strucni rad sto o sportskom kladjenju kaze matematika

7/22/2019 STRUCNI RAD Sto o Sportskom Kladjenju Kaze Matematika

1/9

Toni Milun, Karmen RivierTO O SPORTSKOM KLAENJU KAE MATEMATIKA

1

TO O SPORTSKOM KLAENJU KAE MATEMATIKA

UVOD:

U posljednje je vrijeme zabiljeen velik porast mladih ovisnika o klaenju.

Razmjere adeloscentskog kockanja potvruje i istraivanje psihologinjeMargarete Mesi provedeno 2008. godine, prema kojem ak 33% zadarskihsrednjokolaca svakodnevno posjeuje sportske kladionice. Posljedice kockanjana zdravlje kockara su brojne: depresija, razdraljivost, izrazita promjenjivostraspoloenja, nesanica, migrena i ostale bolesti povezane sa stresom, problemi umeuljudskim odnosima, odsutnost s posla i nastave...

Adolescenti spadaju u najriziniju populaciju, jer im kockanje od poetnezabave lako postane ovisnost. Sportsko klaenje se zasniva na iluziji da dobropoznavanje sporta osigurava siguran dobitak. Iako Svjetska zdravstvenaorganizacija uestalo kockanje tretira kao ovisnost, u percepciji veine ljuditretira se kao igra i zabava.

MATEMATIKA OSNOVA:

Na poetku emo definirati neke osnovne pojmove i koristiti ih u ovomradu:

Sluajni pokus je postupak koji se moe ponavljati proizvoljan broj puta, aima dva ili vie moguih ishoda.

Prostor elementarnih dogaaja S je skup svih moguih ishoda nekogsluajnog pokusa.

Sluajni dogaaj A je podskup skupa svih elementarnih dogaaja S.Za dva dogaaja A i B moemo definirati:

a) njihovu uniju BA kao dogaaj koji nastane ako se ostvari dogaaj Aili dogaaj B, ili oba dogaaja.b) njihov presjek BA kao dogaaj koji nastane samo ako se

istovremeno dogode i A i B.c) suprotan dogaaj dogaaju A je A - dogaaj koji nastane ako se ne

ostvari dogaaj A.

Dogaaji A i B su meusobno iskljuivi ako vrijedi =BA , tj ne postojimogunost da se istovremeno dogode i A i B.

Dogaaji A1, A2,... , Ak predstavljaju potpun rastav skupa S ako vrijedi

SAk

ii=

=U1, =

ji

AA , ji te i

A , i .

Aksiomatska definicija vjerojatnosti definira se kao preslikavanje kojesvakom dogaaju SA pridruuje realan broj )(Ap koji se zove vjerojatnost odA, a zadovoljava sljedee aksiome:

A1. Za svaki dogaaj SA %100)(%0 Ap (ili 1)(0 Ap )A2. %100)( =Sp (ili 1)( =Sp )A3. Ako se dogaaji A i B iskljuuju tada vrijedi )()()( BpApBAp +=

Aksiomi imaju nekoliko posljedica. Mi navodimo samo one koje emo

koristiti prilikom matematikog objanjenja:P1. )(%100)( ApAp =


2/9


2

P2. Za svaka dva dogaaja A i B vrijedi )()()()( BApBpApBAp += P3. Ako su dogaaji A i B nezavisni tada vrijedi )()()( BpApBAp = P4. Ako se dogaaji iskljuuju vrijedi 0)( =BAp

Postoje 3 osnovna modela vjerojatnosti:

VJEROJATNOST A PRIORI (klasina vjerojatnost).Ako su svi ishodi sluajnog pokusa jednako mogui tada je vjerojatnost

dogaaja A jednaka omjeru za njega povoljnih ishoda m i ukupnog broja ishoda

n , pa jen

mAp =)(

VJEROJATNOST APOSTERIORI (statistika vjerojatnost)Ako se broj ponavljanja pokusa poveava u beskonanost tada je

vjerojatnost dogaaja A jednakan

mAp

n = lim)( gdje je m broj pokusa u kojima se

ostvario dogaaj A , a n ukupni broj pokusa.

SUBJEKTIVNA VJEROJATNOSTAko se ne moe odrediti vjerojatnost nekog dogaaja primjenom

prethodna dva naela tada se vjerojatnost odreenog dogaaja utvruje natemelju subjektivne procjene, koja se pak bazira na odreenim relevantniminjenicama.

