analízis példatár

Jakus G.Kis M. MagyarCreative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Budapesti Kommunikcis s zleti Fiskola Jakus G.Kis M

ANALZIS

Magyar T.Zombori N. Analzis pldatr cm mve el! - Ne vltoztasd! 2.5 Magyarorszg Licenc alatt van.

Kommunikcis s zleti Fiskola

Kis M. Magyar T.Zombori NNALZIS PLDATR

BUDAPEST, 2014. 3. javtott kiads

Kommunikcis s zleti Fiskola

Zombori N. PLDATR


1. SOROZATOK ................................

1.1. MONOTONITS, KORLTOSSG, KONVERGENCIA1.2. HATRRTK-SZMTS ................................1.3. KSZBSZM-KERESS ................................

2. PNZGYI SZMTSOK ................................

3. FGGVNYEK HATRRTKE ................................

3.1. FGGVNYHATRRTK A VGTELENBEN3.2. FGGVNYHATRRTK VGES HELYEN3.3. FGGVNYHATRRTK VGES HELYEN 3.4. FGGVNYHATRRTK VGES HELYEN 3.5. VEGYES FELADATOK ................................

4. DIFFERENCILSZMTS ................................

5. FGGVNYELEMZS ................................

5.1. MONOTONITS S SZLSRTK VIZSGLAT5.2. KONVEXITS S INFLEXIS PONT VIZSGLAT5.3. ELASZTICITS ................................

6. KTVLTOZS FGGVNYEK ................................

6.1. PARCILIS DERIVLS ................................6.2. KTVLTOZS FGGVNYEK SZLSRTKE

7. INTEGRLSZMTS ................................

7.1. HATROZATLAN INTEGRL ................................7.1.1. Alapszablyok ................................7.1.2. Vegyes feladatok ................................

7.2. HATROZOTT INTEGRL ................................7.2.1. Alapszablyok ................................7.2.2. Newton-Leibniz szably ................................7.2.3. Improprius integrl ................................7.2.4. Terletszmts ................................

MEGOLDSOK ................................................................

1. SOROZATOK ................................2. PNZGYI SZMTSOK ................................3. FGGVNYEK HATRRTKE................................4. DIFFERENCILSZMTS ................................5. FGGVNYELEMZS ................................6. KTVLTOZS FGGVNYEK ................................7. INTEGRLSZMTS ................................


Tartalomjegyzk

................................................................................................................................

KONVERGENCIA ................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

VGTELENBEN ................................................................................................GES HELYEN ................................................................................................GES HELYEN (0/0) ................................................................................................GES HELYEN (C/0) ................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................................................

RTK VIZSGLAT ................................................................................................S PONT VIZSGLAT ................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................................................K SZLSRTKE ................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................

2

...................................................... 3

......................................... 3

......................................... 3 .......................................... 5

.................................................................... 6

............................................................. 8

................................................... 8 ..................................................... 8

............................................. 8

............................................. 9 ............................................... 9

...................................................................10

.........................................12

............................................. 12 .............................................. 14

..................................................... 15

............................................................16

.......................................... 16 .............................................. 17

.........................................18

.................................................................... 18 ........................................... 18

....................................... 20

....................................... 22 ........................................... 22

............................................................ 22 ................................................................... 23

......................................... 23

...........................................................25

........................................................... 25 ............................................. 30

....................................... 33 ............................................ 35

................................................. 37 ....................................... 47

.................................................. 53


1.1. Monotonits, korltossg, konvergenciaVizsglja meg a kvetkez sorozatokat monotonits, korltossg s konvergencia szempontjbl!

1. 132

+

= nnan

2. 2376

= nnan

3. nnan 32

2++

=

4. 2512

+

= nnan

5. nnan 29

4+

=

1.2. Hatrrtk-szmtsHatrozza meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt! 16. ( ) ( )( )523

132

2

+

= nnnnan

17. 435245

2

23

++

= nnnnan

18. 22

254247

nnnnan +

=

19. nnnan 53

242

3

=

20. ( ) ( )532317

2

2

+++

= nnnnan

21. ( )nn

nan ++++

= 32...321

22. nnn

nnnan 3252107

4

24 8

+

++=


1. Sorozatok

its, korltossg, konvergencia

sorozatokat monotonits, korltossg s konvergencia szempontjbl!

6. 2443

+

= nnan

7. 1253

= n

nan

8. nnan 31

2+

=

9. 721+

= nnan

10. ( )1

12++

= nnnan

11.

12.

13.

14.

15.

szmts

sorozatok hatrrtkt!

23. nnnnan 494

7272

3 6

+

+=

24. n

nnan 7645 3 3+

+=

25. nnan

=23 27

26. 4

43

162n

nan

+=

27. nn

nnan 252

4

3 4

++

+=

28. nnnan 2

262

23 =

1. Sorozatok

3

sorozatokat monotonits, korltossg s konvergencia szempontjbl!

131+

= nnan

125+

= nnan

2221+

= n

nan

1464

+

= nnan

22 23n

nan

=

nnnn7

84

2

+

nn

723 +

nnnn

+++4

4 82

16531

3

4 5

33

nnn

+

nn

322

+

nn

5723 32

+

++


29. nn

nnan 212535

3 3

62

+=

30. ( )4 3

3 32

28325

+

+=

nnnnan

31. 35 ++= nnan

32. 452 += nnan

33. nnnnan ++= 22 4

34. nnnan 4324 2 ++=

35. nnnn

na 3323

2 +

= +

36. nnnn

na 231

3253

= +

37. 1354+

= n

n

na

38. nnnn

na 23234

1

2

+

= +

39. nnnn

na 222

2774

+

=+

40. 211

323232++

+

+

= nnnn

na

41. nnnn

na 23532 1

=

+

42. 2112

54253+

+

= nnnn

na

43. n

n nna

=

3

44. n

n nna

+

= 32


12 + n

nn 32 +

45. n

n nna

= 5232

46. 3

24 +

+

=n

n nna

47. 1

2262

+

=n

n nna

48. n

n nna

2

15

+

=

49. 23

21 +

++

=n

n nna

50. 4

4323

+

=n

n nna

51. n

n nna

+

= 421

52. n

n nna

2

2312

+

=

53. n

n nna

++

= 123

54. 6

3626 +

+

=n

n nna

55. 3

432

+

=n

n nna

56. n

n nna

6

53

+

=

57. 3

1252 +

+

=n

n nna

58. 3

5232

+

=n

n nna

1. Sorozatok

4

3

10+

2

3

2


59. n

n nna

3

1363

+

=

60. 3

5424 +

+

=n

n nna

61. 13

8525

+

=n

n nna

62. nnn

nnnan 3252107

4

24 8

+

++=

63. nnnnnan 249

256

4 833

+

+++=

64. nn

nnan 2492

6

4 83

+

+=

65. nn

nnnnan 29345

4

4 83

+

+++=

66. nnn

nnnan 216433

4

24 8

+

++=

1.3. Kszbszm-keressHatrozza meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt, s kereskszbszmot! 74. 34

21

= n

nan 10=

75. 1534

+

= nnan 10

1=

76. 21nan = 10=

77. 1325

2

2

+

= nnan 10=

78. 132

+

= nnan 20

1=


n3

67. nnnan

94

4 8

+

+=

68. ( )3317

2

2

+

+= n

nan

69. 11

35253

+

+

= nnnn

na

70. 13

571

75

++

+

=

nn

nn

na

71. nn

nn

na +

+

=

318

271

1

3

72. 11

743475++

+

+

= nnnn

na

73. 29943

+

= n

nnna

keress

sorozatok hatrrtkt, s keresse meg az adott

3

10

4

6

201

79. 32

2 ++

= nnan

80. nna 21

=

81. 523

= nnan

82. nnan 211

1+

=

83. 574

= nnan

1. Sorozatok

5

nn

424 4

+

++

( )5

23+

+nn

2

1

+

1

1

n

n

2+

n

1

meg az adott -hoz tartoz

210=

1001

=

210=

10001

=

210=


84. 12 = nnan 10=

85. 132+

= nnan 10=

86. nnan +

= 173 10=

2.

