorúan gyengén konkáv a [0,7t] intervallumban. Mivel folytonos is, ezért itt szigorúan konkáv. Ebből (ii) állításai azonnal következnek a sin(x + tt) = — sin a; azonosság alapján.

Végül a (iii) állítás (ii)-böl következik az (9.32) azonosságok felhasználásával. □

9.26. T é te l. Ha |a:| < •Tr/2 és x ^ 0, akkor

sinx cos a; < ------ < 1. (9.42)

B izony ítás. Mivel a (sino;)/a; függvény páros, elég az a; > 0 esetet tekinteni. A (sinx)/a; < 1 egyenlőtlenség nyilvánvaló (9.38)-ből.

így csak azt kell belátnunk, hogy 0 < a; < n /2 esetén

a: < tg a;. (9.43)

Az ábrán A = ( cosx,0) , B = ( c o s s in x ) . A K körhöz a B pontban húzott érintő a vízszintes tengelyt a C pontban metszi. A B pont tükörképe a vízszintes tengelyre D. Az O A B és O B C háromszögek hasonlóságából B C = sin a;/cos a; = tgx.

írjunk be a kör D B ívébe egy tetszó'leges poligont. Ezt az O D és O B szakaszokkal kiegészítve egy konvex T sokszöget kapunk, amely része az O D C B konvex négyszögnek. A 8.7-5. Lemma sze

rint ebből következik, hogy a T sokszög hossza legfeljebb O D C B hossza, vagyis 2 + 2 tgx . Mivel a D B ívbe írt poligonok hosszainak szuprémuma 2x, ebből azt kapjuk, hogy 2 + 2x < 2 -I- 2 tgx , amivel (9.43)-at beláttuk. □

9.27. T é te l. Fennállnak a

és

1 — cos X lim ----------- = 0

X

sm X lim ------= 1X->() X

(9.44)

(9.4.5)

limeszrelációk.

B izonyítás. A két állítás a (9.39) és (9.42) egyenlőtlenségekből következik a rendőrszabály alkalmazásával. □

Most összefoglaljuk a tg x és a ctg.x függvények tulajdonságait. A tgx = sinx/cosX függvény ott van értelmezve, ahol a nevező nem nulla, tehát

az X 7 (7 t/ 2 ) + fcTT pontokban, ahol k tetszőleges egész szám. A sin és cos függvények addíciós képleteiből könnyű levezetni az alábbi azonosságokat;

tg x -I- tgy1— 7T/2/

/

tgi.-

tg(x + y) =

tg(x - y ) ^

t g 2x =

1 - tgx •tgytg x - tg?/

1 + tg x •tgy2 tgx

(9.46)

1 - tg '^ X

9.7. ábra

A tg x függvény az értelmezési tartományán mindenütt folytonos, mert két folytonos függvény hányadosa. A tgx függvény páratlan és tt szerint


periodikus, hiszen

tg(x + tt) =sin(x + 7t) — sinx sinx

cosx= tgx

cos(x + tt) —cosx

minden x ^ (tt/2) -|- kir-re. Mivel a [0,7t/2) intervallumban sinx szigorúan monoton nő, cos x szigorúan monoton csökken és mindketten pozitívak, ezért itt tg x szigorúan monoton nő. Mivel tgO = 0 és tg.x páratlan, ezért tgx az egész ( —•7r/2,7r/2) intervallumban szigorúan monoton nő. Fennállnak a

és lim tg x = oo (9-47)lim tg x = —oox-»--{7 r/2 )+0

lim tg X = ooX—>(7r/2)—0

relációk, melyek abból következnek, hogy

lim sin X = sin(ili7r/2) = ±1,x^±7t/2

lim cosx = c o s ( ± 7 t / 2 ) = 0, x - >- ± tt/ 2

és hogy a cosx függvény pozitív (-•7t/2,7r/2)-ben.

A c tgx = cosx/sinx függvény ott van értelmezve, ahol a nevező nem nulla, tehát &z x ^ kir pontokban, ahol k tetszőleges egész szám. A ctgx függvény az értelmezési tartományán mindenütt folytonos, páratlan, és tt szerint periodikus. A (9.32) összefüggésekből adódik, hogy

ctgx = t g ( í - x ) (9.48)

minden x ^ kn-re. Ebből következik, hogy a ctgx függvény a (0, tt) intervallumban szigorúan monoton csökken, valamint

és lim c t g x = —cx). (9.49)Hm ctgx = oo x^o+o

Feladatok

9.26. Bizonyítsuk be az alábbi egyenlőségeket;7T v/3

(a) cos - = — ,

MN 27T 1 (d) cos Y =

, . . tt 1 (g ) =“ >6 = 5 '

. 27t x/3 (j) sm — = — ,

(b) cos - = — ,

, , 37t V 2(e) cos — = —

n \ \/2(h) s m - = — ,

4 2(k) sin

(c) cos^ =

57T V3 (f ) c o s - = - — ,

, tt V3(.) dn 3 = ^ .

(1) sin = 1. 6 2

/ 7T \ / 27T \ sin 02: = 4 • sin a; • sin l a; + —J ■ sin J

minden x-re.


/ 7T\ / 27t \ / 37T\sin 4x = 8 • sin x ■ sin { x — • sin { x ----- --- sín I x H-----

\ 4 / \ 4 / V 4 /

minden x~ie. Hogyan általánosítható az állítás?

9.29. Jelölje (a „ ) a 3.1. Példa (1.5) sorozatát, tehát legyen ai = 0 és a,i+i =

= \/2 + On (n > 1). Bizonyítsuk be, hogy Un — 2 ■ cos — .

9.30. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész, akkor cos no; felírható mint cosrr n-edfokú polinomja, azaz létezik egy T „ n-edfokú polinom úgy, hogy cosnx = Tn(cosx) minden x-re. (Ö )

9.31. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész, akkor sin na;/ sin x felírható mint cosx n-edfokú polinomja, azaz létezik egy Un n-edfokú polinom úgy, hogy sinnx = sinx • t/„(cos.x) minden x-re.*

9.32. Fel lehet-e írni sinnx-et mint sinx polinomját minden n e N“''-ra?

9.33. Bizonyítsuk be, hogy az x • sin x = 100 egyenletnek végtelen sok gyöke van.

9.34. Legyen / ; M —> M folytonos, nem azonosan nuha, és tegyük fel, hogy 1/ (2;) I < 1 és f { x - \ - y ) + f { x —y) = 2 / (x )/ (y ) minden x, y-ra. Bizonyítandó, hogy alkalmas c konstanssal / (x ) = cos ex minden x-re. ( * Ö )

* Az így értelmezett T„ és [/„ poliiiomok az úii, C s e b i s e v - p o l i n o m o k .

A trigonometrikus függvények inverzei 211

A trigonometrikus függvények inverzei

-1

arccos x = -----arcsin x2

(9.50) - iminden x 6 [—1, l]-re.

Mivel a cosx függvény szigorúan monoton a [0,7r] intervallumban, ezért itt létezik az inverze, melyet arcus cosinusnak nevezünk és arccos x-szel jelölünk. Ezt a függvényt már ismerjük. Valóban, a 9.21. Megjegyzésben láttuk, hogy a cosx függvény a [ü,7r] intervallumban megegyezik az S{u) = s{k; [u, 1]) függvény inverzével. Tehát az arccos függvény nem más, mint az S függvény. Az arcus cosinus elnevezés is innen származik, ugyanis S{u) = arccos u egy bizonyos körív hosszát jelöli, és az arcus szó latinul ívet jelent. A z arccos x függvény tehát a [-1 ,1 ] intervallumon van értelmezve, és itt szigorúan monoton csökkenő és folytonos.

A sin X függvény szigorúan monoton növő a [—7r/2, tt/2] intervallumban, ezért itt létezik az inverze, melyet arcus sinusnak nevezünk és arcsin x-szel jelölünk. Világos, hogy az arcsin X függvény a [—1,1] intervallumon van értelmezve, és itt szigorúan monoton növő és folytonos. A (9.32) azonosságokból látható, hogy

. arc cos x

9.8. ábra

A tg x függvény szigorúan monoton növő a ( —7t/2, 7t/2) intervallumban, ezért itt létezik az inverze, melyet arcus tangensnek nevezünk és arctg x-szel jelölünk. A (9.47) Hmeszrelációkból és tg x folytonosságából következik, hogy a tgx függvény minden értéket felvesz ( - 7 t / 2 , 7r/2)-ben. így az arctgx függvény az egész számegyenesen értelmezve van, folytonos, és szigorúan monoton növő. Világos, hogy

nlim arctg 3; = —

X - * - 0 0 I

7Tés lim arctg X = —.

x - * o o 2(9.51]

A ctgx függvény szigorúan monoton csökkenő a (0, tt) intervallumban, ezért itt létezik az inverze, melyet arcctgx-szel jelölünk. Mivel a c tgx függvény iiiinden értéket felvesz (0,7r)-ben, így az arcctg x függvény az egész szám- egyenesen értelmezve van, folytonos, és szigorúan monoton csökkenő. A (9.48) ^■zonosságból következik, hogy

(9.52)

i^iinden x-re.


Feladatok

9.35. Ábrázoljuk a következő függvények grafikonjait:(a) arcsin(sina;), (b) arccos(cosa;), (c) arctg(tga;),(cl) arcctg(ctga;), (e) arctg.T - arcctg(l/a;).

9.36. Bizonyítsuk be a következő azonosságokat:

(a) arcsina; = arccos \/l - (a :e [0 , l ] ) .X

(b ) arctg a; = aícsin

(c) arcsinrc = arctg

{x e 1).

(X 6 ( - 1 ,1 ) ) .V l -

9.37. Oldjuk meg a következő egyenletet: sin (2 arctgx) = l/a;.

A hiperbolikus függvények és inverzeik

Aakban

trigonometrikus függvényekkel sok rokon vonást mutatnak az alábbiértelmezett ún. hiperbolikus függvények. Az

sha; =

9.9. ábra

illetve eh X =e^ + e '

2 ’ 2

függvényeket sinus h iperbolicus, illetve cosinus hi- perbo licu s függvényeknek nevezzük. A definícióból nyilvánvaló, hogy az sha; és eh a; függvények mindenütt értelmezve vannak és folytonosak, továbbá, hogy a eh x függvény páros, az sha; függvény pedig páratlan.

Mivel az függvény szigorúan monoton növő, az e~^ függvény pedig szigorúan monoton csökkenő, így az shx függvény szigorúan monoton növő M-en. A (9.6) limeszrelációkból világos, hogy

hm sh.r = oo. (9.53)lim sha; = — oo x ^ — oo

és

Mivel az és e~^ függvények szigorúan konvexek, könnyen látható, hogy a eh a; függvény szigorúan konvex M-en.

A hiperbolikus függvények és inverzeik 213

Az alábbi tulajdonságok, amelyek a definíciókból egyszerű számolással adódnak, már mutatják a hiperbohkus és trigonometrikus függvények közötti hasonlóságot. Először is, châ; — shâ; = 1 minden a;-re, vagyis a (chu, shu) pont az a: - = 1 egyenletű hiperbolán van. (Innen származik a „hiperbolikus” jelző. A cosâ; -I- sinâ; = 1 azonossággal való analógia nyilvánvaló.) Tekintve, hogy eh a; mindenütt pozitív, ezért

chx = y 1 + sh- X (9.54)

minden a;-re. Ebből azonnal következik, hogy a eh a; függvény legkisebb értéke 1 , valamint, hogy a eh a; függvény szigorúan monoton növő [0,oo)-ben, és szigorúan monoton csökkenő' ( —oo,0]-öan.

Minden x, y-ra fennállnak az

sh(a; 4- y) = sh a; eh y -I- eh x sh y,

sh(a; - y ) = sh a; eh y — eh a; sh y,

ch(x -h y) = eh a; eh y -h sh x sh y,

eh(x — y) = eh a; eh y — sh a; sh y

addíeiós képletek, melyek az = e^-e^ azonosság egyszerű következményei. Az addíeiós képletekből levezethetők az alábbi azonosságok:

sh2a; = 2 sha; eh a;,

eh 2x = ch a; -h sh a; = 1-1-2 sh a: = 2 eh a; - 1,

1 -h eh 2x

(9.55)

9.10. ábra

eh X = (9.56)

sh X -—1 -h eh 2x

2 ‘

A fenti összefüggéseknek a megfelelő trigonometrikus azonosságokhoz való hasonlósága megdöbbentő, és ami az analógiát különösen rejtélyessé teszi, az a két függvénycsalád értelmezésének totális különbözősége. A rejtély megoldását éppen az a tény adja, hogy - a látszat ellenére - az exponenciális függvényeknek (vagyis a hatványozásnak) nagyon is sok köze van a trigonometrikus függvényekhez. A z összefüggést azonban csak a komplex számokon keresztül érthetjük meg, és tekintve, hogy a komplex számok tárgyalása nem célunk, ezért a kapcsolatot csak vázlatosan ismertetjük a fejezet második függelékében.

A tg és ctg függvények mintájára bevezetjük a tha; = sh x/chx és ctha; = = eh a;/sha; jelöléseket. Az olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a


tha: (tangens hiperbolicus) függvény az egész számegyenesen értelmezve van, mindenütt folytonos, páratlan és szigorúan monoton növő, továbbá

(9.57)lim tha: = —1 a;—>■—oo

és lim th x = 1. x-^oo

A ctha; (cotangens hiperbolicus) függvény az M\ (0) halmazon van értelmezve és itt folytonos; szigorúan monoton csökkenő a ( —oo, 0) és (0, oo) félegyenesek mindegyikén, továbbá

(9.58)hm ctha; = ±1 i->±oo

és lim cth.7; = ±oo. ®^ö±0

1

y

tha-

0

/ -

9.11. ábra

y 11 V cth X

0 X

19.12. ábra

Az sha; függvény inverz függvényét area sinus h iperbo licusnak nevezzük, és arshrr-szel jelöljük. Mivel az shx függvény szigorúan növő, folytonos, és(9.53) alapján minden értéket felvesz, ezért az arshx függvény az egész számegyenesen értelmezve van, mindenütt folytonos és szigorúan monoton növő. Az arsh függvényt kifejezhetjük a hatvány- és logaritmusfüggvények segítségével. Vegyük észre ugyanis, hogy arsh 2; = y ekvivalens az shy = x egyenlettel. Ha ebbe beírjuk shy definícióját, majd mindkét oldalt beszorozzuk 2e^-nal, akkor az - 1 = 2x6^ egyenletet kapjuk. Ez e^-ban egy másodfokú egyenlet,

amiből e' = X ± \/x‘ + 1 adódik. Mivel é ' > 0, ezért itt csak a pozitív előjel jöhet számításba. Végül, mindkét oldal logaritmusát véve azt kapjuk, hogy

(9.59)arsh X = lóg -h 1 j

minden a;-re.

A hiperbolikus függvények és inverzeik 215

A eh 2; függvény szigorúan növő és folytonos a [0,oo) félegyenesen, és (9.54)-ből következően az értékkészlete itt [l,o o ). A [0,oo) félegyenesre megszorított eh a; függvény inverz függvényét area cosinus h iperbolicusnak nevezzük, és areha::-szel jelöljük. A fentiek szerint az archx függvény az [1,00) félegyenesen van értelmezve, folytonos és szigorúan monoton növő. Nem nehéz belátni, hogy

minden x > 1-re.

archa,- = lóg .-r -I- \/s- — i j (9.60)

arth;

9.14. ábra 9.15. ábra

A tha; függvény inverz függvényét area tangens h iperbolicusnak nevezzük, és artha;-szel jelöljük. A th x függvény tulajdonságaiból következik, hogy az arth a; függvény a ( — 1,1) intervallumon van értelmezve, folytonos és szigorúan monoton növő. Könnyű belátni, hogy

„ t h x = - - l o g ( — j (9.61)

minden x e (—1, l)-re. Az olvasóra bízzuk az arcth.-r függvény értelmezését és főbb tulajdonságainak megállapítását.

9.28. M e g jeg y zé s . Az inverz trigonometrikus függvények nevében megjelenő arcus— ÍY szó azt jelezte, hogy az arccosa; mennyiség egy bizonyos körív hosszával egyenlő. Az arcus szónak a hiperbolikus függvények inverzeinél az area — terület szó felel meg. Ennek a jelentése analóg. Legyen u > 1 és

V = Vn' - 1. Jelölje azt a tartományt, amelyet origót az (tt, v) és (u, -w ) pontokkal összekötő két szakasz, valamint az a; — = 1 hiperbolának az (u, v) és (u, ~ v ) pontok közötti íve határol. Meg lehet mutatni, hogy az tartomány területe éppen archw-val egyenlő minden u > 1-re.


Feladatok

9.38. Ellenőrizzük az shx-re és chx-re vonatkozó addíciós képleteket!

9.39. Keressük meg és bizonyítsuk be a (9.46) formuláknak a tlia; függvényre vonatkozó megfelelőit!

9.40. Bizonyítsuk be, hogy lóg + 1 — = — arshx minden rr-re.

9.41. Bizonyítsuk be, hogy lóg (x — y/x- — = — archa; minden x > 1-re.

9.42. Legyen / : M M folytonos, és tegyük fel, hogy f { x + y) + f { x — y) = = 2 f { x ) f { y ) minden x,y-v&. Bizonyítandó, hogy az alábbi állítások egyike fennáll.

(a ) Az / függvény azonosan nulla.

(b) Létezik egy c konstans úgy, hogy f { x ) = cos ex minden x-re.

(c) Létezik egy c konstans úgy, hogy f { x ) = eh ex minden x-ice.

9.43. Az / függvényt a lgeb ra i függvénynek nevezzük, ha léteznek olyan P o { x ) , . . . , P n { x ) nem mind azonosan nulla poHnomok, amelyekkel

Po{x) + Pl { x ) f { x ) + ... + p n { x ) f \ x ) = 0

minden x G D{ f ) - ve . Az / függvényt transzcendensnek nevezzük, ha nem algebrai.

(a ) Bizonyítsuk be, hogy minden polinom és minden racionális törtfüggvény algebrai.

x^ — 1(b ) Bizonyítsuk be, hogy V l + x, ,/-------- és \x\ algebrai függvények.

S X + 2

(c) Bizonyítsuk be, hogy logx, sin.x, cos x transzcendens függvények.

(d) Lehet-e egy (nem konstans) periodikus függvény algebrai?

Első függelék: A z addiclős képletek bizonyítása 217

Első függelék: Az addíciós képletek bizonyítása

Jelöljük 0„-val a sík origó körüli, pozitív irányú, a szöggel való elforgatását. Ekkor tehát tetszőleges q e K és .t e esetén 0 „{x ) az a pont, amelyet úgy kapunk, hogy :r-et az origó körül pozitív irányban a szöggel elforgatjuk. Az elforgatások következő tulajdonságaira lesz szükségünk.

(1) Tetszőleges e M-re és a: 6 1^-re 0,^+ii{x) = 0 „ (0/^(a:)),

(ii) Az On leképezés lineáris, azaz

Oai'px + qij) - p - On[x) -I- q ■ On{y)

minden x,y és p,q eM esetén.

Ezeket a tulajdonságokat bizonyítás nélkül fogjuk felhasználni. (Szemléletesen mind a két tulajdonság világos; (ii) igazságáról könnyen meggyőzhetjük magunkat, ha belegondolunk, hogy mi a geometriai jelentése két vektor összegének és egy vektor valós számmal való szorzásának.) Most megmutatjuk, hogy

0 „((1 ,0 )) = (coso',sina). (9.62)

Legyen 0 „((1 ,0 )) = P , és jelöljük h-val az origóból kiinduló és P-n átmenő félegyenest. Ekkor /i-nak az x tengely pozitív felével bezárt szöge q, vagyis h a K körvonalat a (cos Q, sin a) pontban metszi. Mivel a forgatás megőrzi a távolságokat (egy újabb geometriai tény, melyet elfogadunk), ezért P-nek az origótól vett távolsága 1. így P a K körvonalon van, tehát megegyezik h és A' metszéspontjával, azaz (cosa,sintt)-val.

A fentiek szerint (0,1) = 0))i tehát az (i) tulajdonság alapján

0 „ ( (0 , l ) ) = 0„+(,/2)((l,0 )) =

= (cos(Q -t-^ ),sin ( a + D ) =

= (-s in a, cos a), (9.63)

ahol (9.28)-at és (9.32)-t is felhasználtuk. Legyenek az x pont koordinátái (si,X2)- Ekkor (9.62), (9.63) és (ii) felhasználásával azt kapjuk, hogy

0 „{x) = a:i ■ 0 «((1 ,0 )) -H X2 ■ 0 „((0 ,1 )) =

= XI ■ (cos a, sin a) + X2 • (—sin a, cos a) =

= (a:i ■ cosa - X2 ■ sina, xi ■ sina -t- X2 ■ cosa).

Mindezek alapján

(cos(q + /^),sin(a + /Í)) = O „+;,((l,0 )) = 0 „ (0/i((l,0 ))) =

= 0 ,y ((cos/3,sin^)) =

= (cos P ■ cosa - sin /3 ■ sina, cos p ■ sin a -|- sin /3 • cos a ) ,


amiből a koordináták összehasonlításával megkapjuk (9.33) első és harmadik azonosságát. Ha ezeket y helyett —?y-ra alkalmazzuk, akkor felhasználva még, hogy a cosx függvény páros és a sin a; függvény páratlan, megkapjuk a másik két azonosságot.

Második függelék: Néhány szó a komplex számokról

A komplex számok bevezetését az az igény motiválja, hogy a vizsgálatainkba bevonjunk egy olyan mennyiséget, amelynek a négyzete —1. Ezt a mennyiséget i-vei jelöljük*. Kom plex számoknak nevezzük az a + bi alakú formális kifejezéseket, ahol a és b valós számok. A valós számokat is komplex számoknak tekintjük, amennyiben az a valós számot azonosítjuk az a + O-i komplex számmal. A komplex számok között az összeadást és a szorzást úgy értelmezzük, hogy a szokásos műveleti szabályok érvényben maradjanak, és hogy = —1 is teljesüljön. Tehát a si = ai -I- b i i és Z2 = a-2 -F b-2Í

komplex számok összegét és szorzatát a

21 + 22 = (a i -I- Ü2) -I- (&1 -I- b2)i

és

21 ■ Z2 = (cilO'2 — 6 1 6 2 ) + (ttl&2 + 0 2 b l ) i

képletekkel definiáljuk. Meg lehet mutatni, hogy ezekkel a műveletekkel a komplex számok testet alkotnak, amelyben a nullelem a 0 = 0 -t- 0 ■ «, az egységelem pedig az

Nevezetes tény, hogy a komplex számok körében minden (komplex együtthatós) nem konstans polinomnak van gyöke. (így pl. az + 1 polinomnak az i és —i komplex számok mindegyike gyöke.) Be lehet bizonyítani, hogy egy í?-edfokú polinomnak multiplicitással számolva pontosan n gyöke van. Ezt az állítást az algebra alaptételének nevezik.

A hatványozásnak a komplex számok körében való értelmezéséhez a (9.11) össze

függést fogjuk alapul venni. Mivel ( 1 -t- minden í komplex számra értelmes, ezért\tt

1 H— j komplex számok

sorozatának határértékét, ha n —>■ 00. (Akkor mondjuk, hogy a z„. = a„. + (hii komplex számok sorozata a z = a + bi komplex számhoz tart, ha -> a és —> b.) Meg lehet mutatni, hogy ez a definíció értelmes, tehát ez a határérték minden ; komplex számra létezik, és az így értelmezett hatványok kielégítik az = e‘ ■ e‘" azonosságot minden 2 és w komplex számra. Továbbá - és számunkra most ez a fontos -, ha

Ez az imaginárius = képzetes sző kezdőbetűje.

]ylásodik függelék; Néhány szó a komplexszámokról 219

2 = ix, ahol X valós, akkor az f i -I- —) sorozat határértéke éppen cos a; -I- i • sina;\ n/ ’

tehát

e“ = cosx + i - sinx (9.64)

niinden x valós számra*. Ha (9.64)-et x helyett —x-re alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

E két egyenlőségből mind cosa:-et, mind sina;-et kifejezhetjük, és a

t x , . - i . r

c o s i = sin x -2 ’ 2i ■

összefüggéseket nyerjük. Ezek az ún. Euler-formulák. Ezek a formulák teszik világossá a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolatot. Ha ugyanis a eh és sh függvények értelmezését a komplex számokra is kiterjesztjük, akkor azt kapjuk, hogy

cosa; = ch(i:r) és sinx = sh(jj)/i

minden valós x-re.

* Érdemes ellenőrizni, hogy = e'' '-e '^ teljesül minden x, y e ffi-re. A (9.64) egyenlőségalapján ez azzal ekvivalens, iiogy a cos és sin függvényekre fennállnak az addíciós képletek.

10. d i f f e r e n c i á l s z á m í t á s

A differenciálhatóság fogalma

Tekintsünk egy egyenes vonalú mozgást végző pontot, és jelölje s{t) a pontnak a számegyenesen elfoglalt helyzetét a t időpillanatban. A határérték fogalmára vezető problémáknál (8. fejezet, 128. oldal) láttuk, hogy a pillanatnyi sebesség

í>{i) s(ío ) í(|-beh határértékének meghatározásátértelmezése azt - í()

kívánja. A határérték precíz fogalmának birtokában immár megállapodhatunk abban, hogy a pontnak a ío-beli pillanatnyi sebességét úgy definiáljuk, mint a

limí-»-ÍO t — í()

határértéket (feltéve persze, hogy ez létezik és véges).

A zt is láttuk, hogy ha az / függvény grafikonjának az (a ,/ (a )) pontbeli érintőjét akarjuk nreghatározni, akkor ennek meredeksége nem lehet más, mint

az hányados határértéke a-ban. Megállapodunk tehát, hogy aX — a

szóban forgó érintőt úgy definiáljuk, mint azt az egyenest, amely átmegy az (o ,/ (a )) ponton, és amelynek a meredeksége

f i x ) - f { a )limx - * a X — a

ismét feltéve, hogy a határérték létezik és véges.

A fenti két példán túl számos matematikai, fizikai és egyéb területről adódó probléma közös matematikai tartalma ugyanilyen formában fogalmazható meg. Ez a helyzet minden olyan esetben, amikor egy (nem feltétlenül a térben zajló) változás pillanatnyi sebességét kell meghatározni. Ha pl- egy test hőmérséklete a t pillanatban H{ t ) , akkor megkérdezhetjük, hogy milyen gyorsan változik ez a hőmérséklet egy íq pillanatban. A [ío, t] intervallumban a

z i ( f\_\változás átlagsebessége — ^ . N yilvánvaló, hogy a változás pillanat-

t - U)

A differenciálhatóság fogalma 221

nyi sebességén a

limH{t ) - H ( h )

t - U)

határértéket kell értenünk (feltéve, hogy létezik és véges).

Ezekre a gyakran előforduló hányadosokra a következő elnevezések használatosak. Ha az / függvény értelmezve van az a és 6 pontokban, akkor az

---------- hányadost az / függvény a és b helyekhez tartozó különbségib — a

hányadosának vagy latin szóval dlíFerenciahányadosának nevezzük. Világos, hogy az { f {b) — f {a) )/{b — a) differenciahányados megegyezik az (a ,/ (a )) és ( b, f {b) ) pontokon átmenő egyenes meredekségével.

Sok esetben a b — a = h jelöléssel az a és x = a + h helyekhez tartozó diíTerenciahányadost

f { a + h ) - f { a )

halakban írjuk.

10.1. D efin íc ió . Legyen / értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az / függvény az a pontban differenciálható, ha a

f i x ) - f i a )lim

X — a( 10 . 1 )

véges határérték létezik. A (10.1) határérték az / függvény a pontbeli differenciálhányadosa vagy deriváltja.

10.2. Jelö lés. Az a pontbeli differenciálhányadost leggyakrabban / '(a)-val jelöljük. Használatosak még az

dx

df{x)

dxy ' i a ) , dx

jelölések is (az utóbbi kettő az y ~ f { x ) jelölés esetén).

A fenti definíció birtokában azt mondhatjuk, hogy ha egy mozgó pont koordinátáját az s{t) függvény írja le, akkor a pont pillanatnyi sebessége a to időpontban s'(ío ). Hasonlóan, ha egy test hőmérséklete a t időpontban H{t ) , akkor a test hőmérséklet-változásának a sebessége a í(> időpontban H'{t[ ) ) . Az érintő fogalmát szintén érdemes az új fogalom segítségével megfogalmazni. Az / függvény a pontbeli érintőjén azt az egyenest értjük, amely átmegy az

222 10 . Differenciálszámítás

(a ,/ (a )) ponton és a meredeksége

lun = / '(«)■x -^a X - a

Mivel ennek az egyenesnek az egyenlete y = f \ a ) ■ (x — a) + / (a ), ezért a következő definíciót fogadjuk el.

10.3. D efin íc ió . Legyen / differenciálható az a pontban. A graph / függvénygrafikon (a ,/ (a )) pontbeli érin tőjén az y — f ' { a ) ■ { x — a) + f { a ) egyenletű egyenest értjük.

Az f ' { a ) differeciálhányados szemléletes jelentése tehát a graph / grafikon (a ,/ (a )) pontbeU érintőjének meredeksége.

10.4. P é ldák . 1. A konstans f { x ) — c függvény minden a helyen differenciálható, és a deriváltja nulla. Ugyanis

f i x ) - f i a ) ^ c - c ^ ^

X — a X — a

minden x ^ a-ra.

2. Az f { x ) = X függvény differenciálható minden a helyen, és f ' { a ) = 1. Ugyanis

f i x ) - f i a ) ^ x - a ^ ^

X — a X — aminden x 7 a-ra.

3. A z f i x ) = x^ függvény differenciálható minden a helyen és f ' i a ) = 2a. Ugyanis

f i x ) - f i a ) - a '

X — a X — a= :r + a,

és ezért

. ,. f i x ) - f i a ) „/ (a) = hm --------------- = 2a.

X — a

így az érintő definíciója szerint az y = egyenletű parabola (a, pontbeli érintője az

y = 2aix — a) + a = 2ax — a? egyenletű egyenes. Mivel ez átmegy az (a/2,0) ponton, ezért az érintőt úgy szerkeszthetjük meg, hogy az (a/2, 0) pontot

összekötjük az (a, a^) ponttal*.

* Tehát a kalkulus helyes eredményre vezetett; lásd a 12. oldalt.

A (iifferenciálhatóság fogalma 223

A differenciálhatóság erősebb megkötés, mint a folytonosság. Ezt mutatja az alábbi tétel és megjegyzés.

10.5. T é te l. Ha f difFerenciálható a-ban, akkor f folytonos a-ban.

B izony ítás. Ha / differenciálható a-ban, akkor

' f i x ) - f i alim (/ (x ) - f i a ) ) = lini

X — ai x - a ) = f ' { ( í ) -0 = 0.

Ez éppen azt jelenti, hogy / folytonos a-ban. □

10.6 . M e g jeg y zé s . A folytonosság a differenciálhatóságnak szükséges, de nem elégséges feltétele. Van olyan / függvény, amely egy a pontban folytonos, de ott nem differenciálható. Igen egyszerű példa erre az f i x ) = \x\ függvény a = 0-ban. Valóban,

X, ha a; > 0,—a:, ha x < 0,

tehát

így

f M =

/ W - / ( 0 )rr — 0

1, ha x > 0, —1, ha a: < 0.

,. f i x ) - f i O ) f i x ) - f i O ) hm --------------- = 1 es hm ------------— = - 1,

X - 0a:^(l+ü a; — 0 ezért / nem differenciálható 0-ban.

Ennél sokkal több is igaz. Van olyan függvény, amely mindenütt folytonos, de sehol sem differenciálható. Bebizonyítható, hogy az

f i x ) = lim n-^co

sin 2a: -f - sin 4x -I- . . . + ^ sin 2"a; 2 4 2'^

függvény ilyen tulajdonságú.

Létezik olyan függvény is, amely egy a pontban differenciálható, de semmilyen más helyen nem is folytonos. Például

f i x ) = —x~

a 0-ban differenciálható. Ugyanis

f i x ) - / (O )

a : - 0 X

ha X racionális, ha X irracionális

= |a;| -> 0, ha x —> 0,

224 10. Differenciálszámítás

tehát

/'(ü ) = limKJ

Ugyanakkor egyszerűen belátható - a 8.2. Példák 6. függvényéhez hasonlóan hogy az f { x ) függvény egyetlen x helyen sem folytonos.

