Download - Solusi UTS Metode Numerik 2013
Jawaban UTS SI-4231 Metode Numerik
1. Diketahui π(π₯) = π₯3 β 3.5π₯2 + 2π₯ β 10 pada interval [2,4].
Turunan pertama dari fungsi f(x) di atas adalah sebagai berikut:
πβ²(π₯) = 3π₯2 β 7π₯ + 2
Untuk nilai duga awal yang telah ditentukan yakni sebesar x=2.9 maka penyelesaian
menggunakan metode Newton-Raphson dapat dicari sebagai berikut:
π₯π+1 = π₯π βπ(π₯π)
πβ²(π₯π)
Dengan menggunakan metode Newton-Raphson dan ketentuan ketelitian sebesar 10^(-2),
maka akar dari persamaan f(x) di atas adalah x = 3.692
Penyelesaian persamaan di atas dengan menggunakan program komputer Fortran dapat
dicari dengan menginput program sebagai berikut:
! Program Penghitungan Akar2 Penyelesaian dgn Newton-Raphson Method
real x,fx,fa,tol
x=2.9
tol=0.01
do
fx=(x**3)-(3.5*x**2)+(2*x)-10
fa=(3*x**2)-(7*x)+2
if(fx<tol) then
exit
else
x=x-(fx/fa)
end if
print*, x
end do
print*, "Dengan Newton-Raphson, solusi persamaan adalah : ", x
end
x f(x) f'(x)
2.9 -9.246 6.93
4.234 11.6314 26.146
3.789 1.7332 18.552
3.696 0.0679 17.108
3.692 0.0001 17.048
3.692 3.71E-10 17.048
2. Diketahui data-data sebagai berikut:
Penurunan polinomial melalui metode interpolasi Lagrange yang melewati titik-titik data di
atas dapat dicari sebagai berikut:
Jawaban:
Rumus interpolasi Lagrange orde 3
π3(π₯) = β πΏπ(π₯)π(π₯π)
3
π=0
= πΏ0(π₯)π(π₯0) + πΏ1(π₯)π(π₯1) + πΏ2(π₯)π(π₯2) + πΏ3(π₯)π(π₯3)
πΏ0(π₯) = (π₯ β π₯1
π₯0 β π₯1) (
π₯ β π₯2
π₯0 β π₯2) (
π₯ β π₯3
π₯0 β π₯3)
πΏ1(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯1 β π₯0) (
π₯ β π₯2
π₯1 β π₯2) (
π₯ β π₯3
π₯1 β π₯3)
πΏ2(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯2 β π₯0) (
π₯ β π₯1
π₯2 β π₯1) (
π₯ β π₯3
π₯2 β π₯3)
πΏ3(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯3 β π₯0) (
π₯ β π₯1
π₯3 β π₯1) (
π₯ β π₯2
π₯3 β π₯2)
Maka
πΏ0(π₯) = (π₯ β π₯1
π₯0 β π₯1) (
π₯ β π₯2
π₯0 β π₯2) (
π₯ β π₯3
π₯0 β π₯3)
πΏ0(π₯) = (π₯ β 2
1 β 2) (
π₯ β 3
1 β 3) (
π₯ β 4
1 β 4)
πΏ0(π₯) = (β1
6) β (π₯2 β 5π₯ + 6) β (π₯ β 4)
πΏ0(π₯) = (β1
6) β (π₯3 β 9 π₯2 + 26π₯ β 24)
πΏ1(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯1 β π₯0) (
π₯ β π₯2
π₯1 β π₯2) (
π₯ β π₯3
π₯1 β π₯3)
πΏ1(π₯) = (π₯ β 1
2 β 1) (
π₯ β 3
2 β 3) (
π₯ β 4
2 β 4)
πΏ1(π₯) = (1
2) β (π₯2 β 4π₯ + 3) β (π₯ β 4)
πΏ1(π₯) = (1
2) β (π₯3 β 8π₯2 + 19π₯ β 12)
x y
1 1.00
2 5.66
3 15.59
4 32.00
πΏ2(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯2 β π₯0) (
π₯ β π₯1
π₯2 β π₯1) (
π₯ β π₯3
π₯2 β π₯3)
πΏ2(π₯) = (π₯ β 1
3 β 1) (
π₯ β 2
3 β 2) (
π₯ β 4
3 β 4)
πΏ2(π₯) = (β1
2) β (π₯2 β 3π₯ + 2) β (π₯ β 4)
πΏ2(π₯) = (β1
2) β (π₯3 β 7π₯2 + 14π₯ β 8)
πΏ3(π₯) = (π₯ β π₯0
π₯3 β π₯0) (
π₯ β π₯1
π₯3 β π₯1) (
