sveska sa vjezbi iz matematike ii (prvi dio) ljeto 2013
DESCRIPTION
sveska sa zadacimaTRANSCRIPT
![Page 1: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/1.jpg)
Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/2013.
Sveska sa vježbi izMatematike II (I dio)
Odsjeci: Inžinjerski dizajn proizvoda, Inžinjerska ekologija, Menadžment proizvodnim tehnologijama, Održavanje
Dodatak A• Osnovene formule iz Matekatike II 5
Dodatak B – Dio gradiva iz Matematike I (Neodre eni integrali)
• Primitivna funkcija i neodre eni integral. Osnovne formule integriranja. 9• Integracija pomo u razlaganja podintegralne funkcije na dijelove. 23• Integracija pomo u zamjene promjenjivih. 33• Metoda parcijalne integracije. 45• Integracija kvadratnog trinoma. 57• Integracija trigonometriskih funkcija. 71• Integracija racionalnih funkcija. 83• Integracija nekih iracionalnih funkcija. 99• Integracija nekih transcedentnih (nealgebarskih funkcija) 121
Sedmica broj 1 (Odre eni integrali)
• Odre eni integrali. Ra unanje odre enih integrala pomo u neodre enih. Smjena promjenjivih u odre enom integralu. Primjena odre enog integrala: Izra unavanjepovršine ravne figure 133
Sedmica broj 2 (Odre eni integrali)
• Primjena odre enog integrala: Zapremina rotacionog tijela, Dužina luka krive, Izra unavanje površine obrtne površi (Komplanacija obrtne povši). 167
Sedmica broj 3 (Diferencijalni ra un funkcija više realnih promjenjivih)
• Funkcije dvije nezavisne promjenjive. Parcijalni izvodi funkcija više promjenjivih. Diferenciranje. Parcijalni izvodi višeg reda (uklju uju i i složene funkcije). Jedna inatangentne ravni i jedna ina normale na površ. 179
Sedmica broj 4 (Diferencijalni ra un funkcija više realnih promjenjivih)
• Ekstremi funkcija dvije promjenjive. Uslovni ekstremi funkcija dvije promjenjive 233
Sedmica broj 5, 6 i 7 (Višestruki integrali)• Dvojni (dvostruki) integrali. Smjena promjenjivih u dvojnim integralima. 259 • Trojni (trostruki) integrali. Ra unanje trostrukih integrala uvo enjem cilindri nih i
sfernih koordinata 317• Primjena dvostrukog i trostrukog integrala. 341
Dodatak C (Ispitni rokovi)• Svi ispitni rokovi iz 2011. i 2012. godine 379
Zbirke zadataka za dodatno usavršavanje i napredovanje:• Berman: Zbirka zadataka iz Matemati ke analize, Nau na knjiga, 1978 • Peri , Tomi , Kara i : Zbirka riješenih zadataka iz Matematike II, Svjetlost, 1987 • Uš umli , Mili i : Zbirka zadataka iz Matematike II, Nau na knjiga,• Ferenci, Ungar, omi , Cvijetanovi , Uzelac: Zbirka zadataka iz Matematike za
studente Tehni kih fakulteta, Nau na knjiga, 1983 • Ze i , Huskanovi , Alajbegovi : Matematika I za tehni ke fakultete, MF, 2009
(sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokovU svesci je mogu a pojava grešaka.
Za sve uo ene greške pisati na [email protected])
![Page 2: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/2.jpg)
(ova stranica je ostavljena prazna)
3
(ova stranica je ostavljena prazna)
4
![Page 3: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/3.jpg)
Osnovne formule iz Matematike IIDio tablica integrala.
1.∫
uadu = ua+1
a + 1 + C, a �= −1.
2.∫
u−1du =∫ du
u=
∫ u′
udx = ln |u| + C.
3.∫
audu = au
ln |a| + C;∫
eudu = eu + C.
4.∫
sin du = − cos u + C.
5.∫
cos du = sin u + C.
6.∫ 1
cos2 udu = tg u + C.
7.∫ 1
sin2 udu = −ctg u + C.
8.∫ du
u2 + a2 = 1a
arc tg u
a+ C.
9.∫ du
u2 − a2 = 12a
ln∣∣∣∣u − a
u + a
∣∣∣∣ + C.
10.∫ du√
a2 − u2= arc sin u
a+ C.
11.∫ du√
u2 + a= ln |u +
√u2 + a| + C.
Newton-Leibnizova formula.∫ b
af(u)du =
∫f(u)du
∣∣∣∣ba
= F (u)|ba = F (b) − F (a), gdje je F ′(u) = f(u).
Osobine određenih integrala.1.
∫ b
af(x)dx = −
∫ a
bf(x)dx.
2.∫ a
af(x)dx = 0.
3.∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx +
∫ b
cf(x)dx.
4.∫ b
a[f1(x) + f2(x) − f3(x)]dx =
∫ b
af1(x)dx +
∫ b
af2(x)dx −
∫ b
af3(x)dx.
5.∫ b
ac f(x)dx = c
∫ b
af(x)dx.
Smjena promjenjivih u određenom integralu.∫ b
af(x)dx =
∣∣∣∣∣ x = ϕ(t) x = a ⇒ a = ϕ(α) ⇒ t = αdx = ϕ′(t)dt x = b ⇒ b = ϕ(β) ⇒ t = β
∣∣∣∣∣ =∫ β
αf(ϕ(t))ϕ′(t)dt =
∫ β
αh(t)dt
Nepravi integrali.+∞∫a
f(x)dx = limb→∞
∫ b
af(x)dx,
b∫−∞
f(x)dx = lima→−∞
∫ b
af(x)dx,...
