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GRUPO EDUCATIVO PRO-ARTE

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1

Geometría

A. Nociones Básicas

1. Punto

2. Recta

3. Semirrecta

4. Segmento

5. Vértice

6. Lado

7. Plano

a) Plano cartesiano

B. Segmentos Rectilíneos

1. Medidas de segmentos

C. Ángulos

1. Tipos de ángulos

2. Notación de un ángulo

3. Uso de transportador

4. Igualdad de ángulos

5. Medida de ángulos

D. Rectas Perpendiculares y paralelas

1. Propiedades

2. Construcción de rectas perpendiculares y paralelas

3. Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante




2

E. Polígonos

1. Definición

2. Lados, vértices, ángulos y diagonales

3. Polígonos cóncavos y convexos

F. Clasificación de Polígonos

1. Por sus lados

2. Polígonos regular

3. Polígonos irregular

G. Triángulos

1. Notación de un triangulo

2. Clasificación de los triángulos

a) Por sus lados

b) Por sus ángulos

3. Construcción de triángulos

a) Conociendo 3 lados

b) Conociendo 2 lados y un ángulo comprendido entre ellos

c) Conociendo un lado y 2 ángulos contiguos

d) Conociendo 2 lados y un ángulo no comprendido entre ellos

4. Puntos y rectas notables de un triangulo

a) Mediatriz, Circuncentro

b) Altura, Ortocentro

c) Medianas, Baricentro

d) Bisectriz, Incentro




3

H. Cuadriláteros

1. Clasificación

a) Trapezoides

b) Trapecios

c) Paralelogramos

Cuadrados

Rectángulos

Rombos

Romboides

I. Circunferencia y Círculo

1. Rectas en la circunferencia

a) Circunferencia

b) Cuerda

c) Diámetro

d) Radio

e) Arco

f) Semicírculo

2. Posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia

a) Exterior

b) Tangente

c) Secante




4

3. Posiciones relativas de dos circunferencias

a) Circunferencias concéntricas

b) Circunferencias exteriores

c) Circunferencia interior

d) Circunferencias tangentes exteriores

e) Circunferencias tangentes interiores

f) Circunferencias secantes

g) Circunferencias ortogonales

4. Ángulos notables de una circunferencia

a) Angulo central

b) Angulo inscrito

c) Angulo semiinscrito

d) Angulo interior

e) Angulo exterior

f) Angulo circunscrito

J. Perímetros y Áreas de Figuras Planas

1. Perímetros

a) Polígonos irregulares

b) Polígonos regulares

2. Áreas

a) Rectángulo

b) Cuadrado

c) Paralelogramo

d) Rombo




5

e) Triangulo

f) Trapecio

g) Polígono regular

h) Circulo

Sector circular

Segmento circular

Corona circular

K. Proporcionalidad de Segmentos

1. Segmentos proporcionales

a) Teorema de Tales

b) Teorema de Tales en un triangulo

2. Casos de semejanza de dos triángulos

3. Casos de congruencia de triángulos

4. Teoremas Importantes

a) Teorema de catetos

b) Teorema de la altura

c) Teorema de Pitágoras

L. Escalas

M. Simetría

1. Simetría axial

2. Simetría central

3. Composición de reflexión




6

N. Cuerpos Solidos (Poliedros)

1. ¿Qué es un poliedro?

2. Aristas, caras y vértices

3. Poliedros regulares

a) Tetraedro

b) Hexaedro

c) Octaedro

d) Dodecaedro

e) Icosaedro

4. Poliedros irregulares

a) Prisma triangular

b) Prisma cuadrangular

c) Prisma rectangular

d) Prisma rombal

e) Prisma pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.

f) Prisma trapezoidal

g) Pirámides

Triangular

Cuadrangular

Pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.

h) Cuerpos redondos

Cilindro

Cono

Esfera




7

5. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos

a) Cubo

b) Prisma

c) Pirámide

d) Cilindro

e) Cono

f) Esfera




8

Manual de Geometría

Nociones básicas.

El punto.

El punto es la marca que deja la punta de un lápiz afilado o de un alfiler. El punto no tiene dimensión

solo posición. Generalmente se denota con una letra mayúscula .

La recta.

Una recta no tiene ni origen ni fin. Su longitud es infinita. Generalmente se denota por una letra.

La semirrecta.

Cada una de las partes en que un punto divide a una recta. La semirrecta tiene origen, pero no fin.

El segmento.

Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos A y B. Longitud del segmento es la distancia

entre sus extremos A y B. Generalmente se representa con una línea arriba de los dos puntos o

solamente las dos letras de los puntos .

P

Punto

L

Recta

A

Semirrecta

Segmento

B A




9

Vértice

El vértice.

Es el punto donde se encuentran dos o más semirrectas que conforman un ángulo.

El lado.

Es la recta que une a dos vértices en una figura geométrica

Plano.

Nuestro mundo tiene tres dimensiones, pero un plano sólo tiene dos dimensiones. Una figura plana

es aquella que tiene una altura y una base.

Cuando dibujas algo en un trozo plano de papel estás dibujando en un plano.

PLANO

Lado




10

𝑥

𝑦

𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛

𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠

𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎𝑠 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

El plano cartesiano.

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se

cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis , y la

vertical, eje de las ordenadas o de las yes ; el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de

las y uno de las , respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Segmentos rectilíneos.

Mediadas de segmentos. Para medir los segmentos empleamos las unidades de longitud. La principal es el metro que se

define como la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre. En el sistema métrico

decimal, el metro tiene como múltiplos el decámetro (dam), el hectómetro (hm), y el kilometro (km).

1 1 1 1

1 1

1

1

1

1

1

1 1 1 1 Los divisores del metro son el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm).

1 1 1 1

1 1

1

1

1

1

1

1 1 1 1




11

El Angulo. Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen en común.

A dicho punto se le llama vértice del ángulo y a las semirrectas, lados del ángulo.

Partes de un ángulo.

La esquina de un ángulo se llama vértice.

Y los lados rectos son lados del ángulo.

El ángulo es la cantidad de giro entre los dos lados.

Tipos de ángulos.

Agudo Recto Obtuso

Mide más de 0o pero menos de 90º

Mide 90º

Mide más de 90º pero menos de 180º

Llano Cóncavo Completo o perigonal

Mide 180º

Mide más de 180º pero menos

de 360º

Mide 360º

Complementarios Suplementarios Adyacentes

La suma de los ángulos y suman un ángulo recto

La suma de los ángulos y suman un ángulo llano

Son dos ángulos consecutivos

y que suman 1

𝛼

𝛽

𝛼

𝛽

𝛼

𝛽

𝛼

𝛽 γ

𝛼 𝛽

𝛾




12

𝐴 𝐵

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟

𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

Notación de un ángulo.

Una letra mayúscula en el vértice.

Una letra griega o un símbolo en la abertura.

Tres letras mayúsculas.

Uso de transportador.

Para medir un ángulo se usa un instrumento de medición llamado transportador, que seguramente

ya conoces.

A continuación te mostraremos la forma de medir un ángulo con el transportador.

1. Dibujamos un segmento.

2. Se coloca el centro del transportador sobre uno de los extremos del segmento, y el lado

sobre la línea del cero.

𝐴

𝛼

𝐴

𝐵

𝐶

𝐴 𝐵




13

3. Colocamos con un punto el valor de la escala que deseemos medir.

4. Finalmente, dibujamos una semirrecta desde el extremo que medimos el ángulo hasta pasar

por el punto de la escala.

𝐴 𝐵

𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑟

𝐴 𝐵

5




14

Igualdad de ángulos.

Decimos que dos ángulos son iguales, cuando superpuestos coinciden.

Ángulos opuestos por el vértice: Son aquellos que los dos lados de uno son prolongaciones

opuestas de los lados del otro. En la siguiente figura los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice.

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. En efecto, el ángulo 2 es, por una parte,

suplementario de 1, y por otra suplementario de 3, luego 1 3 por tener el mismo suplementario.

Ángulos de lados paralelos o perpendiculares: Dos ángulos que tienen los lados paralelos son

iguales o suplementarios. En la siguiente figura donde las rectas y , los angulos 1 2

tienen los lados paralelos y son iguales; los ángulos 1 3 tienen los lados paralelos, pero son

suplementarios.

1

2

3

4

𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 2 𝑦 4 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠

1

2 3

𝑠

𝑟

𝑡 𝑞

1 𝑦 2 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠




15

Dos ángulos que tienen los lados perpendiculares son iguales o suplementarios. En la siguiente

figura, donde y , los angulos 1 2 tienen los lados perpendiculares y son iguales; los

ángulos 1 3 tienen también los lados perpendiculares, pero son suplementarios.

Medida de ángulos.

El sistema más empleados para medir los ángulos es el sistema sexagesimal, heredado por el

sistema que ya empleaban los babilónicos muchos siglos antes de nuestra era para medir el tiempo.

La unidad fundamental en el sistema sexagesimal es el grado, que se representa con el símbolo

y se obtiene al dividir el ángulo recto en partes. Un ángulo recto tiene, por consiguiente, noventa

grados . Si un grado a su vez se divide en partes, se obtiene el minuto, que se representa

con el símbolo . Si este se divide en otras partes, se obtiene el segundo, para el empleamos

el símbolo .

