Lokalizácia

Peter MarkošFyzikálny ústav SAV

Katedra fyziky FEI STU

Abstract

Pri ńızkych teplotách sa elektróny správajú ako kvantové častice.Preto sa analýza elektrónového transportu nezaob́ıde bez znalost́ıkvantovej mechaniky. Elektrickú vodivost’ a jej neočakávané vlastnostivysvetĺıme na základe kvantového - vlnového charakteru elektrónu.

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

1. Úvod: odpor a vodivost’ nemusia sṕlňat’ Ohmov zákonu.

2. Kvantový charakter pohybu elektrónu.

3. Interferencia vlny.

4. Kadial’ putuje elektrón?

5. Lokalizácia kvantovej častice v náhodom potenciáli.

– Typeset by FoilTEX – 1

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Opakovanie: Ohmov zákon

R1

L1

R2

L2

R1 + R

2+ =

L1+ L

2

V klasickom vodiči predpokladáme, že elektrický odpor narastá úmerne d́ľzke vodiča. Tento

predpoklad potvrdzuje naša každodenná skúsenost’.

Typické vodiče: d́ľzka 1 m Typické teploty: izbová teplota - 300 K.

Zmenšujme teraz rozmer (d́ľzku) vodiča a znǐzujme teplotu. Dostaneme sa do oblasti, kedy

Ohmov zákon neplat́ı.

Namiesto R = R1 + R2 môžeme napr. dostat’

R = R1 + R2 + R1R2. (1)

– Typeset by FoilTEX – 2

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Ohmov zákon nie vždy plat́ı

R = R1 + R2 + R1R2. (2)

Takýto modifikovaný zákon vedie k

exponenciálnemu nárastu odporu. Už

neplat́ı

R(L) ∝ L (3)

ale máme

R(L) ∝ exp(+L/ξ) (4)0 100 200 300 400 500

L

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

R

Samozrejme, vodivost’, 1/R, je exponenciálne malá.

– Typeset by FoilTEX – 3

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Štatistika

Meranie elektrického odporu R alebo elektrickej vodivosti σ prinesie nejaké č́ısla. Ich

presnost’ je daná

• našou šikovnost’ou

• kvalitou pŕıstrojov

• samotným systémom (napr. vysokou teplotou, šumom z okolia apod). Intuit́ıvne ćıtime,

že výsledky by sme vedeli neustále zlepšovat’.

Jednou z ciet vylepšenia je zńı̌zit’ teplotu.

Ale:

– Typeset by FoilTEX – 4

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Katastrofa

V niektorých vzorkách boli pozorované experimentálne obrovské reprodukovatel’né

fluktuácie odporu.

Ked’ sa zmenšovala teplota, fluktuácie neklesali, naopak narastali:

∆g

〈g〉∝ exp−

„

T0

T

«α

(5)

Vysvetlenie takéhoto nárastu je možné len v rámci kvantovej mechaniky.

– Typeset by FoilTEX – 5

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Štatistika a absencia ustrednenia.

-2 -1 0 1 2Fermi energy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1E

10-6

10-4

10-2

100

Tra

nsm

issi

on

Výsledok merania vodivosti v

silne neusporiadanej vzorke.

Meńım len energiu elektrónu,

vzorka je tá istá.

Vodivost’ sa meńı o niekol’ko

rádov.

σ ∼ 0.00001 − 0.95

Dôležité: Vel’ké zmeny

vodivosti sú reprodukovatel’né -

zmenou energie tam a spät’ sa

pohybujeme po tej istej krivke!

Nejde preto o štatistické chyby merania, ale o vlastnost’ neusporiadaného systému.

– Typeset by FoilTEX – 6

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Katastrofa, alebo zauj́ımavá fyzika?

• Nové neočakávané vlastnosti pozorujeme pri vel’mi ńızkych teplotách absolútna nula:

-273.15 C = 0 K; izbová teplota: 300 K, súčasné experimenty: ∼ 100 mK.

• Vzorky sú malé: L ≪ Lφ - preto elektróny prejdú naprieč vzorkou bez toho, aby

interagovali napr. s kmitmi mriežky - pohyb elektrónu je kvantový

• vzorky sú neusporiadané - nejde o pravidelné kryštály

Podstatné: obrovské fluktuácie nie sú výsledkom chyby merania. Ide o prejav novej fyziky,

ktorú pri vyšš́ıch teplotách nevid́ıme.

– Typeset by FoilTEX – 7

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Kvantový popis pohybu elektrónu

Pri vel’mi ńızkych teplotách nie je elektrón klasickou časticou, ale správa sa kvantovo - š́ıri

sa priestorom ako vlna.

Š́ırenie v́ln má svoje osobitosti, na ktoré sme si zvykli, ale intuit́ıvne sa im bránime, ked’

ide o častice.

