t numerador u denominador - aula...
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Fracciones.
Es una expresión que representa una o varias partes de la unidad.
Ejemplo:
1
2,8
3,12
8,7
5
Elementos de una fracción.
El número que va sobre la línea se llama “numerador” y el número que está debajo de esta línea se
llama “denominador”.
El denominador me indica en cuantas partes se va a dividir mi unidad.
El numerador me indica cuantas partes se toman de la unidad.
Ejemplo:
5
8
Ejercicio: Completa la siguiente tabla, toma en cuenta el dato que se te proporciona.
Representación grafica
Representación numérica
Recta numérica Como se lee
2
3
Dos tercios
5
6
𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑥𝑡𝑜𝑠
8
12
Ocho doceavos
2
3
Numerador
Denominador
7
10
Siete decimos
1
2
𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜
3
8
Tres octavos
6
8
Seis octavos
3
4
𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠
6
10
Seis decimos
5
9
Cinco novenos
7
12
Siete doceavos
1
8
Un octavo
Tipos de fracciones.
Fracción propia. Fracción impropia. Fracción mixta.
Su valor es menor al de la
unidad.
Ejemplo:
2
5,12
17,4
7,1
3
Su valor es mayor o igual que la
unidad.
Ejemplo:
8
3,12
7,6
5,4
4
Se forma de un entero y una
fracción propia.
Ejemplo:
22
3, 5
1
2, 6
3
7
Ejercicio: Completa la siguiente tabla anotando en ella si la fracción que se te presenta es propia,
impropia o mixta o bien dando un ejemplo. Identifica también su numerador y denominador.
Fracción Tipo de fracción Fracción Tipo de fracción
4
32 Propia Cualquiera 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
11
2 Impropia
13
15 Propia
Cualquiera 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎 21
8 Mixta
3
8 Propia
5
2 Impropia
21
3 Mixta Cualquiera 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎
7
2 Impropia 4
5
17 Mixta
20
9 Impropia
9
13 Propia
Cualquiera 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑎 34
11 Mixta
55
6 Mixta
18
19 Propia
2
3 Propia Cualquiera 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎
Fracciones equivalentes.
Si a una fracción multiplicamos o dividimos su numerador y denominador por el mismo número
obtenemos una fracción equivalente.
Ejemplo:
Tenemos 2
3, multiplicamos el numerador y denominador por el número 4 y obtenemos
8
12. Que es
una fracción equivalente.
2
3
× 4
× 4=
8
12
¿Cómo comprobamos que son equivalentes?
Para que verifiquemos que son fracciones equivalentes debemos realizar la multiplicación del
numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y debe ser igual a la
multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.
2
3=
8
12
2 × 12 = 3 × 8
24 = 24
Nos da el mismo resultado por lo tanto son fracciones equivalentes.
Ejercicio: Comprueba que cada una de las siguientes fracciones son equivalentes.
1. 2
1 𝑦
6
3
Si son equivalentes
2. 56
20 𝑦
14
5
Si son equivalentes
3. 5
3 𝑦
30
18
Si son equivalentes
4. 4
3 𝑦
5
4
No son equivalentes
5. 1
8 𝑦
2
16
Si son equivalentes
6. 7
8 𝑦
8
7
No son equivalentes
7. 7
2 𝑦
56
16
Si son equivalentes
8. 4
16 𝑦
1
4
Si son equivalentes
9. 25
15 𝑦
5
3
Si son equivalentes
10. 32
10 𝑦
16
5
Si son equivalentes
11. 3
6 𝑦
2
4
Si son equivalentes
12. 4
5 𝑦
12
15
Si son equivalentes
13. 7
5 𝑦
5
4
No son equivalentes
14. 3
2 𝑦
6
4
Si son equivalentes
15. 1
5 𝑦
4
20
Si son equivalentes
Simplificación de fracciones.
Para simplificar una fracción, se divide el numerador y el denominador por el mayor numero que
divida a los dos exactamente.
Simplificar o reducir fracciones significa hacer la fracción lo más simple posible. ¿Por qué decir 4
8
(cuatro octavos) cuando en realidad quiere decir 1
2 (un medio)?