Unidades angulares

Nombre Símbolo Equivalencia Grado 1

Minuto 1

Segundo 1 ⁄

1

2

3 𝑠

𝑡

𝑟

𝑞

1 𝑦 2 𝑠𝑜𝑛 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠, 1 𝑦 3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠




16

Rectas Perpendiculares y Paralelas.

Restas perpendiculares. Diremos que dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ángulos iguales, y por tanto

rectos.

El símbolo con el que representamos las rectas perpendiculares es .

Rectas oblicuas: Son las rectas que se cortan sin ser perpendiculares.

Rectas paralelas. Diremos que dos rectas son paralelas cuando están en el mismo plano, y por mucho que las

prolonguemos no llegan a cortarse jamás.

El símbolo con el que representamos las rectas paralelas es .

1

4

2

3

1 3 𝑦 2 4

𝑟

𝑠

1

4

2

3

1 2 3 4

𝑟

𝑠

𝑟 𝑠

𝑟 𝑠




17

𝐴 𝐵

𝐶

𝐷

Construcción de rectas perpendiculares y paralelas.

Dibujar con regla y compas dos rectas perpendiculares:

Dibujar a partir de un segmento:

1. En la figura siguiente tenemos un segmento , con un radio un poco mayor que la mitad

del segmento y haciendo centro en trazamos dos arcos como los siguientes.

2. Con el mismo radio y haciendo centro en traza otros dos arcos que se cortan en

quedando.

𝐴 𝐵

𝐴

𝐵




18

𝐴 𝐵

𝐶

𝐷

𝐴 𝐵

𝑃

𝐶 𝐷

3. Ahora unimos los puntos de intersección de los arcos, puntos , con una recta y esta,

será perpendicular al segmento .

Dibujar a partir de un segmento y un punto dado:

Se trata de trazar una perpendicular al segmento desde el punto .

1. Tomas el compás con centro en el punto y con un radio capaz de cortar al segmento

en dos puntos trazas el arco correspondiente:

𝐴 𝐵

𝑃




19

𝐴 𝐵

𝑃

𝐶 𝐷

𝐸

𝐴 𝐵

𝑃

𝐶 𝐷

𝐸

2. Volvemos a hacer el uso del compás, hacemos centro en con un radio algo mayor de

la mitad del segmento y trazamos los dos arcos que tienes a continuación cuyo punto de

intersección es el punto :

3. Ahora sólo nos falta unir los puntos . La recta que une ambos puntos es perpendicular

a :




20

Dibujar con regla y compas dos rectas paralelas:

Dibujar a partir de una recta dada y un punto:

1. Sea la recta y un punto dado al que se le quiere trazar la recta paralela.

2. Con centro en un punto cualquiera de la recta se traza una circunferencia que pasa por .

La circunferencia corta en a la recta .

3. Con centro en se traza una circunferencia que pasa por .

𝑟

𝑃

𝑟

𝑃

𝐶

𝐴

𝐵

𝑟

𝑃

𝐶

𝐴

𝐵




21

4. Con centro en se traza una circunferencia de igual radio que la anterior. Esta ultima

circunferencia corta a la circunferencia inicial el .

5. La recta que pasa por es paralela a la recta .

𝑟

𝑃

𝐶

𝐴

𝐵

𝑃

𝑟

𝑃

𝐶

𝐴

𝐵

𝑃




22

Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante.

Si cortamos dos rectas paralelas con una secante se forman ocho ángulos que tienen los siguientes

nombres y propiedades.

Internos: , , , Correspondientes: Pares

son iguales

Externos: 1, 4, ,

Correspondientes internos:

Pares

3 2 5 son suplementarios Alternos internos: Pares

3 5 2 son iguales

Correspondientes externos:

Pares

1 4 son suplementarios

Alternos externos: Pares

1 4 son iguales

Ángulos internos: Son los que se encuentran entre las rectas paralelas.

Ángulos externos: son los que se hallan en la zona exterior de las paralelas.

Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas:

Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas:

Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo

en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Ángulos correspondientes internos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante,

dos ángulos en la parte interior formando un ángulo suplementario.

Ángulos correspondientes externos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante,

dos ángulos en la parte exterior formando un ángulo suplementario.

1

2 3

4

5




23

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷

𝐹

𝐸

Línea poligonal abierta

𝐷 𝐶

𝐵

𝐴

𝐸

𝑙𝑎𝑑𝑜

𝐷 𝐶

𝐵

𝐴

𝐸

𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

Polígonos. Una figura geométrica plana es un conjunto de puntos contenidos en el mismo plano. Una línea

poligonal es una figura geométrica formada por diversas segmentos unidos entre si por uno de sus

extremos. Como vemos en la siguiente figura, una línea poligonal puede ser cerrada, si todos los

extremos de los segmentos que dan unidos, o abierta, en el caso de que dos de los extremos

queden sin unir. Pues bien un Polígono no es otra cosa que una figura geométrica limitada por una

línea poligonal cerrada.

Lados, vértices, ángulos y diagonales.

Lados: Lados del polígono son los distintos segmentos de la línea poligonal que le sirve de entorno.

Vértice: Dos lados de un polígono se cortan en un punto que recibe el nombre de vértice.

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

𝐸

Línea poligonal cerrada




24

𝐷 𝐶

𝐵

𝐴

𝐸

𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒

𝑙𝑎𝑑𝑜

Angulo: Cada dos lados de un polígono forman un ángulo.

Nota: Un polígono tiene el mismo número de lados que de vértices y ángulos.

Diagonal: Es una recta que une dos vértices no consecutivos. El número de diagonales de un

polígono es:

− 3

2

Ejemplo: Numero de diagonlaes de un pentagono regular.

5 5 − 3

2

5 2

2

1

2

5

𝐷 𝐶

𝐵

𝐴

𝐸 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙

𝐷 𝐶

𝐵

𝐴

𝐸 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜




25

Polígonos cóncavos y convexos.

Polígono convexo: Un polígono se llama convexo cuando una recta solo puede cortarlo en dos

puntos.

Un polígono convexo, se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga menos dos. Por

consiguiente si es el número de lados del polígono, la suma de sus ángulos es:

1 − 2

Ejemplo: La suma de los ángulos de un polígono convexo de 4 lados es.

1 4 − 2 1 2 3

Polígono cóncavo: Se denomina cóncavo en el caso de que una recta pueda cortarlo en más de

dos puntos.

𝑝

𝑞 𝐷

𝐶

𝐵

𝐴

𝑖

𝑔

𝐴

𝐵

𝐶

𝐷 𝐸

𝐹

𝑗




26

Clasificación de polígonos.

Por sus lados.

Los polígonos pueden clasificarse, según el número de lados:

Triángulos

Eneágonos 9 lados

Cuadriláteros

Decágonos

Pentágonos

Endecágonos 11 lados

Hexágonos

Dodecágonos

Heptágonos

Pentadecágonos 15 lados

Octágonos

Nota: Los demás no reciben nombre especial “polígono de 13 lados.”

3

4 10

5

6 12

7

8




27

Polígono Regular.

Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en

una circunferencia.

Se clasifican en:

Triángulos. Cuadriláteros. Pentágono regular: polígono regular de 5 lados. Hexágono regular: polígono regular de 6 lados. Heptágono regular: polígono regular de 7 lados. Octágono regular: polígono regular de 8 lados y así sucesivamente.

4 lados iguales 5 lados iguales 6 lados iguales 7 lados iguales 8 lados iguales

Cuadrado Pentágono

regular Hexágono

regular Heptágono

regular Octágono

regular

Polígono Irregular.

Un polígono que no tiene todos los lados iguales ni todos los ángulos iguales.

4 lados desiguales

5 lados desiguales

6 lados desiguales

7 lados desiguales

8 lados desiguales

Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono




28

𝐴

𝐵 𝐶

𝑐

𝑎

𝑏

Triángulos. Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es una superficie plana, que

tiene tres lados, y por lo tanto tres ángulos y tres vértices.

Notación de un triangulo.

La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando el símbolo seguido de las tres

letras mayúsculas de sus vértices.

Un triángulo se designa con las letras mayúsculas en sus vértices. Los lados se designan por

las letras minúsculas igual a la del vértice opuesto.

Por sus lados.

Triángulo equilátero: Sus tres lados son iguales.

Triángulo isósceles: Dos lados iguales y uno desigual.

Triángulo escaleno: Sus tres lados son desiguales.

Por sus ángulos.

Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto (un ángulo de 90º).

Triángulo acutángulo: Los tres ángulos agudos.

Triángulo obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.




29

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵

𝐶

Construcción de triángulos.

Conociendo 3 lados.

1. Colocamos un segmento como base. Si los tres lados son de diferente medida, tomamos el

mayor; si los lados son grandes elegimos el menor.

2. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en uno de los

extremos de la base, trazamos un arco arriba de la base.

3. Hacemos lo mismo con el otro lado, medimos con el compás y trazamos un arco en el otro

extremo de la base.