1. Egy iroda brlsre hrom konstrukci kzl vlaszthatunk:a. Most 5 milli Ft-ot, majd minden v elejn 4 ven keresztl 250.000 Ftb. Most 3 milli Ft-ot, majd 2 v eltelte utn jc. Most, azonnal kszpnzben kifizetnk 5,5 milli FtMelyik konstrukcit rdemes vlasztanunk? (A bank 15%

2. Egy ipari htgp eladsra kt rajnlatot kapunk.a. A vev most fizet 500 eFtb. A vev most fizet 700 eFtMelyik lehetsg kedvezbb, ha az elkvetkezszmolunk?

3. Egy laks eladsakor kt ajnlatot kapunk:Els: A vev most fizet 3 milli FtMsodik: A vev most fizet 7 milli Fta. Melyik ajnlat kedvezbb, ha az elkvetkez

szmolunk? b. Hny %-os ves kamatlb esetn azonos a kt ajnlat?

4. Egy gpet szeretnnk megvsrolni, amire hrom ajnlatot kapunk.a. 150.000 Ft most, 20.000 egy v mlva s 20.00b. 100.000 Ft most, 60.000 kt v mlva s 40.000 ngy v mlva,c. 200.000 Ft kt v mlva.Melyik ajnlat a kedvezbb, ha a banki kamatlb 13%?

5. Csaldunk rvid tv megtakartsknt 7 ven keresztl egy bankban. Az 7. v eltelte utn kivesznk 2mFtpnzhez. A tizennegyedik v eltelte utn mekkora sszeg ll a rendelkezsnkre, ha a bank vi 12% kamatot biztost szmunkra?


210

210

3

87. nnan 35

24++

=

88. nnan 24

95

=

2. Pnzgyi szmtsok Egy iroda brlsre hrom konstrukci kzl vlaszthatunk:

ot, majd minden v elejn 4 ven keresztl 250.000 Ftot, majd 2 v eltelte utn jabb 3 milli Ft-ot fizetnk.

Most, azonnal kszpnzben kifizetnk 5,5 milli Ft-ot. Melyik konstrukcit rdemes vlasztanunk? (A bank 15%-os kamattal szmol

gp eladsra kt rajnlatot kapunk. most fizet 500 eFt-ot, majd ngy ven keresztl minden vben 100 eFt most fizet 700 eFt-ot, majd t v mlva 200 eFt-ot.

bb, ha az elkvetkez 5 vben vgig 12%

Egy laks eladsakor kt ajnlatot kapunk: most fizet 3 milli Ft-ot, majd egy-egy v elteltvel mg ktszer 4 milli Ft

most fizet 7 milli Ft-ot, majd kt v mlva mg 3 milli FtMelyik ajnlat kedvezbb, ha az elkvetkez 2 vben lland 10%

os ves kamatlb esetn azonos a kt ajnlat?

Egy gpet szeretnnk megvsrolni, amire hrom ajnlatot kapunk. 150.000 Ft most, 20.000 egy v mlva s 20.000 hrom v mlva, 100.000 Ft most, 60.000 kt v mlva s 40.000 ngy v mlva, 200.000 Ft kt v mlva.

bb, ha a banki kamatlb 13%?

Csaldunk rvid tv megtakartsknt 7 ven keresztl minden v elejnbankban. Az 7. v eltelte utn kivesznk 2mFt-ot, majd jabb 7 vig nem nylunk a

pnzhez. A tizennegyedik v eltelte utn mekkora sszeg ll a rendelkezsnkre, ha a bank vi 12% kamatot biztost szmunkra?

1. Sorozatok

6

310=

210=

ot, majd minden v elejn 4 ven keresztl 250.000 Ft-ot fizetnk. ot fizetnk.

os kamattal szmol.)

ot, majd ngy ven keresztl minden vben 100 eFt-ot.

12%-os ves kamatlbbal

egy v elteltvel mg ktszer 4 milli Ft-ot. ot, majd kt v mlva mg 3 milli Ft-ot.

2 vben lland 10%-os kamatlbbal

minden v elejn 800eFt-ot helyez el ot, majd jabb 7 vig nem nylunk a

pnzhez. A tizennegyedik v eltelte utn mekkora sszeg ll a rendelkezsnkre, ha a bank


6. a. 8 ven keresztl minden v elejn 400eFtvben megfeledkeznk a bettszmlnkrl, nem vesznk ki, s nem tesznk be semmilyen sszeget. A 13. v elteltvel mennyi pnznk lesz, ha a kamatlb vgig 5,5%?

b. Hny v alatt gylne ssze 12 milli Ft, ha az elvenknt folyamatosan?

7. a. Egy alaptvny 25 milli forintot helyez el bankban 5 vre. Az ves kamatlb ebben az esetben 12,5% lesz. Mekkora sszeget tudnak felvenni 5 v elteltvel?

b. Mennyivel vltozna a vgsszeg, hves kamatlba 8% lenne?

8. Minden v elejn 980 eFt-ot helyeznk el a bankban ves 11%a. Mennyi pnznk gylik ssze a 7. v vgre?b. Hny v alatt gylik ssze 15 milli Ft?

9. a. 15 ven keresztl minden v elejn 500 000 FtMennyi pnznk lesz a t

b. Hny v alatt gylne ssze 8 milli forint? (A kamatfelttelek kzben nem vltoznak.)

10. Eltakarkossg cljbl 12 ven t m

kamat 9,5 %. a. Mennyi pnzt gyjtttnk?b. A 13. vtl kezdve felljk az sszegy

vesznk ki. Hny vre elegendvltoznak?

11. Tz ven keresztl vi 11 %

gyjts befejezstl szmtott 1 v mlva a tkamat mellett felljk. Mekkora a fells vjradka?

12. Egy vllalkoz egy bankbl 50mFt klcsnt vesz fel vi 18%

a. Egy v elteltvel, 15 ven t egyenlmaradjon adssga. Mennyi az ves trlesztnem vltozik?

b. Ha minden vben 12mFt 13. Egy bankbl 6,5 mFt klcsnt vesznk fel vi 9,5 %

a. Egy v elteltvel, 16 ven t egyenlvgre ne maradjon adssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez idnem vltozik?

b. Ha minden vben 990 eFt

2. Pnzgyi szmtsok


8 ven keresztl minden v elejn 400eFt-ot helyeznk el a bankba. A rkvetkezvben megfeledkeznk a bettszmlnkrl, nem vesznk ki, s nem tesznk be semmilyen sszeget. A 13. v elteltvel mennyi pnznk lesz, ha a kamatlb vgig 5,5%?

lne ssze 12 milli Ft, ha az els vtl kezdve 300eFtvenknt folyamatosan?