V kove sa kvantové vlastnosti elektrónu prejavia len vtedy, ked’ je stredná vol’ná dráha

nepružných zrážok vel’mi vel’ká. To je možné, len ak je teplota ńızka. Preto lokalizáciu

vid́ıme len pri vel’mi ńızkych teplotách.

– Typeset by FoilTEX – 8

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Pŕıklad: kvantové tunelovanie elektrónu

-30 -20 -10 0 10x

0

0.2

0.4

Rozptyl na Prechod barierou V=6 a=1, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

Τ=0.025

Elektrón je schopný pretunelova’t cez bariéru, aj ked’ je jeho energia menšia ako je výška

bariéry. klasická častica by sa totálne odrazila.

– Typeset by FoilTEX – 9

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Iný pŕıklad: Odraz od potenciálového stupienka I

0x

Rozptyl na potencialovom schode V= + 4, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

R=0.631

Ak je energia väčšia, ako potenciálový stupeň, tak klasická častica vždy prejde a pokračuje,

hoci s menšou rýchlost’ou.

Kvantová častica sa dokáže odrazit’. Vieme určit’ len pravdepodobnost’, že prejde na druhú

stranu, ale na začiatku experimentu nevieme povedat’, aký bude presne jeho výsledok.

– Typeset by FoilTEX – 10

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Odraz od potenciálového schodu

0x

Rozptyl na potencialovom schode V= - 4, k0=2, var(k)=0.1

|Ψ|2

R=0.03

Kvantový elektrón sa dokáže odrazit’ aj od schodu “smerom nadol”.

Toto nedokáže žiadna klasická častica.

– Typeset by FoilTEX – 11

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Neusporiadanost’: rôzne modely.

(a) Periodická mriežka.

(b) Rovnaké atómy v rôznych polohách.

(c) Náhodné polohy, konštantný počet

susedov na každý uzol.

(d) Rovnaké polohy, rôzne atómy.

(e) Spinový.

(f) Náhodné preskokové členy.

– Typeset by FoilTEX – 12

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Realizácia náhodnej vzorky

Uvažujme najprv pre jednoduchost’ len

jednorozmerný systém, v ktorom sa

meńı potenciál celkom náhodne:

Takto vyzerajú tir náhodné retiazky.

Na prvý pohl’ad sú skoro rovnaké, ale

mikroskopicky sú úplne iné. Elektrón sa

v každej z nich ćıti inak.0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

n

W

Elektrón prichádza zl’ava, a budeme merat’ pravdepodobnost’, že prejde naprieč takýmto

systémom. Intuit́ıvne je jasné, že táto pravdepodobnost’ bude úmerná vodivosti.

– Typeset by FoilTEX – 13

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Ako sa meńı priepustnost’ takejto vzorky s d́lžkou

0 100 200 300 400 5000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on W = 1

0 100 200 300 400 500Length of the system N

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on W = 2

Vzorka pozostáva z retiazky N bariér náhodnej výšky. Je rozumné očakávat’, že

priepustnost’ vzorky bude prudko klesat’ s jej d́ľzkou.

Pridańım dodatočnej bariéry sa priepustnost’ systému môže niekedy zväčšit’.

– Typeset by FoilTEX – 14

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dôvod: interferencia elektrónu samého so sebou

– Typeset by FoilTEX – 15

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Myšlienkový experiment

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100n

W

Zoberieme náhodnú vzorku, nájdeme jej vodivost’, a potom zmeńıme náhodnú energiu v

jedinom bode mriežky. Čo sa stane?

Aby to bolo zauj́ımaveǰsie, urob́ıme tento experiment v dvojrozmerných vzorkách.

– Typeset by FoilTEX – 16

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný dobre vodivý systém

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

1 %10 %

zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=2 g = 4.99835

Vo vzorke 100 × 100

sme postupne zmenili

znamienko jedinej

náhodnej energie.

Obrázok ukazuje, ako

táto zmena ovplyvnila

vodivost’.

Zmena vodivosti je

maličká, len o 1%.

Elektrón prechádza

celou vzorkou.

– Typeset by FoilTEX – 17

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný hořsie vodivý systém

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

1 %10 %100 %

zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=6 g = 0.00084086

Tu sa situácia

dramaticky meńı:

zmenou jedinej

náhodnej energie v

niektorých bodoch

zmeńıme vodivost’ o

viac ako 100% !

– Typeset by FoilTEX – 18

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém

0-200

-180

-160

-140

-120

-100

<ln

g>

2D_w20_100.g

vel’mi silno neusporiadaný systém je

temer nevodivý.

Meriam vodivost’ pre 10000 vzoriek,

Typická vodivost’ tohto je rádu

g ∼ e−133

Štatistika: nájdem vzorky s vodivost’ou

o dvadsat’ rádov väčšou, resp. menšou.