Računanje površine ravne figure. U zavisnosti od izgleda slike: P =∫ b
af(x)dx, P =
∫ d
cg(y)dy,
P = −∫ b
af(x)dx, P =
∫ b
a[η(x) − μ(x)]dx, P =
∫ d
c[g(y) − h(y)]dy, ...
Zapremina rotacionog tijela. Ako, kriva data u parametarskom obliku C :
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(t)y = μ(t)
t1 ≤ t ≤ t2
rotira
oko x-ose, zapremine se računa po formuli
Vx = π∫ t2
t1[μ(t)]2|η′(t)|dt.
Ista kriva ako rotira oko y-ose, Vy = π∫ t2
t1[η(t)]2|μ′(t)|dt. Iz ove dvije formule, za funkcije y = f(x) i
x = g(y), slijedi Vx = π∫ b
a[f(x)]2dx i Vy = π
∫ d
c[g(y)]2dy.
5
Dužina luka krive. C :
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(t)y = μ(t)
t1 ≤ t ≤ t2
, � =t2∫
t1
√[η′(t)]2 + [μ′(t)]2dt;
C :{
y = f(x)a ≤ x ≤ b
, � =b∫
a
√1 + [y′(x)]2dx; C :
{x = g(y)c ≤ y ≤ d
, � =d∫
c
√1 + [g′(y)]2dy;
Komplanacija obrtne površi. Površina omotača tijela dobijenog rotacijom krive
C :
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(t)y = μ(t)
t1 ≤ t ≤ t2
, oko x-ose, se računa po formuli: P = 2π
t2∫t1
|μ(t)|√
[η′(t)]2 + [μ′(t)]2]dt;
C :{
y = f(x)a ≤ x ≤ b
, P = 2π
b∫a
|f(x)|√
1 + [f ′(x)]2]dx; ...
Funkcije dvije nazavisno promjenjive. ...
Parcijalni izvodi f-ja više pomjenjivih. z = f(x, y), z′x = ∂z
∂x= lim
Δx→0
f(x + Δx, y) − f(x, y)Δx
...
Diferenciranje funkcija više promjenjivih. u = f(x, y, z), du = ∂u
∂xdx + ∂u
∂ydy + ∂u
∂zdz ...
Diferenciranje složenih funkcija. ...
Parcijalni izvodi višeg reda složenih funkcija. ...
Ekstremne vrijednosti f-ja dvije promjenjive. ...
Uslovni ekstremi f-ja dvije promjenjive. ...
Jednačina tangentne ravni i jednačina normale na površ. Ako je S u obliku F (x, y, z) = 0
α : F ′x(x0, y0, z0)(x − x0) + F ′
y(x0, y0, z0)(y − y0) + F ′z(x0, y0, z0)(z − z0) = 0
n : x − x0
F ′x(x0, y0, z0)
= y − y0
F ′y(x0, y0, z0)
= z − z0
F ′z(x0, y0, z0)
Dvojni integrali.
∫∫D
f(x, y) =b∫
a
dx
h(x)∫g(x)
f(x, y)dy =b∫
a
⎡⎢⎣
h(x)∫g(x)
f(x, y)dy
⎤⎥⎦ dx,
∫∫D
f(x, y) =d∫
c
dy
μ(y)∫η(y)
f(x, y)dx =d∫
c
⎡⎢⎣
μ(y)∫η(y)
f(x, y)dx
⎤⎥⎦ dy ...
Smjena promjenjivih u dvojnim integralima. Za prelazak sa pravougaonih na polarne
koordinate koristimo smjene
⎧⎪⎨⎪⎩
x = r cos(ϕ)y = r sin(ϕ)
dxdy = rdrdϕ, poopštene plarne koordinate su oblika
⎧⎪⎨⎪⎩
x = a r cos(ϕ), (a > 0)y = b r sin(ϕ), (b > 0)
dxdy = a b rdrdϕ, a za proizvoljne smjene
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(u, v)y = μ(u, v)
dxdy = |J |dudv, gdje je J Jakobijan,
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣Trojni integrali. ...
6
![Page 4: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/4.jpg)
Računanje trojnih integrala uvođenjem cilindričnih i sfernih koordinata.
Na cilindrične koordinate prelazimo pomoću
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = r cos(ϕ)y = r sin(ϕ)
z = zdxdydz = rdrdϕdz
, opis tačke je
Za prelazak sa pravougaonih na sferne koordinate koristimo
sljedeće smjene
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = r sin(ϕ) cos(θ)y = r sin(ϕ) sin(θ)
z = r cos(ϕ)dxdydz = r2 sin(ϕ)drdϕdθ
,
(opis tačke je prikazan na slici lijevo).
Primjena dvostrukih integrala.(a) P =
∫∫D
dxdy. (b) V =∫∫D
f(x, y)dxdy.
Primjena trostrukih integrala. (a) V =∫∫∫
Ω
dxdydz.
(b) T (xT , yT , zT ), xT = 1V
∫∫∫Ω
xdxdydz, yT = 1V
∫∫∫Ω
ydxdydz, zT = 1V
∫∫∫Ω
zdxdydz.
Krivoliniski integral prve vrste (po luku).