Upravo odreivanje vjerojatnosti ishoda sportskih utakmica spada ukategoriju subjektivne vjerojatnosti.

POJAM I OBRAUN KOEFICIJENATA:

Koeficijent je broj koji nam govori koliko puta emo uveati uloeni novacu sluaju da tono predvidimo ishod neke sportske utakmice.

Pokazat emo na jednostavnom primjeru u kojem igraju dvije momadi: Ai B, a mogui su ishodi: pobjeda momadi A ili pobjeda momadi B.

Ponuda kladionice izgleda ovako:

A:B Pobjeda A Pobjeda Bkoeficijent 1,45 2,40

Ako vjerujemo da e momad A pobijediti i uloimo 10 kuna na njenupobjedu postoje dvije mogunosti:a) ako momad A zaista i pobijedi kladionica isplauje

knkntkoeficijenogulisplata 50,1445,110 === iz ega slijedi da jeknknknogulisplatadobit 50,41050,14 === .

b) ako momad A izgubi ne dobivamo nita izgubili smo 10 kn.

Ako pak uloimo 10 kn na pobjedu momadi B opet postoje dvijemogunosti

a) ako momad B pobijedi na isti nain raunamo:knkntkoeficijenogulisplata 2440,210 === , iz ega ostvarujemo

knknknogulisplatadobit 141024 === b) ako momad B izgubi, mi smo izgubili 10 kn


3/9


3

Sad kad smo razjasnili znaenje koeficijenata moemo objasniti i postupaknjihovog izrauna u nekoliko koraka:

1. KORAK procjena ishoda utakmica

Kladionice procjenjuju izglede pojedinog igraa/momadi za pobjedu. Bitnoje naglasiti da taj posao obavljaju strunjaci: statistiari s izvrsnim poznavanjemsporta. Prilikom procjena vjerojatnosti rezultata uzimaju se u obzir: kvalitetamomadi ili igraa, trenutna forma, mogue ozljede, motivacija, prednostdomaeg terena i svi ostali faktori koji bi mogli utjecati na rezultat.

2. KORAK izraun koeficijenata

Koeficijenti se raunaju na sljedei nain:( )%

%100

stvjerojatnotkoeficijen = .

Ishodi mea koji imaju veu vjerojatnost pobjede imat e nii koeficijent, amanje vjerojatni ishodi imaju vei koeficijent.

3. KORAK uraunavanje naknada i porezaPostoje dvije naknade:Prva pripada dravi - tzv. 'manipulativne trokove' u iznosu od 5% na

svaki ulog kladionica prosljeuje dravi. To znai da uloenih 10 kn obuhvaaju

stvarni neto-ulog plus 5% naknade dravi. Iz izraza knxx 10100

5=+ , dobijemo

iznos neto-uloga knkn

x 52,905,1

10== .

Stoga nepotpun izraz tkoeficijenogulisplata = trebamo prepraviti u

ispravan tkoeficijenuisplata =05,1log .

Druga naknada pripada kladionicama. Da bi sebi osigurala dobit kladionicasmanjuje sve koeficijente. U sluaju da igra koji se kladi (kladitelj) pogodi ishodmea, dobit e manji iznos od onog izraunatog prema drugom koraku. Pri tomkladionice primjenjuju pravilo o ''povratu novca''. Povrat novca je iznos koji eprosjeni korisnik usluga kladionice dobiti nazad i uglavnom iznosi manje od 90%. to vie parova kombiniramo povrat novca je sve manji.

Pokazat emo kako to konkretno izgleda na nekoliko primjera:

PRIMJER 1: TENIS

Tenis je dobar poetni model, jer ima samo dva ishoda: pobjeda jednog ilidrugog igraa, nema nerijeenog ishoda. Procjenu koeficijenata objasnit emo uzamiljenom meu izmeu Marina ilia i Fernanda Gonzalesa.

1. korak procjena vjerojatnostiStatistiari u kladionicama uzimaju u obzir mnotvo injenica o obojici

tenisaa. Obojica su plasirana oko 10. mjesta na svjetskoj rang-ljestvici i nemajuozljeda. Forma im je u zadnjih nekoliko mjeseci podjednako dobra, pa suprocjene kladioniara da nema favorita, tj. da su vjerojatnosti pobjede i jednog idrugog igraa podjednake po 50%.