𝐴 𝐵

𝐴 𝐶

𝐵 𝐶




30

𝐴 𝐵

𝐶

4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan los arcos.

Conociendo 2 lados y un ángulo comprendido entre ellos.

1. Colocamos un segmento como base. Si los dos lados son de diferente medida, tomamos el

mayor.

2. Ahora con el transportador, tomamos la medida del ángulo y apoyando el transportador en

uno de los extremos de la base medimos el ángulo y trazamos una línea recta.

𝐴 35

𝐴 𝐵

𝐴 𝐶

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵




31

𝐴 𝐵

𝐶

𝐴 𝐵 𝐴 35

3. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en el

extremo de la base, traza un arco arriba de la base.

4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan el arco y la línea

del ángulo comprendido.

Conociendo un lado y 2 ángulos contiguos.

1. Se construye el lado conocido.

2. Desde cada uno de los extremos del lado se trazan cada uno de los ángulos dados.

𝐴 35

𝐴 𝐵

�� 5

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵 𝐴 𝐵




32

3. La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.

Conociendo 2 lados y un ángulo no comprendido entre ellos.

1. Colocamos un segmento como base. Si los dos lados son de diferente medida, tomamos el

mayor.

2. Con un transportador llevamos el ángulo no comprendido entre los lados y dibujamos una

semirrecta.

𝐴 𝐵

𝐶

𝐴 35 𝐵 5

𝐴 𝐵

𝐴 𝐶

�� 45

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵




33

𝐴 𝐵

𝐶

𝐴 𝐵

𝐵 45

3. Ahora con el compás, tomamos la medida del otro lado y apoyando el compás en uno de los

extremos de la base, trazamos un arco arriba de la base.

4. Finalmente, unimos los extremos de la base con el punto donde se cruzan el arco y la línea

del ángulo no comprendido.




34

Puntos y rectas notables de un triangulo.

Mediatriz y circuncentro.

Mediatriz: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al segmento en su punto

medio.

1. Desde se traza una circunferencia de radio mayor a que la mitad .

2. Con centro en se traza una circunferencia de igual radio que la primera.

𝐴 𝐵

𝐴 𝐵




35

3. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias es la mediatriz de .

4. La intersección de la mediatriz con el segmento es el punto medio.

𝐴 𝐵

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧

𝐴 𝐵

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴𝐵




36

Circuncentro: Las tres mediatrices de los lados de un triangulo se cortan en un punto llamado

circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita, es decir, la circunferencia que pasa

por los tres vértices del triangulo.

1. Trazamos la mediatriz de uno de sus lados.

2. Trazamos la mediatriz de otro de sus lados.

3. Trazamos la última mediatriz.




37

4. Finalmente, trazamos una circunferencia en el punto donde todas las mediatrices se cruzan

ese punto se llama “circuncentro”, con radio a distancia de cualquiera de sus vértices.

Altura y ortocentro.

Altura: Se llama altura de un triangulo a la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado

opuesto.

Nota: Para esto se necesita el uso de la escuadra.

1. Con la escuadra nos posicionamos de tal manera que la base de la escuadra este en la

base del triangulo, de esta menear.

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎




38

Ortocentro: las tres alturas de un triangulo se cortan en un punto llamado ortocentro.

Calculamos las tres alturas del triangulo.

𝑜𝑟𝑡𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜




39

Bisectriz e incentro.

Bisectriz: Se llama bisectriz de un ángulo a la recta que lo divide en dos ángulos iguales.

1. Con origen en el vértice trazamos un arco de circunferencia de radio cualquiera pero tal que

corte a sus lados.

2. Con origen en uno de sus lados donde la circunferencia se corta, trazamos un arco de la

misma circunferencia que el anterior.

3. Con origen en el otro lado del ángulo, trazamos un arco de la misma circunferencia.




40

4. Finalmente, trazamos una línea recta del vértice del ángulo al punto donde los dos arcos se

cruzan.

Incentro: Las tres bisectrices de los ángulos de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro,

que es el centro de la circunferencia inscrita, es decir, la circunferencia que es tangente interior a los

tres lados del triangulo.

1. Trazamos las tres bisectrices del triangulo.

f

𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

f

f




41

2. Trazamos una circunferencia con centro en el punto donde las tres bisectrices se cortaron

ese punto se llama incentro y radio con distancia en cualquiera de sus lados.

f

f

𝐼𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜




42

Cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Lados opuestos serán aquellos que no tienen un

punto en común. Lados contiguos son aquellos que tienen un extremo en común. Vértices opuestos

son aquellos que no están en el mismo lado. Vértices contiguos son dos vértices que están en el

mismo lado. Como los cuadriláteros son polígonos, la suma de sus ángulos interiores la podemos

encontrar aplicando la formula:

1 − 2 1 4 − 2 1 2 3

Clasificación de los cuadriláteros.

Los cuadriláteros se dividen en tres: trapezoides, trapecios y paralelogramos.

Trapezoides.

Los trapezoides son cuadriláteros que no tienen lados paralelos. Pueden ser simétricos o asimétricos: el trapezoide simétrico tiene la forma de una cometa (volantín), con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son perpendiculares. El trapezoide asimétrico no tiene lados paralelos ni eje de simetría.

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑒𝑠

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜

𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠

Trapecio simétrico

Trapecio asimétrico




43

Trapecio.

Los trapecios son los que tienen un par de lados paralelos y los otros no. a los dos lados paralelos

se les llama bases del trapecio. El trapecio será isósceles si los lados opuestos no paralelos son

iguales, y trapecio rectángulo si uno de los lados no paralelos es perpendicular a la base. En caso

contrario, el trapecio se llamara escaleno.

Paralelogramos.

Los paralelogramos tienen los lados paralelos dos a dos. A su vez los paralelogramos se pueden

clasificar en:

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜

𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜

𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜𝑖𝑑𝑒




44

𝑎

𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Cuadrado: Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.

Rectángulo: Tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos.

Rombo: Tiene los cuatro lados iguales pero los ángulos no son rectos; tiene los ángulos dos a dos (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos).

Romboide: Tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos no son rectos; tienen los ángulos dos a dos (Dos ángulos son agudos y los otros dos obtusos).

𝑎 𝑎

𝑎 𝑎

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎




45

Circunferencia y círculo. Los egipcios fueron los primeros en calcular el valor, mas de XX siglos antes de nuestra era, la

relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Encontraron un valor aproximado para el

cociente ⁄ . La tarea no era nada fácil. El resultado de esta división es un numero irracional que

tiene infinitas cifras decimales no periódica, al que los griegos designan con la letra (pi). Las

computadoras actuales han permitido determinar el valor de con cien mil cifras decimales exactas.

La circunferencia es, junto con el triangulo, la figura geométrica mas utilizada en matemáticas. Se

define como el conjunto de puntos del plano que equidistan (es decir que están a la misma distancia)

de un punto interior llamado centro.

Rectas en la circunferencia.

Circunferencia.

Es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan de otro de su plano llamado centro.

Nota: No hay que confundir la circunferencia, que es una línea curva, con el círculo, que es la parte

del plano situada en su interior. El círculo es pues una superficie.

Cuerda.

Una cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.

𝑐

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑐

𝐴 𝐵 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐴𝐵




46

Diámetro.

El diámetro de una circunferencia es una cuerda que pasa por el centro.

Radio.

Es la mitad del diámetro.

Arco.

Un arco es una parte de la circunferencia limitada por dos puntos que se llaman extremos del arco.

Semicírculo.

El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicírculo.

𝑐

𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

𝑐

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜

𝑐

𝐴 𝐵

𝑐

𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜




47

Posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia.

Exterior.

Cuando no tienen ningún punto en común.

Tangente.

Es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.

Secante.

Es la recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia.

𝑐

𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑐

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒




48

Posiciones relativas de dos circunferencias.

Circunferencias concéntricas.

Son circunferencias que tienen el mismo centro y distinto radio.

Circunferencias exteriores.

Son aquellas que no tienen puntos en común y cada una está en una región exterior a la otra. La

distancia entre los centros de estas circunferencias es mayor que la suma de sus radios.

Circunferencia interior.

Es aquella en la cual todos sus puntos son interiores a otra circunferencia.

Circunferencias tangentes exteriores.

Se les llama así a las que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la

suma de sus radios.

𝑐

𝑟

𝑅

𝐶1 𝑟

𝑅

𝐶2

𝑑

𝑑 > 𝑅 + 𝑟

𝐶1 𝑟 𝑅

𝐶2

𝑑

𝑑 < 𝑅 + 𝑟

𝑟

𝑅

𝐶2

𝑑

𝑑 𝑅 + 𝑟

𝐶1




49

Circunferencias tangentes interiores.

Son circunferencias que tienen un solo punto en común. La distancia entre sus centros es igual a la

diferencia de sus radios.

Circunferencias secantes.

Son aquellas que se intersectan en 2 puntos. La distancia entre sus centros es menor que la suma

de sus radios.

Circunferencias ortogonales.

Cuando se intersectan 2 circunferencias los radios forman un ángulo de 90º, esto significa que son

perpendiculares en los puntos de intersección.