C :
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(t)y = μ(t)
t1 ≤ t ≤ t2
,∫C
f(x, y)ds =t2∫
t1
f(η(t), μ(t))√
(η′(t))2 + (μ′(t))2dt.
C :{
y = f(x)a ≤ x ≤ b
,∫C
z(x, y)ds =b∫
a
z(x, f(x))√
1 + (f ′(x))2dx.
Primjena krivoliniskog integrala prve vrste - Računanje površine cilindrične površi.C :
{F (x, y) = 0
z = 0 , P =∫C
z(x, y)ds.
Krivoliniski integral druge vrste (po koordinatama).
C :
⎧⎪⎨⎪⎩
x = η(t)y = μ(t)
t1 ≤ t ≤ t2
,∫C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =t2∫
t1
[P (η(t), μ(t))η′(t) + Q(η(t), μ(t))μ′(t)]dt.
C :{
y = f(x)a ≤ x ≤ b
,∫C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =b∫
a
[P (x, f(x)) + Q(x, f(x))f ′(x)]dx.
Krivoliniski integral druge vrste ovisi o smjeru puta integracije.
Formula Greena.∫C
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =∫∫S
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dxdy.
Primjena krivoliniskog integrala druge vrste - Računanje površine ravne figure.P = 1
2
∫C
xdy − ydx.
Nezavisnost krivoliniskog integrala od vrste konture. Određivanje primitivnih funkcija...., ∂Q
∂x= ∂P
∂y, ..., du(x, y) = ∂u
∂xdx + ∂u
∂ydy, ...
7
Površinski integral prve vrste.
D projekcija od S: z = η(x, y) na x0y -∫∫S
f(x, y, z)dS =∫∫D
f(x, y, η(x, y))
√√√√1 +(
∂η
∂x
)2
+(
∂η
∂y
)2
dxdy.
E projekcija od S: y = μ(x, z) na x0z -∫∫S
f(x, y, z)dS =∫∫E
f(x, μ(x, z), z)
√√√√1 +(
∂μ
∂x
)2
+(
∂μ
∂z
)2
dxdz.
F projekcija od S: x = γ(y, z) na y0z -∫∫S
f(x, y, z)dS =∫∫F
f(γ(y, z), y, z)
√√√√1 +(
∂γ
∂y
)2
+(
∂γ
∂z
)2
dydz.
Površinski integral druge vrste.Ako je integral oblika
∫∫S
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy obično ga podjelimo na tri
dijela∫∫S
P (x, y, z)dydz,∫∫S
Q(x, y, z)dxdz,∫∫S
R(x, y, z)dxdy. Neka je �n = (cos α, cos β, cos γ) vektor
normale na površinu S, gdje su α, β i γ uglovi koje vektor normale zaklapa sa x, y i z osom. Tada
I1 =∫∫S
P (x, y, z)dydz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
S : x = η(y, z),neka je D projekcija od S na y0z ravan,
neka je α ugao koji vektornormale na S zaklapa sa x-osom,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ±
∫∫D
P (η(y, z), y, z)dydz gdje
vrijednost za ± zavisi od cos(α) (cos(α) > 0 stavljamo +, za cos(α) < 0 stavljamo -, a za cos(α) = 0imamo I1 = 0). Slično za I2 i I3
I2 =∫∫S
Q(x, y, z)dxdz =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
S : y = μ(x, z),neka je E projekcija od S na x0z ravan,
neka je β ugao koji vektornormale na S zaklapa sa y-osom,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ±
∫∫E
Q(x, μ(x, z), z)dxdz.
I3 =∫∫S
R(x, y, z)dxdy =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
S : z = δ(x, y),neka je F projekcija od S na x0y ravan,
neka je γ ugao koji vektornormale na S zaklapa sa x-osom,
∣∣∣∣∣∣∣∣∣= ±
∫∫F
R(x, y, δ(x, y))dxdy.
Primjena površinskog integrala prve vrste - Izračunavanje površine dijela glatke površi.
P =∫∫S
dS =∫∫D
√√√√1 +(
∂η
∂x
)2
+(
∂η
∂y
)2
dxdy, gdje je D projekcija od S: z = η(x, y) na x0y ravan.
Stoksova formula. ...
Formula Gauss-Ostrogradski.∫∫S
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =∫∫∫
Ω
(∂P
∂x+ ∂Q
∂y+ ∂R
∂z
)dxdydz
Integrali ovisni o parametru.I(α) =
∫ b(α)
a(α)f(x, α)dx =⇒ I ′(α) =
∫ b(α)
a(α)f ′
α(x, α)dx + b′(α)f(b(α), α) − a′(α)f(a(α), α).
Ako granice a i b ne zavise od α tada I ′(α) =b∫
a
f ′α(x, α)dx.
Vektorska teorija polja. ...
Cirkulacija i fluks vektorskog polja.
C =∫c
�v d�r =∫c
vxdx + vydy + vzdz.
Φ =∫∫S
�v�n dS =∫∫S
vxdydz + vydxdz + vzdxdz.
