peter marko s katedra fyziky fei stu 3. okt ober...

Elektronova lokalizacia

Peter MarkosKatedra fyziky FEI STU

3. oktober 2008

AbstractAndersonova lokalizacia [P. W. Anderson:Absence of diffusion in certain random lattices,

Phys. Rev. B 109, 1492 (1958) je zodpovedna za mnohe neklasicke efekty, predpovedane

a pozorovane pri studiu elektronoveho transportu v malych systemoch. Ukazem, na zaklade

numerickych experimentov, ze lokalizacia suvisı s kvantovym (vlnovym) charakterom pohybu

elektronov. Numericke simuklacie umoznuju aj demonstrovat’ niektore charakteristicke vlastnosti

slabej lokalizacie a silno lokalizovaneho rezimu.

– Typeset by FoilTEX –

Peter Markos: Elektronova lokalizacia. Katedra fyziky FEI STU Bratislava. 3. oktober 2008

1. Uvod: teoria Andersonovej lokalizacie.

2. Univerzalne vlastnosti vodivosti v slabo neusporiadanych vzorkach: difuzia elektronov,

univerzalne fluktuacie vodivosti (UCF), slaba lokalizacia.

3. Pohyb elektronu v silno neusporadanych vzorkach: absencia difuzie, lokalizacia, vlnovy

charakter elektropnoveho pohybu.

4. Zaver elektronov.

5. Zaver.

– Typeset by FoilTEX – 1


Anderson (1958): absencia elektronovej difuziev neusporiadanej strukture.

Periodicka mriezka:

Ψ(~r) ∼ ei~k~r

Nahodny system:

Ψ(~r) ∼ e−|~r−~r0|/λ, |~r − ~r0| � λ



Neusporiadanost’ - Disorder: rozne modely.

(a) Periodicka mriezka.

(b) Rovnake atomy v roznych polohach.

(c) Nahodne polohy, konstantny pocet

susedov na kazdy uzol.

(d) Rovnake polohy, rozne atomy.

(e) Spinovy.

(f) Nahodne preskokove cleny.



Andersonov modelH = W

Xn

εnc†ncn + V

X[nn′]

c†ncn′.

vel’kost’ mriezky Ld dimenzia d

vodivostny pas ma sırku 2dV .

W - disorder (miera neusporiadanosti)

Stredna vol’na draha: ` ∝ W−2

Anderson model:

- pohyb jedineho elektronu (bez spinu)

(ortogonalna symetria).

- Kvantovany Hallov jav:

Andersonov model + magneticke pole

(unitarna symetria).

- Model so spinom: t je matica 2× 2

(symplekticka symetria).

Andersonov model neuvazuje: el-el interakciu, vplyv teploty (dekoherenciu)



Hustota stavov (3D)

W = 0 : E = 2V cos kx + 2V cos ky + 2V cos kz |E| < 6V

Neusporiadanost’ rozsiruje vodivostny pas. Lokalizovane stavy v “chvostoch”.



Prah pohyblivosti (mobility edge).

Andersonov prechod:

- Disorder sposobı rozsırenie vodivostneho pasu.

- Existencia prahu poyblivosti Ec = Ec(W ).

- Zmenou Fermiho energie EF sa zmenı transportny rezim

(kov: EF > Ec, resp. izolant EF < Ec).

Andersonov izolant: el. vodivost’ σ = 0 aj ked’ ρ(E) 6= 0.



Transportne rezimy

V zavislosti od neusporiadansti a polohy Fermiho energie:

• Kovovy rezim

• Kriticky rezim

• Lokalizovany rezim

Rozdielnosti v rozlozenı vlnovej funkcie, energetickom spektre ai. parametroch.



Dlzkove skaly

Stredna vol’na draha pruznych zrazok: ` - meria silu neusporiadanosti

Stredna vol’na draha nepruznych zrazok Lφ

Polomer lokalizacie λ

Vel’kost’ vzorky: L

Rozne transportne rezimy:

Balisticky: L� `� Lφ

Difuzny : `� L� λ, Lφ

Lokalizovany: λ� L� LΦ

T = 0: Lφ →∞. Preto nemusıme uvazovat’ dekoherenciu.



Numericke metody

• Transfer matica: rozptylovy experiment

• Analyza casoveho vyvoja: difuzia a absencia difuzie

• Vizualizacia elektronovej drahy napriec vzorkou.