𝐶2 𝐶1 𝑟 𝑅

𝑑

𝑑 𝑅 − 𝑟

𝑟

𝑅

𝐶2

𝑑

𝑑 𝑅 − 𝑟

𝐶1

𝐶2 𝐶1

𝑟 𝑅

𝑑

𝑑 < 𝑅

𝑃𝑡

𝐶2 𝐶1 𝑟 𝑅

𝑅 𝑟

𝑃𝑡




50

Ángulos notables de una circunferencia.

Ángulo central.

Es aquel ángulo que forman dos radios, o bien por un diámetro y un radio, y tiene su vértice en el

centro. La medida de un ángulo central es igual al arco comprendido entre sus lados.

Ángulo inscrito.

Tiene su vértice en el punto de la circunferencia y la forma un par de cuerdas. La medida de un

ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

Ángulo semiinscrito.

Tiene su vértice en un punto de la circunferencia y lo forma una cuerda y una tangente. La medida

de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.

𝑂

𝑟

𝐴 𝐵

∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐵 ⌒

𝑂

𝐶 𝐴

∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 2

⌒

𝐵

𝑂

𝐶

∠𝐴𝐶𝐵 𝐴𝐶 2

⌒

𝐵

𝐴




51

Ángulo interior.

Su vértice se encuentra en un punto interior de la circunferencia y lo forman 2 cuerdas que se cortan.

La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos comprendidos entre sus lados y

sus prolongaciones.

Ángulo exterior.

Tiene su vértice en un punto exterior a la circunferencia y lo forman dos secantes. La medida de un

ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados.

Ángulo circunscrito.

Se denomina así al ángulo que forman dos tangentes trazadas desde un punto exterior a la

circunferencia. La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia de los arcos

comprendidos entre sus lados.

𝑂

𝐵

𝐶

𝐴

∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶 + 𝐷𝐸

2

⌒ ⌒

𝐷

𝐸

𝐶

𝐴

∠𝐴𝐵𝐶 𝐷𝐸 − 𝐴𝐶

2

⌒ ⌒

𝐷

𝐸

𝑂 𝐵

𝐶

𝐴 ∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐸𝐶 − 𝐴𝐺𝐶

2

⌒ ⌒

𝐸 𝐵 𝑂 𝐺




52

Perímetros y Áreas de Figuras Planas.

Perímetros.

Polígonos irregulares.

El perímetro de un polígono irregular se obtiene sumando las longitudes de todos sus lados.

Ejemplo: Calcular el perímetro de la siguiente figura.

1 + + 4 + 5 + 34

Polígono regular.

Si el polígono es regular, como todos sus lados serán iguales, bastara con multiplicar las longitudes

del lado por el número de lados.

Ejemplo: Calcular el perímetro del pentágono regular con longitud de 3cm.

5 3 15

Longitud de una circunferencia: 2

Ejemplo: Calcular el perímetro del siguiente circulo.

2 3 141 2 2 2 32 2 2

13 23 4

𝑐𝑚 4 𝑐𝑚

5 𝑐𝑚

𝑐𝑚

1 𝑐𝑚

3𝑐𝑚

𝑟




53




54

Áreas.

Vamos a estudiar ahora el área o superficie de las principales figuras planas que ya conocemos.

Una vez establecidas las unidades que vamos a emplear para expresar el área, calcularemos la

superficie del rectángulo, que es muy sencilla. A partir del área del rectángulo se puede deducir la de

cualquier paralelogramo, así como la del triangulo. El conocimiento del área del triangulo nos

permitirá a su vez deducir la de un polígono regular cualquiera y aumentando el numero de lados del

polígono, podremos calcular la superficie del circulo. Finalmente, calcularemos el área de ciertas

partes del círculo, denominadas sector circular, segmento circular y corona circular.

Área del rectángulo.

La superficie del rectángulo será, pues, la longitud de la base multiplicada por la altura.

Ejemplo: Calcular el área del siguiente rectángulo.

1 3 5 4

55 2 2

Área del cuadrado.

El cuadrado a diferencia del rectángulo tiene la base de la misma longitud que la altura; por

consiguiente, la superficie será.

2

Ejemplo: Calcular el área del siguiente cuadrado.

2

2 54 2 54 2 54 2

2 451 2

1 3𝑐𝑚

5 4𝑐𝑚

2 54 𝑐𝑚




55

Área del paralelogramo.

Considerando un paralelogramo . Si trazamos la altura desde el vértice A, es decir, la

perpendicular a la base , vemos que el rectángulo tiene la misma base, la misma altura y la

misma superficie que el paralelogramo , pues el triangulo es igual al triangulo .

En consecuencia, la superficie del paralelogramo es:

Ejemplo: Calcula el área del siguiente paralelogramo.

3 2

21 2

Área del rombo.

El área del rombo se puede calcular de dos maneras. Si conocemos la base y su altura, como se

trata de un paralelogramo, podemos aplicar la formula.

𝐷 𝐹 𝐶 𝐸

𝐵 𝐴

𝑐𝑚

3 2𝑐𝑚

𝑏




56

Pero, lo que a veces conocemos es la longitud de las diagonales. Entonces si es la diagonal

mayor y la diagonal menor, podemos escribir.

2

Ya que la diagonal mayor es iguala a la base, y la diagonal menor es igual a la altura del mismo, y el

rombo esta construido por cuatro triangulo, mientras que el rectángulo esta formado por ocho. La

superficie del rombo es, pues, la mitad que la del rectángulo.

Ejemplo: Calcular el área del siguiente rombo.

2

4 5 3

2

13 5 2

2

5 2

Área del triangulo.

Dado un triangulo, podemos convertirlo en un paralelogramo trazando la paralela de un lado y que

pase por uno de sus vértices, y la paralela del otro lado que pase por el otro vértice. Entonces la

superficie del triangulo es claramente la mitad del paralelogramo.

2

𝑑

𝐷

3𝑐𝑚

4 5𝑐𝑚

𝑏




57

Ejemplo: Calcula el área del siguiente triangulo.

2

3 5 1 5

2

5 25 2

2

25 2

Área del trapecio.

Dos trapecios iguales se pueden ensamblar como en la figura siguiente.

Si llamamos a la base menor del trapecio, a la base mayor, y la altura, resulta un

paralelogramo de base + y de altura . Aplicando la formula del paralelogramo, tenemos.

+

Finalmente, teniendo en cuenta que la superficie del trapecio es la mitad que la del paralelogramo,

tenemos que dividir por dos, con lo que el área del trapecio será.

+

2

+

2

5 + 2 4

2 2

( 4

2) 2

3 2

4 2

3 5𝑐𝑚

1 5𝑐𝑚

𝐵 𝑏

𝐵 𝑏

5𝑐𝑚

2𝑐𝑚

2 4𝑐𝑚




58

Área de un polígono regular.

Un polígono regular se puede dividir también en tantos triángulos isósceles como lados tenga el

polígono. La altura de cada triangulo, es decir, el segmento que une el centro del polígono con el

punto medio del lado opuesto, se denomina .

Si llamamos al lado del polígono, la superficie de cada triangulo será.

2

Si llamamos al número de lados del polígono, la superficie de este resulta.

2

2

Ya que el perímetro es igual al numero de lados multiplicado por la longitud de cada uno de

ellos.

Ejemplo: Calcula el área de la siguiente polígono regular.

2

1 3 1

1 1 5

2

13 5 2

2

25 2

𝑏

𝑎𝑝

𝑎𝑝 1 5𝑐𝑚




59

Área del círculo.

Si dibujamos polígonos inscritos en una circunferencia, y vamos aumentando el numero de lados,

como se muestra en la siguiente figura obtendremos lo siguiente.

a) El perímetro del polígono se va aproximando a la longitud de la circunferencia ;

b) La superficie del polígono se va aproximando al área del circulo;

c) La apotema del polígono se va aproximando al radio de la circunferencia .

Por consiguiente.

2

2

2

2 2

Ejemplo: Calcular el área del siguiente circulo.

2

1 2 2

3 141 1 12 2

5 2

Nota: Si en el resultado hay más de 5 cifras decimales solo tomamos las primeras 3 o 4 cifras

decimales.

𝑎𝑝

𝑎𝑝

𝑎𝑝

𝑟

𝑟=1.27cm




60

Sector circular.

Un sector circular es la parte del círculo limitada por un arco y los dos radios que pasan pos sus

extremos. Si el arco tiene una amplitud de , podemos establecer la proporción.

3

2

Y despejando el área, obtendremos.

2

3

Ejemplo: Calcula el área del siguiente sector circulara.

2

3

3 141 1 2

3

3 141 2 5 2

3

424 2

3

23 1 2

3

2 1 2

𝑛

𝑟 𝐶

𝑟 1 𝑐𝑚




61

Segmento circular.

Es la parte del círculo comprendida entre el arco y la cuerda que pasa por los extremos. Su área se

calcula restando el área del triangulo de la del sector circular.

Ejemplo: Calcula el área del segmento circular sabiendo que el área del triangulo es de 1 15 2 y

su radio del circulo es de 1 3 .