Vzorky sa ĺı̌sia len realizáciou

náhodného potenciálu, jeho fluktuácie

sú tie isté.

– Typeset by FoilTEX – 19

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém

-160 -140 -120 -100ln g

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05p(

ln g

)

Takto vyzerá typické

pravdepodobnostné

rozdelenie vodivosti v

silne neusporiadnaom

systéme.

– Typeset by FoilTEX – 20

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

0.01 %0.1 % 1 %10 %100 %

zmena g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r. W=10

Ak je systém naozaj

silne neusporiadaný,

vyberie si elektrón

jednu dráhu.

– Typeset by FoilTEX – 21

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

1 % W=2010 % W=20 1 % W=10 10 % W=10

zmena logaritmu g ak zmenis eps(r) --> -eps(r) v bode r

. . . ale tá dráha nemuśı

tiect’ “udoĺım” ako tečie

rieka medzi horami.

– Typeset by FoilTEX – 22

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Dvojrozmerný vel’mi slabo vodivý systém

Uvažujme štatistický súbor 10.000 vzoriek, a pre každú z nich poč́ıtajme pravdepodobnost’

prechodu (transmisiu) elektrónu naprieč vzorkou.

-50 -40 -30 -20 -10ln g W = 10

-160

-140

-120

-100

ln g

W =

20

2D_w20_w10_100.g

porovnáme systémy s rôznou

neusporiadanost’ou: vzorky su

identické, len rozsah náhodnosti

je v tej druhej 2× väčš́ı. (W = 10

resp. W = 20).

Výpčet sme urobili 10000×.

Neexistuje žiadna korelácia medzi

źıskanými hodnotami!

– Typeset by FoilTEX – 23

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Napŕıklad:

Logaritmus pravdepodobnosti prejst’ vzorkou pre jednotlivé vzorky:

vzorka č. W=10 W=20

890 -32.4 -96.10

5657 -29.36 -160.0

Hoci je pravdepodobnost’ vždy malá, ĺı̌si s aod vzorky ku vzorke faktorom až e3 ≈ 30 pre

W = 10 (slabšia neusporiadanost’, ale pri silnej neusporiadanosti až faktorom e64 ≈ 1027.

– Typeset by FoilTEX – 24

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Absencia difúzie v neusporiadanom systéme

Častice aj vlny sa priestorom môžu vol’ne š́ırit’, pokial’ nenarazia na prekážky. častice sa

od prekážky odrazia, vlny sa rozptýlia.

rozptýlené časti v́ln vzájomne interferujú.

P. W. Anderson (1958): Ak sa vlna š́ıri v neusporiadanom (náhodnom) prostred́ı, môže sa

stat’, že “zastane” - nie je schopná pohybu.

– Typeset by FoilTEX – 25

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Časový vývoj

V čase t = 0 pridáme

elektrón do prostriedka

neuspriadanej mriežky a

sledujeme časový vývoj

vlnovej funkcie.

ih̄∂Ψ(~r, t)

∂t= HΨ(~r, t)

Ak je neusporiadanost’ dostatočne vel’ká, vlnový baĺık sa prestane “rozṕınat’” - elektrón je

lokalizovaný v konečnej časti systému.

– Typeset by FoilTEX – 26

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

λ=12

T=0.4 T0

= 83

– Typeset by FoilTEX – 27

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

λ=12

T=12 T0

=110

– Typeset by FoilTEX – 28

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

λ=12

T=20 T0

=134

– Typeset by FoilTEX – 29

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

λ=12

T=28 T0

=141

– Typeset by FoilTEX – 30

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

λ=12

T=36 T0

=123

– Typeset by FoilTEX – 31

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Pravdepodobnost’ návratu P = limt→∞ p(t) do východzieho bodu (Anderson 1958).

Taký systém nie je schopný viest’ elektrický prúd.

– Typeset by FoilTEX – 32

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Ergodická hypotéza

-2 -1 0 1 2Fermi energy

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on

0 200 400 600 800 1000realization of random energies

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tra

nsm

issi

on

V experimente nikdy nepriprav́ıme 10000 vzoriek, sme radi, ked’ máme jednu. Našt’astie,

zmena Fermiho energie (energie elektrónu) je ekvivalentná zmene vzorky!

– Typeset by FoilTEX – 33

Peter Markoš: Moderné problémy fyzikálneho inžinierstva Lokalizácia

Záver

• Kvantový charakter elektrónu je zodpovedný za nový jav: elektrónovú lokalizáciu

• Lokalizácia má štatistickú povahu, pretože je výsledkom interferencie mnohých odrazený

v́ln

Poznámka: pretože lokalizácia je daná vlnovou povahou pohybu kvantového elektrónu,

môžeme očakávat’, že podobne mô’zeme pozorovat’ lokalizáciu svetla.

– Typeset by FoilTEX – 34