Egy alaptvny 25 milli forintot helyez el bankban 5 vre. Az ves kamatlb ebben az esetben 12,5% lesz. Mekkora sszeget tudnak felvenni 5 v elteltvel?Mennyivel vltozna a vgsszeg, ha minden v elejn 5 milli Ft-ves kamatlba 8% lenne?

ot helyeznk el a bankban ves 11%-os kamatra.lik ssze a 7. v vgre?

lik ssze 15 milli Ft?

keresztl minden v elejn 500 000 Ft-ot helyeznk el a bankban.tizentdik v vgn, ha a kamatlb vgig 11%?

lne ssze 8 milli forint? (A kamatfelttelek kzben nem vltoznak.)

takarkossg cljbl 12 ven t minden vben befizetnk a bankba 850 eFt

jtttnk? l kezdve felljk az sszegyjttt pnznket, s minden vben 3 milli Ft

vesznk ki. Hny vre elegend a megtakartott pnznk, ha kzben a kamatok ne

Tz ven keresztl vi 11 %-os kamatlbbal s 400eFt annuitssal gyl szmtott 1 v mlva a tkt 8 v alatt vjradk formjban vi 10%

kamat mellett felljk. Mekkora a fells vjradka?

vllalkoz egy bankbl 50mFt klcsnt vesz fel vi 18%-os kamatra. Egy v elteltvel, 15 ven t egyenl sszegeket kvn trleszteni gy, hogy a vgn ne maradjon adssga. Mennyi az ves trlesztrszlet sszege, ha ez id

Ha minden vben 12mFt-ot trlesztene, hny v alatt fizetn vissza a klcsnt?

Egy bankbl 6,5 mFt klcsnt vesznk fel vi 9,5 %-os kamatra. Egy v elteltvel, 16 ven t egyenl sszegeket kvnunk trleszteni gy, hogy a 16. v

ssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez id

Ha minden vben 990 eFt-ot trlesztennk, hny v alatt fizetnnk vissza a klcsnt?

2. Pnzgyi szmtsok

7

ot helyeznk el a bankba. A rkvetkez 5 vben megfeledkeznk a bettszmlnkrl, nem vesznk ki, s nem tesznk be semmilyen sszeget. A 13. v elteltvel mennyi pnznk lesz, ha a kamatlb vgig 5,5%?

l kezdve 300eFt-t tennnk be

Egy alaptvny 25 milli forintot helyez el bankban 5 vre. Az ves kamatlb ebben az esetben 12,5% lesz. Mekkora sszeget tudnak felvenni 5 v elteltvel?

-ot tennnek be, s az

os kamatra.

ot helyeznk el a bankban. tdik v vgn, ha a kamatlb vgig 11%?

inden vben befizetnk a bankba 850 eFt-ot. A banki

jttt pnznket, s minden vben 3 milli Ft-ot a megtakartott pnznk, ha kzben a kamatok nem

os kamatlbbal s 400eFt annuitssal gyjtsbe kezdnk. A kt 8 v alatt vjradk formjban vi 10%-os

os kamatra. sszegeket kvn trleszteni gy, hogy a vgn ne

rszlet sszege, ha ez id alatt a kamatlb

ot trlesztene, hny v alatt fizetn vissza a klcsnt?

sszegeket kvnunk trleszteni gy, hogy a 16. v ssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez id alatt a kamatlb

ot trlesztennk, hny v alatt fizetnnk vissza a klcsnt?


14. Egy bankbl 12 milli Ft klcsnt vesznk fel vi 9%a. Egy v elmltval, 25 v

v vgn ne maradjon adssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez idnem vltozik?

b. Ha minden vben 1,5 milli Ft 15. Egy keresked ru beszerzsre klcsnt akar felvenni. A bank 1,5 milli forint klcsnt ad,

vi 20%-os kamatlb mellett. A trlesztst a klcsn felvtele utn egy vvel kell elkezdeni. a. A keresked minden vben 400 000 Ft

klcsnt? b. 22%-os kamatlb mellett mennyit kellene vente visszafizetnie, ha 5 v alatt szeretn

trleszteni a klcsnt?

3.

3.1. Fggvnyhatrrtk a vgtelenben

1. xxxx

x 35261lim 2

3

+

2. xxx

x 27523lim

2

+

3.2. Fggvnyhatrrtk vges helyen

5. 3463lim 2

2

3 +

xxx

x

3.3. Fggvnyhatrrtk vges helyen

6. 4232lim 2

2

2

+ x

xxx

7. 3412lim 2

2

1 +++

xxxx

x

2. Pnzgyi szmtsok


Egy bankbl 12 milli Ft klcsnt vesznk fel vi 9%-os kamatra. Egy v elmltval, 25 ven t egyenl sszegeket kvnunk trleszteni gy, hogy a 25v vgn ne maradjon adssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez id

Ha minden vben 1,5 milli Ft-t trlesztennk, hny v alatt fizetnnk vissza a klcsnt?

ru beszerzsre klcsnt akar felvenni. A bank 1,5 milli forint klcsnt ad, os kamatlb mellett. A trlesztst a klcsn felvtele utn egy vvel kell elkezdeni.

minden vben 400 000 Ft-ot tud visszafizetni. Hny v

os kamatlb mellett mennyit kellene vente visszafizetnie, ha 5 v alatt szeretn

Fggvnyek hatrrtke

hatrrtk a vgtelenben

3. ( )( )23

53lim

+ x

xxx

4. ( ) 12

25lim 232

+ xx

xx

hatrrtk vges helyen

hatrrtk vges helyen (0/0)

8. 6253lim 2

2

2 +

xxxx

x

9. xx

xxx 2

2lim 32

0

2. Pnzgyi szmtsok

8

sszegeket kvnunk trleszteni gy, hogy a 25-ik v vgn ne maradjon adssgunk. Mennyi az annuits sszege, ha ez id alatt a kamatlb

t trlesztennk, hny v alatt fizetnnk vissza a klcsnt?

ru beszerzsre klcsnt akar felvenni. A bank 1,5 milli forint klcsnt ad, os kamatlb mellett. A trlesztst a klcsn felvtele utn egy vvel kell elkezdeni.

ot tud visszafizetni. Hny v alatt fizeti vissza a

os kamatlb mellett mennyit kellene vente visszafizetnie, ha 5 v alatt szeretn


3.4. Fggvnyhatrrtk vge

10. 162lim 24

x

xx

11. 12

21lim 21 ++

xxx

x

3.5. Vegyes feladatok

14. 434022lim 2

2

4

+ xx

xxx

15. 2110

34lim 27 ++

xxx

16. 229107lim 2

2

3 +

+ xx

xxx

17. 28

42lim 23

1 +

xx

xxx

18. 9

32lim 22

x

xx 19. 64

722lim 223

+

+ xx

xxx

20. 2

23

611053lim

xxxx

x +

+

21.

+

233

1lim 23 xxx

3. Fggvnyek hatrrtke


hatrrtk vges helyen (c/0)

12. 13221lim 21 +

xx

xx

13. 2510

2lim 25 ++ xxx

x

Vizsglja meg az albbi fggvnyek hatrrtkt a vgtelenekben (szakadsi pontokban! 22.

xxxxf 2

4)( 22

+

=

23. 7

3)( 22

+

= xxxxxf

24. ( ) 9

32

2

=

xxxxf

25. ( ) 102 22

+

=

xxxxf

26. 10

112)( 22

= xxxxf

27. ( ) 15

52

2

+

=

xxxxxf

28. ( )

xxxxf 5

722

+=

3. Fggvnyek hatrrtke

9

25

Vizsglja meg az albbi fggvnyek hatrrtkt a vgtelenekben ( ; ) s a

x212

124

+

2810

+x

24611

+

xx

5614+


4.

Alapszablyok

[1.] 1)( = xx ( x[2.] aaa xx ln)( = ( a[3.] xx ee =)( [4.] axxa ln

1)(log

= ( x

[5.] xx1)(ln = ( x

[6.] fcfc = )( [7.] gfgf +=+ )( [8.] gfgfgf += )(

[9.] 2ggfgf

gf

=

[10.] ( ) ggfgf = )()( Derivlja a kvetkez fggvnyeket!

1. ( ) 45xxf =

2. ( ) 4 3 xxxf =

3. ( ) 3

235 342x

xxxxf +=

4. ( ) 33 xxf x =

5. ( ) ( )xxxf ln1024 2 +=

6. ( ) 532 += xexxf

7. ( ) xxxxf+

= 22123

8. ( ) 2

3

2ln5x

xxxf x ++

=

9. ( ) ( )102129 xxxf +=

4. Differencilszmts


4. Differencilszmts

)+R )+R

{ })1 \R;R ++ a

)+R

fggvnyeket!