Mint láttuk, az |a;| függvény nem differenciálható 0-ban, és ennek megfelelően a függvény grafikonjának nem létezik érintője 0-ban (a grafikon itt „megtörik” ). Ha azonban 0-nak csak a jobb oldali környezetét tekintjük, akkor itt a differenciahányadosok féloldali határértéke már létezik. Ennek megfelelően az \x\ függvény grafikonjának a (0,0) ponthoz tartozó „jobb oldah húrjainak” határegyenese létezik (és nem más mint &zy — x egyenes). Hasonló a helyzet a 0 pont bal oldali környezetében.

A fenti példa is illusztrálja, hogy célszerű bevezetni a difFerenciálhányados fogalmának féloldah variánsait.

10.7. D efin íc ió . Ha a

limf i x ) - f i a )

I ^ a - I - O X — a

véges határérték létezik, ezt az / függvény a-beli jobb oldali differenciálhányadosának (vagy deriváltjának) nevezzük. Analóg módon értelmezzük a bal oldali differenciálhányadost.

Az a pontbeli jobb oldali differenciálhányadost /^(a)-val, a bal oldah dif

ferenciálhányadost / i(a )-va l jelöljük.

10.8. M eg jeg y zé s . Nyilvánvaló, hogy / akkor és csak akkor differenciálható a-ban, ha / jobb és bal oldali differenciálhányadosa is létezik a-ban, és f'^{a) =

= f - { a ) . (Ekkor a közös érték f ' {a) . )

Mint láttuk, a folytonosság tulajdonságából nem következik a differenciálhatóság. Most megmutatjuk, hogy a konvexitásból - amely a folytonosságnál erősebb feltétel - a féloldali differenciálhatóság már levezethető.

10.9. T é te l. Ha. f konvex az (a, b) intervallumban, akkor f jobbró l is és balról is diíFerenciálható minden c e (a, b) pontban.

A differenciálhatóság fogalma 225

f { x ) — f { c )Bizonyítás. A 7.18. Tétel szerint az x i-> --------------- függvény monoton

X — cnövő az (a, b) \ {c} halmazon. Rögzítsünk egy d e (a, c) számot. Ekkor

f i d ) - f { c ) ^ f i x ) - f ( c )

d — c x — c

f { x ) — f ( c )minden x e (c, d)-re, tehát az --------------- függvény monoton növö és alulról

X — ckorlátos a (c, b) intervallumon. A 8.62. Tétel (ii) állítása szerint ebből következik, hogy a

f i x ) - f i c )hmX —>c+() X — c

határérték létezik és véges, ami éppen azt jelenti, hogy / jobbról differenciálható c-ben. Ugyanígy bizonyítható, hogy / balról is differenciálható c-ben. □

Lineáris polinom m al való közelítés. Gyakori jelenség, hogy valamely problémánál fellépő függvénnyel dolgozva egyszerűbb és áttekinthetőbb eredményhez juthatunk, ha a függvény helyett egy másik, az eredetit „jól közelítő” , de egyszerűbb típusú függvényt tekintünk. A z egyik legegyszerűbb függvény- típus a lineáris polinom {y = mx -h b). Megmutatjuk, hogy egy / függvény differenciálhatósága az a pontban éppen azt jelenti, hogy a függvény bizonyos értelemben „jól közelíthető” lineáris polinommal. Mint hamarosan látni fogjuk, az / függvényt az a pontban lokálisan legjobban közelítő lineáris polinom az 2/ = f \ a ) { x - a) -I- / (a ) függvény.

Ha / folytonos a-ban, akkor minden c-re

/(;r) — [c ■ (x — a) + f ( a ) ] 0, ha x a.

Tehát minden olyan £{x) lineáris polinom, amelyre í(a ) = / (a ), az / függvényt „elég jó l” közelíti abban az értelemben, hogy f { x ) - i { x ) ->■ 0, ha x a. Az f függvény a-beH differenciálhatósága az alábbi tétel szerint éppen azt jelenti, hogy a

t {x) = f ' {a ) ■ {x - a) + f { a ) (10.2)

függvény ennél lényegesen jobban közelít; az eltérés x a esetén nemcsak liogy 0-hoz tart, de {x — a)-nál gyorsabban tart 0-hoz.

10.10. Tétel. Az f függvény akkor és csak akkor differenciálható az a helyen, a-ban lokálisan „jó l megközelíthető” lineáris polinommal a következő érte

kemben: van olyan (x - tő l független) a szám, amellyel

f { x ) = a - (x - a ) + f { a ) + e(x) ■ ( x ~ a),

226 1 0 . Differenciálszámítás

aho] e(x) ^ 0, ha x a. A z a szám az f függvény a-beli differenciálhányadosa.

B izon y ítás . Tegyük fel először, hogy / clifFerenciálható a-ban, és legyen

X — a

Mivel

f ' { a ) = limX — a

ezért e{x) —> 0, ha x —>■ a. Tehát

f ( x ) = f i a ) + f ' ( a ) { x - a ) + e { x ) [ x - a),

ahol e[x ) 0, ha x ^ a.

Most tegyük fel, hogy

f [ x ) = a ■ (x - a) + f [ a ) + e{x ) {x — a),

ahol e{x) ->■ 0, ha a; a. Ebből

f i x ) - f i a )

X — a= a + e ix ) a, h& x a.

így / differenciálható a-ban, és / '(o ) = a. □

A következő tétel azt fejezi ki, hogy a /(x) = f ' i a ) • (x — a) + / (a ) a „legjobban” közelítő lineáris függvény.

10.11. T é te l. Ha az f függvény differenciálható a-ban, akkor minden c ^ esetén

f i x ) - [ r { a ) i x ~ a ) + f i a ) ] ^ ^

f { x ) - [c ix - a) + / (a )]

B izon y ítás . Ha a; -> a, akkor

f i x ) - [ r i a ) i x - g) + f i a ) ] ^ - f ' j a ) f i a ) - f (a)

f i x ) - [ c { x - a ) + f i a ) ] f {x) -Ha) ^ f ' i a ) - c= 0 . □

A 10.10. Tétel szükséges és elégséges feltételt ad arra, hogy / differenciálható legyen ü-ban. Ennek segítségével megadhatjuk a difíerenciálhatóság egy másik (10.1.-gyei ekvivalens) definícióját.

A difFerenclálhatóság fogalma 227

10.12. D efin íc ió . Az / függvény differenciálható a-ban, ha létezik olyanix -tő l független) a szám, amelyre teljesül, hogy

f i x ) = a ■ ix - a) -h f i a ) e i x ) { x - a),

ahol e(x') —»• 0, ha x ^ a.

Ezen ekvivalens definíció jelentősége többek között abban áll, hogy ha a differenciálhatóság értelmezését ki akarjuk terjeszteni más - nem feltétlenül valós változós vagy valós értékű - függvényekre, akkor a 10.1. Definícióval analóg értelmezésre nem mindig van lehetőség, míg a 10.12. Definíció általánosítása gyakran problémamentes.

D erivá ltfü ggvén y . Látni fogjuk, hogy a derivált a leghatékonyabb segédeszköz egy függvény tulajdonságainak vizsgálatára. Ez lokálisan és globálisan is igaz. Az f ' i a ) derivált létezése és értéke az / függvény a-beli (lokális) viselkedésére jellemző: f ' i a ) értékéből az / függvény a pont körüli viselkedésére vonhatimk le következtetéseket*.

Ha viszont / egy intervallum minden pontjában differenciálható, akkor az f ' i x ) értékekből az / függvény globális viselkedésére következtethetünk. Az alkalmazásokban legtöbbször éppen azok a függvények szerepelnek, amelyek valamely intervallumban differenciálhatóak. Ennek pontos értelmezése a következő.

10.13. D efin íc ió . Legyen a < b. Azt mondjuk, hogy / differenciálható {a,b)- ben, ha differenciálható (a, b) minden pontjában. Azt mondjuk, hogy / differenciálható [a,b]-ben, ha differenciálható (a, ö)-ben, továbbá a-ban jobbról, 6-ben balról differenciálható.

Általában célszerű a deriválást olyan operációként felfogni, amely függvényekhez rendel függvényeket.

10.14. D efin íc ió . Az / függvény deriváltfüggvényének nevezzük és f'-ve\ jelöljük azt a függvényt, amely értelmezve van mindazon x helyen, ahol / differenciálható, és ott az értéke f ' i x ) .

A differenciálszámításnak az a feladata, hogy a függvények és deriváltjaik közötti kapcsolatokat megállapítsa és alkalmazza. Az alkalmazásokhoz természetszerűleg el kell tudnunk dönteni, hogy a vizsgált függvények hol differenciálhatóak, és meg kell határoznunk a deriváltjaikat. Az utóbbi kérdéskörrel kezdjük, és csak utána térünk rá a függvények és a deriváltjaik tulajdonságainak kapcsolatára.

* Egy ilyen kapcsolatot már találtunk, amikor beláttuk, hogy a difFereiiciálhatóságból következik a folytonosság.

Feladatok

10.1. Hol differenciálható a ^{a:} — függvény?

10.2. Legyen f { x ) = x^, ha a; < 1, és f { x ) = ax + b, ha x > 1. Milyen a és b értékekre lesz / mindenütt differenciálható?

10.3. Legyen / (x ) = \x\°‘ ■ sin \xf , ha x 7 0, és legyen /(O) = 0. Milyen a-ra és ^-ra lesz / folytonos 0-ban? Mikor lesz / differenciálható 0-ban?

10.4. Bizonyítsuk be, hogy az x' függvény grafikonját akkor és csak akkor érinti az y = mx + h egyenes, ha pontosan egy közös pontjuk van.

10.5. Hol vízszintes a 2x^ — 3x^ -I- 8 függvény grafikonjának érintője?

10.6. Mikor érinti az + px + q grafikonja az x tengelyt?

10.7. Legyen / (2 “ " ) = 3“ “ minden n pozitív egészre, és legyen f { x ) = 0 egyébként. Hol differenciálható /?

10.8. Van-e olyan pont, ahol a Riemann-függvény differenciálható?

10.9. Van-e olyan pont, ahol a Riemann-függvény négyzete differenciálható? (Ö )

10.10. Milyen szögben metszi az x^ függvény grafikonja az y = 2a; egyenest? (Azaz mekkora a közös pontokban az érintő és az egyenes szöge?)

10.11. Bizonyítsuk be, hogy az f { x ) = -Jx függvény minden a > 0 pontban differenciálható, és f ' {a ) = 1/(2^/^).

10.12. Bizonyítsuk be, hogy az 1/x függvény minden a > 0 pontban differenciálható, és számítsuk ki a deriváltját. Mutassuk meg, hogy az 1/x függvény bármely érintője és a tengelyek olyan háromszöget határolnak, amelynek a területe nem függ az érintési ponttól.

10.13. Bizonyítsuk be, hogy ha / differenciálható 0-ban, akkor az /(|x|) függvény akkor és csak akkor differenciálható 0-ban, ha f \ 0) = 0.

10.14. Bizonyítsuk be, hogy ha / differenciálható a-ban, akkor

f ( a + h ) - f { a - li )lim

2h= f i a ) .

Mutassuk meg, hogy az állítás nem megfordítható.

Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai 229

10.15. Tegyük fel, hogy / mindenütt differenciálható (—00, oo)-ben. Bizonyítsuk be, hogy ha / páros (páratlan), akkor f ' páratlan (páros).

10.16. LegyenK = [ f : f korlátos [a, 6]-ben}, F = { f : f folytonos [a, 6]-ben},

M = [ f : f monoton [a, 6]-ben}, X = { f : f konvex [a, &]-ben},

D = [ f : f differenciálható [a, 6]-ben}, I = {/: /-nek van inverze [a,6]-ben}.

Tartalmazás szempontjából a K , F, M , X , D és I halmazok milyen relációban állnak egymással?

Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai

Egyes elemi függvények differenciálhatóságát le tudjuk vezetni a már megállapított tulajdonságaikból. Ilyenek például a pohnomok, a trigonometrikvis és a logaritmusfüggvények. Másrészt könnyen látható, hogy az összes elemi függvényt megkaphatjuk a polinomokból, a trigonometrikus és a logaritmusfüggvényekből a négy alapművelet, az inverzfüggvény-képzés és kompozíció mííveleteinek felhasználásával. Ezért a többi elemi függvény differenciálhatóságának eldöntéséhez szükségünk van olyan tételekre, amelyek segítségével bizonyos függvények differenciálhatóságából és differenciálhányadosának ismeretéből következtetni tudunk további, ezek segítségével értelmezett függvények differenciálhatóságára és differenciálhányadosára. Ezek az ún. d ifferenciá lási szabályok. Az alábbiakban meghatározzuk az egész kitevőjű hatványfüggvények, a trigonometrikus és a logaritmusfüggvények deriváltját, levezetjük a differenciálási szabályokat, majd mindezen információk birtokában kiszámítjuk a többi elemi függvény differenciálhányadosát is.

10.15. T é te l. Tetszőleges n poz itív egészre az függvény mindenütt diífe- renciálható ( —00, oo)-ben, és ( x " ) ' = n ■ X’" " ' minden x-re.

Bizonyítás. Minden a-ra

lim ~ = hm -f x ” -2 - a + . . . + x - a” ” ' +

az függvények folytonossága alapján. □

230 10. Dlíferenciálszámítás

10.16. T é te l, (i) A sina; és cosrr függvények mindenütt differenciálhatóak ( - 00, oo)-ben, továbbá

(sin .t ) = cos a; és (cos.x)^ = — sino;

minden x-re.7T

(ii) A tg x függvény minden x ^ + kn (k e Z ) pontban differenciálható,

és o tt{ t g x ) ' =

CO S^ X

( i i i ) A c t gx függvény minden x ^ kn (k e Z ) pontban differenciálható,és ott I

(c tg x )' ^Slll^ x

B izony ítás, (i) Tetszőleges a e E-re és x a-ra

sin a; — sin a 2 sin • cos sin - -■ cos

X + a

x — a X — a 2

sin íx — a) l 2(9.37) második azonossága alapján. Mivel lini — ----- -— = 1 és

(x — a)/2cos (a; + a)/2 = cosa a (9.45) összefüggés, a cos függvény folytonossága

és az összetett függvény határértékére vonatkozó tétel szerint, ezért

sin X — sin alim --------------- = cos a.

X — a

Hasonlóan, tetszőleges a € M-re és x ^ a-ra

.r—a x+ aCOS X — COS3 a _ 2 S i n ■ s i n ~ sism X + asni

X — a X — a 2

(9.37) negyedik azonossága alapján. Ebből (9.45) felhasználásával és a sin függvény folytonossága alapján azt kapjuk, hogy

cos X — cos alim ---------------- = — sin a.

X — a

(ii) Tetszőleges a ^ (tt/2) + kn-ve és a; ^ o-ra

tg a; — tg o ^ sin x sin o \ 1 sin x cos a

x ~ a \cosx cosa/ x — a sin(x — a) 1

x — a cos X cos a ’

— sni a cos x

c o s X c o s a x — a


a m i b ő l (9.45) felhasználásával és a cos függvény folytonossága alapján azt kapjuk, hogy

tg a ; - t g a 1h m -------------------------- = --------r — .

X — a c o s - a

(iii) Tetszőleges a ^ k-K-ve és x ^ a- ra

ctg X — ctg a / cos X cos a \ 1 cos x sin a — cos a sin x 1

x — a V s i n X s m a / x — as i n ( x — a ) 1

sin X sm a x — a

x — a sm X sm a

amibőlctg a ;- c tg a 1

hm ---------------- = — . □x — a sin’ a

10.17. T é te l. Ha a > 0 és a 1, akkor a log^ a; függvény minden x > 0 pontban differenciálható, és

(loga-'í^)'= r — • ( 1 0 - 3 )l óg a X

B izonyítás. A 9.11. Következmény szerint

lim (1 + - ) =h^ü \ X ]

minden x > O-ra. így

lo g „ ( i + /i.) - logn-i: . .l i m

h= lim log„ ( l + - ) = log„e^/^ =

h^i) V x j

= - ■ log„e = ----------- . □X lóg a X

Nyilvánvaló, hogy ha a > 0 és a 1, akkor a log„ \x\ függvény differenciálható az M \ (0} halmazon, és (log^j |a;|)' = l/(a; ■ lóg a) minden x ^ O-ra.

Most rátérünk a differenciá lási szabályok ismertetésére. Mint látni fogjuk, ezek jó része a differenciálhányados értelmezésének és a határértékre vonatkozó tételeknek egyszerű következménye.

10.18. T é te l. Ha az f és g függvények differenciálhatók a-ban, akkor c f (c € R ), f + g, f ■ g is differenciálható a-ban, és

(i) { c fY ia ) = c f ' i a ) ,

(ii) { f + gYia) = f ' { a ) + g' {a),

(iii) i f g Y i a ) = f ' { a ) g{a ) + f {a) g\a) .

Ha g{a) ^ 0, akkor \ Jg és f /g is differenciálható a-han, és

■ I V . . g\a)iv) ( - ) (a ) = ----

\9/ r ( a )

. . í f W . r ( a ) g i a ) - f { a ) g ' { a )

( p ) ^

B izonyítás. A bizonyítások közös ötlete, hogy az egyes függvények clifferen-f ( x ) — f ( a ) g l x ) —g{a)

ciahányadosait az ^ és --------------- diiíerencianányadosok segítsé-X — a X — a

gével fejezzük ki.

(i) Az F = c f függvény differenciahányadosa

F { x ) - F { a ) c f { x ) - c f { a ) f { x ) - f { a )= c •

X — a

x — a X - a X — a

(ii) Az F — f + g függvény diíferenciahányadosa

F { x ) - F { a ) ^ ( f ( x ) + g { x ) ) - i f { a ) + g{a) ) ^ ^ g{x) - g{a)

X — a x — a X — a

EzértF { x ) ~ F { a ) ^

i s i ---------------- = / (a) + 9 [a)-x — a

(iii) Az F = f ■ g függvény differenciahányadosa

F [ x ) - F { a ) f { x ) - g { x ) - f { a ] - g { a )

X — a X — a f { x ) - f i a

g{x) + / (o )g{x) - g{a)

x — a x — a

Mivel g [ x ) differenciálható a-ban, ezért itt folytonos (10.5. Tétel), és így

, F { x ) - F ( a ) , f ( x ) - f ( a ) , , , , , , , g{x) - cj{a) Inn ------------------ = lim ------------------ - lim g( x ) + f { a ) ■ Inn ‘ *"

x - * a x — a x - i - a x — a

= f ' {a ) g ia ) + f {a)g' ia) .

x — a


Ha g{a) 7 0, akkor g folytonosságából következik, hogy g{x) ^ 0 az a pont

egy környezetében, vagyis itt az —— és ^ függvények értelmezve vannak9 ( x) g ( x )

(iv ) Az F = - függvény differenciahányadosa9

F { x ) - F { a ) _ ^ ^ _ g { a ) - g j x ) 1 _

x — a X — a g{a)g (x ) x — a

1 9 {x) - gja) , 1g{x)g{a) x - a

f ...(v ) Az F = — függvény differenciahányadosa9

F [ x ) - F { a ) 1 f { x ) g { a ) - f { a ) g { x )X — ax - a x - a g{a)g{x)

1 í f { ^ ) - f { a ) , , g { x ) - g { a )= / -----------------9 W ---------------------/ (^ ) >gix jg ia) \ x — a x - a )

amibőlF { x ) - F ( a ) f ' {a)g{a) - f {a)g ' {a)

hm -----------------= ------------- 5— ----------- . □ .x - a g '(o -)

10.19. M eg jeg y zé sek . 1. A tétel állításai igazak jobb, illetve bal oldah deriváltakra is.

2. Legyen I egy intervallum, és tegyük fel, hogy az /; / —> ÍR és .<7: / ^ K függvények differenciálhatóak /-ben a 10.13. Definíció értelmében. A fenti tételből következik, hogy ekkor c f, f + g és f ■ g is differenciálhatóak /-ben, és fennállnak a

{cfY = c f , U + gY = f' + g', ifgY = f'g + fg'egyenlőségek. Ha pedig g 0 /-ben, akkor l/g és f/ g is differenciálhatóak /-ben, és

í f \ ' fg - fg '( í ) ' = -?• ( 0 =<g/ 5 “

Hangsúlyozzuk, hogy itt függvények , nem pedig számok egyenlőségét állítjuk.

3. A fenti tételből indukcióval egyszerűen bizonyíthatóak az alábbi állítások.


Ha az f i , f n függvények differenciálhatóak a-ban, akkor

(i) f\ + ■ ■ ■ + ín is differenciálható a-ban és

(/i + • • • + fnYio,) = f [ {a) + . . . + fn(a) ,

valamint

(ii) /i ■ • • ■ ■ fn is differenciálható a-ban és

(/l • . • . ■ f n ) ’ [a) = [ f [ • /2 ■••/„ + /l • / ^ /3 •••/« + .-■ + /l • /n-1 • /,;] (a).

4. A fenti (ii) állításból következik, hogy lia / i(a ) • ... ■ /n(a) 7 0, akkor

' ( A f i

Ha tehát f i , . , fn az I intervallumon értelmezett, sehol sem nulla és 7-ben differenciálható függvények, akkor

(/i • • • • • / » / f ' i K

f l - . . . - f n f i ■■■ f n(1Ü.4)

A következő' tétel neve láncszabály.

10.20. T é te l. Ha a g függvény differenciálható a-ban és az f függvény differenciálható g{a)-ban, akkor a h = f og függvény is differenciálható a-ban, és

h '{a) = f ' { g{a) ) -g' ia) .

Az y — g{x) és z = f { y ) jelöléssel a tétel állítása a könnyen megjegyezhető

dz _ dz dy

dx dy dx

alakban írható. Ez a formula a „láiicszabály” elnevezés forrása is.

B izony ítás. A feltételekből következik, hogy a h függvény értelmezve van az a pont egy környezetében. Valóban, / értelmezve van a g{a) pont egy V környezetében. Mivel g differenciálható a-ban, ezért folytonos is a-ban, tehát létezik a-nak egy U környezete úgy, hogy g{x) e V minden x e U-va. így h értelmezve van f/-ban. Ezen előkészítés után a tételre két bizonyítást adunk.

I. Az előző tétel bizonyításának módszerét követve, fejezzük ki a h függvény differenciahányadosát az / és ^ függvények diff'erenciahányadosai segítségével!


Tegyük fel először, hogy g{x) g{a) az a pont egy környezetében. Ekkor

h{x) - hja) _ f j g j x ) ) - f j g j a ) ) ^ f j g j x ) ) - f { g {a ) ) g{x ) - g{a)

X — a X — a g ( x ) — g{a) x — a

Mivel g folytonos a-ban, ezért x a esetén g{x) -> g{a). így az összetett függvény határértékére vonatkozó tétel szerint

h { x ) - h { a ) f { t ) - f i g i a ) ) ,. g{x) ~ g{a)hm --------------- = hm ---- ------ — ------lm ----------------- = / {g{a) ) ■ g '{a ).

x — a t^g(a) t — g{a) x — a

A fenti speciális eset bizonyítása két helyen is felhasználta, hogy g{x) ^ g{a) az a pont egy környezetében. Először, amikor g{x) — (a)-val osztottunk, másodszor pedig akkor, amikor az összetett függvény határértékére vonatkozó 8.39. Tételt alkalmaztuk. Ennek ugyanis feltétele, hogy a belső függvény ne vegye fel a határértékét a hely egy pontozott környezetében, hacsak a külső függvény nem folytonos. Ez azonban a mi esetünkben nem áll, mert a külső függvény az ( f i t ) — f i g { c i ) ) ) / i t — g{a) ) differenciahányados, ami nincs is értelmezve g(a)-ban.

Éppen ez a körülmény ad ötletet a tétel bizonyítására az általános esetben. Értelmezzük az F { t ) függvényt a következőképpen: legyen

t [ t ) — ,t - g { a )

hsL t e V és t ^ g{a) , és legyen F ( t ) = f ' { g{a) ) , ha í e és í = g{a). Ekkor F folytonos g(a)-ban, tehát a 8.39. Tétel szerint \m i^F{g{x)) = f ' ( g {a ) ) . A

bizonyítás befejezéséhez elég belátni, hogy

h { x ) - h { a ) g [ x ) - g { a )( 10 .6 )

X — a x — a

minden x e í/-ra. Két esetet különböztetünk meg. Ha g{x) ^ g{a), akkor(10.6) nyilvánvaló (10.5)-ből. Ha viszont g{x) = g{a), akkor h{x) = f { g { x ) ) = ~ f {g(o, ) ) = tehát (10.6) mindkét oldala nulla. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

I I . Ez a bizonyítás a differenciálhatóságnak a 10.12.-ben megadott definícióján alapul. Eszerint az / függvény í?(a)-beli differenciálhatósága azt jelenti, hogy

f { t ) - f i g { a ) ) = f ' {g{ ( i ) ) { t - g{a) ) + £\(t){t - g{a) ) (10.7)

minden t e V-re, ahol ei { t ) 0, ha t -> g{a). Ugyanígy, a g függvény a-beli differenciálhatóságából következik, hogy

g{x) - g{a) = g' {a) {x - a) -f £2{x) {x - a) (10.8)

minden x e C/-ra, ahol e2{x) 0, ha x ^ a. Ha (10.7)-be t = g{x )-e t helyettesítünk, majd ( 10.8)-at alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

h{x) - h{a) = f ( g { x ) ) - f { g {a ) ) =

= í ' {9{a ) ) Í9 {x ) - g{a) ) + ei { g{x ) ) { g {x ) - g{a) ) =

= .f '{9 {a) )g ' ia) {x - a) + e ( x ) { x - a),

ahol

£(x) = f ' { g {a ) ) e 2{x) + £i {g{x) ) {g' {a) + £2(2:)).

Mivel X —>• a esetén g ( x ) —> g(a) , ezért eiíffía;)) ^ 0, ha a: - » a (hiszen ei (g{a) ) = 0 alapján ei folytonos (/(a)-ban). Ebből, továbbá £2{x) 0-ból következik, hogy e{x) —> 0, ha x —> a. Ez pedig a 10.12. Definíció szerint éppen azt jelenti, hogy a h függvény differenciálható a-ban és h'{a) = f ' {g{a) )g ' {a) . □

A következő tétel az inverz függvény differenciálási szabályát adja meg.

10.21. T é te l. Legyen f szigorúan monoton és folytonos az {a,b) intervallumban, és legyen differenciálható a c e {a, b) pontban. Ha f ' { c ) 0, akkor f inverz függvénye, differenciálható f { c ) -ben és

B izonyítás. Jelöljük / inverz függvényét 93-vel. Ekkor (p a J — f { {a, b)) intervallumon van értelmezve. Az inverz függvény definíciója szerint <p{f{c)) = c és f { íp(y) ) = V minden y e J-re. Jelöljük F(rc)-szel az f i x ) - f ( c )

differenciahányadost. HaX — c

akkor

y (y ) - V^(/(c))

y - f { c )

ip{y) - c

F { ^ { y ) y(10.9)

Mivel ip szigorúan monoton, ezért y ^ f { c ) esetén ip{y) ^ c. így alkalmazhatjuk az összetett függvény határértékére vonatkozó 8.39. Tételt. A zt kapjuk, hogy

1- <piy) - 1 _ 1^ (/ (c )) = hm ---------- -— ----- = hm

y - * f { c ) y - f [ c ) y ^ c F { y ) f ' { c )□


10.22. M eg jegy zések . 1. A tétel állítása a következő geometriai okoskodással illusztrálható. Az / és függvények grafikonjai egymásnak az y = x egyenesre vonatkozó tükörképei. A graph/ grafikon (c ,/ (c )) pontbeli érintőjének tükörképe a tükrözéssel adódó graph/""' grafikon (/ (c ),c ) pontbeli érintője. Ezek meredekségei egymás reciprokai, vagyis (/~^)^(/(c)) = l//^(c).

2. Legyen / szigorúan monoton és folytonos az (a, b) intervallumban, és tegyük fel, hogy / mindenütt differenciálható (a, í))-ben. Ha f ' sehol sem nulla, akkor a fenti tétel szerint / “ ' mindenütt differenciálható a J = f { {a,b) ) intervahumban, és ( f ~ ^ ) ' { f ( x ) ) = l l f ' { x ) minden x G (a, ö)-re. Ha y e J, akkor f ~ \ y ) e f és f { f ~ \ y ) ) = y. Ebből azt kapjuk, hogy (/ ~ ') '(y ) = = f ' ( f ~ \ y ) ) - Mivel ez minden y e J-re igaz, ezért

(10.10)

3. Ha f ' { c ) = 0 (vagyis ha a graph / grafikon érintője az { c , f ( c ) ) pontban párhuzamos az x tengellyel), akkor (10.9)-ból könnyen látható, hogy a

differenciahányadosnak nem létezik a véges határértéke /(c)-y - /(c)

ben. Valóban, ekkor az F { x ) = { f { x ) — f { c ) ) / { x — c) differenciahányadoshatárértéke a c pontban nulla, tehát lim F{ip{y) ) = 0. Ha azonban / szigo-

y -^ f ( c )

rúan monoton növő, akkor az F{ x ) differenciahányados-függvény mindenüttpozitív, és így lim 1/F(íp{y) ) = 00 (lásd a 8.38. Megjegyzést). Ekkor tehát

y -^ f { c )

¥’(y) - <PÍfic)) _hin ---------- ---------= oc,y^f i c) y - / ( c )

és ugyanígy adódik, hogy ha / szigorúan monoton csökkenő, akkor a fenti limesz értéke - 00. (Ez megfelel annak a ténynek, hogy ebben az esetben a g rap h gra fik on érintője az (/ (c ),c ) pontban párhuzamos az y tengellyel.) A fenti megfigyelés motiválja a derivált definíciójának következő kiterjesztését.

10.23. D efin íc ió . Legyen / értelmezve az a pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az / függvénynek az a pontban a differenciálhányadosa (vagy a deriváltja) végtelen, ha

1™ = 00,x ~ a

és ezt úgy jelöljük, hogy f ' {a ) = 00. Hasonlóan értelmezzük azt, hogy f ' {a) = —00.


10.24. M e g jeg y zé s . A 10.1. és 10.23. Definíciók közösen úgy fogalmazhatók meg, hogy ha a (10.1) határérték létezik és az értéke j3 (ami lehet véges vagy végtelen), akkor azt mondjuk, hogy /-nek létezik a diíTerenciálhánya- dosa (vagy a deriváltja) az a pontban, és az f ' { a ) — j3 jelölést alkalmazzuk. Hangsi'ilyozzuk azonban, hogy a „differenciálható” jelzőt fenntartjuk arra az esetre, amikor a derivált véges. Tehát egy / függvény akkor és csak akkor differenciálható a-ban, ha ott létezik a véges deriváltja.

A féloldali deriváltak fogalmát (10.7. Definició) szintén kiterjesztjük arra az esetre, amikor a differenciahányadosok féloldali határértéke végtelen. Ezekre az /+(a) = oo, / i (a ) = oo, /+(a) = -o o , f _ {a ) = - o o jelöléseket használjuk; ezek jelentése értelemszerií.

A fenti fogalmak segítségével a 10.21. Tételt a következőképpen egészíthetjük ki.

10.25. T é te l. Legyen f szigorúan monoton és folytonos az (a,b) interval

lumban. Ha f ' { c ) = 0, akkor f~^-nek létezik a deriváltja f {c ) -ben, mégpedig

( / ■ * ) ' (/ W ) = oo, ha f szigorúan monoton növő, illetve (/ * ) (/ (c )) = —oo,

lm f szigorúan monoton csökkenő. □

Most térjünk vissza az elemi függvényekhez! A differenciálási szabályok segítségével immár az összes elemi függvény deriváltját meghatározhatjuk.

10.26. T é te l. Ha a > 0, akkor az függvény mindenütt differenciálható, és

( 10.11){a^y = loga •

minden x-re.

B izonyítás. Az állítás a — 1-re nyilvánvaló, ezért feltehetjük, hogy o ^ 1- Mivel (log^a;)^ = l/{x ■ lóg a), ezért az inverzfüggvény deriválási szabályából

(a^) = a® • lóg a. □

Megjegyezzük, hogy az a* függvények differenciálhatósága a 10.9. Tételből is könnyen levezethető.

A 10.17. és a 10.26. Tételeket a = e-re alkalmazva a következőt kapjuk.