8
![Page 5: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/5.jpg)
9 10
![Page 6: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/6.jpg)
11 12
![Page 7: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/7.jpg)
13 14
![Page 8: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/8.jpg)
15 16
![Page 9: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/9.jpg)
17 18
![Page 10: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/10.jpg)
19 20
![Page 11: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/11.jpg)
21 22
![Page 12: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/12.jpg)
23 24
![Page 13: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/13.jpg)
25 26
![Page 14: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/14.jpg)
27 28
![Page 15: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/15.jpg)
29 30
![Page 16: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/16.jpg)
31 32
![Page 17: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/17.jpg)
33 34
![Page 18: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/18.jpg)
35 36
![Page 19: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/19.jpg)
37 38
![Page 20: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/20.jpg)
39 40
![Page 21: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/21.jpg)
41 42
![Page 22: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/22.jpg)
43 44
![Page 23: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/23.jpg)
45 46
![Page 24: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/24.jpg)
47 48
![Page 25: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/25.jpg)
49 50
![Page 26: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/26.jpg)
51 52
![Page 27: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/27.jpg)
53 54
![Page 28: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/28.jpg)
55 56
![Page 29: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/29.jpg)
57 58
![Page 30: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/30.jpg)
59 60
![Page 31: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/31.jpg)
61 62
![Page 32: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/32.jpg)
63 64
![Page 33: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/33.jpg)
65 66
![Page 34: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/34.jpg)
67 68
![Page 35: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/35.jpg)
69 70
![Page 36: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/36.jpg)
71 72
![Page 37: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/37.jpg)
73 74
![Page 38: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/38.jpg)
75 76
![Page 39: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/39.jpg)
77 78
![Page 40: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/40.jpg)
79 80
![Page 41: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/41.jpg)
81 82
![Page 42: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/42.jpg)
83 84
![Page 43: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/43.jpg)
85 86
![Page 44: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/44.jpg)
87 88
![Page 45: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/45.jpg)
89 90
![Page 46: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/46.jpg)
91 92
![Page 47: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/47.jpg)
93 94
![Page 48: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/48.jpg)
95 96
![Page 49: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/49.jpg)
97 98
![Page 50: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/50.jpg)
99 100
![Page 51: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/51.jpg)
101 102
![Page 52: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/52.jpg)
103 104
![Page 53: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/53.jpg)
105 106
![Page 54: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/54.jpg)
107 108
![Page 55: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/55.jpg)
109 110
![Page 56: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/56.jpg)
111 112
![Page 57: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/57.jpg)
113 114
![Page 58: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/58.jpg)
115 116
![Page 59: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/59.jpg)
117 118
![Page 60: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/60.jpg)
119 120
![Page 61: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/61.jpg)
121 122
![Page 62: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/62.jpg)
123 124
![Page 63: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/63.jpg)
125 126
![Page 64: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/64.jpg)
127 128
![Page 65: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/65.jpg)
129 130
![Page 66: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/66.jpg)
131 132
![Page 67: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/67.jpg)
133 134
![Page 68: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/68.jpg)
135 136
![Page 69: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/69.jpg)
137 138
![Page 70: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/70.jpg)
139 140
![Page 71: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/71.jpg)
141 142
![Page 72: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/72.jpg)
143 144
![Page 73: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/73.jpg)
145 146
![Page 74: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/74.jpg)
147 148
![Page 75: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/75.jpg)
149 150
![Page 76: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/76.jpg)
151 152
![Page 77: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/77.jpg)
153 154
![Page 78: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/78.jpg)
155 156
![Page 79: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/79.jpg)
157 158
![Page 80: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/80.jpg)
159 160
![Page 81: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/81.jpg)
161 162
![Page 82: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/82.jpg)
163 164
![Page 83: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/83.jpg)
165 166
![Page 84: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/84.jpg)
167 168
![Page 85: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/85.jpg)
169 170
![Page 86: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/86.jpg)
171 172
![Page 87: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/87.jpg)
173 174
![Page 88: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/88.jpg)
175 176
![Page 89: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/89.jpg)
177 178
![Page 90: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/90.jpg)
179 180
![Page 91: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/91.jpg)
181 182
![Page 92: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/92.jpg)
183 184
![Page 93: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/93.jpg)
185 186
![Page 94: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/94.jpg)
187 188
![Page 95: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/95.jpg)
189 190
![Page 96: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/96.jpg)
191 192
![Page 97: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/97.jpg)
193 194
![Page 98: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/98.jpg)
195 196
![Page 99: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/99.jpg)
197 198
![Page 100: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/100.jpg)
199 200
![Page 101: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/101.jpg)
201 202
![Page 102: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/102.jpg)
203 204
![Page 103: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/103.jpg)
205 206
![Page 104: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/104.jpg)
207 208
![Page 105: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/105.jpg)
209 210
![Page 106: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/106.jpg)
211 212
![Page 107: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/107.jpg)
213 214
![Page 108: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/108.jpg)
215 216
![Page 109: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/109.jpg)
217 218
![Page 110: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/110.jpg)
