szelényi lászló – gervainé hantos hedvig – ruff ferenc: gazdasági matematika i. (az...

Szelényi László – Gervainé Hantos Hedvig – Ruff Ferenc

Gazdasági matematika I. Az elemzési és döntési módszerek függvénytani

és mátrixszámítási alapjai

Távoktatási tankönyv

Gödöllő, 2005

Szent István Egyetem

Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Humán Erőforrás Menedzser Főiskolai Szak

Írta: Dr. Szelényi László egyetemi docens

Gervainé Hantos Hedvig tanszéki mérnök Ruff Ferenc egyetemi tanársegéd

Távoktatási szakértők: Dr. Illyné Újvári Irén

Nakov Ljubomir SZIE GTK Közép-Magyarországi Regionális Távoktatási Központ

© Szelényi László–Gervainé Hantos Hedvig–Ruff Ferenc, 2005.

ISBN

SZIE GTK Humán Erőforrás Menedzser Főiskolai Szak 2100 Gödöllő, Tessedik S. u. 6.

Tel.: (28) 521-150 Készült a Szent István Egyetem Nyomdaüzemében

Felelős a nyomda ügyvezető igazgatója

3

Tartalomjegyzék

Előszó ..............................................................................................................................................7

1. Halmazok....................................................................................................................................9

1.1. Alapfogalmak......................................................................................................................10

1.2. Műveletek halmazokkal......................................................................................................12

1.3. A műveletek tulajdonságai..................................................................................................15

1.4. Rendezett pár, Descartes-féle szorzat .................................................................................17

1.5. Relációk ..............................................................................................................................18

1.6. Valós számhalmazok ..........................................................................................................19

1.7. Gyakorló feladatok .............................................................................................................22

2. Függvények...............................................................................................................................23

2.1. A függvény fogalma ...........................................................................................................24

2.2. Függvények képzése ...........................................................................................................28

2.3. Elemi függvények ...............................................................................................................32

2.3.1. Identikus függvény....................................................................................................32

2.3.2. Konstans egységfüggvény.........................................................................................32

2.3.3. Exponenciális függvény ............................................................................................33

2.3.4. Szinusz- és koszinusz-függvény ...............................................................................33

2.3.5. További elemi függvények........................................................................................34


3. Sorozatok..................................................................................................................................43

3.1. A sorozat fogalma...............................................................................................................44

3.2. Sorozatok határértéke .........................................................................................................44

3.3. Sorozatok jellemzése ..........................................................................................................53

3.3.1. Monotonitás...............................................................................................................53

3.3.2. Határérték ..................................................................................................................53

3.3.3. Korlátosság................................................................................................................53

3.3.4. Küszöbindex..............................................................................................................55

3.4. A sorozatok alkalmazási területei .......................................................................................58

3.4.1. Kamatos-kamatszámítás............................................................................................58

3.4.2. Amortizáció...............................................................................................................59

3.4.3. Járadékszámítás (törlesztőrészlet) .............................................................................59

3.4.4. Megtakarítás ..............................................................................................................60

3.4.5. Diszkontálás ..............................................................................................................60


Tartalomjegyzék

4

4. Függvény határértéke és folytonossága................................................................................. 65

4.1. Függvény határértéke ......................................................................................................... 66

4.1.1. Végesben vett véges határérték................................................................................. 66

4.1.2. Végesben vett végtelen határérték ............................................................................ 68

4.1.3. Végtelenben vett véges határérték ............................................................................ 69

4.1.4. Végtelenben vett végtelen határérték........................................................................ 69

4.1.5. Határértékre vonatkozó tételek ................................................................................. 70

4.2. Folytonosság és szakadási helyek....................................................................................... 71

4.3. Gyakorló feladatok ............................................................................................................. 76

5. Differenciálszámítás ................................................................................................................ 79

5.1. A differenciálhányados fogalma......................................................................................... 80

5.2. Függvény görbéjének érintője ............................................................................................ 81

5.3. A deriváltfüggvény ............................................................................................................. 82

5.4. Az elemi függvények deriváltjai......................................................................................... 83

5.5. Deriválási szabályok........................................................................................................... 84

5.6. Magasabbrendű deriváltak.................................................................................................. 84

5.7. L’Hospital-szabály.............................................................................................................. 85

5.8. Gyakorló feladatok ............................................................................................................. 95

6. Függvényelemzés ..................................................................................................................... 97

6.1. A valós-valós függvények tulajdonságai............................................................................ 98

6.1.1. Extremális tulajdonságok.......................................................................................... 98

6.1.2. Monotonitási tulajdonságok...................................................................................... 99

6.1.3. Alaki tulajdonságok ................................................................................................ 100

6.1.4. Ismétlődő és szimmetria tulajdonságok .................................................................. 101

6.2. A függvénytulajdonságok és a deriváltak kapcsolata....................................................... 101

6.3. A függvényelemzés lépései .............................................................................................. 103

6.4. Gyakorló feladatok ........................................................................................................... 110

7. Többváltozós függvények ..................................................................................................... 111

7.1. Az n-változós függvények ................................................................................................ 112

7.2. Kétváltozós függvény ....................................................................................................... 113

7.3. Az n-változós valós függvények deriválása ..................................................................... 117

7.4. A kétváltozós valós függvények szélsőértéke .................................................................. 119

7.5. Gyakorló feladatok ........................................................................................................... 123

8. Integrálszámítás..................................................................................................................... 125

8.1. A határozatlan integrál...................................................................................................... 126

8.1.1. Primitív függvény ................................................................................................... 126

8.1.2. Határozatlan integrál ............................................................................................... 127

8.1.3. Integrálási szabályok............................................................................................... 128

8.2. Határozott integrál ............................................................................................................ 133

8.2.1. A határozott integrál fogalma ................................................................................. 133

8.2.2. A határozott integrál tulajdonságai ......................................................................... 136

8.2.3. A határozott integrál alkalmazásai.......................................................................... 137

5

8.3. Improprius integrál ...........................................................................................................143

8.3.1. Az integrációs határ végtelen ..................................................................................143

8.3.2. Az integrandus az adott tartományban nem korlátos ..............................................144

8.4. Gyakorló feladatok ...........................................................................................................147

Összefoglaló feladatsorok..........................................................................................................151

Az ellenőrző kérdések válaszai .................................................................................................153

A gyakorló feladatok megoldásai .............................................................................................157

Az összefoglaló feladatsorok megoldásai.................................................................................188

Tárgymutató...............................................................................................................................190

7

Előszó

Távoktatási tankönyvünk a Humán Erőforrás Menedzser képzésben részt vevő hallgatók számára

készült. Elsődleges célja, hogy a tantárgy I. részének témaköreit (halmazok, függvények, diffe-

renciál- és integrálszámítás) önálló tanulásra alkalmas formában jelenítse meg.

Ennek érdekében és a terjedelem korlátai miatt a definíciókat és tételeket – a sokszor hossza-

dalmas bizonyítások helyett – igyekeztünk segítő magyarázatokkal ellátni és gyakorlati példák-

kal alátámasztani.

Minden témakörhöz fűztünk ellenőrző kérdéseket, minta- és gyakorló feladatokat is részletes

megoldásokkal, amelyek a tananyag elmélyítését szolgálják.

A hagyományos tankönyvektől eltérően az ismeretanyagot – témakörökön belül – tanulási

egységekre bontottuk le. Egy-egy tanulási egységben foglalt elméleti ismeretek elsajátítása kb.

1–2 órát vesz igénybe. Annál több időt (hozzávetőlegesen 2–4 órát) igényel az egyes téma-

köröket lezáró, gyakorló feladatok megoldása. Természetesen a lehetőségek, az egyéni képes-

ségek és az előzetes matematikai felkészültség eltérő volta miatt az egy tanulási egységre

fordított idő egyénenként a megadottól eltérő is lehet.

Tanácsok a tankönyv használatához Tekintettel arra, hogy az ismeretek egymásra épülnek, érdemes a tankönyvben leírtak sorrend-

jében haladni. Először tanulmányozza át az elméleti részt, majd az ellenőrző kérdések és minta-

feladatok következhetnek, végül pedig rátérhet a nehézségi sorrendbe állított feladatok megoldá-

sára. Ha ez utóbbi még így is nehezen megy, ne adja fel, haladjon a megoldások útmutatói

szerint.

Fontos, hogy kialakítsa saját időbeosztását és tanulási ütemét. Ehhez támpontot nyújtanak az

előzőekben közölt adatok. A lényeg, hogy tanulása folyamatos legyen, mert csak így sajátíthatja

el hatékonyan az ismeretanyagot.

Miután minden témakört feldolgozott az előbb említett módszerrel, ellenőrizheti tudását a

jegyzet végén található összefoglaló feladatsorok megoldásával.

Reméljük, hogy a várt siker nem marad el.

Jó munkát kívánunk!

A szerzők

9

1. Halmazok

A halmaz korábbi tanulmányainkból is ismert alapvető matematikai fogalom. Fontosságára való tekintettel ebben a témakörben összefoglaltuk a vele kapcsolatos legfontosabb ismereteket. A témakör áttanulmányozásával megismeri:

• a halmazokkal kapcsolatos alapfogalmakat, • a halmazokkal végzett műveleteket és azok tulajdonságait, • a rendezett pár definícióját, • a reláció fogalmát, • a valós számhalmazok jellemzőit.

A témakör ismeretanyaga kiemelt fontosságú: segítségével könnyebben megérti majd a tankönyv többi témakörében közölteket (függvények, sorozatok, differenciál- és integrálszámítás stb.).

A témakör tartalma

1. tanulási egység

1.1. Alapfogalmak.....................................................................................................................101.2. Műveletek halmazokkal .....................................................................................................121.3. A műveletek tulajdonságai.................................................................................................15


1.4. Rendezett pár, Descartes-féle szorzat ................................................................................171.5. Relációk .............................................................................................................................181.6. Valós számhalmazok .........................................................................................................19


1.7. Gyakorló feladatok ............................................................................................................22

1. témakör. Halmazok

10

1.1. Alapfogalmak

A halmaz és az elem olyan alapfogalmak, amelyeket nem definiálunk. Egy halmazt akkor tekintünk adottnak, ha elvileg vele kapcsolatban bármely dologról egyértelműen eldönthető, hogy hozzá tartozik-e a szóban forgó halmazhoz vagy nem. A halmazhoz tartozó dolgokat nevezzük a halmaz elemeinek. A matematikában általában számok, függvények, pontok halmaza képezi vizsgálatunk tárgyát, de ezekhez hasonlóan beszélhetünk pl. az egy adott gazdaságban termesztett növények halmazáról, az állattenyésztési ágazat dolgozóinak halmazáról, az esős napok halmazáról stb. Nem beszélhetünk viszont az „ügyes emberek” vagy a „legjobb anyósok” halmazáról, mivel ezek a fogalmak nincsenek egyértelműen meghatározva, mindenkinek egyéni értékítéletétől függ, hogy kit sorol a fentiekhez, és kit nem. A halmazokat általában az angol (ékezet nélküli) ABC nagybetűivel, elemeit pedig kisbetűivel jelöljük. Annak jelölésére, hogy valamely x dolog hozzátartozik az A halmazhoz, a következő szimbólumot használjuk:

( )nak- az eleme AxAx∈ .

Hasonlóképpen az ( )nak- az eleme nem AxAx∉ azt jelöli, hogy x nem

tartozik hozzá az A halmazhoz. Egy halmazt általában:

• elemeinek kapcsos zárójelben történő felsorolásával, • az elemek tulajdonságainak megjelölésével, valamint • szóbeli meghatározással

adhatunk meg. Nézzünk néhány példát! 1. Azt az A halmazt, amelynek a, b és c az elemei, legegyszerűbb, ha

felsorolással adjuk meg:

{ }cbaA ,,:= .

2. Ha m-el jelöljük az 1,1 és 1,5 méter közötti magassággal, mint tulajdonsággal rendelkező növények B halmazát, akkor:

{ }5111 ,m,m:B ≤≤∈= R .

3. A 3-nál nagyobb természetes számok C halmaza:

{ }3>nn:C N∈= .

4. A 012 =−x egyenletet kielégítő természetes számok D halmaza a következő formában írható fel:

{ }012 =−∈= xx:D N .


Halmaz

Halmazok megadása


11

5. A SZIE Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar első évfolyamos hall-gatóinak halmaza

{ }hallgatóiévfolyamos1.GTK a=:E

formában is megadható. Figyeljük meg az előbbi halmazokat elemeik száma szempontjából! Láthatjuk, hogy az A és E halmazoknak véges számú, a B és C halmazoknak végtelen sok eleme van, míg a D halmaznak nincs egyetlen eleme sem. A véges számú elemet tartalmazó halmazokat véges halmazoknak nevez-zük. Egy véges A halmaz elemeinek a számát – más szavakkal a halmaz mértékét – az A szimbólummal szokás jelölni.

Ezért ha egy halmaznak n számú eleme van, akkor nA = .

A nem véges halmazokat végtelen halmazoknak nevezzük. Megkülönböz-tetünk megszámlálhatóan végtelen (példánkban a C), és nem megszám-

lálhatóan végtelen, más néven kontinuum számosságú (példánkban a B ilyen) halmazokat. Az olyan halmazt, amelynek egyetlen egy eleme sincs, üres halmaznak nevezzük, és { }∅ =: formában jelöljük. Például a D üres halmaz, mivel az

egyenlet megoldása (x = 0,5) nem természetes szám. Ismerkedjünk meg még további három, a halmazokkal kapcsolatos alapvető fogalommal! Két halmaz, A és B egyenlő egymással, ha elemeik azonosak. Az A≠ B szimbólummal azt fejezzük ki, hogy a két halmaz nem egyenlő egymással, azaz a kettő közül legalább az egyiknek van olyan eleme, amely nem tartozik hozzá a másik halmazhoz. Azt mondjuk, hogy az A halmaz a B halmaznak részhalmaza, ha az A halmaz minden eleme egyúttal a B halmaznak is eleme. Jelölése: BA ⊂ . Az BA ⊄ jelölés azt jelenti, hogy A nem részhalmaza B-nek. A részhalmaz fogalmát úgy is fogalmazhattuk volna, hogy A részhalmaza a B halmaznak, ha A-nak nincs olyan eleme, amely ne lenne eleme B-nek is. Mivel az üres halmaznak nincs olyan eleme, amely ne lenne eleme bármely A halmaznak is (hiszen semmilyen eleme sincs), ezért az üres halmaz bármely A halmaznak részhalmaza: A⊂∅ . Azt mondjuk, hogy az A halmaz valódi részhalmaza B-nek, ha BA ⊂ és

BA ≠ egyidejűleg teljesül. Ebben az esetben B-nek vannak olyan elemei is,

Véges halmaz

Végtelen halmaz

Üres halmaz

Halmazok egyenlősége

Részhalmaz

Valódi részhalmaz


12

amelyek nem tartoznak hozzá A-hoz. Az A=B esetben azt mondjuk, hogy A nem valódi részhalmaza a B halmaznak. Az BA ⊂ tartalmazás fennállása esetén azt is szokás mondani, hogy az A halmaz szűkebb a B halmaznál, illetve, hogy B bővebb vagy tágabb halmaz A-nál. Tétel: Tetszőleges X és Y halmazok esetén YX ⊂ és XY ⊂ akkor és csak akkor, ha X = Y. A tétel állítását gyakran használjuk két halmaz egyenlőségének bizonyí-tására. Léteznek olyan halmazok is, amelyeknek az elemei maguk is halmazok. A halmazokból álló halmazokat halmazrendszereknek nevezzük. Ezek közül külön is említést érdemel egy halmaz részhalmazainak a halmaza. Tetszőleges A halmaz esetén a ( )AΡ szimbólummal jelölt

( ) { }AXXA ⊂=Ρ :

halmazt az A halmaz hatványhalmazának nevezzük. Példaként határozzuk meg az { }3,2,1:=A halmaz hatványhalmazát!

A definíció szerint az A halmaz hatványhalmaza A részhalmazainak hal-maza, ezért

( ) { } { } { } { } { } { } { }{ }3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,∅=Ρ A .

1.2. Műveletek halmazokkal

A halmazokat gyakran szokták a sík különböző zárt görbékkel (pl. körökkel) határolt részeivel, az ún. Venn-diagramokkal is szemléltetni. Ezt tesszük a továbbiakban, amikor a halmazokkal végezhető műveleteket definiáljuk. Az A és B halmazok BA∪ -vel jelölt uniója vagy egyesítése azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak: { }Bvagy: ∈∈=∪ xAxxBA (1. ábra).

1. ábra. Halmazok uniója (egyesítése)

Halmazrendszer

Halmaz hatványhalmaza

Venn-diagram

Halmazok uniója


13

A következő összefüggések fennállása a definíció alapján nyilvánvaló: • az A halmaz részhalmaza az A és B halmaz uniójának: BAA ∪⊂ , • a B halmaz részhalmaza az A és B halmaz uniójának: BAB ∪⊂ , • ha A részhalmaza B-nek ( BA ⊂ ), akkor BBA =∪ és fordítva.

Az A és B halmazok BA∩ -vel jelölt metszete vagy más néven közös része azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelyek mind az A, mind pedig a B halmazhoz hozzátartoznak (2. ábra):

{ }Bés: ∈∈=∩ xAxxBA .

2. ábra. Halmazok metszete (közös része)

A következő összefüggések fennállása a definíció alapján nyilvánvaló: • az A és B halmazok metszete részhalmaza az A halmaznak: ABA ⊂∩ , • az A és B halmazok metszete részhalmaza az B halmaznak: BBA ⊂∩ , • ha A részhalmaza B-nek ( BA ⊂ ), akkor ABA =∩ és fordítva.

Az A és B halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük, ha nincsenek közös elemeik, azaz ∅=∩ BA . Az A és B halmazok BA \ -vel jelölt különbsége azokból és csakis azokból az elemekből áll, amelyek az A halmazhoz hozzátartoznak, de a B halmaz-hoz nem, azaz:

{ }BxAxxBA ∉∈= és:\ .

3. ábra. Halmazok különbsége

A és B halmazok szimmetrikus különbsége alatt az ( ) ( )ABBABA \\ ∪=∆

kifejezéssel megadott halmazt értjük.

