Jawaban UTS SI-4231 Metode Numerik

1. Diketahui 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3.5𝑥2 + 2𝑥 − 10 pada interval [2,4].

Turunan pertama dari fungsi f(x) di atas adalah sebagai berikut:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2

Untuk nilai duga awal yang telah ditentukan yakni sebesar x=2.9 maka penyelesaian

menggunakan metode Newton-Raphson dapat dicari sebagai berikut:

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)

Dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan ketentuan ketelitian sebesar 10^(-2),

maka akar dari persamaan f(x) di atas adalah x = 3.692

Penyelesaian persamaan di atas dengan menggunakan program komputer Fortran dapat

dicari dengan menginput program sebagai berikut:

! Program Penghitungan Akar2 Penyelesaian dgn Newton-Raphson Method

real x,fx,fa,tol

x=2.9

tol=0.01

do

fx=(x**3)-(3.5*x**2)+(2*x)-10

fa=(3*x**2)-(7*x)+2

if(fx<tol) then

exit

else

x=x-(fx/fa)

end if

print*, x

end do

print*, "Dengan Newton-Raphson, solusi persamaan adalah : ", x

end

x f(x) f'(x)

2.9 -9.246 6.93

4.234 11.6314 26.146

3.789 1.7332 18.552

3.696 0.0679 17.108

3.692 0.0001 17.048

3.692 3.71E-10 17.048

2. Diketahui data-data sebagai berikut:

Penurunan polinomial melalui metode interpolasi Lagrange yang melewati titik-titik data di

atas dapat dicari sebagai berikut:

Jawaban:

Rumus interpolasi Lagrange orde 3

𝑓3(𝑥) = ∑ 𝐿𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖)

3

𝑖=0

= 𝐿0(𝑥)𝑓(𝑥0) + 𝐿1(𝑥)𝑓(𝑥1) + 𝐿2(𝑥)𝑓(𝑥2) + 𝐿3(𝑥)𝑓(𝑥3)

𝐿0(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1

𝑥0 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥0 − 𝑥2) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥0 − 𝑥3)

𝐿1(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥1 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥1 − 𝑥3)

𝐿2(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥2 − 𝑥3)

𝐿3(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥3 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥1

𝑥3 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥3 − 𝑥2)

Maka

𝐿0(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1

𝑥0 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥0 − 𝑥2) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥0 − 𝑥3)

𝐿0(𝑥) = (𝑥 − 2

1 − 2) (

𝑥 − 3

1 − 3) (

𝑥 − 4

1 − 4)

𝐿0(𝑥) = (−1

6) ∗ (𝑥2 − 5𝑥 + 6) ∗ (𝑥 − 4)

𝐿0(𝑥) = (−1

6) ∗ (𝑥3 − 9 𝑥2 + 26𝑥 − 24)

𝐿1(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥1 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥1 − 𝑥2) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥1 − 𝑥3)

𝐿1(𝑥) = (𝑥 − 1

2 − 1) (

𝑥 − 3

2 − 3) (

𝑥 − 4

2 − 4)

𝐿1(𝑥) = (1

2) ∗ (𝑥2 − 4𝑥 + 3) ∗ (𝑥 − 4)

𝐿1(𝑥) = (1

2) ∗ (𝑥3 − 8𝑥2 + 19𝑥 − 12)

x y

1 1.00

2 5.66

3 15.59

4 32.00

𝐿2(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥3

𝑥2 − 𝑥3)

𝐿2(𝑥) = (𝑥 − 1

3 − 1) (

𝑥 − 2

3 − 2) (

𝑥 − 4

3 − 4)

𝐿2(𝑥) = (−1

2) ∗ (𝑥2 − 3𝑥 + 2) ∗ (𝑥 − 4)

𝐿2(𝑥) = (−1

2) ∗ (𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 8)

𝐿3(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0

𝑥3 − 𝑥0) (

𝑥 − 𝑥1

𝑥3 − 𝑥1) (

𝑥 − 𝑥2

𝑥3 − 𝑥2)

𝐿3(𝑥) = (𝑥 − 1

4 − 1) (

𝑥 − 2

4 − 2) (

𝑥 − 3

4 − 3)

𝐿3(𝑥) = (1

6) ∗ (𝑥2 − 3𝑥 + 2) ∗ (𝑥 − 3)

𝐿3(𝑥) = (1

6) ∗ (𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6)

𝑓3(𝑥) = 𝐿0(𝑥)𝑓(𝑥0) + 𝐿1(𝑥)𝑓(𝑥1) + 𝐿2(𝑥)𝑓(𝑥2) + 𝐿3(𝑥)𝑓(𝑥3)

𝑓3(𝑥) = (−1

6) ∗ (𝑥3 − 9 𝑥2 + 26𝑥 − 24) ∗ 𝑓(1) + (

1

2) ∗ (𝑥3 − 8𝑥2 + 19𝑥 − 12) ∗ 𝑓(2)