Ejercicio: Simplifica las siguientes fracciones hasta su mínima expresión.
1. 4
6=
2
3 2.
2
16=
1
8 3.
4
13=
𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
4. 5
9=
𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
5. 12
21=
4
7 6.
3
21=
1
7
7. 23
13=
𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
8. 2
6=
1
3 9.
6
14=
3
7
10. 6
15=
2
5 11.
8
15=
𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎
12. 2
4=
1
2
13. 7
21=
1
3 14.
10
22=
5
11 15.
3
24=
1
8
4
8=
2
4=
1
2
÷ 2 ÷ 2
÷ 2 ÷ 2
Como pasar de una fracción impropia a una fracción mixta.
1.- Se hace la división del numerador entre el denominador.
2.- El cociente es la parte entera de la fracción mixta.
3.- El residuo es el numerador de la fracción mixta.
4.- El denominador es el mismo que en la fracción impropia.
Ejemplo:
7
3= 2
1
3
Ejercicio: Convierte las siguientes fracciones impropias a mixtas.
1. 24
11= 2
2
11 2.
27
10= 2
7
10
3. 16
7= 2
2
7 4.
5
3= 1
2
3
5. 25
4= 6
1
4 6.
13
5= 2
3
5
7. 29
5= 5
4
5 8.
9
6= 1
3
6
9. 17
2= 8
1
2 10.
59
9= 6
5
9
7 3
2
−6
1
𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
Como pasar de fracción mixta a fracción impropia.
1.- Se deja el mismo denominador de la fracción mixta.
2.- El numerador es la multiplicación del denominador por la parte entera más el numerador de la
fracción mixta.
𝑎𝑏
𝑐=
𝑎 × 𝑐 + 𝑏
𝑐
Ejemplo:
35
9=
3 × 9 + 5
9=
27 + 5
9=
32
9
Ejercicio: Convierte las siguientes fracciones mixtas a impropias.
1. 42
7=
30
77 2. 3
1
4=
13
4
3. 42
3=
14
3 4. 8
5
6=
53
6
5. 91
2=
19
2 6. 5
3
8=
43
8
7. 65
6=
41
6 8. 2
1
3=
7
3
9. 917
25=
242
25 10. 4
15
19=
91
19
Suma de fracciones con igual denominador.
Para sumar dos fracciones con igual denominador realizamos solo la suma de los numeradores y el
denominador pasara como resultado.
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑏=
𝑎 + 𝑐
𝑏
Ejemplo:
1
4+
2
4=
1 + 2
4=
3
4
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas de fracciones con igual denominador.
1. 7
2+
4
2=
11
2 2.
8
3+
5
3=
13
3
3. 1 +4
5=
9
5 4. 2
7
10+
5
10=
32
10=
16
5
5. 35
7+ 4
1
7=
55
7 6.
8
4+
15
4+
2
4=
25
4
7. 3
8+
5
8+
2
8=
10
8=
5
4 8.
3
11+
7
11+
12
11=
22
11= 2
9. 23
5+
7
5+
11
5=
31
5 10. 5
2
5+
3
5+ 6
4
5=
64
5
Resta de fracciones con igual denominador.
Para restar dos fracciones con igual denominador realizamos el mismo procedimiento que en la
suma, pero restando es decir, restaremos el numerador de la primera fracción con el numerador de
la segunda fracción y el denominador pasara como resultado.
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑏=
𝑎 − 𝑐
𝑏
Ejemplo:
2
3−
1
3=
2 − 1
3=
1
3
Ejercicio: Resuelve las siguientes restas de fracciones con igual denominador.
1. 43
25−
21
25=
22
25 2.
32
12−
8
12=
24
12= 2
3. 42
10−
6
10=
36
10=
18
5 4. 5
2
6−
29
6=
3
6=
1
2
5. 36
16−
27
16=
9
16 6. 2
24
35−
10
35−
7
35=
77
35=
11
5
7. 12
15−
5
15−
2
15=
5
15=
1
3 8.