Halmazok metszete

Diszjunkt halmazok

Halmazok különbsége

Halmazok szimmetrikus

különbsége


14

4. ábra. Halmazok szimmetrikus különbsége

A szemlélet alapján az alábbi összefüggések is könnyen beláthatók: • általában BA \ ,\ AB≠

• ABA ⊂\ és ,\ BAB ⊂

• ,\ AA =∅ ,\ ∅=∅ A ,\ ∅=AA

• ( ) ( ) ( ) ,\,\\ BABBAABBA ∪=∪∅=∩

• ha ∅=∩ BA , akkor ABA =\ és ,\ BAB =

• ha A≠ ∅ vagy B≠ ∅ és ( ) ( ) ∅≠∪⇒≠ ABBABA \\ .

Ha HA ⊂ , akkor a AH \ különbséghalmazt A-nak H-ra vonatkozó kiegé-

szítő vagy komplementer halmazának nevezzük. Jelölése H

A .

{ }AxHxxAHAH

∉∈== és\: .

5. ábra. Komplementer halmaz

Megjegyezzük, hogy ha az alaphalmaz megegyezés szerint rögzített vagy nyilvánvaló, akkor sok esetben az alaphalmazt az ábrán látható módon el-hagyjuk a jelölésből. Szemléletesen nyilvánvalók a következő összefüggések is:

BABAAAHH ∩===∅∅= \,,, .

Például jelöljük h-val egy folyó méterben mért vízállását, és ebből kiindulva képezzük a következő halmazokat:

{ }

{ }

{ }

{ }.9,26,2:

,34,2:

,5,23,2:

,5,22:

≤≤∈=

≤≤∈=

≤≤∈=

≤≤∈=

hhD

hhC

hhB

hhA

R

R

R

R

Komplementer

halmaz


15

Az így képezett halmazokkal végzett műveletek eredménye: { }

{ }{ }

{ }{ }.\

3,2\

,3,22\

,5,24,2

,,5,22

,32

BDB

hhCB

hhBA

DB

hhCA

ABAhhBA

hhCA

=

≤∈=

≤∈=

∅=∩

≤≤∈=∩

⊂=≤≤∈=∪

≤≤∈=∪

2,4<

<

,

mert

R

R

R

R

R

1.3. A műveletek tulajdonságai

Idempotencia: AAA =∪ , AAA =∩ . Kommutativitás: ABBA ∪=∪ , ABBA ∩=∩ . Asszociativitás: ( ) ( ) CBACBA ∩∩=∩∩ ,

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩=∪∩ .

Disztributivitás: ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪=∩∪ ,

AA =∅∪ , ∅=∅∩A , HHA =∪ , AHA =∩ ,

HAA =∪ , ∅=∩ AA . De Morgan-féle azonosságok: A B∪ = A B∩ , A B∩ = A B∪ . Elnyelési törvények: ( ) ABAA =∩∪ ,

( ) ABAA =∪∩ .

Ellenőrző kérdések

K1.1. Legyen { }zyxA ,,:= és { }xzyB ,,:= . Mit lehet mondani a két hal-

mazról? a) a két halmaz egyenlő egymással: A = B b) a két halmaz nem egyenlő egymással: A ≠ B

K1.2. Egy gazdasági szervezet (pl. részvénytársaság) esetében az alábbiak közül melyik nem tekinthető halmaznak? a) a 30 évesnél fiatalabb alkalmazottak halmaza b) a csinos női alkalmazottak halmaza c) a férfi alkalmazottak halmaza d) az igazgatói tanács tagjainak halmaza

K1.3. Milyen tartalmazási viszony áll fenn egy halmaz és annak hatványhal-maza között? .................................................................................................................


16

K1.4. Milyen módon alkalmazható a kommutatív tulajdonság két halmaz kü-lönbségére? ................................................................................................................ ................................................................................................................

K1.5. Milyen viszony áll fenn: a) a Humán Erőforrás Menedzser Szak összes hallgatójából álló hal-maz (A) és az 1. évfolyamos hallgatókból álló halmaz (B) között? ................................................................................................................ b) a Humán Erőforrás Menedzser Szak összes hallgatójából álló hal-maz (A) és a Kar összes hallgatójából álló halmaz (C) között ? ................................................................................................................

K1.6. Az előző kérdés adataiból kiindulva melyek az igaz állítások? a) CAB ⊂⊂ b) CBA =∪ c) BAC =\ d) ABC =∩

Mintafeladatok

1. feladat. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B halmazok esetén fennáll a következő összefüggés

( ) ( )BABAA ∩∪∩= ,

továbbá azt is, hogy a jobb oldali tagok kizárják egymást!

Megoldás

A műveletek tulajdonságainak felhasználásával:

( ) ( ) ( ) ,AHABBABABA =∩=∪∩=∩∪∩ és

( ) ( ) ( ) ( ) .∅=∅∩=∩∩∩=∩∩∩ ABBAABABA

2. feladat. Igazoljuk a következő egyenlőséget:

( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪= \\\ !

Megoldás

Az egyenlőség bal oldalát az előzőekben ismertetett tulajdonságok segítsé-gével addig alakítjuk, amíg a jobb oldalt meg nem kapjuk.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).CABACAACBA

CBACBACBACBA

∩∪=∩∪∩=∪∩=

=∪∩=∩∩=∩=

\B

\\\

* * *


17

1.4. Rendezett pár, Descartes-féle szorzat

Két szám, két tárgy vagy két bármilyen dolog rendezett párt alkot, ha sor-rendjük meghatározott. Bár van rá pontos matematikai definíció, mi a könnyebb megértés érde-kében a rendezett pár fogalmát inkább intuitív alapfogalomnak tekintjük. A rendezett párt az ( )yx, szimbólummal jelöljük, ahol x az első és y a

második komponens. Nyilvánvaló, és ezért akár axiómaként is kimondható, hogy két rendezett pár akkor és csak akkor egyenlő, ha megfelelő komponenseik is egyenlők:

( ) ( ) .és,, vyuxvuyx ==⇔=

A rendezett párokat ábrázolni is lehet. Az ( )yx, rendezett párt egy x

kezdőpontú és y végpontú nyíllal ábrázolhatjuk.

(x, y) (x, x) 6. ábra. Rendezett pár ábrázolási módja

Ha x és y valós számok, akkor rendezett valós számpárról beszélünk és a komponenseket koordinátáknak nevezzük. A sík pontjainak a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben éppen ilyen rendezett valós számpárok feleltethetők meg. Adott A és B halmazok esetén e halmazok BA× -vel jelölt ún. Descartes-

féle (direkt) szorzatának az ezen halmazok elemeiből az összes lehetséges módon képzett olyan rendezett párok halmazát nevezzük, amely rendezett párok első komponense A-nak, második komponense pedig B-nek eleme:

( ){ }Bés,: ∈∈=× jAijiBA .

Példa: Legyen { } { }yxBcbaA ,:,,: == és . Ekkor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.,,,,,,,,,,, ycxcybxbyaxaBA =×

A két halmaz Descartes-féle szorzatát a 7. ábra szemlélteti.


Rendezett pár

Valós számpár

Koordináta

Descartes-féle szorzat


18

7. ábra. Két halmaz Descartes-féle szorzata

Ha a Descartes-féle (direkt) szorzat tényezői azonosak, akkor sokszor az AAA ×=:

2 egyszerűbb jelölési módot alkalmazzuk. Az 2A halmaz tehát az

A halmaz elemeiből az összes lehetséges módon képzett rendezett párok halmaza. Ennek megfelelően 2

R az összes (rendezett valós) számpárok hal-maza. Az előző példában szereplő A halmaz direkt szorzata (8. ábra):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }ccbcaccbbbabcabaaaAA ,,,,,,,,,,,,,,,,,=× .

8. ábra. Egy halmaz elemeiből képzett Descartes-féle szorzat

1.5. Relációk

Bármely olyan halmazt, amelynek minden eleme rendezett pár, (bináris)

relációnak nevezünk. Jelölése: ρ („ró”).

Egy reláció értelmezési tartományának nevezzük a hozzá tartozó rende-zett párok első komponenseinek halmazát, értékkészletének pedig a hozzá tartozó rendezett párok második komponenseinek halmazát. Jelölésük:

ρρRD , [D = domain (tartomány), R = range (készlet)].

Általánosan azt a tényt, hogy az ρ

Dx∈ a ρ relációban áll az ρ

Ry∈ -val,

az yxρ , vagy az ( ) ρ∈yx, szimbólumokkal fejezzük ki.

Bináris reláció

Reláció értelmezési tartománya

Reláció értékkészlete


19

Mint azt igen könnyű belátni, a relációk minden esetben meg is fordíthatók. Adott ρ (bináris) reláció ρ

−1-el jelölt inverzének a

( ) ( ){ }ρρ ∈=−

yxxy ,,:1 ,

relációt nevezzük, ahol ρρ

RD =−1 és

ρρDR =

−1 .

A definíció más szavakkal azt fejezi ki, hogy xy

1−ρ pontosan akkor áll

fenn, ha yxρ igaz.

Egy reláció inverzének a gráfját az eredeti reláció gráfjából a nyilak irányának a megfordításával állíthatjuk elő. Teljesen nyilvánvaló, hogy egy reláció inverzének az inverze az eredeti reláció, azaz

( ) ρρ =

−−

11 .

Például az BA× direkt szorzatnak, mint relációnak az inverze az

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }cycxbybxayaxABBA ,,,,,,,,,,,

1

=×=×− reláció. Az inverz

reláció tehát egy a B és az A halmazok közötti reláció.

1.6. Valós számhalmazok

A valós számok halmazának bármely nem üres részhalmazát (valós) szám-

halmaznak nevezzük. Ezek közül a legnevezetesebbek közötti tartalmazási viszonyok a 9. ábrán láthatók.

9. ábra. A számhalmazok között fennálló tartalmazási viszony

A természetes számok halmazát ismertnek tételezzük fel, jelölésére az N

(naturális = természetes) szimbólumot használjuk, és sokszor találkozha-tunk a kissé pontatlan { }...,3,2,1:=N felírási móddal is.

Bináris reláció inverze

Számhalmaz

Természetes számok

halmaza


20

Egész számok halmazának nevezzük a { } ( )NNZ −∪∪= 0: halmazt.

Racionális számok halmazának nevezzük a két egész szám hányadosaként felírható számok halmazát:

Q:={x∈R| ∃p∈Z és q∈Z \{0}, hogyq

px = }.

Irracionális számok halmazának nevezzük a RQ =

∗ \Q halmazt.

Az előbbi halmazok között fennálló tartalmazási viszonyok:

.,,

,

RQQQQQ

RQZN

⊂⊄⊄

⊂⊂⊂

∗∗∗

Gyakran előfordulnak a következő halmazok is: • { }0:

0∪= NN ,

• { }0: >∈=+

xx RR a pozitív (valós) számok halmaza,

• { }0:0

≥∈=+

xx RR a nemnegatív (valós) számok halmaza,

• { }0: <∈=−

xx RR a negatív (valós) számok halmaza,

• { }0:0

≤∈=−

xx RR a nempozitív (valós) számok halmaza.

Legyen R∈ba, és ba < , akkor az alábbi számhalmazokat intervallu-

moknak nevezzük: [ ] { }bxaxba ≤≤∈= R:, zárt,

] [ { }bxaxba <<∈= R:, nyílt,

[ [ { }bxaxba <≤∈= R:, ,

] ] { }bxaxba ≤<∈= R:,

[ [ { }xaxa ≤∈=∞ R:, ,

] ] { }bxxb ≤∈=∞− R:,

] [ { }xaxa <∈=∞ R:, ,

] [ { }bxxb <∈=∞− R:,

] [ R=∞∞− :, .

A zárt intervallumokat szokás kompakt intervallumoknak is nevezni. Az [ ]aa, intervallumot elfajult intervallumnak nevezzük.

Például a vízállás magasságával kapcsolatos feladat így is megoldható:

[ ] [ ] [ ] [ ]9,2;6,2,3;4,2,5,2;3,2,5,2;2 ==== DCBA , amiből

[ ] [ ] [ ] ,,5,2;4,2,5,2;2,3;2 ∅=∩=∩=∪=∪ DBCABACA

[ [ [ [ .\,4,2;3,2\,3,2;2\ BDBCBBA ===

Egész számok halmaza

Racionális számok halmaza

Irracionális számok halmaza

Intervallum

Kompakt intervallum

Elfajult intervallum


21

A továbbiakban kiemelt szerepe lesz a következő speciális intervallumnak. Az a pont δ sugarú környezetének nevezzük bármely R∈a és +

∈ Rδ esetén a ( ) ] [δδ

δ+−= aaak ,: nyílt intervallumot.

A következőkben sokszor fogunk hivatkozni egy halmaz belső pontjaira. Azt mondjuk, hogy az R∈a pont az A valós számhalmaznak belső pontja, ha létezik +

∈ Rδ olyan, amely esetén ( ) Aak ⊂δ

.

Az A halmaz belső pontjaiból álló halmazt A belsejének nevezzük, és jelölésére az intA szimbólumot használjuk. Intervallumaink esetén: int [ ]ba, = int ] ]ba, = int [ [ba, = int ] [ba, = ] [ba, .


K1.7. Jelölje A az első éves egyetemi hallgatók halmazát, B pedig az első évben oktatott tantárgyak halmazát. Hogyan vázolná fel a két halmaz Descartes-féle szorzatát?

K1.8. Melyik az igaz állítás? a) QR ⊂ b) QZ ⊂ c) NQ ⊂ d) *QQ ⊂

K1.9. Eleme-e a 0 a természetes számok halmazának (N)? a) igen, a 0 is természetes szám b) nem, a 0 nem természetes szám

K1.10. Melyik a hibásan felírt intervallum ( baRba <∈ ,, )?

a) [ ] { }bxaxba ≤≤∈= R:,

b) [ [ { }bxaxba <≤∈= R:,

c) ] ] { }bxaxba <≤∈= R:,

d) ] [ { }bxaxba <<∈= R:,

* * *

Pont δ sugarú környezete

Belső pont


22

1.7. Gyakorló feladatok

Bizonyítsa be a következő egyenlőségeket! F 1.1. ( ) BAAAB ∪=∪\

F 1.2. ( ) BAABA ∩=∪ \

F 1.3. ( ) BBBA =∪∩

F 1.4. ( ) BBBA =∩∪

F 1.5. BAAB \=∪

F 1.6. BABA \=∪

F 1.7. ABAB ∪=\

F 1.8. ABAB ∪=\ F 1.9. ( ) ( )ABBBAA \\\\ =

F 1.10. ( ) ( ) ( ) CBACBCA \\\\\ =

F 1.11. ( ) ( ) ( ) CBACBCA \\\ ∪=∪

F 1.12. ( ) ( ) ( ) CBACBCA \\\ ∩=∩

F 1.13. ( ) ( ) ( ) ( ) ∅=∪∩∪∩∪∩∪ BABABABA

F 1.14. ( ) ( )BABABA ∩∪=∆ \ , ahol ( ) ( )ABBA:BA \\ ∪=∆ a két

halmaz szimmetrikus különbsége.


23

2. Függvények

Ebben a témakörben a matematika egyik legfontosabb fogalmát, a függvényt fogjuk definiálni, mint a reláció egy speciális esetét. Ahogy azt a tankönyv első témakörében definiáltuk, relációnak nevezünk bármely olyan hal-mazt, amelynek az elemei rendezett párok. Eddig nem tettünk semmifajta kikötést a rendezett párok komponenseivel kapcsolatban. Ez bizonyos esetekben „kellemetlenségeket” okozhat. A témakörből megismeri:

• a függvény fogalmát, • a függvények képzésének módjait, • az elemi függvényeket.



2.1. A függvény fogalma ..........................................................................................................24 2.2. Függvények képzése ..........................................................................................................28


2.3. Elemi függvények ..............................................................................................................32 2.3.1. Identikus függvény ..................................................................................................32 2.3.2. Konstans egységfüggvény .......................................................................................32 2.3.3. Exponenciális függvény...........................................................................................33 2.3.4. Szinusz- és koszinusz-függvény ..............................................................................33 2.3.5. További elemi függvények ......................................................................................34



2. témakör. Függvények

24

2.1. A függvény fogalma

Vegyünk egy egyszerű hétköznapi példát. Gondoljunk azokra a barátainkra, akik házaspárok. A ρf (felesége) reláció alapján az első komponens, azaz a férj ismeretében egyértelműen meghatározott a második komponens, azaz a feleség. Tehát ha valaki megadja az értelmezési tartomány, azaz a férjek halmazának egy elemét, akkor a ρf reláció alapján egyértelmű válasz adható arra a kérdésre, hogy ki a felesége. Ugyanez sajnos nem mondható el a ρl (lánya), illetve a ρt (testvére) relációk esetén. Véve ugyanis a ρl reláció értelmezési tartományának egy tetszőleges elemét, azaz egy apát, a több-gyermekes apák esetében nem adható egyértelmű válasz arra a kérdésre, hogy ki a lánya. Ha például valaki azt állítja, hogy az 5-ös jelű apa lánya férjhez ment, akkor ez meglehetősen határozatlan állítás, és a szomszéd pletykás öregasszony nem fogja tudni, hogy konkrétan kiről is van szó. Hasonló problémával állunk szemben a ρt (testvére) reláció esetén is, ha kettőnél több gyermek van a családban. Az előbbi példák jól érzékeltetik azt a fontos tényt, hogy egyes speciális relációk segítségével bizonyos információtöbbletre is szert tehetünk, ha tudatában vagyunk a kérdéses reláció speciális voltának, nevezetesen annak, hogy a reláció csak olyan rendezett párokból áll, melyeknél az első kom-ponens, vagyis a reláció értelmezési tartománya bármely elemének az isme-rete a második komponenst már egyértelműen meghatározza. Az ilyen tulajdonságú relációkat nevezzük függvényeknek. Egy f (bináris) relációt függvénynek nevezünk, ha tetszőleges yfx és

zfx egyidejűleg csak akkor állhat fenn, ha zy = . Az f függvény értelmezési tartományát fD -el, értékkészletét pedig fR -

el jelöljük (lásd a relációval kapcsolatos megfelelő definíciót). A definíció más szavakkal azt jelenti, hogy a függvény olyan speciális reláció, melynek elemei között nincsen két olyan rendezett pár, amelyeknek az első komponensei megegyeznek, de a másodikak nem. Véve tehát az értelmezési tartomány bármely x elemét, egyértelműen meghatározott az az értékkészlethez tartozó y elem, amelyre ( ) fyx ∈, , vagy a másik jelölési

móddal, minden fDx∈ esetén egyértelműen létezik fRy∈ , hogy yfx .