5x

xln

10. ( ) 3 2 75 = xxf 11. ( ) (3ln2 = xxf

12. ( ) 2327 += xxexf

13. ( ) xxf 3=

14. ( ) xxf 2ln8=

15. ( ) ( xxxf 43 2 =

16. ( ) xxexf 54 16 =

17. ( ) 25

2lnx

xxf = 18. ( ) ( )2

3

9ln52

xxxxf =

19. ( ) (3ln6 xxf =

4. Differencilszmts

10

27 +x

)2

) xx 2ln x

)28xx


20. ( ) xxexf 36 25 += 21. ( ) xxxf 4=

22. ( )

3 21x

xf =

23. ( ) 3 2 xxxf =

24. ( )

xxxxf 214 37 +=

25. ( )

xxxxf

32 23 +=

26. ( ) 2

365x

xxxf = 27. ( ) ( )56ln = xxxf

28. ( ) ( ) xxxxxf 223 34 +=

29. ( ) 24

32 +

= xxxxf

30. ( ) 32

3

5324xxxxxf

+

= 31. ( ) 2

2lnxxxf +=

32. ( ) xe

xxf 472 +

= 33. ( ) xxf

x

ln5

= 34. ( ) ( )783 = xxf

35. ( )

54 26 xxxf = 36. ( ) xxexf 53 2+=

37. ( ) ( )342ln5 3 += xxxf

4. Differencilszmts


x

38. ( ) 952 = xxf

39. ( ) 325

xxxxf =

40. ( ) 3 5 2xxxf =

41. ( ) 35 2 xxxf =

42. ( ) xxxf ln3 =

43. ( ) 82 xexf x =

44. ( ) ( xxxf 35 2 +=

45. ( ) ( )(xxf 65 +=

46. ( ) x

xxf 22

= 47. ( ) 5

ln++

= xxxxf

48. ( ) 2

433

2

+

= xxxxf

49. ( )

xxxf

x

218

+

+=

50. ( ) ( 5610 = xxf

51. ( ) 83 2 += xxf

52. ( ) ( )16ln = xxf

53. ( ) 6ln += xxf

54. ( ) xexf 35 =

55. ( ) 32 22 += xxexf

56. ( ) xxxf 63 22 +=

4. Differencilszmts

11

32xx +

x

) xx 62 +

)xx 2+

)85

18 x

)

6

5+


57. ( ) 38573 xxf = 58. ( ) 6ln3 += xxf

5.1. Monotonits s szlsrtk1. Vizsglja meg az ( )xf

fggvny helyi szlsrtk pontjait!

2. Vizsglja meg az ( )xffggvny helyi szlsrtk pontjait!

3. Vizsglja meg az ( )xf =szlsrtk pontjait!

4. Adott az ( ) 43xxf =intervallumait s helyi szls

5. Adott az ( ) (32 = xexf xfggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szls

6. Adott az ( ) ( )21 exxf +=fggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szl

7. Adott az ( ) 222

xxxf +=

cskken a fggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szls

8. Egy cg nyeresgnek a fggvnye( ) 2162 3 += ddP

(dollrban), ahol d a legyrtott s rtkestett termkek szmt jelenti. Adja meg, hogy milyen d rtkekre nvekszik, illetve cskken a nyeresg, ha nveljk a meg a nyeresg maximumt! (Vizsglja a nyeresg fggvny monotonitst, fggvny maximumt!)

4. Differencilszmts


59. ( ) xxxf 44 55 = 60. ( ) 5

5lnx

xxf =

5. Fggvnyelemzs

zlsrtk vizsglat

) 31232 23 ++= xxx fggvny monotonitst, s adja meg a rtk pontjait!

) 5243 23 += xxx fggvny monotonitst, s adja meg a rtk pontjait!

426 xx = fggvny monotonitst, s adja meg a fggvny

34x fggvny. Hatrozza meg a fggvny monotonitsi intervallumait s helyi szlsrtk pontjait!

)4 fggvny. Mely intervallumokon nvekvfggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szlsrtkei vannak a fggvnynek?

2xe fggvny. Mely intervallumokon nvekvfggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szlsrtkei vannak a fggvnynek?

{ }0\RD f = fggvny. Mely intervallumokon nvekv a fggvny? Hol, milyen s mekkora helyi szlsrtkei vannak a fggvnynek?

Egy cg nyeresgnek a fggvnye 200004320216 2 dd

a legyrtott s rtkestett termkek szmt jelenti. Adja meg, hogy rtkekre nvekszik, illetve cskken a nyeresg, ha nveljk a

meg a nyeresg maximumt! (Vizsglja a nyeresg fggvny monotonitst,

4. Differencilszmts

12

fggvny monotonitst, s adja meg a

fggvny monotonitst, s adja meg a

fggvny monotonitst, s adja meg a fggvny helyi

fggvny. Hatrozza meg a fggvny monotonitsi

intervallumokon nvekv, illetve cskken a rtkei vannak a fggvnynek?

fggvny. Mely intervallumokon nvekv, illetve cskken a rtkei vannak a fggvnynek?

fggvny. Mely intervallumokon nvekv, illetve rtkei vannak a fggvnynek?

a legyrtott s rtkestett termkek szmt jelenti. Adja meg, hogy rtkekre nvekszik, illetve cskken a nyeresg, ha nveljk a d rtkt, majd adja

meg a nyeresg maximumt! (Vizsglja a nyeresg fggvny monotonitst, s adja meg a


9. Egy vllalat ves nyeresgt a( ) 10356 3 += ddP

fggvny adja meg, ahol intervallumban nvekszik, illetve cskken a nyeresg?pontjait, ha tudjuk, hogy egy szerzmaximum 105 db termk el

10. Egy j illatszer esetn a szakemberek a

ahol p az eladsi egysgrat jelenti eurban,meg a keresleti fggvny monotonitst! Hny eur egysgr mellett lesz maximlis a kereslet, s mekkora a maximlis kereslet?

11. Egy mhelyben havonta p

is tudnak. Az sszkltsget( ) 35003402 ++= pppB

gpek szmt gy, h( ) ( ) ( )( )pKpBpN =

12. Egy adott termk termelsi kltsgt a

bevtelt a ( ) 100xxB =jelenti. Kapacitsi korltok miatt Mekkora termelsi mennyisg esetn lesz a nyeresg maximlis s mekkora a maximlis nyeresg? (A nyeresg fggvny: N

13. Egy adott termk termels

szrmaz bevtelt a (xBmennyisgt jelenti. Kapacitsi korltok miatt Mekkora termelsi mennyisnyeresg? (A nyeresg fggvny: N

14. Egy btorgyr havonta

( ) 16,072784 dddK ++=esetn lesz a termkenknti

( ) ( )

= d

dKdA


Egy vllalat ves nyeresgt a 1000000504001035 2 + dd

fggvny adja meg, ahol d a legyrtott s rtkestett termkek darabszmt jelenti. Milyen intervallumban nvekszik, illetve cskken a nyeresg? Adjuk meg a nyeresg szlspontjait, ha tudjuk, hogy egy szerzds miatt legalbb 30 db-ot gyrtani kell, s a vllalat maximum 105 db termk ellltsra kpes!