+ (−1

2) ∗ (𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 8) ∗ 𝑓(3) + (

1

6) ∗ (𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6)

∗ 𝑓(4)

𝑓3(𝑥) = (−1

6) ∗ (𝑥3 − 9 𝑥2 + 26𝑥 − 24) ∗ 1 + (

1

2) ∗ (𝑥3 − 8𝑥2 + 19𝑥 − 12) ∗ 5.66

+ (−1

2) ∗ (𝑥3 − 7𝑥2 + 14𝑥 − 8) ∗ 15.59 + (

1

6) ∗ (𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6)

∗ 32

𝑓3(𝑥) = (−1

6+

5.66

2−

15.59

2+

32

6) 𝑥3 + (

9

6−

8 ∗ 5.66

2+

7 ∗ 15.59

2−

6 ∗ 32

6) 𝑥2

+ (−26

6+

19 ∗ 5.66

2−

14 ∗ 15.59

2+

11 ∗ 32

6) 𝑥

+ (24

6−

12 ∗ 5.66

2+

8 ∗ 15.59

2−

6 ∗ 32

6)

𝑓3(𝑥) = 0.20167𝑥3 + 1.425𝑥2 − 1.0267𝑥 + 0.4

𝑓3(3.5) = 0.20167(3.5)3 + 1.425(3.5)2 − 1.0267(3.5) + 0.4

𝒇𝟑(𝟑. 𝟓) = 𝟐𝟐. 𝟗𝟎𝟗𝟒

3. Diketahui data sebagai berikut nilai y untuk setiap x dimana fungsi didefinisikan sebagai y =

cos(x)

Dimana nilai ℎ = 5𝜋

180

Turunan pertama dari fungsi y = cos(x) adalah :

𝑦′ = −sin(𝑥)

𝑦′0 = − sin(10𝑜) = −0,1736

Untuk 2 titik

𝑦′0

=1

ℎ(−𝑤0 + 𝑤1)

𝑦′0

= (180

5𝜋) ∗ (−0,9848 + 0,9659)

𝑦′0

= −0,2166

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,2166 + 0,1736

−0,1736| ∗ 100% = 24,72%

Untuk 3 titik

𝑦′0

=1

2ℎ(−3𝑤0 + 4𝑤1 − 𝑤2)

𝑦′0

=180

10𝜋∗ ((−3 ∗ 0,9848) + (4 ∗ 0,9659) − 0,9397)

𝑦′0

= −0,1748

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,1748 + 0,1736

−0,1736| ∗ 100% = 0,64%

Untuk 4 titik

𝑦′0

=1

6ℎ(−11𝑤0 + 18𝑤1 − 9𝑤2 + 2𝑤3)

𝑦′0

=180

30𝜋∗ ((−11 ∗ 0,9848) + (18 ∗ 0,9659) − (9 ∗ 0,9397) + (2 ∗ 0,9063))

𝑦′0

= −0,1744

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,1744 + 0,1736

−0,1736| ∗ 100% = 0,42%

x (dlm derajat) y

10 0.9848

15 0.9659

20 0.9397

25 0.9063

30 0.8660

Untuk 5 titik

𝑦′0

=1

12ℎ(−25𝑤0 + 48𝑤1 − 36𝑤2 + 16𝑤3 − 3𝑤4)

𝑦′0

=180

60𝜋((−25 ∗ 0,9848) + (48 ∗ 0,9659) − (36 ∗ 0,9397) + (16 ∗ 0,9063)

− (3 ∗ 0,866))

𝑦′0

= −0,1749

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,1749 + 0,1736

−0,1736| ∗ 100% = 0,75%

Turunan kedua untuk fungsi y di atas:

𝑦" = − cos( 𝑥)

𝑦"0 = − cos(10𝑜) = −0,9848

Untuk 3 titik

𝑦"0 =1

ℎ2(𝑤0 − 2𝑤1 + 𝑤2)

𝑦"0 = (180

5𝜋)

2

∗ (0,9848 − (2 ∗ 0,9659) + 0,9397)

𝑦"0 = −0,9586

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,9848 + 0,9586

−0,9848| ∗ 100% = 2,66%

Untuk 4 titik

𝑦"0 =1

ℎ2(2𝑤0 − 5𝑤1 + 4𝑤2 − 𝑤3)

𝑦"0 = (180

5𝜋)

2

∗ ((2 ∗ 0,9848) − (5 ∗ 0,9659) + (4 ∗ 0,9397) − 0,9063)

𝑦"0 = −0,9717

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,9848 + 0,9717

−0,9848| ∗ 100% = 1,33%

Untuk 5 titik

𝑦"0 =1

12ℎ2(35𝑤0−104𝑤1 + 114𝑤2 − 56𝑤3 + 11𝑤4)