A 10. ábrán látható reláció függvény, a 11. ábrán látható viszont nem.

10. ábra. A reláció függvény 11. ábra. A reláció nem függvény


Függvény

Függvény értelmezési tartománya

Függvény értékkészlete


25

Az ábrákon látottakat általánosítva azt mondhatjuk, hogy egy reláció akkor és csak akkor függvény, ha gráfjában az értelmezési tartomány minden egyes pontjából pontosan egy nyíl indul ki. Lehet-e függvény grafikonja a 12. ábrán látható ellipszis alakú tartomány, illetve görbe vonal?

12. ábra. Példa relációkra, amelyek nem függvények

Nem függvény egyik sem, mert bármelyik esetén több olyan rendezett pár is található, amelyeknek azonos az első komponense, a második viszont nem. Megfigyelésünket általánosítva azt mondhatjuk, hogy egy valós számpá-rokból álló reláció pontosan akkor függvény, ha bármely a második ten-gellyel párhuzamos egyenessel legfeljebb egy közös pontja van a grafikon-jának. Legyen adott az f függvény, x pedig értelmezési tartományának egy tetsző-leges eleme. Az f függvény értékkészletének azt az egyértelműen meghatá-rozott y elemét, amellyel ( ) fyx ∈, , az f függvény x elemhez tartozó helyet-

tesítési értékének nevezzük, és jelölésére az ( )xf szimbólumot használjuk.

Figyeljünk fel arra a tényre, hogy minden függvénynek – mint speciális relációnak – van inverze, de nem minden függvény inverze lesz maga is függvény! Ezzel kapcsolatos a következő definíció. Egy f függvényt akkor nevezünk invertálhatónak, ha az inverz reláció is függvény. Az 1−f inverz relációt ebben az esetben inverz függvénynek nevezzük.

A relációk inverzére vonatkozó általános összefüggésnek megfelelően

( ) ff =

−

−

11 , hiszen ha f invertálható függvény , akkor 1−f is az, mert az

inverze függvény, mégpedig az eredeti függvény. Nyilvánvaló (lásd relációk), hogy ff

RD =−1 és ff

DR =−1 .

Helyettesítési érték

Inverz függvény


26

Felmerül a kérdés, hogy milyen viszony van egy f függvény és f–1

inver-

zének grafikonjai között a derékszögű Descartes-féle koordinátarendszer-ben? Ha ( ) fyx ∈, , akkor (és csak akkor) ( ) 1

,

−

∈ fxy , tehát az inverz függvény

esetén a tengelyek szerepe felcserélődik és emiatt a grafikonok egymás tükörképei lesznek az xy = egyenletű egyenes grafikonjára (13. ábra).

13. ábra. A függvény és inverze közötti kapcsolat

Legyenek adottak az A és B nem üres halmazok. Ekkor bármely BAf ×⊂

függvényt, amelynek értelmezési tartománya az A halmaz, A-t B-be leké-

pező függvénynek nevezünk, ahol a B halmaz a függvény képhalmaza. Az A-t B-be leképező függvény esetén tehát AD f = és BR f ⊂ .

Az A-t B-be leképező függvény jelölésére az

BAf →:

szimbólumot használjuk. A függvény értékkészlete az

( ){ }yxfAxByR f =∈∃∈= hogy ,: halmaz.

Ha egy függvény elemei (rendezett valós) számpárok, akkor az ezeknek a számpároknak megfelelő pontokat a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben ábrázolva a függvény grafikonját kapjuk. Az BAf →: függ-

vény grafikonja tehát nem más, mint a

( ) ( ){ }xfyBAyxf =×∈= ,:graf

rendezett párok halmazának megfelelő pontok halmaza a koordinátasíkban. A valós számpárokból álló függvény grafikonja igen sok esetben „görbe” alakú, ezért az

( )xfy =

egyenletet a függvénygörbe egyenletének nevezzük. Mind az elmélet, mind pedig a gyakorlati alkalmazások területén kitüntetett szerepet játszanak azok a függvények, amelyeknek a képhalmaza a valós számok halmaza.

Leképező függvény

Képhalmaz

Függvény grafikonja

Függvénygörbe egyenlete


27

Legyen adott az A nem üres halmaz. Ekkor bármely R×⊂ Af függvényt

valós függvénynek nevezünk. A valós függvény tehát olyan függvény, amelynek az értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Speciálisan, ha A = R, akkor valós-valós függvényről beszélünk. A valós-valós függvény tehát olyan függvény, amelynek mind az értel-mezési tartománya, mind pedig az értékkészlete a valós számok halmazának valamely részhalmaza. Az A-t B-be leképező függvények leggyakoribb megadási módjai a következők:

BAf →: vagy BAf →:

)(xfx a ( ) =:xf ....

Mivel a valós, illetve a valós-valós függvények igen gyakran fordulnak elő, ezért kényelmi okokból megállapodás szerint ilyen esetben a valós számok halmazát a megadás során nem feltétlenül szükséges feltüntetni. Valós függvények esetén tehát az előbbinek megfelelő

R→Af : vagy R→Af :

x a ( )xf ( ) =:xf ...

teljes jelölési mód helyett az

x a ( )xf , Ax∈ vagy ( ) =:xf ..., Ax∈

jelölés használható. A valós számok halmazát a valós számok halmazába leképező függvények esetén az

RR→:f vagy RR→:f

x a ( )xf ( ) =:xf ...

teljes jelölési mód helyett az

x a ( )xf , vagy ( ) =:xf ...

jelölés használható. Legyen a C halmaz az f függvény értelmezési tartományának egy részhal-

maza. Az ( ) ( ){ }yxfCxRyCf f =∈∃∈= hogy,: halmazt a C halmaz f

függvény szerinti képének nevezzük. Legyen az E halmaz az f függvény értékkészletének egy részhalmaza. Az

( ) ( ){ }ExfAxEf ∈∈=−

:1 halmazt az E halmaz f függvény szerinti őské-

pének nevezzük.

Valós függvény

Függvény megadási módjai

Halmaz f függvény szerinti képe

Halmaz f függvény szerinti ősképe


28

14. ábra. Halmaz f függvény szerinti képe 15. ábra. Halmaz f függvény szerinti ősképe

Azt mondjuk, hogy az BAf →: függvénynek az ( ) ...:,: =→ xfBCfC

függvény a C halmazra vonatkozó leszűkítése, ha AC ⊂ és ∅≠C . Egy függvénynek egy adott bővebb halmazra vonatkozó kiterjesztése az előbbi fogalom fordítottja.

2.2. Függvények képzése

Ebben a részben olyan függvényképzési eljárásokat (műveleteket) fogunk megismerni, amelyek segítségével adott függvényekből meghatározott sza-bályok szerint újabb függvények állíthatók elő. Legelőször is ismerkedjünk meg az összetett függvény fogalmával, amelyet másképpen közvetett függvénynek vagy függvénykompozíciónak is nevez-nek. Legyenek f és g adott valós függvények, amelyek esetén .∅≠∩ fg DR

Akkor az ( ) ffg RDRggf →∩−1

:o

( )( ) ( )( )xgfxgf =:o

függvényt az f (külső) és a g (belső) függvények összetett vagy közvetett

függvényének (kompozíciójának) nevezzük.

16. ábra. Összetett függvény grafikai értelmezése

Függvény halmazra vonatkozó leszűkítése

Függvény halmazra vonatkozó kiterjesztése

Összetett függvény


29

A közvetett (összetett) függvény értelmezési tartománya az előzőek szerint a g belső függvény értékkészlete és a külső f függvény értelmezési tartománya közös részének a g függvény szerinti ősképe: ( )

fggf DRgD ∩=−1

o.

Definiálható úgy is, mint a g függvény értelmezési tartományának azon része, amelyhez tartozó ( )xg helyettesítési értékek az f külső függvény fD

értelmezési tartományához tartoznak:

( ){ }fgggf DRxgDxDo

∩∈∈= .

Figyeljük meg, hogy az ábrázolt esetben az összetett függvény értelmezési tartománya szűkebb a g függvény értelmezési tartományánál. Alapvetően három eset fordulhat elő:

• Ha ∅=∩ fg DR , akkor ( ){ } ∅=∅∈∈= xgDxD ggfo ,

ezért ∅=gfo .

• Ha ∅≠∩ fg DR , de fg DR ⊄ , akkor ggfggf DDDDoo

≠⊂ de ,

(16. ábra). • Ha fg DR ⊂ , akkor gfg RDR =∩ és ggf DD

o

= .

Ügyeljünk arra, hogy általában fggf oo ≠ , erről a példákon keresztül

könnyen meggyőződhetünk. Az összetett függvény és az inverz függvény kapcsolatára vonatkozóan érdemes megjegyezni, hogy ( )( ) fDxxxff ∈=

−

,

1 .

Ezek után térjünk rá a függvényekkel végezhető műveletek ismertetésére. Tetszőleges R∈c esetén az f valós függvény c-szeresének nevezzük a

( )( ) ( )xfcxcfDxcf f ⋅=∈ :,: függvényt.

Legyenek f és g olyan valós függvények, melyek esetén ∅≠∩ gf DD .

Ekkor az ( )( ) ( ) ( )xgxfxgfDDxgf gf ±=±∩∈± :,:

függvényt az f és g függvények összegének (különbségének), az ( )( ) ( ) ( )xgxfxgfDDxgf gf ⋅=⋅∩∈⋅ :,:

függvényt az f és g függvények szorzatának nevezzük. Legyen g olyan valós függvény, amelynek értékkészlete nem a { }0 halmaz.

Ekkor az

( ){ } ( )( )xg

xg

xgDxDxg

gg

1:

1,0\:

1==∈∈

függvényt a g függvény reciprokának nevezzük.

Függvény c-szerese

Függvény összege, szorzata

Függvény reciproka


30

Legyenek f és g olyan valós függvények, hogy gf DD ∩ -nek van olyan

eleme, ahol ( ) 0≠xg . Ekkor az

( ){ } ( )( )( )xg

xfx

g

fxgDxDDx

g

fggf ==∈∩∈ :,0\:

függvényt az f és a g függvények hányadosának nevezzük. Befejezéseképpen az imént meghatározott műveleteket felhasználva két, a későbbiekben fontos szerepet játszó függvényt fogunk képezni. Tegyük fel, hogy az f valós-valós függvény értelmezési tartományának leg-alább két eleme van, továbbá, hogy fDa∈ . Ekkor a

( ) ( ) ( )afxfxfDxf afa −=∆∈∆ :,:

függvényt az f függvény a ponthoz tartozó megváltozás-függvényének ne-vezzük. Ha a bármely valós számhoz önmagát rendelő függvényre bevezetjük a

( ) xxjj =→ :,: RR

jelölést, akkor a j függvény megváltozás-függvénye: ( ) axxja

−=∆ : .

Tegyük fel, hogy az f függvénynek létezik a megváltozás-függvénye. Akkor

{ } ( )( ) ( )

ax

afxfxKaDx

j

fK f

af

a

af

a−

−=∈

∆

∆= :,\::

függvényt az f függvény a ponthoz tartozó különbségihányados-függ-

vényének nevezzük. Felmerülhet a kérdés, hogy milyen geometriai jelentés tulajdonítható a különbségihányados-függvény x helyen vett helyettesítési értékének? A ( )xK

f

a helyettesítési érték a függvénygörbe ( )( ) fafa ∈, és

( )( ) fxfx ∈, pontjait összekötő szelő meredeksége (iránytangense)

a 17. ábrán látható módon.

17. ábra. A különbségihányados-függvény geometriai jelentése

Függvény hányadosa

Megváltozás-függvény

Különbségihányados-függvény


31


K2.1. Tegyük fel, hogy f invertálható függvény. Mit tud mondani az inver-zének értelmezési tartományáról, értékkészletéről? ................................................................................................................. .................................................................................................................

K2.2. Tegyük fel, hogy f invertálható függvény. Mit tud mondani az 1

és −ff görbéinek kapcsolatáról?

.................................................................................................................

................................................................................................................. K2.3. Igaz-e az az állítás, hogy ha egy intervallumon folytonos függvény

szigorúan monoton növekvő (csökkenő), akkor invertálható is? a) igaz b) hamis

K2.4. Összetett függvényt szeretnénk készíteni f -ből és g -ből. Mi a felté-tele, hogy létezzen fg o összetett függvény?

.................................................................................................................

................................................................................................................. K2.5. Összetett függvényt szeretnénk készíteni f -ből és g -ből. Írja fel

fg o képletét!

.................................................................................................................

................................................................................................................. K2.6. Összetett függvényt szeretnénk készíteni f -ből és g -ből. Mi lesz az

fg o értelmezési tartománya?

.................................................................................................................

.................................................................................................................

* * *


32

2.3. Elemi függvények

Ebben a rézben a valós-valós függvények egy – gyakorlati szempontból talán legfontosabb – osztályát, az ún. elemi függvények osztályát fogjuk áttekinteni. A szokásos általános ismertetésen túl néhány gyakran alkal-mazott függvénytípusra külön is kitérünk. Mindenekelőtt ismerkedjünk meg azokkal az alapvető függvényekkel, amelyekből azután – a már megismert függvényképzési eljárásokat felhasz-nálva – további elemi függvények képezhetők.

2.3.1. Identikus függvény

A valós számok halmazát a valós számok halmazára leképező ( ) R∈= xxxj ,:

függvényt identikus (azonos) leképezésnek nevezzük.

(2)

(1)

1

1

j

j 0

18. ábra. Identikus függvény grafikonja

A j függvény grafikonja az y = x egyenletű egyenes.

2.3.2. Konstans egységfüggvény

A valós számok halmazát az {1} halmazra leképező 0j -lal jelölt függvényt

konstans egységfüggvénynek nevezzük: .,1:)(0 R∈= xxj

A 0

j függvény grafikonja az y = 1 egyenletű egyenes (18. ábra).


Identikus leképezés

Konstans egységfüggvény


33

2.3.3. Exponenciális függvény

Egy tetszőleges +

∈Ra alap esetén értelmezhető (lásd később) és

( ) R∈= xaxx

a,:exp

formában megadható függvényt a alapú exponenciális függvénynek ne-vezzük (19. ábra). Ha az alap speciálisan az e = 2,718... irracionális szám (definícióját lásd

később), akkor az ( ) R∈= xexx

,:exp függvényt exponenciális függvény-

nek nevezzük.

1

1

( ) xaxf =:

10 << a a<1

1=a

(2)

(1)

19. ábra. Az exponenciális függvény grafikonja

2.3.4. Szinusz- és koszinusz-függvény

A valós számok halmazát a [–1, 1] halmazra leképező sin-nel és cos-sal jelölt függvényeket szinusz-függvénynek, ill. koszinusz-függvénynek ne-vezzük. A szinusz-függvény és a koszinusz-függvény az összes olyan ren-dezett párokból áll, amelyeknek első komponense egy x valós szám, máso-dik komponense pedig az egységkörre előjelesen felmért x hosszúságú körív végpontjának első, ill. második koordinátája (20. ábra).

xsin

xcos

x

1

1 (1)

(2)

20. ábra. A szinusz- és koszinusz-függvény értelmezése

a alapú exponenciális függvény

Exponenciális függvény

Szinusz-függvény

Koszinusz-függvény


34

A sin és a cos függvények grafikonja a 21. ábrán látható.

π 2π

( )f x x: sin= ( )f x x: cos=

π

1

(1)

(2)

1

(2)

(1)2π

21. ábra. A sin és cos függvény grafikonja

Az előző fejezetre visszautalva felhívjuk a figyelmet arra, hogy mind a sin, mind pedig a cos függvények periodikusak, mégpedig π2=p periódussal.

Az eddigiekre támaszkodva most már megadható az elemi függvények definíciója.

2.3.5. További elemi függvények

Elemi függvényeknek nevezzük a j, 0j ,

aexp , sin és cos függvényeket,

valamint a belőlük a függvényképzési eljárások (cf, f ± g, f·g, f/g, leszűkí-tés, közvetett és inverz függvény képzés) véges sokszori alkalmazásával előállítható függvényeket. Néhány igen gyakran előforduló, közismert elemi függvény a következő:

1. A 0j konstans egységfüggvény tetszőleges R∈c valós számszorosa a

( ) R∈== xcxccjc ,:~

:~ 0

ún. konstans függvény. A konstans függvény grafikonja egy az (1) ten-gellyel párhuzamos, attól c távolságra húzódó egyenes (lásd még elsőfokú függvény a = 0 esetén). 2. Tetszőleges R∈b,a esetén az 0bjaj + , vagy ismertebb jelölési móddal:

( ) R∈+= xbaxxf ,:

függvényt elsőfokú függvénynek nevezzük. Az elsőfokú függvény grafi-konja egy a iránytangensű (meredekségű) és a (2) tengelyt a b pontban met-sző egyenes (22. ábra).

Elemi függvény

Konstans függvény

Elsőfokú függvény


35

( ) −∗

∈+= Rabaxxf ,:

( ) +

∈+= Rabaxxf ,:

b

( ) ∗∗

= bxf :

∗

b

∗∗

b

(2)

1

1 (1)

22. ábra. Az elsőfokú függvény

3. Az elsőfokú függvény b = 0 esetén adódó speciális esetét külön is defi-niáljuk, fontosságára és széleskörű általánosíthatóságára való tekintettel. Tetszőleges R∈a esetén az aj, vagy a megszokottabb jelölési móddal az ( ) R∈= xaxxl ,: függvényt ( RR → típusú) lineáris függvénynek nevez-

zük. A lineáris függvény grafikonja egy a iránytangensű (meredekségű) és az origón átmenő egyenes (23. ábra).

a

1

1

(1)

(2)

23. ábra. A lineáris függvény

4. Tetszőleges N∈n esetén értelmezhető a n

j hatványfüggvény, amely

( ) R∈= xxxf n

,:

formában adható meg. A függvény grafikonjának jellemző alakja néhány páratlan, ill. páros kitevő esetén a 24. ábrán látható.

Lineáris függvény

Hatványfüggvény


36

24. ábra. Hatványfüggvények grafikonja

5. A jn hatványfüggvény páratlan n esetén invertálható és inverze a nj

1

, ill.

( ) R∈= xxxf n

,:

függvény, míg páros n esetén csak az +

R halmazra való leszűkítése inver-tálható:

( ) +

∈= Rxxxf n

,: .

A hatványfüggvény inverzét (n-edik) gyökfüggvénynek nevezzük. A négyzetgyök és a köbgyök függvény grafikonja a 25. ábrán látható.