2

3

3 141 1 3 2 13

3

3 141 1 2 13

3

2 52 2

3

1 1 2 2

1 15 2

−

1 1 2 2 − 1 15 2

2 2

𝑟 𝐶

𝑛

𝑟 1 3𝑐𝑚 13




62

Corona circular.

Es la superficie del plano limitada por dos circunferencias concéntricas. El área de la corona circular

se obtiene restando la superficie del círculo menor a la del círculo mayor. Si llamamos al radio del

círculo mayor y al del menor tendremos.

2 − 2 2 − 2

Ejemplo: Calcular el área de la siguiente corona circular.

2 − 2

3 141 2 2 − 1 1 2

3 141 4 3 1 2 − 1 41 1 2

3 141 2 52 2

2 4 2

𝑟 𝑅

𝑟 1 1 𝑐𝑚 𝑅 2 𝑐𝑚




63




64

Proporcionalidad de segmentos. Tales de Mileto era uno de los siete sabios de Grecia. Fue ingeniero, astrónomo, matemático,

filósofo y comerciante. En uno de sus viajes visito Egipto y, aplicando el famoso teorema de

proporcionalidad de segmentos, que lleva su nombre, calculo la altura de la pirámide de Keops.

Para ello empleo un bastón, y la sombra que proyectaba la pirámide, pudo calcular la altura de

esta, ya que de ser tantas veces mas grande que la altura del bastón cuantas los sea . La

proporcionalidad se basa en el hecho de que los triángulos formados son semejantes, es decir,

tienen los ángulos correspondientes iguales. En la vida diaria encontramos abundantes ejemplos de

figuras semejantes: ampliaciones fotográficas, planos de ciudades, mapas de países, planos de

edificios, de maquinas industriales, etc.

Segmentos proporcionales.

Si varias rectas paralelas se cortan con dos rectas secantes , los segmentos formados en la

recta son proporcionales a los segmentos formados en la recta . Este enunciado se conoce con el

nombre de teorema de Tales.

𝑆 𝑠




65

Teorema de Tales.

En la siguiente figura tenemos que el segmento de la recta contiene dos veces una unidad de

medida , mientras que el segmento la contiene 3 veces. Entonces podemos

escribir.

3

2

3

2

En la recta utilizamos otra unidad de medida y tenemos.

3

2

3

2

Y esto quiere decir que, puesto que ambas

fracciones valen

2, son iguales entre si.

Los segmentos están pues en la proporción de 3 a 2, o dicho de otra manera, unos segmentos son

una vez y media más grande que los otros. En particular los segmentos están en

proporción 5 a 2 y lo mismo ocurre con los segmentos A'C' y A'B', por consiguiente, también se

cumple que.

5

2

5

2




66

1

2

El teorema de Tales en un triángulo

Dos triángulos se dice que están en posición de Tales si tienen un ángulo en común. En la siguiente

figura el ángulo en común es , y los lados opuestos al ángulo son paralelos.

Si dos triángulos están en posición de Tales, tienen los tres ángulos iguales:

,

Además, si trazamos podemos aplicar el teorema de Tales de la siguiente forma.

a) Considerando las rectas paralelas y cortadas por las rectas y . Entonces.

b) Considerando las rectas paralelas y cortadas por las rectas y . Entonces.

Como es igual ha , tenemos.

Como consecuencia de las igualdades 1 y 2 , podemos escribir.

𝐴

𝐶 ��

𝐵 𝐶

𝑃




67

Ejemplo: Hallar las medidas de los segmentos y .

4

2

4

4 4

2

1

2

4

2

2

4

12

4

3

Casos de semejanza de dos triángulos.

Podremos asegurar que dos triángulos son semejantes si somos capaces de comprobar una de

estas tres cosas.

El símbolo con el que identificaremos la semejanza será .

1. Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales.

𝐴

𝐵 𝑎

𝑎 4𝑐𝑚

𝐵

𝐶

𝐵

𝐴

𝐶

𝐵

𝐴 𝐶

𝐶




68

2. Los dos triángulos tienen los tres lados proporcionales.

3. Los dos triángulos tienen un ángulo igual, comprendido entre dos lados proporcionales.

𝐴

𝐶 𝐵

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐶 𝐵

𝐶 𝐵

𝐴




69

Casos de semejanza en triángulos rectángulos.

En particular, si los triángulos son rectángulos, basta con que una de estas dos condiciones.

1. Los dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual.

2. Dos lados de uno son proporcionales de a dos del otro.

Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.

Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵 𝐶

𝐴

𝐵 𝐶




70

Casos de congruencia de dos triángulos.

Dos triángulos son congruentes si.

1. Sus lados miden lo mismo.

2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos miden lo mismo.

𝐴

𝐶 𝐵

𝐴

𝐶 𝐵

𝐴

𝐶

𝐵

𝐴

𝐶

𝐵




71

3. Un lado y los ángulos adyacentes a él miden lo mismo.

Teoremas Importantes.

Terminología.

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman

catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto. Si la medida de los lados son

números enteros, estos reciben el nombre de terna pitagórica.

Tipos de triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo isósceles: Los dos catetos son de la misma longitud, los ángulos interiores

son de 45 , 45 .

Triángulo rectángulo escaleno: Los tres lados y los tres ángulos tienen diferente medida.

Triángulo rectángulo isósceles.

Triángulo rectángulo escaleno.

𝐴

𝐶

𝐵

𝐴

𝐶

𝐵

𝑎 𝑎

𝑐 45 45

𝑎 𝑐

𝑏

𝛼

𝛽




72

Teorema de Catetos.

“En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la

proyección de ese cateto sobre la hipotenusa.”

Los triángulos rectángulos , y tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son

semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.

2. Los ángulos y son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.

3. Igualmente sucede con los ángulos y .

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos y

2

Por la semejanza entre los triángulos y .

2

𝛼

𝛼

𝐶

𝐴 𝐵 𝐻

𝑐

𝑛 𝑚




73

Teorema de la altura.

“En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2

segmentos que dividen a ésta.”

2

Nota: De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos, la tercera es

la altura sobre la hipotenusa.

Teorema de Pitágoras.

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus

catetos.”

2 2 + 2

El teorema de Pitágoras nos permite calcular la medida de uno de los lados de un triangulo

rectángulo si se conocen la medida de los otros dos.

Hipotenusa

√ 2 + 2

Cateto

√ 2 − 2

Cateto

√ 2 − 2

𝐴

𝐶

𝐵 𝑐

𝑎 𝑏

𝑛 𝑚

𝐶

𝐵

𝐴

𝑎 𝑐

𝑏




74

Aplicaciones del teorema de Pitágoras.

Conociendo dos lados de un triangulo rectángulo, calcular el otro lado.

Conocidos los catetos, calcular la hipotenusa.

√ 2 + 2

√ 3 1 2 + 2 1 2

√ 1 2 + 4 41 2

√14 2 2

3 4

Conocido un cateto y la hipotenusa, calcular el otro cateto.

√ 2 − 2

√ 5 2 − 3 2 2

√25 2 − 1 24 2

√14 2

3 4

𝑎 3 1 𝑐𝑚

𝑏 2 1 𝑐𝑚 𝑐

𝑎 3 2 𝑐𝑚

𝑏 𝑐 5𝑐𝑚




75

Diagonal de un cuadrado o de un rectángulo.

√ 2 + 2

√ 2 5 2 + 2 5 2

√ 25 2 + 25 2

√12 5 2

3 53

√ 2 + 2

√ 2 5 2 + 4 2

√ 25 2 + 23 4 2

√2 2 2

5 41

Altura de un trapecio.

−

2

1 − 1

2

2

3

√ 2 − 2

√ 2 − 3 2

√ 4 2 − 2

√55 2

41

𝑏 2 5 𝑐𝑚

𝑎 2 5 𝑐𝑚 𝑐

𝑏 4 𝑐𝑚

𝑎 2 5 𝑐𝑚 𝑐

𝑏 1 𝑐𝑚

𝐵 1 𝑐𝑚

𝑐 𝑐𝑚

𝑏




76

Altura de un triángulo equilátero.

2

3

2

1 5

√ 2 − 2

√ 3 2 − 1 5 2

√13 2 − 3 4225 2

√1 2 5 2

3 2

Apotema de un polígono regular.

2

5

2

2 5

√ 2 − 2

√ 3 1 2 − 2 5 2

√ 1 2 − 25 2

√3 3 2

1 3

𝑎 3 𝑐𝑚

𝑎

𝑎

𝑏 5 𝑐𝑚

𝑏




77

Escalas. Es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las

dimensiones representadas de un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes

dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso

denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus

medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala a

utilizar se determina entonces en función de las medidas del objeto y las medidas del papel en el

cual será representado. El dibujo hecho a escala mantendrá de esta forma todas las proporciones

del objeto representado, y mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. Finalmente, deben

indicarse sobre el dibujo las dimensiones del objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.

A manera de ejemplo se presenta la ilustración comparativa de un cuadrado de 2 cm. de lado

dibujado en sus dimensiones reales (escala natural ó escala 1/1); multiplicando sus medidas por dos

(escala 2/1); y dividiendo sus medidas por (dos a escala 1/2).

Factores de Escalas de Reducción y Ampliación.