Egy j illatszer esetn a szakemberek a ( ) 1610

2pppQ

+= keresleti fggvnyt v

az eladsi egysgrat jelenti eurban, ( ) pQ pedig a keresletet ezer flakonban. Adja meg a keresleti fggvny monotonitst! Hny eur egysgr mellett lesz maximlis a kereslet, s mekkora a maximlis kereslet?

p db azonos gpet lltanak el, amelyeket azutn mind rtkesteni sszkltsget ( ) 2000405,1 2 ++= pppK , az

3500 fggvnyek adjk meg. Hatrozza meg a havonta elgpek szmt gy, hogy a mhely nyeresge, ( )pN

Egy adott termk termelsi kltsgt a ( ) xxK 4500 += fggvny, eladsbl szrmaz 2

41 x fggvny rja le, ahol x az ellltott t

jelenti. Kapacitsi korltok miatt x rtke nem lpheti tl a 200-ot. Mekkora termelsi mennyisg esetn lesz a nyeresg maximlis s mekkora a maximlis

( ) ( ) ( )xKxBxN = )

Egy adott termk termelsi kltsgt a ( ) 210150200 xxxK ++=

) 2101100 xxx = fggvny rja le, ahol x az el

mennyisgt jelenti. Kapacitsi korltok miatt x rtke nem lpheti tl a 140Mekkora termelsi mennyisg esetn lesz a nyeresg maximlis s mekkora a maximlis

( ) ( ) ( )xKxBxN = )

Egy btorgyr havonta d darab szekrnyt gyrt. Az 2d fggvny adja meg (ezer Ft-ban). Mekkora termelsi

esetn lesz a termkenknti tlagkltsg (A(d)) minimlis, s ez hny forintot jelent?

5. Fggvnyelemzs

13

a legyrtott s rtkestett termkek darabszmt jelenti. Milyen Adjuk meg a nyeresg szlsrtk

ot gyrtani kell, s a vllalat

keresleti fggvnyt valsznstik,

pedig a keresletet ezer flakonban. Adja meg a keresleti fggvny monotonitst! Hny eur egysgr mellett lesz maximlis a

, amelyeket azutn mind rtkesteni , az sszbevtelt a

fggvnyek adjk meg. Hatrozza meg a havonta ellltand maximlis legyen!

fggvny, eladsbl szrmaz lltott termk mennyisgt

Mekkora termelsi mennyisg esetn lesz a nyeresg maximlis s mekkora a maximlis

fggvny, eladsbl

fggvny rja le, ahol x az ellltott termk x rtke nem lpheti tl a 140-et.

g esetn lesz a nyeresg maximlis s mekkora a maximlis

darab szekrnyt gyrt. Az sszkltsget a ban). Mekkora termelsi szint

d)) minimlis, s ez hny forintot jelent?


15. Egy gumiabroncs gyrt termelsnek ( )K d d d= + +30 200 0 5 2,

esetn lesz az abroncsonknti ( ) ( )

= d

dKdA

16. Egy mosgpeket gyrt cg termelsnek sszkltsgt (dollrban) a

( ) 2500750 2 ++= dddKesetn lesz a mosgpenknti tlagkltsg,

( ) ( )

= d

dKdA 17. Valamely rucikk irnti keresletet az

egysgrat, ( )xf a hozz tartoz keresletet jelenti (darabban).Milyen egysgr mellett lesz maximlis az rbevtelbevtel? ( ) ( )( xxfxB =

18. Valamely rucikk irnti keresletet az

egysgrat, ( )xf a hozz tartoz keresletet jelenti (darabban).Milyen egysgr mellett lesz maximlis az rbevtel, s mennyi ennek az rtke? ( ) ( )( )xxfxB =

19. Valamely rucikk irnti keresletet az

egysgrat, ( )xf a hozz tartoz keresletet jelenti (darabban).Milyen egysgr mellett lesz maximlis az rbevtel, s mennyi ennek az rtke? ( ) ( )( )xxfxB =

5.2. Konvexits s inflexis pont vizsglatVizsglja meg az albbi fggvnyek konvexitst (konvex s konkv tartomnyok), s adja meg a fggvnyek inflexis pontjait! 20. ( ) 6024 24 ++= xxxxf

21. ( ) 13272

1 24 += xxxxf


Egy gumiabroncs gyrt termelsnek sszkltsgt2 fggvny adja meg, ahol d a napi termelst jelenti.

esetn lesz az abroncsonknti A(d) tlagkltsg minimlis, s ez hny dollrt jelent?

Egy mosgpeket gyrt cg termelsnek sszkltsgt (dollrban) a2500 fggvny adja meg, ahol d a napi termelst

esetn lesz a mosgpenknti tlagkltsg, ( )dA minimlis, s ez hny dollrt jelent?

Valamely rucikk irnti keresletet az ( ) xexf 008,045 = fggvny fejezi ki, ahol a hozz tartoz keresletet jelenti (darabban).

Milyen egysgr mellett lesz maximlis az rbevtel ( )( )xB , s mekkora a maximlis )x


Milyen egysgr mellett lesz maximlis az rbevtel, s mennyi ennek az rtke?



is pont vizsglat

Vizsglja meg az albbi fggvnyek konvexitst (konvex s konkv tartomnyok), s adja meg a

4

40

22. ( ) 34 10xxxf = 23. ( ) 153 5 += xxxf

5. Fggvnyelemzs

14

sszkltsgt (dollrban) a a napi termelst jelenti. Hny darab

minimlis, s ez hny dollrt jelent?

Egy mosgpeket gyrt cg termelsnek sszkltsgt (dollrban) aa napi termelst jelenti. Hny darab

minimlis, s ez hny dollrt jelent?

fggvny fejezi ki, ahol x az

, s mekkora a maximlis





Vizsglja meg az albbi fggvnyek konvexitst (konvex s konkv tartomnyok), s adja meg a

23 24x+

124 +x


5.3. Elaszticits Adja meg a kvetkez fggvnyek adott ponthoz tartoz elaszticits rtkt, s rtelmezze a kapott eredmnyt! 24. ( ) xxf 03,0423 = 0x

25. pepf 02,065)( = 0p

26. ( ) pepf 01,062 = 0p

27. ( ) xexf 01,063 = 0x

28. ( ) xexf 08,067 = 0x

29. 610011

3)( += xexf 0x

30. ( ) ( )xxxf 73ln51 2 += 0x

31. ( ) ( )76ln3 2 += xxf 0x

32. ( ) ( )45ln3 2 += xxf 0x

33. ( ) ( )53ln8 2 = xxf 0x

34. ( ) ( )32ln5 2 += xxf 0x

35. ( ) ( )43ln3 4 += xxf 0x

36. ( ) ( )24169 xxf = 0x

37. ( ) 2

43 +

=x

xf 0x

38. ( )( )212

5+

=x

xf 0x


fggvnyek adott ponthoz tartoz elaszticits rtkt, s rtelmezze a kapott

200 =

1200 =

700 =

600 =

400 =

40 =

30 =

20 =

30 =

40 =

40 =

10 =

60 =

20 =

50 =

39. ( ) 34

2 +=

ppD

40. ( )

( )2214

ppf

+=

41. ( )xf 1000 =

42. (3 35)( = xxf

43. ( ) exxf 02,032 =

44. ( ) exxf 03,057 =

45. xxf x = 2)(

46. ( ) 63 += xexxf

47. ( ) 4 3xexxf =

48. ( ) 14= exxf x

49. ( ) 25= +exxf x

50.

42)( 2 = x

xxf

51. )( 22

+=

xxxxf

52. ( ) 232

xxxK +=

5. Fggvnyelemzs

15

fggvnyek adott ponthoz tartoz elaszticits rtkt, s rtelmezze a kapott

30 =p

50 =p

x4 400 =x

)5 1x0 =

x02 100 =x

x03 500 =x

5x0 =

40 =x

30 =x

0 , >x 20 =x

0 , >x 20 =x

5x0 =

2 3x0 =

20 =x


6.