2. korak izraun teoretskih koeficijenata


4/9


4

Koeficijenti za obojicu tenisaa trebali bi iznositi:

( )2

%50

%100

%

%100===

stvjerojatnotkoeficijen

3. korak uraunavanje naknada

Kada pogledamo ponude kladionica za meeve tenisaa s podjednakimvjerojatnostima pobjede, vidimo da koeficijenti nisu po 2,00 nego nii: akokladionica eli sebi osigurati veu dobit koeficijente e postaviti na iznos 1,70, aza manju dobit 1,85.

Pretpostavimo da e kladionica na me ili-Gonzales ponuditi koeficijentena obojicu igraa po 1,85.

Ako uloimo 10 kn na pobjedu ilia, nakon plaanja naknade dravi 5%na neto-ulog iznosi 9,52 kn. Ako ili pobijedi dobivamo knkn 61,1785,152,9 = .Jednaka je raunica u sluaju da smo se uspjeno kladili na pobjedu Gonzalesa.Dakle, iako je vjerojatnost pobjede 50% zarada nije 10 kn, ve samo 7,61 kn.

Za izraun ''povrata novca'' zamislit emo najjednostavniji model: da se uodreenoj kladionici klade samo dvije osobe: budui da je vjerojatnost zapobjedu oba tenisaa podjednaka moemo oekivati i takve uplate, pa e jedankladitelj uloiti 10 kn na pobjedu ilia, a drugi jednak iznos na Gonzalesa. Bezobzira na ishod mea za kladionicu je obraun isti: ukupno je uloeno 20 kn, akladitelji su ostvarili ukupni dobitak od 17,61 kn. Povrat novca kladiteljima

izraen u postotcima iznosi %05,88%100*20

61,17%100* ===

kn

kn

uloeno

dobivenopovrat .

Da je kladionica postavila koeficijente za pobjedu igraa na 1,70, dobitosobe koja bi uloila 10 kn na pobjednika iznosila bi knkn 18,1670,152,9 = . Slijedi

da bi povrat novca iznosio %9,80%100*20

18,16%100* ===

kn

kn

uloeno

dobivenopovrat .

Iz zakona vjerojatnosti slijedi da bi osoba koja bi se dugorono kladilaostvarivala povrat uloenog novca u rasponu od 80,9% do 88,05%, odnosnogubitak novca bi iznosio od 11,95% do 19,1%.

Takav jednostavni model, sa samo dvojicom kladitelja, je prikladan zailustraciju jer su 'u stvarnosti' ukupni ulozi na dvojicu igraa s podjednakimkoeficijentima priblino jednaki.

PRIMJER 2: NOGOMET

Navest emo i primjer s tri mogua ishoda: pobjeda ili jedne ili druge

momadi ili nerijeeno (bez pobjednika). Igra se utakmica Milan-Lazio. Procjenekladioniara su da Milan ima vee izglede za pobjedu. U tablici su prikazaneprocijenjene vjerojatnosti moguih ishoda, teoretski koeficijenti kakvi bi trebalibiti da nema uraunate naknade kladionicama i stvarni koeficijenti koji suobjavljeni na web-stranici jedne kladionice:

ishod Pobjeda Milana (1) Neri eeno (X) Pobjeda Lazia (2)Vjerojatnost 52% 27% 21%Teoretski koeficijenti 1,92 3,7 4,76Stvarni koeficijenti 1,76 3,25 4,40

Kao to vidimo stvarni koeficijenti su nii od koeficijenata izraunatih natemelju procjena vjerojatnosti. Tako e kladitelj koji uloi 10 kn na pobjedu


5/9


5

Milana, u sluaju da Milan zaista i pobijedi, prema izrazu

tkoeficijenu

isplata =05,1

log umjesto kn

knisplata 29,1892,1

05,1

10== dobiti

knkn

isplata 76,1676,105,1

10== .

Sportske kladionice nude mnotvo sportova za klaenje: nogomet,koarku, rukomet, odbojku, skijanje. Na web-stranicama kladionica moete naiponude za vie od 50 svjetskih nacionalnih nogometnih liga, meu kojima iparagvajsku, pa ak i prvu i drugu japansku ligu, za desetak hokejakih liga,dvadesetak koarkakih...

Osim klaenja na konani rezultat moete se kladiti i na rezultate utakmicana poluvremenu, ukupni broj pogodaka na nekoj utakmici, broj golova pojedinogigraa, plasman skijaa u slalomu, ukratko za svakog poneto.