Escala de reducción Escala de ampliación

Escala Factor de reducción

Longitud de representación

de 1 m.

Escala Factor de aumento

Longitud de representación

de 1 cm. ⁄ 1 1 1 1⁄ 1 1

⁄ 1 25 1 33 1⁄ 1 33 1 33 ⁄ 2 5 2 1⁄ 2 2

⁄ 2 5 4 4 1⁄ 4 4 ⁄ 5 2 5 1⁄ 5 5

⁄ 5 13 33 1⁄ ⁄ 1 1 1 1⁄ 1 1

2𝑐𝑚 2𝑐𝑚 2𝑐𝑚

2𝑐𝑚

2𝑐𝑚

2𝑐𝑚

𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 1 1⁄ 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 2 1⁄ 𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎: 1 2⁄




78

Escalímetro.

Es una regla o juego de reglas que contiene simultáneamente varias escalas diferentes. Son muy

comunes los escalímetros triangulares que contienen seis escalas.

Simetría.

Simetría axial. La simetría axial es una transformación que refleja las figuras del plano sobre una recta o eje de

simetría, como si fuera un espejo. Por esta razón, a la imagen de una figura también se le conocen

como su simétrico.

𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒

𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎








79

Simetría axial de un punto.

Dado un punto y el eje de simetría de la reflexión, la imagen del punto determina trazando una

perpendicular desde el eje de simetría. La imagen se ubica del otro lado del eje y a la misma

distancia del punto.

Simetría axial de un segmento.

Se determinan los simétricos de los extremos del segmento y el segmento que los une es la imagen.

Simetría axial de un polígono.

Se determinan los simétricos de los lados y la figura que se obtiene es la imagen.

𝑟 𝐴 𝐴

𝑟

𝐵 𝐵

𝐴 𝐴

𝑟

𝐵 𝐵

𝐴 𝐴

𝐶 𝐶




80

Simetría central.

A la imagen de una figura también se le conoce como su simétrico. Para determinar la imagen de

una figura bajo esta transformación, basta con determinar la imagen de cada uno de sus puntos.

Simetría central de un punto.

La imagen de un punto bajo esta transformación se determina trazando una recta que pase por el

punto y el centro de la reflexión. La imagen se ubica del otro lado del centro, pero a la misma

distancia.

Simetría central del segmento.

Se determinan los simétricos de los puntos extremos y el segmento que los une es la imagen.

Observa que el resultado es el mismo que si reflejáramos punto por punto el segmento.

Simetría central de un polígono.

Se determinan los simétricos de los vértices del polígono y los segmentos que los unen forman la

imagen del polígono.

𝐴

𝑐

𝐴

𝐴

𝐵

𝐵

𝐴

𝐴

𝐵

𝐵

𝐴

𝐶 𝑐

𝐶

𝑐




81

Composición de reflexión.

Una manera de estudiar las propiedades de las figuras en el plano consiste en analizar como

cambian si les aplicamos algunas transformaciones sencillas, como traslaciones o rotaciones.

Traslación.

La transformación conocida como traslación consiste en el desplazamiento de cada uno de los

puntos hacia una misma dirección y distancia.

Para indicar una traslación necesitamos especificar la dirección y la distancia del desplazamiento, y

la longitud es igual a la distancia del desplazamiento. Al segmento que indica una traslación se le

conoce como directriz.

Traslación de un punto.

Dado un punto y la directriz de una traslación, la imagen de ese punto se obtiene trazando un

segmento paralelo a la directriz, de la misma longitud y partiendo del punto dado.

Traslación de un segmento.

Se determina la imagen de los puntos extremos del segmento, según la directriz. La traslación del

segmento se da al unir las imágenes del mismo.

𝐴 𝐴

𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝐶

𝐵 𝐵

𝐶





82

Traslación de un polígono.

Cada lado del polígono se traslada de acuerdo con la traslación de un segmento. La figura obtenida

es la imagen del polígono.

𝐵

𝐴

𝐶

𝐴

𝐶

𝐵





83

P

𝑐

𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜

Rotación.

Otra transformación de interés es la rotación de un plano por un ángulo dado y alrededor de un

punto fijo. Para indicar una rotación es necesario proporcionar el centro de la rotación, el ángulo de

rotación y su sentido. Usualmente el sentido se especifica con la medida del ángulo; si el ángulo es

negativo, el sentido del giro es en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj, y si es

positivo será en sentido contrario.

Nota: Una rotación de 1 equivale a una simetría central.

Rotación de un punto.

La imagen de un punto bajo una rotación se obtiene trazando un segmento que una al punto con el

centro del giro y después se gira el segmento de acuerdo al ángulo de rotación. La posición final del

extremo móvil es la imagen del punto.

1. Con el transportador marcamos con un punto la escala que deseamos rotar del punto.

2. Trazamos un la línea recta del punto centro al punto de la escala de rotación.

3. Con el compas trazamos un arco con centro en y distancia y que corte a la línea recta

de la escala de rotación, esta intersección es el punto de rotación .

𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑐

𝑃


𝑐

𝑃 𝑃





84

Rotación de un segmento.

La imagen de un segmento, bajo una rotación, se obtiene efectuando la rotación de los puntos

extremos del segmento. El nuevo segmento que une las imágenes de los extremos en su imagen.

𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 −12

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃




85

Rotación de un polígono.

Para obtener la imagen de un polígono se hace la rotación de sus lados y el polígono que resulta es

la imagen.

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑄

𝑃

𝑄

𝑐

𝑃

𝑄

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐




86

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃




87

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃




88

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃




89

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄




90

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄




91

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄




92

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄

𝑅




93

𝑃

𝑄

𝑅

𝑐

𝑃

𝑄

𝑅




94

Cuerpos solidos (Poliedros).

Un cuerpo sólido es todo lo que ocupa lugar en el espacio. Los cuerpos geométricos pueden ser de dos clases: formados por caras planas o por caras redondas.

Cuerpos con caras planas.

Cuerpos con caras redondas.




95

¿Qué es un poliedro?

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico (polyedron), de la raíz (polys), "muchas" y de (edra), "base", "asiento", "cara".

Aristas, caras y vértices.

Caras: Los polígonos que delimitan al poliedro se denominan caras.

Aristas: La intersección de las caras recibe el nombre de arista.

Vértice: La intersección de las de las aristas se llama vértice.

Cara

Cara

Cara

𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎

𝑣𝑒𝑟𝑖𝑐𝑒




96

Poliedros regulares.

Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan

en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono.

http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro

http://es.wikipedia.org/wiki/Cara_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular

http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice




97

Tetraedro.

Un tetraedro es un tipo de poliedro que tiene cuatro caras, por lo que es el tipo más pequeño posible

de poliedro.

Hexaedro.

Un hexaedro es un poliedro de seis caras.

http://lular.es/a/ciencia/2010/11/Que-es-un-poliedro.html


http://es.wikipedia.org/wiki/Seis




98

Octaedro.

Un octaedro es un poliedro de ocho caras.

Dodecaedro.

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras.


http://es.wikipedia.org/wiki/Ocho


http://es.wikipedia.org/wiki/Doce

http://es.wikipedia.org/wiki/Cara




99

Icosaedro.

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras.





100

Poliedros irregulares.

Se dividen en dos clases: primas que tienen la base y la tapa de arriba iguales. Pirámides que tienen

una base y terminan en punta. Todos reciben su nombre de acuerdo a la base que tengan.

Prisma triangular.

Sus bases son triángulos.

Prisma cuadrangular.

Sus bases son cuadrados.




101

Prisma Rectangular.

Sus bases son rectángulos.

Prisma Rombal.

Sus bases son rombos




102

Prima pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.

Sus bases son polígonos.

Prisma trapezoidal.

Sus bases son trapecios.




103

Pirámides.

Son figuras que tienen una base y terminan en punta.

Pirámide triangular.

Tiene una base triangular.

Pirámide cuadrangular.

Tiene una base cuadrangular.




104

Pirámide pentagonal, hexagonal, heptagonal, etc.

Sus bases son pentágonos, hexágonos, heptágonos, etc.

Cuerpos redondos.

El cilindro.

Sus bases son círculos.




105

El cono.

Esfera.




106

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

Cubo.

Área Volumen

Prisma.

Área Volumen

+




107

Pirámide.

Área Volumen

+

3

Cilindro.

Área Volumen

+ 2




108

Cono.

Área Volumen

+ 2

3

Esfera.

Área Volumen

4

3




109

Cuerpo Nombre Aristas Vértices Formula del volumen Desarrollo del plano

12

12

2

1 12

2

Generalizando el volumen de los prismas es: Superficie de la base por altura.




110

Cuerpo Nombre Aristas Vértices Formula del volumen Desarrollo del plano

Pirámide triangular

6 4

3

2

Pirámide hexagonal

12 7

3

2

Pirámide cuadrangular

8 5

3

2

Generalizando el volumen de las pirámides es:

Superficie de la base por altura entre tres.