( ) 2

1

xxfx =∈+

:,R

( ) 3

1

xxf =:1

(2)

(1)1

25. ábra. Gyökfüggvény grafikonja

6. Tetszőleges 0,,, ≠∈ acba R esetén az 02 cjbjaj ++ , ill.

( ) R∈++= xcbxaxxf ,:2

függvényt másodfokú függvénynek nevezzük. A másodfokú függvény (26. ábra) megfelelő leszűkítéseit igen gyakran alkalmazzuk a gyakorlatban. Bármilyen műtrágya hatására pl. jellemző, hogy egy bizonyos optimális határig, egyre csökkenő hatékonysággal ugyan, de növeli a termés mennyiségét, majd a maximum elérése után a dózis további növelése már a termés csökkenését vonja maga után (túlada-

Gyökfüggvény

Másodfokú függvény


37

golás). Másrészt a különböző ún. „költségfüggvények” sok esetben egy minimumponttal rendelkező másodfokú függvénnyel írhatók le.

−

∈Ra

+

∈Ra

( ) cbxaxxf ++=2

:

(1)

1

(2)

1

26. ábra. Másodfokú függvény grafikonja

7. A hatványfüggvény értelmezése tetszőleges R∈r valós kitevőre is kiterjeszthető akkor, ha az értelmezési tartományt viszont leszűkítjük a pozitív valós számok halmazára:

( ) +

∈= Rxxxf r

,: .

A gyakorlatban többnyire a hatványfüggvény ( ) +

∈= Rxaxxf b,: formájú

transzformáltjait használjuk, amelyeknek az alakja az 0,, ≠∈ aba R

paraméterekre vonatkozó különböző értéktartományok esetén a 27. ábrán látható.

01 <<− baa

1−=b1−<b

1>b1=b

10 << b

( ) +

∈= Rxaxxf b,: ( ) +

∈= Rxaxxf b,:

1(1)

(2) (2)

(1) 1

27. ábra. Hatványfüggvény

8. A j függvény j1 reciprokát, azaz az

( ) { }0\,1

: R∈= xx

xf

függvényt hiperbolikus függvénynek nevezzük (28. ábra).

Hatványfüggvény

Hiperbolikus függvény


38

( ) { }01

\,: R∈= xx

xf

1

1 (1)

(2)

28. ábra. Hiperbolikus függvény grafikonja

9. A sin és cos függvények hányadosaként két újabb trigonometrikus függ-vény is értelmezhető, melyeket tangens-, ill. kotangens-függvénynek ne-vezünk:

.sin

cos:ctg,

cos

sin:tg ==

A két függvény a 29. ábrán tekinthető meg.

( )

∈π+π

∈= ZR kkxxxf ,,:2

\tg ( ) { }ZR ∈π∈= kkxxxf ,,: \ctg

−

π

2−

π

20 0

π

2

π

23

2

π3

2

ππ π 2π2π

1

(2)

(1)

(2)

1

(1)

29. ábra. Tangens- és kotangens-függvény grafikonja

10. A fentiekben értelmeztük az

( ) R∈= xaxx

a,:exp és az ( ) R∈= xex

x

,:exp

exponenciális függvényeket. Ezek a függvények szigorúan monoton növek-vők, és ezért invertálhatók, inverzeiket a alapú logaritmus, ill. természetes

alapú logaritmus függvényeknek nevezzük (30. ábra):

( ) +−

∈= Rxxxa

,log:expa

1 és ( ) +−

∈= Rxxx ,ln:exp 1 .

Tangens-függvény

Kotangens-függvény

Logaritmus függvény


39

10 << a

10 << a

a<1 a<1

( ) xaxf =: ( ) +

∈= Rxxxf ,log:a

1=a1

1

(2)

(1)

1

1

(2)

(1)

30. ábra. Az exponenciális és a logaritmus függvény

11. A biometriában (a biológiai jelenségeket matematikai módszerekkel vizsgáló tudományterület) sokszor találkozhatunk az exponenciális függ-vény transzformáltjaiként előállítható ún. növekedési függvényekkel. Ezek közül a telítődési függvény

( ) ( ) ++

∈−= Rxeaxf bcx,1:

formában, míg a logisztikus függvény

( ) +

+∈

+

= Rxe

axf

bcx,

1:

formában adható meg (31. ábra).

a a

( ) ( )−

++

∈

∈−=

R

R

c

xeaxf bxc,: 1 ( )

−

+

+

∈

∈

+

=

R

R

c

xe

axf

bxc,:

1

1

(2)

(1) 1

(2)

(1)

31. ábra. Telítődési és logisztikus függvény

Növekedési függvény

Telítődési függvény

Logisztikus függvény


40

Mintafeladatok

1. feladat. Határozzuk meg a ( ) 21: xxg −= és az ( ) +

∈= Rxxxf ,: függ-vényekből képzett gfo összetett függvényt

Megoldás

A g belső függvény értelmezési tartománya R=g

D , értékkészlete pedig

] ]1,∞−=gR .

A külső függvény értelmezési tartománya

] [∞= ,0fD , ezért ] ]1,0=∩ fg DR .

Az gf o összetett függvény értelmezési tartománya következésképpen:

] ]( ) ] [1,11,01

−==−

gD gfo

lesz. A keresett közvetett függvény ezek után

] [ ( )( ) 2o 1,1,1: xxgfxgf −=−∈

formában írható fel. 2. feladat. Írjuk fel az gfo összetett függvényt, ha

( ) +

∈= Rxxxf ,: és ( ) 1:2+= xxg .

Megoldás

Most [ [∞= ,1g

R és ] [∞= ,0fD miatt fg DR ⊂ , ezért R== ggf DDo

, és

így a két függvény kompozíciója

( )( ) 12+= xxgf .

3. feladat. Határozzuk meg a ( ) 21: xxg −= és az ( ) +

∈= Rx,xxf :

függvényekből képzett g

f hányados függvényt!

Megoldás

A g függvény helyettesítési értéke akkor nulla, ha { }1,1−∈x , továbbá +

=∩ Rgf DD , ezért

{ } ( )2

111

x

xx

g

f,,\x:

g

f

−

=−∈+

R

lesz a hányados függvény.


41

4. feladat. Határozzuk meg a következő függvény inverzét:

( ) 3:3+= xxf , [ [∞−= ,33

fD !

Megoldás

Megállapíthatjuk, hogy [ [∞= ,R f 0 .

3 2323333 −=⇒+=⇒+= yxxyxy .

A hozzárendelés egyértelmű, vagyis létezik az inverz függvény:

( ) 3 213−=

− xxf , valamint [ [∞=−

,0D 1f

, [ [∞−=−

,33

1fR .

5. feladat. Képezzük az fg o összetett függvényt, ha:

( ) R∈−= x,xf x

42: ,

( ) +

∈=0

: Rx,xxg .

Adjuk meg fg o függvény inverzét!

Megoldás

a) ] [∞−==+

,40 fg RD R ,

∅≠=∩+

0Rfg RD , vagyis fg o függvény képezhető.

( )( ) 42 −=xxfg o , ( ) [ [∞==

+−

,20

1RfD fgo , [ [∞= ,0fgR o

.

Az értelmezési tartomány megállapításakor a belső (jelen esetben f) függvény értelmezési tartományának ( )R azt a legbővebb részhalmazát

kerestük, melynek képhalmaza a külső függvény értelmezési tartományának ( )+

0R részhalmaza.

b) ( )4log424242 2

2

22 +=⇒+=⇒−=⇒−= yxyyy xxx .

Vagyis ( ) ( ) ( )4log 2

2

1

+=−

xxfg o , ( )

[ [∞=−

,01fg

Do

.


42


F 2.1. Határozzuk meg az

( ) +

∈−=0

,4: Rxxxf , és

( ) R∈+−= xxxxg ,23: függvényekből

képzett ( )( )xgf + , ( )( )xgf ⋅ valamint ( )xf

g

függvényeket!

F 2.2. Határozzuk meg az alábbi függvények inverzét!

a) ( ) [ [∞∈−= ;11: 2 xxxf .

b) ( ) +∈+= Rx,xxf 3 2 1: .

c) ( ) { }0\21

:3

R∈−= x,x

xf .

d) ( ) +

∈

+

= Rx,x

xxf

2

2

1: .

e) +

∈= Rxxxf ,ln:)( 2 .

f) 3

e:)(xxf = .

g) { }1\,1

1:)( R∈

−

+= xx

xxf .

F 2.3. Képezzük az gf o összetett függvényt, ha

( )

( ) { }!0\,1

:

,,ln:

Rxx

xg

Rxxxf

∈=

∈=+

F 2.4. Képezzük az gf o összetett függvényt, ha:

( ) 3: xxf =

( ) [ ]1;11:3

−∈−= x,xxg ! F 2.5. Képezzük az gf o összetett függvényt, ha:

( ) ,,ln:+

∈= Rxxxf

( ) +

∈=0

2: Rx,xxg !

F 2.6. Képezzük az gf o összetett függvényt, ha:

( ) ,x,xxf +

∈=0

: R

( ) x

xg e:= !

F 2.7. Képezzük az gf o1− összetett függvényt, ha:

( ) +

∈=0

: Rxxxf ,4 ,

( ) ] [π2;0,sin: ∈= xxxg ! F 2.8. Képezzük a fg o összetett függvényt és határozzuk meg az

inverzét, ha: ( ) [ [∞∈= ;1,ln: xxxf

( ) 2: xxg = !


43

3. Sorozatok

Ebben a témakörben olyan speciális függvényekkel fogunk foglalkozni, amelyeknek értelmezési tartománya megszámlálható számosságú. Ahogy látni fogjuk, az ilyen típusú függvényeknek sok gyakorlati közgazdasági vonatkozású alkalmazása is van.

A témakörből megismeri:

• a sorozat fogalmát, • a sorozat határértékét és meghatározásának módját, • a sorozatok jellemzésének lépéseit, menetét, • a sorozatok alkalmazási területeit.



3.1. A sorozat fogalma..............................................................................................................44 3.2. Sorozatok határértéke.........................................................................................................44


3.3. Sorozatok jellemzése .........................................................................................................53 3.3.1. Monotonitás .............................................................................................................53 3.3.2. Határérték.................................................................................................................53 3.3.3. Korlátosság ..............................................................................................................53 3.3.4. Küszöbindex ............................................................................................................55


3.4. A sorozatok alkalmazási területei ......................................................................................58 3.4.1. Kamatos-kamatszámítás ..........................................................................................58 3.4.2. Amortizáció .............................................................................................................59 3.4.3. Járadékszámítás (törlesztőrészlet)............................................................................59 3.4.4. Megtakarítás.............................................................................................................60 3.4.5. Diszkontálás.............................................................................................................60



3. témakör. Sorozatok

44

3.1. A sorozat fogalma

Az olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes szá-mok halmaza sorozatnak nevezzük. Jelölése: A:a →N , ( ) ...:=na

Az értelmezési tartomány N∈n eleméhez tartozó ( )na helyettesítési érté-

ket hagyományosan a sorozat n-edik tagjának nevezzük. Az n-edik tag jelölésére ( )na helyett szokásosabb az

na indexes jelölési mód alkalma-

zása. Mint a függvényeknél általában, a sorozatoknál is nevezetes az az eset, amikor a képhalmaz a valós számok halmaza. Ha R=A , akkor a sorozatot (valós) számsorozatnak nevezzük. Jelölése:

RN →:a , ...:=n

a . Ebben az esetben azonban, mint a függvényeknél is, a

képhalmaz feltüntetésétől általában eltekintünk, és a teljes megadási mód helyett az ( )N∈= na

n...,: rövidebb jelölést használjuk.

3.2. Sorozatok határértéke

Mielőtt megadnánk a pontos definíciót, nézzünk néhány példát! Ábrázoljuk a megadott sorozatokat, és vizsgáljuk meg, hová tartanak a sorozat elemei, ahogy az n értéke egyre nagyobb!

N∈= n

n

an

,1

: és N∈−= nbn

n,)2(: .

Figyeljük meg, hogy minél nagyobb az n értéke, az n

a értéke annál kevésbé

tér el nullától (32. ábra), vagy másképpen fogalmazva a nulla tetszőlegesen kicsi ε sugarú környezetében az ( )

na sorozatnak végtelen sok tagja

található, míg azon kívül csak véges sok.

32. ábra. Az a

n és b

n sorozat ábrázolása


Sorozat

Számsorozat


45

A (nb ) sorozat elemei azonban nem közelítenek véges számértékhez, hiszen

páros (növekvő) n-re egyre nagyobb pozitív számokat kapunk, mond-hatnánk, hogy a +∞ -be tartanak, páratlan n-re pedig egyre kisebb negatív számokat, ezek a ∞− -be „igyekeznek”.

( ) N∈−=+

ncn

n,1:

1 és ( ) N∈+−=+

nn

dn

n,2

11:

3 .

Figyeljük meg, hogy a ( )nc sorozat páratlan sorszámú tagjai mind 1-gyel,

míg páros sorszámú tagjai mind –1-gyel egyenlők, azaz van két szám, nevezetesen a –1 és az 1, amelyeknek akármilyen kis sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van (33. ábra). A ( )

nd esetében minél nagyobb az n értéke, a

nd értéke annál kevésbé tér el

2-től, vagy másképpen fogalmazva a 2 tetszőlegesen kicsi ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja található, míg azon kívül csak végesen sok.

33. ábra. A c

n és d

n sorozat ábrázolása

Példáinkon keresztül megfigyelhettük, hogy bizonyos sorozatok esetén található egy vagy több olyan szám, amelyektől egyre kevésbé térnek el a sorozat tagjai, ha n értékét növeljük. Úgy is fogalmazhatunk, hogy található egy vagy több olyan szám, amelynek tetszőlegesen kicsi sugarú környeze-tében a sorozatnak végtelen sok tagja van. A R∈t számot az ( )

na valós számsorozat torlódási pontjának nevezzük,

ha t tetszőleges (kis) ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van. Az eddigi példáink esetében:

• az N∈= n

n

an

,1

: sorozatnak a 0 pont,

• az ( ) N∈−= nbn

n,2: sorozatnak nincs torlódási pontja,

Torlódási pont


46

• a ( ) N∈−=+

ncn

n,1:

1 sorozatnak a –1 és a +1 pont,

• a ( ) N∈+−=+

nn

dn

n,2

11:

3 sorozatnak a 2 pont a torlódási pontja.

Ha a sorozatnak csak egyetlen torlódási pontja van, akkor az ennek megfelelő számot a sorozat határértékének nevezzük. Azt mondjuk, hogy az ( )

na valós számsorozat határértéke a R∈H szám,

ha bármely +

∈ Rε számhoz létezik olyan ( ) N∈ε0

n szám, hogy minden

olyan N∈n esetén, amelyre ( )ε0

nn > , fennáll az ε<− Han

.

Jelölés: ( ) Han=lim (limesz ( )

na , vagy ( )

na határértéke).

A definícióban szereplő ε tetszőleges (kicsi) pozitív valós számot hiba-

korlátnak, az ennek nagyságától függő 0

n természetes számot pedig kü-

szöbszámnak (küszöbindexnek) nevezzük. Világos, hogy minél kisebb ε, annál nagyobb az az

0n sorszám (küszöb), amelytől kezdve a sorozat elemei

H-tól az ε hibakorlátnál kevésbé térnek el, azaz ( )Hkan ε∈ , ha ( )ε

0nn >

(34. ábra). A határérték tehát másképpen fogalmazva az a H szám, amelynek tetsző-leges (kis) ε sugarú környezetében a sorozatnak végtelen sok tagja van (az

0n -nál nagyobb indexűek), azon kívül viszont csak véges sok (

0n számú).

Ha tehát egy sorozatnak van határértéke, akkor a határérték egyúttal torló-dási pont is, több torlódási pont pedig ebben az esetben nem lehetséges, mert a határérték tetszőleges környezetén kívül a sorozatnak csak véges sok tagja lehet.

34. ábra. A hibakorlát és a küszöbszám értelmezése

Ha a sorozatnak létezik határértéke, akkor konvergensnek, egyébként divergensnek nevezzük. Vizsgáljuk most meg egy konkrét példán keresztül azt, hogy egy adott hibakorláthoz milyen küszöbindex tartozik, és ezzel egyidejűleg azt, hogy egy H szám valóban határértéke-e a sorozatunknak!

Számsorozat határértéke

Hibakorlát

Küszöbindex (-szám)

Konvergens sorozat

Divergens sorozat


47

Keressünk az 150,:=ε hibakorláthoz 0

n küszöbindexet, illetve bizonyítsuk

be, hogy az N∈= n

n

an

,1

: sorozatnak a határértéke nulla!

Legyen először +

∈ Rε tetszőleges (akármilyen kicsi) szám! Ha a határérték valóban 0=H , akkor az

ε<− 01

n

egyenlőtlenséget minden ilyen ε esetén lehet megoldani. Ha csak egyetlen olyan ε is található, amely esetén az egyenlőtlenségből nem határozható meg a küszöbindex, akkor nem 0 a határérték.

Jelen esetben az egyenlőtlenség minden +

∈ Rε esetén megoldható, mivel

⇒<− ε01

n

n

n

<⇒<

ε

ε

11 és így

=

ε

1

0n , tehát valóban nulla a határ-

érték, azaz 01

lim =

n

.

(Az [ ] egészrész jelölésre azért van szükség, mert a fenti reláció megoldása

legtöbbször nem ad egész számot, 0

n pedig a sorozat valahányadik tagját

jelöli, azaz csak pozitív egész lehet.) A kapott eredmény azt jelenti, hogy ha pl. 15,0:=ε , akkor az

[ ] 667,615,0

10

==

=n . Így a sorozat 6>n indexű tagjai a 0-tól, azaz a

határértéktől 0,15-nél kevésbé fognak eltérni. Végezhetünk egy gyors ellen-őrzést is, hiszen csak néhány elemet kell kiszámítani:

14,0,61,0,2,0,25,0,3,0,5,0,17

.

654

.

321======= aaaaaaa .

Tehát az első 6 tag még távolabb van a határértéktől, mint 15,0:=ε , de a 7.

tag és persze innen kezdve már az összes többi is közelebb van. Az eddigi példáink esetében a határértékkel kapcsolatban a következő megállapítások tehetők:

• az N∈= n

n

an

,1

: sorozat esetében 0=H ,

• az ( ) N∈−= nbn

n,2: sorozatnak nincs határértéke, divergens,

• a ( ) N∈−=+

ncn

n,1:

1 sorozatnak sincs határértéke, mert két torlódási

pontja van,

• a ( ) N∈+−=+

nn

dn

n,2

11:

3 sorozat esetében 2=H .