Transfer matica

Rozptylovy experiment:„C

B

«= S

„A

D

«S =

„t′

r

r′

t

«(1)

„C

D

«= T

„A

B

«T =

„t−1 −r′t−1

rt−1

t′ − r′t−1

r

«(2)

Transmisia: T = Tr t†t



Landauerova konduktancia gL.

Konduktancia g [Landauer]

gL = 2e2

h

T

R.

Economou a Soukoulis:

gES = 2e2

hT .



Konduktancia g.

Konduktancia meria pravdepodobnost’ elektronu prejst’ cez neusporiadanu vzorku.

Konduktancia vs vodivost’.

Konduktancia g

- pre konecne systemy

- nulova teplota T = 0

- kvantova koherencia

- fluktuacie

Vodivost’ σ:

- pre nekonecny system

- z teplotnych strat (KG)

- ziadne statisticke fluktuacie

〈g〉 = σLd−2



Casovy vyvoj

Uvazujeme vzorku L × L. V case t = 0 zvolıme Ψ(t = 0, ~r) = Φ(~r) nenulovu len v

malej oblasti v strede vzorky. Riesime numericky Schrodingerovu rovnicu

i~∂Ψ(t, ~r)

∂t= HΨ(~r) (3)

resp.

i~∂Ψ(t, nx, ny)

∂t= Wεnx,nyΨ(t, nx, ny)

+V [Ψ(t, nx + 1, ny) + Ψ(t, nx − 1, ny) + Ψ(t, nx, ny + 1) + Ψ(t, nx, ny − 1)].

Numericky: diskretizujeme cas (v jednotkach ~/V ), a pouzijeme vhodnu numericku

metodu (napr. metodu striedavych smerov).



Kov: difuzny rezim

Difuzia: 〈r2(t)〉 = 2Dt . . . D difuzny koeficient

V slabo neusporiadanom systeme: elektronova difuzia. El. vodivost’:

σ = e2D(E)ρ(E) (4)



Difuzia na vel’kych mriezkach

Dvojrozmerna mriezka 2048 × 2048 (1024 × 1024). Pre slabu neusporiadanost’

pozorujeme difuzny rezim, 〈r2(t)〉 = 2Dt. Pre silnejsiu neusporiadanost’ difuzia zanika

(t0 = 1000 ~/V ).



Univerzalne fluktuacie konduktancie (2D, difuzny rezim).

Konduktancia nie je samoustrednitel’na velicina ani v limite L → ∞. Gaussovske

rozdelenie p(g) s univerzalnou sırkou ∝ e2/h, nezavislou na detailoch mriezky (vel’kost’

vzorky, amplituda fluktuaciı potencialu ...).

Ale: var g zavisı od dimenzie. Je mozne ju najst’ analyticky.

10.000 meranı na 10.000 vzorkach.



Slaba lokalizacia v 2D (difuzny rezim)

Vd’aka kvantovej koherencii je pravdepodobnost’ navratu elektronu(backscattering) 2×vacsia ako v klasickom pripade. Toto redukuje konduktanciu (transmisiu) a teda aj

vodivost’:

〈g〉 = σklas + δσ = σklas −1

πlnL

`. (5)

Slaba lokalizacia zavisı od dimenzie.




Pravdepodobnost’ navratu do

vychodzieho bodu:

Klasicky:

|A1|2 + |A2|2 = 2|A|2Kvantovo:

|A1 + A2|2 = |2A|2 = 4|A|2Kvantova nterferencia sposobı narast

spatneho rozptyly a preto pokles

vodivosti:

δσ = −X

drahy α

|Aα|2. (6)




Ako sa to meria?

Vel’kost’ vzorky L hra ulohu vzidalenosti, ktoru elektron prejde ako kvantova castica. V

realnych systemoch, pri nenulovej teplote T , tuto ulohu prevezme

stredna vol’na draha nepruznych zrazok Lφ ∝ T−p.

Exponent p zavisı od typu nepruznej zrazky.

Vzt’ah pre vodivost’ ma potom tvar

δσ = −const× lnT

T0

(7)

Tato zavislost’ sa naozaj experimentalne meria.



Slaba lokalizacia seizmickych vln PRL 93, 048501 (2004)

sırenie seizmickych (akustickych vln na vrchole vulkanu Puy des Goules (Francuzsko).– Typeset by FoilTEX – 22


Lokalizacia - jednorozmerny prıpad.

