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Ana M. Abreu - 2006/07

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Estatística


Slide 1Capítulo 1

Estatística Descritiva

I-1 Introdução à organização e ao processamento de dados.

I-2 Amostra e população; cuidados a ter narecolha da amostra.

I-3 Ordenação dos dados. Agrupamento dos dados. Tabela de frequências.

I-4 Medidas de localização e de dispersão.

I-5 Representação gráfica dos dados: gráfico de barras, gráfico de caule-e-folhas, caixa-de-bigodes, histograma.


Slide 2Introdução

Um objectivo comum dos inquéritos e de outros processos de obtenção de dados é a recolha de informação de uma parte de um grupo, de modo a aprender algo sobre esse mesmo grupo. Por exemplo, podemos perguntar a 10% dos alunos da UMa qual a sua nota de entrada na Universidade e assim ter alguma informação sobre a totalidade dos alunos da UMa.


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v Dados estatísticossão observações (como medidas, respostas de inquéritos,

registos de idade, sexo, naturalidade, ...) que foram recolhidas.

v Estatísticaa informação estatística é constituída por dados, os quais

são organizados, sumariados, apresentados, analizados, interpretados de modo a retirar conclusões baseadas nos dados.

Definições


Slide 4Definiçõesv Populaçãoa colecção completa de todos os elementos (pessoas, animais, medidas, ...) a serem estudados. A colecção é completa no sentido de incluir todos os indivíduos a serem estudados.

v AmostraUm subconjunto da população escolhido correctamente, de modo a poder ser considerado como representativo da população.


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v Parâmetrouma medida numérica que descreve

alguma característica de uma população.

população

parâmetro

Definições


Slide 6Definições

v Estatísticauma medida numérica que descreve

alguma característica de uma amostra.

amostra

estatística


Slide 7Definições

v Dados quantitativos

números que representam contagens ou medidas.

Exemplo: número de palavras por frase.


Slide 8Definições

v Dados qualitativos

(ou categorizados ou atributos)

podem ser separados em diferentes categorias, que se distinguem por alguma característica não numérica.

Exemplos: sexo dos clientes de um hotel, nacionalidade dos clientes de um hotel.


Slide 9DefiniçõesOs dados quantitativos podem ser de tipo discreto ou contínuo.

v Dados discretossurgem quando o número de valores possíveis é finito ou contável.

0, 1, 2, 3, . . .

Exemplo: número de palavras por frase.


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v Dados contínuos(ou numéricos) surgem quando o número de valores

possíveis é infinito e corresponde a alguma escala contínua que contempla uma amplitude de valores sem interrupções ou saltos.

Definições

1,5 2,1

Exemplo: As alturas dos alunos da UMa.


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v escala nominalcaracterizada por dados tais como nomes,

etiquetas ou categorias. Os dados não têm

qualquer relação de ordem (do mais pequeno

para o maior).

Exemplo: inquéritos cujas respostas são sim,

não, sem opinião.

DefiniçõesOutra forma de classificar os dados consiste em usar escalas.


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v escala ordinalenvolve dados que podem ser ordenados, mas

as diferenças entre eles ou não podem ser

calculadas ou não fazem sentido.

Exemplo: O nível de escolaridade.

Definições


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v escala intervalarcomo a escala ordinal, mas onde é possível calcular

diferenças. No entanto, não existe um zero natural (que

pudesse corresponder a ausência da característica).

Exemplo: As temperaturas em graus Celsius e em graus

Fahrenheit (ºF=ºC(9/5)+32).

Definições


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v escala absoluta ou de razõeso zero da escala corresponde à anulação da

característica em estudo. São possíveis

comparações quer através de diferenças quer

através de quocientes.

Exemplo: Preço das propinas (0€ representa

ausência de custo).

Definições


Slide 15Resumo -Escalas para os dados

v Nominal - só categorias.

v Ordinal - categorias com alguma ordem.

v Intervalar - diferenças possíveis mas sem zero natural.

v Absoluta ou de razões - diferenças possíveis e com zero natural.


Slide 16Recapitulando

Até agora vimos:

v Definições e termos básicos para descrever

os dados

v Parâmetros versus estatísticas

v Tipos de dados (quantitativos e qualitativos)

v Escalas de medidas


Slide 17Cuidados a ter narecolha da amostra


Slide 18Pontos fundamentais

v Se uma amostra não é recolhida de forma apropriada, os dados podem ser tão inúteis, tal que, qualquer que seja a tortura a que sejam submetidos, não confessam seja o que for.

v Tipicamente a aleatoriedade tem um papel importante na recolha de dados.


Slide 19Pontos fundamentais

v Dimensão da amostrausar uma amostra com dimensão

suficiente para conseguir captar as características dos dados e recolhida de forma apropriada, tal como baseada na aleatoriedade.


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v Amostra Aleatóriaos membros da população são seleccionados de tal forma que cada membro

tem igual possibilidade de ser escolhido.

Definições

v Amostra Aleatória Simples (de

dimensão n)

os indivíduos são seleccionados de tal forma

que cada possível amostra de dimensão n tem a mesma possibilidade de ser escolhida.