10.27. T é te l, (i) Minden x-re

( e - ) ' = (10.12)


(ii) Minden x > 0-ra

(10.13)

Az (i) álhtás úgy is fogalmazható, hogy az függvény deriváltfüggvénye önmaga. Tulajdonképpen ez az összefüggés indokolja, hogy az e számot tekintjük az analízis (és általában a matematika) egyik legfontosabb konstansának*. A (10.13) egyenlőség szerint a logaritmusfüggvények közül az e alapú logaritmusnak a legegyszeriíbb a deriváltja. Éppen ezért emeltük ki az e alapú logaritmust a többiek közül (lásd a 9.17. Megjegyzést).

Az exponenciális és logaritmusfüggvény differenciálhányadosaiból egyszerűen meghatározhatjuk a hatványfüggvények differenciálhányadosát.

10.28. T é te l. Tetszőleges b G ®-re az x^ függvény minden x > 0 pontban differenciálható, és

(x'^y = b-x'^-K (10.14)

B izony ítás. Mivel x^ = minden x > 0-ra, így alkalmazhatjuk az összetett függvény differenciálhatóságára vonatkozó 10.20. Tételt. □

A trigonometrikus függvények inverzeinek deriváltjai egyszerűen adódnak az inverz függvény deriválási szabályából.

10.29. T é te l.

(i) Az arcsinx függvény differenciálható a (—1,1) intervallumban, és

(arcsina;)' =V 'l - x

minden x e ( - l , l ) - r e .

(ii) A z arccosx függvény differenciálható a ( — 1,1) intervallumban, és

(arccosxy = ---- - (10.16)

(10.15)

V I - X-

minden x e ( -1 , l)-re.

* A másik ilyen centrális konstans a tt. E két konstans között az e'"' = —1 összefüggés áll fenn, amely a (9.64) azonosság speciális esete.


(iii) A z arctga; függvény mindenütt differenciálható, és

11 + x'

minden x-re.

(iv ) A z arcctga; függvény mindenütt differenciálható, és

1

(10.17)

(a i'cctgx)' = —\ + x^

(10.18)

minden x-re.

7T 7T

2 ’ 2B izony ítás . A sin 2: függvény szigorúan nő és deriválható

( 7T 7 T \

——, — 1,

X e ( — 1, 1) esetén

. w 1 1 1

-ben,és a

ezért a 10.21. Tétel szerint

arcsina: =cos(arcsina:) _ sin^(arcsin^) V l - x'2 ’

amivel (i)-et beláttuk. A (ii) állítás egyszerűen adódik (i)-ből és a (9.50) összefüggésből. '

A tg X függvény szigorúan nő a ^ j intervallumban, és itt a deriváltja

cos'- X

(arctga;)' — cos^( arctga;).

Azonban

tehát

cos^ X =1

cos (arctga;) =

1 -f tg2 a: ’

1

1 -|- a; ’amivel beláttuk (iii)-at. A (iv ) állítás nyilvánvaló (iii)-ból és (9.52)-ből. □

A hiperbolikus függvények definíciójából és a ( 10.12) összefüggésből adódnak a következő tétel állításai, melyek ismét megerősítik a trigonometrikus függvényekkel való analógiát.


10.30. T é te l, (i) A z sha; és eh a: függvények mindenütt differenciálhatóak (—00, oo)-ben, továbbá

(sh a :)'= eh a: és (cha-)^ = sha;

minden x-re.

(ii) A tha; függvény mindenütt differenciálható ( —00, oo)-ben, továbbá

{ thxY =ch“ X

minden x-re.

(iii) A etil a; függvény minden a; ^ 0 pontban differenciálható, és ott

(ctha:)' = — 4 — - □ sir x

Végül tekintsük a hiperbolikus függvények inverzeit.

függvény m

(arsh a:)' =

10.31. T é te l, (i) A z arshx függvény mindenütt differenciálható, és

1

V x ‘ -H 1

minden x-re.

(ii) A z archa; függvény differenciálható az ( l ,o o ) félegyenesen, és

1

(10.19)

(archi;)' = ■■ - Va;^ — 1

(10.20)

minden x > 1-re.

(iii) A z artha; függvény mindenütt differenciálható (—1, l)-ben, és

1(artha;)'

1 -

( 10.21)

minden x e ( - 1, l)-re.

B izony ítás, (i) Mivel az sha; függvény szigorúan nő 1-en és itt a deriváltja eh a; 0, ezért az arsh.T függvény mindenütt differenciálható. A deriváltját akár a 10.21. Tételből, akár a (9.59) összefüggésből kiszámíthatjuk.

(ii) Mivel a eh a; függvény szigorúan nő (0, oo)-ben, és itt a deriváltja sha; 7 0, ezért az archa; függvény mindenütt differenciálható az ( l ,o o ) félegyenesen. A (10.20) egyenlőség, valamint a (iii) állítás bizonyítását az olvasóra bízzuk. □

Figyelemre méltó tény, hogy a lóg re, arctg.-);, arthrc fűggvén5 ek deriváltjai racionális függvények, az arcsiiia;, arccosa;, arsha;, archa; függvények deriváltjai pedig algebrai függvények. (A z algebrai függvény definícióját lásd a9.43. feladatban.)

Feladatok

10.17. Tegyük fel, hogy f + g differenciálható a-ban és g nem differenciálható a-ban. Lehet-e / differenciálható a-ban?

10.18. Legyen f { x ) = a;^-sin(l/a:), /(O) = 0. Bizonyítsuk be, hogy / mindenütt differenciálható. (M )

10.19. Bizonyítsuk be, hogy ha 0 < c < 1, akkor jobb oldali deriváltja 0-ban végtelen.

10.20. Bizonyítsuk be, hogy ha n páratlan pozitív egész, akkor ’i/x deriváltja 0-ban végtelen.

10.21. A ^s in x függvény grafikonjának hol függőleges az érintője?

10.22. Bizonyítsuk be, hogy a ^Aa(a - x ) és y/ib{b + a;) függvények grafikonjai

merőlegesen metszik egymást, azaz a metszéspontban az érintők merőlegesek egymásra. (M )

10.23. Bizonyítsuk be, hogy az ~ — a és xy = b görbék merőlegesen

metszik egymást. Azaz, a — a és b/x függvények grafikonjai merőlegesen metszik egymást.

10.24. Milyen szögben metszi egymást a 2* és a (tt — e)^ függvény grafikonja? (M )

10.25. Adjunk zárt képletet x + 2x^ + .. . + nx'^-xe. (Ötlet: deriváljuk az1 + X -t-... 4- a;" függvényt.) Számítsuk ki ennek alapján az

1 2 3 n 1 2 3 n5 + J + 5 + - + 5T 3 + 9 + +2 4

Összegeket!

10.26. Legyen f { x ) = a;-(a;-t-l)-.. . -(a;+100), és legyen ,9 = f o f o f . Számítsuk ki ^ '(0 ) értékét.


10.27. Bizonyítsuk be, hogy az függvény minden a; > 0 pontban difl'erenci- álhatő, és számítsuk ki a deriváltját.

10.28. Az x^ függvény szigorúan monoton [1, oo)-ben. Mennyi az inverzének a deriváltja a 27 pontban?

10.29. Az +x'^ függvény szigorúan monoton [0, oo)-ben. Mennyi az inverzének a deriváltja a 2 pontban?

10.30. Bizonyítsuk be, hogy az a; -f sin x függvény szigorúan monoton növő. Mennyi az inverzének a deriváltja az 1 + (7t/2) pontban?

10.31. Legyen f { x ) = log^ 3 (a; > 0, x ^ 1). Számítsuk ki / és / “ ' deriváltját!

10.32. Alkalmazzuk a differenciálszámítást határértékek kiszámítására. A módszer abban áll, hogy a vizsgált függvényt clifFerenciahányadossá alakítjuk, és annak a határértékét deriválással határozzuk meg. Például

lim [x +

helyett a logaritmusát véve a

lóg (a; -I- e^)

hányadost kapjuk, ami a számlálónak a 0 ponthoz tartozó differenciahányadosa. A tört limesze tehát a számláló deriváltja a 0-ban. Ha ez a Hmesz A, akkor az eredeti limesz e"''. Fejezzük be a számolást!

Alkalmazzuk a fenti módszert, illetve variánsait az alábbi limeszek meg- hatarozására;

1 / • /e^ + 1''(a) hm (cosx )V s inx^ (^)X-^{)

sh' X(c) lim ,

lóg cos 3a;

(e) lim ( x ' / ' - l )1 ^ 0 0 V /

(d) lim (2 -x )l/cos(7 r/ (2x ))^

lóg a;

10.33. Bizonyítsuk be a fenti módszerrel, hogy ha a i , . . . , a„ > 0, akkor

^ = 'V « l ön.limx->() n

10.34. Jelölje Tn az n-edik Csebisev-polinomot (1. a 9.30. feladatot). Bizonyít

suk be, hogy ha T „ (a ) = 0, akkor |T,'(a)| =11

10.35. Legyen / konvex a nyílt I intervallumban.

(a) Bizonyítsuk be, hogy az f'^ {x ) függvény monoton nő /-ben.

(b) Bizonyítsuk be, hogy ha az függvény egy xq pontban folytonos, akkor / differenciálható xo-ban.

(c) Bizonyítsuk be, hogy az {x e / : / nem differenciálható x-ben) halmaz megszámlálható.

Magasabb rendű differenciálhányadosok

10.32. D efin íc ió . Legyen az / függvény differenciálható az a pont egy környezetében. Ha az f ' deriváltfüggvénynek létezik a deriváltja a-ban, akkor f ' a-beli deriváltját az / függvény a-beli második differenciálhányadosának (vagy második deriváltjának) nevezzük. Jelölése: f " [ a ) . Tehát

- / '( « )x - i-a X — a

Ha f ” {a) létezik és véges, akkor azt mondjuk, hogy / kétszer differenciálható

a-ban. Az / függvény második deriváltfüggvényének nevezzük és /"-vei jelöljük azt a függvényt, amely azokban az x pontokban van értelmezve, ahol / kétszer differenciálható, és ott az értéke f " { x ) .

Hasonlóan értelmezhető indukcióval a A;-adik differenciálhányados:

10.33. D efin íc ió . Legyen az / függvény k — 1-szer differenciálható az a pont

egy környezetében. Jelöljük az / függvény A: — 1-edik deriváltfüggvényét

gyei. Az függvény a-beli differenciálhányadosát - amennyiben létezik -az / függvény a-beli k-adik (vagy k-adrendű) differenciálhányadosának nevezzük. Ha ez véges, akkor f -e t o-ban k-szor differenciálhatónak nevezzük. A

fc-adik deriváltfüggvényt /*^'-val jelöljük; ez azokban a pontokban van értelmezve, ahol / A:-szor differenciálható.

Az a-beh A:-adik differenciálhányadost a

d>'-f d^-f(x)

dx^ dx^ dx^

IVlagasabb rendű differenciálhányadosok 245

szimbólumokkal is jelölhetjük. Az egységes jelölés kedvéért használni fogjuk az

jelöléseket is.

Ha minden k e N“''-ra létezik a-ban, akkor azt mondjuk, hogy / akárhányszor differenciálható a-ban.

Könnyen látható, hogy ha p egy n-edfokú polinom, akkor a fc-adik deriváltja egy n — fc-adfokú polinom minden k < n-re, és így az n + 1-edik deriváltja azonosan nulla. Ebből következik, hogy minden polinom akárhányszor differenciálható. A magasabb rendű deriváltak segítségével könnyen meghatározhatjuk egy polinom gyökének a multiplicitását.

10.34. T é te l. Az a szám a p polinomnak akkor és csak akkor k-szoros gyöke, ha

p{a) = p{ a ) = ... = p^^~^\a) = 0 és p^^\a) ^ 0. ( 10.22)

B izonyítás. Nyilván elég belátni, hogy ha az a szám A:-szoros gyök, akkor( 10.22) igaz (hiszen a ( 10.22) áUítások különböző k-kva. kizárják egymást). Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha k = 1, akkor p{x) = {x — a) ■ q{x) , ahol q{a) ^ 0. Ekkor p [ x) = q{x) {x — a) ■ q { x ) , amiből p {a) — q{a) 7 0, tehát( 10.22) teljesül k = 1-re.

Legyen k > l , és tegyük fel, hogy az állítás k — 1-re igaz. Mivel p{x) =

= (a: — a)^ ■ q{x) , ahol q{a) ^ 0, ezért

p' ( x ) = k ■ {x — a)^~^ • q{x) + (x - a)^ • q' (x) = (x - a)^~^ ■ r{x) ,

ahol r (o ) 7 0. így az a szám a p' polinomnak k — 1-szeres gyöke, tehát az indukciós feltevés szerint

p { a ) = p "{a ) = . . . = = 0 és p^*'*(a) 7 0.

Mivel p{a) = 0 is igaz, ezzel ( 10.22)-et beláttuk. □

A differenciálási szabályok némelyike magasabb rendű deriváltakra is átvihető. Ezek közül az összegre és a szorzatra vonatkozót adjuk meg. Az utóbbinak a megfogalmazásához szükségünk van az ún. b inom iális együ tth a tókra.

10.35. D efin íc ió . Ha 0 < k < n egészek, akkor az

jelöljük, ahol a 0! számot 1-nek értelmezzük.

n! (n\

A definícióból világos, hogy

ellenőrizni, hogy

M _ (n

[ n )= 1 minden n-re. Azt is könnyű

'n\ í n - l\ ín - l\

Vminden 7 i > 2 é s A : = l , . . . , r i — 1 esetén.

10.36. Téte l (binom iális té te l). Fennáll a következő azonosság:

(10.23)

(10.24)

A tétel elnevezése onnan származik, hogy (10.24) Ijal oldalán egy Innom (vagyis egy kéttagú kifejezés) hatványa áll.

B izonyítás. Teljes indukcióval bizonyítunk. Az állítás n — 1-re nyilvánvaló. Ha n-re igaz, akkor

(a + 6)"+i = (a + ö )" - (a + 6) =3

• (a + 6).

Ha itt elvégezzük a beszorzást, akkor a kapott összegben szerepelnek az

a'*'''’ és tagok, továbbá minden 1 < A; < n-re az

tagok. E két tag összege (10.23) szerint éppen

i n + 1

kEzzel megkaptuk a (10.24) összefüggést (n helyett

n + 1-re). □

10.37. Tétel. Ha f és g n-szer diffcrenciálhatóak az a helyen, akkor f + g és f ■ g is n-szer dííFerenciálbatóak ugyanitt, és

(/ + g ) ' " ’ (a ) = / ‘” ’ ( a ) + 5 ‘ ">(a), (10.25)

valamint

( f ■ a )‘" ’(a) = E (10.26)/c=0 V*/

Magasabb rendű differenciálhányadosok 247

A (10.26) összefüggés neve Leibn iz-szabály.

B izony ítás. A (10.25) összefüggés teljes indukcióval nyilvánvaló.

Ugyancsak teljes indukcióval bizonyítjuk (10.26)-ot. Ha n = 1, akkor az állítás világos a szorzásra vonatkozó differenciálási szabályból.

Tegyük fel, hogy az állítás n-re igaz. Ha. f és g n -f 1-szer differenciálhatóak az a helyen, akkor n-szer differenciálhatóak az a pont egy U környezetében, tehát az indukciós feltevés szerint

(10,27)

[/-bari. Ebből az összegre és a szorzatra vonatkozó differenciálási szabály alkalmazásával azt kapjuk, hogy (/■5)*"’*"^*(o) olyan tagok összege, amelyek között

szerepelnek az /^"'*' ’ (a ) - g{a) és / (a ) • 5*"'^‘ ’ (a ) tagok, továbbá minden k =

= 1 , . . . , n-re az és ■ g^'^\a) tagok.

Ezek összege | ^ ^ amivel megmutattuk, hogy (10.26)

n + 1-re is igaz. □

Nyilvánvaló, hogy az exponenciális függvény akárhányszor differenciálható, és

(a^)<"> = (ló ga )" - a" (10.28)

minden n-re. Ugyancsak könnyű ellenőrizni, hogy az x hatványfüggvény akárhányszor differenciálható a (0 ,00) félegyenesen, és

(s*)<"> = ö(ö - 1) ■... • (& - n + 1) • x '’- " (10.29)

minden n-re és a; > 0-ra. A sin a; és cos 2; függvények szintén akárhányszor differenciálhatóak, és a magasabb rendű deriváltjaik

(sina;)^^"' = ( - 1 ) " • sina;, (sina;)*^” "*" * = ( - 1 ) " • cosa;,

(cosa;)*^"’ = ( - 1 ) ” ■ cosa;, (cosa:)'^"'*"^'= (- l)" '* '^ ■ sina; (10.30)

minden n-re és x-re.

10.38. M eg jeg y zé s . A (sina;)" = - sina; és (cosa;)" = -co sx ' egyenlőségek úgy is megfogalmazhatók, hogy a sinx és cosa; függvények kielégítik az

y" + 2/ = 0


összefüggést; ez azt jelenti, hogy ha y helyébe sinx-et vagy cosa;-et helyettesítünk, akkor azonosságot kapunk. Az ilyen összefüggéseket, amelyek egy függvény és a deriváltjai között teremtenek kapcsolatot (esetleg ismert, adott függvények segítségével), d iíFerenciá legyen leteknek nevezzük. Egy differenciálegyenlet n -edrendű, ha a szereplő függvény legfeljebb n-edik deriváltját tartalmazza. így azt mondhatjuk, hogy a sin x és cos x függvények kielégítik az y " + y = 0 má.sodrendű differenciálegyenletet. Még pontosabban, ez a differenciálegyenlet a lgeb ra i, ami azt jelenti, hogy a függvény és a deriváltjai közötti kapcsolat mindössze a négy alapműveletet használja.

Világos, hogy az a* exponenciális függvény kielégíti az y' — lóg a • y = 0 elsőrendű differenciálegyenletet. De azonnal beláthatjuk, hogy az összes exponenciális függvény kielégít egy közös differenciálegyenletet is. Valóban, ha y = a akkor y'/y = lóg a, ami konstans. így {y /y)' = 0, tehát kielégíti az y" ■ y — {y 'Y — 0 másodrendű algebrai differenciálegyenletet.

Hasonlóan láthatjuk be, hogy az összes hatványfüggvény is kielégít egy közös másodrendű algebrai differenciálegyenletet. Ebben szerepelni fog az x függvény is, de ez eliminálható a rend növelésével (lásd a 10.41. feladatot).

A lógd a; függvény kielégíti az y — (lóg a ■ x)~^ = 0 egyenletet. Ebből X -y' = konstans, tehát x ■ y " + y = 0. Könnyű belátni, hogy a logaritmusfüggvények kielégítenek egy olyan közös harmadrendű algebrai differenciálegyenletet, amelyben nem szerepel az x. A trigonometrikus és hiperbolikus függvények inverzei hasonló egyenleteket elégítenek ki.

Mármost be lehet bizonyítani, hogy ha két függvény mindegyike kielégít egy algebrai differenciálegyenletet, akkor az összegük, a szorzatuk, hányadosuk és a kompozíciójuk szintén kielégít egy (másik, általában bonyolultabb) algebrai differenciálegyenletet. Ebből következik, hogy minden elemi függvény kielégít egy algebrai differenciálegyenletet (ami persze függvényenként változhat).

Feladatok

10.36. Bizonyítsuk be, hogy ha / kétszer differenciálható a-ban, akkor / folytonos a egy környezetében.

10.37. Hányszor differenciálható az |3:| függvény 0-ban?

10.38. Adjunk meg olyan függvényt, amely 0-ban k-szov differenciálható, de nem differenciálható k -I- 1-szer.

Magasabb rendű differenciálhányadosok 249

10.39. Bizonyítsuk be, hogy a T „ (x ) Csebisev-polinomra

(1 - x ^)T;;{x ) - X T:Sx ) + n^Tnix) = 0

minden a;-re.

10.40. Bizonyítsuk be, hogy a

ún. Legendre-polinom ra

(1 - x^)P '^{x) - 2x P'^ix) + n{n + l)F n (x ) = 0

minden .T-re.

10.41. (a) Bizonyítsuk be, hogy az összes hatványfüggvény kielégít egy közösmásodrendű algebrai differenciálegyenletet.

(b) Bizonyítsuk be, hogy az összes hatványfüggvény kielégít egy olyan közös harmadrendű algebrai differenciálegyenletet, amelyben nem szerepel az x.

10.42. Bizonyítsuk be, hogy a logaritmusfüggvények kielégítenek egy olyan közös harmadrendű algebrai differenciálegyenletet, amelyben nem szerepel az X. (M )

10.43. Bizonyítsuk be, hogy az arcsina;, arccosa;, arctgrc, arshx, archa:, artha; függvények mindegyike kielégít egy-egy olyan harmadrendű algebrai differenciálegyenletet, amelyben nem szerepel az x.

10.44. Bizonyítsuk be, hogy az e® -l-loga; függvény kielégít egy algebrai differenciálegyenletet.

10.45. Bizonyítsuk be, hogy az • sin a: függvény kielégít egy algebrai differenciálegyenletet.

A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata

10.39. D efin íc ió . Legyen az / függvény értelmezve az a pont egy környezetében. A zt mondjuk, hogy / lokálisan növekedő a-ban, ha van olyan <5 > 0, hogy minden a - 6 < x < a esetén f { x ) < / (a ), és minden a < x < a + S esetén f { x ) > f {a) .

Legyen / értelmezve az a pont egy jobb oldali környezetében. Azt mondjuk, hogy / jobbról lokálisan nő a-ban, ha van olyan <5 > 0, hogy minden a < x < a + ő esetén f { x ) > f {a) .

Analóg módon értelmezzük az a-ban szigorúan lokálisan növekedő, lokálisan csökkenő és szigorúan lokálisan csökkenő függvényt, illetve a balról (szigorúan) növekedő és csökkenő függvényt.

10.40. M e g jeg y zé s . Gondosan meg kell különböztetnünk a lokális és monoton növekedés (illetve csökkenés) fogalmait. E két fogalom között a pontos kapcsolat a következő.

Egyrészt nyilvánvaló, hogy ha / monoton növekedő (a, 6)-ben, akkor / lokálisan növekedő minden (a, ö)-beli pontban.

Másrészt be lehet bizonyítani, hogy ha / lokálisan növekedő minden (a, 6)- beli pontban, akkor monoton növekedő (a, 6)-ben. (M ivel ezt a tényt a későbbiekben nem fogjuk felhasználni, a bizonyítást az olvasóra bízzuk; lásd a 10.52. feladatot.)

Lehetséges azonban, hogy egy / függvény lokálisan növekedő egy ahelyen, de nincs olyan U{a) környezet, amelyben / monoton növekedő. Tekintsük a következő példákat.

1. Az

/ W =

1X ■ sin ha a; ^ 0,

X0, ha X = 0

10.4. ábra

függvény lokálisan növekedő 0-ban, de 0-nak nincs olyan környezete, amelyben / monoton lenne.

A lokális tulajdonságok és a derivált kapcsolata 251

2. Az

f i x ) =i , ha X ^ 0,X0, ha X = 0

függvény szigorúan lokálisan növekedő 0-ban, de egyetlen intervallumban sem monoton növő. Sőt, a 0 féloldali pontozott környezeteiben / szigorúan monoton csökken!

3. Hasonlóan, az7T

f { x ) =tg X , ha X e (0, tt) \

0 ,

2ha a: = —

2y

0

függvény szigorúan lokálisan csökken

gorúan monoton nő a (0,7t/2) és (7r/2,7r) intervallumok mindegyikében.

4. Az

X , ha X irracionális,

2x, ha X racionális

függvény szigorúan lokálisan növekedő 0-ban, de nincs olyan intervallum, amelyben monoton lenne.

«

10.5. ábra

10.41. D efin íc ió . Azt mondjuk, hogy az / függvénynek az a pontban lokális maximuma (illetve minimuma) van, ha a-nak van olyan U környezete, amelyben / értelmezve van, és minden x € ?7-ra f { x ) < f { a ) (illetve f { x ) > / (a ))- Ekkor az a pontot az / függvény lokális maximumhelyének (illetve lokális minimumhelyének) nevezzük.

Ha minden x e U \ (a}-ra f { x ) < f {a) (illetve f { x ) > f {a ) ) , akkor szigorú lokális maximumról és maximumhelyről (illetve minimumról és minimumhely- fö l) beszélünk.

A lokális maximumot, illetve minimumot közösen lokális szélsőértéknek, a lokális maximumhelyet, illetve minimumhelyét közösen lokális szélsőértékhely- nek nevezzük.

10.42. M e g je g y zé s . Az abszolút szélsőérték fogalmát a 8..51. Definícióban értelmeztük. Az abszolút szélsöértékhely és a lokális szélsőértékhely fogalmai között a következő kapcsolat áll fenn.

Egy abszolút szélsöértékhely nem szükségképpen lokális szélsőértékhely, mert a lokális szélsöértékhelynek feltétele, hogy a függvény értelmezve legyen a pont egy környezetében. így pl. a [0,1] intervallumon értelmezett x függvénynek a 0 pontban abszolút minimuma van, de ez nem lokális minimum. Azonban, ha az f : A - ^ R függvénynek az a e A pontban ab.szolút szélsőértéke van és A tartalmazza a egy környezetét, akkor a lokális szélsöértékhely.

Egy lokális szélsöértékhely nem szükségképpen abszolút szélsöértékhely, hiszen attól, hogy az / függvénynek az a pont egy környezetében nincs /(a)- nál nagyobb értéke, a környezeten kívül / felvehet /(a)-nál nagyobb számot.

Tekintsük a kővetkező három tulajdonságot:

I. az / függvény a-ban lokálisan növekedő,

II. az / függvény a-ban lokálisan csökkenő,

III. az / függvénynek a lokális szélsőértékhelye.

Az I., 11. és III. tulajdonságok közül pontosan akkor teljesül valamelyik, ha van olyan á > 0, hogy / grafikonja az (a — <5, a) intervallumban teljes egészében az y = f { a ) vízszintes egyenes által határolt egyik félsíkban fekszik, és ugyanígy, / grafikonja az (a, a + í ) intervallumban az y = f (a) egyenes által határolt egyik félsíkban fekszik. A négy lehetőség közül egy-egy a lokális növekedésnek, a lokális csökkenésnek, a lokális maximumhelynek, illetve a lokális minimumhelynek felel meg.

Nyilvánvaló, hogy a fenti tulajdonságok közül I. és II. csak akkor állhat fenn egyidejűleg, ha / konstans az a pont egy környezetében.

A fenti tulajdonságok szigorú variánsai közül pedig legfeljebb egy állhat fenn egyidejűleg.

Persze lehetséges, hogy L, II. és III. egyike sem teljesül. Ez a helyzet például az

/(^■) =a:sin i , ha x ^ 0,

X0, ha X = 0

függvénynél x = 0-ban.

Lássuk ezek után a differenciálhányadosok előjele és a fenti tulajdonságok közötti kapcsolatot.

10.43. T é te l. Tegyük fel, hogy f differenciálható a-ban.

(i) Ha f ' { a ) > 0, akkor f szigorúan lokáhsan növekedő a-ban.

(ii) Ha f ' { a ) < 0, akkor f szigorúan lokálisan csökkenő a-ban.


(iii) Ha f lokálisan növekedő a-ban, akkor f ' {a ) > 0.

(ív ) Ha f lokálisan csökkenő a-ban, akkor f ' {a ) < 0.

(v ) Ha f-n ek lokális szélsőértékhelye van a-ban, akkor f ' ( a ) = 0.

B izonyítás, (i) Ha

M r/ W > „ ,x — a

akkor a 8.29. Tétel szerint van olyan á > 0, amelyre teljesül, hogy

X — a> 0

minden 0 < |x —a| < 6 esetén. így f { x ) > /(a ), ha a < X < a -f- í , és / (x ) < /(a), ha a - í < x < a. Ez éppen az / függvény a pontbeli szigorú lokális növekedését jelenti. A (ii) állítás ugyanígy bizonyítható.

(iii) Ha / lokálisan növekedő a-ban, akkor van olyan 5 > 0, amelyre

f i x ) - f i a )X — a

> 0 ,

ha 0 < |x — a| < 5. Ekkor viszont

/ ( „ , = > 0. x^a x - a

A (iv) állítás ugyanígy bizonyítható.

(v ) Ha f ' { a ) ^ 0, akkor (i) és (ii) szerint / vagy lokáhsan szigorúan növekedő vagy csökkenő a-ban, tehát nem lehet lokális szélsőértékhelye. Ezért, ha f-neli a-ban lokális szélsőértékhelye van, akkor szükségképpen f ' {a ) = 0. □

10.44. M eg jegyzések . 1. A tétel ( i )- ( iv ) állításainak a féloldali variánsai is érvényesek (és ugyanúgy bizonyíthatóak). így, ha f+ '{a ) > 0, akkor / jobbról szigorúan lokálisan növekedő a-ban. Ha pedig / jobbról lokálisan növekedő a-ban, akkor f+ '{a ) > 0, feltéve, hogy a jobb oldali derivált létezik.

2. A tétel állításai közül egyik sem megfordítható.

Abból, hogy / szigorúan lokálisan növekedő a-ban, nem következik, hogy f ' {a) > 0. Például az / (x ) = x^ függvény szigorúan lokálisan növekedő 0-ban (sőt, az egész számegyenesen szigorúan monoton növekedő), de f ' { 0) = 0.

Abból, hogy f ' {a ) > 0, n e m következik, hogy az / függvény lokálisan növekedő a-ban. Például az f { x ) = - x ^ függvényre f ' ( 0 ) = 0 > 0, de / nem

lokálisan növekedő 0-ban (sőt, szigorúan lokálisan csökkenő 0-ban).

Abból, hogy f ' ( a ) = 0, nem következik, hogy az / függvénynek lokális szélsőértékhelye van a-ban. Például az f { x ) = függvényre f { Q ) = 0, de /-nek nincs 0-ban lokális szélsőértékhelye (hiszen x az egész számegyenesen szigorúan monoton növekedő). Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha / differenciálható a-ban, akkor az f ' {a) = 0 feltétel szükséges, de nem elégséges ahhoz, hogy /-nek lokális szélsőértéke legyen a-ban.

3. Ha a (iii) állításban szigorú lokáhs növekedést feltételezünk, akkor is csak f ' {a) > 0 állítható általában (hiszen az (i) állítás nem megfordítható).

4. Abból, hogy f ' {a) > 0, csak / lokális növekedésére következtethetünk, de a monoton növekedésére nem. Tekintsük a következő példát. Legyen / egy olyan függvény, amelyre X — X- < f { x ) < X x~ minden a;-re. Ekkor /(O) = 0, és így a; > 0 esetén

y Á/ \ J

/ V

A '

0

y X

r < ' l f 1 - a: <10.7. ábra

míg a; < 0 esetén a fordított egyenlőségek igazak. így a rendőrszabály szerint

' a ;-0

Másrészt világos, hogy az / függvényt megválaszthatjuk úgy, hogy ne legyen monoton növekedő 0 egyetlen környezetében sem. Ehhez csak az kell, hogy minden <5 > 0-ra legyenek olyan - ő < x < y < 6 pontok, melyekre f { x ) > f {y) . Ha pl. f { x ) = x - x~ minden racionális .x-re és f { x ) = x -t-x" minden irracionális rr-re, akkor ez biztosan teljesül. Az / függvényt úgy is megkonstruálhatjuk, hogy mindenütt differenciálható legyen: rajzoljunk -a z x - x és a; -I- függvények grafikonjai közé egy „sima” (azaz differenciálható) hullámvonalat. A 10.51. feladatban egy ilyen függvényt adunk meg.

Dacára annak, hogy az J' {a) = 0 feltétel nem elégséges ahhoz, hogy /-nek lokáhs szélsőértéke legyen a-ban, bizonyos fontos esetekben a 10.43. Tétel (v) állítása mégis alkalmas a szélsőértékek megtalálására.


10.45. Példa. Keressük meg az f { x ) = x - { l —x) függvény (abszolút) maximumát a [0 ,1] intervallumban! Mivel a függvény folytonos, így Weierstrass tétele (8.52. Tétel) szerint /-nek van abszolút maximuma [0, l]-ben. Tegyük fel, hogy f az, a e [0,1] pontban felveszi a legnagyobb értékét. Ekkor vagy a = 0, vagy a = 1, vagy pedig a G (0,1). Az utóbbi esetben /-nek lokális maximuma van a-ban, és mivel / mindenütt differenciálható, így a 10.43. Tétel (v ) áüítása szerint f ' { a ) = 0. Mármost f \ x ) = 1 — 2x, tehát az / '(a ) = 0 feltételt csak az a = 1/2 elégíti ki. A zt kaptuk, hogy az / függvény a maximumát a 0, 1 és 1/2 pontok valamelyikében veszi fel. Azonban /(O) = / ( l ) = 0 és /(1/2) = 1/4 > 0, ezért a függvénynek a 0 és 1 pontokban nem lehet maximuma. Ezért csak a = 1/2 lehetséges. Ezzel beláttuk, hogy az f { x ) = X ■ — x) függvény a [0,1] intervallumban az 1/2 pontban veszi fel a legnagyobb értékét, azaz a = 1/2 abszolút maximumhely.