Ukazka troch jednorozmernych vzoriek s nahodne fluktuujucim potencialom. Vzorky sa

od seba “dost’” lısia v mikroskopickych detailoch, hoci su charakterizovane tymi istymi

parametrami: W a V .



Lokalizacia - jednorozmerny prıpad.

H = WXn

εnc†ncn + V

X[nn′]

c†ncn′.

(V = 1).

Vlastne stavy elektronu na retiazke dlzky

L = 500. Vlastna energia: ta, ktora je

najblizsia k E = 0.5.

Rozlozenie vlnovej funkcie v 1D retiazke pre roznu silu neusporiadanosti. S rastom

neusporiadanosti W sa elektrony lokalizuju v nejakej casti vzorky.



Najjednoduchsı model lokalizacie

Nahodne rozmiestnene bariery.

Transmisia T = |t|2 a reflexia R = |r|2.

Landauerov odpor: ρ = R/T

Je treba najst’ TN a RN pre system N nahodne rozmiestnenych barier.



Kvantova castica: Ohmov zakon neplatı

Vypocet transmisie cez dve bariery:

t12 = t1t2eiφ

+ t1r′2r1t2e

i3φ+ . . .

t12 = t1[1− r′2r1]−1t2 T12 = |t12|2

T12 = |t12|2 =T1T2

1 + R1R2 − 2√R1R2 cos Φ

,

Φ = φ + φr1 + φr′2. . . (nahodna) faza, dana fazou r1, r′2 a vzdialenost’ou medzi

barierami. Ustrednenie cez Φ:

〈ρ12〉 = 〈ρ1〉+ 〈ρ2〉+ 〈ρ1〉〈ρ2〉

Odpor retiazky rastie rychlejsie ako linearne.



Klasicka castica: Ohmov zakon platı

Transmisia pocıtana z pravdepodobnostı prechodu a odrazu, nie z amplitud:

Tcl12 = T

cl1 T

cl2 + T

cl1 R

cl2R

cl1 T

cl2 + T

cl1 R

cl2R

cl1R

cl2R

cl1 T

cl2 + . . .

Tcl12 =

T cl1 T

cl2

1− Rcl1R

cl2

.

ρcl12 =

T cl12

1− T cl12

= ρcl1 + ρ

cl2 .

Lokalizacia je dosledok kvantovej koherencie rozptylovanych vln (skladanie t, nie T ).



Konduktancia: fluktuacie v lokalizovanom rezime

Ergodicka hypoteza

Zmenou Fermiho energie zıskame taku

istu statistiku ako zo suboru N roznych

vzoriek s tou istou Fermiho energiou.



Transmisia ako funkcia dlzky vzorky

Pridavanım atomov (prekazok) do retiazky mozeme drasticky zmenit’ jej transmisiu.

Naprıklad ju zvysit’ o niekol’ko radov. Nieco take klasicka mechanika nepozna.



Numericka demonstracia lokalizacie I

Vratime sa k numerickemu experimentu: majme neusporiadanu vzorku (W/V > 1)

vel’kosti L × L a kvapnime do prostriedku jediny elektron. Budeme pozorovat’, ako sa

elektron sıri vzorkou.

Pocıtame aj 〈r2(t)〉 ako funkciu casu t.

Pretoze V definuje sırku vodivostneho pasu, predpokladajme V ∼ eV je radu 10−18 J.

Preto jednotka casu

~/V ∝ 10−16 s.

Ukazem dve simulacie: W/V = 6, vzorka 1024× 1024, cas 0 < t < 900.000 ~/V .

W/V = 8, vzorka 512× 512 cas 0 < t < 36.000 ~/V .




W/V = 6. 〈r2(t)〉 spociatku pomalicky narasta, potom sa saturuje. |Ψ| > 10−4

(siva), |Ψ| > 5 × 10−3 (modra), |Ψ| > 10−3 (cervena), |Ψ| > 5 × 10−3 (cierna).

Pravdepodobnost’ najst’ elektron na neoznacenom bode mriezky je mensia ako 10−8.

L = 1024. Cas je merany v t0 = 1000 ~/V .




mala neusporiadanost’ vel’ka

Vidıme, ze priestorove rozlozenie elektronu s narastajucim casom nerastie, len fluktuuje

v okolı povodnej polohy elektronu. Nasleduje casovy vyvoj pre W/V = 8 na mriezke

512× 512:



Elektron nie je viazany v ziadnej potencialovej jame.