Budui da se prosjeni posjetitelj kladionice najee kladi na vieutakmica istovremeno ilustrirat emo kako to izgleda na jednom primjeru.

PRIMJER 3

Iz mnotva ponuenih parova zainteresirani smo za 3 utakmice:

1 X 2 1X X2 12Borussia - Hamburg 2,55 3,20 2,50 1,42 1,40 1,26Real Madrid - Atletico 1,30 4,70 8,50 1,02 3,03 1,13Lyon Bordeaux 2,15 3,04 3,25 1,26 1,57 1,29

Oznake u tablici znae:1 pobjeda domaina (u prvom paru to je Borussia)X nerijeeno (bez pobjednika)2 pobjeda gosta (u prvom paru to je Hamburg)1X pobjeda domaina ili nerijeenoX2 nerijeeno ili pobjeda gosta12 pobjeda ili domaina ili gosta

Ako se kladimo na sljedeu kombinaciju: Borussia e ili pobijediti iliodigrati nerijeeno protiv Hamburga (k=1,42), Real e pobijediti Atletico(k=1,30), a Lyon i Bordeaux e odigrati nerijeeno (k=3,04) sloeni koeficijentse rauna kao umnoak svih koeficijenata 61,504,3*30,1*42,1 ==k . U sluaju dazaista pogodimo sva 3 ishoda na uloenih 10 kn,

knkn

tkoeficijenu

isplata 43,5361,5*05,1

10

05,1

log===

to predstavlja dobit od 43,43 kn. Ako samo jedan ishod ne pogodimo nemamonikakvu dobit.

Izraunat emo i povrat novca u sluaju istovremenog klaenja na vieparova: kladionica postavlja koeficijente tako da povrat po jednom paru, bezmanipulativnih trokova, iznosi 85% - 92,5%. Kako u Hrvatskoj postoji velika

konkurencija meu kladionicama tako su i povrati (bez manipulativne naknade)


6/9


6

neto vei, uglavnom oko 90%.1 Budui da se radi o nezavisnim dogaajimavjerojatnost njihovog presjeka jednaka je umnoku vjerojatnosti.

%9,72729,0100

90%90

3

3

321 ==

=== ppppuk . Na taj iznos obraunat

emo jo i 5% manipulativne - dravne naknade i doi do procijenjenevrijednosti od 69,43% povrata.

Povrat je jo manji ukoliko se kladimo na 5 parova svega 56,24%.Velik je broj 'vikend-kladitelja' koji se samo subotom ili nedjeljom 'iz

hobija' klade na desetak parova; u sluaju s 10 parova procijenjeni povrat iznosi33,21%.

Da zakljuimo: prosjeni povrat novca uloenog u klaenje u sportskimkladionicama kree se od oko 33% u sluaju klaenja na desetak parova domaksimalno 90% kod klaenja na pojedinane parove. To predstavlja gubitak od10% do 67%. Ili jednostavnije reeno ako ete u klaenje tijekom godinu danauloiti 1000 kn, moete oekivati gubitak od 100 kn do 670 kn.

Osim dvije ve objanjene naknade postoji i trea naknada, koja se temeljina omjeru uplata na vjerojatniji i manje vjerojatan ishod. Objasnit emo je usljedeem primjeru.

PRIMJER 4

U teniskom meu najboljeg svjetskog igraa Rogera Federera i 66. nasvjetskoj ljestvici Marca Gicquela2procijenjena vjerojatnost pobjede Federera je88%, a Gicquela 12%. Idealni koeficijenti u tom sluaju bili bi 1,14 za pobjeduFederera, i 8,33 za pobjedu Gicquela. Zbog naknade kladionice obojici tenisaasu smanjeni koeficijenti, ali ne po jednakom pravilu. Naime, ako u meu postoje

izraziti favoriti kladitelji se mnogo vie klade na njegovu pobjedu nego to jestvarna vjerojatnost pobjede. Stoga omjer uplata ne odgovara omjeruvjerojatnosti pobjeda ve je realnija situacija prikazana u tablici:

Federer GicquelVjerojatnosti pobjeda 88% 12%Raspodjela uplata 97% 3%

To znai da se kladionicama isplati poigrati s koeficijentima i smanjitikoeficijent na pobjedu Federera i poveati koeficijent na pobjedu Gicquela.