10.46. M egjegyzés. Ez az okoskodás azokban az esetekben alkalmazható, amikor egy olyan / függvény szélsőértékeit keressük, amely folytonos egy korlátos és zárt [a, 6] intervallumban, és differenciálható annak (a, b) belsejében. Ekkor ui. /-nek van legnagyobb értéke a Weierstrass-tétel szerint. Ha ezt egy c pontban felveszi, akkor vagy c = a, vagy c = b, vagy pedig c e (o, b). Az utóbbi esetben lokális szélsőértékről van szó, és így / '(c ) = 0. Ha tehát megkeressük az összes olyan c 6 (a, b) pontot, amelyben f ' eltűnik, akkor biztos, hogy az abszolút maximumlielyek ezek közül, valamint az a és 6 végpontok közül kerülnek ki. A z abszolút maximumhelyeket úgy választjuk ki, hogy kiszámítjuk / értékeit ezekben a pontokban (nem elfeledkezve az a és 6 végpontokról sem), és kiválasztjuk azokat, amelyekben / értéke a legnagyobb. (M eg kell jegyezni, hogy egyes esetekben / értékeit végtelen sok pontban kell kiszámítanunk. Előfordulhat ugyanis, hogy /'-nek végtelen sok gyöke van (a, 6)-ben; lásd a 10.50. feladatot.)

10.47. Példa. A fenti okoskodás egy másik alkalmazásaként levezetjük a fénytörés törvényét. Az ún. Fermat*-elv szerint a fény két pont között mindig úgy halad, hogy az utat a lehető legrövidebb idő alatt tegye meg. Az alábl:)i ábrán az x tengely két közeget választ el, melyekben a fény terjedési sebessége -yi, illetve V2- A Pi pontból nézve a P 2 pontot olyan irányban fogjuk látni, amilyen irányból a fénysugár P2-ből Pi-be ér. A fénysugár - a Fermat- elv szerint - azt az utat választja, amelyik időben a legrövidebb. A fénysugár útjának meghatározásához tehát a következő problémát kell megoldanunk.

Pierre de Fen iiat (1601-1665) francia matematikus

M n ; b i ) [

11

IX e

I11 \P2Ía2;b2)

Legyen adva a síkban egy e egyenes és az általa meghatározott két félsíkban egy- egy pont, P i és P 2. Ha egy mozgó pont a Pi-et tartalmazó félsíkban v i, a P^-t tartalmazó félsíkban v-i sebességgel halad, milyen pályán kell haladnia, hogy P i-ből P 2-be a lehető legrövidebb idó' alatt jusson el?

Legyen az e egyenes az x tengely, legyenek P\ koordinátái (a i,6 i), P i koordinátái pedig Feltehetjük, hogy < ao.

Nyilvánvaló, hogy mindkét félsíkban a pontnak egyenes pályán kell haladnia, a kérdés csak az, hogy az x tengelyt mely pontban metszi a pálya, azaz hol törik meg az útvonal.

Amennyiben a pálya az x pontban metszi az x tengelyt, az út megtételéhez szükséges idő:

10.8. ábra

és ebből

Vi

1 X - ülí ' { ^ )

r j { x - a i

1+ —

V-2

X — Ü2

X — ao)(10.31)

Feladatunk / abszolút minimumhelyének meghatározása. Mivel x < a\ esetén f [ x ) > / (ű i) és x > ü2 esetén f { x ) > f { a 2), ezért elegendő / minimumát az [ű i,a2] intervallumban meghatározni. Mivel / folytonos, így Weierstrass tétele szerint felveszi a minimumát [a i,a2]-ben. Mivel / differenciálható is, a minimumhelyeket a végpontokban, illetve azokban a belső pontokban kell keresnünk, ahol a derivált nulla.

Mármost (10.31) alapján

(01 - 02)

V2 ■ , / ( a i - Ü 2 f + t>2< 0 ,

ezért a 10.43. Tétel szerint / szigorúan lokáhsan csökkenő ai-ben. így az a\ pont egy alkalmas jobb oldali környezetében / minden értéke kisebb /(ai)-nél, tehát ai nem lehet minimumhely. Hasonlóan,

/ '(«2 ) =(«2 - ai)

V i ■ y (ü 2 - a i )2 +> 0 ,


ezért a 10.43. Tétel szerint / szigorúan lokálisan nő ai-ben. így az 0,] pont egy alkalmas bal oldali környezetében / minden értéke kisebb f { a 2)-iié\, tehát ü2 sem lehet minimumhely. A z / függvény minimumhelye tehát egy olyan x e (01, 02) pontban van, amelyben f ' ( x ) = 0. Ez a feltétel (10.31) szerint azzal ekvivalens, hogy

X — a i Ü2 - X ■ül

y {x - ai)2 + y/ { x - az)' + Ö2

Az ábráról látható, hogy

X — a\ . ü2 ~ X

^ [ x - ai)2 -I-

= sin a ésy (x - 02)2+ tíi

= sin p.-'1 y T 12

ahol a és p az ún. beesési, illetve törési szög. Tehát az időben legrövidebb útvonal a két közeget elválasztó egyenest abban a pontban metszi, amelyben

sin Q vi

sin V2

Ez a fénytörés törvén ye .

Feladatok

10.46. Egy a és b oldalú téglalapból felül nyitott, téglatest alakú dobozt akarunk készíteni úgy, hogy a téglalap négy sarkánál egy-egy x oldalú négyzetet kivágunk és a négy keletkező téglalapot felhajtjuk. Hogyan kell x értékét megválasztani, hogy a doboz köbtartalma a lehető legnagyobb legyen? (M )

10.47. Melyik a gömbbe írható maximális térfogatú henger?

10.48. Melyik a gömbbe írható maximális térfogatú egyenes körkúp?

10.49. Melyik a gömbbe írható maximális felszínü egyenes körkúp? (A kúp felszínébe az alapkör területe is beszámítandó.)

10.50. Legyen

X" • sin —, ha X ^ 0,X

0, ha X = 0.

Bizonyítsuk be, hogy / deriváltfüggvényének végtelen sok gyöke van (0,1)- ben.

10.51. Legyen

f i x ) =X + 2x ’ ■ sin ha x ^ 0,

0, ha X = 0.

Mutassuk meg, hogy f ' {0 ) > 0, de / a 0 egyetlen környezetéiben sem monoton növekedő. (M )

10.52. Bizonyítsuk be, hogy ha / lokálisan növekedő minden (a, /;)-beli pont

ban, akkor monoton növekedő (a,/;)-ben. (Ö )

10.53. Határozzuk meg az alábbi függvények abszolút szélsöértékeit a megadott intervallumokban!

(a) [ - 2,2]; (b) x — arctgs, [-1 ,1 ];

(c) [- -1,1]; (cl ) X + x~'^ [1/10,10];

( e ) arctg(l/a;). [1/10,10]; (f) cos;■>

i' , [0,7t];

( g ) sin(sin3:), [-7r/2,7r/2]; ( h ) X ■ e-a: [-2 ,2 ];

( 0 [- -2n, 2n]; ( j ) x — l ó g x, [1/2,2];

( k ) 1/(1 -1- sin^a;), (0,7r); (1) 7 i - - e' [ - 2 , 2 ] ;(m ) x ■ sin (logx)1, [ 1 , 1 0 0 ] ; ( n ) (0 , oo);

( o ) Vx, ( 0 , oo^); (P) ( l ó g x)/x, (0,oo);

( q ) X ■ log.T, (0 , o o ) ; ( r ) x^ ■(1 - ( 0 , 1 )

Középértéktételek

A most következő három tétel - melyek közül mindegyik az előző általánosítása - a differenciálszámítás leggyakrabban alkalmazott tételei közül való. Amikor egy függvénynek és a deriváltjainak a tulajdonságai között keresünk kapcsolatot, akkor legtöbbször ezen tételek valamelyikét alkalmazzuk.

10.48. T é te l (R o lle * té te le ). Tegyük fel, hogy az f függvény folytonos [a,/)]-í)eij és differenciáUiHtó [a,b)-ben. Ha f {a ) = f (b) , akkor létezik olyan c e (a, b), amelyre f ' { c ) = 0.

Michel R olle (1652-1719) francia matematikus

Középértéktételek 259

B izonyítás. Ha f { x ) = /(a ) minden x e (a, 6)-re, akkor / konstans (a, 6)- ben, tehát f ' { x ) = 0 minden x e ( a , b ) esetén. Ekkor c gyanánt bármelyik (a, 6)-beli számot választhatjuk.

Feltehetjük tehát, hogy van olyan xq e (a,b), amelyre f ( x o ) ^ /(a)- Tekintsük először azt az esetet, amikor f ( x o ) > f { a ) . Weierstrass tétele szerint /-nek létezik abszoliít maximunihelye [a, &]-ben.Mivel /(.Td) > f ( a ) = f { b ) , ezért sem az a pont, sem a b pont nem lehet abszolút maximumhely. Ha tehát iq.9. ábrac egy abszolút maximumhely, akkor c e (a, 6), és ígyc egyszersmind lokális maximumhely is. A 10.43. Tétel (v ) állítása szerint ebből következik, hogy f ' { c ) = 0.

Ha /(.T()) < / (a ), akkor ugyanígy okoskodhatunk, csak az / függvény abszolút minimumhelyeit kell tekintenünk. □

A Rolle-tétel fontos általánosítása a következő tétel.

10.49. T é te l (Lagran ge*-középérték té te l). Ha az f függvény folytonos [a, 6]-bei] és differenciálható {a,b)-ben, akkor létezik olyan c e (a,b), amelyre

f{b) - f ( a )b — a

Bizonyítás. Az {a, f {a) ) és {b, f{b) ) pontokon átmenő húr egyenesének egyenlete

/ (? > )-/ {a ),b — a

-{x - a ) + /(a).

Az

F i x ) = f i x ) - h a , l , { ^ )

függvény kielégíti a Rolle-tétel feltételeit. Valóban, / és hafi mindketten folytonosak [a, 6]-ben és differenciálhatók (a, b)-ben, ezért a különbségük, F szintén rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal. Mivel F{b) = F{a ) = 0, ezért F-re alkalmazhatjuk a Rolle-tételt. Azt kapjuk, hogy létezik olyan c e [a,b), amelyre F ' { c ) = 0. Mármost

f ( b ) - f { a )o ^ F ' { c ) = r ( c ) - h ' „ , i c ) ^ r { c ) -

b — a

* Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) francia matematikus

tehát

amivel a tételt beláttuk. □0 — 0

A Lagrange-tétel szemléletes jelentése a következő: ha az / függvény folytonos [a, &]-ben és differenciálható (a,ö)-ben, akkor / grafikonjának létezik olyan pontja, amelyben az érintő párhuzamos a ha b húrral.

A következő tétel a Lagrange-tételt általánosítja.

10.50. T é te l (C au chy-középértéktétel). Ha az f és g függvények folytonosak [o, ö]-ben, diíferenciálhatóak {a,b)-ben, és x e {a,b) esetén g' {x) ^ 0, akkor létezik olyan c e {a, b), amelyre

f ' j c ) ^ f{b) - f{a)

ff'(c) g ( b ) - g { a ) ’

B izonyítás. A Rolle-tételből következik, hogy g{a) ^ g{b). Valóban, g{a) = = ^(6)-ből következne, hogy g deriváltja nulla az (a,b) intervallum legalább egy pontjában, amit kizártunk. Legyen

F{ x ) = f i x ) - f i a ) - - gia) ) .9{b) - 9Í<í)

Az F függvény folytonos [a, ö]-ben, differenciálható (a, 6)-ben, és F (a ) = = F{b) = 0. így a Rolle-tétel szerint létezik egy olyan c e {a,b), amelyre F' { c ) = 0. Ekkor

n \ \ / ( ^ ) - / ( « ) !, A0 = F (c) = / (c) - —------- — g (c).g{o) - g{a)

Mivel a feltétel szerint g' {c) ^ 0, ebből azt kapjuk, hogy

f i c ) f i b ) - f { a )

g'{c) g i b ) - g i a ) ’

amivel a tételt beláttuk. □

Világos, hogy a Lagrange-féle középértéktétel a Cauchy-k ö zép é rték té te l

speciális esete, ha az utóbbit gix) = i-szel alkalmazzuk.

A Lagrange-középértéktétel egyszerű, de fontos következménye az alábbi tétel.


10.51. T é te l. Ha f folytonos [a, b]-ben, differenciálható (a, b)-ben és f ' i x )—0

minden x e {a, b)-re, akkor az f függvény konstans [a, b]-ben.

B izony ítás . A Lagrange-középértéktételből következik, hogy minden (a, 6]- beli x-hez létezik olyan c e {a,b), amelyre

, f M - mX — a

így f { c ) = 0 miatt f i x ) = f ia ) . □

Az alábbi következményt az integrálszámítás alaptételének is nevezik; később látni fogjuk, hogy miért.

10.52. K övetkezm én y . Ha f és g folytonosak [a, 6]-ben, differenciálliatóak ia,b)-ben és f ' { x ) = g ' i x ) minden x € (a, ö)-re, akkor alkalmas c konstanssal f i x ) = g i x ) + c minden x e [a, b]-re.

B izony ítás . Alkalmazzuk a 10.51. Tételt az / — g függvényre. □

Feladatok

10.54. Adjunk példát olyan differenciálható /:ffi ^ R függvényre, amelyhez van olyan c pont, hogy f ' { c ) nem egyenlő az (/(6) — f i a ) ) / i b — a) dif- ferencialiányadossal semmilyen a < ö-re! Ez miért nem mond ellent a Lagrange-középértéktételnek?

10.55. Bizonyítsuk be, ha / kétszer differenciálható [a, ö]-ben, c e (a, b) és f " { c ) ^ 0, akkor van olyan a < x\ < c < X2 < b, hogy

f { X l ) - f i X 2)f { c ) =

Xi - X2(ö )


(a — /3) • cos a < sin a — siii/3 < (a — /?) ■ cos/3

minden 0 < (3 < a < —-re.

10.57. B i z o n y í t a n d ó , h o g y [ a r c t g , x — a r c t g y i :< \x — y\ m i n d e n x,y-T&.

10.58. Legyen / differenciálható az I intervalhinion, és tegyük fel, hogy az /' függvény korlátos /-u. Bizonyítsuk be, hogy / Lipschitz I-\i.

10.59. Bizonyítandó, hogy ha f ' { x ) = minden x-re, akkor van olyan c konstans, hogy / (x ) = (x^/3) + c.

10.60. Bizonyítandó, hogy ha f { x ) = j { x ) minden x-re, akkor van olyan c konstans, hogy / (x ) = c - m i n d e n x-re.

10.61. Legyen /: M —>• (0, oo) differenciálható és szigorúan monoton növő. Tegyük fel, hogy / grafikonjának bármely {x, f { x ) ) pontbeli érintője az x tengelyt az x — a pontban metszi, ahol a > 0 konstans. Bizonyítsuk be, hogy / exponenciális függvény.

10.62. Legyen /; (0, oo) - » (0, oo) differenciálható és szigorúan monoton növő'. Tegyük fel, hogy / grafikonjának bármely ( x , f { x ) ) pontbeli érintője az x tengelyt a c-x pontban metszi, ahol c > 0 konstans. Bizonyítsuk be, hogy / hatványfüggvény.

10.63. Bizonyítsuk be, hogy ha f , g mindenütt differenciálhatóak, /(O) = 0, (y(ü) = 1, f ' = g és g' = —/, akkor f { x ) = sin.x és g{x) = cosx mindenx-re. (Ö )

10.64. Bizonyítsuk be, hogy az x''' - 5x + 2 függvénynek három valós gyöke van.

10.65. Bizonyítsuk be, hogy az .T -I-Sx + Sa; —23 függvénynek legfeljebb három valós gyöke van.

10.66. Hány valós gyöke lehet legfeljeblj az + ax + b függvénynek?

10.67. Az x' — 6x^ + 9x + k függvénynek k milyen értékei mellett van pontosan egy valós gyöke?

10.68. Bizonyítsuk be, hogy ha p egy n-edfokú polinom, akkor az — p{x) függvénynek legfeljebb n + 1 valós gyöke van.

10.69. Legyen / differenciálható (a, 6)-ben. Bizonyítsuk be, ha /-nek n külöu-

bözö gyöke van (a, 6)-ben, akkor /•“ “ ’^-nak legalább k gyöke van (a, b)- ben minden k = 1 , . . . , — 1-re. (Ö )


10.70. Bizonyítandó, hogy ha;; egy n-edfokú polinom és p minden gyöke valós, akkor j^'-nek ugyancsak minden gyöke valós.

10.71. Bizonyítsuk be, hogy a

« . ( » ) = - 1 ) “ ) '“ '

Legendre-polinom minden gyöke valós.

10.72. Legyenek f és g n-szer differenciálható függvények [a, 6]-l3en, és legyen

itt n közös gyökük. Bizonyítsuk be, hogy ha az és g*"’ függvényeknek nincs közös gyöke [a, 6]-ben, akkor minden x e [a, /;]-hez, amelyre g{x) ^ 0, létezik olyan c e (a, 6), hogy

/ (x ) ^ /<'“ ( c )^g{x)

10.73. Legyen / folytonos (a, ft)-ben és differenciálható (a, 6) \ {c)-ben, ahol a < c < b. Bizonyítsuk be, hogy ha lim f ' ( x ) = A, ahol A véges, akkor /

differenciálható c-ben, és f ' { c ) = A.

10.74. Bizonyítsuk be, hogy ha / kétszer differenciálható a-ban, akkor

f { a + 2h ) - 2f {a + h) + f [ a ) „lim ------------------ -------------------- = / a .

/i-(Ö)

10.75. Legyen / differenciálható (0, oo)-ben. Bizonyítsuk be, hogy ha van olj^an Xn oo sorozat, amelyre / (x „ ) 0, akkor van olyan oo sorozat

is, amelyre j\ y n ) 0.

10.76. Legyen / differenciálható (0, oo)-ben. Bizonyítsuk be, hogy ha

hm f ' i x ) = 0, akkor hm/(x )

= 0.

A differenciálható függvények vizsgálata

A monotonitás kritériumaival kezdjük.

10.53. T é te l. Legyen f folytonos [a, öj-beii és ciiíFerenciálha.tó {a,b)-ben.

(i) / cikkor és csak akkor monoton növekedő (illetve monoton csökkenő) [a,b]-ben, ha f ' { x ) > 0 (illetve f ' { x ) < OJ minden x e (a,b)-re.

(ii) / akkor és csak akkor szigorúan monoton növő ( illetve szigorúan monoton csökkenő) [a, í)]-beii, ha f ' ( x ) > 0 (illetve f ' { x ) < Oj minden x e (a, b)-re, és ha [a, b]-nek nincs olyan részintervalluma, amelyen f ' azonosan nulla.

B izonyítás, (i) Tegyük fel, hogy f ' { x ) > 0 miudeii x e (a, 6)-re. A Lagrange- középértéktétel szerint tetszőleges a < xy < x -2 < 6-hez létezik olyan c e { x i , x 2), hogy

— ;— = / (c ).Xi - X2

Mivel f \ c ) > 0, így f { x\) < f { x 2), ami éppen azt jelenti, hogy / monoton növekedő [a, 6]-ben.

Megfordítva, ha / monoton növekedő [a, &]-ben, akkor minden (a, 6)-beli X helyen lokálisan növekedő. Ezért a 10.43. Tétel (iii) állításából következik, hogy f ' { x ) > 0.

Hasonló a bizonyítás a monoton csökkenő függvény esetére.

(ii) Könnyen látható, hogy egy / függvény akkor és csak akkor szigo- rúan monoton [a, 6]-n, ha monoton, és [a, 6]-nek nincs olyan részintervallimia, amelyen / konstans. így az állítás egyszerűen következik a 10.51. Tételből. □

10.54. M e g jeg y zé s . A fenti tétel segítségével egy tetszőleges differenciálható függvény lokális és abszolút szélsőértékeit megkereshetjük, akkor is, ha a függvény nem egy korlátos és zárt intervallumon van értelmezve. Ugyanis a derivált előjeléből megállapíthatjuk, hogy a függvény mely intervallumokon nő és mely intervallumokon csökken, és ez általában elegendő információt ad a szélsőértékek megkereséséhez.

Tekintsük például az f { x ) = x-e~^ függvényt. Mivel f ' { x ) = e ~ ^ - x - e ~ ^ , ezért f ' { x ) > 0, ha a; < 1, és f ' ( x ) < 0, ha x > l. így / szigorúan monoton nő (-o o ,l]-b en , és szigorúan monoton csökken [l,oo)-ben. Ebből azonnal következik, hogy /-nek 1-ben abszolút maximuma van (ami természetesen

A diíTerenciálliatő függvények vizsgálata 265

lokális maximumhely is egyben), és hogy /-nek nincs sem lokális, sem abszolút minimumhelye.

A 10.43. Tételben láttuk, hogy ha / differenciálható a-ban, akkor ahhoz, hogy /-nek a-ban lokális szélsőértékhelye legyen, szükséges (de általában nem elégséges), hogy f ' { a ) = 0 teljesüljön. Az alábbi tételek elégséges feltételt adnak a lokális szélsőértékhely létezésére.

10.55. T é te l. Legyen f differenciálható az a pont egy környezetében.

(i) Ha f ' { a ) = 0 és / lokálisan növekedő (illetve lokálisan csökkenő) az a helyen*, akkor az a pont f-n ek lokális minimumhelye (illetve maximumhelye).

(ii) Ha f ' { a ) = 0 és f ' szigorúan lokálisan növekedő (illetve szigorúan lokálisan csökkenő) a-ban, akkor az a pont f-n ek szigorú lokális minimumhelye (illetve szigorú lokális maximumhelye).

B izon y ítás , (i) Nézzük azt az esetet, amikor /' lokálisan növekedő a-ban. Ekkor létezik olyan í > 0, amelyre teljesül, hogy f ' ( x ) < 0, ha. a — S < x < a, és f ' ( x ) > 0, ha a < a; < a + J. A 10.53. Tétel szerint ebből következik, hogy / monoton csökkenő [a — 5, a]-ban, és / monoton növekedő [a, a á]-ban. így a — S < X < a esetén f { x ) > /(a), valamint a < x < a S esetén szintén Í M > f i a ) - Ez éppen azt jelenti, hogy /-nek lokális minimuma van a-ban. Hasonlóan bizonyítható a lokális maxinuim esete.

(ii) Ha f ' szigorúan lokálisan növekedő a-ban, akkor létezik olyan í > 0, amelyre teljesül, hogy f ' { x ) < 0, ha a — í < x < a, és f ' ( x ) > 0, ha a < X < a 5.

Ebből következik, hogy / szigorúan monoton csökkenő [a — <5, a]-ban, és szigorúan monoton növekedő [a, a-I-<5]-ban. így a — ő < x < a esetén f { x ) > f [ a ) , továbbá a < x < a 5 esetén ugyancsak f { x ) > /(a ). Ez éppen azt jelenti, hogy /-nek szigorú lokális minimuma van a-ban. Hasonlóan bizonyítható a szigorú lokális maximum esete. □

10.56. M e g jeg y zé s . Az f ' függvény a-beli előjelváltása nem szükséges ahhoz, hogy /-nek az a pont lokális szélsőértékhelye legyen. Legyen / egy olyan függvény, amelyre x} < f { x ) < 2x^ minden o;-re. Ekkor a 0 pont /-nek szigorú lokális (és abszolút) minimumhelye. Másrészt lehetséges, hogy / a 0

* vagyis, lia f ' az a pontban előjelet váltva 0, azaz a egy bal oldali környezetében nenipozitív és egy jobb oldali környezetében neninegatív vagy fordítva

ponton kívül sehol sem clifFerenciálható (vagy akár folytonos); ez a helyzet pl. ha f { x ) = minden racionális x-re és f { x ) = 2x^ minden irracionális x-re.

Az / függvényt úgy is megkonstruálhatjuk, hogy mindenütt differenciálható legyen; ehhez az és a 2x^ függvények grafikonjai közé egy olyan differenciálható függvényt kell beillesztenünk, amelynek a 0 minden féloldali környezetében van monoton csökkenő és monoton növö szakasza is. Egy ilyen függvényt adunk meg a 10.92. feladatban.

10.57. T é te l. Legyen f kétszer differenciálható a-ban. Ha f ' { a ) = 0 és / " (a ) > 0, akkor f-n ek a-ban szigorú lokális minimuma van. Ha f ' { a ) ~ 0 és f " { a ) < 0, akkor f-nek a-ban szigorú lokális maximuma van.

f i a ) > 0 f ' lök. növ.

10.11. ábra

/

csökk. ® növ.

lek. min.

B izony ítás. Tegyük fel, hogy f " { a ) > 0. A 10.43. Tétel szerint ebből következik, hogy f ' szigorúan lokálisan növő a-ban. így alkalmazhatjuk az előző tételt. Az f"{a ,) < 0 esetben a bizonyítás hasonló. □

10.58. M eg jeg y zé s . Ha f { a ) = 0 és f " [ a ) = 0, akkor sem arra nem következtethetünk, hogy /-nek van, sem arra, hogy /-nek nincs lokális szélsőérték- helye a-ban. A különböző lehetőségeket mutatják pl. az f { x ) = x^, f { x ) = x és f { x ) — —x ‘‘ függvények az a — 0 helyen. Ebben az esetben a magasabb rendű deriváltak értékéből lehet elégséges feltételeket nyerni arra, hogy az a pont /-nek lokáhs szélsőértékhelye legyen.

10.59. T é te l, (i) Legyen az f függvény 2k-szor differenciálható az a pontban, ahol k > l . Ha

f \ a ) = . . . = = 0 és > 0,

akkor f-n ek a-ban szigorú lokális minimuma van. Ha

f ' ( a ) = . . . = = 0 és < 0,

akkor f-n ek a-ban szigorú lokális maximuma van.

(10.32)

A dífferenciálliató függvények vizsgálata 267

Ha(n) Legyen az f függvény 2k -f 1-szer differenciálható a-ban, ahol k > 1 .

(10.33)

akkor f szigorúan monoton az a pont egy környezetében, tehát a-ban nincs lokális szélsőértékhelye.

B izony ítás, (i) Csak az első állítást bizonyítjuk, teljes indukcióval. A A: = 1 esetet a 10.57. Tételben már láttuk. Legyen fc > 1, és tegyük fel, hogy az állítás igaz k — 1-re. Ha /-re teljesül (10.32), akkor a g = f " függvényre

g' {a) = . . . = /■^^■'” (a) = 0 és > 0.

így az indukciós feltevés szerint f ' ’-ne\í szigorú lokális minimuma van a-ban. Mivel k > l alapján f " { a ) — 0, ezért létezik egy á > 0 úgy, hogy f " { x ) > 0 minden a; g (a — <5, a -|- í ) \ {a } pontban. A 10.53. Tétel szerint ebből következik, hogy f ' szigorúan monoton növő {a — 6,a + á)-ban. Következésképpen f ' szigorúan lokálisan növő a-ban, tehát alkalmazhatjuk a 10.55. Tételt.

(ii) Tegyük fel (10.33)-at. Ekkor a már bizonyított (í) állítás szerint /'- nek az a pont szigorú lokális szélsőértékhelye. Mivel f ' { a ) — 0, így vagy

/ '" (« ) > 0 f " lók. növ. /

csökk. “ növ.lek. min.

10.12. ábra

f ' { x ) > 0 minden x e (a — á, a-I-<5) \ {a}-ra, vagy pedig f ' ( x ) < 0 minden x e {a — ó,a S) \ {a}-ra. A 10.53. Tétel szerint ebből következik, hogy / szigorúan monoton (a — <5, a -|- ó')-ban, tehát az a pontban nincs lokális szélsőértéke. □

Most rátérünk a konvexitásra vonatkozó feltételekre.

10.60. T é te l. Legyen f differenciálható az I intervallumban.

(i) Az f függvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) I-ben, ha f ' monoton növekedő (illetve csökkenő) I-ben.

(ii) Az / függvény akkor és csak akkor szigorúan konvex (illetve szigorúan konkáv) I-ben , ha f szigorúan monoton növekedő (illetve szigorúan monoton csökkenő) I-ben.

B izonyítás, (i) Tegyük fel, hogy f ' monoton növö /-ben. Legyen a,b e I, a < b, és legyen a < x < b tetszőleges. A Lagrange-középértéktétel szerint vannak u e [a,x) és v € {x, b) pontok úgy, hogy

/ (w) = ----------- — es / ( v ) =X — a b — X

Mivel u < V és f ' monoton növő, ezért

f ' [ u ) < tehát

f i x ) - f i a ) f i t ) - f i x )<

X — a b — X

Ebből egy egyszerű átrendezé,ssel azt kapjuk, hogy

b — a

amivel beláttuk, hogy / konvex.

Most tegyük fel, hogy / konvex /-ben, és legyen a,b e I, a < b tetszőleges. A 7.18.

Tétel szerint az F i x ) = ----I L A függvény monoton növö az / \ {a} hal-X — a

mázon. így F { x ) < i i f i b ) - f {a) )/{b - a) minden x < b, x ^ a-ra. Mivel / (a) = lim F i x ) , ezért

a u X V

10.13. ábra

f i a ) <f i b ) - f i a )

b - a(10.34)

Hasonlóan, a G{x) = függvényX — b

monoton növő az / \ {6} halmazon, tehát G{x ) > i i f i b ) - f {a) )/ib - a) minden x > a, X 7 b-ve. Mivel /'(6) = Imi G{x) , ezért

x-^b

f ' ib) >f i b ) - f i a )

b — a(10.35)

10.14. ábraHa összevetjük (10.34)-et és (10.35)-öt, akkor azt kapjuk, hogy f ' i a ) < f ' {b) . Mivel ez min

den a,b e I , a < 6-re igaz, ezért f ' monoton növö /-ben.

A konkávitásra vonatkozó állítás ugyanígy bizonyítható. A (ii) állítás a fenti okoskodás értelemszerű módosításával adódik. □

A differenciálható függvények vizsgálata 269

A (10.34) egyenlőtlenséget átrendezve azt kapjuk, hogy a f \ a ) ■ i b - a) + f i a ) . A (10.35) egyenlőtlenség pedig azt állítja, hogy a f i b ) ■ ia — b) + f ib) . Ez azt jelenti, hogy tetszőleges a, x e /-re

f i x ) > f i a ) ■ ix - a) + f i a ) , (10.36)

vagyis az / függvény grafikonja egy tetszőleges pontjában húzott érintője felett halad. Ezzel beláttuk a következő tétel „csak akkor” állítását.

10.61. T é te l. Legyen f differenciálható az I intervallumban. Az f függvény akkor és csak akkor konvex I-hen, ha bármely a e I -re az f függvény grafikonja az a pontban húzott érintő felett halad, azaz, ha (10.36) teljesül minden a , x e l esetén.

B izon y ítás . Már csak az „akkor” állítást kell belátnunk. Tegyük fel, hogy (10.36) teljesül minden a , x e I-re . Ha a,b e I és a < b, akkor ebből következik, hogy mind (10.34), mind pedig (10.35) igaz, tehát f \ a ) < f ' ib) . Ezzel beláttuk, hogy f ' monoton nő /-ben, és így a 10.60. Tétel szerint / konvex. □

10.62. T é te l. Legyen f kétszer differenciálható I-ben. Az f függvény akkor és csak akkor konvex (illetve konkáv) I-ben, ha f " { x ) > 0 (illetve f " i x ) 5 Oj minden x e I-re.

B izon y ítás . A tétel álhtása egyszerű következménye a 10.60. és 10.53. Tételeknek. □

10.63. D efin íc ió . A zt mondjuk, hogy az a pont az / függvénynek inflexiós pontja, ha f-nek létezik a (véges vagy végtelen) deriváltja a-ban, és van olyan (5 > 0, hogy / konvex (o - <5, a]-ban és konkáv [a, a -I- <5)-ban, vagy forchtva.

így például az 2:’* és ^ x függvényeknek a 0 inflexiós pontja.

10.64. T é te l. Ha f kétszer differenciálható a-ban, és f-n ek a-ban inflexiós pontja van, akkor f " ( a ) — 0.

B izon y ítás . Ha / konvex (a — 5, a]-ban, akkor ott f ' monoton növekedő; ha konkáv [a, a -I- í)-ban, akkor ott f ' monoton csökkenő. Tehát f '-n ek a-ban lokális maximumhelye van, így / " (a ) = 0.

