sistem persamaan linear - miftakhurrizal.lecture.ub.ac.id•metode ini berlainan dengan metode gauss...
TRANSCRIPT
Sistem Persamaan Linear
•Misal terdapat SPL dengan n buah variabel bebas
Matriks:
nnnnnn
n
n
n
C
C
C
C
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
aaa
3
2
1
3
2
1
21
33231
22221
11211
nnmnmmm
nn
nn
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
Cxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)
Algoritma Gauss Naif
Algoritma Gauss Jordan
Algoritma Gauss Seidel
Aturan Cramer
Algoritma Gauss Naif
Contoh Algortima Gauss Naif
•Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
•Bagaimana penyelesaiannya?
Penyelesaian:
• Matriks yang terbentuk:
• Langkah:
1.
2
1
4
141
113
122
3
2
1
x
x
x
2
1
2
141
1132111
2
1
2
2
1
1
x
x
x
b
Penyelesaian (lanjutan)
2. dan 3.
4. dan 5.
2
5
2
14121402111
3
3
2
1
12
x
x
x
bb
0
5
2
2330
21402111
3
2
1
13
x
x
x
bb
6.
7. dan 8.
045
2
2330
81102111
4
1
3
2
1
2
x
x
x
b
41545
2
81500
81102111
3
3
2
1
23
x
x
x
bb
Penyelesaian (lanjutan)
• Hasil:
2
415
815
3
3
x
x
1281
45
45
81
2
32
x
xx
022112
221
1
321
x
xxx
Penyelesaian (lanjutan)
Algoritma Gauss Jordan
•Dengan metode Gauss Jordan matriks A diubah sedemikian rupa sampai terbentuk identitas dengan cara :
diubah menjadi
C* merupakan matriks C yang sudah mengalami beberapa kali transformasi, sehingga:
CXIA | CXAI 1|
nn C
C
C
C
x
x
x
x
A
3
2
1
3
2
1
1
1000
0100
0010
0001
nn Cx
Cx
Cx
22
11
Algoritma Gauss Jordan
Contoh Algoritma Gauss Jordan:
•Diketahui SPL:
2x1 + 2x2 + x3 = 4
3x1 - x2 + x3 = 1
x1 + 4x2 - x3 = 2
•Bagaimana penyelesaiannya?
Penyelesian
• Langkah:
1.
2.
2
1
4
100
010
001
1
1
1
4
1
2
1
3
2
3
2
1
x
x
x
2
1
2
100
010
0021
1
121
4
1
1
1
3
1
2
1
3
2
1
1
x
x
x
b
Penyelesaian (lanjutan)
3.
4.
13
12 3
bb
bb
0
5
2
1021
0123
0021
232121
3
4
1
0
0
1
3
2
1
x
x
x
045
2
1021
041
83
0021
238121
3
1
1
0
0
1
4
1
3
2
1
2
x
x
x
b
Penyelesaian (lanjutan)
5.
6.
23
21
3bb
bb
4
154543
143
813
041
83
041
81
8158183
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
24543
158
156
1513
041
83
041
81
18183
0
1
0
0
0
1
15
8
3
2
1
3
x
x
x
b
Penyelesaian (lanjutan)
7.
Jadi: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2
32
31
81
83
bb
bb
2
1
0
158
156
1513
151
51
154
51
52
521
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
x
x
x
Algoritma Gauss Seidel
• Sering dipakai untuk menyelesaikan persamaan yang berjumlah besar.
•Dilakukan dengan suatu iterasi yang memberikan harga awal untuk x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0.
•Metode ini berlainan dengan metode Gauss Jordan dan Gauss Naif karena metode ini menggunakan iterasi dalam menentukan harga x1, x2, x3, ..., xn.
• Kelemahan metode eliminasi dibandingkan metode iterasi adalah metode eliminasi sulit untuk digunakan dalam menyelesaikan SPL berukuran besar.