Dokaz: “kvapneme” styri elektrony na styri rozne pozıcie.

Uvidıme, ze elektrony zostanu v okolı polohy, kam sme ich na zaciatku “polozili”.

Poloha, kde zostali priestorovo lokalizovanme, teda nie je dana ziadnou potencialovou

jamou. Kaza cast’ neusporiadanej vzorky je rovnako vhodna na lokalizovanie elektronu.



Konduktancia g.Rozptylovy experiment:

„C

B

«= S

„A

D

«S =

„t′

r

r′

t

«(8)

„C

D

«= T

„A

B

«T =

„t−1 −r′t−1

rt−1

t′ − r′t−1

r

«(9)

Konduktancia g [Landauer] (~2/2e = 1)

g = Tr t†t.



Numericka demonstracia lokalizacie II

pozrieme sa, akadial’ elektron putuje cez vzorku.

Idea:

H = WXn

εnc†ncn + V

X[nn′]

c†ncn′.

Vzorka je charakterizovana nahodnymi energiami εn

Transmisia je statisticka velicina, pretoze energie su nahodne.

Ako sa zmenı transmisia, ak zmenım ejdnu jedinu nahodnu energiu?

εn → − εn (10)



Ukazka, co mame na mysli:

Uvazovana zmena potencialu v jednorozmernom prıpade.

V dvojrozmernom prıpade je zmena este mensia: ak mam vzorku 100 × 100, zmenım

potencial na jedinom uzle mriezky, teda relatıvna zmena potencialu je ∝ 10−4.



Su dve moznosti:

Dvojrozmerny system:

εn → − εn. (11)

• Elektron cez uzol mriezky n neprechadza - vtedy je jedno, aka energia na nom je.

Transmisia sa teda nezmenı.

• Elektron cez uzol mriezky n prechadza. vtedy ocakavam, ze sa transmisia zmenı.



Slaba neusporiadanost’

W = 2, T ≈ 5 Vsetky body su rovnake, typicka zmena transmisie je ≈ 1%.



Slaba neusporiadanost’

W = 4, T ≈ 0.5. Zmena nahodneho potencialu v cervenych bodoch zmenı transmisiu o

10%.



Silna neusporiadanost’

W = 6, T ≈ 0.0008. Zmena nahodneho potencialu v ciernych bodoch zmenı transmisiu

o 100%.



Este silnejsia neusporiadanost’

W = 10, T ≈ 10−14. Crta sa nieco ako “draha” elektronu napriec vzorkou. Napriek

tomu sa zda, ze pohyb elektronu je nelokalny, elektron “cıti” celu vzorku.



Este silnejsia neusporiadanost’: W/V = 20.

W = 20, T ≈ 10−96.

Energia elektronu E = 0 (stred

vodivostneho pasu).

Ukazana je zmena logaritmu transmisie.

Crta sa nieco ako “draha” elektronu napriec

vzorkou.

Draha nie je viazana na ziadnu

ekvipotencialnu plochu, prıpadne “dolinu”

v potencialovom profile.

Inset ukazuje uzly mriezky n, v ktorych je |εn| < 1.



Pohyb elektronu je vlnovy

Pohyb cez tu istu vzorku, len potencial εn → 2 εn na kazdom uzle mriezky.



Zaver

Vlnovy (kvantovomechanicky) charakter pohybu elektronu moze sposobit’ lokalizaciu

elektronov v nejakej casti vzorky. Lokalizovany elektron nevedie prud, preto je taka

vzorka izolatorom.

Pretoze aj elektromagneticke vlny su vlny, ocakavame, ze v neusporiadanych dielektrikach

dochadza k ich lokalizacii. teoreticky popois je analogicky. Experimentalne pozorovanie

lokalizacie je asi este l’ahsie ako v prıpade elektronov, lebo (i) EM vlny medzi sebou

neinterahuju (ii) vlnova dlzka EM vln moze byt’ makroskopicka. [Gennack, Garcia] (iii)

nemame problem s koherenciou.

Nielen EM vlny, ale aj akusticke vlny sa mozu vplyvom neusporiadanosi priestorovo

lokalizovat’.



Zaver (definitıvny)

Andersonova lokalizacia oslavuje v tomto roku 50 rokov.


peter marko s katedra fyziky fei stu 3. okt ober...

Documents