Slide 21Amostra AleatóriaSelecção tal que cada um tem igual possibilidade

de ser escolhido.


Slide 22Amostragem SistemáticaSeleccionar a partir de um ponto inicial e depois

seleccionar a cada K elemento na população.


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Amostragem por conveniênciaUsar os resultados que são fáceis de obter.


Slide 24Amostragem Estratificadasubdividir a população em, pelo menos, dois

subgrupos distintos que partilham alguma característica e, em seguida, recolher uma amostra

de cada um dos subgrupos (ou estratos).


Slide 25Amostragem por Clustersdividir a população em secções

(ou clusters); seleccionar aleatoriamente alguns desses clusters; escolher todos os membros dos

clusters seleccionados.


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v Aleatória

v Sistemática

v Por conveniência

v Estratificada

v Por clusters

Métodos de Amostragem


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v Estatística Descritiva

resume ou descreve as características importantes de um conjunto conhecido de dados populacionais.

v Estatística Inferencial

usa dados amostrais para fazer inferências (ou generalizações) sobre uma população.

Generalidades


Slide 28Características importantes dos dados

1. Localização: Um valor representativo ou médio indica onde se situa o centro dos dados.

2. Variação: Uma medida do quanto os valores da amostra variam entre si.

3. Distribuição: A natureza ou a forma de distribuição dos dados (tal como em forma de sino, uniforme ou assimétrica).

4. Outliers: Valores amostrais que se situam muito afastados da maioria dos restantes valores amostrais.

5. Tempo: Algumas características podem se alterar ao longo do tempo.


Slide 29Distribuição de Frequência

v Distribuição de Frequência

lista dos valores das observações (ou

individuais ou por grupos de intervalos), juntamente com as correspondentes

frequências ou contagens.


Slide 30Distribuição de Frequência


Slide 31Ponto Médio de uma Classe

O ponto médio de uma classe determina-se adicionando os limites da classe (inferior e superior) e dividindo por dois.

PontosMédios

49.5

149.5

249.5

349.5

449.5


Slide 32Amplitude da Classeé a diferença entre dois limites superiores consecutivos ou dois limites inferiores consecutivos.

Amplitude da Classe

100

100

100

100

100


Slide 33

Razões para construir distribuições de frequência

1. Conjuntos de dados grandes podem ser resumidos.

2. Pode-se ganhar alguma perspectiva sobre a natureza dos dados.

3. Base para a construção de gráficos.


Slide 34

Como construir uma tabela de frequências

3. Escolher o limite inferior da primeira classe.4. Usar o limite inferior da primeira classe e a amplitude de classe para listar, numa coluna vertical, todos os limites inferiores.5. Em seguida, listar os correspondentes limites superiores.6. Percorrer os dados, assinalando com um traço vertical a classe onde se encontra cada dado.

1. Decidir o número de classes (habitualmente entre 5 e 20).

Regra de Sturges: k=nº de classes ≈≈≈≈ 1+[log2n]2. Calcular (aproximando por excesso) a

amplitude da classe ≈≈≈≈ (maior valor) – (menor valor)

número de classes


Slide 35Frequência Relativa

Frequência relativa =frequência da classe

soma de todas as frequências

11/40 = 28%

12/40 = 30%

etc.Frequência total = 40


Slide 36Frequência acumulada

Frequênciasacumuladas


Slide 37Recapitulando

Acabamos de ver

v Características importantes dos dados.

v Distribuições de frequências.

v Procedimentos para construir as distribuições de frequência.

v Frequências relativas.

v Frequências acumuladas.


Slide 38

Medidas de localização e de dispersão


Slide 39Notação

ΣΣΣΣ denota a soma de um conjunto de valores.

x é a variável usada habitualmente para representar os valores individuais.

n representa o número de valores na amostra, ou seja, a dimensão da amostra.

N representa o número de valores na população.


Slide 40Notação

µ pronuncia-se ‘mu’ e denota a média de todos os valores da população.

x =n

ΣΣΣΣ x

pronuncia-se ‘x-barra’ e denota a média dos valores da amostra.

x

Nµ =

ΣΣΣΣ x


Slide 41Definiçõesv Mediana

o valor central quando os dados estão ordenados.

❖ Se a dimensão da amostra é ímpar, a mediana corresponde ao valor que está no centro da amostra.

❖ Se a dimensão da amostra é par, a mediana corresponde à média dos dois valores que estão no centro da amostra.


Slide 42

5.40 1.10 0.42 0.48 1.10 0.66

0.42 0.48 0.66 0.73 1.10 1.10 5.40

(amostra de dimensão ímpar - valor exacto)

MEDIANA é 0.73

5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10

0.42 0.48 0.73 1.10 1.10 5.40

0.73 + 1.10

2

(amostra de dimensão par – os dois valores centrais são distintos)

MEDIANA é 0.915


Slide 43Definiçõesv Moda

o valor que ocorre com maior frequência.

A moda nem sempre é única. Um conjunto de dados pode ser:

BimodalMultimodal

Não ter Moda

v é a única medida de localização que pode ser usada para os dados em escala nominal.