Algoritma Gauss Seidel
1. Beri harga awal x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0
2. Hitung
Karena x2 = x3 = x4 = ... = xn = 0, maka
11
141431321211
a
xaxaxaxaCx nn
11
11a
Cx
Algoritma Gauss Seidel
3. x1 baru yang didapat dari tahap 2 digunakan untuk menghitung x2.
Baris 2 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = C2
22
232312122
a
xaxaxaCx nn
22
12122
a
xaCx
Algoritma Gauss Seidel
4. Menghitung x3
Baris 3 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = C3
a33x3 = C3 – a31x1 – a32x2 – … – a3nxn
33
343423213133
a
xaxaxaxaCx nn
33
23213133
a
xaxaCx
Algoritma Gauss Seidel
5. Cara ini diteruskan sampai ditemukan xn.
6. Lakukan iterasi ke-2 untuk menghitung x1, x2, x3, ..., xn baru
nn
nnn
n
nn
nn
a
xaxaxaxaCx
a
xaxaxaCx
a
xaxaxaCx
111313212111
22
232312122
11
131321211
Algoritma Gauss Seidel
7. Mencari kesalahan iterasi |a| dengan cara:
8. Iterasi diteruskan sampai didapat |a| < |s|
%100
%100
)(
)(
barun
lamanbarun
an
barui
lamaibarui
ai
x
xxx
x
xxx
Contoh Algoritma Gauss Seidel
•Diketahui SPL:
x1 + 7x2 – 3x3 = –51
4x1 – 4x2 + 9x3 = 61
12x1 – x2 + 3x3 = 8
dan a = 5 %
8
61
51
3112
944
371
3
2
1
x
x
x
Penyelesaian:
•Iterasi ke-0
x1 = x2 = x3 = 0
•Iterasi ke-1
511
511
x
25,66
4
51461
4
461 12
xx
58,184
3
25,66518
3
128 213
xxx
Penyelesaian (lanjutan)
•Iterasi ke-2
78,3407
3
55,136649,966128
3
128
55,13664
58,184949,966461
4
9461
49,9661
58,184325,66751
1
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Penyelesaian (lanjutan)
•Iterasi ke-3
•Perhitungan x1, x2, x3 diteruskan sampai semua |a| < |s|
11,70189
3
94,2752219,19840128
3
128
94,275224
78,3407919,19840461
4
9461
19,198401
78,3407355,1366751
1
3751
213
312
321
xxx
xxx
xxx
Penyelesaian (lanjutan)
Iterasi ke- Nilai x a
0
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
1
x1 = 51
x2 = 66,25
x3 = 184,58
2
x1 = 966,49
x2 = 1366,55
x3 = 3407,78
a = 105,28 %
a = 104,85 %
a = 105,42 %
3
x1 = 19840,19
x2 = 27522,94
x3 = 70189,11
a = 104,87 %
a = 104,97 %
a = 104,86 %
Koefisien Relaksasi ()
•Tujuan:Perbaikan konvergensi dalam Gauss Seidel. •Biasanya koefisien relaksasi dipilih sendiri
berdasarkan masalah yang dihadapi. • Jika SPL tidak konvergen, yang bernilai antara
0 s/d 1 disebut Under Relaksasi.• antara 1 dan 2 biasanya digunakan untuk
mempercepat konvergensi suatu sistem persamaan yang konvergen, disebut Over Relaksasi.
Koefisien Relaksasi ()
•Rumus (nilai SPL) dengan menggunakan
lama
i
baru
i
baru
i xxx 1
Contoh Koefisien Relaksasi ()
Iterasi
ke-Nilai x
dengan
(1,5)
0x1 = 0
x2 = 0
1x1 = 10
x2 = 15
2x1 = 6
x2 = 7,5
x1 baru = 4
x2 baru = 3,75
3x1 = 4
x2 = 3,75
Contoh perhitungan :
x1 baru
= 1,5 . 6 + (1 – 1,5) . 10
= 9 + (–0,5) . 10
= 4