17
20−
7
20−
3
20=
7
20
9. 46
51−
20
51−
9
51=
17
51=
1
3 10. 5
3
4− 2
1
4−
5
4=
9
4
Suma de fracciones con diferente denominador. (Cuando son dos fracciones)
1.- Se realiza la multiplicación de el denominador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción el resultado se coloca como denominador de nuestra fracción resultante.
2.- Ahora realizamos la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción más la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de
la segunda fracción, el resultado de esta operación va a ser el numerador de la fracción resultante.
𝑎
𝑏+
𝑐
𝑑=
(𝑎 × 𝑑) + (𝑏 × 𝑐)
𝑏 × 𝑑
Ejemplo:
3
4+
6
3=
(3 × 3) + (4 × 6)
4 × 3=
9 + 24
12=
33 ÷ 3
12 ÷ 3=
11
4= 2
3
4
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas de fracciones con diferente denominador.
1. 2
3+
3
4=
17
12 2.
5
6+
1
3=
7
6
3. 1
2+
1
4=
3
4 4.
4
5+
7
10=
3
2
5. 5
9+
1
2=
19
18 6.
3
8+
1
4=
5
8
7. 33
5+
5
4=
97
20 8. 5
3
4+ 8
2
5=
283
20
9. 57
9+ 9
1
4=
541
4 10.
1
2+
1
3=
5
6
Resta de fracciones con diferente denominador. (Cuando son dos fracciones)
1.- Se realiza la multiplicación de el denominador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción el resultado se coloca como denominador de nuestra fracción resultante.
2.- Ahora realizamos la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción menos la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador
de la segunda fracción, el resultado de esta operación va a ser el numerador de la fracción
resultante
𝑎
𝑏−
𝑐
𝑑=
(𝑎 × 𝑑) − (𝑏 × 𝑐)
𝑏 × 𝑑
Ejemplo:
5
10−
1
3=
(5 × 3) − (10 × 1)
30=
15 − 10
30=
5 ÷ 5
30 ÷ 5=
1
6
Ejercicio: Resuelve las siguientes restas de fracciones con diferente denominador.
1. 3
2−
2
5=
11
10 2. 1
5
6−
8
9=
17
18
3. 6
7−
2
5=
16
35 4.
5
6−
7
12=
1
4
5. 6
7−
3
4=
3
28 6.
19
16−
7
8=
5
16
7. 15
18−
5
12=
5
12 8.
3
5−
1
10=
1
2
9. 7
12−
1
4=
1
3 10. 6
5
6− 3
1
4=
43
12
Mínimo Común Múltiplo (m.c.m).
Múltiplos.
Los múltiplos son los productos de un número natural por otro.
Ejemplo: Múltiplos de 3:
0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
Ejercicio: Escribe los 5 primeros múltiplos de los siguientes números.
2 → 4, 6, 8,10,12,14,16 7 → 14, 21, 28,35,42,49 11 → 22, 33, 44,55,66
15 → 30, 45, 60,75,90,105 18 → 36, 54, 72,90.108 23 → 46, 69, 92115,138
32 → 64,96, 128, 160,192 40 → 80, 120, 160,200 65 → 130, 195, 260,325
73 → 146, 219, 292, 365 77 → 154, 231, 308,385 83 → 166, 249, 332,415
95 → 95, 190, 285, 380, 100 → 400, 600, 800, 115 → 115, 230, 345,460
Múltiplos comunes.
Los múltiplos comunes de dos o más números son todos aquellos que son múltiplos tanto de uno
como de otro.
Ejemplo: Múltiplos comunes de 3 𝑦 9:
Ejercicio: Escribe los 12 primeros múltiplos y rodea los múltiplos comunes.
1. 3 → 0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33
6 → 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66
2. 2 → 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22
5 → 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60
3. 4 → 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44
6 → 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66
4. 5 → 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55
10 → 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110
5. 2 → 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 7 → 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77
Mínimo común múltiplo.
Es simplemente el número más pequeño de los múltiplos comunes.
Ejemplo: Mínimo común múltiplo de 3 𝑦 9:
Ejercicio: Calcula el m.c.m de los siguientes números.