π₯ β π₯2
π₯3 β π₯2)
πΏ3(π₯) = (π₯ β 1
4 β 1) (
π₯ β 2
4 β 2) (
π₯ β 3
4 β 3)
πΏ3(π₯) = (1
6) β (π₯2 β 3π₯ + 2) β (π₯ β 3)
πΏ3(π₯) = (1
6) β (π₯3 β 6π₯2 + 11π₯ β 6)
π3(π₯) = πΏ0(π₯)π(π₯0) + πΏ1(π₯)π(π₯1) + πΏ2(π₯)π(π₯2) + πΏ3(π₯)π(π₯3)
π3(π₯) = (β1
6) β (π₯3 β 9 π₯2 + 26π₯ β 24) β π(1) + (
1
2) β (π₯3 β 8π₯2 + 19π₯ β 12) β π(2)
+ (β1
2) β (π₯3 β 7π₯2 + 14π₯ β 8) β π(3) + (
1
6) β (π₯3 β 6π₯2 + 11π₯ β 6)
β π(4)
π3(π₯) = (β1
6) β (π₯3 β 9 π₯2 + 26π₯ β 24) β 1 + (
1
2) β (π₯3 β 8π₯2 + 19π₯ β 12) β 5.66
+ (β1
2) β (π₯3 β 7π₯2 + 14π₯ β 8) β 15.59 + (
1
6) β (π₯3 β 6π₯2 + 11π₯ β 6)
β 32
π3(π₯) = (β1
6+
5.66
2β
15.59
2+
32
6) π₯3 + (
9
6β
8 β 5.66
2+
7 β 15.59
2β
6 β 32
6) π₯2
+ (β26
6+
19 β 5.66
2β
14 β 15.59
2+
11 β 32
6) π₯
+ (24
6β
12 β 5.66
2+
8 β 15.59
2β
6 β 32
6)
π3(π₯) = 0.20167π₯3 + 1.425π₯2 β 1.0267π₯ + 0.4
π3(3.5) = 0.20167(3.5)3 + 1.425(3.5)2 β 1.0267(3.5) + 0.4
ππ(π. π) = ππ. ππππ
3. Diketahui data sebagai berikut nilai y untuk setiap x dimana fungsi didefinisikan sebagai y =
cos(x)
Dimana nilai β = 5π
180
Turunan pertama dari fungsi y = cos(x) adalah :
π¦β² = βsin(π₯)
π¦β²0 = β sin(10π) = β0,1736
Untuk 2 titik
π¦β²0
=1
β(βπ€0 + π€1)
π¦β²0
= (180
5π) β (β0,9848 + 0,9659)
π¦β²0
= β0,2166
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,2166 + 0,1736
β0,1736| β 100% = 24,72%
Untuk 3 titik
π¦β²0
=1
2β(β3π€0 + 4π€1 β π€2)
π¦β²0
=180
10πβ ((β3 β 0,9848) + (4 β 0,9659) β 0,9397)
π¦β²0
= β0,1748
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,1748 + 0,1736
β0,1736| β 100% = 0,64%
Untuk 4 titik
π¦β²0
=1
6β(β11π€0 + 18π€1 β 9π€2 + 2π€3)
π¦β²0
=180
30πβ ((β11 β 0,9848) + (18 β 0,9659) β (9 β 0,9397) + (2 β 0,9063))
π¦β²0
= β0,1744
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,1744 + 0,1736
β0,1736| β 100% = 0,42%
x (dlm derajat) y
10 0.9848
15 0.9659
20 0.9397
25 0.9063
30 0.8660
Untuk 5 titik
π¦β²0
=1
12β(β25π€0 + 48π€1 β 36π€2 + 16π€3 β 3π€4)
π¦β²0
=180
60π((β25 β 0,9848) + (48 β 0,9659) β (36 β 0,9397) + (16 β 0,9063)
β (3 β 0,866))
π¦β²0
= β0,1749
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,1749 + 0,1736
β0,1736| β 100% = 0,75%
Turunan kedua untuk fungsi y di atas:
π¦" = β cos( π₯)
π¦"0 = β cos(10π) = β0,9848
Untuk 3 titik
π¦"0 =1
β2(π€0 β 2π€1 + π€2)
π¦"0 = (180
5π)
2
β (0,9848 β (2 β 0,9659) + 0,9397)
π¦"0 = β0,9586
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,9848 + 0,9586
β0,9848| β 100% = 2,66%
Untuk 4 titik
π¦"0 =1
β2(2π€0 β 5π€1 + 4π€2 β π€3)
π¦"0 = (180
5π)
2
β ((2 β 0,9848) β (5 β 0,9659) + (4 β 0,9397) β 0,9063)
π¦"0 = β0,9717
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,9848 + 0,9717
β0,9848| β 100% = 1,33%
Untuk 5 titik
π¦"0 =1