6.1. Parcilis derivls Hatrozzuk meg a kvetkez fggvny

1. ( ) 224; 432 += yxxyxf

2. ( ) 22; y

xyxf +=

3. ( ) 32 2; y

yxyxf += Hatrozzuk meg a kvetkez fggvny

6. ( ) yxyyxyyxf 5

5;32

+

=

7. ( ) yxxxxyyxf 2

42

5362;

+

=

8. ( ) xyxyxf 25372; +=

9. ( ) ( 512ln3; 3 += xyyyxf

10. ( )324 425; yxyxeyxf +=

11. ( ) 755432; += xyyxyxf

12. ( ) (53 ln82),( xyyyxf +=

13. ( ) ( 23 ln82),( xyxyxf +=

14. ( ) ( )3242 34, = xyyxf

15. ( ) ( )5522 34, xxyyxf =

16. ( ) 4

32

32, y

exyxfy+

=

6. Ktv


Ktvltozs fggvnyek

fggvnyek els- s msodrend parcilis derivltjait!

52 +y 4. ( ) 2 68; xyxf +=

5. ( ) 5; 72= yxyxf

fggvnyek elsrend parcilis derivltjait!

yx 2

)10+

2y

1

)32 yx +

)32 y+

17. ( ) 72

34, y

xyxf = 18. ( ) 7

2

324, y

xyxf +=

19. ( ) 3

7, 42

2 = x

yyxf 20. ( 23 ln),( xyxf +=

21. ( ) xyxf ln, 22 =

22. ( ) yyxf3 ln, =

23. ( ) ( 23 4ln, xyxf =

24. ( ) 52 ln, xyxf =

25. ( ) 52 3ln, xyxf =

26. yyxf 22

27),( + = 27. ( ) 3 451 , xxeyxf =

6. Ktvltozs fggvnyek

16

parcilis derivltjait!

2326 yxy

24103 3 ++ yxxy

2y

22

) 23 6yy +

yy 25

yxe 32 +

)32 y

3 4 7yy

7 35 7yy

xxe 35 4+

23 1072 yy +


28. xxy eyxf 167245),( +=

29. ( ) ( )651 523, yxyxf y +=

Hatrozzuk meg a kvetkez fggvny 32. ( ) 432 5342; xyyxeyyxf =

33. ( ) 2731

433, += yxeyyxf 34. ( ) ( 251 662, xyyxyxf +=

35. ( ) 53 7832 2, yyxyxf =

Hatrozzuk meg a kvetkez fggvny 39. ( ) ( 5ln2; 3 += xyxxyxf

40. ( ) ( )3522 24, yyxyxf =

41. ( ) 842 323, xxyyxf =

42. ( ) yxeyyxf 323 ln, +=

6.2. Ktvltozs fggvnyek szlsrtkeHatrozzuk meg a kvetkez ktvltozs fggvny 46. ( ) 46; 2 = yxxyyxf

47. ( ) 33; 22 +++= xyyxyxf

48. ( ) (214),( += yxyxf

49. ( ) (21),( 2 ++= yxyxf

6. Ktv


30. ( ) (1 36, yxf x = 31. ( ) 451 6,

3yxf xx=

fggvnyek x szerinti elsrend parcilis derivltjt!

)4xy

36. ( ) 832 2, xyxf =

37. ( )yxf x3, 671

2=

38. ( ) ln4,1 =yxf y

fggvnyek y szerinti elsrend parcilis derivltjt!

)13 8 y

3x

43. ( ) ( xyxf 2ln, 51 =

44. ( ) ( xyxf 4ln, 71 =

45. ( ) 3 48, xxeyxf =

Ktvltozs fggvnyek szlsrtke

ktvltozs fggvny loklis szlsrtkt!

82 +y

2++ y

)22+

) 42 y

50. ( )1),( 2+= xyxf 51. 4),( 2 += xyxf

52. 2 32),( xyxf =

53. ( )31),( = xyxf


17

)722 83 yx +

( )23 107ln yy +

parcilis derivltjt!

53 7 yy

( )yy 85ln 4

( )152 45 + xx

parcilis derivltjt!

)xyy 53 7 +

)xyy 56 3 + 23 1065 yy +

( ) 342 22 + y

206162 ++ yxy

33 yxy +

) ( ) 422 22 ++ y


7.1. Hatrozatlan integrl7.1.1. Alapszablyok

[1.] Cnxdxx

nn +

+=

+

11

(

[2.] Cxdxx += ln1

[3.] Cedxe xx +=

[4.] Caadxa

xx += ln (

[5.] = fccf ([6.] ( ) = gfgf

1.

++ dxxxx

x3

7 46532

2. dxx 7 41

3. dxxx 5 3

[7.] Cnfff

nn +

+=

+

11

(

7. ( ) dxx 1012 +

8. dxx + 532

9. ( ) dxx 3 22710 10.

( ) dxx 5343

11. dxx 16

8 12.

( ) dx

x4 3725


7. Integrlszmts

Hatrozatlan integrl

( )1n

( )+Ra ( )Rc

dx 4. dxxx 7 3 24

5. dxxxx

3

2

6. dx

xxx

+ 433

( )1n

13. ( )(xx 32 246 ++

14. dxxx 13 2

15. ( ) (xx 642 34 +

16.

+dx

xx

6 3

2

145

17.

( )dx

xxx

5 23

2

1261015

7. Integrlszmts

18

) dxx 542

( )dxx 36 3 +

dx


18. dxxx2ln

19. dxx

x

5ln [8.] Cff

f+=

ln

22. dxx41

3 23. dxx

x + 3

52

24. + dxx

x82

53

2

[9.] Cefe ff += 27. + dxe x 238

28. dxex x 4

29 29. dxex x

351027 [10.] ( ) ( = gfgfgf 32. dxex x

33. dxex x2

34. dxex x32


20. dxxx

3ln

21. dxxx ln

2

25. dxxx

x ++

+26

32

26.

dxxxxx

35

24

2325

30. ( ) ex xx 32

268 31. ( ) ++ ex x 62

3105

)g

35. xdxln

36. xdxx ln

7. Integrlszmts

19

+ dxx 5

dxx 26


7.1.2. Vegyes feladatok

37. + dxx

x4

12 38. + dxx

x1

42

39.

+dx

xx

132

40. + dxe

ex

x

25 41. ( ) + dxee xx 2

42. + dxee xx 127

43.

( ) +dx

ee

x

x

323

44.

+dx

eex

x

4 135

45. dxx

xln 46. xdxx ln2

47. dx

x 6 52

48.

++ dxxx

x 2355 52 49. dxx

xx

+2

634 2 50. dxx

x103

23

2

51.

( ) dxx 8165


52. dxxx 4 237 53. dxx

x3

2

428

54.

( ) +dx

xx

3225

55. ( )dxee xx 22 +

56. dxe x 310

57. dxex x

32123 58. dxx

x2ln

59. +

+ dxxxxx24

3

23515

60. dxx

xx

5

4

423

61. dx

xxx

3 2 69

412

62. dxxx 4ln

3 63. ( ) dxx 752

64. ( ) ex xx 42105

65.

( ) +dx

x5 3572

66. dxx 311

4 67. xx x ++ 432( 7

7. Integrlszmts

20

dx

dx

dxx 1+

dxx )3


68. dxxxx

++ 3

1547

2

69.

+ dxxxx

3

24

21048

70.

+ dxxxx

3421 4

71.

+ dxxxx

3

2

2341

72. dxxx x )375( 64

73.

+ dxxxx

3

2

2563

74. dx

x +123

75.

( )dx

xx

+3

53

2

812

76. ( ) dxxx 3 732 811 +

77. ( ) dxxxx 20263 54

78. ( ) ( xxxx 243 4233

79. dxxx 3

80.

dxxx

x4 5

4

20263

81.

( ) dx

xx

4 32 427


dx

) dx72

82. +

dxx

x3 5

3

1234

83.