111

TRIGONOMETRÍA




112

Trigonometría. UNIDAD 1. Los ángulos y su medida

Recorridos en la circunferencia

Radianes

Grados sexagesimales

De radianes a grados

Midiendo ángulos

UNIDAD 2. Razones trigonométricas

Razones trigonométricas

Seno y coseno en la circunferencia

Tangente en la circunferencia

Razones de 30º, 45º y 60º

UNIDAD 3. Relaciones trigonométricas

Relaciones fundamentales

UNIDAD 4. Resolver triángulos rectángulos

Con un ángulo y la hipotenusa

Dados un ángulo y un cateto

Conocidos dos lados

UNIDAD 5. Razones de ángulos cualesquiera

Seno

Coseno

Tangente




113

Unidad 6. Ley de senos y cosenos

Ley de senos

Ley de cosenos

UNIDAD 6. Aplicaciones de la trigonometría

Resolver problemas métricos




114

Generalidades.

Trigonometría

Es una palabra que deriva del griego Τριγωνοµetρía, Tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ángulo, metería

(µetρía) medida, es decir, "medida de tres ángulos".

De hecho, se trata de la parte de las matemáticas dedicada inicialmente al estudio de las relaciones

entre las amplitudes de los ángulos y las longitudes de los segmentos que sus lados determinan en

las rectas que cortan.

La trigonometría nos enseña a resolver todos los problemas del triangulo por medio del calculo y a

encontrar relaciones en forma matemática entre segmentos y ángulos del triangulo y de otras figuras

planas limitadas por rectas, de hecho se basa en las propiedades de las llamadas razones

trigonométricas.

Breve reseña historia.

Si nos remontamos a tiempos muy lejanos en la historia de las matemáticas, encontramos algunos

problemas que ya implicaban elementos de trigonometría: los egipcios ya la utilizaban en la

construcción de sus pirámides y los babilónicos en sus cálculos. Los griegos hicieron por primera

vez un estudio sistemático de la relación entre los ángulos y la longitud de la cuerda que los

determina en una circunferencia de radio unidad.

Con el paso del tiempo, la trigonometría, adquirió la forma que tiene actualmente: paso del estudio

de las relaciones entre los ángulos de un triangulo rectángulo al delas razones entre los catetos y la

hipotenusa del triangulo, para extenderse finalmente al estudio de las funciones abstractas simples y

periódicas que estas razones ejemplifican. Es así, completamente abstracta, cuando nos resulta útil,

tal y como nosotros la conocemos.




115

Sistema cartesiano de referencia. Con el fin de localizar un punto en un plano se hace necesario construir un sistema de coordenadas

o sistema cartesiano.

Para poder construir un sistema cartesiano se trazan en un plano una recta horizontal y una vertical,

ambas dirigidas y perpendiculares entre si. La recta horizontal recibe el nombre de eje de las

abscisas o ; la recta vertical es el o el eje de las ordenadas. El punto de intersección

entre ambas rectas es el origen y se denota con la letra O.

En el los puntos a la derecha del origen corresponden a los números reales positivos y del

lado izquierdo los números reales negativos.

En el los puntos que se localizan arriba del origen corresponden a los números reales

positivos y abajo del origen corresponden a los números reales negativos.

La abscisa y la ordenada de un punto cualquiera reciben el nombre de coordenadas del punto y se

escriben como un par de números dentro de un paréntesis separado entre si por una coma, así:

, .

El primero número corresponde a la abscisa y el segundo corresponde a la ordenada.

Al tomar los ejes como elementos de referencia, estos dividen al plano en cuatro regiones, cada una

llamada cuadrante.

𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝐼

𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑉 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐼𝐼𝐼

𝐸𝑗𝑒 𝑦

𝐸𝑗𝑒 𝑥 𝑂

+

+

−

−

𝑃 𝑎, 𝑏

𝑃𝑎𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜

𝑎

𝑏




116

Ejemplos.

Localiza los siguientes pares.

4,2

3,

−1,

,−2

− ,−1

1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 − − −

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−

−

−

𝐸 − ,−1

𝐵 3,

𝐴 4,2

𝐷 ,−2

𝐶 −1,




117

Medida de ángulos. Un ángulo es un recorrido en la circunferencia con centro el origen y de radio unidad, el punto de

partida de estos recorridos se situará en el punto de coordenadas (1,0) y la medida de un ángulo

será la medida de ese recorrido.

Consideramos como sentido positivo el contrario al sentido negativo el del movimiento de las agujas

del reloj, si es igual al sentido de las agujas del reloj se considera negativo.

𝛼

𝑟

A

B

𝑂

𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑶 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝜶 𝑦 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝒓 . El arco que forman los lados A y B es el arco correspondiente al ángulo α

𝑺𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒂 𝒍𝒂𝒔 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒂𝒔

𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒍𝒐𝒋

𝑺𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒍𝒂𝒔

𝒂𝒈𝒖𝒋𝒂𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒍𝒐𝒋




118

Radianes.

Medir un ángulo es medir su recorrido en la circunferencia.

Como la medida de toda la circunferencia es 2 , resulta conveniente tomar como unidad

de medida el radio.

Los ángulos se representan en una circunferencia de radio 1, ello no significa que mida 1 cm o 1 pie

o 1 m, sino que el radio es la unidad de medida tomada. Por razones evidentes a esta unidad se le

llama radián.

1

"El ángulo de 1 radián es aquel cuyo recorrido en circunferencia es igual al radio."

−1

1 −1




119

Sistema de unidades.

Grados sexagesimales.

Al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos un grado, a su vez cada grado se

compone de 60 minutos y cada minuto de 60segundos.

Así un ángulo se mide en:

Grados minutos segundos

Habitualmente usaremos el sistema sexagesimal. Como unidad fundamental tomaremos el grado,

que es la noventava parte del ángulo recto. El ángulo recto mide, pues 90 grados sexagesimales: lo

escribiremos de forma abreviada: , podemos definir a esta unidad de medida como la 360 ava

parte de una circunferencia.

Como submúltiplo del grado se emplea el minuto, que es la sesentava parte del grado, y el segundo,

que es la sesentava parte del minuto. Cualquier ángulo se expresa en cierto número de grados,

minutos y segundos. Los segundos se subdividen en decimas, centésimas, etc.

Grados ( ) Minutos (ˈ) Segundos ( )

÷ ÷




120

3

3

45

12

135

15

1

21

225

24

2

3

315

33

𝜋

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

𝜋

5𝜋

4

4𝜋

3

5𝜋

3

𝜋

4

1 𝜋

3𝜋

2

2𝜋 𝜋

𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂 𝑈𝑁𝐼𝑇𝐴𝑅𝐼𝑂

X ϴ COS ϴ

Y ϴ SEN ϴ

𝜃




121

De grados a radianes y de radianes a grados.

El semiperímetro de la semicircunferencia es

Es decir, veces un radián = 180 veces un grado

1 1 1

Por lo tanto:

Si despejamos el grado resulta:

1

1 1 5

Si despejamos el radián resulta:

1 1

5 2 5




122

Conversiones de grados y radianes.

Y

Pasar de grados a radianes.

Ejemplos:

15 15

1

5

21 21 (

1 )

270 =2 (

1 )

2

(

1 )

3

DE GRADOS A RADIANES SIEMPRE SERA:

1 GRADO

𝝅

𝟏𝟖𝟎RADIANES

DE RADIANES A GRADOS SIEMPRE SERA:

1 RADIAN

𝟏𝟖𝟎

𝝅GRADOS




123

Pasar de radianes a grados.

Ejemplos.

11

(

11

) (

1

) 33

4 (

4) (

1

) 45

5

4 (

5

4) (

1

) 225

2

3 (

2

3) (

1

) 12




124

Razones Trigonométricas. Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo

rectángulo.

En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La

razón entre los lados de un triangulo determina su forma.

Dado un triangulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo α se definen:

𝛼 𝛼

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜

𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜

𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒




125

1 2

1

2 3

2 3 1 𝑠𝑒𝑛

1 2

2 3

𝑐𝑜𝑠

1

2 3

Seno: Es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Coseno: Es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Tangente: Es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Nota: Estas razones no depende del tamaño del triangulo sino del ángulo.

Seno y coseno de la circunferencia:

En la figura se ha representado el ángulo en la circunferencia goniometría o de radio unidad.

En el triangulo rectángulo que se forma como la hipotenusa es 1, el cateto opuesto es el y el

adyacente es el

Observa que ( , ) son las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia

de radio unidad.

𝐶𝑜𝑠 𝛼

𝑆𝑒𝑛 𝛼

𝛼




126

Tangente en la Circunferencia:

En la figura se comprende por qué al cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se le

llama tangente, su valor queda definido sobre la recta tangente a la circunferencia en el punto (1,0).

Observa que cuando el cateto adyacente vale 1, la hipotenusa es igual a la inversa del .

Al cociente:

1

Se le llama secante de α y se abrevia como .

1 2

1

2 44

2 1 4

2 𝑡𝑔

2

2 1

𝑆𝑒𝑛

𝛼

𝐶𝑜𝑠 𝛼




127

Razones de 30°, 45° y 60°.