Hasonló a bizonyítás abban az esetben, amikor / konkáv (a — ö, a]-ban és konvex [a, a -f <5)-ban. □

10.65. M eg jegy zés . Legyen / differenciálható az a hely környezetében. A10.60. Tétel szerint a akkor és csak akkor inflexiós helye /-nek, ha f '-nek a- ban egy monoton növekedő és egy monoton csökkenő szakaszt elválasztó lokális szélsöértékhelye van. Ebből a megfigyelésből és a 10.64. Tételből kapjuk az alábbi tételt.

10.66. Téte l. Legyen f kétszer differenciálható az a pont egy környezetében. Annak, hogy a-ban f-n ek inflexiós pontja legyen

(i) szükséges feltétele, hogy f " { a ) = 0 teljesüljön;

(ii) elégséges feltétele, hogy f " előjelet váltva legyen nulla az a pontban, azaz, hogy f ” {a) = 0 teljesüljön, továbbá / " lokálisan növekedő vagy lokálisan csökkenő legyen a-ban. □

10.67. K övetkezm ény. Legyen f háromszor differenciálható a-ban. Ha f ” {a) = 0 és f " \ a ) ^ 0, akkor f-nek inflexiós pontja van a-ban. □

10.68. M eg jegy zés . Az J" {a) = f " ' { a ) = 0 esetben lehet, hogy f-nek van a-ban inflexiós pontja, de az is lehet, hogy nincs. A különböző lehetőségeket mutatják például az f { x ) = és f { x ) = x'’’ függvények az a = 0 helyen. A szélsöértékek esetéhez hasonlóan a magasabb rendű deriváltak értékének ismeretéből további feltételeket kaphatunk az inflexiós pont létezésére.

10.69. T é te l, (i) Legyen az f függvény 2k + 1-szer differenciálható a-ban, ahol k > 1. Ha

f " ( a ) ^ . . . = fC^^ ' ( a ) =0 és (10.37)

aicícor f-nek a-ban inflexiós pontja van.

(ii) Ha

/ "(a ) = ... = / '- * - ‘ )((i) = G és /<2^''(a)^0, (10.38)

akkor f az a pont egy környezetében szigorúan konvex vagy szigorúan konkáv, és így a-ban nincs inflexiós pontja.

B izony ítás. (1) A /c = 1 esetet már láttuk az előző tételben, így feltehetjük, hogy fc > 1. Ha (10.37) fennáll, akkor a 10.59. Tétel (ii) állítása szerint f " szigorúan monoton a egy környezetében. így f " az a pontban lokálisan nö vagy csökken, tehát alkalmazhatjuk a 10.66. Tételt.


(ii) Tegyük fel (10.38)-at. Ekkor szükségképpen fc > 1. A 10.59. Tétel(i) állítása szerint szerint /” -nek szigorú lokális szélsőértéke van a-ban. Mivel f " ( a ) = 0, ez azt jelenti, hogy a-nak egy alkalmas U környezetére f " azonos előjelű U \ [a}-ban. így f ' szigorúan monoton í7-ban, tehát / vagy szigorúan konvex, vagy szigorúan konkáv í7-ban, tehát a-ban nem lehet inflexiós pontja. □

10.70. M eg jegyzés . Ha az / függvény akárhányszor diff’erenciálható a-ban és /*"’ (a) 7 0 legalább egy n > 2-re, akkor a 10.59. és 10.69. Tételek segítségével meg tudjuk állapítani, hogy f-nek van-e lokális szélsőértéke, illetve inflexiós pontja a-ban. Ha ui. f ' {a) ^ 0, akkor a nem lehet lokális szélsöérték- hely. Most tegyük fel, hogy f ' ( a ) = 0, és legyen n a legkisebb pozitív egész, amelyre ^ 0. Ebben az esetben az / függvénynek akkor és csak akkor van lokális szélsőértéke a-ban, ha n páros.

Ha f " ( a ) ^ 0, akkor f-nek a nem inflexiós pontja. Ha viszont f " ( a ) = 0

és n a legkisebb 2-nél nagyobb egész, amelyre /*"*(a) ^ 0, úgy f-nek az a pont akkor és csak akkor inflexiós pontja, ha n páratlan.

Előfordulhat azonban, hogy / akárhányszor differenciálható a-l^an és /*'**(a) = 0 minden n-re, holott / az a pont semmilyen környezetében sem azonosan nulla. A következő fejezetben látni fogjuk, hogy ezek között a függvények között olyat is találhatunk, amelynek lokális szélsőértéke van a-ban, de olyat is, amelynek nincs; olyat, amelynek az a pont inflexiós pontja, és olyat is, amelynek nem (lásd a 11.13. Megjegyzést).

Az / függvény ún. teljes függvényvizsgálatán a következő adatok meghatározását értjük:

1. a függvény (féloldali) határértékei az értelmezési tartomány torlódási pontjaiban;

2. azon intervaflumok, amelyeken / monoton növő, illetve csökkenő;

3. / lokális és abszolút szélsőértékhelyei és szélsőértékei;

4. azon intervallumok, amelyeken / konvex, illetve konkáv;

5. / inflexiós pontjai.

10.71. Példa . Végezzük el az függvény teljes függvényvizsgálatát minden n e N-re!

9 21. Tekintsük először az n = 0 esetet. Ha f { x ) = e , akkor f ' { x ) = -2x-e~^ , tehát f \ x ) előjele megegyezik —x előjelével. így / szigorúan növő a (—oo, 0]

félegyenesen, és szigorúan csökken a [0, oo) félegyenesen, következésképpen X — 0-ban szigorú lokális és globális maximuma van.

Másrészt f ' { x ) = - 2), tehát / "(.t) > 0, ha \x\ > I/ -J2 és

f ' [ x ) < 0, ha |a;| < l/V^. így / szigorúan konkáv [-l/\/2, l/ V 2]-ben, és

szigorúan konvex a (—00, —1/a/2] és [l/\/2, 00) félegyeneseken, tehát a ± 1/V 2 pontokban inflexiós pontja van. Mindezeket a tulajdonságokat a következő táblázat foglalja össze.

r

f "

“ 72 ----------1-------

0 V2

+ 0 -

+ 0 0 +

növekedő lók. max. csökkenő

konvex inflex. konkáv1

inflex. konvex

f páros

10.15. ábra

Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy lim J{x ] = 0, akkor a függvényI->±00

grafikonját a következőképpen vázolhatjuk:

2A grafikon alakjára utalva az e~^ függvényt - amely sokszor előfordul a

valószínűségszámításban - haranggörbének nevezzük.

2 . Legyen most f { x ) = x-'^e , ahol n e N'*'. Ekkor

2f i x ) = (2n x'-^ ' - e = 2 • x"" ‘ e ( j i - .


így f { x ) pozitív a { -o o , - -/ n ) és (0,-Jn ) intervallumokon, továbbá negatív a { — y/n,0) és {y/n,oo) intervallumokon. Másrészt

i . f ' { x ) = [ (r i ■ =

= (n(2n - - (2n + l)x^^ - 2nx '^ + 2x^"+2) • =

= . ( 23; - (4n + l)x^ + n(2n - 1 )) •

Könnyen látható, hogy f " gyökei a

U n + 1 ± V l6 n + 1 4

számok. Ha ezeket xj-vel jelöljük (1 < * < 4), akkor x i < X2 < 0 < x j < x^. Azt is könnyű ellenőrizni, hogy f " pozitív, ha |a:| < X3 vagy \x\ > 0:4, és negatív, ha X'i < \x\ < X4. K függvény viselkedését a következő táblázatban foglalhatjuk össze.

f

f

f

:ri X-) 0 ;T4 y f n

+ 0 — 0 + 0 —

+ 0 — 0 + + 0 — 0 +

növ.inflex.

konvexjáros

1. raax.

konkáv

csökk.inflex.

1. min.

konvex

növ.inflex.

1. max

konkáv

csökk.inflex.

konvex

10.17. ábra

Ha még azt is figyelembe vesszük, hogy /(O) = 0 és lim f ( x ) — 0,X—>-±oo

akkor a függvény grafikonját a következőképpen vázolhatjuk:

Feladatok

10.77. Bizonyítsuk be, hogy ha x e [0,1], akkor 2 < l + x < és 2x/ir < < sin a; < x.

10.78. Bizonyítandó, hogy ha / racionális törtfüggvény, akkor van olyan a és b, hogy / monoton és vagy konvex, vagy konkáv a ( —oo,a) és (ö, oo) félegyenesek mindegyikében.

10.79. Melyek azok az a > 0 számok, amelyekre az a ' = x egyenletnek van gyöke? (Ö )

10.80. Melyek azok az a > 0 számok, amelyekre az ai = a, an+i =(n = 1 ,2 ,... ) rekurzióval definiált sorozat konvergens? (Ö )

10.81. Bizonyítandó, hogy ha / (a ) = g{a) és x > a esetén f ' { x ) > g' {x) , akkor f { x ) > g{x) minden x > a-ra. Ha pedig / (a ) = g{a) és x > a esetén f ' { x ) > g ' ( x ) , akkor f { x ) > g [ x ) minden x > a-ra.

10.82. Bizonyítsuk be, hogy —- — < lo g (l + x) < x minden x > 0-ra. (Ö )l + x

10.83. Bizonyítsuk be, hogy minden x > 0-ra és n > 1-re

< l o g ( l + x ) < x - f + , , +X -----— +2 2n

^2n+i

10.84. Bizonyítsuk be, hogy minden x e [0, l]-re

Speciáhsan

lo^(l + x ) = lim n->-oo

lóg 2 = lim n->oo

x^ ^in

" 2n

1 1 ■

3 “ 2n.


x "

10.86. Bizonyítsuk be, hogy minden 0 < x < K -ra és n > 1-re

2-2 -j;'í e ^ < H - x + —

2 ! n! (n -I- 1)!


10.87. Bizonyítsuk be, hogy minden x > 0-ra

Speciálisan

e' = lim7 l - > 0 0

e = limJl^OO

x ” '-I-. . . -f-

2! n\

1 1 1— -H ... . -1- —2! ni.

10.88. Bizonyítsuk be, hogy e irracionális. (M )


10.90. Bizonyítsuk be, hogy (10.39) minden x-re fennáll.

10.91. Bizonyítsuk be, hogy minden x > 0-ra és n > 1-re^4n-2

(10.39)

-f-„2n

(2n)!'

2! ’ ’’ 4! ■■■ (4 n -2 ) !X*

< COSX < 1 --------}-------- ...H ---------2! 4! (4n)!

ésx^ x^

3! ^ 5! ■■■

XA n - l x'

— < sin X < X --------1--------( 4 n - l ) ! ~ - 3! 5!

,.471+1

(4n + 1)!

=

10.92. Legyen

• ^2 -h sin i j , ha a: ^ 0,

0, ha a; = 0.

Mutassuk meg, hogy az / függvénynek 0-ban szigorú lokális minimumhelye van, de f ' nem vált előjelet 0-ban. (M )

10.93. Legyen

=h a x > 0,

0, ha a; = 0.

Bizonyítsuk be, hogy(a) / folytonos [0, oo)-ben, (b) / differenciálható [0, oo)-ben,

(c) / szigorúan monoton növekedő [O,oo)-ben,/ 1 \(<J) f' I ~ e N"*", tehát f' a [ 0 , 1 ] intervallum végtelen sokV t i 7T k. /

helyén 0.


10.94. Adjunk meg olyan függvényt, amely monoton csökkenő és differenciálható (0, oo)-ben, lm ^/ (x ) = 0, de \m^ f ' ( x ) ^ 0.

10.95. Legyen / differenciálható a egy környezetében, és legyen

llm = oo.X — a

Következik-e ebből, hogy ^mi^/^(a;) = oo?

10.96. Legyen / konvex és differenciálható az I nyílt intervallumon. Bizonyítandó, hogy /-nek akkor és csak akkor van minimuma az a e / pontban, ha f ' ( a ) = 0.

10.97. Legyen / konvex és differenciálható (0, l)-ben. Bizonyítsuk be, hogy ha lim f ( x ) = oo, akkor lim f ' ( x ) = -oo . Mutassuk meg, hogy az

a:->0-|-() ■ X —>0+0áUítás nem marad igaz, ha a konvexitás feltételét elhagyjuk.

10.98. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényekre.

X - 3x,

X + e~- ,

cosa;^,

a; • e-^,

1/(1 -I- sin x)

7 l - e - ^ ' ,

Vx ,

x " . ( l - x ) i - " ,

x V { l + x ) \

— x'*,

X + X ",

sin(sina;).

x ■ sin(logx)

(log3:)/a;.

X — arctg X ,

arctg(l/x),

sin (l/2:),

X — lóg X,

( i + i r .V x j

X^

X ■ lóg X ,

arctga; — - log(l-h x'^), arctga;-------- X 1

e^/ (l-fa ;), e^/sha;,

l - x ^ { l + x ) ‘-------- sin x -------------- cos X

,/2n + l - xe~^ ( n e N ) .

11. A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI

A L ’Hospital-szabály

A következő tétel hatékony módszert ad a kritikus határértékek meghatározására.

11.1. T é te l ( L ’H osp ita l-szab á ly ). Legyen f és g differenciálható a egy pontozott környezetében, és tegyük fel, hogy itt g ^ 0 és g ' ^ 0. Tegyük fel továbbá, hogy vagy

(11.1)

( 11.2 )

vagy pedig

Ha

lim f ( x ) = lim q(x) = 0,

Imi \g{x) \ = oo.

f i x )lim = /3,

akkor ebből következik, hogy

hm — - = /3.^ ^ ^ g ( x )

(11.3)

I t t a jelentése lehet egy a szám, az a + 0, a — 0, oo vagy —oo szimbólumok valamelyike, j3 jelentése pedig lehet egy b szám, oo vagy -o o .

B izon y ítás . A bizonyítást először abban a speciális esetben adjuk meg, amikor a = a véges, és lim f { x ) = lim g{x) — / (a ) = g{a) = 0. Ekkor a Cauchy-

X ' CL «E Cl

középértéktétel szerint az a pont egy környezetében minden x ^ a-hoz létezik olyan c e {x,a) , amelyre

f { x ) _ f i x ) - f i a ) ^ f ' jc)^g i x ) g { x ) - g { a ) g ' {c ) '

278 11. A differenciálszámítás alkalmazásai

Ha tehát {xf ) egy a-hoz tartó sorozat, akkor létezik egy hogy

a sorozat úgy,

minden fc-ra. így

g{xk) g' {ck)

u.„ í p i = Ii,„ 4 ^k-ôo g{xk) g' ick)

= /?,

tehát az átviteli elv szerint (11.3) igaz.

Az általános esetben - amikor f { a ) vagy g{a) nincs értelmezve, vagy nem nulla, vagy a nem véges - a fenti bizonyítási ötletet úgy módosítjuk, hogy az f { x ) /g {x ) törtet egy (/ (rr )— / (y ) ) (5(a ; )-^ (y ) ) differenciahányadossal fejezzük ki. Először feltesszük, hogy a az a + 0, a — 0, oo vagy —oo szimbólumok valamelyike. Tetszőleges y a;-re

/ M ^ /(a^) - / (y ) ff(^ ) - 9 { y ) ^ /(a:) ~ / (y ) ^g{x) g { x ) - g { y ) g [ x ) g{x) g ( x ) - g{y) \ g { x ) ) ' g [ x ) '

Ebből következik, hogy alkalmas c G (a:,y)-nal

f i x ) f { c ) g{y)\g{x) g '{c ) V g{x ) / g{x)

Ha tehát belátjuk, hogy minden Xf,

(11.5)

yk Oi, Vk oí sorozat, amelyre

f iVk)0 és

> a, Xk a sorozathoz létezik olyan

Q{Vk)0, ( 11.6)

9Íxk) g{xk)

akkor ebből (11.5) alapján következik (11.4), majd az átviteh elv szerint (11-3)-

Tegyük fel először ( l l . l ) - e t . Legyen Xk -> a, Xk ^ a adott. Minden fc-hoz van olyan nk, hogy

1fiX n ,,) 1< - és

giXni,)

aixk) k gixk)

hiszen rögzített k mellettf(.Xn)

0 és g(x, i )g{xk) g{xk)

Vk = Xn,. minden /c-ra, akkor (11.6) nyilvánvalóan teljesül.

0, ha n ^ oo. Amennyiben

A L ’Hospital-szabály 279

Most tegyük fel (11.2)-t. Ekkor minden Xk —>■ ct, xk ^ a sorozatra lim |<7(a;/;,.)| = oo, ezért minden i-hez van olyan N i, hogy

f { x i ) 1< - és

gixi ) 1< -

9ÍXm) l 9ÍXm) l

ha m > N i- Feltehetjük, hogy N i < N -2 < — Válasszuk tehát az (y/,) sorozatot a következőképpen: legyen yj. = xi, ha N^ < k < N i+ i. Világos, hogy (11.6) ismét teljesül.

Végül, ha a = a véges, akkor a már bizonyított a = a + O éso; = a — 0 eseteket alkalmazva azt kapjuk, hogy

f i x )

amiből

Ilm ű í > = llm ,x-â-{) g [ x ) xâ+O g[x )

f i x )lim

g(x]

11.2. Pé ldák . 1. A 8.45. Példában beláttuk, hogy ha a > 1 , akkor x ^ oo esetén az függvény gyorsabban tart végtelenhez, mint x bármely pozitív kitevőjű hatványa. Ezt a L ’Hospital szabály n-szeri alkalmazásával is beláthatjuk.

lo g fl.a^ (logtt)” -a*lim — = lim

X—>00 2;™ xôo fi . x ’ ~‘= oo.

n (n - 1) • • 1

2. Hasonlóan, a L ’Hospital-szabály n-szeri alkalmazásával kapjuk, hogy

lo g "x nloghm --------= hm -------

x-¥oo T. a;—>-00

n-1

X x ^ o o X

Ebből egyszerűen következik, hogy

n:= . . . = lim — = 0.

xôo X

lóg" a;hm ----^ = 0

X—>oo x P

minden a és (3 pozitív számra. Tehát x bármely pozitív kitevőjű hatványa gyorsabban tart oo-hez x ^ oo esetén, mint logx bármely pozitív kitevőjű hatványa. (Ez egyébként 1.-ből is egyszerűen következik.)

3.1

hm X loe x = hm — — = hm x-> 0 + () ° j:-»(I+0 i r - > ( ) + 0 — -X ;

I_ _= 0.

Hasonlóan lehet belátni, hogy lim x°‘ loe x = 0 minden a > 0-ra.x-Ô+ü

28Ü 11. A clifferenciálszáiiiltás alkalmazásai

sin X — X cos X — 1 — sin x , — cos x 1 4. lim ----- ----= lim — — = lim — ------= lim

x->0 „.3 3a;- x-*i) 6a; 6 6

(Ez egyébként a 10.91. feladatból is egyszerűen levezethető.)

/ I 1 \ , a; — sin a; , 1 — cos x5. l i m ----------- j = lim ------------ = lim ----------------- =

i-í-o+íi V sin x x / íc-í-o+ü X sin x x->o+o sin x + x cos x

= limsin X

X-í-o+o cos X + cos X — X sin x

11.3. M eg jegyzés. A L ’Hospital-szabály nem mindig alkalmazható. Előfordulhat, hogy hm f { x )/g{x) létezik, de lim f ' {x )/g ' ( x ) nem létezik, pedigX— O, X~ d

lim f i x ) = lim q(x) = 0

és g, g' az a ponton kívül sehol sem nulla.

Legyen pl. a = 0, f ( x ) = x ' ■ sin - és g{x) — x. Ekkor

Másrészt

■c-»0 g[x) x-^o

f ' [ x ) _ 2x ■ sin j - cos ^

g' {x)

— = lim X • sin — = 0.X j:—>(J X

= 2x ■ sm---- cos —,X X

tehát lim f ' { x )/g\x) nem létezik. 0

F e la d a to k

limsin 3a;

11.1. Határozzuk meg az alábbi határértékeket.

logícosaa:)-----TT>log(cosöx)

t g x - xhm -----------,2-^0 X — sin X

tg 5a; ’

lim2->()

limx-»-Ü

rctg a;----

X

1-2

limx->()

sma;

V X

jm i (1 - x) ■ tg(7ra;/2), lim1

limx-»() X — sin x

lim ic—>-0

x c t g x — 1a;2

/ l + g x y : t . g x

hm -------- ,*^0 V 2 / ’

lim (2 — í- í-r ’

Polinomapproximáció 281

Polinomapproximáció

A differenciálhatóság értelmezésének kapcsán beláttuk, hogy egy függvény akkor és csak akkor differenciálható egy pontiban, ha ott lokálisan jól közelíthető lineáris polinommal (10.10. Tétel). Azt is beláttuk, hogy ha / differenciálható az a, pontban, akkor a lineáris polinornok közül az ! \ a ) ■ (a; — a) -f / (a) polinom az, amelyik f -e t lokálisan a legjobban közelíti (10.11. Tétel). Az aláb- iDÍakban ezeket az eredményeket általánosítjuk, amennyiben megkeressük az / függvényt lokálisan legjoblsan közelítő legfeljebb n-edfokú p„ polinomot*.

Ehhez mindenekelőtt pontosan értelmeznünk kell, hogy mit értsünk általában „lehető legjobb” közelítésen (ahogy azt a lineáris polinornok esetében is tettük). Egy függvénynek más függvényekkel való közelítése töbl^féle értelemben lehet „jobb” vagy „rosszabb” . Célunk lehet például, hogy egy [a, 6] intervallumban a

max |/(a;) - Pn[x)\x&[a,b]

eltérés a lehető legkisebb legyen. De az is lehet a cél, hogy az f { x ) — Vni^ ) eltérések laizonyos értelemben vett átlaga legyen kicsi. Ha egy a pont környezetében akarunk lokálisan jó közelítést, úgy azt akarjuk elérni, hogy az a-hoz elég közeli helyeken az eltérés „nagyon kicsi” legyen.

Amint azt a lineáris függvények esetében már láttuk, ha egy olyan p{x) függvényt tekintünk, amely a-ban folytonos és amelyre p (a ) = / (a ), akkor nyilvánvaló, hogy - amennyiben / is folytonos a-ban -

lim { { f [ x ) - p { x ) ) = f i a ) - p ( a ) = 0.

Ebben az esetben teljesülni fog, hogy az o-hoz közeli x helyeken p{x) „közel van” /(a;)-hez. Ha valóban jó közelítést akarunk, akkor ennél többet kell követelnünk. A 10.10. Tételben láttuk, hogy ha / differenciálható a-ban, akkor az e(x ) = f ' { a ) { x - a) -I- / (a ) lineáris függvény olyan jól közelíti, hogy nemcsak lim i { f { x ) — e(x ) ) = 0, hanem mégX ►a

11„. = 0x->a X — a

is teljesül, vagyis f ( x ) — e{x) az [x — a)-nál gyorsabban tart O-hoz. Könnyen látható, hogy lineáris függvénnyel való közelítésnél ennél többet - vagyis hogy f i x ) - e [ x ) még {x — a )“ -nál is gyorsabban tartson nullához valamely a > 1

* A Icövetljezö'lcben a legfeljebb n-edfokú polinoinolí közé az azonosan nulla polinoniot is beleértjük.

számra - nem várhatunk. Ha azonban f a z a pontban n-szer differenciálható, akkor, amint azt hamarosan belátjuk, n-edfokú polinommal mái' {x — a )" rendben is közelíthető abban az értelemben, hogy egy alkalmas legfeljebb n- edfokú í , i ( x ) polinomra

(11.7)( x - a)"-

Ennél többet általában megint nem lehet állítani.

A 10.11. Tételben láttuk, hogy a fenti értelemben legjobban közelítő lineáris függvény (legfeljebb elsőfokú polinom) egyértelmű. Ez a hneáris p\[x) polinom kielégíti az pi {a) = / (a ) és p\{a) = f ' { a ) feltételeket, és könnyen látható, hogy e két feltétel már meg is határozza p i(x )-et. A következő tételben megmutatjuk, hogy ezek az állítások kézenfekvő módon általánosíthatóak a legfeljebb n-edfokú pohnomokkal való közelítés esetére.

11.4. T é te l. Legyen az f függvény n-szer diffeienciálható az a pontban, és legyen

tnix) = f i a ) + f ( a ) { x - a ) + . . . + ^ ~ ^ { x - a f .ni

( 11.8 )

(i) A tn polinom az egyetlen a legfeljebb n-edfokú polinomok között, amelynek

az i-edik deriváltja az a pontban f^ '\a )-va l egyenlő minden i < n-re. Tehát

tn(a) = f {a ) , 4 (a ) = / ( a ) , . . . , 4 r ’ (a ) = / “ >(«), (H-Ö)

és ha egy legfeljebb n-edfokú p polinomra

P i a ) = fia), p\a) ^ f'{a),... ,p<">(a) = />"> («), (H -10)

akkor szükségképpen p — tn-

(ii) A tn polinomra teljesül (11.7). Ha egy legfeljebb n-edfokú p polinomra teljesül

f i x ) - p { x ) hm ---------- ---- — 0, ( 11. 11)

[ x — a )”

akkor szükségképpen p = í„,. Tehát a legfeljebb n-edfokú polinom ok közül a tn polinom az, amelyik az f függvényt az a pontban lokálisan a legjobban közelíti.

B izonyítás, (i) A (11.9) egyenlőségek egyszerűen következnek tn értelmezéséből. Most tegyük fel ( l l . lü )-e t , ahol p egy legfeljebb n-edfokú polinom-


Legyen q — p - tn- Ekkor

q[a) = q {a ) = ... = ^ '" '(ü ) = 0. (11.12)

Megmutatjuk, hogy q azonosan niüla. Tegyük fel, hogy q 0. A 10.34. Tétel szerint az a szám ^-nak legalább n -I- 1-szeres gyöke. Ez azonban lehetetlen, hiszen q legfeljebb n-edfokú. így q azonosan nulla, és p = tn-

(ii) Legyen g = f — tn és h{x) = {x — a )". Ekkor

g{a) = g ' { a ) = . . . = (?*"* (a ) = 0,

és h^'\x) = n - in — 1 ) {n - i l ) - {x - a )"~ ‘ minden i < n-re, amiből

hia) = h' ia) = . -- = /i‘” “ '>(a) = 0 és /í'"~ ‘ >(«) = n! ■ (x - a).

A L ’Hospital-szabály n — 1-szeri alkalmazásával azt kapjuk, hogy

'< "-” (x )ű(x') q' ix) Q'lim —— = lim —— = ... = lim —— ------- -.

hix) h {x) ^-*0. n\ ■ ix — a)

Mivel pedig

lim ------------= hm ----------------------------- = o' '(a = 0,x - > -a X — a X — a

ezzel (11.7)-et beláttuk.

Most tegyük fel ( l l . l l ) - e t , ahol p egy legfeljebb n-edfokú polinom. Ha q = p — tn, akkor (11.7) és (11.11) szerint

1-hm --------— = 0. (11.13)x-*a ix — a )”

Tegyük fel, hogy q nem azonosan nulla. Ha az a szám g-nak k-szoros gyöke,

akkor q{x) = {x — a )^ ■ r(a;), ahol í'(a ) 0. Mivel q legfeljebb n-edfokú, ezért k < n, ezért

qix)

(,-E — a )” - ' i x — a) '^~^

határértéke a-ban nem lehet nulla. Ez ellentmond (ll.lS )-n ak , amivel beláttuk, hogy q ^ O , é s p = tn- □

11.5. M eg jegy zés . A (ii) áüítás nem javítható, vagyis minden a > ü-hoz található olyan n-szer differenciálható függvény, amelyre

f i x ) - P n i x )(a; - a )“ + "

bármely n-edfokú Pni^ ) poliiiom esetén. Könnyű ellenőrizni, liogy pl. az f [ x ) = la-i” "''" függvény a = 0-ban ilyen tulajdonságú.

11.6. D efin íc ió . A (11.8)-ban definiált t„ polinomot az / függvény a pontbeli n-edik Taylor*-polinomjának nevezzük.

így a 0-dik Taylor-polinom az / (a ) konstans függvény, az első Taylor- polinoni pedig az / (a ) -f- f ' { a ) ■ (x — a) lineáris polinom.

Az f ( x ) —tn(x) különbség több különböző alakban állítható elő. A következő tételben kettőt adunk meg ezek közül.

11.7. T é te l (T a y lo r - fo rm u la ). Legyen az f függvény (n-f- l)-szei’ differenciálható az [a, a-] intervallumban. Ekkor van olyan c e ( a,x ) szám, amelyre

és van olyan d € {a,x) szám, amelyre

(11.14)

/ (^ ) = £ - d r i x - a). (11.15)fc=o A:! n!

Ha f (n + l)-szer differenciálható az [x, a] intervallumban, akkor van olyan c e {x,a) , amelyre (11.14) teljesül, és van olyan d e ( x,a) , amelyre (11-15) teljesül.

A (11.14) egyenlőség az űn. Tay lo r-fo rm u la a Lagran ge-fé le m aradék tagga l, (11.15) pedig a C auchy-féle m aradéktagga l. A z a = 0 esetben

(11.14)-et szokás M aclaurin^-form ulának nevezni.

B izon y ítás . Csak a,z a < x esetet bizonyítjuk; az a; < a eset teljesen hasonlóan kezelhető. Tetszőleges t e [a,.'i']-re legyen

R{ t ) =1! ni

- f { x ) . (11.le )

(Itt a;-et rögzítettnek tekintjük, tehát R a. t változó függvénye.) Ekkor R{ x ) = 0. A célunk az R{a) értékre alkalmas formulát találni. Mivel (11.16)-

* Broolí Taylor (1685-1731) angol matematikus

t Coliu Maclaurin (1698-1746) skót matematikus


bán minden tag differenciálható [a, 6]-ben, ezért R is az, és

R.'{t) =

= f i t ) +

+

1!

/(n+D(^)

+2! 1!

n\ ' (n — 1)!

Láthatjuk, hogy itt egyetlen tag kivételével minden kiesik, tehát

n!

Legyen h { t ) = {x — í ) ” " '. A Cauchy-féle középértéktétel szerint létezik olyan c e {a,x) szám, amelyre

(11.17)

R{a) R{x ) - R{a) R '{c ) R ’ {c)

{x — a )“ + h{x) - h { a ) h ' { c ) (n + 1) • (a; — c)”

_ (/ ("+ ^ > (c )/ n !)- (x -c )^ _ /(n+D(c)

(n -I- 1) ■ (a; — c )" (n -|- 1)!

Ebből R{a) = —(/*"‘'‘ '* (c )/ (n -f 1)!) • (x —a )"+ ’ , amivel megkaptuk (11.14)-et.

Ha a Lagrange-féle középértéktételt alkalmazzuk 7?-re, akkor azt kapjuk, hogy alkalmas d e {a,x) -re

a — X ni

Ebből R{a) = - ( / ‘” + '*(á)/n!) • (x - d)"' ■ (x - a), amivel megkaptuk(11.15)-öt. □

A 11.4. Tételben megmutattuk, hogy egy n-szer differenciálható függvényt az n-edik Taylor-polinomja lokálisan jól közelíti abban az értelemben, hogy X ^ a esetén f { x ) —tn(x) gyorsan tart 0-hoz. Más kérdéseknél viszont arra van szükségünk, hogy az / függvényt egy [a, 6] intervallumban globálisan közelítsünk polinommal. Ilyenkor olyan p i { x ) , . . . , pn{x ) , .. . pohnomokat keresünk, amelyekre az teljesül, hogy tetszőleges x e [a,&]-re \f{x) — pn{x)\ —>■ Ö, ha n oo. Mint látni fogjuk, a Taylor-polinomok ebből a szempontból is lényeges szerepet játszanak.

A függvények egy fontos osztályára igaz, hogy egy rögzített a helyhez tartozó Taylor-polinomjaik az [a, b] intervallum bármely x helyén /(a:)-hez

286 11. A difTerenciálszámítás alkalmazásai

tartanak, ha n -> oo. (Tehát most nem x -> a-ra nézzük egy rögzített n mellett a tn(x) poliiiom viselkedését, hanem rögzített x mellett n —> oo esetén.) Az egyik legegyszerűbb, de igen fontos ilyen jellegű tétel a következő.

11.8. T é te l. Ha f akárhányszor differenciálható az I intervalhuuhan, és létezik olyan K szám, hogy |/*"'(a;)| < K minden x e I-re és n e N-re, akkor

' n -coo í^ ’ ’ 'k=ú k\

minden a, x e I-re.