Slide 44Exemplos

a. 5.40 1.10 0.42 0.73 0.48 1.10

b. 27 27 27 55 55 55 88 88 99

c. 1 2 3 6 7 8 9 10

ï Moda é 1.10

ï Bimodal - 27 e 55

ï Não existe Moda


Slide 45Média para dados agrupados

Assuma que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto médio da classe.

x = ponto médio

f = frequência

Σ Σ Σ Σ f = n

x = f

ΣΣΣΣ (f • x)

ΣΣΣΣ


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PontosMédios

49.5

149.5

249.5

349.5

449.5

x =11111111x49.5+12121212x149.5+14141414x249.5 +1111x349.5+2+2+2+2x449.5

40

= 177


Slide 47Definiçõesv Simetria

As observações distribuem-se de forma simétrica quando a metade esquerda do histograma correspondente ésensivelmente um espelho da metade direita.

v AssimetriaAs observações distribuem-se de

forma assimétrica se se prolongam mais para um dos lados do que para o outro.


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Slide 49Definições

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o valor mais elevado e o valor mais pequeno.

valormais

elevado

valormais

pequeno-



O desvio padrão de uma amostra éuma medida da variação dos valores em torno da média.

ΣΣΣΣ (x - x)2

n - 1S =


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• Uma forma mais simples do desvio padrão amostral, para efeitos de cálculo, é a que se segue:

n (n - 1)s =

n (ΣΣΣΣx2) - (ΣΣΣΣx)2


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Desvio padrão amostral -algumas características

v O desvio padrão é uma medida de variação de todos os valores da amostra em torno da média.

v O valor do desvio padrão, s, é positivo.

v O valor do desvio padrão, s, pode aumentar dramaticamente com a inclusão de um ou mais outliers na amostra.

v As unidades do desvio padrão, s, são as mesmas dos elementos da amostra.


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Desvio padrãopopulacional

2ΣΣΣΣ (x - µ)

Nσσσσ =

Esta fórmula é semelhante à anterior, mas neste caso é usada a média populacional e a dimensão da população.



v Variância populacional ( ): quadrado do desvio padrão populacional .σ

v A variância é uma medida de variação de um conjunto de valores e é igual ao quadrado do desvio padrão.

v Variância amostral (s2): quadrado do desvio padrão amostral s.

2


Slide 55Variância - Notação

quadrado do desvio padrão

s

σ σ σ σ

2

2

}Notação

Variância amostral

Variância populacional



O coeficiente de variação (ou CV) de uma amostra, expresso em percentagem, descreve o desvio padrão relativamente à média. É uma medida sem unidades.

•100%s

xCV =

σµ

•100%CV =

PopulaçãoAmostra


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Desvio padrão para dados agrupados

Usar os pontos médios de cada classe

n (n - 1)S =

n [ΣΣΣΣ(f • x 2)] - [ΣΣΣΣ(f • x)]2



v Q1 (1º Quartil) separa os primeiros 25% da amostra ordenada dos restantes 75%.

v Q2 (2º Quartil) o mesmo do que a mediana; separa os primeiros 50% da amostra ordenada dos restantes 50%.

v Q3 (3º Quartil) separa os primeiros 75% da amostra ordenada dos restantes 25%.


Slide 59Quartis

Q1, Q2, Q3dividem os valores ordenados em 4 partes iguais

25% 25% 25% 25%

Q3Q2Q1(mínimo) (máximo)

(mediana)


Slide 60Percentis

Assim como os quartis dividem os dados em 4 partes iguais, existem 99 percentis denotados P1, P2, . . . P99, os quais particionam os dados em 100 grupos.

Percentil do valor x = • 100nº de valores menores que x

nº total de valores


Slide 61Representação

gráfica dos dados


Slide 62Histograma

Um gráfico com barras, em que o eixo horizontal representa as classes dos valores da amostra e o eixo vertical a correspondente frequência.


Slide 63

Histograma com as frequências relativas

Tem a mesma forma e escala horizontal que o anterior, mas no eixo vertical estão indicadas as frequências relativas.


Slide 64Polígono de frequências

Usa segmentos de recta para ligar os pontos médios das classes.


Slide 65Ogiva

Semelhante ao anterior mas com as frequênciasacumuladas


Slide 66Gráfico de barrasForma de representação gráfica para dados

qualitativos


Slide 67Gráfico de dispersão

Representação de pares de dados (x,y), onde no eixo horizontal marcam-se os valores de x e no eixo vertical os valores de y


Slide 68Gráfico de caule-e-folhas

Representa os dados, separando cada valor em duas partes: o caule (valor à esquerda do traço vertical) e a folha (algarismo à direita do traço vertical)


Slide 69Caixa-de-bigodes


Slide 70Caixa-de-bigodes



❖A caixa-de-bigodes é um gráfico que consiste numa linha desde o mínimo atéao máximo (se não houver outliers), e numa caixa com extremos nos 1º e 3ºquartis e divisão na mediana.

❖Para um conjunto de dados, o resumo de 5 números é formado pelo mínimo, 1ºquartil, mediana, 3º quartil e máximo.

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