Materialy so zapornym indexom lomu

(Left-handed Materials)

Peter Markos

11. marec 2008

AbstractLeft-handed materialy (materialy so zapornym indexom lomu) su

umelo vyrobene struktury, ktore maju, v nejakom intervale frekvenciı,zapornu elektricku permitivitu aj magneticku permeabilitu. Ukazemzakladne fyzikalne (elektromagneticke) vlastnosti takychto materialov,ich strukturu a moznosti ich praktickeho vyuzitia.

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Metamaterialy

Pokus o konstrukciu novych, v prırode neexistujucich struktur, ktore by mali pozadovane

fyzikalne vlastnosti.

Inspiracia: chemia: ak zlucime dva prvky, dostaneme latku s diametralne odlisnymi

vlastnost’ami. Naprıklad

2H2 + O2 → 2H20 (1)

Kyslık a vodık vytvoria vodu.

Preco by sa teda nedalo naprıklad z dvoch nemagnetickych materialov vytvorit’ magneticky?

Idea: pokusit’ sa vyrabat’ nove materialy nie chemickymi reakciami, ale priamym

“skladanım”.

– Typeset by FoilTEX – 1

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Obsah

• Elektricka permitivita, magneticka permeabilita

• Uvod: teoreticke predstavy o LHM (Veselago)

• Motivacia

- zaporny index lomu

- dokonala sosovka

- magneticka odozva na optickych frekvenciach

• (meta)materialy: struktury so zapornou permitivitou a permeabilitou

• Od GHz k THz

– Typeset by FoilTEX – 2

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Uvod

Kazdy material ma svoju charakteristicku odozvu na vonkajsie podnety.

My sa budeme zaoberat’ odozvou na dopadajucu elektromagneticku vlnu.

Pretoze elektromagneticka vlna ma elektricku aj magneticku zlozku, potrebujeme poznat’

elektricku permitivitu ǫ a magneticku permeabilitu µ.

Z tychto velicın urcıme index lomu n =√

ǫµ a

impedanciu z =p

µ/ǫ.

Prıroda nam poskytuje materialy s rozlicnymi hodnotami n. Moderna fyzika umoznuje

konstrukciu materialov s de facto l’ubovol’nymi hodnotami ǫ a µ.

Najprv sa pozrieme, ake moznosti nam dava prıroda:

– Typeset by FoilTEX – 3

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Permitivita: dielektrika

. . . linearna odozva na vonkajsie elektricke pole

~D = ǫ ~E

Vo vseobecnosti je komplexna, ǫ = ǫr + iǫi ǫr > 0

Imaginarna cast’, ǫi, je zodpovedna za absorbcne straty.

V dielektrikach ale platıǫi

ǫr

≪ 1,

takze imagiarnu cast’ mozeme takmer vzdy zanedbat’. ǫi ≈ 0.

Typicke hodnoty realnej casti permitivity: ǫr ∼ 1 − 10.

– Typeset by FoilTEX – 4

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Permitivita: Kov

Vd’aka prıtomnosti vol’nych elektronov v kove je elektricka odozva kovu ovel’a zlozitejsia.

102

103

104

ν [THz]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

10-4

10-2

100

102

104

106

-2

-1

0

1

εi

εr

ν=νp

10−10εi

10−5εr

Drude formula:

ǫ(ν) = 1 −ν2

p

ν2 + iνγPermitivita je vzdy komplexna.

Realna cast’, ǫr je zaporna - EM vlny sa

v kove nesıria (takmer dokonaly odraz

od povrchu kovu)

νp . . . plazmova frekvencia,

νp ≈ 2000 THz, (λp ≈ 150 nm)

γ ≈ 5 − 10 THz

1 GHz= 10−3 THz

10 GHz = 5 × 10−6νp

– Typeset by FoilTEX – 5

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Permeabilita

. . . odozva materialu na vonkajsie magneticke pole.

~B = µ ~H

µ ≈ 1; samozrejme tiez komplexna.

µ > 1, µ < 1, ale µ > 0.

Materialy, so zapornou permeabilitou sa v prırode bezne nevyskytuju.

Pozn. Supravodice: magneticka permeabilita µ ≡ 0.

– Typeset by FoilTEX – 6

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Sırenie elektromagnetickej vlny v materiali

Zanedbajme na okamih absorbciu - ǫ aj µ nech su realne.

Vlnova rovnica:"

k2 − ω2

c2ǫµ

#

E = 0 k2=

ω2

c2ǫµ

Elektromagneticka vlna ma tvar

E(~k, ~r) = ei~k~r−iωt

(2)

Sırenie vlny je mozne len vtedy, ak je vlnovy vektor k realny. preto musı byt’ sucin ǫµ > 0.

Preto sa EM vlna nesıri v kove (ǫ < 0).