219 220
![Page 111: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/111.jpg)
221 222
![Page 112: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/112.jpg)
223 224
![Page 113: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/113.jpg)
225 226
![Page 114: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/114.jpg)
227 228
![Page 115: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/115.jpg)
229 230
![Page 116: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/116.jpg)
231 232
![Page 117: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/117.jpg)
233 234
![Page 118: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/118.jpg)
235 236
![Page 119: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/119.jpg)
237 238
![Page 120: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/120.jpg)
239 240
![Page 121: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/121.jpg)
241 242
![Page 122: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/122.jpg)
243 244
![Page 123: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/123.jpg)
245 246
![Page 124: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/124.jpg)
247 248
![Page 125: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/125.jpg)
249 250
![Page 126: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/126.jpg)
251 252
![Page 127: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/127.jpg)
253 254
![Page 128: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/128.jpg)
255 256
![Page 129: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/129.jpg)
257 258
![Page 130: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/130.jpg)
259 260
![Page 131: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/131.jpg)
261 262
![Page 132: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/132.jpg)
263 264
![Page 133: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/133.jpg)
265 266
![Page 134: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/134.jpg)
267 268
![Page 135: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/135.jpg)
269 270
![Page 136: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/136.jpg)
271 272
![Page 137: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/137.jpg)
273 274
![Page 138: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/138.jpg)
275 276
![Page 139: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/139.jpg)
277 278
![Page 140: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/140.jpg)
279 280
![Page 141: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/141.jpg)
281 282
![Page 142: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/142.jpg)
283 284
![Page 143: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/143.jpg)
285 286
![Page 144: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/144.jpg)
287 288
![Page 145: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/145.jpg)
289 290
![Page 146: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/146.jpg)
291 292
![Page 147: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/147.jpg)
293 294
![Page 148: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/148.jpg)
295 296
![Page 149: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/149.jpg)
297 298
![Page 150: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/150.jpg)
299 300
![Page 151: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/151.jpg)
301 302
![Page 152: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/152.jpg)
303 304
![Page 153: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/153.jpg)
305 306
![Page 154: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/154.jpg)
307 308
![Page 155: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/155.jpg)
309 310
![Page 156: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/156.jpg)
311 312
![Page 157: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/157.jpg)
313 314
![Page 158: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/158.jpg)
315 316
![Page 159: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/159.jpg)
71317 318
![Page 160: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/160.jpg)
319 320
![Page 161: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/161.jpg)
321 322
![Page 162: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/162.jpg)
323 324
![Page 163: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/163.jpg)
1. Izra unaj trostruki integral . 2
0
11
1
)4(2
dzzdydxIx
Rješenje:
340
3410)
322(10)
3(10)1(10
10)28(2
4)4(
1
1
31
1
1
1
2
11
1
1 1
1
2
0
2
0
1
1
22
0
111
1 2222
xxdxx
dxydydxdyzzdxdzzdydxIxxxx
2. Izra unaj trostruki integralG yxdxdydz
1, gdje je G ograni ena ravnima :
a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0;
b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.
Rješenja:
a)G yxdxdydz
1 x=0, y=0, z=0
Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).
x+y+z=1 1111zyx
x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan
Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno).
x+y+z=1z= 0
325
x+y=1z= 1-x-y
yxzxy
x
101010
Sa slike projekcije odredimo granice:
21
211
2
)1())1(1
1(
11
11
1
0
21
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
xx
dxxdxydydxdyyxyx
dx
dyzyx
dxdzyx
dydxyx
dxdydz
xxx
yx xyx
x
G
b)G yxdxdydz
1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.
Skicirajmo oblast G (vidi sliku).
dxxdxx
dxxxttdtdx
xtyxty
dtdytyx
yxdydx
yxdyzdxdz
yxdydx
x
x
x
x1
0
1
0
1
0
4
1
1
0
1
0
4
1
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
4
2
1
0
5
2
1ln24ln2
1ln4ln2ln22
4512
1
12
11
326
![Page 164: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/164.jpg)
327 328
![Page 165: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/165.jpg)
329 330
![Page 166: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/166.jpg)
331 332
![Page 167: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/167.jpg)
333 334
![Page 168: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/168.jpg)
335 336
![Page 169: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/169.jpg)
337 338
![Page 170: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/170.jpg)
339 340
![Page 171: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/171.jpg)
68341 342
![Page 172: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/172.jpg)
343 344
![Page 173: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/173.jpg)
345 346
![Page 174: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/174.jpg)
347 348
![Page 175: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/175.jpg)
349 350
![Page 176: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/176.jpg)
351 352
![Page 177: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/177.jpg)
353 354
![Page 178: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/178.jpg)
355 356
![Page 179: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/179.jpg)
357 358
![Page 180: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/180.jpg)
359 360
![Page 181: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/181.jpg)
361 362
![Page 182: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/182.jpg)
363 364
![Page 183: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/183.jpg)
365 366
![Page 184: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/184.jpg)
367 368
![Page 185: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/185.jpg)
369 370
![Page 186: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/186.jpg)
371 372
![Page 187: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/187.jpg)
373 374
![Page 188: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/188.jpg)
375 376
![Page 189: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/189.jpg)
377 378
![Page 190: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/190.jpg)
Pismeni dio ispita iz Matematike II (MF), 02.02.2012.Grupa A
1.2
2arctg3
2
tg2 .
2sin cos 1
x
A dxx x
2. Odrediti ekstreme funkcije 2 2 5 .
2 2y xz xx y x
3. Dat je trostruki integral 242 2
3
0 0 0
d d dz i oblast
4. ,S
I ydydz xdzdx zdxdy ako je S donja strana dijela
površi 2 2z x y kojeg isjeca površ 2 2 .x y y
Grupa B
1.2arctg3
2arctg 2
tg2 .
2sin 6cos 7
x
B dxx x
2. Odrediti ekstreme funkcije 2 2 31 .9
x yz x y e
3. 2 2 2 ,I x y z dx dydz unutrašnjost lopte
2 2 2 .x y z x4. nati površinski integral 2 2 2 ,
S
I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjska strana tijela
0, 0,x y z h i dijelom konusa 2 2 2x y z u prvom oktantu.