B izony ítás. A 11.7. Tétel (11.14) formulája az < K feltétellel együttazt adja, hogy

fc=() fc!

K

(n + 1)!

Mármost a 4.26. Tétel szerint \x — a|"/n! —> 0, amivel a tételt beláttuk. □

11.9. M eg jeg y zé s . A 11.8. Tétel állítása tulajdonképpen igen meglepő: ha egy függvényre az |/’” *| < K feltétel teljesül minden n-re, akkor egyedül az a helyhez tartozó differenciálhányadosok értékei meghatározzák a függvény értékeit minden más pontban. Ebből az is következik, hogy ezekre a függvényekre az a pont tetszőleges kis környezetében felvett függvényértékek minden más függvényértéket egyértelműen meghatároznak.

Lássunk néhány alkalmazást!

11.10. Pé lda . Legyen f { x ) — sinx. A (10.30) összefüggésekből következik,

hogy \P"'\x)\ < 1 minden x e M és n e N esetén. Ugyancsak a (10.30) összefüggések szerint a sinx függvénynek a 0 ponthoz tartozó (4n -|- l)-edik Taylor-polinomja

x^ i ' ’ x --------1-------- ... H---------------.

3! 5! (4 n + l ) !

így a 11.8. Tétel szerint

sin X = limn-ÔO

r-3 j.4n+IX' ' X

^ ^ (4n -f 1)!(11.18)

minden 2.-re.

Pohnomapproximáció 287

Ugyanígy bizonyítható, hogy

cosx = lim n->oox^ - i n

(11.19)

minden a;-re. (Ezek az állítások a 10.91. feladatból is egyszerűen levezethetők.)

11.11. P é ld a . Most legyen f { x ) = e/. Ekkor mindenx 6 ( —00, 6] és 71 e N esetén. Könnyen látható, hogy az e' függvénynek a0 ponthoz tartozó n-edik Taylor-polinomja

•> 71X X “ X

‘ + T T + 2 T + - - +

tehát

= lim ?i—>oo 2' n\

(11.2 0)

minden 2.'-re, amint azt már a 10.87. és 10.90. feladatokban is láttuk. Ha ( 11.20)-at -x -v e alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

e = lim n-ôo

T-l - x + - - . . . + ( - l ) " -

2! ni(11.21)

Ha vesszük (11.20) és (11.21) összegét, illetve különbségét, majd a kapott egyenlőségek mindkét oldalát elosztjuk 2-vel, akkor az

^2n+l

és

sh X = lim71—00

eh X = lim n—oo

■-f

Xi n

(2n)!(11.22)

limeszrelációkat nyerjük.

11.12. P é ld a . A 10.84. feladat szerint

lo g ( l- l-3 ; )= lim nôo\n-l X "

(11.23)

minden x G [0, l]-re. Ez a (11.14) fornnilából is egyszerűen belátható. Legyen f { x ) — lo g (l -t- x). Könnyű ellenőrizni, hogy

/(” )(a;) = ( - 1 ) " - * ■ ~ - J > ( l + x ) «

minden x > —1-re és n € N"‘"-ra. így a log (l + x) függvénynek a 0 ponthoz tartozó ri-edik Taylor-polinomja

tn{x) = x - ^ + ... + ( - 1 ) ” "^ — .2 n

Ha a; e (0,1], akkor a (11.14) formula szerint minden n-re van olyan c € (0, a;) szám, amelyre

1

Mivel

log (l + i ) - tn{x) = ( - 1 ) '

( - 1 ) "

„n+l

r,n+\n + 1

0 (11.24)(n + 1)(1 + c)'‘+i

ha n ->■ 00, ezért (11.23) fennáll.

Ez az okoskodás az a; < 0 esetben nem alkalmazható, mert ekkor c < 0, tehát az (11.24) becslés nem érvényes. A —1 < a; < 0 esetben azonban alkalmazhatjuk a (11.15) formulát. Eszerint minden n-re van olyan d e (a;,0) szám, amelyre

1

Itt 1 -I- á > 1 -j- .T > 0 és

l o g ( l + a : ) - t n { x ) = ( - 1 ) "

X — d

l + d

| l o g ( l + a ; ) - í „ ( a ; ) | < -

1 -f d )"+ '

< |x|, tehát

1

(a ; — d ) " ■ X.

|x| 0 ,

amivel az állítást beláttuk. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy (11.23) minden X e (—1, l]-re fennáll.

11.13. M eg jegyzés . A 11.8. Tételből nem hagyhatjuk el a deriváltak korlátosságára vonatkozó feltételt. Tekintsük a következő példát.

Legyen f { x ) = , ha a; 7 0, és legyen /(O) = 0. Megmutatjuk, hogy /mindenütt akárhányszor differenciálható. A differenciálási szabályok felhasználásával és teljes indukciót alkalmazva könnyű belátni, hogy / akárhányszor differenciálható minden a: ^ 0 pontban, és minden n-re van olyan "pn polinom, hogy

/ '” ’w =

Polinomapproximácid 289

minden x ^ 0-ra. Mivel = 0’ ezért az összetett függvény határér

tékére vonatkozó tétel (8.39. Tétel) szerint

lin i = 0,í->() a;-*"

és így

lim f^^\x) = lim Pn{x) ■ x " ■1

.E- ü „.l/l = ü.

Most belátjuk, hogy / a 0 pontban is akárhányszor differenciálható, és / (” ) (0) = 0 minden n-re. Az /*"’ (0) = 0 állítás n = 0-ra igaz. Ha n-re igaz, akkor (pl. a L ’Hospital-szabály szerint)

3: (1 a; — 0 x -^ {) X 1 ’

tehát /<” +^>(0) = 0.

Ezzel beláttuk, hogy / mindenütt akárhányszor differenciálható, és /(” ) (0) = 0 minden n-re. így az / függvény 0 ponthoz tartozó n-edik Taylor- polinomja az azonosan nulla függvény minden n-re. Mivel f { x ) > 0, ha a; 7 0, ezért a 11.8. Tétel állítása az / függvényre és az a = 0 pontra nem teljesül.

Megfigyelhetjük, hogy az / függvénynek az origóban abszolút minimuma van. Könnyít belátni, hogy a

lia a; < 0,

ha a; > 0, ha a; = 0

függvény szintén akárhányszor differenciálható, szigorúan monoton növő, és az origóban szintén nulla az összes deriváltja.

Po lin om okka l va ló g lobá lis approx im áció . A Taylor-polinomokkal való approximációt csak többszörösen differenciálható függvényekre alkalmazhatjuk. Az alábbi tétel szerint ahhoz, hogy egy / függvényt polinomokkal tetszőleges pontossággal app- roxirnálhassunk, az is elegendő, hogy / egy korlátos és zárt intervallumban folytonos legyen. Emlékeztetünk, hogy C[a, ö]-vel jelöljük az [a,ö] korlátos zárt intervallumban folytonos függvények összességét (lásd a 8.49.-8.55. Tételeket).

11.14. Tétel (Weierstrass approximációs tétele). Ha f 6 C[a,b], akkor minden e > 0-hoz van olyan p polinom, amelyre

\ f ( x ) - p ( x ) l < € (11.25)

minden x e [a, ö]-re.

290 11. A differencláJszámítás alkalmazásai

A tételt az integrálszámítás keretében fogjuk bizonyítani.

Megemlítjük, hogy konkrétan megadhatók olyan polinomok, amelyekre (11.25) fennáll. Az [a, t] = [0,1] esetben legyen

Bn{x; f ) = É / ( - ) ■/,=() V"/ V'-/

(Ezek a polinomok az f{k/n) {k = 0 , . n) függvényértékek olyan súlyozott közepei,

amelyekben az ~ xY'~''' súlyok a;-töl függenek.) A polinomot az

/ függvény n-edik Bernstein*-polinomjának nevezzük. Mármost be lehet bizonyítani, hogy minden £ > 0-hoz van olyan no = no{E;f), amelyre teljesül, hogy n > no esetén

|/(a:) - Bn{x\ /)| < £, ha .x- e [0,1].

Az általános eset erre visszavezethető. Ha ugyanis / : [o, b] M, akkor az x (-»• g{x) =— /(® + (& — «)■ x) függvény [0, l]-ben van értelmezve. Ezért legyen

^n{x\ f ) — B„,X — ab- -■,9 a '

minden x e [a, 6]-re. Más szóval az általános esetben a függvény Bernstein-polinomjait úgy kapjuk, hogy egy belső lineáris transzformáció segítségével az adott függvényt [0, l]-en értelmezett függvénnyé transzformáljuk, majd az így kapott függvény Bernstein-polinoraját visszatranszformáljuk [o.,&]-n értelmezett függvénnyé.

Gyakran merül fel az az igény, hogy egy / függvényt véges sok adott helyen felvett értékeiből próbáljunk rekonstruálni. Ha pl. méréseket végzünk, akkor a mérési eredményekből kell a függvény más értékeire következtetnünk - legalábbis közelítőleg. Ennek egyik legegyszerűbb módja az, hogy a lehető legalacsonyabb fokú olyan polinomot keresünk, amely az adott pontokban megegyezik a függvénnyel.

11.15. Tétel. Legyen f az [a, b] intervallumon értelmezve, és legyenek

a < X(] < X I < . .. < Xu < b

adott pontok. Létezik egy és csak egy olyan legfeljebb n-edfokú p polinom, amelyre p{x,) = f {xi ) [i = 0 ,...,n ).

•“ l’ ■Bizonyítás. Legyen li\x) a z ------- - lineáris függvények szorzata minden 0 < i ^ n,

X} - X/i ^ fc-ra. Ekkor Iq, . . ., l„, olyan íi-edfokú polinomok, amelyekre

1, ha k = j ,hÁ-Cj) = 0, ha k ^ j.

* Sergei Natanovich Bernstein (1880-1968) orosz matematikus


Ebből világos, hogy ha

(11.27)

akkor L„,{x',f) olyan legfeljebb ;z-edfokú pohnom, amely megegyezik /-fel mindegyik Xi pontban.

Most tegyük fel, hogy a p polinom is kielégíti ezeket a feltételeket. Ekkor a q =— p — L„{x] f ) polinom legfeljebb ;i-edfokú, és legalább n -1- 1 gyöke van, hiszen az o:o,..., x-ii, pontok mindegyikében eltűnik. így az 9.1. Lemma szerint q azonosan nulla, tehát p = Ln{x-,f). □

A (11.27)-ben megadott polinomot az / függvény ,tq, ... ,x„, pontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációs polinomjának nevezzük.

11.16. Megjegyzés. Bebizonyítható, hogy a |dbfc/n : 0 < fc < n) alappontokat véve az f {x) = sinx és g(x) = sin 2.x függvényekre a Lagrange-interpolációs polinomok jól közelítenek, viszont h{x) = |x’|-re egyáltalán nem közelítenek /-hez. Nevezetesen, meg lehet mutatni, hogy

\f{x) - Ln{x-f)\ < K - \g[x) - L„{x-,g) \ < ív •Yi. TI,

míg \h{x) - L„,{x-,h)\ akármilyen nagy lehet tetszőleges x e [-1,1], x ^ 0, 1, -1 esetén. (Lásd a 11.5. feladatot.)

Általában a Lagrange-interpolációs polinomok a [±k/n : 0 < k < n] alappontokra nem minden folytonos függvényre konvergálnak a függvényértékhez, dacára annak, hogy az egyre sűrűbb alappontokon a pohnom értéke megegyezik a függvény értékével.

Ha azonban az / függvény akárhányszor differenciálható és max \f "’' {x)\ = K,i,

akkor

\ f { x ) - L . „ , { xJ ) \< 2“n\

Tehát minél jobb becslést tudunk A'„-re, annál jobb becslést adhatunk 1/(2:) -L„(a:,/)|-re.

F e la d a to k

11.2. Közelítsük az f { x ) = \x\ függvényt [—1, l]-ben a ű,j{;c; /) Bernstein- polinomokkal n = A, 5, 6-ra.

11.3. Adjuk meg az f { x ) — függvény Bernsteiii-polinomjait [a,/>]-beii.

11.4. Adjuk meg f { x ) = cos x Bernstein-polinomjait

11.5. Határozzuk meg az

(a) f { x ) = sin a;, illetve a g{x) = sin 2a; függvények

7T TT

2 ’ 2-ben.

7T „± — • — : 0 < A; < n

n 2alappontokhoz tartozó Lagrange-interpolációs polinomját n = 2, 3, 4-re és a

(b) h{x) = \x\ függvény [±k / n : 0 < A; < n) pontokhoz tartozó Lagrange- interpolációs polinomját n = 2, 3, 4 és 7i = 10-re.

Ellenőrizzük, hogy (a)-ban lényegesen jobb közelítést kapunk, mint(b)-ben.

A határozatlan integrál

Gyakori feladat, hogy egy függvény deriváltjából akarunk a függvényre következtetni. Ez a helyzet, ha egy mozgó test sebességéből akarunk a helyére következtetni, vagy gyorsulásából a sebességére (és ebből a helyére). A terület- és téríbgatszámítás további példákat szolgáltat.

11.17. Pé ldák . 1. Legyen / nernnegatív, monoton növő és folytonos függvény az [a, b] intervallumban. Szeretnénk meghatározni az / grafikonja alatti területet. .Jelöljük T(a:)-szel az [a,a;] intervallum fölötti területrészt. Ha a < X < y < b, akkor

f{x) { iy - x ) < T [ y ) - T [ x ) < /(j/)(y - x),

hiszen T{y ) — T { x ) egy olyan idom területe, amely tartalmaz egy y — x szélességű és f { x ) magasságú téglalapot, és amely lefedhető egy y — x szélességű és f i v ) magasságú téglalappal (v.ö. 0.2. ábra). Ebből

T { y ) - T ( x )/ (^ ) < < / (y ),

A h atároza tlan in tegrá l 293

es Így,. T { y ) - T { x ) ^hm --------------- = f ( x ) ,

y - x

azaz T ' { x ) = f { x ) , ha x € [a,b].

Tekintsük például az f { x ) — függvényt a [0,1] intervalluniljan. A fenti

okoskodá-s .szerint T ' { x ) = x , amiből T{x ) = -x^ + c az integrálszámításó

alaptétele (10.52. Következmény) szerint. Azonban T(ü ) = 0, tehát c = 0, és

T{x ) = ^x^ minden x e [0, l]-re. Speciálisan T ( l ) = 1/3, amivel megkaptukO

Arkhimédész tételét a parabola alatti területről.

2. Ezzel a módszerrel a gömb térfogata is meghatározható. Tekintsük az origó középpontú R sugarú gömböt, és 0 £ u < ü esetén jelölje V{u) annak a gömbszeletnek a térfogatát, amelyet & z = 0 és z = u vízszintes síkok határolnak. Ha 0 < u < v < R, akkor

. TT. (w - u) < V(v) - V(u) < (R^ - u ^ ) - 7T - ( v - u). (11.28)

Valóban, V(v ) — V(u ) annak a gömbszeletnek a térfogata, amelyet a z = u és z = V vízszintes síkok határolnak. Ez a gömbszelet tartalmaz egy olyan

V — u magasságú hengert, amelynek az alapkörének a sugara JR? — és belefoglalható egy olyan v — u magasságú hengerbe, amelynek az alapkörének a sugara \/R' — v?. A henger térfogatát ismertnek feltételezve ebből megkapjuk a (11.28) egyenlőtlenséget. Mármost (11.28)-ból világos, hogy V\x) — 'n[R? — x^) minden x e [0,/í]-re, amiből

V (x ) = ttR -x — -TTX + cO

ismét az integrálszámítás alaptétele szerint. Mivel F (0 ) = 0, így c = 0. A félgömb térfogata tehát

V{R) = ttR^ - - ttR! = \ ttR\KJ O

A fenti példák megoldásában adott deriválttal rendelkező függvényeket kellett keresnünk.

11.18. D efin íció. Ha F diíí'erenciálható az I intervallumon és F ' { x ) — f { x ) minden x e /-re, akkor azt mondjuk, hogy F az / függvény primitív függvénye.

294 11. A d ifferenciá lszám ítás alkalm azásai

11.19. Téte l. Ha F prim itív függvénye f-nek, akkor f összes prim itív függ. vénye F + c alakú, ahol c konstans.

B izonyítás. Ez nyilvánvaló a 10.52. Következményből. □

11.20. D efin íció. Az / függvény primitív függvényeinek ö.sszességét j f dx-

szel jelöljük, és / határozatlan integráljának nevezzük. Tehát j f dx függvé

nyek halmaza, mégpedig ^ ^ j fd x akkor és csak akkor, ha F ' — J.

11.21. M eg jegyzések . 1. A 11.19. Tétel úgy is megfogalmazható, hogy ha

F e j f dx, akkor

J f dx = [F + c- c e R).

Ezt az állítást röviclebben (és kevésbé precízen) így szokás jelölni:

f dx — F + c./2. Egy megjegyzés a jelölésről: F ' = f úgy is felírható, hogy

dF

dx = /,

amiből „átszorzással” dF = f dx. így az F = J fd x képlet voltaképpen azt

jelzi, hogy a differenciálás megfordításáról van szó. Egyébként a dx-et elhagy

hatjuk az integráljel mögül; az j f éppolyan használható jelölés.

3. Van-e minden függvénynek primitív függvénye? Legyen pl.

0, ha X < 0,I 1, ha a; > 0.

Tegyük fel, hogy F az / függvény primitív függvénye. Ekkor a: < 0 esetén F ' ( x ) = 0, tehát F{ x ) = c, ha a; < 0. Másrészt a: > 0 esetén F ' { x ) = 1, tehát F { x ) — a- -t- a , ha x > 0. Ebből következik, hogy F i(0 ) = 0 és F |(0 ) = 1, tehát F nem differenciálliató 0-ban, ami lehetetlen. Ezzel beláttuk, hogy f-nek nincs primitív függvénye. Később, A deriváltfüggvéTiyek tulajdonságai című alfejezet- ben részletesen megvizsgáljuk annak feltételeit, hogy egy függvénynek legyen primitív függvénye.

A h a tá ro za tla n in teg rá l 295

4. A primitív függvény létezésének legfontosabb elégséges feltétele a folytonosság. Azaz, ha f folytonos az I intervalhnnban, akkor f -nek van prim itív függvénye. E fontos tétel bizonyításához azonban még nincsenek meg az eszközeink, ezért csak később, az integrálszámítás keretében tudjuk majd bebizonyítani.

Ennek látszólag ellentmond, hogy ha / nemnegatív, monoton és folytonos, akkor, mint láttuk, a T { x ) területfüggvény primitív függvénye f-nek. Az általános eset bizonyítása is ezen a gondolaton alapszik. Azonban ez az okoskodás felhasználja a terület fogalmát és tulajdonságait, és amíg ezeket nem tisztáztuk, addig ezen az úton nem jutunk el egy precíz bizonyításhoz.

5. A folytonosság tehát elégséges feltétel ahhoz, hogy létezzen primitív függvény. A folytonosság azonban nem szükséges feltétel. A 11.42. Példában megadunk egy olyan függvényt, amelyik nem folytonos 0-ban, de van primitív függvénye.

Amikor az elemi függvények primitív függvényeit keressük, akkor ugyanazt a módszert kell követnünk, amelyet a határértékek és a deriváltak kiszámításánál is alkalmaztunk. Először is szükségünk van egy listára, amely megadja a legegyszerííbb függvények primitív függvényeit. Ezek az ún. a lap in tegrá lok. Ezen kívül ismernünk kell azokat a szabályokat, amelyek megadják, hogy az /( függvények primitív függvényeinek ismeretében hogyan kaphatjuk meg további, az /,;-k segítségével értelmezett függvények primitív függvényeit. Ez utóbbi tételek az in tegrá lási szabályok.

Az itt felsorolt integrálok az elemi függvények differenciálási képleteiből adódnak.

11.22. A z a lap in tegrá lok .

f dx = — ^ - \ - c (a 7 - 1 ) í - dx = lóg |2;| -h c J a - \ - l J X

f a' dx = ------ - a® -f- c [a ^ 1 )J lóg a

J cos X dx = sin x + c

---dx = tg X- -|- Ccos- X

J J T ^ .

+ C

V l —

j eh x d x = sh x -{■ c

dx = arcsin x c

j e^dx = e^

j sin xd x = — cos x c

— T— dx = — ctg a: c sin- X

-------- dx = arctg x c1 +

j sh Xdx ~ eh X -|- c

296 11. A d ifferenciá lszám ítás a lkalm azásai

í — dx = th 2; + c f —^J d ra ; J sir.'

dx = arsh x + c = \oe(x + ^ x'’- + 1) ++ 1

/ 2— dx — arch x + c = log{x + y/x- - 1) +

— 1

dx = — cth X + c

\ + X

1 — X

Ezek az egyenlőségek úgy értendők, hogy a határozatlan integrál a jobb oldalon álló függvények halmaza mindazokon az intervallumokon, ahol a jobb oldali függvény értelmezve van és differenciálható.

Az integrálási szabályok közül most csak a legegyszerűbbekre lesz szükségünk. Később, az integrálszámítás keretében további módszereket fogunk megismerni.

11.23. Téte l. Ha f-nek és g-nek van prim itív függvénye az I intervallumon, akkor f + g-nek és c ■ f-nek is van, nevezetesen

j { f + g) dx = j f dx J 9 J c f dx = c j f dx

minden c e K-re.

A tétel úgy értendő, hogy B e j { f + g) dx akkor és csak akkor, ha H =

= F + G, ahol F £ j f dx és G e j gdx. Ugyanígy, H e j c f dx akkor és

csak akkor, ha H = cF, ahol F e j f dx.

B izonyítás. Az állítás nyilvánvaló a 10.18. Tétel (i) és (ii) állításaiból. □

11.24. Példák.

fJ (x' + 2x — 3) dx = — + x^ — 3x + c.

= ‘° S W -

A h a tá ro za tla n in teg rá l 297

11.25. T é te l. Ha F e akkorj í dx,

í f { ax + b)dx = - F { a x + b) + c J a

minden a,b e R , a ^ 0 esetén.

B izon y ítás . Az állítás nyilvánvaló az összetett függvény cliíFerenciálási szabályából. □

11.26. Pé ldák .

í \/'2x — 3 dx = í {'2x — dx — - ■ - ■ (2x — 3)^/^+c = ~{2x — 3)^^^+c.J J ^ 3 3

J e~^ dx = — - + c = —e~^ + c.

f X + 1 X + 1/ sin — — dx = —3 cos — ;------h c.

J ó 3

y = / ( i - icos2x) i r =

1 1 sin 2x X sin 2x = - X — - ■ — :----- c — ------------ ----- 1- c.

2 2 2 2 4

11.27. M e g jeg y zé s . Ezzel a módszerrel minden trigonometrikus polinom integrálját kiszámíthatjuk, felhasználva a (9.35)-(9.36) azonosságokat. így pl.

í . 3 , í . ■> ■ , /■ 1 - cos 2a: ./ sm xd x = I sm" x ■ sm xd x = I ----- -------sm x dx —

= f í - s i n x ---- cos2xsina:^ dx =J \2 2 /

= j sin.'c — -(s inSx + sin(—a;))^ dx =

— í f - sin X' — - sin 3a; dx = — - cos x -----cos ' ix + c.,4 4 / 4 12

1


11.28. Téte l. Ha f differenciálható és mindenütt pozitív I-n , akkor itt

f [ f ( x ) r f ' { x ) d x = ^ - Í - ^ ^ ^ ^ + c, h a a ^ - l .J a + 1

Ha f ^ 0 , akkor

/ 5g^ = lo g l/ W I + c.

B izonyítás. Az állítás nyilvánvaló az összetett függvény differenciálási szabályából. □

11.29. Példák.

r o sin"* X J cos X sin X dx = —------h c.

f , /• - s in x , , ,/ t gxdx = — I -------- dx = — lóg I cos a; I -f- c.

J J cos X

j 2:v T + ^ í ía ; = j i\/l + -2xdx = ^ j (x^ + l)'^^(x^ + 1)' dx

= i ^ + 1) /2 ^ ^ 1 (^2 ^ j)3/2 ^

Feladatok

11.6. Határozzuk meg az alábbi függvények határozatlan integrálját:

(a) cos^x, sin2x, l/ ^ / íT l , x H e ^ - 2, 3- , l / V x ,

(b) (2- + 3 " ) ', ( ( l - x ) / x ) ' , ( x + l ) / V í , (1 - x )V (^ 'V í ) .

x V (a ;+ l ) , l / V l - 2 x ,

(c) x'^(5 - x )^ (e '" + l)/ (e " + 1), tg “ X, ctg" X,

l/ (x + 5), x / ( l- x '^ ) , (x^ + 3 )/ (l - x^), l /{5x - 2Y^'\

v^l - 2x + x'^/(l - x),

(d ) 1 / (2 + 3 x "), + | x '- -5 x + 6|, xe '*^ x / ( l +

( l - x 2 ) 9 ,

Differenciálegyenletek 299

(e) x/y/x + 1, 4- , (sinx + cosx)^, sinx/Vcos^x,

x'^^yi + ;e ,

( f ) sinx/\/cos2x, x/ (x ‘* + 1), xjyjx^ + 1, (5x + 6)/(2x'“ + 3) e 7 (e " + 2),

(g ) x ’ (4x^ + 3 x (4,x - 1)^", l/ (x - lo g x ), (logx )/x ,

(h) (e'^ - e~'-^)j{é^ + e~^), (s in v^ )/ V x , (1 + x f j [ \ + x “ ),

x / (l+ x ^ )^ , x V x + 1 .

DifFerenciálegyenletek

A differenciálszámítás egyik legfontosabb alkalmazásának azt kell tekintenünk, amikor egy folyamat belső törvényszerűségét matematikai formába öntve a folyamatról teljes áttekintést tudunk szerezni, és a kimenetelét meg tudjuk jósolni. A differenciálszámítás nem utolsósorban azért született, hogy a segítségével az ilyen jellegű feladatok megoldhatókká váljanak.

Egyszerű példát szolgáltatnak az ún. szaporodási és bomlási folyamatok. Ha egy mennyiség úgy változik, hogy a változás sebessége arányos a mennyiség pillanatnyi értékével, akkor szaporodási vagy bomlási folyamatról beszélünk attól függó'en, hogy az arányossági tényező pozitív vagy negatív. Például egy ország lakossága olyan periódusban, amikor a népszaporulatot nem befolyásolják háborúk, járványok vagy az orvostudomány új eredményei, továbbá az életszínvonal minősége is nagyjából állandó, körülbelül a fenti törvényszerűség szerint változik: ilyenkor az évi népszaporulat arányos a lakosság számával. Ugyanez a helyzet pl. egy szigeten szaporodó nyulak esetében, vagy akár egy baktériumtenyészetben. Egy radioaktív bomló anyag mennyisége szintén e törvényszerűség szerint változik. Ugyanis a bomló anyag minden molekulája egy adott (kis) h időtartam alatt adott 'p valószínűséggel bomlik el. így a t idő alatt elbomló anyag mennyisége körülbelül p • (í//i)-szorosa az anyag teljes mennyiségének. Tehát az anyagmennyiség változásának sebessége p//i-szorosa a pillanatnyi anyagmennyiségnek.

Hogyan ragadhatjuk meg a szaporodási, illetve bomlási folyamatokat matematikailag? Ha a vizsgált mennyiség nagysága a t időpontban / (í), akkor a törvényszerűség így írható le;

= (11.29)

300 11. A difFerenciálszámítás alkalmazásai

és szaporodási, illetőleg bomlási folyamatról beszélünk aszerint, hogy a k konstans pozitív vagy negatív. A feltétel megfogalmazása után a lehetséges f { t ) függvényeket könnyen áttekinthetjük.

11.30. T é te l. Legyen f differenciálható az I intervallumhíin és legyen j ' = k - f az I intervallumon, ahol k konstans. Ekkor van olyan c konstans, hogy

f { x ) = c - e kx { x e l ) .

B izony ítás. Legyen g(x ) = f { x ) e . Ekkor

g' {x ) = - kf (x ) e~^^ = 0,

tehát g = c, amiből f { x ) = c • . □

A szaporodási és bomlási folyamatokat tehát mindig c ■ alakú függvények írják le.

Példa . Egy érdekes gyakorlati alkalmazás az ún. Cn-es kormeghatározási módszer. Az élő anyagokban a radioaktív Ch szénizotóp és az elemi C u szén mennyiségének ai’ánya állandó. Ha az élő anyag elpusztul, akkor benne a Cu izotóp nem pótlódik, hanem C i2-vé bomük 5730 éves felezési idővel (azaz a C \4 mennyisége 5730 év alatt a felére csökken). Ennek alapján egy szerves anyagot megvizsgálva megállapíthatjuk, hogy körülbelül hány éve pusztult el. Tegyük fel például, hogy egy bizonyos (élő) fafajtában a C h aránya a teljes szénmennyiséghez viszonyítva a. Ha mármost találunk egy ugyanilyen fajtájú fadarabot, amelyben a Cm aránya a teljes szénmennyiséghez viszonyítva0,9a;, akkor a kövekezöképpen okoskodhatunk. A fa kivágásakor a fában levő

kt1 grammnyi szénben a C 14 mennyisége a volt. A C u bomlását egy c ■ e

függvény írja le, ahol tehát c-e^“ = a, amiből c = a. Tudjuk, hogy == q/2, tehát ebből k = —0,000121. Ha a fát t évvel ezelőtt vágták ki, akkor

Q • = 0,9ü!, amiből t = [ l /k] ■ lóg0,9 % 870 év.

A (11.29) összefüggés differenciálegyenlet ahhan az értelemben, ahogy azt a 10.38. Megjegyzésben definiáltuk, vagyis egy összefüggést ír le az / függvény és a deriváltjai között. Egy differenciálegyenletet szimbolikusan a

$ = 0 (11.30)

képlettel írhatunk le. Az (11.29) differenciálegyenlet ezen jelölés szerint az y - k ■ y = 0 alakban írható. A (11.30) összefüggés általában tartalmazhat

ismert, adott függvényeket, ahogy y' ~ k ■ y = 0 tartalmazza a k konstanst.


kz y — f függvény akkor m egoldása a (11.30) differenciálegyenletnek, ha / n-szer differenciálható egy I intervallumon, és

í- ( : r ,/ (r r ) ,/ '(x ) , . . . ,/ '" ) (x ) )= 0

minden x e /-re. A 11.30. Tétel tehát úgy is megfogalmazható, hogy az y' == ky differenciálegyenlet megoldásai a ce ’* függvények.

A (11.29) differenciálegyenlet fontos általánosításai az y' = fy + g egyenletek, ahol f és g adott függvények. Ezeket elsőrendű lineáris d ifferenciá legyen leteknek nevezzük.

11.31. Téte l. Tegyük fel, hogy f-nek van prim itív függvénye az I intervallumon, és legyen F egy rögzített prim itív függvény. Ekkor az y' = fy + g differenciálegyenlet összes megoldása

= j ge ^ dx.

Azaz, akkor és csak akkor van megoldás, ha ge ^-nek van prim itív függvénye,

és az összes megoldás ■ G alakú, ahol ^ e j ge~^ dx.

Bizonyítás. Ha y megoldás, akkor

{ye~^Y = { fy 4- g)e~^ + y e ~ ^ { - f ) = ge~^ ,

tehát y = j ge~^ dx. Másrészt

j dx^ = fe ^ j ge~^ dx + ge~^ = fe ^ j ge~^dx + g. □

11.32. Pé lda . (A kis hangya és a gonosz manó meséje.) A kis hangya egy10 cm hosszú gumiszalag jobb végpontjából indul 1 cm/sec sebességgel a szalag rögzített bal végpontja felé. Ugyanakkor a gonosz manó a szalag jobb szélét megragadva szaladni kezd 100 cm/sec sebességgel, a rögzített végponttól jobbra távolodva. Beérhet-e a hangya a bal végpontba?

Ha y(í)-vel jelöljük a hangya távolságát a bal végponttól, akkor könnyen láthatóan a hangya sebessége

y{ t ) 10y 'it ) = 100;

10 -t- 100< ’ lOí -t- 1

Ez egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, amelyre alkalmazhatjuk a 11.31. Tétel megoldását. Mivel F = log(lOí-l-l) egy primitív függvénye a 10/(10í -H 1)

függvénynek, ezért

y = í = (lü í + 1) f ----------- dt =J J l u í I X

= { m + i ) c - ^ i o g ( i o í + i ) .