A határértékek könnyebb kiszámítását segíti a következő tétel.


48

Tétel: Legyen (an) és (bn) két konvergens valós számsorozat és naA lim:= ,

nbB lim:= , akkor tetszőleges R∈c esetén a ( )

nac ⋅ , továbbá az ( )

nnba ± ,

az ( )nnba ⋅ , valamint N∈≠ nb

n,0 és 0≠B esetén az ( )

nnba sorozatok is

konvergensek, továbbá: ( ) ( ) Acacac

nn⋅=⋅=⋅ limlim ,

( ) ( ) ( ) BAbabannnn

±=±=± limlimlim ,

( ) ( ) ( ) BAbabannnn

⋅=⋅=⋅ limlimlim ,

( ) ( ) ( ) BAbabannnn== limlimlim .

A legtöbb sorozat határértékét az előbbi tételbeli szabályok és néhány nevezetes sorozat ismert határértékének felhasználásával határozhatjuk meg. Néhány nevezetes sorozat határértéke:

• ,01

lim =

n

• +

∈= Rknk

,01

lim ,

• 0!

1lim =

n

,

• +

∈= Rccn ,1lim ,

• k

n

en

k±=

±1lim , ( ...718,2=e a természetes logaritmus alapszáma,

Euler-féle szám),

•

−<∞±

<

=

>∞

=

1ha,divergens,

1ha,0

1ha,1

1hadivergens,,

lim

c

c

c

c

cn

A feladatok megoldása közben találkozhatunk olyan úgynevezett határo-zatlan kifejezésekkel, amelyek értékéről nem tudunk biztosat mondani. Ilyenkor az a teendő, hogy algebrai átalakításokkal más, kiértékelhetőbb formát hozzunk létre. Határozatlan alak például:

.

,0

0

,0

,

∞

∞

=

=

∞⋅=⋅

∞−∞=−

n

n

n

n

nn

nn

b

a

b

a

ba

ba


49


K3.1. Mi az értelmezési tartománya annak a függvénynek, amely sorozatnak is nevezhető? ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................

K3.2. Mi a lényeges különbség a torlódási pont és a határérték között? ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................

K3.3. Hová tarthatnak egy divergens sorozat elemei? ................................................................................................................. ................................................................................................................. .................................................................................................................

Mintafeladatok

1. feladat. Számítsuk ki a sorozat határértékét:

N∈

−−

+−+−= n,

nn

nnn:a

n

123

22523

23

!

Megoldás

Vegyük észre, hogy a sorozat egyre nagyobb indexű elemeit vizsgálva, azaz, ha n tart a végtelenbe, akkor mind a számláló, mind a nevező a végtelenbe

tart, vagyis ∞

∞

alakú határozatlan kifejezéssel van dolgunk. Ezért átalakítjuk

a törtet. Osszuk el a számlálót és a nevezőt is n legnagyobb hatványával, n3-nal, így a következő eredményt kapjuk:

123

225lim

23

23

−−

+−+−

nn

nnn

=3

5

003

0005

123

2215

lim

3

32

−=

−−

+−+−

=

−−

+−+−

nn

nnn .

Felhasználtuk, hogy

K,0021

2lim2

lim,01

lim22

=⋅=

⋅==nnn

stb.


N∈

++−

+−+= n

nnn

nnnan

,168

543:

23

45

!


50

Megoldás

Ez is ∞

∞

típus, osszunk most a nevező legnagyobb, 3n hatványával:

divergens.,0008

00

1618

543

lim168

543lim

32

32

2

23

45

∞=

++−

+−∞+∞=

++−

+−+

=

++−

+−+

nnn

nn

nn

nnn

nnn


N∈

−+

+−= n

nnn

nn

an

,:34

2

105

932!

Megoldás

Ez is ∞

∞

típus, osszunk most is a nevező legnagyobb, 4n hatványával:

0005

000

1105

932

lim105

932lim

3

432

34

2

=

−+

+−

=

−+

+−

=

−+

+−

nn

nnn

nnn

nn

Vegyük észre, hogy e három hasonló feladat végeredménye aszerint változik, hogy milyen a számláló és a nevező polinomjának fokszáma egymáshoz képest! A következő általánosítás tehető: A számláló fokszámát

szf -szel, a nevezőjét

nf -nel jelölve három eset lehet:

• Ha nszff = , akkor a határérték a fokszámokat megadó tagok együttha-

tóinak hányadosa. • Ha ∞=⇒> Hff

nsz, divergens.

• Ha .0=⇒< Hffnsz

4. feladat. Számítsuk ki a sorozat határértékét!

N∈

−

= n

n

nn

an

,3

5:

4

2

Megoldás

Mivel ∞

∞−∞

alakról van szó, osszuk el a számlálót és a nevezőt is 4n -

nel, így a következő eredményt kapjuk:

4

2

3

5lim

n

nn −

= 03

0

3

51

lim

32

==

−

nn .


51

Felhasználtuk, hogy

01

lim55

lim,01

lim1

lim

2

332====

n

nnn

.


N∈+

= nan

nn

n,

5

52

Megoldás

A kifejezés ∞

∞

típus, osszunk most az n

5 -nel, és használjuk ki, hogy

0lim =n

c , ha 1<c .

11015

2lim1

5

2lim

5

52lim =+=

+

=

+=

+n

n

n

n

nn

.


N∈−=−

nann

n,22:

1

Megoldás

A képletünk most ∞−∞ alakot mutat, de mivel nem tört, nem oszthatjuk le, ezért kiemeléssel próbálkozunk:

( ) ( )( ) ∞==−=−−−− 111

2lim122lim22limnnnn , divergens.


N∈−−= n,nn:an

95533

Megoldás

Most az előzőhöz hasonló a helyzet, ∞−∞ alakunk van, de itt a kiemelés csak újabb határozatlan alakhoz vezetne. A számlálót és a nevezőt is szorozva a gyökös kifejezés konjugáltjával:

( ) =

−+

−+⋅−−=−−

955

955955lim955lim

33

33

3333

nn

nn

nnnn

( )0

955

9lim

955

955lim

3333

33

=−+

=−+

−−=

nnnn

nn.


52

Tudjuk, hogy ∞=−∞= 95lim,5lim33

nn és . Vagyis a tört nevezője a

végtelenbe tart, míg számlálója 9-hez, így a tört értéke 0-hoz tart. 8. feladat. Számítsuk ki a sorozat határértékét!

N∈

−

+=

+

n,

n

n:a

n

n

23

2

5

Megoldás

Mivel e hatvány alapja 1-hez, kitevője a végtelenbe tart, ezért a megoldást a

következő sorozat határértékére vezetjük vissza: k

n

en

k=

+1lim .

Először is azonos átalakításokat végzünk, míg a megfelelő alakot el nem érjük.

.163

211

63

211lim

63

211lim

2

71lim

2

72lim

2

5lim

2121

86323

232323

ee

nnn

nn

n

n

n

nn

nnn

=⋅=

−+⋅

−+=

−+=

=

−+=

−

+−=

−

+

−+

+++

Megjegyezzük, hogy a fenti nevezetes sorozat határértéke nem változik, ha n helyett más, szintén a végtelenbe tartó kifejezés szerepel, csupán arra kell ügyelni, hogy a nevező és a kitevő pontosan ugyanaz legyen.

* * *


53

3.3. Sorozatok jellemzése

A sorozatok vizsgálata az alábbi lépésekre tagolható: 1. Monotonitás vizsgálat 2. Határérték kiszámítása 3. Korlátosság vizsgálat 4. Küszöbindex keresés

3.3.1. Monotonitás

Az ( )n

a valós számsorozat (szigorúan) monoton növekedő, ha N∈∀n

esetén ( )11 ++

≤<nnnn

aaaa , illetve (szigorúan) monoton csökkenő, ha

N∈∀n esetén ( )11 ++

≥>nnnnaaaa .

A monotonitás a két szomszédos tag különbsége vagy hányadosa alapján állapítható meg. Pozitív tagú sorozatoknál:

• ha 1ill.01

1>>−

+

+

n

n

nn

a

a

aa , akkor szigorúan monoton növekedő,

• ha 1ill.01

1≥≥−

+

+

n

n

nn

a

a

aa , akkor monoton növekedő,

• ha 1ill.01

1<<−

+

+

n

n

nn

a

a

aa , akkor szigorúan monoton csökkenő,

• ha 1ill.01

1≤≤−

+

+

n

n

nn

a

a

aa , akkor monoton csökkenő a sorozat.

Negatív tagú sorozatok esetében a különbségre ugyanezek érvényesek, azonban a hányados vizsgálata esetén a relációk megfordulnak.

3.3.2. Határérték

Az előző (3.2) részben erről már részletesen szóltunk. A határérték ( )

naH lim= kiszámítását célszerű a korlátosság vizsgálata

előtt megtenni, mert a korlátok megállapításakor ez segítségünkre lehet. Természetesen a küszöbindex meghatározásához is szükséges a határérték.

3.3.3. Korlátosság

Az ( )n

a valós számsorozat felülről korlátos, ha R∈∃ K szám, amelynél a

sorozatnak nincs nagyobb eleme, azaz N∈∀n esetén Kan≤ .

Az ( )n

a valós számsorozat alulról korlátos, ha R∈∃ k szám, amelynél a

sorozatnak nincs kisebb eleme, azaz N∈∀n esetén kan≥ .


Számsorozat monotonitása

Számsorozat korlátossága


54

Nyilvánvaló, hogy ha egy sorozat felülről (alulról) korlátos, akkor végtelen sok felső (alsó) korlátja van. A sorozatok jellemzésekor a felső korlátok legkisebbikét (felső határ) és az alsó korlátok legnagyobbikát (alsó határ) szokás megadni. Ez informatívabb, mint a tetszőleges korlátok használata. Az alulról és felülről is korlátos valós számsorozatokat korlátos soroza-

toknak nevezzük. Szigorúan monoton növekvő, konvergens sorozat esetén:

korlátos.sorozat a

1

⇒

=

=

ak

HK

Szigorúan monoton csökkenő, konvergens sorozat esetén:

korlátos.sorozat a1 ⇒

=

=

Hk

aK

Természetesen nem monoton sorozatok is lehetnek korlátosak, de erre általános szabály nem adható. Vizsgáljuk meg monotonitás és korlátosság szempontjából az előző részben közölt példákat:

1. N∈= n

n

an

,1

:

A hányados vizsgálatából

111

1

1

1<

+

=+

=+

n

n

n

n

a

a

n

n

adódik, ezért ez a sorozat szigorúan monoton csökkenő. Természetesen a különbség vizsgálatával is ugyanerre a következtetésre jutnánk. Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő, ezért felülről korlátos és pl. K= 1

1=a vagy bármely egynél nagyobb szám felső korlátja a sorozatnak. A

sorozat alulról is korlátos, hiszen értéke nem lehet negatív, vagyis pl. k = H = 0 vagy bármely nullánál kisebb szám alsó korlátja a sorozatnak. Az előbbiekből következően a sorozat korlátos is.

2. ( ) N∈−= nbn

n,2:

Könnyű belátni, hogy a sorozat páros sorszámú tagjai pozitívak, a páratlan sorszámúak viszont negatívak („föl-le ugrál”), és ennek következtében a sorozat nem monoton.

Korlátos sorozat


55

A páros sorszámú pozitív tagok n-et növelve akármilyen nagyok, a páratlan sorszámú negatív tagok viszont akármilyen kicsik lehetnek, ezért a sorozat semmilyen értelemben nem korlátos.

3. ( ) N∈−=+

ncn

n,1:

1

Ez a sorozat ugyanúgy „ugrál”, mint az előző, tehát ez sem monoton. Azonban korlátos, mivel páros indexű tagjai mind –1, a páratlanok pedig +1 értékűek, vagyis 1,1 =−= Kk .

4. ( ) N∈+−=+

nn

dn

n,2

11:

3

Ez a sorozat sem monoton, de található alsó és felső korlát, vagyis korlátos. Itt látszik, hogy mennyire fontos a határérték előzetes megállapítása. Mivel mi már tudjuk, hogy a sorozat elemei (bár „ugrálva”) a H = 2-höz tartanak, és növekvő n-re egyre kevésbé térnek el ettől az értéktől, nyilvánvaló, hogy a legkisebb, illetve a legnagyobb elem szolgál alsó, illetve felső határként. Ezeket a korlátokat legkönnyebben úgy találhatjuk meg, ha felírjuk a sorozat első néhány elemét:

,7

12,

6

12,

5

12,

4

12,

3

12,

2

12,12

7654321+=−=+=−=+=−=+= aaaaaaa

stb., és rögtön kiolvasható, hogy

3,5,112==== aKak .

3.3.4. Küszöbindex

Megadunk egy ε pozitív valós számot. Ehhez keressük az 0n küszöb-

számot, amelynél nagyobb n-ekre a sorozat tagjai (n

a -ek) már mind benne

vannak a határérték (H) ε sugarú környezetében. Az 0n értékét az

ε<− Han

egyenlőtlenség megoldásából kapjuk. Ezt az előző témakörben

részletesen tárgyaltuk.


K3.4. Mire kell ügyelnünk a negatív tagú sorozatok vizsgálatakor? ................................................................................................................. .................................................................................................................

K3.5. Mit tudunk mondani a sorozat határértékéről, ha a sorozat: a) szigorúan monoton növekvő és korlátos, b) szigorúan monoton csökkenő és csak felülről korlátos, c) nem monoton, de korlátos?


56

Mintafeladatok

1. feladat. Jellemezzük a következő sorozatot: Ν∈+= nann

,32

1. Mekko-

ra az 001,0=ε -hez tartozó küszöbszám?

Megoldás

Monotonitás:

02

1

2

21

2

1

2

13

2

13

2

1

11111<−=

−=−=

+−

+=−

+++++ nnnnnnnnaa .

Szigorúan monoton csökken. Természetesen a hányados vizsgálata is ezt mutatná. Határérték:

33032

1lim =+=

+=

n

H

Korlátosság:

Szigorúan monoton csökken 531

,aK ==⇒

Szigorúan monoton csökken és 33lim ==⇒= Hkan

A sorozat alulról, is és felülről is korlátos, vagyis korlátos. Küszöbszám:

0010,Han

<− , 0010332

1,

n

<−+ 001,02

1<⇒

n

,

itt a kifejezés abszolút értéke megegyezik magával a kifejezéssel. Szigorúan monoton csökkenő sorozatoknál ez mindig így van, mivel

0>−⇒> HaHann

minden n-re pozitív, és ekkor HaHann−=− , így:

00102

1,

n

< ⇒n

21000 < ⇒ 2lg1000lg ⋅< n ⇒ n<

2lg

3⇒ n, <969 ,

vagyis a keresett küszöbszám: [ ] 996,90

==n .

2. feladat. Jellemezzük a következő sorozatot: N∈

+

= n

n

n

an

,1

2:

2

2

. Mek-

kora az 510

−

=ε -hez tartozó küszöbszám?

Megoldás

Monotonitás:

( )( )

( )1

22

1222

2

1

22

122

1

2

11

12

234

234

2

2

2

2

2

2

2

2

1>

++

++++=

+⋅

++

++=

+

÷

++

+=

+

nnn

nnnn

n

n

nn

nn

n

n

n

n

a

a

n

n

Szigorúan monoton nő. A különbség vizsgálata is ezt mutatná.


57

Határérték:

21

1

2lim

1

2lim

2

2

2

=

+

=

+

=

n

n

nH

Korlátosság:

Szigorúan monoton nő 11==⇒ ak

Szigorúan monoton nő és 22lim ==⇒= HKan

A sorozat alulról és felülről is korlátos, vagyis korlátos. Küszöbszám:

510

−

<− Han

, 5

2

2

1021

2−

<−

+n

n

itt az abszolút értéket a kifejezés ellentettje adja, mivel a sorozat szigorúan monoton nő, azaz 0<−⇒< HaHa

nn, minden n-re negatív és ekkor

( )nnn

aHHaHa −=−−=− , így:

5

2

2

101

22

−

<

+

−

n

n

⇒ 525221010222

−−

+<−+ nnn ⇒

⇒ 25510102 n

−−

<− ⇒ n<

−

−

−

5

5

10

102 ⇒ n<21,447 ,

vagyis a keresett küszöbszám: [ ] 44721,4470

==n .

* * *


58

3.4. A sorozatok alkalmazási területei

A sorozatokkal kapcsolatos közgazdasági alkalmazások elsősorban egy már a középiskolából is ismert nevezetes sorozathoz, a mértani sorozathoz kötődnek. Egy sorozatot mértani sorozatnak nevezünk, ha a második tagtól kezdve minden tag és az azt közvetlenül megelőző tag hányadosa állandó. Jelölje R∈

1a a sorozat első tagját, akkor a q hányadosú mértani sorozat (és

egyben az n-edik tag) képlete:

( )N∈=−

nqaan

n

1

1: .

A mértani sorozat első n számú tagjának összege 1≠q esetén:

1

1...:

1

1

1

2

111

−

−=++++=

−

q

qaqaqaqaaS

n

n

n.

Ha 1<q , akkor ( ) 0lim =n

q felhasználásával a végtelen sok tagú, ún.

mértani sor összegképlete is meghatározható:

q

aSn

−

=

1lim

1 .

3.4.1. Kamatos-kamatszámítás

Jelölje 0t valaminek a kezdő értékét, és tegyük fel, hogy ez időszakonként

egyenletesen, azonos p %-kal növekszik. Mekkora lesz az értéke az n-edik időszak végén? Ha

0t értéke p %-kal növekszik, akkor:

( ) qtptptt0000

1001100 =+=⋅+

lesz, ha bevezetjük a ( )1001: pq += jelölést. Ha a növekedés időszakon-

ként egyenletes, akkor minden időszak alatt az előző időszakinak a q-szo-rosára növekszik az érték. Az első, második, harmadik, …, n-edik időszak végére rendre:

qtt01

= , 2

012qtqtt == , 3

023qtqtt == , azaz

n

nqtt

0=

lesz a megnövekedett érték. Ez a kamatos-kamatszámítás alapképlete, amely onnan nyeri elnevezését, hogy ha bankban elhelyezett pénzösszegről lenne szó, akkor a számítás logikája szerint a bank a későbbi években már az előző években kapott kamatok után is kamatot, azaz kamatos-kamatot fizet.