Stari program:
1. Ispitati konvergenciju reda 2
1
13 .n
n
n
nn
2. 2 cos .ivy y x x
3. 2 2 2 ,I x y z dx dydz unutrašnjost lopte
2 2 2 .x y z x4. 2 2 2 ,
S
I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjska strana tijela
0, 0,x y z h i dijelom konusa 2 2 2x y z u prvom oktantu.
379
Pismeni dio ispita iz Matematike II (MF), 17.02.2012.
GRUPA A1. astaje rotacijom oko x –
22 ( 0)y ax a i pravama 0, .y x y a
2.2 2
2 2
1,
2D
xy x yI dx
x yako je D dio kruga 2 2 1x y u
prvom kvadrantu.3.
2 3
5 5
5 5, , 0 1.1 1at atx y tt t
4.2 21
2
2 20
ln 11
1
xI dx
x x.
GRUPA B1. acijom oko x – ose figure u drugom kvadrantu
2 ( 0)2axy a i pravama 0, .y y x a
2.2 2 2 23
1 ,1D
I dxx y x y
ako je oblast D
2 2 2 20, 1 4.x y x y3. I
2
4 4, ,0 1.1 1at atx y tt t
4.1
20
arctg0
1
xI dx
x x.
Stari program:
1. reda: 2
3 2 21
1 1.
3 1 4
n
nn
n xn
2.2
0.22 1
xy xyyx
3.2
4 4, ,0 1.1 1at atx y tt t
4.1
20
arctg0 .
1
xI dx
x xferenciranja po parametru .
380
![Page 191: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/191.jpg)
GRUPA ADrugi parcijalni ispit, 08.06.2012.
2 2 2 2 2 2: 36, , 0.x y z x y z z
2 ,c
y ds ako je c kriva 2 31 1, , ,0 1.2 3
x t y t z t t
2 23 , : 2 , 0.S
I zdS S z x y z
GRUPA BDrugi parcijalni ispit, 08.06.2012.
2 2 2 2 2 2 2: 4, 3 , .x y z x y z z x y
,c
x z ds ako je c kriva 2 33, , ,0 1.2
x t y t z t t
21 ,S
E z z dS 2 2 2: , 0 1.S z x y z
381
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 21.06.2012.
GRUPA A1. lom 2 2 , 0y ax a i normalom na
parabolu koja zaklapa ugao od 1350
2.sa x – osom.
,z ax by ako je 2 2 1.x y
3. 2 2 ,x yI dxdydza z
ako je
0, 0, , , 0.x y x y z a x y z a a4. 2 2 2 ,
S
I x dydz y dzdx z dxdy ako je S vanjski
dio površi 2 2 22 2 , 0 4.z x y z
GRUPA B
1.3
22 2 , 2 , 0.by by x bb x
2. 2 ,z cxy 1,0, 4A c iokomita je na ravan .x y
3. I 2 2 ,y zI dxdydza x
ako je
0, 0, , , 0.y z x y z a y z x a a4.
2 22 sin 2 4 sin 2 ,S
I xz z x x y dydz yz x y z dzdx x y z dxdy ako je S
ovršima 2 2 24 2 , .z x y z x
Stari program
1.1
1 .3 1 3 2 3 5n n n n
2. 2 21 2 0.x x y y x x y
3. 2 2 ,y zI dxdydza x
ako je oblas
0, 0, , , 0.y z x y z a y z x a a4.
2 22 sin 2 4 sin 2 ,S
I xz z x x y dydz yz x y z dzdx x y z dxdy ako je S
2 2 24 2 , .z x y z x
382
![Page 192: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/192.jpg)
Pismeni ispit iz Matematike II, 06.07.2012.
GRUPA A
1. unati integral 2
2
0
4 arctg .2xx x dx
2. Promijeniti poredak integracije u integralu 2
2
2 7 61
7 2 7 6
, .y y
y y
I dy f x y dx
3. Odrediti brojeve a i b tako da vektorsko polje 2 2 2, ,v yz axy xz bx yz axy y zju duž pravolinijske
1,1,1A 2,2,2 .B
4. ,c
x y ds ako je c desna latica lemniskate
cos 2 .a
GRUPA B
1. nati integral 3
0
arcsin .1x dxx
2. Promijeniti poredak integracije u integralu 2
2
31
02
, .y
y
dy f x y dx
3. Dokazati da je vektorsko polje 2 2 22 , 2 ,v xz yz x y z
tog polja kroz vanjsku stranu sfere 22 2 1 1.x y z
4. 2 ,c
x y z ds ako je c kontura trougla
ABC, 36 480,0,0 , 14,0,0 , 9, , .5 5
A B C
1. Razviti u Fourierov red funkciju
Stari program
, 0, 2 .2xf x x
2. 4 .y y x3. Odrediti brojeve a i b tako da vektorsko polje 2 2 2, ,v yz axy xz bx yz axy y z bude
1,1,1A 2,2,2 .B
4. ,c
x y ds ako je c desna latica lemniskate
cos 2 .a
383
Pismeni ispit iz Matematike II, 06.09.2012.