Ale: ukazuje sa, ze v princıpe BY sa elektromagneticka vlna mohla sırit’ aj v materiali,

ktory ma ǫ < 0 aj µ < 0

Veselago: Uspekhi fiziceskich nauk 1968.

– Typeset by FoilTEX – 7

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Veselago

ǫ > 0

ǫ > 0

ǫ < 0

ǫ < 0

µ > 0 µ > 0

µ < 0 µ < 0

V rovine ǫ, µ su dva kvadranty, v ktorych je sırenie EM vlny mozne.

– Typeset by FoilTEX – 8

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Historia LHM

• 1968 Veselago: elektromagneticke vlastnosti materialov ktore maju sucasne ǫ < 0 a

µ < 0.

• 1998, 1999 J. B. Pendry: navrh prvych struktur s efektıvnymi zapornymi ǫ a µ

• 2000 D. R. Smith: Prve experimenty s left-handed strukturami

• 2000 J. B. Pendry: teoreticka predpoved’ dokonalej sosovky

• 2001 D. R. Smith: Experimentalne merany zaporny lom EM vlny

• 2001 Notomi: zaporny lom EM vlny na rozhranı fotonovych krystalov

• 2001-2002 Hlboke nazorove diskusie o fyzikalnej podstate zaporneho lomu EM vlny

• 2002 PM: prve numericke simulacie transmisie cez LH strukturu, numericky dokaz

n < 0,

• 2002-2006 Stovky teoretickych a experimentalnych prac

• 2005 Posuv od GHz frekvenciı k THz a k 103 THz, prve materialy s magnetickou

odozvou v 1000 THz oblasti

• 2006 - 2007 Materialy so zapornym indexom lomu pre viditel’ne svetlo?

– Typeset by FoilTEX – 9

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Preco l’avoruke ?

k × E =ω

cµH k × H = −ω

cǫE (3)

x

z

y

ǫ > 0 µ > 0 ǫ < 0 µ < 0

~S ~k

~E

~H

~S~k

~E

~H

Left-handedness: vectors ~E, ~H and ~k follow left hand rule.

Poynting vector: ~S = ~E × ~H - smer toku energie

~k ∝ ǫ ~E × ~H ~k a ~S su antiparalelne: ~k.~S < 0.

Opacny smer grupovej a fazovej rychlosti: vphase < 0, vgroup > 0.

– Typeset by FoilTEX – 10

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Index lomu

We require:

ni > 0 and zr > 0

n = nr + ini =√

ǫµ

ǫ = |ǫ|eiφǫ,

µ = |µ|eiφµ,

n = |n|eiφn

φn = 12(φǫ + φµ)

ǫµn

Real

Imag

If ǫr < 0 and µr < 0, then also nr < 0. Therefore: LHM possess negative refractive

index nr < 0.

– Typeset by FoilTEX – 11

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Jednoduche dosledky zaporneho indexu lomu

ǫ1 > 0 µ1 > 0 ǫ2 < 0 µ2 < 0

~S

~k+1

~k−1

~k+2

~E+1

~E−

1

~E+2

~H+1

~H−

1

~H+2

bc

bc

bc

×

x

zθ1

θ2

Zaporny lom EM vlny na rozhranı

sin θ1

sin θ2

=n2

n1

< 0

– Typeset by FoilTEX – 12

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Planarna vrstva ako “sosovka” (Veselago)

a a+b b

n = 1.3 n = −1

Vrstva s indexom lomu n = −1 sustredı vsetky luce do jedneho bodu.

Poloha ohnısk je dana sırkou LH vrstvy.

– Typeset by FoilTEX – 13

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

� Left-handed Left-handed Right-handed Right-handed

SourceSource SourceSource

n=-1 n=1.52

n=1

n=1

n=1

n=1

Left-handed media as flat Left-handed media as flat lenseslenses

– Typeset by FoilTEX – 14

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Rozlisovacia schopnost’ sosovky

∆ λ

Na to, aby som rozlısil male detaily,

potrebujem elektromagneticku vlnu

malej vlnovej dlzky.

Ale λ = 2π/k

kde k2 =ω2

c2.

Vlna frekvencie ω mi preto nerozlısi

detaily mensie ako je

∆ ∼ λ ∼ ω/c

– Typeset by FoilTEX – 15

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Povod rozlisovacej limity

Na odlısenie detailov potrebujem malicku vlnovu dlzku v smere x. Rozlozım preto

ω2/c2 = k2x + k2

z (4)

kx moze byt’ l’ubovol’ne vel’ke, ale za cenu toho, ze k2z je zaporne:

k2z = ω

2/c

2 − k2x (5)

a preto kz = iκ. Taka vlna sa nemoze priestorom vol’ne sırit’, lebo exponencialne zanika.