Mértani sorozat


59

Példa: A bankban 1 000 000 Ft-ot elhelyezve 15%-os kamatláb mellett éves lekötésre, 5 év múlva mekkora összeget vehetünk fel?

Jelen esetben 5,106

0== nt és 15=p miatt 15,1=q , ezért az 5 év múlva

felvehető összeg: 357011215,11056

5=⋅=t Ft.

3.4.2. Amortizáció

Az amortizáció a gépek, berendezések értékcsökkenésének meghatározására alkalmas eljárás. Egyik lehetséges megoldási módja az, hogy évi azonos mértékű értékcsökkenéssel számolunk, egy másik pedig, hogy évi azonos arányú (p %-os) értékcsökkenést veszünk számításba. Ez utóbbi esetben a gép/berendezés értéke évente a ( )1001: pq −= -szorosára csökken, és így

az n-edik év végén az értéke

n

nqtt

0=

lesz. Valójában tehát a kamatos-kamatszámításnak egy olyan változatáról van szó, amikor 1<q .

Példa: Ha az évi értékcsökkenési leírás 15%, akkor egy 800 000 Ft-os gép értéke hány év múlva lesz 500 000 Ft? Most 000500,85,0100151,000800

0==−==

ntqt , ezért:

389,285,0lg

8lg5lg85,0000800000500 ≈=

−=⇒⋅= n

n év.

3.4.3. Járadékszámítás (törlesztőrészlet)

Tegyük fel, hogy 0t nagyságú kölcsönt akarunk felvenni, és a mindenkori

tartozás után évi p %-os kamatot kell fizetni. Mekkora lesz az évente fizetendő a nagyságú törlesztőrészlet (annuitás), ha a kölcsönt n év alatt évi egyenlő nagyságú részletekben kell visszafizetni? Legyen megint ( )1001: pq += , akkor az első, második, harmadik, …, n-

edik év végén a tartozásunk rendre:

aqtt −=01

, ( )12

012+−=−= qaqtaqtt ,

( )123

023++−=−= qqaqtaqtt , ( )1...

221

0+++++−=

−−

qqqqaqttnnn

n.

Ebből, felhasználva a mértani sorozat összegére vonatkozó ismert képletet, az n-edik év végi tartozás:

1

1

0

−

−

−=

q

qaqtt

n

n

n.


60

Ha az n-edik év végére a tartozást teljes egészében törleszteni akarjuk, akkor 0=

nt és az előbbi összefüggésből az évi törlesztő-részlet:

1

1

0−

−

=n

n

q

qqta .

Példa: Mekkora kölcsönt vehetünk fel, ha az évi kamatláb 15%, a kölcsön lejárata 3 év és évi 120 000 Ft-ot tudunk törleszteni? Esetünkben a = 120 000, q = 1,15, n = 3, ezért:

98727315,0

115,1

15,1

001200

115,1

15,015,1000120

3

303

3

0=

−⋅=⇒

−

⋅⋅= tt .

3.4.4. Megtakarítás

Tegyük fel, hogy évente a nagyságú összeget helyezünk el egy bankba p %-os évi tartós lekötésre vonatkozó kamatláb mellett. Az n-edik év végére mekkora összeg gyűlik össze számunkra? Megtakarításunk az első, második, harmadik, …, n-edik év végén rendre:

aqt =1

, ( ) ( )qqaqatt +=+=2

12, ( ) ( )qqqaqatt ++=+=

23

23,

( )qqqqatnn

n++++=

− 21.... .. .

Ebből, megint csak felhasználva a mértani sorozat összegére vonatkozó ismert képletet, a megtakarításunk az n-edik év végén:

1

1

−

−

=

q

qaqt

n

n.

Példa: Évi 120 000 Ft megtakarítás esetén 15%-os kamatláb mellett 4 év múlva mekkora összeggel rendelkezhetünk? Ebben az esetben a = 120 000, q = 1,15, ezért a negyedik év végére összegyűjtött pénzünk:

08668915,0

115,115,1000120

4

4=

−⋅⋅=t Ft.

3.4.5. Diszkontálás

Diszkontálás segítségével egy későbbi jövedelem jelenlegi értéke határoz-ható meg. Egy n év múlva kapott tn nagyságú összeg jelenlegi értéke az a t0 forint, amelyet p %-os évi tartós lekötésre vonatkozó kamatláb mellett a bankba helyezve n év múlva éppen tn nagyságú összeg állna rendelke-zésünkre, azaz a


61

n

nqtt

0= összefüggésből

n

n

q

tt =0 .

Tegyük fel, hogy egy beruházás évi bevétele b Ft. Akkor az első, második, harmadik, …, n-edik év végi bevétel jelenlegi értéke rendre:

q

b ,

2q

b ,

3q

b , …,

nq

b.

Így az n év alatti összes bevétel jelenlegi értéke:

( )1

11......

21

12−

−⋅=++++=++++=

−−

− q

q

q

bqqq

q

b

q

b

q

b

q

b

q

bS

n

n

nn

nnnn .

Ezen összefüggéssel kapcsolatban figyeljünk fel arra, hogy az első év végi qb bevétel egyenértékű qba =: nagyságú év eleji megtakarítás bankba

tételével, és akkor az előbbi összefüggést átalakítva

1

1

1

1

−

−=⇒

−

−⋅=

q

qaqqS

q

qbqS

n

n

n

n

n

n.

Ez a kamatos-kamat és a megtakarítás képletei szerint azt jelenti, hogy az összes jelenlegi érték n évre lekötve kamatos-kamataival ugyanakkora ösz-szeget eredményezne, mint az évenkénti bevétel megtakarítása. Példa: Mekkora az 5 év alatti összes bevétel jelenlegi értéke annál a beruházásnál, amelynél az évi bevétel 100 millió forint, ha 15%-os kamat-lábbal számolunk? Mivel n = 5, b = 100 és q = 1,15, ezért az összes bevétel jelenlegi értéke millió forintban:

22,33515,0

115,1

15,1

1005

5=

−

⋅=n

S .

* * *


62


Állapítsa meg a következő sorozatok határértékét, N∈n esetén!

F 3.1. 124

23:

3

3

−+

+=

nn

n

an

F 3.2. 272

843:

23

24

−+−

−+=

nnn

nnn

an

F 3.3. 37

4

53

1065:

nn

nn

an

−

−+−=

F 3.4. 3

3:

+

+=

n

n

an

F 3.5. 3

2:

n

nn

an

−

=

F 3.6. n

n

an

3

6:

2+

=

F 3.7. nn

na 22:

1−=

+

F 3.8. 1ee:

−

−=nn

na

F 3.9. nn

na ee:

4−=

F 3.10. n

nn

na

4

43:

+=

F 3.11. n

nn

na

5

105:

−

=

F 3.12.

−

+= 3

1:

n

n

n

e

e

a

F 3.13. 222: +−= nnan



63

F 3.14. 11:22+−−= nna

n

F 3.15. 2

5:

55nn

an

−+=

F 3.16. n

n

n

n

a

−

+=

2

5:

F 3.17. 2

1:

−

−=

n

n

n

n

a

F 3.18. n

n

n

n

a

2

3:

+=

F 3.19. n

n

n

n

a

3

2

12:

+=

Végezze el a következő sorozatok teljes jellemzését, és számítsa ki a meg-adottε -hoz tartozó

0n küszöbindexet!

F 3.20. N∈

+

+= n

n

n

an

,1

32: 2

10:−

=ε

F 3.21. N∈

−

−= n

n

n

an

,12

46: 001,0=ε

F 3.22. N∈

−

= n

n

n

an

,1

:2

2

01,0=ε

F 3.23. N∈−

+

= n

n

an

,11

1:

2 6

10−

=ε

F 3.24. N∈

−

= n,

n

n:a

n

1 4

10:−

=ε

F 3.25. N∈−= n

n

an

,4

5: 610:

−

=ε

F 3.26. N∈

+

= n,:ann

12

1 2

10:−

=ε

F 3.27. N∈−= n,

e

:ann

2 6

10−

=ε

F 3.28. N∈+

= n,:an

nn

n

3

32 2

10:−

=ε


64

F 3.29. ( ) N∈+−= n

n

an

n,2

51:

2 2

10:−

=ε

F 3.30. N∈

−

−

⋅= n

n

n

an

,:42

36

3

2 4

10:−

=ε

Oldja meg a következő feladatokat! F 3.31. Ha 200 000 Ft-ot a bankba téve az 5. év végén 352 468 Ft-ot

vehetünk fel, akkor hány %-os volt az éves kamatláb? F 3.32. Mennyi idő alatt háromszorozódna meg a pénzünk 20%-os

kamatláb mellett? F 3.33. 20%-os évi amortizáció mellett egy 5 millió forintos autó értéke

mennyi idő alatt csökken az eredeti érték 10%-ára? F 3.34. Évi 20%-os amortizációval számolva mennyi idő alatt csökken

egy berendezés értéke a felére? F 3.35. Ha a 3 millió forintos gép értéke a 10. év végén 322 122 Ft, akkor

hány %-os volt az éves amortizáció? F 3.36. Egy 5 millió forintos gépkocsi értéke évente 5%-al csökken.

Mekkora összeget kell most 12%-os évi kamat mellett a bankba tenni, hogy a kocsit 3 év múlva újra cserélhessem?

F 3.37. 10 millió forint 30%-os kamat mellett 5 év alatt törlesztendő hitelnek mennyi lesz az évi törlesztőrészlete?

F 3.38. Mennyi hitelt vettünk fel, ha évi 596 631 forintos törlesztés esetén 5 év alatt tudjuk visszafizetni? A kamatláb 15%.

F 3.39. Legalább mekkora évi nettó nyereséget kell produkálnia az első 4 évben annak a beruházásnak, amelynek megvalósításához 100 millió forint hitelt vettünk fel évi 25% kamat mellett, és 4 év alatti évi egyenlő részletekben való törlesztést vállaltunk?

F 3.40. Mennyi idő alatt törleszthető egy 2 milliós kölcsön, ha a kamat 12%, és maximum évi 360 000 Ft-ot tudunk visszafizetni?

F 3.41. Ha 6,5%-os kamat mellett minden év elején 150000 Ft-ot teszünk a bankba, akkor 8 év múlva hány forintunk lesz?

F 3.42. Évente mekkora összeget kell év elején a bankban elhelyezni, ha 5 év múlva 10 millió forinttal akarunk rendelkezni? A kamatláb 10%.

F 3.43. Mekkora a 3 év alatti összes bevétel jelenlegi értéke annál az üzletnél, amelynél az éves bevétel 50 000 000 Ft, ha 10%-os ka-matlábbal számolunk?

F 3.44. Mennyi lehet az éves bevétele annak a beruházásnak, amely 6 év alatti összes bevételének jelenlegi értéke 9,2%-os kamatlábbal számolva 450 millió Ft ?

65

4. Függvény határértéke és folytonossága

Az előző témakörben egy speciális függvénynek, a sorozatnak a „végtelenben vett” határér-

tékével foglalkoztunk. Ebben a témakörben ismertetjük a függvények határértékének általános

fogalmát.


• a függvény határértékének fogalmát,

• a határérték meghatározására szolgáló tételeket,

• a folytonosság fogalmát,

• a függvényekre jellemző szakadási helyek sajátosságait.



4.1. Függvény határértéke ......................................................................................................66

4.1.1. Végesben vett véges határérték .............................................................................66

4.1.2. Végesben vett végtelen határérték.........................................................................68

4.1.3. Végtelenben vett véges határérték.........................................................................69

4.1.4. Végtelenben vett végtelen határérték ....................................................................69

4.1.5. Határértékre vonatkozó tételek..............................................................................70

4.2. Folytonosság és szakadási helyek ...................................................................................71


4.3. Gyakorló feladatok ..........................................................................................................76

4. fejezet. Függvények határértéke és folytonossága

66

4.1. Függvény határértéke

Mindenekelőtt definiálnunk kell egy halmaz torlódási pontjának fogalmát

(vö. sorozat torlódási pontja).

Legyen R⊂A és R∈a . Azt mondjuk, hogy az a szám az A halmaz

torlódási pontja, ha a-nak bármely ( )akδ

környezetében az A halmaznak

végtelen sok eleme van.

Egy A halmaz torlódási pontja nem feltétlenül eleme az A halmaznak, a

lényeg az, hogy +

∈∀ Rδ esetén az ( )akAδ

∩ halmaz végtelen.

4.1.1. Végesben vett véges határérték

Azt mondjuk, hogy az RR →∈f függvénynek értelmezési tartománya

valamely a torlódási pontjában a R∈H szám a határértéke, ha bármilyen

kicsi +

∈ Rε számhoz létezik egy tőle függő ( ) +

∈ Rεδ szám úgy, hogy

minden olyan esetben, amikor ( ) { }aakDx f \δ

∩∈ , akkor teljesül az

( ) ε<− Hxf egyenlőtlenség.

Jelölés: Hfa

=lim vagy ( ) Hxfa

=lim .

A definícióban az ( ) { }aakDx f \δ

∩∈ helyett gyakran az δ<− ax

egyenlőtlenséget használják, amely ugyanazt jelenti, kivéve az a pontot.

A definíció más szavakkal azt jelenti, hogy fD egy a torlódási pontjában

akkor lesz a H szám a függvény határértéke, ha H akármilyen (kicsi) ε

sugarú környezete esetén az a-nak van olyan δ sugarú környezete, hogy

minden innen választott értelmezési tartománybeli x-hez olyan ( )xf

függvényérték tartozik, amelynek a H határértéktől való eltérése már

kisebb, mint ε . Másképpen ezek az ilyen ( )xf -ek már mind közelebb

vannak H -hoz még ε -nál is. Még másképpen ezek az ilyen ( )xf -ek már

mind beleesnek a H körüli εε +− HH , „sávba”. Megint másképpen, ha az

x -ek sorozata tart a -hoz, akkor az ( )xf -ek sorozata tart H -hoz.

A 35. ábrán különböző ε -okhoz tartozó δ -kat láthatunk, amelyek nagy-

sága nyilvánvalóan ε -tól függő. A 35a. ábrán az a nem csak torlódási

pontja fD -nek, hanem eleme is annak. Ez utóbbi azonban nem feltétlen

szükséges a határérték vizsgálatához. Erre példa a 35b. ábra, ahol a függ-

vény nincs értelmezve a -ban, a csupán torlódási pontja fD -nek, a

határérték mégis vizsgálható. Figyeljük meg, hogy itt a görbe alakja miatt


Halmaz torlódási pontja

Függvény határértéke


67

egy adott ε -hoz két különböző 1

δ és 2

δ tartozik. Ilyenkor δ-nak ezek

kisebbikét választjuk: ),min(21

δδδ = .

35. ábra. A határérték értelmezése

Féloldali határérték

Bizonyos függvényeknél szükséges lehet a féloldali határérték fogalma. Pél-

dául ( ) +

∈=0

,: Rxxxf függvény határértékét a 0-ban csak jobbról vizsgál-

hatjuk, mivel negatív számokra nem értelmezett a függvény. Vagy a szintén

jól ismert ( )

0 ha ,1

0 ha ,0

0 ha ,1

sgn

>

=

<−

==

x

x

x

xxf

függvénynek 0-nál nincs határértéke, de külön bal és jobb oldali határértéke

létezik.

Jelölje ( ) ] [aaak ,: δδ

−=− az a pont bal oldali δ sugarú környezetét és

( ) ] [δδ

+=+

aaak ,: az a pont jobb oldali δ sugarú környezetét!


valamely a torlódási pontjában a ( ) R∈jb HH szám a bal oldali (jobb olda-

li) határértéke, ha bármilyen kicsi +

∈ Rε számhoz létezik egy tőle függő

( ) +

∈ Rεδ szám úgy, hogy minden olyan esetben, amikor

( )akDx f

−

∩∈δ

, ( )( )akDx f

+

∩∈δ

teljesül az ( ) ε<− bHxf ( )( )ε<−j

Hxf egyenlőtlenség.

Jelölésük: b

Hfa

:lim0

=

−

j

Hfa

:lim0

=

+

.

Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a határérték és a féloldali határ-

értékek között. Könnyen belátható, hogy egy függvénynek pontosan akkor

létezik egy a pontban határértéke, ha ott létezik bal és jobb oldali határ-

értéke is, és ez a kettő megegyezik, ahogy az az 35a. ábrán látszik is. A 36.

ábrán azonban nem létezik határérték az a pontban, mivel jb HH ≠ .

Bal oldali határérték

Jobb oldali határérték


68

A függvényeknél a határérték fogalma több irányban kiterjeszthető.

36. ábra. Példa nem létező határértékre

4.1.2. Végesben vett végtelen határérték


valamely a torlódási pontjában a határértéke végtelen (mínusz végtelen),

ha bármilyen nagy +

∈ RV számhoz létezik egy tőle függő ( ) +

∈ RVδ szám

úgy, hogy minden olyan esetben, amikor

( ) { }aakDx f \δ

∩∈ ,

akkor teljesül az

( ) ( )( )VxfVxf −<>

egyenlőtlenség.

Jelölésük: ∞=fa

lim )lim( −∞=fa

.

Ez a definíció is átfogalmazható jobb, illetve bal oldali határértékre. Ezt az

olvasóra bízzuk.

A 37. ábrán az az eset látható, amikor az a torlódási pontban a határérték

végtelen, vagyis, akár balról, akár jobbról közeledünk a -hoz, a függvény-

értékek sorozata egyaránt a végtelenbe tart. Egy adott V számhoz itt is két

különböző δ érték tartozik, ezért itt már csak a kisebbiket ábrázoltuk.

37. ábra. A végtelen határérték szemléltetése

Végtelen határérték


69

4.1.3. Végtelenben vett véges határérték

Legyen az f valós függvény értelmezve egy felülről (alulról) nem korlátos

intervallumon. Azt mondjuk, hogy az RR →∈f függvénynek a végtelen-

ben (minusz végtelenben) a határértéke a véges R∈H szám, ha bármi-

lyen kicsi +

∈ Rε számhoz létezik egy tőle függő ( ) +

∈ Rεk szám úgy,

hogy minden olyan esetben, amikor ( ) ( )( )εε kxkx −<> ill. , akkor teljesül

az ( ) ε<− Hxf egyenlőtlenség.

Jelölésük: Hf =

∞

lim )lim( Hf =

∞−

.