𝑦"0 =1

12(

180

5𝜋)

2

[(35 ∗ 0,9848) − (104 ∗ 0,9659) + (114 ∗ 0,9397) − (56 ∗ 0,9063)

+ (11 ∗ 0,866)]

𝑦"0 = −0,9476

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0,9848 + 0,9476

−0,9848| ∗ 100% = 3,77%

4. Diberikan integrasi suatu fungsi adalah sebagai berikut:

I = ∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx

Hasil integrasi secara eksak dapat dihitung sebagai berikut:

I = ∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx

I = [1

4x4 − x3 + 2x]

I = [1

4∗ 34 − 33 + 2 ∗ 3]

I = −0.75

a. Dengan menggunakan metoda Simpson 1/3 untuk 4 pias hasil integrasi di atas dapat

dituliskan sebagai berikut:

Secara rumus, metoda Simpson 1/3 untuk 4 pias dapat dituliskan

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = ℎ

3∗ [1 ∗ 𝑓(𝑥0) + 4 ∗ 𝑓(𝑥1) + 2 ∗ 𝑓(𝑥2) + 4 ∗ 𝑓(𝑥3) + 1 ∗ 𝑓(𝑥4)]

Dimana nilai ℎ = 𝑏−𝑎

4= 0.75

Sehingga perhitungan dapat ditampilkan dalam tabulasi berikut:

∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx = ℎ

3∗ [1 ∗ 𝑓(𝑥0) + 4 ∗ 𝑓(𝑥1) + 2 ∗ 𝑓(𝑥2) + 4 ∗ 𝑓(𝑥3) + 1 ∗ 𝑓(𝑥4)]

∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx =0.75

3∗ (−3)

Simpson 1/3 (4 pias)

i x f(x) c c*f(x)

0 0 2 1 2

1 0.75 0.734375 4 2.9375

2 1.5 -1.375 2 -2.75

3 2.25 -1.796875 4 -7.1875

4 3 2 1 2

Total = -3

∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx = −0.75

Perbandingan error dengan metoda integrasi secara eksak:

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0.75 + 0.75

−0.75| ∗ 100% = 0%

b. Dengan menggunakan metoda Gauss 4 titik hasil integrasi di atas dapat dituliskan

sebagai berikut:

Transformasi batas integral

∫ f(x)b

a

dx = ∫ f(𝑥𝑖)1

−1

dx𝑖

Misalkan :

𝑥 = 𝑚𝑥𝑖 + 𝑐

Dimana nilai

Xi = -1 saat x=a

Xi = 1 saat x=b

Sehingga:

a = -m + c

b = m + c

a+b = 2c

𝑐 = 𝑎 + 𝑏

2

Substitusikan nilai c di atas ke dalam:

𝑏 = 𝑚 + 𝑐

𝑏 = 𝑚 + 𝑎 + 𝑏

2

𝑚 =𝑏 − 𝑎

2

Maka

𝑥 = 𝑚𝑥𝑖 + 𝑐

𝑥 = (𝑏 − 𝑎

2) 𝑥𝑖 + (

𝑎 + 𝑏

2)

+

𝑥 = (3 − 0

2) 𝑥𝑖 + (

0 + 3

2)

𝑥 = 1.5𝑥𝑖 + 1.5

𝑑𝑥 = 1.5𝑑𝑥𝑖

Sehingga integral di atas dapat ditransformasikan sebagai berikut:

∫ f(x)b

a

dx = ∫ f(𝑥𝑖)1

−1

dx𝑖

∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx = ∫ f(𝑥𝑖)1

−1

dx𝑖

∫ (x3 − 3x2 + 2)3

0

dx = ∫ ((1.5𝑥𝑖 + 1.5)3 − 3(1.5𝑥𝑖 + 1.5)2 + 2)1

−1

1.5dx𝑖

𝐼 = 𝑐1 ∗ 𝑓(𝑥1) + 𝑐2 ∗ 𝑓(𝑥2)+. . . +𝑐𝑛 ∗ 𝑓(𝑥𝑛)

Dari rumus I di atas hasil perhitungan dapat ditampilkan dalam bentuk tabel berikut ini:

I = -0.75

Perbandingan error dengan metoda integrasi secara eksak:

𝑃𝑒𝑟𝑏𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |−0.75 + 0.75

−0.75| ∗ 100% = 0%

Gauss 4 Titik

Titik ke- Koefisien c xi f(xi) c*f(xi)

1 0.347854845 -0.861136312 2.818314 0.980364

2 0.652145155 -0.339981044 0.044871 0.029262

3 0.652145155 0.339981044 -2.99955 -1.95614

4 0.347854845 0.861136312 0.564938 0.196516

Total = -0.75