( )dx

xx

+5

43

2

821

84. dxx

x + 83

22

85. dxxx3ln5

86. dxxx

x

4223

3

2

87.

dxxxxx

35

24

2325

88. dxx + 3

2 89. dxxx

xx

23

2

3424

90. dxx

x +82

65

4

91. ( ) ex x + 42

3714 92. ( ) ex x + 22 1510

93. dxex x 422

37 94. ex + 33 )1024(

95. ( ) exx x322 39

7. Integrlszmts

21

dxx+6

dxxx +93

dxxx +53 4

dxx2


7.2. Hatrozott integrl 7.2.1. Alapszablyok

[1.] ( ) 0=a

adxxf

[2.] ( ) ( ) =b

a

a

bdxxfdxxf

[3.] ( ) ( ) (fdxxfdxxfb

c

c

a

b

a+=

[4.] ( ) ( ) =b

a

b

adxxfcdxxcf

[5.] ( ) ( )( ) ( ) =+b

a

b

axfdxxgxf

7.2.2. Newton-Leibniz szably

[6.] ( ) ( )[ ] ( )bFxFdxxf bab

a==

96. ( )dxxx +

2

1

2 34

97.

( ) +1

1343

5 dxx

98.

+

+2

32 23

39 dxxx

x

99.

0

1

15 23 dxex x

100.

1

0

52 dxex x

101. dxxxxx

++2

1

3

3236

102. dxx

xx

++2

1

3

2328


( ) ( )bcadxx


109. +

1

02 13

2 dxx

x

110.

+

+2

142

3

54615 dxxxxx

111. +

1

0

52 36 dxxex

7.2.3. Improprius integrl

[7.] ( ) ( )

=b

abadxxfdxxf lim

[8.] ( ) ( )

=b

aa

bdxxfdxxf lim

[9.] ( ) ( ) (

+=0

0fdxxfdxxf

114.

22

1 dxx

7.2.4. Terletszmts

117. Hatrozzuk meg az ( )xf

118. Hatrozzuk meg az ( )xf =

119. Hatrozzuk meg az ( ) =xfterlett az 21 =x s az


skrsz terlett!

121. Hatrozzuk meg az ( ) =xfltal kzrezrt skrsz terlett!


az x tengely ltal hatrolt skrsz terlett!

123. x tengely s az ( ) 2 2= xxf

124. x tengely s az ( ) 36xxf =


112. ( )

++1

2

22 31421 ex x

113. ( )

++1

2

22 31015 ex x

( )dxx

115.

3dxex

116.

2x= fggvny alatti terletet az [ ]3;1 intervallumon!

xx 42 = fggvny s az x tengely ltal hatrolt skidom terlett!

22 += xx fggvny s az x tengely ltal hatrolt skidom s az 32 =x abszcisszj pontok kztt!

2x= s az ( ) 2+= xxg fggvnyek grafikonjai ltal

1022 = xx s az ( ) 282 ++= xxxg fggvnyek ltal kzrezrt skrsz terlett!

2x= fggvny, a fggvny 2 abszcisszj pontjba hzott rinttengely ltal hatrolt skrsz terlett!

2422 x

23 12x

7. Integrlszmts

23

+42 dxx

+42 dxx

+02 53 dxx

x

intervallumon!

tengely ltal hatrolt skidom terlett!

tengely ltal hatrolt skidom

fggvnyek grafikonjai ltal kzrezrt

fggvnyek grafikonjai

fggvny, a fggvny 2 abszcisszj pontjba hzott rint s


125. x tengely s az ( ) 4= xxf

126. x tengely s az ( ) 2= xxf

127. x tengely s az ( ) ( = xxf

128. x tengely s az ( ) ( += xxf

129. x tengely s az ( ) xxf 3 =

130. ( ) 132 += xxxf

131. ( ) 133 2 ++= xxxf

132. ( ) 1782 += xxxf

133. ( ) 2086 2 += xxxf

134. ( ) 2086 2 += xxxf

135. ( ) 10073 2 += xxxf

136. ( ) 122 += xxxf

137. ( ) 432 = xxxf


20242 ++ xx

1252 x

) 41 2

) 12 2 +

x4

58)( += xxg

12)( 2 += xxg

( )g x x x= + 2 14 39

( ) 2022 += xxxg

( ) 2022 += xxxg

( ) 4022 2 += xxxg

( ) 1+= xxg

( ) 22 += xxg

7. Integrlszmts

24


1. monotonits: 1 =+ aa nnhatrrtk: 2=A korltossg: 2

1

++ nn , teht a sorozat szig. mon. nveked

( )( )02927

17>

nn , ha 5n teht a sorozat az 5. tagtl kezdve (teht az egsz sorozat nem monoton).

8

( )( )02424

22= 04D MIN

50. 022 ==+= xxfx

( ) pont stac. 2;1P 2=xxf 8=yyf ( )3;2;1 MIN

51. 0168 == xxf x

062 ==+= yyf y8=xxf 2=yyf

52. 034 == yxf x

033 2 =+= yxf y 6 4 == xyyyxx fyff

091 =D

2= 3= ( ) pont stac. 3;2 P

0=xyf >= 016D MIN

( )

43,16

9 0,0 21 PP

3=xyf nincs szlsrtk


52

( )5;3;2 MIN


092 >=D 04 >=xxf 53. ( ) ( 2231),( 2 ++= xyxf

( ) 0316 == xf x

( ) 0224 =+= yyf y

18=xxf 8=yyf

1 36. feladatok: rai megoldsra javasoltak. 37. Cxx ++ ln4

181 2

38. Cx ++1ln2 2

39. Cx ++13 2

40. Cex ++ 25ln5

1

41. ( ) Cex

++2

2 2 vagy e21

42. ( ) Cex ++ 2

3123

7 43.