38. ábra. Végtelenben vett véges határérték szemléltetése

Vegyük észre, hogy a sorozat határértékének fogalma az előbbi határérték

fogalom speciális esete.

4.1.4. Végtelenben vett végtelen határérték

Legyen az f valós függvény értelmezve egy felülről (alulról) nem korlátos

intervallumon. Azt mondjuk, hogy az RR →∈f függvénynek a végtelen-

ben (mínusz végtelenben) a határértéke a végtelen [mínusz végtelen], ha

bármilyen nagy +

∈ RV számhoz létezik egy tőle függő ( ) +

∈RVk szám

úgy, hogy minden olyan esetben, amikor ( ) ( )( )VkxVkx −<> ill. , akkor

teljesül az ( ) Vxf > ( )[ ]Vxf −< egyenlőtlenség.

Jelölésük: ∞=

∞

flim , [ −∞=

∞

flim ], ( ∞=

∞−

flim , [ −∞=

∞−

flim ]).

A 39. ábrán a ∞=

∞

flim esete látható, vagyis amint az x tart végtelenbe,

úgy a hozzájuk tartozó ( )xf -ek is minden határon túl nőnek, azaz tartanak a

végtelenbe.

Végtelenben vett véges határérték

Végtelenben vett végtelen határérték


70

39. ábra. Végtelenben vett végtelen határérték szemléltetése

4.1.5. Határértékre vonatkozó tételek

A határértékekkel végezhető műveletek vonatkozásában ugyanazok a szabá-

lyok állnak fenn a függvényeknél, mint a sorozatok esetén, hiszen azok

speciális függvények.

Tétel: Legyenek RR →∈f és RR →∈g olyan függvények, amelyek-

nek egy a pontban létezik véges határértékük és legyen

gGfFaa

lim:,lim: == , akkor tetszőleges R∈c esetén a cf, továbbá az

gf ± , az gf ⋅ valamint 0≠G esetén az gf függvényeknek is létezik az

a pontban véges határértékük és

cFfccfaa

== limlim ,

( ) GFgfgfaaa

±=±=± limlimlim ,

( ) GFgfgfaaa

⋅=⋅=⋅ limlimlim ,

GFgfgfaaa

== limlimlim .

A nevezetes függvények, amelyekre a fenti szabályok segítségével más

függvények határértékének meghatározása visszavezethető, szintén a megfe-

lelő sorozatok kiterjesztettjei:

1. 01

lim =

∞ x

és 01

lim =

∞− x

2. k

x

ex

k=

+

∞

1lim és k

x

ex

k=

+

∞−

1lim

3. ,0lim =

∞

x

c ha 10 << c és ,lim ∞=

∞

x

c ha c<1

A függvények végtelenben vett határértékeinek meghatározására alkalmas

„trükkök” is hasonlók a sorozatoknál látottakhoz.


71

A végesben vett határérték kiszámításakor másfajta módszereket alkalma-

zunk. Itt a határozatlan alakok megszüntetéséhez a középiskolában már

tanult algebrai átalakításokat alkalmazhatjuk esetenként, mint például a

kiemelés, nevezetes azonosságok stb.

Bizonyos függvények határértékének meghatározásához, mint például a

0

0,∞

∞

, ∞⋅0 alakú határozatlan kifejezések esetében, ahol más út nem jár-

ható, a L’Hospital-szabályt alkalmazzuk. Ehhez azonban a deriválás

ismerete szükséges, ezért erre csak az 5.7. részben térünk ki.

4.2. Folytonosság és szakadási helyek

Példáink alapján megfigyelhetjük, hogy az értelmezési tartomány azon pont-

jaiban és azok egy megfelelő környezetében, ahol a határérték megegyezik a

helyettesítési értékkel, a függvény egy folytonos vonallal rajzolható meg.

Azt mondjuk, hogy az RR →∈f függvény értelmezési tartománya vala-

mely a pontjában folytonos, ha ott létezik határértéke és ez megegyezik a

helyettesítési értékkel:

( )affa

=lim .

Az a pontban folytonos függvények osztályát ( )aC -val szokás jelölni.

Ha az RR →∈f függvény az fDa∈ pontban nem folytonos, akkor azt

mondjuk, hogy f-nek az a pontban szakadása van.

E definíciók szerint egy függvénynek szakadása van az fDa∈ pontban, ha

fa

lim nem létezik vagy ( )affa

≠lim .

Figyeljünk fel arra a tényre, hogy folytonosságról, ill. annak hiányáról, azaz

a szakadásról csak az értelmezési tartomány pontjaiban beszélhetünk!

Eddig a pontbeli folytonossággal foglalkoztunk. Erre építve definiálható az

intervallumon folytonos és a folytonos függvény fogalma.

Ha az RR →∈f függvény az fDI ⊂ nyílt intervallum minden pontjában

folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f az I intervallumon folytonos függ-

vény.

Az fDI ⊂ intervallumon folytonos függvények osztályát ( )IC -vel szokás

jelölni.

Folytonosság

Szakadás

Intervallumon folytonos függvény


72

Ha az RR →∈f függvény értelmezési tartománya minden pontjában

folytonos, akkor azt mondjuk, hogy f folytonos függvény.

Az folytonos függvények osztályát C-vel szokás jelölni.

A folytonosság fogalma (hasonlóan a határértékhez) kiterjeszthető bal- és

jobboldali folytonosságra. ( )afHb= esetén azt mondjuk, hogy ( )xf balról

folytonos a-ban, ( )afHj= pedig a jobboldali folytonosságot jelenti.

Az RR →∈f függvénynek egy fDa∈ pontjában megszüntethető sza-

kadása van, ha a-nál létezik véges bal és jobb oldali határérték, és ezek

egyenlők (tehát létezik véges határérték a-nál), de ez nem egyezik meg a

helyettesítési értékkel:

( ) ( )afRHffaa

≠∈==+− 00

limlim

Az RR →∈f függvénynek egy fDa∈ pontjában ugrása vagy elsőfajú

szakadása van, ha a-nál létezik véges bal és jobb oldali határérték de ezek

nem egyenlők

( ) ( ) fRHRHfaa

jb00

limlim+−

=∈≠∈=

A két véges határérték közti különbség az ugrás nagysága.

Ha az f függvény nem folytonos az fDa∈ pontban és a szakadása nem

elsőfajú vagy megszüntethető, akkor azt mondjuk, hogy f-nek az a helyen

másodfajú szakadása van.

40. ábra. A szakadásfajták szemléltetése

A 40. ábrán mindhárom szakadásfajta látható. Az 1a -nél megszüntethető

szakadás, az 2

a -nél elsőfajú szakadás (ugrás), az 3

a -nál pedig egy másod-

fajú szakadás van. Az 0

a nem szakadási hely, mert nem eleme az értelme-

zési tartománynak, és így értelmetlen a folytonosság vizsgálata.

Folytonos függvény

Megszüntethető szakadás

Elsőfajú szakadás

Másodfajú szakadás


73

E gondolatmenet alapján például kijelenthetjük, hogy a jól ismert

( ) 0,1

≠= xx

xf függvény is (minden fDx∈ helyen) folytonos.


K4.1. Hol vizsgálható a függvény határértéke és folytonossága?

.................................................................................................................

.................................................................................................................

K4.2. Létezhet-e határérték abban a pontban, ahol a függvénynek szakadása

van?

.................................................................................................................

.................................................................................................................

Mintafeladatok

Függvények határértéke a végtelenben:

1. feladat

.5,12

3

452

2

1153

lim

452

2

153

lim452

2

153

lim

32

32

333

3

333

2

3

3

3

23

−=

−

=

++−

−+−

=

=

++−

−+−

=

++−

−+−

∞

∞∞

xx

xxx

xx

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xxx

2. feladat

04

0

414

631

lim44

63

lim44

63lim

2

32

33

2

3

3

333

2

23

2

=

−

=

+−−

−−

=

+−−

−−

=

+−−

−−

∞∞∞

xx

xxx

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

xxx

xx

.

3. feladat

∞=

−

∞−=

−−−

++−

=

−−−

++−

=

−−−

++−

∞∞∞ 4324

132

lim324

132

lim324

132lim

3

3

33

2

3

3

33

3

3

4

23

34

xx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

x

xx

xx

.

4. feladat

( ) ( ) =

+−++

+−++⋅+−−+=+−−+

∞∞ xx

xx

xxxx

3323

33233323lim3323lim

( ).0

5

3323

5lim

3323

3323lim =

∞

=

+−++

=

+−++

+−−+=

∞∞ xxxx

xx


74

5. feladat

=

+

−+=

+

−+=

+

−∞∞∞

xxx

xx

x

x

x

222

25

51lim

25

525lim

25

35lim

( ) 25

2

55

4

5

2

25

e1e25

51

25

51lim

−−

−+

∞

=⋅=

+

−+⋅

+

−+=

xx

x

.

A feladat megoldása során felhasználtuk, hogy

k

x

x

ke1lim =

+

∞

, R∈k .

Függvények határértéke az értelmezési tartomány egy torlódási pontjában:

6. feladat. Vizsgáljuk meg az

( )

] ] { }

] [

∞∈−

=

−=

−∞−∈−−

−

=

,5,72

3,0

2,1

3,2\5,,6

4

:

2

3

xx

x

x

xxx

xx

xf

ha

ha

ha

ha

függvény határértékeit és folytonosságát az x = 1 ; -2 ; 3 ; 5 pontokban!

Megoldás

• ( )12

1

6

3

611

141

6

4lim

2

3

2

3

1

fxx

xx===

−−

⋅−

=

−−

−

, vagyis a függvény az x = 1

helyen folytonos.

•

( )( )( )( )

( )( )

=

−

−=

+−

−+=

−−

−

−−− 3

2lim

23

22lim

6

4lim

222

3

2 x

xx

xx

xxx

xx

xx

,

( )( )2

5

8

32

222−≠−=

−−

−−−= f a függvénynek az x = -2 helyen megszün-

tethető szakadása van.

•

( )( )( )( )

( )( )3

2lim

23

22lim

6

4lim

332

3

3 −

−=

+−

−+=

−−

−

x

xx

xx

xxx

xx

xx

, itt a behelyettesítés

0

3 alakot ölt, aminek kiértékelése attól függ, melyik oldalról közele-

dünk a 3-hoz, de az biztos, hogy nem kapunk véges számot , így a

függvénynek az x = 3 helyen másodfajú szakadása van. Ezért a

határérték vizsgálata bal és jobboldali határérték meghatározásával

folytatódik.

• Jobboldali határérték: ( )( )

+∞=

−

−

+ 3

2lim

03 x

xx

, mivel a számláló 3-hoz a

nevező pedig 0-hoz tart és mindkettő pozitív.


75

• Baloldali határérték: ( )( )

−∞=

−

−

− 3

2lim

03 x

xx

, mivel a számláló 3-hoz a

nevező pedig 0-hoz tart , de a számláló pozitív a nevező pedig negatív.

•

( )( )

5,73

2lim

6

4lim

052

3

05

=

−

−

=

−−

−

−− x

xx

xx

xx

a baloldali véges határérték 5-nél,

• ( ) 375272lim05

=−⋅=−

+

x a jobboldali véges határérték 5-nél, de mivel

ezek nem egyenlők, ezért 5-nél elsőfajú szakadása (ugrása) van a

függvénynek.

• Végül még észrevehetjük, hogy a függvény 5-nél balról folytonos,

hiszen ( ) 5,75lim05

==

−

ff .

* * *


76


Függvények határértéke a végtelenben

F 4.1. { }1;1\,1

lim2

2

−∈

−∞

Rx

x

x

F 4.2.

±∈

−

−+∞ 3

3\,

31

355lim

2

2

Rx

x

xx

F 4.3. { }0\,231

lim3

2

R∈

+

+−

∞

x

xx

xx

F 4.4. 435

2523lim

2

23

+−

−−+

∞ xx

xxx

F 4.5. x

x

2

12lim

1−

+

∞

F 4.6. ( )2221lim xx +−+

∞

F 4.7. ( ) 0 ,,1lim ≤∈−−+−∞−

xxxx R

F 4.8. ( ),3222lim −−+∞

xx

ln2

ln3 , ≥∈ xx R

F 4.9. { }0\,2

lim

1

R∈

+−

∞

x

x

x

x

F 4.10.

−∈

+

−∞ 3

1\,

13

23lim Rx

x

x

x

F 4.11. { }0\,2

lim

5

R∈

+∞

x

x

x

x

F 4.12.

x

x

x23

2

52lim

⋅

∞

+

Függvények határértéke az értelmezési tartomány egy torlódási

pontjában

F 4.13. { }2;2\,4

2lim

2

23

2

−∈

−

−

Rx

x

xx

F 4.14. { }2;0;2\,4

2lim

3

2

2

−∈

−

−

Rx

xx

xx

F 4.15. { }6\,216

6lim

3

2

6

R∈

−

−

x

x

xx

F 4.16. a) { }1;1\,1

lim2

2

01

−∈

−+

Rx

x

x



77

b) { }1;1\,1

lim2

2

01

−∈

−−

Rx

x

x

F 4.17. { }0\,3

21lim

200

R∈

−

+

x

xx

{ }0\,3

21lim

200

R∈

−

−

x

xx

F 4.18. { }6;6\,36

6lim

2

2

06

−∈

−

−

+−

Rx

x

xx

{ }6;6\,36

6lim

2

2

06

−∈

−

−

−−

Rx

x

xx

F 4.19. { }2;2\,4

882lim

2

2

02

−∈

−

++

+

Rx

x

xx

{ }2;2\,4

882lim

2

2

02

−∈

−

++

−

Rx

x

xx

F 4.20. Vizsgáljuk meg határérték és folytonosság szempontjából az

x = -1; 1+0; 1-0; 2; 3 helyeken a következő függvényt:

( )

] ] { }

] [

∞∈−

=−

−=

−∞−∈−

++

=

,xx

x

x

,\,xx

xx

:xf

3ha4

1ha3

1ha8

113ha1

34

2

2

F 4.21. Vizsgáljuk meg határérték és folytonosság szempontjából az

x = -6; -4+0; -4-0; 4 helyeken a következő függvényt:

( )

] [

[ [ { }

=

−=

−∞−∈−

−−∞−∈−−

=

4ha2

4ha0

446ha16

4

6ha5

2

x

x

,\,xx

x

,xx

:xf


78

79

5. Differenciálszámítás

A differenciálszámítás a klasszikus matematika egyik legfontosabb és leghatékonyabb eszköze.

A közgazdasági matematikában a függvényelemzés, az optimum számítás és a hatékonysági

vizsgálatok nélkülözhetetlen eszköze.


• a differenciálhányados és a derivált függvény fogalmát,

• az elemi függvények deriváltjait,

• a deriválási szabályokat,

• a magasabb rendű deriváltak fogalmát,

• a L’Hospital-szabály lényegét és alkalmazását.



5.1. A differenciálhányados fogalma......................................................................................80

5.2. Függvény görbéjének érintője .........................................................................................81

5.3. A derivált függvény .........................................................................................................82

5.4. Az elemi függvények deriváltjai .....................................................................................83

5.5. Deriválási szabályok........................................................................................................84

5.6. Magasabbrendű deriváltak...............................................................................................84

5.7. L’Hospital-szabály ..........................................................................................................85


5.8. Gyakorló feladatok ..........................................................................................................95

5. témakör. Differenciálszámítás

80

5.1. A differenciálhányados fogalma

Ebben a témakörben azzal a problémával fogunk foglalkozni, hogy hogyan

lehet egy függvény érintőjének a meredekségét (iránytangensét) értelmezési

tartománya egy adott pontjában meghatározni.

Tekintsük a 41. ábrán látható függvényt és legyen feladatunk a függvény

( )( )afaP ,0

pontjában az érintő iránytangensének meghatározása.

( )1

( )2

aα β

P0

P

x

( )af

ax −

( ) ( )afxf −

( )xf

( )( ) ( )

α=−

−=′ tglim:

ax

afxfaf

a

41. ábra. Vázlat az érintő egyenes iránytangensének meghatározásához

Ha az x pontot közelítjük az a ponthoz, akkor a P pont közeledik a 0P

ponthoz, a 0P és a P pontokon átmenő szelő pedig közeledik az érintőhöz.

Az érintő tehát a szelő határhelyzete az a abszcisszájú pontban, követke-

zésképpen az érintő iránytangense a szelő iránytangensének a határértéke az

a pontban, ha ez a határérték létezik és véges.

A szelő iránytangense az ábrából láthatóan: ( ) ( )

ax

afxftg

−

−

=β , ami nem

más, mint az f függvény korábban már definiált különbségihányados-függ-

vényének a helyettesítési értéke, ezért az érintő iránytangense a különb-

ségihányados-függvénynek az a pontbeli határértéke, ha ez a határérték

létezik és véges:

( ) ( )ax

afxf

aa−

−

== limtglimtg βα .



81

Legyen az RR →∈f függvény értelmezési tartományának az a pont egy

belső pontja. Ha az f függvény különbségihányados-függvényének az a

pontban létezik véges határértéke, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény az

a pontban differenciálható.

A különbségihányados-függvény a pontbeli

( ) ( )ax

afxf

a−

−

lim

határértékét az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának nevezzük.

Az a pontban differenciálható függvények osztályát ( )aD -val szokás je-

lölni.

Jelölési módok:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ax

afxf

dx

adfa

dx

dfafaf

a −

−====′

•

lim:::: ,

Ezek közül leggyakrabban az ( )af ′ használatos az f függvény a pontbeli

differenciálhányadosának jelölésére.

5.2. Függvény görbéjének érintője

Az f függvény a pontbeli érintőjének iránytangense, vagyis az érintőnek a

meredeksége nem más, mint a függvény adott pontbeli differenciálhánya-

dosa: ( )afmtge

′==α .

A függvény ( )( )af,a koordinátájú P0 pontján áthaladó ( )af ′ iránytangensű

érintő egyenlete:

( )( ) ( )afaxafy +−′= .

Világítsuk meg a fenti fogalmakat két példán keresztül:

1. Határozzuk meg az ( ) x:xf = függvény differenciálhányadosainak

értékét az 0=a és az 2=a pontokban!

Az abszolút érték függvény differenciálhányadosának értéke az a

pontban:

( )( ) ( )

ax

ax

ax

afxfaf

aa −

−=

−

−=′ limlim

Az 0=a pontban a függvény nem differenciálható, mert az

x

x

0lim határérték nem létezik, lévén a bal- és a jobboldali határértékek

a 0 pontban különbözők:

1limlim0000

−=

−

=

−− x

x

x

x

, 1limlim0000

==

++ x

x

x

x

.