Mivel 2/(0) = 10, ezért c — 10, tehát

A hangya tehát beér a bal végpontba, mégpedig t sec múlva, ahol lo g (1 0 í+ l) = = 100, azaz lOí + 1 = e“ ’" % 2,7 • lO'^l Ebből t % 2,7 • 10'*' sec 8,6 • lO’ " év. (A hangya, útja során kb. 10'** fényév távolságra kerül a rögzített végponttól.)

11.33. T é te l. Legyenek I , J intervallumok, és f : I R, g : J ->■ M \ {0} adott függvények. Tegyük fel, hogy f-nek, illetve 1/g-nek van p rim itív függ

vénye I-n , illetve J-n, és legyenek F e J f , G e Ji^/9 ) adott prim itív

függvények. Ekkor egy y ; /j —> M függvény akkor és csak akkor megoldása az y = f { x ) g {y ) differenciálegyenletnek az /i c / intervallumon, ha G{y{x) ) = = F { x ) + c minden x e I i-re valamely c konstanssal.

B izonyítás. Legyen differenciálható. Ekkor

y’{x) = f { x ) g { y { x ) ) {y [ x ) /g{y{x) ) ) - f { x ) = 0 <

{ G { y { x ) ) - F { x ) y = 0 ^

^ G(y{x ) ) - F { x ) = c <=^

G{y{x) ) = F { x ) + c. □

11.34. M eg jegyzések . 1. Az y' = f { x ) g {y ) egyenleteket szeparábilis d iffe ren c iá legyen letekn ek nevezzük. A tétel állítását röviden úgy fejezhetjük ki, hogy g ^ 0 esetén az egyenlet összes megoldását megkaphatjuk, ha G{y) = F ( x ) + c-ből kifejezzük y-t. Ez azt is jelenti, hogy a következő formális eljárás a helyes eredményre vezet.

^ = f{x)g(y), = f { x ) dx, j = j f i x ) dx, G{y) = F { x ) -t- c.dy dy

9Íy)

2. Az y' = f { x ) g ( y ) egyenlet megoldásai általában nincsenek értelmezve a teljes I intervallumon. Tekintsük pl, az y' = differenciálegyenletet, ahol


/ = 1, / = K és g{x) = x ’ , J = (0, oo). Ekkor a megoldásokra a fenti tétel

szerint —— = x + c, y = ----- — . A megoldások tehát csak egy-egy nyílty X + c ' •

félegyenesen vannak értelmezve.

11.35. Pé lda . Tekintsük y = c ■ x~ függvények grafikonjait. Ezek olyan parabolák, amelyek az origótól eltekintve egyrétűen lefedik a síkot, azaz a sík bármely, az origótól különböző pontján át pontosan egy parabola halad át ezek közül. Melyek azok a görbék, amelyek mindegyik y = c ■ x parabolát merőlegesen metszik? Ha egy ilyen görbe az y = f { x ) függvény grafikonja, akkor bármely a ^ 0 pontban

^ ____l _ ^ 1 ^ ____^“ 2c - a 2 { f {a) la?) ■ a 2f { a ) '

Ugyanis a merőleges metszés (definíció szerint) azt jelenti, hogy a görbe bármely (a ,/ (a )) ponjában a görbe érintője merőleges az ugyanezen a ponton átmenő parabola érintőjére, és ezt az érintők meredekségével megfogalmazva a fenti feltételhez jutunk.

Tehát / megoldása az y' = —x/2y szeparábilis differenciálegyenletnek. A fenti módszert követve azt kapjuk, hogy

2ydy = —xdx,

j 2ydy = - j xdx,

tehát

/ W = ± ^ / c - - ,

ahol c tetszőleges pozitív konstans. 11.1. ábra

(Végül is a kapott görbék az = c egyenletű ellipszisek.)

11.36. A m ásodrendíí lineáris hom ogén d ifferenciá legyen let. Legyenek g és h adott függvények az I intervallumon. Az alábbiakban röviden áttekintjük az

y" + gy' + hy = o ( 11.31)

differenciálegyenlet megoldásaival kapcsolatos tudnivalókat. Feltesszük, hogy g-nek van primitív függvénye I-ir, legyen G egy rögzített primitív függvény.

304 11. A d ifferen c iá lszám ítás a lka lm azása i

1. Könnyű ellenőrizni, hogy ha yi és yi megoldások, akkor C\y\ + C2y-2 is megoldás minden c i,c -2 e M-re. (Azaz a megoldások vektorteret alkotnak.)

2. Ha y\ és megoldások, akkor {y[y2-y iy '2)e^ konstans I-n . [Bizomjítás: ellenőrizni kell, hogy a deriváltja 0.)

3. Ha 1/1 és j/2 megoldások, akkor vagy y[y-2 — yiV2 azonosan nulla 7-n, vagy sehol sem nulla 7-n. {Bizonyítás: az előző állításból.)

4. Ha J/l és 'í/2 megoldások, és van olyan J C 7 intervallum, amelyen j/i 7 0 és itt y-j/vx nem konstans, akkor y\y-i — yiy '2 ^ 0 7-n. {Bizonyítás: ha 0 lenne, akkor 1/2/yi deriváltja is 0 lenne, tehát y2/yi konstans lenne J-n.)

5. Ha J/l és j/2 olyan megoldások, amelyekre j/jj/2 — j/ij/2 0 7-n, akkor minden megoldás cjj/i + C2J/2 alakú. (Azaz a megoldások vektortere kétdi

menziós.) {Bizonyítás: tudjuk, hogy (yay' - = ^i, (j/iy - y[y)e^' = C2,

és {yiy'i — — C3, ahol ci, C2, C3 konstansok, és C3 ^ 0. Vonjuk ki az első egyenlőség j/i-szereséből a második j/2-szeresét. Azt kapjuk, hogy

yiUiVi — = C]y\ — C2yz- A harmadik egyenlőség figyelembevételével ebből y = {ci/cs)yi - {c2/c-i)y2.)

Ha az 5. feltétel teljesül, akkor azt mondjuk, hogy y\ és IJ2 a laprendszert alkotnak.

11.37. A z állandó együtthatós másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet. Ez az előbb tárgyalt differenciálegyenletnek az a speciáhs esete, amikor g és h konstansok;

y" 4- ay' -H fay = 0.

Legyenek nz + a x b = 0 egyenlet gyökei Aj és A2. Könnyű ellenőrizni, hogy az alábbi j/i, megoldások kielégítik a fenti 5. feltételt, tehát alaprendszert alkotnak.

(i) Ha Ai és A2 különböző valósak, akkor y\ = j/2 =

(ii) Ha Ai = A2 = A, akkor y\ = j/2 = xe^^.

(iii) Ha Ai és A2 komplex számok, azaz Ai = a + i(i, X2 = a — i0 {a , P € akkor yi = cos x, j/2 = sin x.

11.38. A harm onikus rezgőm ozgás egyen lete i. Tegyük fel, hogy az egyenesen mozgó P pontra minden pillanatban az origótól való távolsággal arányos és azzal ellentétes irányú erő hat. Ekkor a P mozgását leíró egyenlet my” — cy, ahol m a. P pont tömege és c < 0. Legyen - c j m = c?, ekkor

D ifferenciá legyen letek 305

y'-\-ory = ^, és ebből a fentiek szerint y{t) = ci cos at + C2 sin at. Legyen

q + cl, ekkor van olyan 6, amelyre sin 6 = ci/C és cos 6 = C2/C. így y{t) = C(sin6cosaí + cosbsinat), azaz

y{t) = C ■ sm{at + b).

Most tegyük fel, hogy a P pontra még valamilyen ellenállásból származó olyan erő is hat, amely arányos P sebességével, és azzal ellentétes irányú. Ekkor a mozgást leíró egyenlet m y" = cy + ky\ ahol c, fc < 0. Legyen —c/m = = ao és —k/m = a\, ekkor y” + a\y' -t- a^y = 0, ahol ao,ai > 0. Legyenek az

-f aix -I- ao = 0 egyenlet gyökei Ai és A2, ekkor az af - 4ao — d jelöléssel

—ai ± ~/dAi ,2 - ----- ----- .

Nyilván d < a\. Ha d > 0, akkor Ai,A2 < 0 és az összes megoldás

y{t) = cie^'^ -f- C26''2f-

Ha d = 0, akkor Ai = A2 = A < 0 és az összes megoldás

y{t) = cie^* + C2Íe^K

Végül, ha < 0, akkor Ai,2 = Q ± i/9, ahol a < 0. Ekkor az összes megoldás

y{t) = e“ ‘ (ci C0S/3Í + C2sin/3í) = C ■ e^^s'm{f}t + <5).

Megfigyelhetjük, hogy mindhárom esetben y{t) 0, ha i ->■ 00, tehát a rezgés „lecseng” .

Kényszerrezgés akkor lép fel, ha a P pontra az origótól való távolsággal arányos és azzal ellentétes irányú erőn kívül még egy adott M sin wí nagyságú erő is hat. (Ez az erő tehát csak az időtől függ. Az egyszerűség kedvéért a súrlódástól eltekintünk.) A kényszerrezgés egyenlete my" — cy + Msinwí, azaz

y" -I- a y = — sin wí. mM (11.32)

Ahhoz, hogy az összes megoldást felírjuk, elég egy j/o megoldást találni.

Általában, ha g, h, u adott függvények, akkor az

y" + g y '+ hy = u (11.33)

egyenletet másodrendű lineáris inhomogén differenciálegyen letneknevezzük. Ha ismerjük a (11.33) egyenlet egy yo megoldását, továbbá az


v " + 9V + hy = 0 egyenlet egy j/i, 2/2 alaprendszerét, akkor (11.33) összes megoldása ;í/o + C] iji + C2V2 alakú.

Visszatérve a kényszerrezgésre, keressünk egy j/o megoldást cicosw í + + C2sinwí alakban! Egyszerű számolás adja, hogy w ^ a esetén ci — 0 és C-, — M lm {a ^ — megfelel. Ekkor tehát (11.32) összes megoldása

M yW = — íT suiüJt + Cs'm [at + b).

m[a^ — u^)

Ha viszont a/ = a, akkor keressük a megoldást t (c i cosu>t + C2 sinust) alakban! Ekkor Cl = —M/2m és c-2 = 0 adódik, amiből az összes megoldás

My{t) = ------ 1 cos at + C sin (a í + b).

'lm

Látható, hogy a mozgás nem korlátos; a í/- = 'Ih-Kja pillanatokban a kitérés

|y(ífc)l > — 00 (A;-> 00). ma

Ez azt jelenti, hogy ha a kényszerrezgés frekvenciája (o;/27r) megegyezik a sajátrezgés frekvenciájával (a/27r), akkor rezonancia lép fel.

1 1 .3 9 . Néhány, egyszerűbb típusra visszavezethető difFerenciáJ- egyenlet. 1. Az y" = f { y , y ' ) ún. hiányos (x-et nem tartalmazó) másodrendű differenciálegyenletet elsőrendűre vezethetjük vissza, ha először azt ap függvényt keressük, amelyre y' ( x) = p(y{x) ) . (Ilyen p akkor van, ha y szigorúan m^onoton.) Ekkor y " = p '{y )y ' = p\y) ■ p, tehát p -p = f ( y , p ) - Ha ebből p-t meg tudjuk határozni, akkor y-t az y' — p[y) szeparábiiis egyenletből kaphatjuk meg.

Egy egyszerű példa: y '\ f = ?/; pp\ f = p; p = y~' \ p = (-1 / y ) + c; y = ( — l/y) + c, és ebből y már meghatározható.

2. Az y' = f { x + y) egyenlet szeparábilisra vezethető vissza, ha bevezetjük

a. z = X + y függvényt. Erre ui. fennáll z' — 1 = f { z ) , ami szeparábiiis.

y = {x + y f ; 2' - 1 = 2:^ z' = z + j = j dx\

arctg z — X + c; z = tg(a; -I- c); y — tg(a; + c) — x.

3 . Az y' = f {y/x ) egyenlet szeparábilisra vezethető vissza, ha b e v e z e t jü k

a z — y/x függvényt. Ekkor y = zx, y = z + xz = f { z ) , z — { f { z ) — z)/x, ami szeparábiiis.

Példa;


Feladatok

11.7. Oldjuk meg a következő egyenleteket:

{ & ) y + 2xy = 0, y ' - 2y ctg.x = 0, y ' - x y = x^, x/ + y=:e~^, y' — (y/x) = -I- 3a; — 2, y cosx + ysinx = 1;

(b) ?y = y\ xy' = ylogy, y = y - - 3y -I- 4 = 0, y' = -F 1, y

y' = + 1 ) ), y ' ys/ l - x^ = - X y j l - y " ^ ]

(c) y' = {y - x f , y = - 2x, xy' = y - x ■ cos^{y/x), xsin{y/x) — ycos{y/x) -I- xy' cos(y/x) = 0;

( d ) y " + y = 0, y " -5 i j ' + 6y = 0, y " - y ' - 6y = 0, 4y” +4y'+'37y = 0\

(e) í/" = (1 - y Y ' = 1, 2xy” + y ' ^ 0, y " = y -

11.8. Mutassuk meg, hogy az y' = ^y^ egyenletnek az y{Q) = 0 kezdeti feltétel

esetén az y{x) = 0 és az y{x) = {x/'3}^ is megoldása.

11.9. A 100 fokos forró lekvárt kirakjuk hűlni a 20 fokos levegőre. A lekvár hőmérséklete 10 órakor 30 fok, 11 órakor 25 fok. Mikor raktuk ki? (A lehűlés sebessége arányos a test és környezete hőmérsékletének különbségével.)

11.10. Rajzoljuk meg a következő egyenletek integrálgörbéit (azaz a megoldásainak grafikonjait)! y' = y/x, y' — x/y, y' = —y/x, y = —x/y,

y' = kx^y^.

11.11. Logisztikus görbének nevezik az y — {a — by)y egyenlet megoldásait. Az tt = 6 = 1 speciális esetben az y' = (1 — y)y logisztikus egyenletet kapjuk. Oldjuk meg ezt az egyenletet! Ábrázoljuk vázlatosan az egyenlet néhány integrálgörbéjét!

11.12. Határozzuk meg azokat az / függvényeket, amelyekre a következő állítás igaz: a graph / tetszőleges P { x , y ) pontjának az origótól mért távolsága ugyanakkora, mint az a szakasz, amit a P pontban a grafikonhoz húzott érintő az y tengelyből lemetsz.

11.13. Legyen / : [0,00) (0 ,00) differenciálható, és tegyük fel, hogy minden a > 0-ra az a; = 0, x- = a, y = 0 egyenesek, valamint az / grafikonjához az {a , f ( a ) ) pontban húzott érintő által határolt trapéz területe állandó.

/ = ?

11.14. Egy 300 kg tömegű és 16 m/sec sebességgel haladó motorcsónak motorját kikapcsoljuk. Milyen messzire jut el (és mennyi idő alatt), ha a víz ellenállása (azaz a mozgás irányával ellentétes irányban ható erő) v sebesség esetén ír Newton? Mi a helyzet, ha az ellenállás v Newton?

11.15. Határozzuk meg, hogy a 100 m/sec kezdősebességgel függó'legesen fölfelé kilőtt rakéta mennyi idő alatt éri el legmagasabb helyzetét, ha a levegőnek a rakétára gyakorolt ellenállása negatív, —v^/10 gyorsulást hoz létre. (A nehézségi gyorsulást vegyük 10 m/sec^-nek.)

11.16. Egy test lassan folyadékba merül. Az ellenállás arányos a sebességgel. Határozzuk meg a kezdősebesség nélkül folyadékba merülő test mozgásának út-idő grafikonját.

11.17. Egy a%-os M liternyi oldatba 6%-os oldat folyik be m liter/sec sebességgel, és ugyanilyen sebességgel azonnal elkevert oldat folyik ki. Mi az edényben levő oldat töménysége az idő függvényében?

11.18. Melyek azok a görbék, amelyek merőlegesen metszik a következő görbeseregeket? (i) y = x^ + c , (ii) y = e^4-c; (iii) y = c-e^; (iv ) y = cos(v ) y = c - cosx.

A láncgörbe

Függesszünk fel egy végtelenül vékonynak képzelt, de súlyos fonalat, amely homogén abban az értelemben, hogy bármely s hosszúságú ívének a súlya c • s, ahol c konstans. A célunk annak a bizonyítása - felhasználva a fizika néhány alapvető összefüggését -, hogy a felfüggesztett homogén fonál alakja hasonló a eh X függvény grafikonjának egy részívéhez. A bizonyításhoz szükségünk lesz a függvénygrafikonok ívhosszára vonatkozó 8.73. és 8.74. Tételekre, amelyeket még eggyel kiegészítünk.

11.40. T é te l. Legyen f diíFerenciálható [a, b]-hen, és tegyük fel, hogy f ' folytonos. Ekkor f grafikonja, rektifikálható. Jelöljük s{x)-szel a graph/ grafikon [a, x] fö lö tti részének ívhosszát, vagyis legyen s{x) = s(/; [a, ,-r]). Ekkor s is

differenciálható, és s\x) = J\ + { f ' { x ) f minden x e [a, 6]-re.

11.41. Lem m a. Legyen / differenciálható [a,b]--ben, és tegyük fel, hogy

A < ^/l + { f ' { x ) ) ‘ < B minden x e {a, b)-re. Ekkor f grafikonja rektifikálható,

A láncgörbe 309

és az s{f ; [a, í;]) ívhosszra fennállnak a

A ■ {b — a) < s{f- [a, b]) < B ■ {b — a)

becslések.(11.34)

B izonyítás. Legyen a = X[] < x i < .. . < Xn = & az [a, b] intervallum egy F felosztása, és legyen pi = { x i , f { x i ) ) minden i = 0 ,... ,n-re. A és pi pontok távolsága

- pi - i\ = J { x i - x,-_i)2 -h (/(a;,;) - f i x i - i ) ) ' ^ =

N

, , f f i x i ) - f ( X i - i ) Y ,1 + -------------------- - i x i - x i ^ i ) .

V Xi - Xi - i )

/ '(c .) = '

(11.35)

A Lagrange-középértéktétel szerint van olyan c; 6 (a;,;, ) pont, amelyre

/(a;,) -/ (x , :_ i )

Xi - X i- i

Mivel a feltétel szerint A < ,J\ + { f ' { c i ) Y < B, ezért (11.35)-ből a

A ■ (xi - x i - i ) < \pi -p i - i \ < B ■ {x-i - x í - i ) (11.36)

becslést kapjuk. Az F felosztáshoz tartozó beírt töröttvonal hp hossza a |p, - p i - i \ számok összege. Ha tehát a (11.36) egyenlőtlenségeket összeadjuk minden i = l , . . . , n-re, akkor azt kapjuk, hogy

A - { b - a ) < h F < B - { b - a ) , (11.37)

amiből (11.34) nyilvánvaló. □

A 11.40. T é te l bizonyítása. Weierstrass tétele szerint f ' korlátos [a, 6]- ben, ezért az előző lemmából következik, hogy graph / rektifikálható. Legyen

c e [a, ö) és £■ > 0 adott. Mivel a v 1 -|- x' és f ' függvények folytonosak, ezért a

^1 4- i f ' ix) ) '^ összetett függvény is folytonos. Jelölje D + (/ '(c ))^ számot. A folytonosság definíciója alapján találhatunk egy pozitív ő számot úgy, hogy

D - e < + [ f ' { x ) f - < D + e

minden x & { c , c + í)-ra. így a 11.41. Lemma szerint

{D - e) ■ (x - c) < s{f - [c, x\) = s{x) - s{c) < {D + e) ■ (x - c),

azazs(x) - s(c)

(11.38)

n - e <x — c

< D + e,

ha x 6 (c ,c + ő). Ezzel beláttuk, hogy s\{c) = D = ^\ + (/'(c))'^. Ugyanígy

kapjuk, hogy s'_{c) = ^1 + (/ '(c ))^ minden c € {a,b]-re. □

Tekintsünk most egy felfüggesztett fonalat, és legyen / az a függvény, amelynek a grafikonja megadja a felfüggesztett fonál alakját. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy / konvex és differenciálható.

A fonálban fellépő belső húzóerő következtében a fonál minden pontjában két egyenlő nagyságú és ellentétes irányú erő hat (az ún. kötélerök), melyek iránya megegyezik az érintőével. Tetszőleges x < y-ra az [x^y] feletti ívre három külső erő hat: a végpontokban kifelé húzó kötélerők, valamint az ívre ható c • (s (y ) — ^(a:)) nagyságú gravitációs erő. Mivel a fonál nyugalomban van, e három erő összege nulla. A gravitációs erő iránya függőleges, ezért a két kötélerő vízszintes komponensei ki kell, hogy ejtsék egymást. Ez azt jelenti, hogy a kötélerő vízszintes komponense bármely két pontban azonos. Van tehát egy a > 0 konstans úgy, hogy minden x-re az x-ben ható kötélerő vízszintes komponense a, és így a függőleges komponense hiszen a kötélerő érintőirányú. Ebből következik, hogy az [x, y] feletti ívre ható három erő függőleges komponensei —a • a ■ f ' { y ) és —c - (s (y ) — 5(2; ) ) . Azt kaptuk tehát, hogy

0- • f ' { y ) - a • í ' ( x ) - c ■ {s{y) - s{ x ) ) = 0

minden x < y-ra. Ha itt leosztunk y — x-szel és y-nal x-hez tartunk, akkor azt kapjuk, hogy a ■ f " { x ) — c ■ s' {x) = 0. Ebből az előző tétel alapján f " { x ) =

Mivel (arshx)' = l/VT+a?^, ezért [arsh(/')]^ = f " 1^1 + (/')^ = így

arsh i f ' { x ) ) = bx + d valamely d konstanssal. Ebből f ' { x ) = sh(6a; + d), tehát

f { x ) = ■ ch(öx + d) + e,

ahol b,d,e konstansok. Ez azt jelenti, hogy / grafikonja hasonló a chx függvény grafikonjának egy részívéhez, és éppen ezt kellett bizonyítani.

A deriváltfüggvények tulajdonságai

A déri vált függvények tulajdonságai

311

A határozatlan integrál fogalmának kapcsán említettük, hogy a folytonosság a primitív függvény létezésének elégséges, de nem szükséges feltétele. Most bemutatunk egy olyan g függvényt, amely nem folytonos a 0 pontban, de van primitív függvénye.

11.42. Pé lda . Tekintsük először az

f { x ) =x 's in - , ha 3; 0,

xha 2; = 00 ,

függvényt. A differenciálási szabályok alkalmazásával azt kapjuk, hogy x ^ 0 esetén

f ' { x ) = 2xsin - - cos - .X x

A differenciálási szabályok segítségével / differenciálhatóságát a 0 pontban

már nem lehet eldönteni, és a 2xsin -----cos — függvény nincs is értelmezveX X

0-ban. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az / függvény nem differenciálható 0-ban. Ennek eldöntésére nézzük a differenciahányados határértékét:

,. / (a ; ) - / (0 ) x '^ s in i-O . 1 ^lim --------------- = Ilin --------- ------ = hm xsxn----- ü,

X — 0 X— X — 0 x - ^ O X

vagyis f ' { 0 ) = 0. Tehát az / függvény mindenütt differenciálfiató, és a deriváltja

2x sin-----cos —, ha x ^ 0,X X

0, ha X = 0.(ll.c)9j

Mivel lim 2x sin i = 0 és cos - határértéke nem létezik a 0-ban, ezért f ' = gX X

határértéke sem létezik a 0-ban.

Tehát az f i x ) függvény mindenütt differenciálható, de a deriváltfüggvé- nye nem folytonos. Ezt úgy is megfogalniazhatjuk, hogy a g függvény nem folytonos, de van prim üív függvénye.

A z alábbi tétel azt állítja, hogy a deriváltfüggvények - dacára annak, hogy nem mindig folytonosak - rendelkeznek a Bolzano-Darboux-tételben megfogalmazott tulajdonsággal.

11.2. ábra

1 1 .4 3 . Tétel (D arboux -téte l). Ha f diíFerenciáiható[a,b]-ben, akkor itt f minden és fL ( b ) közötti értéket felvesz.

B izonyítás. Tegyük fel először, hogy f [ { a ) < 0 < /'_((>)■ Belátjuk, hogy van

olyan c e (a, b), amelyre f ' { c ) = 0. A 10.43. Tétel féloldali variánsa szerint / jobbról szigorúan lokálisan csökken a-ban, és balról szigorúan lokáhsan nő' í)-ben. (Lásd a 10.44.1. Megjegyzést.) Ebből következik, hogy /-nek az (a,b) nyílt intervallumban vannak olyan értékei, amelyek kisebbek /(a)-nál, illetve /(b)-nél.

Mármost Weierstrass tétele szerint / felveszi az abszolút minimumát valamely c e [a, b] pontban. Mivel f {a ) és f {b) egyike sem a legkisebb függvény- érték [a, ö]-ben, ezért c e {a,b). Ez azt jelenti, hogy c lokális szélsőértékhely, tehát f ' ( c ) — 0.

Legyen most /|(a) < d < fL{b) . Ekkor a g{x) = f ' { x ) — d ■ x függvényre

g+{a) = /+(a) — á < 0 < f'_{b ) — d = g'^(h). Mivel a g függvényre teljesülnek

az előbbi speciáhs eset feltételei, ezért van olyan c e (a, &), amelyre g' {c) = = f ' { c ) — d = 0 , azaz f ' ( c ) = d.

Hasoirlóan bizonyítható az állítás a /+(a) > fL{b) esetben. □

1 1 .4 4 . M egjegyzések. 1 . Azt mondjuk, hogy az / függvény Darboux- tulajdonságú az / intervallumban, ha valahányszor a,b € I és a < b, akkor / minden / (a ) és f {b) közötti értéket felvesz [a, 6]-ben. A Bolzano-Darboux-tétel szerint egy korlátos zárt intervallumban folytonos függvény mindig Darboux- tulajdonságú. A Darboux-tétel szerint ugyanez igaz a deriváltfüggvényekre is.

2. A Darboux-tétel úgy is megfogalmazható, hogy egy függvénynek cs'ak akkor lehet prim itív függvénye, ha Darboux-tulajdonságú. Ez a feltétel azonban nem elégséges a primitív függvény létezéséhez. Meg lehet mutatni, hogy minden deriváltfüggvénynek van folytonossági pontja (ennek a bizonyítása azonban meghaladja ennek a könyvnek a kereteit). Ez azt jelenti, hogy a primitív függvény létezéséhez az is szükséges, hogy a függvény legalább egy pontban folytonos legyen. Könnyű ellenőrizni, hogy ha egy / : [0,1] -> M függvény a [0,1] intervallum minden részintervallumában minden 0 és 1 közötti értéket felvesz (egy ilyen függvényt konstruáltunk a 7.13. feladatban), akkor / Darboux-tulajdonságú és nincs folytonossági pontja. Egy ilyen függvénynek tehát nem lehet primitív függvénye.

A deriváltfüggvények tulajdonságai 313

3. A primitív függvény létezésének a folytonosság elégséges, de nem szükséges feltétele; a Darboux-tula,jdonság pedig szükséges, de nem elégséges feltétele. Jelenleg nem ismeretes olyan egyszerűen megfogalmazható, a függvény belső tulajdonságain alapuló feltétel, amely szükséges és elégséges feltételt adna arra, hogy az adott függvénynek legyen primitív függvénye. Számos jel arra mutat, hogy ilyen feltétel nem is létezik. (Lásd a [4] dolgozatot.)

Felmerül a kérdés, hogy a deriváltfüggvények rendelkeznek-e a folytonos függvények 8.49. és 8.52. Tételekben megfogalmazott tulajdonságaival is. A következő példákban megmutatjuk, hogy a válasz nemleges. Ami a korlátosságot illeti, jegyezzük meg, hogy a 11.42. Példában konstruált g függvény korlátos a [—1,1] intervallumban. Valóban, könnyen látható, hogy x e [—1,1] esetén g{x) < 2\x\ -f 1 < 3. Először egy olyan deriváltfüggvényt konstruálunk, amely nem korlátos [—1, l]-ben.

11.45. Pé lda . Legyen

a;"sin— , ha a; ^ 0, x^

0, ha X = 0.

Ekkor X ^ 0 esetén

1 2 1f ' { x ) = 2x sin — ---- - cos — .

Mivel

f { x ) - f { 0 ) 2 ;2 s in ^ -0hm --------------- = hm ---------

X —0 X — 0

ezért / a 0-ban is differenciálható. Mármost f ' ( x ) nem korlátos [- l, l ]-b e n , mert

hmk—>oo '(v fc ) = oo.

11.46. Pé lda . Megmutatjuk, hogy van olyan / függvény, amely mindenütt differenciálható, a differenciálhányadosa az / = [0,1/10] intervaUumban korlátos, de f'-n ek /-ben nincs legnagyobb értéke. Legyen

(1 — 3x)x^ sin —,X

0,

ha X / 0,

ha a: = 0.

Ekkor X esetén

Mivel

f ' { x ) = (2a; - 9x") sin - — (1 — 3x) cosX X

lim = lim (1 — Zx)x sin - = 0,x->-() X — Q x -^ ú X

ezért / a 0-ban is differenciálható. Megmutatjuk, hogy az I intervallumban f '-iiek nincs maximuma. Valóban, x e I esetén f ' { x ) < (2x — O.!-) + (1 — 3i') < < 1 - 1, és

/ ■ ■ S ' i . / ' ( ( 2 t T i ) í ) ' ( ' “ ( 5 ) t T T ) í ) =

Ebből következik, hogy sup f ' { x ) = 1, de f ' az I intervallumban mindenütt3?e/

kisebb, mint 1. Tehát f'-nek /-ben nincs legnagyobb értéke, bár itt nyilvánvalóan korlátos.

Feladatok

11.19. Létezik-e a

sgn,i; =

függvénynek primitív függvénye?

1, ha a: > 0 0, ha a; = 0

-1 , ha a; < 0

11.20. Létezik-e az [a;] (egészrész) függvénynek primitív függvénye?

11.21. Létezik-e a

g(^) =2x + 1, ha a; < 1,

_ 3a;, ha a; > 1 függvénynek primitív függvénye'.^

11.22. Bizonyítsuk be, hogy ha / difFerencíálhatő az I intervallumban, akkor /^-nek /-ben nem lehet megszüntethető szakadási helye.

11.23. Bizonyítsuk be, hogy ha / differenciálható az a pont egy pontozott környezetében, akkor /-nek a-ban nem lehet elsőfajú szakadása.

Függelék: M ég egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről 315

11.24. Legyen / differenciálható egy I intervallumban. Bizonyítsuk be, hogy f ' { I ) is intervallum.

11.25. Bizonyítsuk be, hogy a hi {x) = sin(l/a;), /ii(0) = 0 és a h->{x) = = cos(l/a,’), /i2(0) = 0 függvényeknek van primitív függvénye. (A megoldásban felhasználhatjuk, hogy minden folytonos függvénynek van primitív függvénye.)

11.26. Mutassuk meg, hogy az előző feladatban szereplő h\ és h-2 függvények négyzeteinek nincs primitív függvénye.

Függelék: M ég egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről

A trigonometrikus függvények értelmezése nagymértékben a geometriában gyökerezik. E függvények definíciója közvetve felhasználta a szög, közvetlenül az ívhossz fogalmát, a főbb tulajdondonságaik tárgyalásához pedig szükségünk volt az elforgatás fogalmára és tulajdonságaira. Ugyanakkor a trigonometrikus függvények az analízis alapvető függvényei, ezért felmerülhet az igény, hogy az értelmezésüket függetlenítsük a geometriai fogalmaktól. Mivel a grafikon ívhosszát precízen definiáltuk és a szükséges tulajdonságait bebizonyítottuk, számunkra csak az elforgatások szerepe okoz gondot. Az addíciós képletek bizonyítása az elforgatások tulajdonságain alapult, a sin a: és cos a; függvények differenciálhatóságának bizonyítása pedig felhasználta az addíciós képleteket. Ezért a trigonometrikus függvények elmélete a megfelelő geometriai háttér nélkül nem teljes. Az alábbiakban vázolunk egy olyan felépítést, amely kiküszöböli ezt a hiányosságot.

A 9.21. Megjegyzés jelöléseit használjuk. Legyen k{u) = v^l - és legyen S{u) = s(^';[w,l]) minden W6 [- l,l]-re . (Ekkor S[-u) a K egységkör {u,k{u)) és (1,0) pontjait összekötő ívének hossza.) Tudjuk, hogy az 5 függvény szigorúan monoton csökken [—1, l]-ben, és a 9.21. Megjegyzés szerint a [0,7r] intervallumban a cos a; függvény nem más, mint az S függvény inverze. Azt is láttuk, hogy a K körre egy a’-|-7r hosszúságú ívet felmérve egy olyan pontba jutunk, amely átellenes a (cos a-, sin a;) ponttal, tehát a koordinátái (-cosa:, -sina:). így nyilvánvaló, hogy a következő definíció ekvivalens a 9.20. Definícióval.