E(x, z) = eikxx+ikzz

= eikxx

e−κz

Evanescentna vlna

Takato vlna je nam nanic, neda sa vyuzit’ na rekonstrukciu obrazu.

– Typeset by FoilTEX – 16

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Principialna odlisnost’ v left-handed materialoch:

LHM vrstva zosilnuje vstupujuce evanescentne vlny.

z0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

E(z)

a bl=a+b

Preto vrstva z left-handed materialu sustredı do druheho ohniska nielen vsetky komponenty

s realnym vlnovym vektorom, ale aj vsetky evanescentne vlny. Ich zlozenım vznikne

kompletny obraz zdroja.

– Typeset by FoilTEX – 17

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

V LHM je to inak

∆ λkz

kx

k

ǫ = µ = 1 ǫ = µ = −1 ǫ = µ = 1

a ℓ = a + b b

Ak teda polozım medzi zdroj a obraz planarnu vrstvu z LHM, podarı sa mi zrekonstruovat’

kompletny obraz, bez akejkol’vek zobrazovacej chyby.

Toto je samozrejme teoreticky prepdoklad, realny zivot je iny (mame absorbcne straty,

disperzium neidealne povrchy . . . Ale podstatne je, ze by bolo mozne vytvorit’ sosovku,

ktora by mala zobrazovaciu chybu napr. polovicnu v porovnanı s klasickou.

– Typeset by FoilTEX – 18

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Experiment

Dve anteny vzdialene od seba na vzdialenost’ mensiu ako je vlnova dlzka su na druhej

strane vrstvy rozlısitel’ne.

– Typeset by FoilTEX – 19

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Konstrukcia LHM materialov

Vychadza z teoretickych predstav Sira Johna Pendryho.

– Typeset by FoilTEX – 20

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Materialy so zapornou permitivitou I.

0.01 0.005 0.005 0.010k

x/k

p

0

0.005

0.01

ω/ω

p

TETM

Jednorozmerny system: tenke kovove vrstvy funguju ako “nekonecne vysoke” bariery.

Vzdialenost’ medzi platnami ℓ definuje novu plazmovu frekvenciu:

λ′p

2= ℓ ω′

p =2πc

λ′p

=πc

ℓAk ℓ = 3 cm, tak ν ′

p =ω′

p

2π= 5 GHz.

To je podstatne menej, ako νp ≈ 2000 THz v prıpade kovu.

– Typeset by FoilTEX – 21

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Materialy so zapornou permitivitou II.

Mriezka tenkych kovovych tyciek: [r = 15µm, a = 5 mm, r/a = 0.003]

2r

x

zy

a

0 5 10 15ω

0

0,1

0,2

Abs

orpt

ion

4 6 8 10 12ω

-15

-10

-5

0

5

Effe

ctiv

e pe

rmitt

ivity

Medium s efektıvnou permitivitou (Pendry, Soukoulis, Sarychev, Shalaev, Efros)

ǫ(ν) = 1 −ν2

p

ν2, νp =

c/ap

2π ln a/r

Pozor: elektricke pole E musı byt’ rovnobezne s tyckami, inak ǫ ≡ 1.

– Typeset by FoilTEX – 22

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Material so zapornou permeablitou

Preruseny kovovy prstenec v priecnom magnetickom poli.

d

l

w

t

C

L

Vonkajsie magneticke pole indukuje prud , ktory ale nemoze cirkulovat’. Analog s LC

obvodom.

C = ǫ0ǫC

wt

dL = µ0

l2

tωLC =

1√LC

=1

√ǫ0µ0ǫC

r

d

wℓ2

– Typeset by FoilTEX – 23

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Mriezka prerusenych prstencov

axa

z

ay

Pravidelna mriezka prerusenych prstencov vytvorı medium s efektıvou permeabilitou.

– Typeset by FoilTEX – 24

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Zaporna permeablita

µ(ω) = 1 +Fω2

ω2LC − ω2

.

ωLC =1

ℓ

c√

ǫC

r

d

w.

Vd’aka rezonancii mame interval

frekvenciı, kde µ < 0:

ωLC < ω <ωLC√1 − F

d

l

w

t

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6ν/νLC

-40

-20

0

20

40

Real

Imag µ

µ

– Typeset by FoilTEX – 25

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Odhad rezonancnej frekvencie

ωLC =1

ℓ

c√

ǫC

r

d

w.

- hrubka kovovej vrstvy t = 16µm

- vonkajsı kovovy “prstenec” s polomerom

ℓ = 3 mm

- w = 0.5 mm, d ≈ 0.1 mm

d

l

w

t

ωLC ≈ 5 × 1010 νLC =ωLC

2π≈ 8 GHz λLC = 3.75 cm λLC/ℓ ≈ 10

Dolezite je, ze vel’kost’ prstenca je podstatne mensia, ako rezonancna frekvencia.