Differenciálhányados


82

Az 2=a pontban a függvény differenciálható és differenciálhánya-

dosa:

( )( ) ( )

12

2lim

2

2lim

2

2lim2

222

=−

−=

−

−=

−

−=′

x

x

x

x

x

fxff .

2. Határozzuk meg az ( ) 12+= x:xf függvény érintőinek egyenletét az

2,0,1 ==−= aaa pontokban!

( )1

( )21

2+= xy

xy 2−= 34 −= xy

1=y

42. ábra. Vázlat függvény adott pontjában érintő egyenes

egyenletének meghatározásához

A függvény differenciálhányadosa az a pontban:

( )( ) ( ) ( )

( ) aaxax

ax

ax

ax

ax

afxfaf

aaaa

2limlim11

limlim

2222

=+=−

−=

−

+−+=

−

−=′ .

Az egyes pontokban az érintők meredeksége és egyenlete:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 34524422

1100000

2212211

−=+−==′=

=+−==′=

−=++−=−=−′−=

xxy,f,a

xy,f,a

xxy,f,a

5.3. A derivált függvény

Az fenti példában már megfigyelhettük, hogy az f függvény differenciál-

hányadosa az a pontban egy az f függvényből leszármaztatható f ′ függ-

vény helyettesítési értékeként határozható meg.


83

Legyen ff DD ⊂′

azon pontok halmaza, amelyekben az f függvény diffe-

renciálható. Azt az f függvényből leszármaztatott és a fD′ halmazon értel-

mezett f ′ függvényt, amelynek helyettesítési értékei az f függvény diffe-

renciálhányadosának értékével egyenlők az illető pontban, az f függvény

derivált függvényének nevezzük.

Az előző részben a 2. példában láttuk, hogy az ( ) 12+= x:xf valós-valós

függvény differenciálhányadosa az értelmezési tartomány tetszőleges a

pontjában létezik és ( ) aaf 2=′ , ezért az ( ) 12+= x:xf , R=fD függvény

derivált függvénye az

( ) xxf 2=′ , R=′fD függvény.

Ha egy függvény értelmezési tartománya nyílt halmaz és annak minden

pontjában létezik a differenciálhányadosa, akkor a függvényt differenciál-

ható (vagy deriválható) függvénynek nevezzük.

A differenciálható (vagy deriválható) függvények osztályát D -vel szokás

jelölni. Az előbb említett f függvény tehát deriválható: Df ∈ .

5.4. Az elemi függvények deriváltjai

RR →∈f RR →∈′f

fD ( )xf fD′ ( )xf ′

R

c R

0

R

x R 1

R

N∈n,xn

R

1−⋅

nxn

+R

Q∈r,xr

+R

1−⋅

rxr

R

x

e

R

x

e

R

xa

R aax

ln⋅

+R

xln

+R

x

1

+R

xa

log

+R

ax ln

1

⋅

R

xsin R

xcos

R

xcos R

xsin−

∈+ Zkk\ π

π

2R xtg

∈+ Zkk\ π

π

2R

x2

cos

1

{ }Zkk\ ∈πR

xctg { }Zkk\ ∈πR

x2

sin

1−

Derivált függvény

Deriválható függvény


84

5.5. Deriválási szabályok

A függvények között végezhető műveletekkel kapcsolatosak az alábbi ún. deriválási szabályok. Tétel: Ha az f és g valós-valós függvények differenciálhatók az a pontban, valamint f differenciálható g(a)-ban, és létezik gfo , röviden ( )aDg,f ∈ ,

( )( )agDf ∈ , akkor ( )aDgfgfgfgfcf o ∈⋅± ,,,, is fennáll, azaz

ezek is differenciálhatók, és

( ) ( ) ( )afcacf ′=′ ,

( ) ( ) ( ) ( )agafagf ′±′=′

± ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )agafagafagf ′⋅+⋅′=′

⋅ ,

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )ag

agafagafa

g

f2

′−′=

′

, ( ) 0≠ag ,

( ) ( ) ( )( ) ( )agagfagfo ′⋅′=′ .

5.6. Magasabbrendű deriváltak

A derivált függvény deriválásával ún. magasabbrendű deriváltakat állít-hatunk elő. Ilyenkor megkülönböztetésül az f ′ deriváltat elsőrendű deri-

váltnak is nevezzük. Ha az RR →∈f függvény f ′ derivált függvénye deriválható, akkor az így kapott deriváltat az f függvény másodrendű deriváltjának nevezzük, és f ′′ -vel jelöljük. A másodrendű derivált a pontbeli helyettesítési értéke az f függvény

második differenciálhányadosa, amelynek jelölésére az

( ) ( ) ( )( )2

2

2

2

,,,

dx

afda

dx

fdafaf &&′′

szimbólumok valamelyikét használjuk. A másodrendű deriváltéval analóg módon fogalmazható meg az n-edrendű

derivált, illetve az n-edik differenciálhányados definíciója is, jelölésükre pedig az ( )nf és az ( ) ( )af n szimbólumok javasolhatók leginkább.

A magasabbrendű deriváltak többek között a függvényelemzésben játszanak fontos szerepet.

Második differenciálhányados


85

5.7. L’Hospital-szabály

Az előző fejezetben már utaltunk arra, hogy a deriválás ismerete újabb határérték problémák megoldását teszi lehetővé. Ahol a már megismert módszereink nem vezetnek eredményre, használhatjuk az úgynevezett L’Hospital-szabályt. Valójában több ilyen szabály is létezik, de mi most csak azzal foglalkozunk, amelyik az általunk feldolgozott feladatokhoz szükséges.

L’Hospital–szabály a 0

0, ∞

∞

és ∞⋅0 alakú határozatlan kifejezésekre:

Ha ( )( )( )xh

xgxf = , a ( )xg és ( )xh függvények az a pont környezetében

értelmezve vannak, differenciálhatók, ( )xh′ e környezetben nem 0, valamint

( ) ( ) 0limlim == xhxgaa

, azaz a határérték 0

0 alakú határozatlan kifejezés,

vagy ( ) ( ) ±∞== xhxgaa

limlim azaz a határérték ∞

∞

alakú határozatlan

kifejezés, akkor

( )( )( )xh

xgxf

aa ′

′= limlim .

Ha ez a határérték létezik, akkor kész vagyunk, ha azonban ez is 0

0 vagy

∞

∞

alakú, akkor a számláló és nevező újabb deriválásával ez az eljárás tovább (akárhányszor is) alkalmazható.

A ∞⋅0 alakú határozatlan kifejezést először algebrai úton átalakítjuk 0

0

vagy ∞

∞

formára (ez valamelyik tényező reciprokával való osztással mindig

elérhető), majd ezután alkalmazzuk rá a fenti eljárást. Például nézzük meg az ( ) xxxf ln

3= függvény határértékét a 0-nál!

( ) ( )∞−⋅= 0lim0

xf alakú határozatlan kifejezés, ezért először átalakítjuk:

( ) 03

lim3

1

limln

limlim

3

04

03

00

=

−

=

−

==−−

x

x

x

x

xxf .

Hangsúlyozzuk, hogy itt a számlálót és nevezőt külön-külön kell deriválni, nem pedig hányadosként!


86


K5.1. Mi a geometriai jelentése a különbségi- vagy differenciahányadosnak? ................................................................................................................ ................................................................................................................

K5.2. Mi a geometriai jelentése a különbségi hányados határértékének, azaz a differenciálhányadosnak? ................................................................................................................ ................................................................................................................

Mintafeladatok

Határozzuk meg a következő öt feladatcsoport függvényeinek első deri-váltját! 1. feladatcsoport. Ebben a feladatsorban az első két deriválási szabályt gya-koroljuk:

( )( ) ( )( )′⋅=′

⋅ xfcxfc , illetve ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )′±′

=′

± xgxfxgxf ,

vagyis azt, hogy konstans szorzó a deriválásból kiemelhető, illetve összeget tagonként lehet deriválni. a) ( ) 15=xf

f’(x) = 0 b) f (x) = x

f’(x) = 1 c) ( ) 5xxf =

( ) 45xxf =′

d) ( ) 12 += xxf

( ) 2012 =+⋅=′ xf

e) ( ) 954723 +−+= xxxxf

( ) 58210152437212

−+=+⋅−⋅+⋅=′ xxxxxf

f) ( ) 0,4

\R∈=− xxxf

( ) 54

−⋅−=′ xxf

g) ( ) 3

2

xxf =

( ) 3

1

3

2 −

⋅=′ xxf

h) ( ) 0,353

12

34\R∈−+−=

− xxxxxf ,

( ) ( ) 434315

3

18035

3

142

−−

−−=−−⋅+−⋅=′ xxxxxf


87

i) ( ) +−−

∈++−−= Rxxxxxxf ,203127

43

24

7

2

3

5

2

( )

xxxx

xxxxxf

6217

6

5

6

0234

712

2

3

7

4

5

23

4

11

2

1

5

7

4

11

2

1

5

7

++−−=

=+⋅+⋅

−⋅−⋅−⋅

−⋅=′

−−

−−

j) ( ) +

∈+−+= Rxx

xxx

xf ,631

3 22

Először alakítsuk át a kifejezést kedvezőbb formára:

( ) 3

2

2

1

2163

−

−−

+−+= xxxxxf .

Ezután már könnyen alkalmazhatjuk az összefüggéseket:

( ) ( )

3

5

2

1

32

3

5

2

1

32

42

16

3

26

2

1231

−−

−−

−−

−−

−−−−=

=⋅

−⋅+−−⋅+⋅−=′

xxxx

xxxxxf

k) ( )( )

,1

3

2

xx

xxf

⋅

+= +

∈ Rx

Alakítsuk át a képletet kedvezőbb formára:

( ) 3

4

6

5

3

1

3

4

2

1

3

12

1212 −−−

++=++

=

⋅

++= xxx

x

xx

xx

xxxf

( ) 3

7

6

11

3

4

3

7

6

11

3

4

3

4

3

5

3

1

3

4

6

52

3

1 −−−−−−

−−−=⋅

−+⋅

−⋅+−=′ xxxxxxxf

l) ( ) +

∈+−+= Rxxxxxxf ,log3log8lg6ln52

12

( )

−+=

−+−+=

=⋅+⋅−⋅+⋅=′

2ln

11

10ln

65

1

2ln1ln

3

2ln

8

10ln

65

1

2

1ln

13

2ln

18

10ln

16

15

xx

xxxx

xf

m) ( )x

xxexf

⋅+⋅−=3

25243

( )3

2ln

3

252ln243 ⋅

⋅+⋅−=′

x

xxexf


88

2. feladatcsoport. Nézzünk most példát a szorzatfüggvény deriválására! Előbb két tényezős, majd három tényezős szorzatokat deriválunk.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfxgxf ′⋅+⋅′=′

⋅

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxgxfxhxgxfxhxgxfxhxgxf ′⋅⋅+⋅′⋅+⋅⋅′=′

⋅⋅

A szabály általánosítható: egy n-tényezős szorzat deriváltja olyan n darab n-tényezős szorzatból álló összeg, amelynek minden tagjában pontosan egy, de mindig másik tényező deriváltja szerepel. a) ( ) +

∈⋅= Rxxxxf ,lnsin2

( )x

xxxxf1

sin2lncos2 ⋅+⋅=′

b) ( )10532

−+ xxx

( ) ( ) ( )5231053ln32

++−+⋅=′ xxxxf xx

c) ( ) xxxf cossin ⋅=

( ) ( ) xxxxxxxxf 2cossincossinsincoscos22

=−=−⋅+⋅=′ d) ( ) ( ) +

∈+−= Rxxxxxf ,log195

6

( ) ( ) ( )5ln

119log154 6

5

5

xxxxxxf +−+−=′

e) ( ) { }ZR ∈∈⋅⋅=+ kkxxxxf x

π\,lnctg2

( )x

xxx

xxxf xxx1

ctg2lnsin

12lnctg2ln2

2

/ ⋅⋅+⋅

−⋅+⋅⋅=

f) ( ) ( )

∈+∈⋅⋅−= +

ZR kkxxexxxf x

π

π

2\,tg2 3

( ) ( ) ( )x

exxxexxxexxxf xxx

2

332

1

2

cos

12tg2tg

2

16 ⋅⋅−+⋅⋅−+⋅⋅

−=′

−

3. feladatcsoport. Most gyakoroljuk a hányados függvény deriválását!

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )xg

xgxfxgxfx

g

f2

′−′=

′

, ahol ( ) 0≠xg .

a) ( )

∈+

=2

1-\Rx

xxf ,

12

5

( )( )( ) ( )22

12

10

12

25120

+

−=

+

⋅−+⋅=′

xx

xxf

b) ( )x

xxxf

sin

53−

= , { }ZR ∈∈ kkx π\

( )( ) ( )

x

xxxxxxf

2

32

sin

cos5sin53 ⋅−−⋅−=′


89

c) ( )x

xxf

−

=

2

ln3, { }2\

+

∈Rx

( )

( )

( )2

2

1

2

2

1ln32

13

x

xxxx

xf−

−⋅−−⋅⋅

=′

−

d) ( )x

xxxf

lg1

cos12

−

+= , { }10\

+

∈Rx

( )( )( ) ( )

( )2lg1

10ln

1cos12lg1sin12

x

xxxxx

xf−

−+−−−

=′

e) ( )x

xexf

x

tg2

3−+= ,

∈⋅∈ ZR kkx2

\π

( )( ) ( )

x

xxexe

xf

xx

2

2

tg4

cos

23tg21 ⋅−+−⋅+

=′

4. feladatcsoport. Nézzük az összetett függvények deriválását!

( ) ( ) ( )( ) ( )xgxgfxgfo ′⋅′=′

Az összetett függvény deriválási szabályát „láncszabálynak” is nevezzük, ugyanis többszörösen összetett függvény deriválása során a külső függvény-től a belső felé haladva láncszerűen kell összekapcsolni a deriváltak szor-zatait. a) ( ) )3cos( xxf =

• külső függvény: ucos , deriváltja: usin− , mivel megtartja belső függvényét: )3sin( x− ,

• belső függvény: 3x, deriváltja: 3, • a láncszabály szerint ezek szorzatát kell venni:

( ) )3sin(33)3sin( xxxf −=⋅−=′ .

b) ( ) xxf 5sin=

( ) ( )55sinsin xxxf == módon átalakítva rögtön látszik, hogy mi a külső és

belső függvény:

• külső: ( ) xxuu4445

sin5sin55 =⇒⇒

• belső: xx cossin ⇒

( ) xxxf cossin54

⋅=′


90

c) ( ) ( )234ln2

−+= xxxf

• külső: 234

11ln

2−+

⇒⇒

xxu

u

• belső: 38013242342

+=−⋅+⋅⇒−+ xxxx

( ) ( )234

3838

234

1

22−+

+=+⋅

−+=′

xx

xx

xxxf

d) ( )3

2xxf =

• külső: 2ln22ln223xuu

⇒⇒ • belső: 23

3xx ⇒

( )33

22ln332ln222 xx xxxf ⋅⋅=⋅=′

e) ( ) tgxexf =

• külső: xuu

eeegt

⇒⇒

• belső: x

x2

cos

1tg ⇒

( )x

e

xexf

x

x

2

tg

2

tg

coscos

1=⋅=′

Az összetett függvény állhat több összetevőből is. Nézzünk erre is példát! f) ( ) xxf 2

3coslog=

A tartalmazási viszonyoknak megfelelően most már csak sorba vesszük a függvényeket:

•

3lncos

1

3ln

1log

23

⋅

⇒⇒

xu

u

• xvv cos222

⇒⇒ • xx sincos −⇒

( ) ( ) xx

xxx

xxf tg

3ln

2

cos3ln

sin2sincos2

3lncos

12

−=⋅

−=−⋅⋅⋅

=′

g) ( ) 17ctg8 +−

=xexf

• ( ) 166167 ctg56ctg56568 +−+−

=⇒⇒xx

eeuu

• 122 sin

1

sin

1ctg

+−−⇒−⇒

x

ev

v

• 1+−

⇒⇒xtt

eee • 1011 −=+−⇒+− x

( ) ( )12

161

1

12

16

sin

ctg561

sin

1ctg56

+−

+−+−

+−

+−

+−⋅

=−⋅⋅

−⋅=′

x

xx

x

x

x

e

eee

eexf


91

5. feladatcsoport. Most pedig minden eddigi tudásunkat felhasználva old-junk meg néhány vegyes feladatot! Az ilyeneknél gyakran érdemes kisebb részekre bontani a feladatot.

a) ( ) 0\,5

sin32

R∈+⋅−= xx

xxxf

Ez egy összegfüggvény, amelyet tagonként fogunk deriválni. Az első tagja egy kéttényezős szorzat, amit külön kidolgozhatunk:

( ) ( ) xxxxxx cos3sin6sin322⋅−+⋅−=

′⋅−

A második tagot érdemes átalakítani deriválás előtt:

( ) 2155

5−− −=

′=

′

xx

x

( ) ( )( ) ( ) 22225cos3sin65cos3sin6

−−

−−−=−+⋅−+⋅−=′ xxxxxxxxxxxf

b) ( )92

2

+=

xe

xxf

Az összetett függvény deriváltja: • külső: 92 +

⇒⇒xuu

eee , • belső: 292 ⇒+x .

Ezek szorzata lesz az összetett függvény deriváltja:

( ) 29292⋅=

′++ xx

ee .

Az egész egyben a hányados deriválási szabálya szerint:

( )( ) ( )292

2

292

922922222

++

++

−=

⋅⋅−⋅=′

xx

xx

e

xx

e

exexxf .

c) ( ) +

∈−

⋅

= Rxx

x

xfx

,ln653 3

3

2,

Itt két tag különbségét látjuk, tagonként deriváljuk. Az első tag egy hányadosfüggvény:

2

3

2

3

1

3

2

3

2

3

2535ln53

53

⋅⋅−⋅⋅⋅=

′

⋅

−

x

xx

x

xx

x

.

A második tag pedig egy összetett függvény:

• külső: ( ) xxuu2223

ln18ln36366 =⋅⇒⋅⇒

• belső: x

x

1ln ⇒ .

Ezek szorzata lesz az összetett függvény deriváltja:

( )x

xx

1ln18ln6

23⋅=

′

szelényi lászló – gervainé hantos hedvig – ruff ferenc: gazdasági matematika i. (az...

Documents