GRUPA A
1. Odrediti zapreminu tijela nastalog rotacijom krive 2( 2) (4 )y x x oko y – ose.2. ,x y z dx dy dz ako je
2 2 2 2 2 2: 2 , 3 , 0.x y a zx y z a a
3.3
32 2,
2c
xdy y x dx
x y yako je c
pozitivno orjentisana kontura kružnice 2 2 2 1.x y y4. ,
S
zdydz xdzdx ydxdy ako je S dio sfere 2 2 2 2x y z a
unutar cilindra 2 2 , 0.x y ax a
GRUPA B
1. Odrediti zapreminu tijela nastalog rotacijom krive 2( 1) ( 2)x y y oko x – ose.2. 2 34 1 ,x y dx dy dz ako je oblast
2 22 2 4 2z x x y y i 2 24 2 5 4 14.z x x y y3. olinijski integral
32 ,
3xy xy
c
yx y ye dx x xe dy
linijama 21 , 0.y x y4. ,
S
xzdydz xydzdx yzdxdy
tijela koje pripada prvom oktantu 2 2 1,x y te ravnima 0, 0, 0, 2.x y z z
Stari program:
1. Razviti u Fourierov red funkciju , 0, 2 .2xf x x
2. 4 .y y x
3. nove formule krivolinijski integral 3
32 2,
2c
xdy y x dx
x y yako je c
pozitivno orjentisana kontura kružnice 2 2 2 1.x y y4. ,
S
zdydz xdzdx ydxdy ako je S dio sfere 2 2 2 2x y z a
unutar cilindra 2 2 , 0.x y ax a
384
![Page 193: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/193.jpg)
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 03.02.2011.
GRUPA A 1. Na i površinu figure koja je ograni ena linijama 02 , 2y x x y .2. Na i ekstreme funkcije 3 23 15 12z x xy x y.3. Na i zapreminu tijela ograni enog ravnima
1, 3, 1, 5, 2 1 0, 0.x x y y x y z z
4. Izra unati krivolinijski integral 2 2 22 ,Ic
z x y z ds ako je c kriva
2 2cos , cos , sin , 0, .2 2r rx t y t z r t t
GRUPA B 1. Izra unati površinu rotacionog tijela koje se dobije rotacijom parabole 2 4y x
od ta ke 0x do ta ke 2.x2. Na i uslovne ekstreme funkcije y6 4 3z x uz uslov 2 2 1.x y3. Na i zapreminu tijela ograni enog ravnima
1, 2, 2, 2, 4 3 2 0, 0.x x y y x y z z
4. Izra unati krivolinijski integral 2 2 24 ,Ic
y x y z ds ako je c kriva
6 3sin , cos , sin , 0, .3 3 2a ax t y a t z t t
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 18.02.2011
GRUPA A
1. Izra unati integrale: 3 2
3 21 2
1 0
1 ,1 sin cos
dxI x x dx I .x x
2. Izmjeniti poredak integracije u integralu 22 2
1 2
,x x
x
I dx f x y dy .
3. Izra unati površinski integral 2 1S
P z d ,S S je dio sfere
u prvom oktantu. 2 2 2 4x y z
4. Izra unati integral 2
2x
e
0
1 x
I dxxe
pomo u diferenciranja po parametru
ako je 1.
385
GRUPA B
1. Izra unati integrale: 4 4
1 20 0
sin, .sin cos1 2 1
dx xI I dxx xx
2. Izmjeniti poredak integracije u integralu 21 2
0
,x
x
I dx f x y dy .
3. Izra unati površinski integral 2 4S
x dS , gdje je (S) omota površi
2 2 2
,0 3.4 4 9x y z z
4. Izra unati pomo u diferenciranja po parametru integral
22 2 2
0
ln sin cos , 0.I x x dx
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 23.06.2011.
GRUPA A
1. Izra unati dužinu luka krive 1ln1
x
x
eye
od ta ke sa apscisom 1x do ta ke sa
apscisom 2.x2. Izra unati pomo u dvostrukog integrala zapreminu tijela kojeg ograni avaju
površi22 2 2 2 2 2 22 0, ,x y az x y a x y a 0.
3. Izra unati pomo u Greenove formule krivolinijski integral 2 2 2 2ln ,
c
I x y dx y xy x x y dy ako je c kontura koja
ograni ava oblast .2 2 2, 2, 0y x x y4. Izra unati površinski integral 2 ,
S
I x y z dS ako je S polulopta
2 2 2 9, 0.x y z z
GRUPA B
1. Izra unati dužinu luka krive 2
2 2ln ( 0)ay a aa x
od ta ke 0,0A do ta ke
4, ln .2 3aB a
2. Izra unati pomo u dvostrukog integrala zapreminu tijela kojeg ograni avaju površi 2 2 2 2 24 ( 0), 1 1 , 4 0x y x x y x z x z i ravan 0.z
386
![Page 194: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/194.jpg)
3. Izra unati krivolinijski integral ,c
xds ako je c lemniskata
22 2 2 2 2 , 0x y a x y a .
4. Izra unati površinski integral ,S
I x y z dS ako je S polulopta
2 2 2 4, 0.x y z z
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 08.07.2011.Grupa A
1. Odrediti jedna inu tangentne ravni na površ 2 2 2
2 2 2 1x y za b c
, koja je normalna na
pravoj1 2 3x y z .
2. Izra unati integral po glatkom luku koji spaja ta ke A i B
2 211
AB
y x x xydx dy dzy z z y z
, (1,1,1), (1, 2,3), , , : 0, 0, 0A B AB x y z x y z
3. Izra unati zapreminu onog dijela lopte 2 2 2 1x y z koji se nalazi unutar cilindra .2 2( 1)x y 1
)x4. Dato je vektorsko polje 2( 2 ,1 ,xA e z xy x e z
L
. Pokazati da je polje A potencijalno i odrediti mu potencijal. Izra unati integral A dr , gdje je L duž PQ, P (0, 1, -1), Q (2, 3,
0), orijentisana od P prema Q.