Mogunosti takve manipulacije kladionice u Hrvatskoj rijee koriste zbog

velike konkurencije. U Hrvatskoj postoji 9 razliitih kladionica na tritu. U veinieuropskih drava dravne lutrije imaju monopol nad kladionicama pa su efektitree naknade mnogo vei.

Da bi ipak privukle potencijalne kladitelje kladionice svaki dan postavenekoliko ponuda u kojima ne zaraunavaju naknadu, tj. zbroj svih moguihishoda je priblino 100%. I u tom sluaju, zbog manipulativnih trokova od 5%,prosjeni kladitelj je na gubitku.

1

U kladionicama se naziva 'teoretski povrat novca' jer u praksi povrat novca ovisi i o strukturi uloga, ali uprosjeku iznosi oko 90%2ATP ljestvica 29.oujka 2010.


7/9


7

Do sada smo navodili primjere u kojima kladitelj prihvaa ponuenekoeficijente i u sluaju dobitka ostvaruje odreenu dobit. Pojedini kladitelji imajui drugaije pristupe. Dio njih eli igrati na unaprijed odreenu dobit. Jedan odtakvih pristupa objasnit emo u sljedeem primjeru.

PRIMJER 5:

Obradit emo primjer u kojem elimo zaraditi 10 kn. Princip je da ulaemou serijama poveavajui ulog sve dok ne dobijemo eljenih 10 kn.

Prvo emo obraditi primjer u sluaju da nema naknada, a potom ponuditi irjeenja s uraunatim naknadama.

Uloimo 10 kn na rezultat utakmice s koeficijentom 2. To je oklada s 50%vjerojatnosti pogotka, to znai da bi nam kladionica u sluaju pogotka isplatila20 kn (ulog 10 kn * koeficijent 2) i time bismo doli do zarade od 10 kn.

U sluaju pogrenog klaenja izgubili bismo uloenih 10 kn, pa bismonastavili klaenje s poveanim ulogom od 20 kn opet uz koeficijent 2.

U sluaju pogotka dobivamo 40 kn (20 uloenih i 20 dobiti), s tim to smou prvom klaenju iz serije izgubili 10 kn, pa imamo ukupnu dobit 10 kn. Ako opetpogrijeimo moramo udvostruiti ulog na 40 kn uz isti koeficijent 2, da bismo usluaju pogotka povratili prethodno pogreno uloenih 30 kn i ostvarili zaradu 10kn. Tako nastavljamo seriju udvostruujui ulog dok ne ostvarimo pogodak izaradu od eljenih 10 kn.

Kada je serija uspjeno zavrena uputamo se u novu seriju s poetnimulogom od 10 kn.

Kolike su stvarne vjerojatnosti dobitka?

Na prvi pogled moe se uiniti da uz koeficijent 2, odnosno vjerojatnostpogotka 50% vrlo lako moemo doi do sigurne zarade. No, je li to ba tako?

U sljedeoj tablici moemo vidjeti procjene uloga u jednoj seriji ivjerojatnosti pogotka.

redni broj klaenja ujednoj seriji ulog p (neuspjeha) E (oekivanje)1 10 50,00% 22 20 25,00% 43 40 12,50% 84 80 6,25% 16

5 160 3,13% 326 320 1,56% 647 640 0,78% 1288 1280 0,39% 2569 2560 0,20% 51210 5120 0,10% 1.024

Objasnit emo podatke u 3. stupcu vjerojatnosti neuspjeha u odreenombroju uzastopnih klaenja.

Ako je vjerojatnost uspjeha i neuspjeha u jednom klaenju podjednaka,

vjerojatnost neuspjeha u prvom klaenju iznosi 50%.


8/9


8

Prema izrazu za nezavisne dogaaje vjerojatnost da emo biti neuspjeni u

dva klaenja zaredom iznosi %25100

2525,0

100

50*

100

50%50*%50 =====p .

Analogno se dobiju i preostale vjerojatnosti u 3. stupcu.

Slijedi i objanjenje znaenja izraunatih oekivanja u 4. stupcu:Ako je vjerojatnost neuspjeha 50%, tada moemo oekivati da u svakoj

drugoj seriji neemo iz prvog pokuaja imati tonu prognozu, tj. 2%50

%100==E .

Budui da je vjerojatnost neuspjeha u dva uzastopna pokuaja 25%, slijedi

4%25

%100==E , tj. u svako etvrtoj seriji niti iz drugog pokuaja neemo ostvariti

tonu prognozu.U svako osmoj seriji niti iz treeg pokuaja neemo ostvariti tonu

prognozu...