1. 4 𝑦 12: 12(m.c.m)
2. 9 𝑦 18: 18(m.c.m)
3. 16 𝑦 32: 32(m.c.m)
4. 15 𝑦 45: 45(m.c.m)
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑚. 𝑐. 𝑚 (3,9): 9
3 9 3
5. 28 𝑦 42: 84(m.c.m)
6. 25 𝑦 30: 150(m.c.m)
7. 14 𝑦 36: 252(m.c.m)
8. 18 𝑦 54: 54(m.c.m)
9. 36 𝑦 48: 144(m.c.m)
10. 27 𝑦 16: 432(m.c.m)
Suma y resta de fracciones con diferente denominador:
Se obtiene el común denominador o mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual se divide
entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su respectivo numerador, los
números que se obtienen se suman o se restan, según sea el caso.
2
3+
5
4−
1
6=
Por lo tanto: 𝑚. 𝑐. 𝑚 = 2 × 2 × 3 = 4 × 3 = 12
Entonces el comun denominador de la fraccion es 12.
Ejercicio: Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones con diferente denominador por el
método de m.c.m.
1. 2
3+
5
6−
1
12=
17
12 2.
11
15−
7
13+
3
10=
193
390
3 4 6 2
3 2 3 2
1 3 3 3
1 1 1
2
3+
5
4−
1
6=
2(4) + 5(3) − 1(2)
12=
8 + 15 − 2
12=
21
12=
7
4
×
÷
÷
÷
×
×
3. 6 + 11
3−
2
5=
109
15 4.
3
4+
5
8−
7
12=
19
24
5. 12 −1
8−
3
24=
47
4 6. 3 +
3
5−
1
8=
139
40
7. 9 − 51
6+ 4
1
12=
95
12 8. 15 − 3
3
5− 4
3
10=
71
10
9. 161
3− 14
2
5+ 2
2
9=
179
15 10.
7
20+ 3
1
16− 2
1
5=
97
80
Multiplicación de fracciones.
La multiplicación de fracciones se realiza de la siguiente manera:
1.- Se realiza la multiplicación del numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda
fracción, siendo el resultado de esta multiplicación el numerador de la fracción resultante.
2.- Realizamos ahora la multiplicación del denominador de la primera fracción por el denominador de
la segunda fracción.
𝑎
𝑏×
𝑐
𝑑=
𝑎 × 𝑐
𝑏 × 𝑑
Ejemplo:
3
2×
8
5=
3 × 8
2 × 5=
24 ÷ 2
10 ÷ 2=
12
5= 2
2
5
Ejercicio: Resuelve las siguientes multiplicaciones de fracciones.
1. 5
4×
2
7=
5
14 2.
2
3×
6
7=
4
7
3. 13
5× 4
5
8=
37
5 4.
4
5×
10
9=
8
9
5. 2
5×
7
8=
7
20 6.
3
4× 2
3
5=
39
20
7. 12
5× 2
5
7=
19
5 8. 3
2
5×
2
4=
17
10
9. 7
9×
12
13=
28
39 10.
7
8×
16
21=
2
3
División de fracciones
La división de fracciones se realiza de la siguiente manera:
1.- Se realiza la multiplicación del numerador de la primera fracción por el denominador de la
segunda fracción, siendo el resultado de esta multiplicación el numerador de la fracción resultante.
2.- Realizamos ahora la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción.
𝑎
𝑏÷
𝑐
𝑑=
𝑎 × 𝑑
𝑏 × 𝑐
Ejemplo:
3
2÷
8
5=
3 × 5
2 × 8=
15
16
Ejercicio: Resuelve las siguientes divisiones de fracciones.
1. 3
4÷
4
3=
9
16 2.
5
6÷
2
3=
5
4
3. 6
11÷
5
22=
12
5 4.
7
8÷
14
9=
9
16
5. 3
8÷
5
6=
9
20 6.
8
9÷
4
3=
2
3
7. 5
12÷
3
4=
5
9 8. 2
2
3÷
4
15= 10
9. 1
2÷ 1
1
4=
2
5 10. 34 ÷ 2
5
6= 12