Škálovacia teória lokalizácieskrátená verzia pre potreby študentov

“Počítačového modelovania”

Peter Markoš

Katedra experimentálnej fyziky FMFI UK

FMFI Zimný semester 2016/2017

Obsah

I Základné pojmy: prah pohyblivosti, fázový diagram, kritickéexponenty

I Thoulessova konduktancia

I Škálovacia teória lokalizácie

I Konečnorozmerné škálovanie

Andersonov model

H = W∑n

εnc†ncn + V

∑[nn′]

c†ncn′ .

Model tesnej vazby s “atómami” v uzloch mriežky.Elektrónové prechody medzi najbližšími susedmi.V = 1, definuje škálu energie

veľkosť systému L = Na, a = 1 definuje dĺžkovú škálu

dimenzia d

W - neuspriadanosť

ε . . . náhodné číslo simuluje neusporiadanosť

nx−1 n

x n

x+1

ny+1

ny

ny−1

-1 0 10

0.5

1

1.5

ε

Box

Gauss

P(ε)

Bez disorderu: ideálna mriežka s disperzným vzťahom (d = 3)

E (~k) = 2V cos kxa+2V cos kya+2V cos kza −6V ≤ E ≤ 6V

Fázový diagram

Fázový diagram v rovine paramtrov energia elektŕonu - disorder

Všimnime si prechod izolant - kov spôsobený nárastom neusporiadanosti.Dôvodom je rozširenie vodivostného pásu.

Kritický disorder Wc : pre W >Wc sú všetky stavy lokalizované - nie súschopné viesť elektrický prúd, lebo elektrón neopúšťa priestor, v ktorom jelokalizovaný.

Kritické indexy

Ec

F. energy E

σ∼(Ec-E)

s

λ−1

∼(E-Ec)

ν

Metal Insulator

Wc

disorder W

σ∼(Wc-W)

s

λ−1

∼(W-Wc)

ν

Metal Insulator

El. vodivosť a polomer lokalizácie v okolí kritického bodu sú danékritickými indexami s a ν.Wegner (1976) s = (d − 2)ν takže hľadáme len jeden kritický index.Úlohy:

I Nájsť hranicu medzi kovom a izolátorom

I Nájsť kritické indexy pre systémy s rôznym d a fyzikálnou symetriou

I Dokázať univerzalitu

Koeficient prechodu T vs konduktancia g

A

B

C

D

(CB

)= S

(AD

)S =

(t ′ rr ′ t

)(

CD

)= T

(AB

)T =

(t−1 −r ′t−1

rt−1 t ′ − r ′t−1r

)Economou - Soukoulis odvodili Landauerovu formulu

g = T = Tr t†t (e2/h = 1)

Vhodná na štúdium prechodu akýchkoľvek (nielen elektrónových) vĺn.

Univerzalita: škálovacia teória lokalizácie

Neusporiadaný systém charakterizujeme viacerými dlžkovými škálami:- stredná voľná dráha ` pre pružný rozptyl,- polomer lokalizácie λ,- korelačná dĺžka náhodného potenciálu `c ,- . . . .

AALR (“Gang Four”): predpokladajme L dostatočne veľké (vačšie akotypické dĺžky modelu).Potom predpokladajme, že pri zmene veľkosti vzorky L→ bL

g(bL) = F (b, g(L))

V limite b → 0

∂ ln g∂ ln L

= β(ln g)

Škálovacia teória lokalizácie

∂ ln g∂ ln L

= β(ln g).

Univerzálna funkcia β(ln g):

- spojitá- monotónna- neznáma.

β(ln g)

ln g

d=3

d=2

d=1-1

1

ln gc

Konduktancia g je parametrom usporiadania pre prechod kov - izolant

g � 1 g ∼ σLd−2 β(ln g) = d − 2g � 1 g ∼ exp−2L/λ β(ln g) = ln g

g = gc β(gc) ≡ 0, s =1

gcβ′(gc).

Konduktancia g ako indikátor lokalizácie

Závislosť konduktancie od veľkosti vzorky L:

Kov: g = σLd−2 (σ . . . vodivosť)

Izolant: g ∼ e−2L/λ (λ . . . polomer lokalizácie)

Kritický bod: g = gc nezávisí od veľkosti vzorky:∂g

∂L= 0

Komentáre

I Prechod kov - izolant závisí od dimenzie systému

I v 1D ľubovoľne malá neusporiadanosť spôsobí lokalizáciu.