Prosjeni igra u kladionici razmilja na sljedei nain: vjerojatnost da upogoditi barem iz 4. pokuaja zaista je velika, a netona prognoza 4 putazaredom je gotovo nikakva.

Matematiki proraun samo djelomino ide u prilog takvom razmiljanju:vjerojatnost etverostruke uzastopne pogrene procjene zaista je malena i iznosip=6,25%. Ali to znai, kako je prikazano u stupcu oekivanja, da u svako 16.seriji klaenja ipak neemo ostvariti dobitak niti iz 4. pokuaja. Stoga da bi seostvarila dobit od svega 10 kn sljedei ulog treba iznositi 160 kn. Budui da ulograste eksponencijalno ve je 7. ulog 640 kn, to je prilina svota novca koju biigra trebao uloiti da bi dobio samo 10 kn. Iako je vjerojatnost da e doi dopogotka u barem jednom od sedam pokuaja u seriji vrlo velika 99,22%, ipakostaje vjerojatnost od 0,78% za greku ili govorei u oekivanjima: U svako 128.seriji uplata moe se oekivati da niti iz 7 uzastopnih pokuaja kladei se navjerojatnost pogotka od 50% neemo postii uspjeh, pa bismo trebaliudvostruiti ulog na 1280 kn da bismo dobili svega 10 kn zarade. 1280 kn jeprosjena tjedna plaa u Hrvatskoj.

Zbog naknada koeficijent 2,00 je u kladionicama ponuen za dogaaj ijavjerojatnost ishoda iznosi oko 45%, to poveava vjerojatnosti neuspjenogklaenja i smanjuje vrijednosti stupca oekivanja.

redni broj klaenja

u jednoj seriji ulog p (neuspjeha) E (oekivanje)1 10 55,00% 1,822 20 30,25% 3,313 40 16,64% 6,014 80 9,15% 10,935 160 5,03% 19,876 320 2,77% 36,137 640 1,52% 65,688 1280 0,84% 119,439 2560 0,46% 217,1410 5120 0,25% 394,80


9/9


9

Kad usporedimo obje tablice uoavamo da su u kladionicama vjerojatnostineuspjenog klaenja vee, pa vjerojatnost 4 uzastopne pogrene okladeumjesto 6,25% iznosi 9,15%. Isto se dogaa i s brojem oekivanja. Moemooekivati da u svako dvadesetoj (19,87) seriji niti iz 5 pokuaja zaredom neemo

uspjeti ostvariti tonu prognozu.MATEMATIKO OBJANJENJE:

Na poetku rada naveli smo aksiome i njihove posljedice. Sad emo i izkuta vjerojatnosti objasniti na koji nain kladionice ostvaruju dobit.

Naime za izraun koeficijenta koristi se izraz( )%

%100

stvjerojatnotkoeficijen = . To znai

da vrijedi i izraztkoeficijen

stvjerojatno%100

(%)= . Ako analiziramo prvi primjer me

izmeu Marina ilia i Fernanda Gonzalesa iz postavljenih koeficijenata 1,85 zapobjedu jednog ili drugog igraa moemo izraunati vjerojatnosti:

%05,5485,1

%100(%) ==stvjerojatno .

Kladionice ostvaruju zaradu tako da zapravo ne potuju osnovna pravilavjerojatnosti. Kao posljedica aksioma P1: )(%100)( ApAp = slijedi

%100)()( =+ ApAp . Ako je dogaaj A pobjeda ilia, tada je dogaaj A suprotandogaaj, odnosno pobjeda Gonzalesa. Tada bi prema zakonima vjerojatnostizbroj tih dviju vjerojatnosti trebao biti 100%, a prema kladionicama iznosi108,10%, kao da se radi o meusobno nepovezanim dogaajima. Budui da

kladionice ne uvaavaju zakonitosti teorije vjerojatnosti moemo zakljuiti da sezapravo radi o 'kvazivjerojatnosti'.

LITERATURA

1. Papi, M., (2005.): Primijenjena statistika u MS Excelu, ZORO d.o.o., Zagreb2. oi, I., (2006.): Primijenjena statistika, kolska knjiga, Zagreb3. www.kockanje.info

AUTORI

Toni MilunKarmen Rivier

strucni rad sto o sportskom kladjenju kaze matematika

Documents