11.47. Definíció, (i) Legyen k{u) = \/l — it és S{u) = s(í;;[w, 1]) minden u e [—1, l]-re. Az S függvény Inverzét, amely a [0,7r] intervallumban van értelmezve, cosx-szel jelöljük, A cosa: függvény értelmezését kiterjesztjük a számegyenesre oly módon, hogy cos(a; -I- tt) = — cosa; teljesüljön minden x valós számra.

316 11. A differenciálszámítás all<alrnazásai

(ii) A sin a: függvényt a [0,7r] intervallumban a sin;r = \/l—cos'- a: képlettel értelmezzük. A sin a: függvény értelmezését kiterjesztjük a számegyenesre oly módon, hogy sin(a,- + tt) = — sinx teljesüljön minden x valós számra.

A fenti definíció felhasználja, hogy ha egy / ; [0, a] —>• ffi függvényre /(o) = —/(O), akkor f-e t egyértelműen kiterjeszthetjük 1-re úgy, hogy f (x + a) = —f{x ) teljesüljön minden a:-re. Valóban, könnyen látható, hogy az

f { x + ka) = { - l ) ’' - f i x ) (:EG[0,a], k G Z )

definíció egy ilyen kiterjesztést ad, és hogy ez az egyetlen lehetséges kiterjesztés.

Mármost a fenti definíció segítségével ugyanúgy beláthatjuk az (9.25)-(9.39) összefüggéseket, ahogy azt a 9. Fejezetben tettük. Ugyan az ott alkalmazott gondolatmenetek használták a tükrözés fogalmát, de nem nehéz belátni, hogy ez a bizonyításokból egyszerííen kiküszöbölhető.

A (9.42) összefüggés bizonyítása több ponton is geometriai tényeken alapszik; ilyen a 8.75. Lemma (amelyben a konvex sokszögek tulajdonságait használtuk fel) és a hasonló háromszögek fogalma. Ezeket kiküszöbölendő' a 9.26. Tételt a következővel helyettesíthetjük.

11.48. Tétel. Ha x / 0, akkor

(11.40)

Bizonyítás. Mivel a (sina,-)/a: függvény páros, tehát elég az x > 0 esetet tekinteni. A (sina;)/x < 1 egyenlőtlenség nyilvánvaló (9.38)-ból.

Az 1 —a: < (sin.x‘)/3;: egyenlőtlenség x > T:/2-Te evidens, hiszen ha (tt/2) < x < akkor (sin .-c)/:!: > 0 > 1 — x, ha pedig x > ír, akkor (sin x)/x > > —1 > 1 —

Végül tegyük fel, hogy 0 < x < tt/2. Legyen cos x = u és sin x = v. Ekkor ismét a

cos a; és sinx függvények definíciója szerint - a k{t) = V l — függvény gra fik on ján ak

a [«, 1] intervallum feletti ívének hossza x. Mivel az [u, 1] intervallumban a k függvény monoton csökkenö, ezért a 8.73. Tétel alapján

a; < (1 - u) -I- (k{u) - fc(l)) = (1 - u) -|- (« - 0) = (1 - cos a:) -I- sin a;'.

Mivel (9.39) szerint 1 - cos a; < x , ezért a; < -|- sinx, vagyis (11.40) első e g y e n lő t

lensége ekkor is igaz. □

A k(x) függvény konkáv [-1, l]-ben és differenciálható (-1 , l)-ben, ahol a deri

váltja -x/-v/l - x' . Mivel

S{u) = s{k\ [íi, 1]) = 7T - s{t, [-1 , m])

Függelék: Még egyszer a trigonometrikus függvények értelmezéséről 317

minden u e [—1, l]-re, ezért a 11.40. Tétel szerint 5 differenciálható (—1, l)-ben, és a deriváltja

Az inverz függvény deriválási szabálya alapján ebből következik, hogy a cos x függvény differenciálható (0,7r)-ben, és a deriváltja

1= — y / l — COS X = —sinx.

Vi-™

A (9.25) összefüggések alapján ez minden x ^ kir pontban igaz. Mivel cosx és sinx mindketten folytonosak, ezért a (cosx)' = - sinx egyenlőség ezekben a pontokban is teljesül (lásd a 10.73. feladatot). Ezt felhasználva, a (9.32) összefüggésekből következik, hogy (sinx)' = cosx minden x-re.

Végül belátjuk az addíciós képleteket. Legyen o, g M tetszőleges. Az

A[x) = [sin(a 4- x) — sino.cosx — coso.sinx]^ 4-

-I- [ c o s ( a -I- x ) — c o s a c o s x -I- s in a s in x ] ^

f ü g g v é n y m i n d e n ü t t d i f f e r e n c i á l h a t ó , és a d e r i v á l t j a

2 ■ [sin(íi -t- x) - sin a cos x - cos a sin x] • [cos(a -I- x) + sin a sin x - cos a cos x] -f-

+2 ■ [cos(a + x) — cos a cosx -I- sin a sinx] • [ - sin(« -f- x) -I- cos a sinx + sin a cosx] = 0.

így az A függvény konstans. Mivel 4(0) = 0, ezért A{x) = 0 minden x-re. Ez csak úgy lehetséges, ha minden x-re és a-ra

sin(o. -t- x) = sin a cos x -t- cos a sin x

és

cos(a -h x) = cos a cos x — sin a sin x,

és éppen ezt kellett belátnunk.

Megoldási ötletek

1. Fejezet

1.12. Húzzuk be az egyeneseket egyenként. Minden új egyenes behúzása annyival növeli a tartományok számát, ahány tartományba az új egyenes belemetsz. Mutassuk meg, hogy ezek száma eggyel nagyobb az előző egyenesek számánál.

1.14. Alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az x, x,2 - 2x számokra.

1.22. Legyen X = .4i U ... U A,,,- Bizonyítsuk be (felhasználva a de Morgan- azonosságokat és az (1.2) azonosságokat), hogy minden U (A i,. . . , A „) képlet a következő alakra hozható: Ui H U2 D ... H ahol minden i-re Ui = .4 j' U ... U . Itt £j = ±1, Aj = Aj és AJ^ = X \ Aj. Ellenőrizzük, hogy ha az ilyen alakú U és V képletekre a feladat feltétele teljesül, akkor U = V.

2. Fejezet

2.4. Bizonyítsuk be, hogy egy véges halmazon nem lehet olyan < relációt megadni, amely teljesíti a 10. és 11. axiómát.

2.10. Van-e közös pontja az [nfx, l/?i] intervallumsorozatnak?

2.16. Mutassuk meg, hogy (i) Ha az a szám a H halmaz legkisebb pozitív eleme, akkor H = {na : n e Z}. (ii) Ha /í-nak nincs legkisebb pozitív eleme, akkor i í Pl (0,ó) 0 minden 6 > 0-ra, és ekkor H mindenütt sűrű.

2.26. Tegyük fel, hogy H ^ & és H-nak van alsó korlátja. Mutassuk meg, hogy H alsó korlátjai halmazának legkisebb felső korlátja egyszersmind H legnagyobb alsó korlátja.

2.32. Mivel b/a > 1, ezért van olyan ?i > 0 racionáhs szám, amelyre b/a = 1 + (1/w)- Igazoljuk, hogy a = (1 + (1/n))"’ és b = (1 + (1/h))''^^- Legyen n = p/q, ahol p és

Megoldási ötletek 319

q relatív prím pozitív egészek. Mutassuk meg, hogy ({p + q)/py‘ '‘ csak akkor lehet racionális, ha c/ = 1.

2.33. A 0 < r < 1 esetben alkalmazzuk a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget.

3. Fejezet

3.29. Ha V 2 tizedesjegyei valahonnan kezdve megegyeznének, akkor V 2 racionális lenne.

4. Fejezet

4.5. Konstruáljunk olyan végtelen A c N halmazt, amelyre A O {kn : ri e N} véges minden k e N-re. Legyen a,i = 1, ha n e .4 és a„ = 0 egyébként.

4.21. Mutassuk meg, hogy a — n ■ maxfaj : 1 < i,k < n] sorozat kielégíti a feltételeket.

5. Fejezet

5.4. (d) Bontsuk fel a sorozatot két monoton részsorozatra.

5.5. Mutassuk meg, hogy o„. > •Ja és a„, > minden n > 2-re.

5.7. Szorozzuk össze az 1 -i- - < < 1 H-----— egyenlőtlenségeket mindenk k — l

2 < k < n~re.

5.9. Tegyük fel, hogy (on+i —n,, ) monoton csökkenő. Bizonyítsuk be, hogy a-2u ~ 'n > 5: n ■ (a2)i+i ~ «2h) minden n-re.

5.16. A feltétel az, hogy létezzen a véges vagy végtelen lini a,, = a határérték, a,,, 5 «« —>00

teljesüljön minden ;i-re, és ha a„. = a végtelen sok n-re, akkor a„ < a csak véges sok n-re teljesülhet.

5.21. Egy lehetséges konstrukció: legyen a„. — '/k, ha 2 < n < 2^ .

5.22. Az állítás igaz. Alkalmazzuk az átviteli elv bizonyításának gondolatmenetét.

320 Megoldási ötletek, megoldások

6. Fejezet

6.2. Minden N-re csak véges sok olyan (a i,... ,aj.) sorozat van, amelyre |ail + • • • + + |0/,:l = N.

6.4. Használjuk fel, hogy minden intervallum tartalmaz racionális számot.

6.9. Elég bizonyítani, hogy az (A,B) párok halmaza kontinuum számosságú, ahol A,B c N . Keressünk olyan leképezést, amely ezen párok halmazát kölcsönösen egyértelműen N részhalmazainak halmazára képezi.

6.11. Minden x e (0,1] egyértelműen áll elő x = 2“ "' + 2“ "2 + ,,. alakban, ahol fti < U2 < ■ ■■ természetes számok. Alkalmazzuk az

bijekciókat.

7. Fejezet

7.4. Van ilyen függvény. Konstruáljunk először ilyen függvényt az a, b, —a, —b négyelemű halmazon minden 0 < a < b-re.

7.5. Legyen pl. az azonosan 1 függvény minden c-re. Egy kevésbé triviális példa: legyen f,:{x) — x + c minden c, x e M-re.

A második kérdésre a válasz nemleges. Ha ui. g = akkor g o g = f\, és nem minden f\ függvényhez van ilyen g. Lássuk be, hogy ha / (I) = —1, / (—1) = 1 és f {x) = 0 minden x # ±l-re, akkor nincs olyan </ : M ->■ 1 függvény, amelyre gog = f. (Sokat vizsgálták azt a kérdést, hogy mely függvények állnak elő go g alakban. Lásd pl. a [6] dolgozatot.)

7.6. (a) Legyen f i konstans és /2 egy-egyértelmű. (c) A válasz igenlő, (d) A válasz igenlő.

8. Fejezet

8.8. Mutassuk meg, hogy a pozitív periódusok halmazának infimuma pozitív és szintén periódus.

8.12. Lássuk be először, felhasználva a 2.17. feladat állítását, hogy ha x irracionális, akkor az (na;} számok halmaza mindenütt sűrű [0, l]-ben.

8.15. Tegyük fel, hogy lim f (y) = oo minden x'-re. Konstruáljunk olyan egymásba

skatulyázott intervallumokat, melyekre f {x) > n minden x e [a„,fcn]-re.

Megoldási ötletek 321

8.16. Tegyük fel, hogy lim f (y) = 0 minden :K-re. Konstruáljunk olyan egymásba

skatulyázott intervallumokat, melyekre |/(.t)I < l/w minden x e [«,i, ?)„]-re.

8.20. Konstruáljunk egy olyan 4 c ® halmazt, amely nem korlátos felülről, de minden a > 0-ra n ■ a Ah.&n elég nagy. (Azt is elérhetjük, hogy minden a > 0-ra legfeljebb egy olyan n e N"*" létezzen, amelyre n ■ a G A.) Legyen f {x) = 1, ha a: e .4 és legyen f {x ) — 0 egyébként.

8.57. Mutassuk meg, hogy ha a p harmadfokú polinom főegyütthatója pozitív, akkor lim p(x) — oo és lim p{x) = —oo, tehát p felvesz pozitív és negatív értékeket is.

X' -OO

8.58. Alkalmazzuk a Bolzano-Darboux-tételt az f ( x ) — x függvényre.

8.60. Lássuk be, hogy ha / folytonos és f { f { x ) ) — —x minden ;c-re, akkor (i) / egy- egyértelmű, (ii) / szigorúan monoton, és így (iii) f { f { x ) ) szigorúan monoton növő.

8.71. (b) Lássuk be először, hogy f és g korlátosak A-n, majd alkalmazzuk az

fky)9{y) - f {x)g{x) = f{y) ■ (g{y) - g{x)) + g{x) ■ {f{y) - f {x ) )

átalakítást.

8.79. Minden folytonos függvény kielégíti a feltételt.

8.80. Lássuk be először, hogy ha p < q racionális számok és n pozitív egész, akkor az {a e [ - n ,n ] : hm f {x ) < p < q < f{a) ] halmaz megszámlálható.

8.81. Alkalmazzuk a 8.17. feladat megoldásának gondolatmenetét.

8.88. Nem lehetséges.

8.89. Nem lehetséges.

8.93. A g{x) = f ( x ) — / (l) ■ x függvény additív, bármely racionális szám szerint periodikus és felülről korlátos egy intervallumban. Mutassuk meg, hogy g{x) - 0 minden ;r-re.

8.95. Alkalmazzuk a 8.69. Tétel bizonyításának a gondolatmenetét.

8.101. A 8.100. feladat szerint elég belátni, hogy I minden c pontjának van olyan környezete, amelyben / korlátos. Legyen / felülről korlátos [a, 6] C /-ben. Feltehetjük, hogy b < c. Legyen

a = sup{2; e 1 : x > a, f korlátos [a,;r] - ben).

Lássuk be (felhasználva / gyenge konvexitását), hogy a > c.

9. Fejezet

9.15. Alkalmazzuk az 5.7. feladatot.

9.30. Alkalmazzunk teljes indukciót, felhasználva a cos(n + 1 )2: + cos(n — 1)* =

= 2 cos n x ■ cos x azonosságot.

9.34. Mutassuk meg, hogy /(O) = 1 és /(2x-) = 2 f ^ { x ) — 1 minden j:-re. Bizonyítsuk be, hogy ha valamely a, c e ffi-re /(a) = cos(c • a), akkor /(2a) = cos(2c • a) és /(a./2) = cos(ca/2).

10. Fejezet

10.9. Nincs ilyen pont. Használjuk fel azt a számelméleti tényt, hogy minden x irracionális számhoz végtelen sok olyan p/q racionális szám létezik, amelyre \x — {'p/q)\ <

< lA/.10.52. Tegyük fel, hogy c < d és f{c) > f{d). Mutassuk meg, hogy van olyan a e [c,d) pont, amelyre f {a) = /(c) és f {x ) < /(c) minden x € (a,rf]-re.

10.55. Egy lineái'is függvény levonása után feltehetjük, hogy f ' {c) = 0. Azt is feltehetjük, hogy f " {c ) > 0. így f ' szigorúan lokálisan növő c-ben. Vezessük le ebből, hogy /- nek szigorú lokális minimuma van c-ben, ebből pedig azt, hogy alkalmas xi < c < X2- re f { x i ) = f { x 2).

10.63. Differenciáljuk az {f {x) — sina;)^ + {g{x) — cosx’) függvényt.

10.69. Az állítás k = n-re igaz. Bizonyítsuk be a Rolle-tétel felhasználásával, hogy ha1 < A: < n és az állítás igaz A:-ra, akkor igaz k — 1-re is.

10.74. Legyen g{x) = ( f { x + h) - f{x) )/h. Ekkor (/(a + 2/i) - 2f{a -h h) + f{a) ) lh^ =- {g{a + h) - g{a)) lh. A Lagrange középértéktétel szerint van olyan c e {a, a + h), amelyre {g{a + h) — g{a))/h = g'{c) = {f ' {c + h) — f' {c))/h. Alkalmazzuk /'-re a10.10. Tételt.

10.79. Feltehetjük, hogy a > 1. Bizonyítsuk be, hogy = ;r-nek akkor és csak akkor van gyöke, ha az {a:')' — a'' • loga = 1 egyenlet xo megoldására < X{). Mutassuk meg, hogy az utóbbi egyenlőtlenség ekvivalens az 1 < xo ■ lóg « és e < « = 1/ lóg a egyenlőtlenségekkel.

10.80. (i) Legyen a < 1. Mutassuk meg, hogy az (0271+1) sorozat monoton növő, az ( « 2« ) sorozat monoton csökkenő, és mindketten konvergálnak az a:' = x egyenlet egyetlen megoldásához. Az a = 1 eset triviális, (ii) Legyen a > 1. Ha a sorozat konvergens, akkor a limesze megoldása az a" = x egyenletnek. Az előző feladat szerint ennek csak akkor van megoldása, ha a < e '^ '. Mutassuk meg, hogy ebben az esetben a sorozat monoton növőleg konvergál az a''' = x egyenlet (kisebbik) megoldásához.

10.82. Mindkét egyenlőtlenség bizonyításához alkalmazzuk a 10.81. feladat eredményét.

Megoldások 323

Megoldások

1. Fejezet

1.3. Jelöljük ?^,i-nel a feltételt kielégítő H C 11,, . . . , íi) halmazok rendszerét, és legyen elemszáma a„. Könnyű ellenőrizni, hogy ai = 2 és 02 = 3 (az üres halmaz is

megfelel). Ha n > 2, akkor nem nehéz belátni, hogy minden H C [ l , - ■ ■ , n}-ra

H G H u ^ [(n í í ) A ( ff n ( 1 , . . . , íi - 1) e -H,,,-!)]v

w [{n e H ) A {H n {1,... ,n - 2] e Hn-'i) a (n - 1 H)].

Ebből világos, hogy n > 2 esetén a„, = a„_i -|-a„_2. Az elemszámok a„, sorozata tehát2, 3, 5, 8,.... Ez az ún. Fibonacci-sorozat, amelyre explicit formula is adható (lásd a

3.3. feladatot).

1.11. Az indukciós lépés n — 3-ra nem működik: ekkor nem állíthatjuk, hogy P = Q .

2. Fejezet

2.28. Ha az N halmaz felülről korlátos lenne, akkor létezne legkisebb felső korlátja. Legyen ez a. Ekkor n < a minden n € N-re. Mivel n 6 N esetén n -H 1 e N, ezért n + l < a , azaz n < a — 1 minden n e N-re. Ez azonban lehetetlen, mert ekkor a — 1 is felső korlát lenne. Ezzel beláttuk, hogy N nem korlátos felülről, tehát az arkhimédészi

axióma teljesül.

Legyenek [a„, hn] egymásba skatulyázott zárt intervallumok. Az A = (a,,. : n € N} halmaz felülről korlátos, mert mindegyik felső korlátja. Ha sup A = c, akkor a„. < c

minden n-re. Mivel is felső korlátja .4-nak, ezért c < minden n - r e . így c e [a,,., b„] minden /i-re, amivel a Cantor-axiómát is beláttuk.

3. Fejezet

3.13. Adott e > 0-hoz van olyan N , hogy n > N esetén |a„, - a| < e. Legyen

|ai - a| -f . . . -I- la v - a| = A'. Ha n > N , akkor

(ai — a) + . . . + {ciii — a)|s„ - a l -

|fil — íi| -l- ... -I- |a„, — ft| ^ I i -h ns ^ < ---------------------------- < --------- <C

ha n > K j e . Világos, hogy az a,,, = ( -1 )" sorozatra s„, 0.

3.22. Legyen P > 0 adott, és válasszunk egy k > 2P egész számot. Ha n > 2 ', akkor

1 2


4. Fejezet

4.10. Legyen max a,; = a. Világos, hogy 1<|<A:

a = < !^a'l + ... + a"' < -i/í; ■ a" = !!/k ■ a -> a,

és így az állítás a rendörszabályből adódik.

5. Fejezet

5.14. Ha az N halmaz felülről korlátos lenne, akkor az o,i = n sorozat is korlátos lenne, tehát a Bolzano-Weierstrass-tétel szerint volna konvergens részsorozata. Ez azonban lehetetlen, hiszen a sorozat bármely két tagjának a távolsága legalább 1. Ezzel beláttuk, hogy N nem korlátos felülről, tehát az arkhimédészi axióma teljesül.

Legyenek [a„, ö„] egymásba skatulyázott zárt intervallumok. Az {cin) sorozat korlátos, mert ai alsó korlátja és mindegyik felső korlátja. A Bolzano-Weierstrass-tétel szerint választhatunk egy auf_. konvergens részsorozatot. Ha —»• c, akkor c < bi minden i-re , hiszen < h;, minden i-re és fc-ra. Másrészt íi;,. > i esetén > o,;, tehát c > ai. így c € [n,:, &,;] minden j-re, amivel a Cantor-axiómát is beláttuk.

5.20. Vegyünk egy a/,- —»■ oo sorzatot, amelyre a^+i — a ; 0. Ennek tagjait elég

sokszor megismételve alkalmas sorozatokat kapunk. Például az a*. = Vifc sorozatból kiindulva; (a) Legyen a.„ = y/k, ha 2’'"^ < n < 2 '. (d) Legyen (t/,) pozitív egészek egy szigorúan monoton növő sorozata úgy, hogy

tk+\ > h- + maxs„,

minden A;-ra, és legyen a„ = \fk, ha tk-\ < n < í/,.. Ekkor (a,,) monoton növő és végtelenhez tart. Ha í/._] < n < ti,., akkor n + s,,. < f/ +i, tehát o..s„ — cin < VÁT+T — y/k, amiből világos, hogy — a„ —> 0.

Megoldások 325

7. Fejezet

7.6. (b), (c), (d): lásd a [9] dolgozatot.

7.18. Tegyük fel, hogy / grafikonját az y = ax + b egyenes legalább három pontban metszi. Ekkor vannak x i < X2 < X3 számok, melyekre /(a.',:) = axi. + b {i = 1, 2, 3). Az / függvény szigorú konvexitása alapján f {x 2) < Könnyen látható, hogyitt mindkét oldal ax2 -I- t-vel egyenlő, ami ellentmondás.

8. Fejezet

8.17. Legyen {■)•„,) a racionális számok egy felsorolása. Legyen r € Q és £ = 1/2. Mivel / folytonos r-ben, így létezik egy I\ korlátos zárt intervallum, amelyre sup{/(a:) : x e e A l < inf{/(a:) : a; 6 7i) + 1. Feltehetjük, hogy 7’i ^ 7i, mert különben vehetjük /] egy alkalmas részintervallumát. Tegyük fel, hogy n > 1 és az /„_i intervallumot már kiválasztottuk. Válasszunk egy tetszőleges r racionális számot /„,_i belsejéből. Mivel / folytonos r-ben, így létezik egy C In.-} korlátos zárt intervallum, amelyre sup(/(i:) : x e /„,) < inf(/(;c) : x e /„,) -I- 1/n. Feltehetjük, hogy ?•„, mert különben vehetjük /„ egy alkalmas részintervallumát. Azt is feltehetjük, hogy /„ az /„_i intervallum belsejében van (azaz nincs közös végpontjuk).

Ezzel definiáltuk az egymásba skatulyázott /„ korlátos zárt intervallumokat min-oo

den n-re. Legyen xo e In - Ekkor x-o irracionális, mert X{) ^ r„, minden n-re. Legyen■n,= 1

Un - inf{/(x) ; X e /„,} és = snp{/(a:) ; x e /„). Nyilván u,,, < f{x{)) < v-„. minden n-re. Legyen í > 0 adott. Ha n > l/s, akkor / (í’ü) - £ < w,, < < J{x\)) + e, amiből nyilvánvaló, hogy |/(a;) - f{x[))\ < s minden x e /;i-re. Mivel a:o e In.+i és /„,+ l az In intervallum belsejében van, ezért van olyan 6 > 0, hogy (a’o — i’ -hó) C In.- így \f{x) - /(a;())l < £ valahányszor \x — a,'o| < é, amivel beláttuk, hogy / folytonos X’o-ban.

8.21. Lásd az [1] dolgozatot. A feladat történetét és általánosításait illetően lásd [3]-at.

8.40. Legyen /(O) = 1 és f { x ) = 0 minden x ^ 0-ra, valamint g{x) = 0 minden a;-re. Ekkor lim f ( x ) = lim g{x) = 0. Másrészt f {g{x) ) = 1 minden x-re.

,r^() j:-»0

8.87. Ilyen pl. a —x függvény.

8.90. k szerinti indukcióval könnyű belátni, hogy

-I- . . . -1- X2» \ ^ /(a^l) + ■ ■ • + /(a 2‘ )

2''( 12.1)

minden (nem feltétlenül különböző) x\,... ,x-2k e /-re. Ha x i , ... ,a;,, e / adott számok, akkor legyen s = {.ti -f ... -I- x„)/n és xi = s minden n < i < 2"-re. (12.1)-böl

f { s ) S/(.Cl) -f . . . -I- f {xn) -I- (2"' - n) ■ f {s)

amiből

2'*

f { x i ) -h ... -h f { X n )

8.98. Tegyük fel, hogy f {x ) < K minden |a; — .i-q| < 6-ra. Ha \h\ < 6, akkor

^ / (i„ - h) + /(í,, + h) K -h /{x„ h)/(•'i’o) < -------------^ ^ -------- ,

amiből f (xo + /i) > 2f{xo) - K. Ez azt jelenti, hogy 2/(.tq) - K az / függvény alsó korlátja (ico - A, .ro -t- ó)-ban. Tehát / alulról is korlátos, és így korlátos (xo - ó,x{) + -I- ó)-ban.

8.99. Ha a (8.23) egyenlőtlenséget az a — x, b = x + 2 'h választással alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

f { x + 2’- ^ h ^ < l ^ [ f { x ) + f ( x + 2’'h y .

Mindkét oldalt 2 ' -nel elosztva majd átrendezve az

egyenlőtlenség adódik. Ha ezeket az egyenlőtlenségeket k = l,...,n -re összeadjuk, akkor a bal oldalon a közbülső tagok kiesnek, és azt kapjuk, hogy

/ (- + '‘ I - (»■ + 2“ '*) í (5 + í + ■ ■ ■ + ? ) = ( ‘ - i )

Egy további átrendezés az

f ix + h) - f i x ) < ^ . [ f i x + 2"h) - f i x ) ] (12.2)

egyenlőtlenséget adja.

8.100. A 8.98. feladat szerint / korlátos a J = (xo - 6, xo + 6) intervallumban. Legyen |/(:c)| < M minden x e J-re. Legyen e > 0 adott, és válasszunk egy n pozitiv egés'zt úgy, hogy 2"' > 2M/e teljesüljön. Ha |í| < <5/2", akkor xo + 2"t e J, tehát I f ixo + 2"t ) I < M. így (12.2) szerint

f ix i ) + t ) ~ f i x o ) < ^ , - [ f (.x-o 2"t) - /(a-o)] < ^ • 2M < e.

Megoldások 327

Ha viszont (12.2)-t az x = X[) + t, h = —t választással alkalmazzuk, akkor azt kapjuk, hogy

f ixo ) - f ixo + í) < ^ • [/ (^0 - (2"' - l)í) - f ixo + f)] < ^ • 2M < £.

Végül is azt kaptuk, hogy \fixo+t ) - f ixo)\ < e minden |í| < ó/2''-re, amivel beláttuk, hogy / folytonos a,-()-ban.

10. Fejezet

10.18. Lásd a 11.42. Példát.

10.22. Legyen (®o, i/o) a két grafikon közös pontja. Ekkor y j á a i a — .tq) = ^46(6 -|- xo),

amiből a(a — x q ) — 6(0 -I- a’o) és x q = a — b. A két függvénygrafikon (a;o, ;i/o)-beh érintőjének meredeksége

mi = —2a!^4.aia — x-o) és m.2 = 2b/^4bib + xo)■

így

-4a& -4ab -btn\ ■ 7T12 =

^4aia - xo) ■ 746(0 + i'o) (y4a(a - x o ) f “ “

Ismeretes (és könnyű belátni), hogy ha két egyenes meredekségének szorzata -1, akkor a két egyenes merőleges egymásra.

10.24. Mivel TT - e < 1, ezért a: < 0 esetén 2''' < 1 < (tt - e)'*', és a; > 0 esetén 2'' > 1 > (tt — e)^. így a két grafikon egyetlen metszéspontja (0,1). E pontban az érintők meredeksége lóg2 és log(7r - e). Ez azt jelenti, hogy 2''' (0, l)-beh érintéjének az X tengellyel bezárt szöge arctg(log2), míg (tt - e)'" (0, l)-beli érintéjének az x tengellyel bezárt szöge arctg(log(7r — e)). Ezért a két egyenes egymással bezárt szöge arctg(log 2) - arctg(log(7r - e)).

10.42. Ha y = log„ a;, akkor y’ = 1/ix • loga), tehát l/y' = x ■ loga. Mivel {x ■ loga)” = 0, ezért

/ 1 \ "

“ = = ' ) VA y ')y (2/')

tehát y'y'" - 2(í/")^ = 0.

10.46. Legyen a < b. A doboz köbtartalma

K{ x ) — (a - 2x)ib — 2x)x = 4x - 2(a -I- b)x^ 4- abx.

Tehát ennek a függvénynek kell a [0,a/2] intervallumbeli abszolút maximumhelyét meghatározni. Mivel A'(0) = K (a/2) = 0, ezért az abszolút maximumhely az intervallum belsejében van, tehát lokális szélsöértékhely. A K' {x) = \2x^-A{a-\-b)x+ab = 0 egyenlet megoldásai

a + b ± \/á + _ abX =

Mivela + b + + b' — ab a + b + V a- + b’ — b- 2a + b a--------------------------- > -------------------------- = -------- > -

6 - 6 6 “ 2és mi (0,a/2)-beh szélsőértékhelyet keresünk, ezért az

a + b - + b' - ab

^ ~ 6helyen van A'(a;)-nek lokális és egyúttal abszolút maximumhelye.

Például az a = b esetben a doboz akkor maximális köbtartalmú, ha a; = a/6.

10.51. f ' {x) = 1 + 4a; • sin(l/a:) - 2 cos(1/;e), ha x ^ 0, és

/ '(O ) = lim ~ = lim f i + 2* s i n - ) = 1.X — 0 T^O \ X J

Tehát /'(O) > 0. Ugyanakkor /' a 0 tetszőleges jobb és bal oldali környezetében felvesz negatív értékeket is. Valóban,

/ 2 < 0

minden k pozitív egész számra. Ebből következik, hogy 0-nak nincs olyan környezete, ahol / monoton növő lenne, hiszen / szigorúan lokálisan csökken az l j { 2kn) pontok mindegyikében.

10.88. Tegyük fel, hogy e = p/g, ahol p, q pozitív egészek. Ekkor g > 1, hiszen e nem

egész. Legyen a,,, = 1 -|- — -f ... — -.A z (a„,) sorozat szigorúan monoton növő, és a 1! n\

Megoldások 329

10.87. feladat szerint e = lim a,,.- így e > ö.„ minden ra-re. Ha n > g, akkor

q\ ■ {a,, - a,,) = q\[{q+i y-

1-I-

1 1

1- (g + 1) (g + 1)2 ' • ■ ■ ' (g +

" (g + 1 ) ' “ (</ + ! ) ' '- " ) / (^ “ (<7 + 1 ))<

<(g + 1)

Ez minden n > g-ra igaz, ezért 0 < g! ■ (e — o,y) < l/g < 1. Másrészt, mivel e = p/q, ezért

egész szám, ami lehetetlen.

10.92. Az / függvénynek 0-ban szigorú lokális minimumhelye van, mert /(O) = 0 és f {x) > 0, ha I ^ 0. Mármost

f { x ) = X -1\ 1

4^ I 2 + sin - I — cos —X J X

ha X 0. Látható, hogy a 0 tetszőleges jobb oldah környezetében felvesz pozitív és negatív értéket is. Például ha > 2 egész, akkor

^ ( ^ ) ^ (2kiry ' < 0

és

^ ( ( 2 T + 1 > ) {2k + l )2 7 r '^ ■ ((2fc-h 1 )7T + ^

t. sós vera, laczkovich miklós - analízis i

Documents