Los ángulos de 30°, 45° y 60° aparecen con bastante frecuencia, fíjate como se calculan sus

razones a partir de la definición si buscamos los triángulos adecuados.

sen cos tg

30° 1

2 √3

2

1

√3

√3

3

45° √2

2

√2

2

1

60° √3

2

1

2 √3

Memorizar esta tabla es fácil si observas el orden que llevan. Una vez aprendidos los senos con las

raíces consecutivas, los cosenos salen en orden inverso.

√12 − (1

2)

2

√3

2

En un triangulo equilátero los ángulos miden 60°. Con el teorema de Pitágoras se calcula la altura:

1 2

1

1

𝑥

1

2




128

Resumen.

Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.

Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.

Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce

que la cosecante es 1 entre el seno

Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.

Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la

tangente.

√12 + 12 √2

Tomamos un cuadrado de lado 1. Con el Teorema de Pitágoras se calcula la diagonal:

1 2

1

45

1

1

1




129

Función trigonométrica. Función inversa.

Para ayudarte a comprender el cuadro de arriba guíate de la siguiente figura:

De las definiciones anteriores se deduce que:

1

1

1

𝛼 𝛼

𝑏

𝑎

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏




130

Relaciones trigonométricas.

Relaciones fundamentales.

Si se aplican la semejanza y el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos “básicos”, es decir,

con 1 o con 1, se obtienen las relaciones fundamentales

de la trigonometría:

Los triángulos son semejantes:

1

:

1 2

1

1

𝑠𝑒𝑛

𝑐𝑜𝑠

𝑡𝑔

𝑂 𝐵

𝐴

𝐴

B




131

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triangulo de la figura obtenemos:

2 + 2 1

1 2

1

1

𝑠𝑒𝑛

𝑐𝑜𝑠

𝑂 𝐵

𝐴




132

Resolución de triángulos rectángulos.

Resolver un triangulo rectángulos es calcular los datos desconocidos, lados o ángulos, a partir de los

conocidos.

Conocidos un ángulo y la hipotenusa

Para hallar los catetos de un triángulo rectángulo que se conocen las medidas de la hipotenusa y de un ángulo agudo, pensaremos en el triángulo:

𝛼

𝛽

𝑐

𝑎

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐶𝑜𝑠 𝛼

𝛼

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐶𝑜𝑠 𝛼

𝛼




133

Ejemplo.

Calcular la altura del volcán Popocatépetl si conocemos los siguientes datos.

5

51

x

5970 m

60°




134

Conocidos un ángulo y un cateto.

Para hallar los lados de un triángulo rectángulo del que se conocen las medidas un cateto y de un

ángulo recto que multiplicamos por el cateto adyacente.

Ejemplo.

Calcular la altura de la torre latinoamericana de la ciudad de México.

2 45 2 1 2 ; 1 5 45

45°

x

𝑇𝑎𝑛 𝛼

1

𝑆𝑒𝑐 𝛼

𝛼

𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝛼 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝛼

𝑎

𝛼




135

Conocidos dos lados.

Para hallar el otro lado del triángulo se aplicará el teorema de Pitágoras, el ángulo se determinará

como el arco cuya tangente es cateto adyacente cateto opuesto o bien como el arco cuyo seno es

hipotenusa cateto opuesto dependiendo de los datos iniciales.

Para calcular el otro ángulo basta restar de 90º.

Ejemplo.

√ + √

𝛼

4 𝑚

3 𝑚 𝑥




136

Razones de cualquier ángulo.

Recuerda que ( , ) eran las coordenadas del punto final del ángulo α en la circunferencia

de radio unidad. Esto que vimos para los ángulos agudos podemos hacerlo extensible a ángulos

cualesquiera.

El seno

El seno de un ángulo es la coordenada vertical del punto final del recorrido del ángulo sobre la

circunferencia unitaria (gonometrica).

Observa que su valor está comprendido entre -1 y 1.

1

−1 1

−1

𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 45

𝜃 232

+ +

- -

𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑆𝑒𝑛𝑜




137

El coseno.

De la misma manera que el seno de un ángulo es la ordenada, el coseno es la abscisa del punto

final del recorrido que marca el ángulo en la circunferencia.

Su valor también está comprendido entre -1 y 1.

𝐶𝑜𝑠 𝜃 231

𝜃 2 3 4

−1

−1 1

1

-

+

- +

𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜




138

La tangente.

Con la relación fundamental

se amplía la definición de tangente en ángulos agudos

a un ángulo cualquiera.

La tangente se representa en la recta tangente a la circunferencia gonio métrica en el punto (1,0).

Para los ángulos de 90º y 270º, el coseno es 0 por lo que no está definida la tangente; cuanto más

se acerca un ángulo a 90º o a 270º, más grande se hace en valor absoluto la tangente, diremos que

es infinito.

-1

-1

tg α=-1.71

α

0 -

+

+ -

𝑆𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒




139

Leyes de senos y cosenos.

Ley de los senos

En la figura se presenta un triángulo oblicuángulo de lados a, b y c; Ninguno de los ángulos ( , , ) de este triángulo es de 90°, por eso es llamado oblicuángulo. En todo triángulo, la medida de sus lados y sus ángulos están ligados, relacionados, por una proporción, que queda manifestada por la igualdad siguiente, llamada Triple Igualdad:

Observa que cada cociente se compone de “un lado y su ángulo opuesto”. Esta expresión indica

que, la división entre un lado y el ángulo opuesto a éste es la misma para cada uno de los tres casos

del triángulo.

𝛼

𝛽

𝛾

𝑎

𝑐

𝑏

𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝛽

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝛾




140

Ejemplo.

En un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 unidades, todos sus ángulos son iguales a 60°.

De acuerdo a la ley de senos, no hay ninguna duda que se cumple para nuestro triángulo equilátero:

4

4

4

4

4

4

𝑐 4 𝑏 4

𝑎 4




141

Ejemplo.

Si en el triángulo equilátero anterior trazamos una línea (la punteada) que lo parta en dos partes

iguales, obtendríamos el triángulo rectángulo que se muestra en la figura. Apliquemos la ley de

senos para encontrar el valor que tomaría la altura de este triángulo, el lado b’; así mostraríamos que

la ley de senos se extiende para triángulos rectángulos. Se debe cumplir la igualdad siguiente:

Aplicando la ley de los senos

2

3

2

5

4

4

3 4 4

Vemos que en ambos métodos coinciden los resultados.

Aplicando el teorema de Pitágoras

2 2 + 2

2 2 − 2

√ 2 − 2

√42 − 22

√1 − 4

√12

3 4 4

𝑎 2

𝑐 4 𝑏 ?

3




142

Ley de los cosenos

En la figura tenemos un triángulo oblicuángulo de lados , y un ángulo conocido. Si trazamos la altura del triángulo lo dividiremos en dos triángulos rectángulos, uno de base y el otro de base − . Está altura la podemos calcular, con el teorema de Pitágoras, aplicándolo el teorema a los dos triángulos rectángulos:

Aplicando el teorema al triángulo derecho:

2 2 − − 2

2 2 − 2 − 2 + 2

2 2 − 2 + 2 − 2

Aplicando el teorema al triángulo izquierdo:

2 2 − 2

Igualando estas dos fórmulas de la altura tenemos:

2 − 2 2 − 2 + 2 − 2

Simplificando la ecuación tenemos:

2 2 − 2 + 2

Y, revisando el triángulo de la izquierda, podemos ver la relación siguiente:

co

Que sustituyéndola en la última ecuación tenemos finalmente la expresión que representa:

La Ley de Cosenos

2 2 − 2 + 2 co

𝑏 𝑎

𝑐

𝑝 𝑐 − 𝑝

𝜃




143

Nota: La fórmula de la ley de cosenos tiene variantes y, bajo análisis semejante al que se hizo en

esta ocasión se pueden obtener estas variantes; presentamos enseguida estas variantes: Incluimos

la ecuación ya obtenida.

2 2 + 2 − 2 co

2 2 + 2 − 2 co

2 2 + 2 − 2 co

Importante: Observa que en cada caso, si deseas conocer un lado tendrás que conocer los otros

dos lados y el ángulo formado por estos últimos (por supuesto este ángulo queda opuesto al lado

desconocido).

Importante: Si tienes los tres lados conocidos, incluso con ningún ángulo conocido, podrás

encontrar el ángulo deseado usando la fórmula adecuada, simplemente despejando.

𝜃

𝑏

𝐶

𝑎

𝑏2 − 𝑐2 + 𝑐𝑏 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑎2

𝑐

𝑎 𝑏 𝛾

𝛽 𝜃




144

Ejemplo.

Determina la magnitud del ángulo en el triángulo oblicuángulo siguiente:

Dado que queremos encontrar B, observamos en las ecuaciones de esta ley, que el lado opuesto b,

determina la fórmula que se debe usar, es decir la segunda ecuación:

2 2 + 2 − 2 co

Despajándola tenemos:

co 2 + 2 − 2

2

Y haciendo las sustituciones tenemos:

co 11 5 2 + 15 2 − 1 2

2 11 5 15

132 25 + 225 − 1

345 45

Aplicando funciones inversas en tu calculadora tenemos:

co 1 45

Y por tanto el ángulo buscado es:

41

𝐴 𝐶

��

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎 11 5

𝑏 1

𝑐 15

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