conjuntos ordenados
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Conjuntos Ordenados
Orden Amplio: Sea el conjunto A y la relación R: A A, si R cumple con las
propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva entonces es una relación de orden
amplio u orden.
Se dice que el conjunto A es un conjunto ordenado y se indica ( A; ).
Sean a, b A, a b decimos “a precede a b” si a es anterior a b en el orden establecido
Sean a, b A, si a b y b a, decimos que a y b no son comparables y se indica a II b.
Orden Estricto: Sea el conjunto A y la relación R: A A, si R cumple con las
propiedades asimétrica y transitiva entonces es una relación de orden estricto.
Se dice que el conjunto A es un conjunto estrictamente ordenado y se indica ( A; ).
Orden Parcial y Total: Sea R una relación de orden en A
R es de orden parcial existen pares de elementos incomparables
El orden es total en caso contrario
Si ( A; ) está totalmente ordenado el orden se dice total o lineal y es una cadena
Ejemplo: Sea IN el conjunto de números naturales y la relación R: IN IN / a R b a I b
Por definición: a I b m IN / b = a.m
Reflexiva:
a IN : a = a . 1 a I a a R a
Antisimétrica:
a, b IN: a R b b R a a I b b I a m, n IN /
b = a.n a = b.m a.b = a.n.b.m n.m = 1 n = m = 1 a = b
Transitiva:
a, b, c IN: a R b b R c a I b b I c n, m IN / b = a.n c = b.m
c = a.n.m c = a. p con p = n.m IN a I c
Diagrama de Hasse
Es posible representar un conjunto ordenado y finito mediante un diagrama llamado
de Hasse.
En el diagrama se suprimen los arcos redundantes (bucles o los que son
consecuencias de la transitividad).
Ejemplo: Sea A = { 2, 3, 6, 9, 12, 36 } ordenado por la relación de divisor, el diagrama
de Hasse correspondiente es
2
3
6 12
36
9
Observación
En el diagrama de Hasse se puede
prescindir de los arcos y reemplazarlos
por aristas si se lee de abajo hacia arriba.
2 3
6
12
36
9
Orden Recíproco u Orden Inverso
Sean ( A; ) un conjunto ordenado y R-1 = { ( b, a ) / ( a, b ) R } es la relación inversa o
recíproca, se la llama orden recíproco o inverso y se lo denota .
Ejemplo: Si ( Z; ) es el conjunto ordenado, el orden recíproco es ( Z; ).
Orden Restringido
Sea ( A; ) un conjunto ordenado, sea Ø B A, entonces la restricción del orden a B es:
/ B = ( B x B ) , que indicamos ( B; ) o ( B; / B )
Orden Usual Producto
Sean ( A; ) y ( B; ) dos conjuntos ordenados, se define en A x B, producto cartesiano,
la siguiente relación ( x, y ) R ( z, t ) x z y t.
Se lo denomina orden usual producto.
- 1
1 2
1 2
Ejemplo:
Sea A = { a, b } y la relación = { ( a, a ), ( a, b ), ( b, b ) }
y B = { 0, 1, 2 } y la relación = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 0, 2 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 2 ) }
A x B = { ( a, 0 ), ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( b, 0 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ) }
R = { ( ( a, 0 ), ( a, 0 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( a, 2 ) );
( ( a, 0 ), ( b, 0 ) ), ( ( a, 0 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 0 ), ( b, 2 ) );
( ( a, 1 ), ( a, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( a, 1 ), ( b, 2 ) );
( ( a, 2 ), ( a, 2 ) ); ( ( a, 2 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 0 ) ); ( ( b, 0 ), ( b, 1 ) );
( ( b, 0 ), ( b, 2 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 1 ) ); ( ( b, 1 ), ( b, 2 ) ) }
1
2
( b, 2 )
( a, 2 ) ( b, 1 )
( a, 1 ) ( b, 0 )
( a, 0 )
Elementos Distinguidos de un Conjunto Ordenado
Sea ( A; ) un conjunto ordenado
Un elemento a A es maximal si: x A / a x x = a
ningún elemento “lo sigue” excepto si mismo
Un elemento a A es minimal si: x A / x a x = a
ningún elemento “lo precede” excepto si mismo
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d } ordenado según el diagrama
d e
b c
a
Maximales = { d, e }
Minimales = { a }
Observaciones
Los maximales y/o minimales pueden no existir
Los maximales y/o minimales pueden no ser únicos
Si el maximal es único se lo llama máximo o último elemento ( 1A )
Si el minimal es único se lo llama mínimo o primer elemento ( 0A )
Átomos: Sea ( A; ) un conjunto ordenado con primer elemento 0A, los átomos
son los elementos que siguen inmediatamente al primer elemento
Ejemplo: Sea A = { a, b, c, d, e } ordenado según el diagrama de Hasse
e
b c
a
d
Son átomos { b, c }
Cotas. Conjuntos.
Sean ( A, ) un conjunto ordenado y B Ø, B A
k A es cota superior de B si x B , x k
k A es cota inferior de B si x B , k x
El conjunto de las cotas superiores se llama conjunto mayorante
El conjunto de las cotas inferiores se llama conjunto minorante
A la menor de las cotas superiores se la denomina supremo
A la mayor de las cotas inferiores se la denomina ínfimo
Si el supremo pertenece a B entonces es máximo
Si el ínfimo pertenece a B entonces es mínimo
Ejemplo: Sean A = { a, b, c, d, e, f, g, h } un conjunto ordenado según y B = { c, d, f }
g h
f
c d
a b
Minimales = { a, b } en A
Maximales = { g, h } en A
A no tiene primer elemento
A no tiene último elemento
Cotas Superiores = { f, g, h } de B
f es supremo, como f B entonces f es máximo
Cotas Inferiores = { a }
a es ínfimo, como a B entonces B no tiene mínimo
Conjunto bien ordenado
Sea ( A, ) un conjunto ordenado, está bien ordenado si y sólo si todo subconjunto
de A tiene primer elemento, es decir que si B Ø , B A, B tiene primer elemento.
Observaciones
se llama buen orden
Si B Ø, B A B está bien ordenado
Si ( A, ) está bien ordenado A está totalmente ordenado
Ejemplo:
El conjunto de IN de números naturales con la relación es un conjunto bien ordenado.
Isomorfismos
Dos conjuntos ( A, ) y ( B, ) ordenados son isomorfos si existe una función biyectiva
que preserva el orden
A B si f: A B biyectiva / a b f (a) f (b)
Ejemplo: Sean
1
1 2
2
A = { 2, 3, 6, 9, 18 }
ordenado por la
relación de divisor
2 3
96
18 e
dc
a b
B = { a, b, c, d, e }
ordenado según el
diagrama
Si f: A B / f (2) = a
f (3) = b
f (6) = c
f (9) = d
f (18) = e
f es una función biyectiva, que además preserva el
orden, es decir es un isomorfismo