( )C

ex+

+

222

3

44. ( ) Ce x ++ 4 3139

20 45. Cx +2

ln2 46. Cxxx + 33 9

1ln31

Megoldsok 6. Ktvltozs fggvnyek


0

12827;4

3;169MIN

) 42 2 y

31 =x

1=y pont stac. 1,31

P

0=xyf >= 0144D MIN

7. Integrlszmts : rai megoldsra javasoltak.

Cexx ++ 22

47. Cx + 61

12 48. xx

x++ 25ln

55 6

49. xxx + ln32

32

50. Cx +103ln9

2 3

51. ( )x + 716425

52. ( ) Cx + 4

5235

14

53. x + 342ln3

2

54. ( ) Cx ++ 2224

5

55. ( ) Ce x ++ 21

56. Ce x + 31010

1


53

4;1;3

1MIN

Cx ++ 2

C+

C

C+

C

C

C


57. Ce x + 32121

58. ( ) Cx +2

3ln3

1 59. Cxx ++ 24 23ln4

5 60. Cxx ++ 36

1ln43

61. ( ) Cxx + 3

22 69

62. Cx + 3ln

1 69. xdxxxx =

+ 2

524 3

70. =

+

dxxxx 34

32

31 2

13

71. dxxxx =

+

232

21 25

3

72. cxxx

+

53

7ln7 55

73. dxxxx =

+

253

23 253

74. ( ) (dxx =+ 2

231222

321

75. ( ) dxxx =+ 4834 35

32

76. ( ) dxxx =+ 311833

11 3732

Megoldsok


63. ( ) Cx +1652 8

64. Ce xx + + 1422

5

65. ( ) Cx ++ 52

5775

66. Cx + 311ln11

4

67. xxx

++

43ln

38

2 8

68. xx

x++

3

ln154ln

47 3

cxxx ++ ln522

++ cxxx 38

63ln 4

cxxx ++

232

3ln2221 2

32

cxxx ++

=

232

5ln3223 2

32

) cx ++

21

12 21

( ) cx +

+

328 3

23

( ) cx ++3

10811 3

103

Megoldsok 7. Integrlszmts

54

C

cx +

22

cx +3


77. ( )( xxx 2022010103 54

78. ( ) ( xxxx 428883 43

79. Cxdxx +=35

35

6 4

80. ( )( xxx 2022010103 54

81. ( ) dxxx =

474244

7 432

82. ( ) dxxx + 1231515

4 3153

83. ( ) dxxx =+ 7837 5

432

84. cx

++

383ln 2

85. cx +4ln5 4

86. xdxxx

x=

2ln2

14246

21

3

2

87. dxxx

xx=

3524

ln31

23615

155

88. cx ++ 3ln2

89. (dxxx

xx=

232

4ln31

34612

31

Megoldsok


) ( ) cxxdxx +=23202

103 2

35

21

) ( ) cxxdxx +=2942

83 2

924

27

2

) ( ) Cxxdxx +=

43202

103 4

35

41

( ) cx +41

42 41

2

( ) cx ++=32

123154 3

25

( ) cx ++51

87 51

3

cxx + 43

cxx + 35 23ln

) cxx + 23 34

90. dxxx

=+

8210

106

5

4

91. ( ) ex + 2 6126

7

92. ( ) ex x+ 22 963

5

93. dxex x 422

3667

94. ce xx + +53 42

95. ( ) exx2 262

3

96. 3232

3

+ xxx


55

cx ++= 82ln106 5

cedxe xxxx += + 6464 33 67

cedx xxxx += ++ 929 33 35

cedx x += 42 367

+= cedx xxxx 233 22 23

322

1 =


97. ( )(3

54351

1

3

=+

x

dxx

98. ,123ln23 2

3

2 =

+

xx

99. [10

310103 50

1

15 2 =

edxex xx

100. 52521

0

51

0

5=

dx

eexxx

101. 213

232

2

1

21

3

=

++xxx

102. 34

2314

32

1

2

=

++

xdxxx

103. 22712

2

1

2

=

++ dxxx

104. ( ) ( ++ 22

118618126

7 xxx

105. ( ) ( ) 996,2151

1

0

5

=

xe

106. ( )

=+ 6

132

413444

1 dxx

Megoldsok


)

( ) 4940

431

65

3 2

4 1

12

1

1

2

=

+=

+

x

x

45,

] ( ) 27,16103 410

112 == eex

[ ] 252

252

52

552

52 55

1

0

510

5 +=

eeeex

xx

21,634

32 2

1

3 =

++

xxx

37,11ln23 2

1

3=

++ xx

09,8ln27

32 2

1

3=

++ xxx

) ( ) =

+

=

2

1

21

221

21186

67 xx ( )24603

7=

996

( ) [ ] =+=

+ 6 1

3

6

1

31

3443

31

34 xx ( )72743 33


56

57,47=

64,6

) 8153,0=


107. ( ) ( )28121

0

21

32 =++ dxxxx

108. ( ) 45,2642103 1

0

25

4 =

+ xx

109. ( ) 311366

2 1

0

21

2

=+ dxxx

110. ( ) ( )54615 21

422

1

3 =++

xxxx

111. 3482,6222231

0

26

==

+ eeex

112. [ ] (77 71 2 423 = ++ eee xx

113. [ ] ( )55 871 2423 == ++ eee xx

114. 5,021=

115. 05,03 =e

123. ( ) 02422 2 == xxxf

( )

=

4

3

23

22422 xdxxx

124. ( ) 0126 23 == xxxf

( ) 46126

2

0

423

=

xdxxx

125. ( ) 020244 2 =++= xxxf

( )

=++

1

5

2 420244 dxxx

Megoldsok


( ) 86,1323

421

0

23

3=

+

=xx

45

( ) 33,134

21

131

0

21

2==

+

x

( ) ( ) 197,1039623

421

3542

1

21

42==

+=

xx

3482

) 43,76768 =

16,5483=

116.

117. 8,67

118. 10,67

119. 13,17

120. 4,5

121. 114,33

122. 0,67

3 4 21 == xx

==

4

3

23

te33,114T 33,114243 xxx

2 0 21 == xx

te8T 8312 2

0

3==

x

5 1 0 21 == xx

==

++

1

5

23

te42,67T 67,42533 xxx


57

te

te


126. ( ) 01252 2 == xxxf

( )

=

4

23

23

21252 xdxxx

127. ( ) x 041 12 ==x

( ) 33233

1

2

=

x

xdxxx

128. ( ) x 012 12 ==+x

( ) 233431

3

2

+=++

xdxxx

129. 2 04 13 == xxx

( ) 2442

40

2

3

=

x

xdxxx

( ) 2442

42

0

3

= x

xdxxx

te821 =+TT

130. 58132 +=+ xxx

( )

+=++

2

3

32

365xdxxx

131. 13312 22 ++=+ xxx

( )

=

3

0

232

23

33xxdxxx

132. 14178 22 +=+ xxxx

( )

=+

7

4

2 256222 dxxx

133. 22086 22 +=+ xxxx

040105 2 =+ xx

( )

=+

2

4

23

540105 xdxxx

Megoldsok


4 23 21 == xx

==

4

23

2355,49T 49,55122

53 x

xx

3 x1 2 ==

te67,10T 3323

3

1

2 ==

xx

1 x3 2 ==

te33,1T 3432

1

3

2 ==

+

xx

2 0 32 == xx

te4T 4 10

2

2 ==

te4T 4 22

0==

2 3 21 == xx

==

+

2

3

2 te17,0T 17,062

5 xx

3 0 21 == xx

==

3

0 te5,4T 5,4

39 7 x4x 21 ==

==

+

7

4

23 te9T 9282

113 x

xx

20+ 2 4 21 == xx

==

+

2

4

23

te180T 1804053 xxx


58

te55,49

te


134. 22086 22 +=+ xxxx

( )

=+

2

4

23

540105 xdxxx

135. 210073 22 +=+ xxx

( )

=+

3

4

2 56055 xdxxx

136. 1122 +=+ xxx 2 x

( )

=

3

0

232

23

33xxdxxx

137. 22432 += xxx

( )

=

6

1

32 5

365xdxxx

Megoldsok


20+ 2 4 21 == xx

==

+

2

4

23

te180T 1804053 xxx

402 + x 3 4 21 == xx

==

+

3

4

23285,83T 83,2851223 x

xx

3 0 03 21 === xxx

==

3

0 te4,5T 5,4

1 065 12 == xxxx

==

6

1

2 te57,17T 17,5762

5 xx


59

te

te285,83

62 =x

Tartalomjegyzk1. Sorozatok1.1. Monotonits, korltossg, konvergencia1.2. Hatrrtk-szmts1.3. Kszbszm-keress

2. Pnzgyi szmtsok3. Fggvnyek hatrrtke3.1. Fggvnyhatrrtk a vgtelenben3.2. Fggvnyhatrrtk vges helyen3.3. Fggvnyhatrrtk vges helyen (0/0)3.4. Fggvnyhatrrtk vges helyen (c/0)3.5. Vegyes feladatok

4. Differencilszmts5. Fggvnyelemzs5.1. Monotonits s szlsrtk vizsglat5.2. Konvexits s inflexis pont vizsglat5.3. Elaszticits

6. Ktvltozs fggvnyek6.1. Parcilis derivls6.2. Ktvltozs fggvnyek szlsrtke

7. Integrlszmts7.1. Hatrozatlan integrl7.1.1. Alapszablyok7.1.2. Vegyes feladatok

7.2. Hatrozott integrl7.2.1. Alapszablyok7.2.2. Newton-Leibniz szably7.2.3. Improprius integrl7.2.4. Terletszmts

Megoldsok1. Sorozatok2. Pnzgyi szmtsok3. Fggvnyek hatrrtke4. Differencilszmts5. Fggvnyelemzs6. Ktvltozs fggvnyek7. Integrlszmts

analízis példatár

Documents