Grupa B 1. Dokazati da proizvoljna tangentna ravan površi S: obrazuje sa
koordinatnim ravnima tetraedar stalne zapremine
3( 0,konstanta)xyz a a
392
V a .
2. Izra unati integral po glatkom luku koji spaja ta ke A i B
2( )AB
zxdy xydz yzdxx yz
(7, 2,3),A (5,3,1),B xzy
.
3. Izra unati zapreminu tijela koje je ograni eno površima .2 2 2 2 2, 2 , ,x y y x y y z y z 0
4. Dato je vektorsko polje 2 2 2 2 2 2(2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) )A x y z yz y z x xz z x y xy . Pokazati da je polje A potencijalno i odrediti mu potencijal. Izra unati fluks vektorskog polja Akroz spoljnu stranu polusfere 2 2 2: 2 0, 0x y z z y
Pismeni dio ispita iz Matematike II, 15.09.2011.
GRUPA A 2 3 3 12x y 01. Izra unati površinu figure koju odre uju prava i dio elipse
6 u prvom kvadrantu.2 24 9 3x y387
222 8y
5102
.dxI ydyx
2. Promij ra unati dvostruki integral eniti poredak integracije i iz
3. Izra unati površinu dijela površi 2 2 1 0x y z koji se nala a ni zi iznad r v0.z
4. Dati su krivolinijski integrali 1 2
1 2 2 2, ,x2 2
c c
dy ydx xdy ydxI Ix y x y
gdje je 1c duž
,AB 1,2 , 1,4 ,A B orjentisan ki B, a 2c je parabola
koja prolazi kroz ta ke
a od ta ke A prema ta
1, 2 , 1, 4A B i 1 11, .2 4
C Dokazati da je 1 2I I i
A B
izra unati taj broj.
volinijskog etverougla ome enog parabolama
GRUP
1. Izra unati površinu kri2
2 2 2, , 2 , 3 .x3
y x y y x y x
2. Promijeniti poredak integracije i izra unati dvostruki integral 2 2
20 0
.lna a ya x x a
3. Izra unati površinu dij s 2
dxI ydy
x a
ela fere 2 2 2x y z a koji se nalazi u unutrašnjosti
cilindra2 2
2 2 1, 0 .x y b a
ti krivolinijsk tegra
a b
4. Izra una i in l 31 arctg ,y
c
yI dx y e dyx x
ako je c pozitivno
ene isje kom kružnog prstena orjentisana kontura oblasti odre2 21 4, 0 .x y y x
eni dio ispita izPism Matematike II, 23.09.2011.
RUPA A 1. Izra unati površiG
2 3 3 12 0x y i dionu figure koju odre uju prava elipse 6 u prvom kvadrantu.
2. Promij ra unati dvostruki integral
24 9x y2 3
eniti poredak integracije i iz
222 8y
5102
.dxI ydyx
3. Izra unati površinu dijela površi 2 2 1 0x y z koji se nala a ni 0.zzi iznad r v
388
![Page 195: Sveska Sa Vjezbi Iz Matematike II (Prvi Dio) Ljeto 2013](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022081715/545edee8b1af9f4c408b4c29/html5/thumbnails/195.jpg)
1 2
1 22 2 2 2, ,c c
xdy ydx xdy ydxI I4. Dati su krivolinijski integrali x y x y
gdje je 1c duž ,AB
1, 2 , 1, 4A B i
1, 2 , 1, 4 ,A B
prolazi kroz ta ke
orjentisana od ta ke A prema ta ki B, a je parabola koja 2c1 11, .
2 4C Dokazati da je 1 2I I i izra
taj broj.
RUPA B i površinu krivolinijskog etverougla ome enog parabolama
unati
G1. Izra unat
22 2 2, , 2 , 3 .x
3y x y y x y x
2. Promijeniti poredak integracije i izra unati dvostruki integral 2 2
lna a ya
20 0
.x x a dx
I ydyx a
3. Izra unati površinu dijela sfere 22 2 2x y z a koji se nalazi u unutrašnjosti
cilindra2 2
1, 0 .x y b a2 2a b
4. Izra unati krivolinijski integral 31 arctg ,y
c
yI dx y e dyx x
ako je c pozitivno
ene isje kom kružnog prstena orjentisana kontura oblasti odre2 21 4, 0 .x y y x
Pismeni dio ispita iz Matematike II, oktobar 2011.
1. Odrediti jedna inu tangentne ravni na površ 2 2 2
2 2 2 1x y za b c
, koja je normalna na
pravoj1 2 3x y z .
2. Promijeniti poredak integracije i izra unati dvostruki integral 2 2
lna a ya
20 0
.x x a dx
I ydyx a
3. Izra unati krivolinijski integral ,c
xds ako je c lemniskata
4. Dato je vektorsko polje
, 0x y a x y a22 2 2 2 2
2 2
.2 2 2 2(2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) )A x y z yz y z x xz z x y xy .
tencijalno i odrediti mu potencijal. Izra unati fluks Pokazati da je polje A povektorskog polja A kroz spoljnu stranu polusfere 2 2 2: 2 0, 0x y z z y .
389