– Typeset by FoilTEX – 26

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

– Typeset by FoilTEX – 27

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

First Left-Handed Test Structure

UCSD, PRL 84, 4184 (2000)

– Typeset by FoilTEX – 28

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

First experimental verification of a NIM

Wires aloneε<0

Frequency (GHz) UCSD, PRL 84, 4184 (2000)

-50 dB

0 dB

Wires alone

Split rings aloneµ<0

ε<0

µ<0ε<0 SRRs only

Wires onlySRRs&wires

– Typeset by FoilTEX – 29

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Numericke simulacie: trasmisia EM vlny

6 7 8 9 10 11 12Frequency [GHz]

10−28

10−24

10−20

10−16

10−12

10−8

10−4

100

Tra

nsm

issi

on

SRR onlywiresSRR + wires = LHM

LEN mriezka tenkych drotov: ǫ < 0 µ > 0 -

trasmisia je nemozna

LEN mriezka SRR: ǫ > 0, ale v rezonancnom

intervale frekvenciı µ < 0 - v tomto intervale

je transmisia nemozna, mimo neho T = 1.

Kombinacia oboch mriezok: tranmsmisia je

mozna len v rezonancnom intervale, v ktorom

je ǫ < 0 AJ µ < 0.

– Typeset by FoilTEX – 30

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Dvojrozmerne LH stuktury

Umoznuju tramsmisiu v horizontalnej rovine. [D. R. Smith et al.]

– Typeset by FoilTEX – 31

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

– Typeset by FoilTEX – 32

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

– Typeset by FoilTEX – 33

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

– Typeset by FoilTEX – 34

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Jednoduchsie struktury.

– Typeset by FoilTEX – 35

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Jednoduchsie struktury.

– Typeset by FoilTEX – 36

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Jednoduchsie struktury.

– Typeset by FoilTEX – 37

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Jednoduchsie struktury.

– Typeset by FoilTEX – 38

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy

Vzorky, ktore sme ukazali, su vel’ke. Typicka perioda je 3 mm. Zaporny index lomu sa

dosiahne vo frekvencnom pasme ν ≈ 2 − 10 GHz teda 1010 Hz.

Otazka: da sa ıst’ do vyssıch frekvenciı?

Viditel’ne svetlo: 400 − 700 THz, teda 1014 Hz

• Daju sa vzorky zmensit’ 100.000 - krat ?

• Kov ma pri vyssıch frekvenciach uplne inu elektricku odozvu a podstatne vyssie straty

– Typeset by FoilTEX – 39

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Od GHz k THz a 1000 THz: Problemy

drasticka zmena EM vlastnostı kovu:

Permitivita:

10 GHz ǫ = −100 000 + 10 000 000 i

100 THz ǫ = −20 + 3 i

Skin depth:

10 GHz: δ ∼ 700 nm = −.7 µm, ale hrubka

nanesenej kovovej vrstvy je 17 µm (EM pole

temer nevnika do kovu)

100 THz δ ∼ 22 nm, co je porovnatel’ne s

rozmermi kovovych sucastı (nielen s hrubkou).

Preto sa daju ocakavat’ vel’ke straty.

10-8

10-6

10-4

10-2

100

102

ω/ωp

0.1

1

10

100 δ=κ−1

/ωp

ω=ωpω=γ

c

Skin depth δ: v oblasti viditel’neho

svetla

δ ≈ c/(2πνp) = 22 nm

V olasti GHz (1010 Hz) δ ∼ 700 nm a

δ ∝ ω−1

– Typeset by FoilTEX – 40

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

The progress of scaling metamaterials

Advances in scaling metamaterials with artificial magnetic response for high-frequency structures has been rapid. The 1, 6 and 100 THz models were fabricated in 2004, and the 200 THz in 2005.

– Typeset by FoilTEX – 41

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Solid symbol n<0 Open symbol µ<0

Science Jan 5, 2007

– Typeset by FoilTEX – 42

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Magnetic response at 100 THz almost optical frequencies

Univ. of Karlsruhe, & Ames Labλ~10 a Science, Nov 19, 2004

– Typeset by FoilTEX – 43

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

– Typeset by FoilTEX – 44

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Different designs used in fabricating LHMs with negative µ and n

– Typeset by FoilTEX – 45

Peter Markos: Modetne problemy fyzikalneho inzinierstva Katedra fyziky FEI STU

Zaver

• Priestorova periodicita struktury: mozeme definovat’ ǫ a µ ?

• Anizotropia - nepodarilo sa vyrobit’ izotropne 3D systemy - v sucasnyc zqvisı LH sırenie

EM vlny od smeroch a polarizacie.

• GHz frekvencie su OK, THz s problemami, predovsetkym preto, ze

• vlastnosti LH struktur sa neskaluju s frekvenciou.

• Straty sposobene absorbciou.

– Typeset by FoilTEX – 46