I v 2D neexistuje kovový stav !!

Musíme ale pamätať, že

I uvažujeme nulovú teplotu - pri T > 0 vstupuje do hry dekoherencia

I zanedbávame interakcie medzi elektrónmi

I hovoríme zatiaľ len o najjednoduchšom Andersonovom modelineinteragujúcich bezspinových častíc(ortogonálna symetria)

Konečnorozmerné škálovanie

Predpoklad: Existuje korelačná dĺžka, ktorá v kritickom bode diverguje

Neusporiadaný systém charakterizujeme viacerými dlžkovými škálami:- stredná voľná dráha ` pre pružný rozptyl,- polomer lokalizácie λ,- polomer dráhy v magnetickom poli `B- korelačná dĺžka náhodného potenciálu `c ,- . . . .

Konduktancia je funkciou mnohých parametrov

g(W , L,B, . . . ) = F (`/L, `B/L, `c/L, . . . , ξ/L)

Kritický bod: ξ je podstatne vačšia ako ostatné dĺžky, preto v limiteL→∞ bude g funkciou len jediného parametra

Preto sú všetky ostatné parametre v okolí kritického bodu irelevantné

Konečnorozmerné škálovanie

V okoli kritického bodu : g je funkciou len jediného parametra

g = F (L/ξ(W )), ξ(W ) . . . korelačná dĺžka ξ(W ) ∝ |W−Wc |−ν

V blízkosti kritického bodu g = gc + α(W −Wc) a preto

〈g〉 ≈= gc + A(W −Wc)L1/ν + BLy + . . .

(y < 0)

Numericky nájdeme g = g(W , L) a získané hodnoty fitujeme toutorovnicou.

Príklad: 3D Andersonov model

〈ln g〉 počítaná numericky pre neusporiadaný Andersonov model.Štatistický sśbor s Nstat ∼ 104 −−106 vzoriek, L = 4−−18, energiaelektrónu E = 0.01.

Numerické dáta môžeme vyjadriť ako funkciu jediného parametra:

H = W∑n

εnc†ncn + V

∑[nn′]

c†ncn′ .

Kritická hodnota W ≈ 16.5.

Konečnorozmerné škálovanie

〈g〉 ≈= gc + A(W −Wc)L1/ν + BLy + . . .

(y < 0)Naozaj vidíme, lineárnu závislosť 〈ln g〉 ∼ a+ bW v okolí kritického bodu.Všetky čiary by sa mali pretnúť v jedinom bode, ktorý zodpovedáW = Wc . To nenastane (finite size effect).

2D Andersonov model

10 100 1000L

0.01

0.1

1

10

<g

>

W=1W=2W=3W=4W=5W=6

2D orthogonal system box disorder

10 100 1000L

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

<g>

2D orthogonal system box disorder W = 2

Zdanlivo podobné správanie, ako v 3D: pre malé W konduktancia rastie sL, pre veľké klesá.Ide ale o efekt konečnej veľkosti vzorky: L stále nie je dostatočne veľké.

Stredná voľná dráha ` ∝ 1/W 2. Pre slabý disorder je oveľa väčšia akonumericky dosažiteľná veľkosť vzorky. Preto nevidíme lokalizáciu.

Vždy sme odkázaní na numerickú analýzu konečných vzoriek -potrebujeme “finite size scaling”

Komentár k závislosti konduktancie od veľkosti vzorky

V reálnom svete sa nemusím dostať k limite L∞. Preto v experimente ajnuemrickej simulácii môžeme pzorovať viaceré režimy:

I balistický: L ≤ ` elektrón sa nemá na čom rozptýliť g = Ld−1.

I Difúzny (kovový) ` <� L� λ elektrón prežije množstvo zrážok a“difunduje” cez vzorku g = σLd−2

I kritický (v kritickom bode g = const nezávisí od L)

I lokalizovaný g ∼ exp−L/λ

Mezoskopická fyzika: analýza el. transportu v týchto režimoch: kvantovébodky, nanodrôty, prstence, dvojrozmerné štruktúry, . . .O charaktere transportu rozhodujú pomery dĺžkových škál.

Príklad: magnetický polomer `B = mv/(eB). Pre L� `B nehrámagnetické pole žiadnu rolu