12β2(35π€0β104π€1 + 114π€2 β 56π€3 + 11π€4)
π¦"0 =1
12(
180
5π)
2
[(35 β 0,9848) β (104 β 0,9659) + (114 β 0,9397) β (56 β 0,9063)
+ (11 β 0,866)]
π¦"0 = β0,9476
ππππππππππππ πΈππππ = |β0,9848 + 0,9476
β0,9848| β 100% = 3,77%
4. Diberikan integrasi suatu fungsi adalah sebagai berikut:
I = β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx
Hasil integrasi secara eksak dapat dihitung sebagai berikut:
I = β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx
I = [1
4x4 β x3 + 2x]
I = [1
4β 34 β 33 + 2 β 3]
I = β0.75
a. Dengan menggunakan metoda Simpson 1/3 untuk 4 pias hasil integrasi di atas dapat
dituliskan sebagai berikut:
Secara rumus, metoda Simpson 1/3 untuk 4 pias dapat dituliskan
β« π(π₯)π
π
ππ₯ = β
3β [1 β π(π₯0) + 4 β π(π₯1) + 2 β π(π₯2) + 4 β π(π₯3) + 1 β π(π₯4)]
Dimana nilai β = πβπ
4= 0.75
Sehingga perhitungan dapat ditampilkan dalam tabulasi berikut:
β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx = β
3β [1 β π(π₯0) + 4 β π(π₯1) + 2 β π(π₯2) + 4 β π(π₯3) + 1 β π(π₯4)]
β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx =0.75
3β (β3)
Simpson 1/3 (4 pias)
i x f(x) c c*f(x)
0 0 2 1 2
1 0.75 0.734375 4 2.9375
2 1.5 -1.375 2 -2.75
3 2.25 -1.796875 4 -7.1875
4 3 2 1 2
Total = -3
β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx = β0.75
Perbandingan error dengan metoda integrasi secara eksak:
ππππππππππππ πΈππππ = |β0.75 + 0.75
β0.75| β 100% = 0%
b. Dengan menggunakan metoda Gauss 4 titik hasil integrasi di atas dapat dituliskan
sebagai berikut:
Transformasi batas integral
β« f(x)b
a
dx = β« f(π₯π)1
β1
dxπ
Misalkan :
π₯ = ππ₯π + π
Dimana nilai
Xi = -1 saat x=a
Xi = 1 saat x=b
Sehingga:
a = -m + c
b = m + c
a+b = 2c
π = π + π
2
Substitusikan nilai c di atas ke dalam:
π = π + π
π = π + π + π
2
π =π β π
2
Maka
π₯ = ππ₯π + π
π₯ = (π β π
2) π₯π + (
π + π
2)
+
π₯ = (3 β 0
2) π₯π + (
0 + 3
2)
π₯ = 1.5π₯π + 1.5
ππ₯ = 1.5ππ₯π
Sehingga integral di atas dapat ditransformasikan sebagai berikut:
β« f(x)b
a
dx = β« f(π₯π)1
β1
dxπ
β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx = β« f(π₯π)1
β1
dxπ
β« (x3 β 3x2 + 2)3
0
dx = β« ((1.5π₯π + 1.5)3 β 3(1.5π₯π + 1.5)2 + 2)1
β1
1.5dxπ
πΌ = π1 β π(π₯1) + π2 β π(π₯2)+. . . +ππ β π(π₯π)
Dari rumus I di atas hasil perhitungan dapat ditampilkan dalam bentuk tabel berikut ini:
I = -0.75
Perbandingan error dengan metoda integrasi secara eksak:
ππππππππππππ πΈππππ = |β0.75 + 0.75
β0.75| β 100% = 0%
Gauss 4 Titik
Titik ke- Koefisien c xi f(xi) c*f(xi)
1 0.347854845 -0.861136312 2.818314 0.980364
2 0.652145155 -0.339981044 0.044871 0.029262
3 0.652145155 0.339981044 -2.99955 -1.95614
4 0.347854845 0.861136312 0.564938 0.196516
Total = -0.75